钦定古今图书集成历象汇编历法典

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历法典第六十九卷

历法总部汇考六十九

新法历书十九

五纬历指五金水二星

上土、木、火三星各以自行能冲太阳，亦各有本行不随太阳。是以其平行，或本天之行，与太阳不同外，亦有岁行。凡冲太阳为年岁之界，即于此起算。然或会太阳，必无均数，即在太阳之冲，亦无年岁之均数。古以三测冲太阳时刻度分，可得本天两心之差，及极大之均数等。金、水二星不然，其行不冲太阳，而且恒随太阳，虽亦有离太阳之时，或左或右，其距度东西不一。在东距度，时多时寡，会日之时，或顺或逆，二次人目不见，古人以为难测，莫定其行之道。今依多禄某所著为法。
古者以太阳平行度为土、木、火上三星岁行之本。若星或会、或冲太阳平行者，则为在岁行之界。今则不然，乃以太阳实行为岁行之本，凡上三星或会、或冲太阳实行者，始为岁行之界。而金、水二星又不然。乃以太阳平行即为本天之平行。
本天非太阳之天，另有一圈载次轮上三星，因能冲对太阳，约一年再相会，所用圈以齐其顺逆等行，名谓之岁圈。金、水二星虽行亦有顺、逆，然此圈不能称岁圈，盖以一周有二伏，有二见之时，故历指中亦名为伏见圈。或名次轮，古因用二不同心圈，此伏见圈，名曰小轮。今新法绘二小均轮，可免伏见圈之称也。各法详著于后。
金星天以太阳为心第一

本历总论有七政新图，以太阳为五纬之心，然土、木、火三星在太阳上难徵，今以金星测定无可疑，后详之。
试测金星于西，将伏东初见时用远镜窥之，必见其体，其光皆如新月之象，或西、或东，光恒向日。又于西初见东将伏时，如前法窥之，则见其光体全图，若于其留际观之，见其体，又非全圆而有光、有魄。盖因金星不旋地球如月体，乃得齐见其光之盈缩，故曰金
图图

星以太阳为心。如图：月在太阳、人目之间为丙，则无光。金星在太阳人、目之间为乙，亦无光。若地在戊日、丁月之间，则月光满。若太阳戊在金星甲、地球之间，则金星光满。若在左、右，则月及金星各有半光。光之大小如按古图不析其理，虽千百世亦不能透其根也。
古者言太白在本轮上，体小光盛，在本轮下体大光淡，在左右体不甚大而光甚盛。今如图解之，在高于时为望，其体远则见小，全透其光故盛也。在庳于时为晦，不可得见，晦朔左右去地为近，则体见大哉，生明故稍淡也。在左右为上下弦，所见半体，故不甚大，远近之间又见半光，故甚盛也。
又金星因岁轮于地时近时远，远时显其体小而光全，若以远镜窥之，难分别其或圆或缺之体。在极远左右数十度亦然若在中距者其光稍淡则远镜可略测其体之形，然光芒锐利亦难明别为真体，或为虚映之光。惟在极近数十度，则光更淡，又于地近其体显大，可明见之。
系凡金星为迟行、或逆行，用远镜窥之，可测其形体。若更近见其体，缺更大。
测金星之最高第二

测金星距太阳两次其距度分为等者，则太阳两平行中度分，为金星本天之最高、或高冲之处。
解曰：用不同心一圈及小轮一圈作图如左：丁为地心，己本天心，庚辛为两心线，置庚为最高，辛为其冲，最高庚左右等度分，取甲、乙两点各为心作等径之两小轮，从己、从丁到甲到乙作线，又从人目丁作丁
图图

丙、丁壬切小轮两线置，夕一测金星在丙，晨一测在壬，甲乙小轮两心为太阳及金星同用平行之经度。庚己甲为距最高度之角，〈平行数又引数〉庚丁丙角为金星体距最高视角。〈视角视行正经一同〉从丁作丁未丁酉与己甲、己乙平行两线，而成未丁丙酉丁壬两角，乃平行庚己甲，视行庚丁丙两角之较。
题言凡星在丙、在壬，而丙丁未、壬丁酉两角之度分为等者庚，最高点必在甲乙两点之中。
欲试之更置其一测，乙移在亥，星亦在壬，则亥丁壬为距太阳之视角，比甲丁丙角更大。〈观图自明不须赘论，盖亥点比乙更近。〉则反先所定而命取二测，皆有距太阳平行之角而为同度。必丁乙于丁甲、丁壬于丁丙各两线相等。〈因几何三卷七题〉若非等者其距庚辛两心线必不能为等，其距视角必亦不等。若所测之得为等，则两测两平行之中有最高，距太阳极大数者为等，则其近远〈与地〉亦等，本天均数亦等。盖皆相连之图也。
古测金星最高及其冲第三

多禄某记古得剜总积四千八百四十五年，为阳嘉元年壬申〈西历〉三月初八日夕，测金星得大梁宫一度半。〈用昴宿星比测〉当时太阳及金星之平行为娵訾宫十四度十五分，两行之差为四十七度十五分，乃金星距平行大数也。亦名均数。又总积四千八百五十三年为永和五年庚辰〈西历〉七月三十日，金星见东方，多禄某亲测得在实沈宫十八度半，〈用井宿第七星比测定之〉当时太阳及金星之平行为鹑火宫五度四十五分，两行之较为四十七度十五分，用两测两平行相减。
从娵訾宫十四度十五分，顺天数到鹑火宫五度四十五分。

得中积为一百四十一度三十分，折半得七十度四十五分，并加于娵訾宫十四度十五分，以减全周得大梁宫二十五度，其冲大火宫同度，乃金星两心之线也。孰为最高，尚未之定，再用次测。
次测乃得剜总积四千八百四十年为永建二年丁卯〈西历〉十月十二日晨，测得金星在鹑尾宫初度二十分，太阳平行为寿星宫十七度五十二分，星距太阳为四十七度三十二分，乃两行之较也。〈用右执法星比测金星得数〉　又多禄某于总积四千八百四十九年为永和元年丙子〈西历〉十二月二十五日昏，亲测见金星近垒壁阵第八星在东如月，其小径为二十四分时，金星光大，因用恒星比，测得在元枵宫十九度三十六分时，太阳平行为星纪宫二度四分，星距太阳为四十七度三十二分，用前后两测太阳平行相减，折半，亦得大梁宫二十五度，或大火等度，乃两心之线也。〈亦未定最高之宫分〉
多禄某记前人二测，并亲测定金星两心线如上，然未知最高或在大梁、或大火，乃因前论互用，取金星平行之近大梁，或近大火而测其大距度。曰：依不同心圈均数极微，则大距度全从小轮而生。若距度小指平行小轮心于地极远，若距度大指小轮心于地极近，远近之分即最高及其冲也。定论如此，用得剜测一，用亲测一。〈见本历首卷总说〉
总积四千八百四十二年为永建四年己巳〈西历〉五月二十日晨，比金星于娄宿第二星，及天囷座第四星，测算得金星在降娄宫十度三十六分，其纬度在南一度半。当时太阳平行得二十五度二十四分，大距度〈两行之差〉为四十四度四十八分。多禄某自测总积四千八百四十九年为永和元年丙子〈西历〉十一月十八日昏，以牛宿第二星比，测得金星在星纪宫十二度五十分。当时太阳平行为大火宫二十○度半，大距度为四十七度二十分，大距指最高冲，则小距指最高也。
系金星天最高，多禄某于总积四千八百五十三年度辰，为永和五年，测定在大梁宫二十五度，其冲大火宫同度。又曰：在大火时金星距日度极多，日在大梁时星距日度极少，他处大距度在两限之中。〈近远各有比例见下文〉
金星最高行第四

前章记古测定金星最高在大梁宫二十五度。又依后所记第谷九测在总积六千二百九十八年为万历十三年乙酉，测得金星天最高在实沈宫二十九度十五分。〈其行极微，先后数年不碍算。〉两测比算，则以中积一千四百四十五年为法，以两测最高行之较，三十三度十五分为实法，入实而一得一年之行为一分三十二秒五十七微有奇，约百年行二度一十八分十六秒十二微。今历元总积六千三百四十一年，距第谷测四十三年，则于所测约加五十分，得最高历元见本表。
求金星伏见，轮半径及两心之差第五

如图：丁，地心。己，金星本天心。作庚丙辛圈及己丁两心线，又于庚辛高底二处各为心，作甲、乙两小圈相等。而当小轮亦名次轮，伏见轮互用。又从丁地心作
图

丁甲、丁乙二线切于小轮，指庚丁甲、辛丁乙，乃人目所见金星视行距太阳平行度之角也。如前所测定，上下成两直角三角形，甲丁庚形，有甲丁庚角四十七度二十分。〈前测〉依法置庚丁边全数十万，求丁角之正弦，得七三五三一，乃

甲庚边之数即小轮半径之数也。又丁乙辛直角形，有乙丁辛角四十四度四十八分，置辛乙边为七三五三一，〈甲庚乙辛相等〉求丁辛边，以法推算。
查四十四度四十八分正弦加五位为实，以辛乙七三五三一之数为法而一。

得九五八二七，夫庚丁全数十万，甲庚七三五三一，辛丁九五八二七，皆同类之数也。庚丁、丁辛相减得数，半之，为二○八六，乃己丁线之数。即两心之差也。
或庚丁、丁辛两数并之，得庚辛全线，折半，为己庚。以庚丁减之，得己丁两心之差。如上。

若置己庚本天半径为十万全数，〈与他星同理〉用通法求同类己丁，为一二二九。求甲庚或辛乙为七五○九八，丁辛为九七八七一，乃所求各线之数也。
求金星均圈第六

凡金星小轮心在最高，及其冲距太阳之限，或见大见小而算不同心圈之差。先置两心差，从最高各度算距限。
距限乃不同心圈及小轮两均数，或相并、或相减
图

所得之数。
所得若不合天，则亦如他星，宜用均圈。此二圈相割处乃本天大均数也。必距最高为九十度，若以前得两心差，求小轮在此之大距度为九十度，又以星视距平行大距度测之，因先有不同心圈及其心之差，

算小轮视距所得，以所测相减之较为本天大均数。若本天半径为全数，此较度分数为切线之角，查表得均圈心距地心，或得两小均轮各径之总数。图设庚辛最高庳也。甲癸各距庚九十度在癸，用一均圈〈古图用不同心圈〉星在戊，戊丁癸角为大距平行癸之度。因前得癸壬线〈上图为丁己两心差〉及壬戊线上，图为庚甲或辛乙，推算戊丁癸角，以壬癸丁、壬丁戊二句股形，可推算癸丁戊角，见表比所测为小，用右图加乙丙，次均小圈，如新图，所用二均圈为足。
法曰：用壬癸线，求戊丁壬岁轮所生之视角。以己丁甲角于大距所测之角，减之，馀丙丁甲角，乃本天之均角也。其切线为丙甲，先得甲乙，〈或癸壬或前图丁己各等〉减之，馀乙丙。乃次均圈之半径也。
多禄某务求得真数，乃用二测：一于总积四千八百四十七年为阳嘉三年甲戌〈西历〉二月十七日晨，〈择心宿大星用浑仪对测〉测金星距太阳大数，得金星在星纪宫十一度五十五分时，太阳平行为元枵宫二十五度半，两数相减，得大距度为四十三度三十五分；第二测总积四千八百五十三年为永和五年庚辰〈西历〉二月十八日昏，〈择毕宿大星比测〉得金星在降娄宫十三度十五分，太阳平行在元枵宫二十五度半，两行之较为四十八度二十分。乃金星距太阳大度数也。用古测亦用古元图，求均圈心距地心若干。
作图庚丁辛为本天高庳之线，丁为地心，置均圈心于乙，丁、乙两心相距未知其数，即所求乙。上立垂线乙甲。
命曰垂线。盖置平行距最高为三宫，则庚乙甲角
图

必为直故。
任取甲为心，作丙戊小轮圈，又从人目丁作丁丙、丁戊两均线，丙指星晨见所在，戊指星昏见所在。又作丁甲、甲丙、甲戊、丁戊各直线，
丙丁戊角为晨昏两大距总度，即九十一度五十五
分，折半，得四十五度五十七分，丙丁甲角也。甲丙丁
形，有甲丙边〈先定七五○九八〉及丁角，求甲丁边。得一○四五○一。丙戊弧两大距度之总，半之，得丙己，内减丙壬第一晨测星在丙距壬平行之度，馀壬己为二十二度二分半，即壬甲己角也。
甲乙丁直角形，有甲丁边〈先算〉及甲角，〈壬己弧〉求乙丁，得四三三。即均圈距地心之差也。若比于先得不同心圈之心距，地心二○八六，约为倍数，则如上三星等图。
图

第谷及其门人再测，以古今诸测相比，得均圈心距地心为十万分〈甲乙全数〉之三千二百○八分，折半，得不同心圈心距地心，或用本图第一均圈半径为二四○六，第二均圈半径为八○二，是乃从后所记九测之数而出也。
求金星小轮行率束第七

置古所得两心差，用古一测，求金星小轮上距极近处。
小轮近处者，从平行心到小轮心作线，必割小轮周，所载之点谓之近处。

又用今时一测，以法求金星小轮上距近处。以金星行满小轮周几转化度为实，以两测年日中积数为法，除之，则得一年一日，小轮上之平行可成表。〈见下文〉古历士弟末加于总积四千四百二十年，为周赧王四十三年己丑〈西历〉十月十二日晨，见金星蚀左执法星。〈多禄某记〉当时执法星〈依新历法〉在鹑尾宫三度十分，纬北为一度十六分，即此为金星经纬度也。又此时算太阳平行得在寿星宫十六度六分半，则星距日平行为四十二度五十六分半，越三日再测得金星与日更近一度，则因本图法知金星必过大距之处而在小轮之上半弧。
从地人目出两线切小轮在两切线中之弧谓之下，于目近在两线外谓之外。又凡在下弧逆行会日之前，每日更近，于日距度更少过，会每日更远至上下两弧之界，以后顺行，每日更与日近。今见金星东边顺行，又更近日，因知必在小轮上弧。

又因古今多测，相比得当时金星本天最高在大梁宫十六度十分，以日平行减之，得小轮心距最高为一百四十九度五十六分半，其馀为三十度三分半，乃距最高之冲。
如图：〈古测用新图理同〉丙地心，人目作丙丁线，丁为最高冲，丙以上取甲点为本天心，作丁乙弧，〈甲丙新法为二四○六〉从
图

丁取三十度有奇至乙，〈左边取盖引数未到半周〉乙为心，作午戊均圈。
乙戊为八○二，甲丙、乙戊两数并为三二○八，比古所定少九百五十二。然古者所测因无先遗之测，无可比證。今再考算，而得其谬。盖屡用
图

日星测验而得其准，始各改定如此。
作各线〈法见上三星历因省文〉从午均轮最远左行取午戊弧于乙丁弧等度，至戊戊为心，作小轮癸己辛，戊心上作癸戊辛线与甲乙平行，定癸极近，辛极远，两处乃岁轮上起算之界也。又辛

己癸岁轮上取己点为金星所居，即在东上半弧，依三角形法，求辛癸己弧。乃古测金星距小轮极远之处，此乃次引数也。
一甲丙乙形，有甲丙〈先定二四○六〉甲乙全数〈半径〉两边，及丙甲乙角三十度有奇，求甲乙丙角得○度四十二分二十秒，又求丙乙边得九七九四○。〈三角形诸法备测量全义，后不赘述〉
二丙乙戊形，有戊乙八○二，及丙乙〈前得〉两边之两数，与戊乙丙角。
图

戊乙午为引数之馀三十度有奇，则戊乙丙为正引数，
一百四十九度有奇，加先所得甲乙丙角四十分二十秒有半，并之得一百五十度三十八分五十秒。求乙丙戊角得○度十三分三十四秒。又求丙戊边，得
九八六五五。
三以甲乙丙、乙丙、戊两角并之，得○度五十六分○三秒，乃癸戊丙角先均数也。
四丙己戊形，有戊己。
小轮半径，依新法为七二二四八，

丙戊两边及己丙戊角，
以先测星距平行数内减去均数，从最高冲起于丁乙宜加，于乙己宜减。

为四十二度○分半，求丙戊己角，得七十一度五十五分。甲乙线定平行线也。乃小轮上子己弧，次均数也。〈从最近算对日之处〉
五因辛极远处为算之界，则于己子内减癸子，先均数，又以所馀加辛癸半周，并得二百五十度五十九分，乃当时金星小轮上之引数也。
今再译近世一测，以比于古测，可徵平行之率。第谷于总积六千二百九十八年，为万历十三年乙酉〈西历〉九月十五日晨，测金星得在鹑火宫十五度五十八分，〈先均蒙气及地半径差〉当时太阳平行躔寿星宫三度四十八分二十秒，金星最高为实沈宫二十九度十四分五十秒，则金星平行距最高为九十四度三十三分三十秒，引数也。又平视两行之较为四十七度四十九分四十秒，依上法，求金星岁圈上去极远处若干。
如图：号名如上，丁最高，丁乙、午戊两弧各为引数，星在己晨测也。
一甲乙丙形，有甲丙甲乙两边，〈法如上〉有丙甲乙角引数之馀，求甲乙丙角。得一度二十二分二十六秒，又
图

求丙乙边，得九九八三七之数。
二丙戊乙形，有丙乙、乙戊两边及戊乙丙角，
戊午弧为引数，加午申弧或甲乙丙角，并得丙乙戊角。
为九十五度五十六分六秒，求戊丙乙角，得○度二

十七分二十六秒，又求丙戊边得九九九二五三，前两均数〈甲乙丙乙丙戊两角之数〉并为一度五十分，因从最高起而引数不过半周，宜于子己减之，其馀四十六度○分，乃戊丙己角也。
四己丙戊形，有丙戊、戊己两边及戊丙己角，求丙戊己角，得三十九度○分，子己弧也。内减去子癸先均数，得三十七度十分，如半周得二百十七度十分，乃星体从辛极远小轮上所行之度数也。
两测中积为一千八百五十六年，不及二十七日，〈化日〉或六十七万七千八百七十日为法。
以三百六十五日又四分日之一为年也。

时刻不算，盖两测在晨，其差不及刻数，中积甚大无所比，此中积时金星行满伏见，轮全周为一千一百六十转又三百二十六度二十分。
第一测星在小轮上，距最高二百五十度五十九分，第二测得二百一十七度十分，相减得三十三度四十九分，乃第二测未到第一测之处，以全周减之，得三百二十六度一十九分。

为实，以法入实，而一得星一日平行为三十六分五十九秒二十九微有奇，以乘法求一平年之行为二百二十五度一分五十秒，以此数作立成表，又以某日所测得金星小轮上之度，以加、以减得本历金星引数成二百年表，或用新测金星一度，亦可为引数之根。
新法所用测金星，以定其行之率及历应第八

一测总积六千二百九十八年为万历十三年乙酉〈西历〉九月十四日十七小时一刻，〈从午正起〉中历为九月初二日午正一刻，测得金星经度为鹑火宫十五度五十八分，纬南二度八分。
此测皆先均定蒙气及地半径差，下同。

以表算得平行距冬至九宫三度四十八分二十秒，此时最高距冬至五宫二十九度十四分五十秒，则引数为三宫四度三十三分三十秒，小轮上为七宫七度十分。〈从极远起〉以三角形算得金星体该在鹑火宫十五度五十三分十秒，比所测少四分强。
二测万历十五年丁亥〈西历〉正月十五日四时四十分，中历为丙戌年十二月初七日午初三刻，测得金星经度为娵訾宫十六度五十五分，纬北二度三十九分，当时算表得平行距冬至为一宫十四度十七分十五秒，引数为七宫五度○分四十五秒，小轮上为三百○七度四十三分十七秒，以法算得娵訾宫十六度五十一分，比所测少四分。
三测万历十六年戊子〈西历〉二月十五日酉正五分，中历为正月二十六日丑正五分，测得金星经度为娵訾宫十六度一分，纬北为八度五十六分，当时平行距冬至二宫十度四十八分四十八秒，引数为八宫十一度三十二分十五秒，小轮为六宫○度三十三分七秒，以加减算之得娵訾宫十五度四十九分，比测少十二分。因小轮度为六宫○度，必星在极近处。其近于日平行均度为五度，〈本天及实引数生〉则距平行西五度，又太阳同平行均数二度为加，以五度内减之，得三度，乃金星顺距太阳之体也。当时纬度北不及九度四分，若置如直线，用开方法得金星距日体约十度。盖本方北极高为五十六度，又娵訾宫为斜升，〈于地平如平行〉太阳将出地平，金星在地平上十度，可得见。又四测小轮引数亦为六度，亦可见之。〈说见月离历指四卷并本部八卷〉
四测为本年三月初二日卯初二刻，〈距第三测十七日〉中历为二月初五日午正二刻，测星经度得娵訾宫十度七分，纬北八度二十六分，当时平行距冬至为二宫二十度九分二十秒，引数为八宫二十度五十二分三十秒，小轮之行为六宫六度二十三分三十八秒，以法算得视行为娵訾宫十度十四分，比所测多七分。
五测万历十七年己丑十二月十四日辰初三刻，中历为十一月初八日未正三刻，测得经度为大火宫十七度十分，纬北三度十分，当时平行为初宫三度五十二分十四秒，引数为六宫四度三十三分十五秒，小轮行七宫十九度二分十秒，以法算得视行为大火宫十七度六分，比测少四分。
六测万历十九年辛卯〈西历〉十二月十七日辰，正测星经度得析木宫二十度，纬北○度二十分，当时平行为初宫六度二十一分十五秒，引数为六宫六度五十九分二十五秒，小轮行十宫二十度五十七分九秒，算得视行为析木宫二十度四分半，比测多四分半。
七测万历二十一年癸巳十二月十五日酉初十分，中历为十一月十四日子正十分，测得经度在元枵宫二十一度，纬南一度十六分。当时平行为初宫三度四十八分五秒，引数为六宫四度二十一分四十五秒，小轮行为四宫二十度四分二十秒，以法算得元枵宫二十一度六分，比测盈六分。
八测万历三十八年庚戌十二月十二日申正四十分，中历为十一月初八日子初二刻，测得星经度为元枵宫十七度五十八分，纬南一度二十九分，当时平行为初宫初度五十七分四十八秒，引数为六宫一度九分半，小轮行为四宫二十一度八分三十三秒，以法算得元枵宫十八度四分，比测多六分。九测万历四十四年丙辰三月初九日卯初，中历为二月初三日午，正测星经度为元枵宫十五度二十四分，当时平行为二宫二十八度○分五十三秒，引数为八宫二十八度六分十五秒，小轮行为八宫一度二十八分四十秒，推算细行得元枵宫十五度二十四分，符所测。
以上九测因密测详审，可为金星诸行之元。
金星诸行率第九

本天最高行每年一分二十二秒五十七微，百年行二度十八分十六秒十二微，约一万六千馀年而满一周。
本天上平行如太阳三百六十五日二十三刻有奇而行满一周。
小轮上之行每日三十六分五十九秒有奇。
一平年〈三百六十五日〉行七宫十五度一分五十秒，计六百六十二日十四小时〈不及四分〉而满一周。
若平行减最高行得引数一日为五十九分八秒，一平年为十一宫二十九度四十四分十七秒。
又算加减二表置两心差为三二○八。〈全数本天半径为十万〉用新图分二小圈，其一为二四○六，其一为八○二，小轮半径为七二二四八有半。〈全数如上〉
本天大均数为一度五十分十六秒，在引数三宫一度。
小轮在最高时大均数为四十五度十九分二十秒，最高、最庳之差为二度四十六分四十九秒。
以上诸数用以起算定表，不外乎此。
金星新测第十

崇祯七年十月十五日戊戌酉时，在局用弧矢仪比测金星于垒壁阵，第四星得相距十七度五十分弱，此时金星纬向南二度，馀恒星亦向南二星，相距之度如黄道上之度，其差微。
恒心历元经度为元枵宫十八度二十三分，加八年之行为七分得十八度三十分，因金星在西减相距之度，得本宫初度四十分强，乃本时太白之经度也。今用表推算，得金星经度为一宫○度四十七分，比所测盈七分，或测时过酉正，而在戌初一小时差二分半，又金星观大难测差分己得其准，用表算式。〈以上原本历指卷二十五纬之五〉
水星

水星乃五纬之一，其行与金星相似，而异于木、火、土。其形亦小于四星，故光不甚大。不越晨昏二时，且不尝见而尝伏。是以测其行与定其率及其应古今，皆以为难。昔西士多禄某〈厄日多国人〉其本国地气清朗，得测水星之经纬最彻，惜其时所用仪器小，所分度数未为精细，至近世谷白泥及第谷两家留心历学，但其所居在北极高五十度有奇，为欹球之地，夏月不辨晨昏，冬月雨雪多而蒙气盛，又甚寒冷，难于测步，谷白泥因借他人之测以详其理，多未经目说，虽明而犹难确据。后来第谷及其门人深研此道，随在推测不惮勤劳，既竭心思又殚目力，而历学始全，今新历译其书以为法，详列于后。
水星本天象第一

水星以太阳平行处为本行之心，即以太阳之平行为自行之平行，如金星无二。然其两行之差非太阳两行之差，则必有自行本圈，而载其次轮，又此圈或圈上之行非平，有高、有低，与他星等，何以知其然耶。曰：见其距太阳之大距度时有大小，因知其次轮必有远近也。今以图略解其所测于左，后详释之。〈次轮亦名伏见轮〉
古图设甲为地心，任取甲乙某线分为五平行，又以乙为心，取甲乙线五分之一为半径，作辛丙壬小圈，名曰均圈。又于小圈周上取丙点为心，作己丁庚戊大圈，又作甲乙丁线为两心线，取丁点作己癸庚圈，是名水星次轮。
木、火、土三星名曰岁轮，金、水不然。盖以其率非满
图

一年而所差复远，故名次轮，又名伏见轮。
行法甲丁线顺天平行，每年一周，如太阳平行无二。其自载乙点均轮心，及丁次轮，或伏见轮之心如丁心，行丁庚戊本天圈一年一周，其心在辛壬丙均轮上，而行此本天之心有行

之理，独水星如是，而他星不然。盖他星有定两心差之数，不加、不减，故其岁轮心〈如丁〉所行之迹亦为浑圆圈。〈见本历首卷〉惟水星小轮心丁所行之迹有如卵形，上宽下窄，故曰，己丁庚，本圈之心于甲点时近时远，又时在乙甲线内，或时在外，如置丁心在两心线上，其行之心在辛极远处，丁心行本天一周必行辛壬丙小圈三次，丁心在戊最低，其行心在丙，
系凡丁心在本轮上平行一周，即于小均轮上之行有三周，本轮上行一度，均轮上行三度。〈以一周与三次论之则知一度三度〉
伏见轮心运行图说第二

丁乙甲戊各号如前，甲为心，任作午未申等图，〈用半图简法也〉分为六平分于未、于申等，又作甲未、甲申等线，人在甲所见，伏见轮心丁距本天最高之度又均圈，往在辛点为心，作丁弧，〈本天丁弧〉又因丁甲未角为三十度，〈先分午丑半周为六分〉均轮上从极远处辛顺天向壬，取其三倍，即九十度止壬，壬为心。用辛丁元半径亦作寅一弧，截甲未线于寅，又以丙均圈极近处为心，
图

丙辛半周乃午申六十度之三倍。

作卯弧以己为心，作辰弧以辛为心，作己弧以壬为心，作子弧末以丙为心，作戌弧共为七点，即以曲线联之，得形如图：
又于午丑半周，细细分画，作三十分，各有六度。又辛壬丙圈分二十分，各分有十八度，作甲寅等线，又小圈各点为心作多弧，必可定丁心运行之迹。

右依前图，可解水星之诸行，并可齐其所行之异，新法亦有水星，天本象，略引之。
图

新图用二小均圈如他星，但辛壬丙载伏见。圈心，小
轮之行为三倍于丁点，大圈上之行皆自行数，如古圈无二。其乙心留行之迹亦与古图卵形相似，算法亦同。丁心往癸，乙心往戊，辛心往壬，比乙及丁疾行为三倍水星，体在子往午未，各满其周。
择测水星以定其最高第三

金星历曰：凡朝夕测得金星距太阳平行两大距度为等者，则于两测之两平行中度。折半，得为金星两心线之处。然其最高、低之分尚未定也。今水星或有两大距度等者。乃若折半不得为两心线之处，觉测此星为难。古今历家测得本天一周内伏见，轮有多度不见，前后多测大距度之差，如距度无远近等。故法曰：取用朝夕两大距等，及前后多日各测之行相反，并平视两行有差，可知两测两平行中，折半，为两心之线所在。曰相反者何。一测之行为盈，一测为缩，必知在两心线左右。曰两行有差。言一测星在此，无近远处。或测十日前后之行为等。因可知其引数为等。
图图

如图：〈字号如前〉戊为最低，依各圈之行若伏见，轮心到子到巳甲子、甲巳距地心两视线略等，不见近远。故亦不见星距。太阳大距度之有大小也。试作甲壬线，先求甲戊线若干分。置丙戊本天半径为十万，甲乙置为五六八五，〈后以测得算〉乙丙为乙甲五分之一，数之得一一三七，以减丙乙得四五四八，丙甲也。又以丙戊全数内减之，得九五四五二，乃甲戊线也。为星最低距地心之数。
又置伏见轮心丁在子，其心在壬。
丁甲子角一百五度，从辛往壬数其三倍，得一周，外有九十度，即在壬。

先用甲乙壬直角形，夫形有乙甲、乙壬〈与乙丙等〉两边之数，依法求甲壬边，得五七九八。〈用句股法〉又求乙甲壬角，得十一度十九分，次用甲壬子形，夫形有壬子全数，有壬甲边，及壬甲子角，
先得乙甲壬，又先设丁甲子为一百五十度，内减乙甲壬角十度有奇，馀壬甲己。

为一百三十八度四十一分。依法求甲子得九五六○六，比甲戊多为一四四，约为千分之一半。若置星在己，其心在辛，用辛甲己形，夫形有辛甲，〈壬甲乙并加五之一得六八二二〉辛己两边及辛甲己角，〈先设戊甲己六十度用其馀以满半周〉一百二十度，求甲己得九六四○九，比甲戊多一○五七，约为百分之一，比在子差更大。
系凡水星次轮心在戊最低，左右〈理同〉三十度或四十度内，其距地不见大差伏见，轮视径亦无小大，其大距度亦如之，故星在此，或左、或右，不足以定最低之经度分。须候星在辰、或在卯，及其对点始可定也。
古测算水星最高第四

多禄某总积四千八百五十一年，为汉永和三年戊寅〈西历〉六月初四夕，测得水星经度为鹑首宫七度，〈用轩辕大星比〉当时太阳平行为实沈宫十度半，即水星距太阳为二十六度半，次测为总积四千八百五十四年为永和六年辛巳〈西历〉二月初二日晨，测水星在星纪宫十三度半，〈用心宿大星比〉当时太阳平行为元枵宫十度，大距度为二十六度半，如上测，以前后两测两平行折半，得寿星宫十度十五分，或降娄宫十度十五分，乃两心线之处也。
古多禄某所测姑举其二以證所定之处，其所多记亲测。每以古测相比，因谓水星天最高行一百年一度，与恒星等。及后来再加细测，积年既久，觉当时所谓犹非也。
谷白泥记总积六千二百○四年，为明弘治三年庚戌〈西历〉九月初九日瓦，而得〈历学名士〉晨测水星经度在鹑尾宫十三度半，纬北一度五十分，当时太阳平行在鹑尾宫二十六度四十七分，〈用谷白泥表算〉得星距太阳平行十三度十七分，此非大距之测，故又记曰此时水星将伏前此。数日测见顺行于日更近，可知水星当时在次轮之上弧。
次测总积六千二百一十七年弘治十七年甲子〈西历〉正月初九日〈本方〉卯正二刻，大火宫十度，在天顶测得水星经在星纪宫三度二十分时，太阳平行在星纪宫二十七度七分，算得星距太阳二十三度四十七分，又记本年三月十八日夕，测得星经度在降娄宫二十六度六分，太阳平行在本宫五度三十九分，星距太阳二十七度一十七分。
依上二测，谷白泥算得水星最高线本世〈总积六千二百十七年前后几年不碍算〉在大火宫二十八度半，最低在其冲即大梁宫同度。
记今测十端以定历元第五

此第谷及其门人所记，比古测精细，因用为新历之本。
第一测总积六千二百九十八年为万历十三年乙酉，中历十月初四日未初〈西历〉为十一月十四日卯正四刻，测得水星视经在大火宫十三度四分，纬北二度十八分，时太阳平行为析木宫四度○分十五秒，〈新法算〉星距日为二十度五十六分一十五秒，依多测再算得本年最高行在析木宫初度三十分，以平行减之，得引数为三度半，次轮行为八宫十六度二十二分二十秒，推算星视经度得大火宫十二度五十七分，比所测少七分。
二测比前测后九日，辰初二十分测得星经在大火宫二十五度三分，纬北一度二十五分，时太阳平行在析木宫十二度五十三分二十秒，引数为○宫十二度二十三分，小轮行为九宫十四度二十二分半，算得大火宫二十四度五十八分，比测少五分。三测总积六千二百九十九年为万历十四年丙戌十月二十四日辰初十分，〈中为九月二十日未正十分〉测得星经在寿星宫二十二度三十二分，纬末记太阳平行为大火宫十三度四分半，引数为十一宫十二度三十四分，次轮行八宫五度六分半，以算视行比测少七分。
四测比三测后四日，见星在寿星宫二十六度三十二分，纬北二度十七分，平行为大火宫十六度四十九分半，引数为十一宫十六度二十九分，次轮行八宫十七度二十七分，用算比测少五分。
五测总积六千三百年为万历十五年丁亥正月初九日申正五十分，〈中历为十四年十二月十一日〉测得星在元枵宫十七度四十八分，纬北○度一分，太阳平行为星纪宫二十八度二十二分五十秒，引数一宫十六度五十二分，次轮行四宫二度二十八分二十秒，用算比测少一分。
六测总积六千三百三年为万历十八年庚寅三月初六日酉正五十分，〈中历二月十二日丑初〉测星在降娄宫十三度四十四分，纬北一度四十二分，太阳平行为娵訾宫二十三度，引数为三宫二十三度二十分，次轮行三宫十一度四十一分十秒，用算少测数八分。七测总积六千三百五年为万历二十年壬辰二月初三日酉初四十分，〈中历正月初一日子正四十分〉测星得娵訾宫十二度二十分，纬北○度四十七分，太阳平行为元枵宫二十二度五十分四十五秒，引数二宫二十二度十五分，次轮行三宫二十三度八分三十秒，用算比测盈九分。
八测总积六千三百六年为万历二十一年癸巳五月十一日亥初二刻，〈中历四月二十二日寅正二刻〉测星在实沈宫二十三度十六分，纬北二度○分，太阳平行在娵訾宫二十九度二十三分，引数五宫二十八度五十一分，次轮行三宫二十二度四分，依算少测十二分。九测总积六千三百二十年为万历三十五年丁未四月十五日亥初，〈中历四月初一日寅正〉测星在大梁宫二十一度五分，纬北一度四十分，平行为大梁宫三度二十分五十秒，引数五宫二度十八分，次轮行二宫十五度五十分六秒，推算盈所测七分。
十测总积六千三百二十三年为万历三十八年庚戌十二月初五日戌初，〈中历十一月初一日未正〉测星在析木宫二度四十二分，纬未纪太阳平行在析木宫二十四度四十分，引数初宫二十三度三十四分，次轮行八宫十度十一分，推算少测七分。
右十测如法推算，盈缩大较不过十二分，其差甚微。非若右表，未经亲测者真可用为水星历元之测。又本方〈阙〉北凡星纬在南，难见难测。故上不测皆纬北焉。
定最高处及其行第六

总积六千二百九十八年为万历十三年乙酉，第谷测算精密，定本年最高在析木宫初度三十分，以古测总积四千四百四十九年〈多禄某所记〉为周赧王五十年丙申〈西历〉十一月十五日晨，见水星在大火宫二度三十五分，太阳平行大火宫十九度五十六分半，〈用古表〉纬南为二度二十分，依此测及后屡测。
多禄某所记本世距周赧王四百年后有多测多算，今不详译省文也。

得水星当时最高在寿星宫六度五分。
两测中积为一千八百四十九年，计两测中积最高之行为五十四度二十五分，〈析木宫初度半内减去寿星宫六度五分，得数。〉以中积最高度分化秒为实，以积年数为法，除之，得一年最高行为一分四十五秒有奇，有一年则百年、千年俱有成表。如以万历十三年之行加之，得崇祯元年最高行之应以平行内减去最高，得引数说见后。
水星伏见轮半径大小第七

古多禄某用二测，其一为总积四千八百四十七年十月初三日晨，测得水星伏见，轮心在本天最高，算求距太阳大距度为十九度○三分，太阳平行在寿星宫九度十五分，多禄某时最高在大火宫二度，此测未到最高，少二十三度。因水星天之象最高及其冲前后一宫，于地不见远近，大差见上文。
其二夕测〈为次年四月初五〉水星次轮心在最高，冲大距度为二十三度十五分，平行为降娄宫十一度五分，此测亦未到高冲，少二十一度，与上测相对。
系凡大距度为小者，其次轮心必在载圈之高。若距度为大者，其心必低，先定两心线如上，测星在降娄距大，在寿星距小。
如图：甲地心壬，本天心戊为最高，丙为其冲，次轮心在戊，最高星在己，为戊甲己距平行极大角。
图

人在甲见星在己，视星距戊平行之度数。

上测得十九度○三分，又次轮心在丙，最高冲视距太阳平行大距度为庚甲丙角，依上测得二十三度十五分，作戊己、丙庚各线于甲己、甲庚成直角。依三角形法，甲戊己为直角形，有己直角，有甲角大距度，自亦有戊角，己甲戊之馀即为七十度五十七分，有三角，求戊己、戊甲之比例。设戊甲十万，戊己即为十万分之三二六二九。〈正弦数也〉
又甲丙庚形，有三角，〈因直角形之理，有甲乙角自有丙角。〉求甲丙、丙庚两腰之比例。设甲丙十万，丙庚为十万分之三九四七四。〈甲角之正弦〉
先定丙庚、戊己两圈半径为等者，〈以上下两次轮无二〉今以三率法通之，设甲戊十万，戊己或丙庚为三二六二九，丙甲为八二六二五，戊甲、甲丙并之，折半，得九一三四二，即戊壬线也。
今有戊壬、戊甲、戊己同类之三线，又设戊壬本天半径为十万全数，求他线之数。以法得戊甲为一○九四七九，减戊壬全数，馀九四七九，乃壬甲两心差之数也。又壬申数以六除之，得一五八○，乃载本天心小轮之半径。说见水星本天象论，戊己为三五七二，乃伏见轮半径也。
多禄某依亲测得水星各圈比例如此然，所记载测数中有可疑。〈恒星及太阳之行各不精细〉第谷及其门人因加密，测密算依上记十测设戊壬全数戊己为三八五○○〈丁庚同数〉壬甲为六八二二，取壬甲六之一即一一三七为壬心所行圈之半周。
系水星近于地为本天十万分之五四六七二，极远为一四五三二一。
算水星经度用三角形试法第八

用上所记第五测时刻。以三角形及上定各圈之数，求水星经度。〈用新图〉当时查表得太阳平行在星纪宫二十八度二十二分半，水星最高在析木宫初度二十九分半，两数相减，得引数为五十七度五十三分。图上为庚乙、己丙两弧之度。〈绘图及其行之类见上二章〉此引数三倍之，得一百七十三度三十九分，为戊丁弧。丁乃伏见轮心，作壬次轮圈，从壬极远顺算得一百二十
图

二度二十八分，至辛丁丙乙形，有丁丙乙角〈戊丁弧以满半周去之馀〉六度二十一分，有丙乙〈上定两心差六分之五即五六八五〉及丙丁〈两心差六分之一即一一三七〉两边，求丙乙丁角得一度三十五分，又求丁乙边得四五五一。
图

二甲乙丁形，有甲乙丁角、
己丙弧或己乙丙角，内减去丙丁乙角，馀丁乙己
为一百二十三度四十二分。
凡引数为六十度以下，用减六十度，至一百二十度用加，一百二十度至一百八十度用减，一
百八十度至二百四十度用加，又自二百四十至三百度用减，三百至三百六十度用加。

又有甲乙全数〈半径〉及丁乙〈上得数〉两边，求乙甲丁角为二度七分，又求甲丁边得一○二六○○。
三丁辛甲形，有丁辛次轮半径〈前所定三八五○○〉，有甲丁丙边及辛丁甲角，
次轮为癸辛弧加壬癸弧、或壬丁癸角、或丁甲乙角，皆为同得壬辛弧，其馀辛午

五十五度二十五分，求乙甲辛角，得二十一度二十九分。乃次均数，次轮之视差也。因次轮行在前半周，法宜用加，得元枵宫十七度四十五分，比所测缩三分。
若以测法求丁辛次轮半径，亦可得之。则于丁辛甲形中，设丁甲边丁甲辛角，
以表得乙甲庚引数，角内减丁甲乙，本天均数得丁甲庚角，以测得辛甲庚角，相减得丁甲辛视差之角。

及壬辛弧或辛丁甲角，依法求之。
若以引数及各圈半径，从小轮上水星本行处，用下图各三角形之法，亦得算癸丁辛角有假。如〈见十章〉
水星平行率第九。〈用古今二测〉

以测求伏见轮上之行。宜择星近太阳，非留行或大距度之处。盖留时伏见轮上之行，人自觉其大距度多日不变，然星更行。故测以得近太阳者为确。古多禄某所记总积四千四百四十九年为周赧王五十年丙申〈西历〉十一月十五日卯初，在本方测得水星经度为大火宫二度三十五分，纬南为二度二十分，
当时太阳平行在大火宫十九度五十六分半，时水星最高在寿星宫六度五分，两数相减，得四十三度五十一分半，乃水星之引数也。又平行、视行相减，得十七度二十一分半。
设引数及各圈之半径与星视行距太阳之平行，求水星体在伏见圈之度分。〈星体距伏见轮极远之处若干〉用新图诸号如上：
一庚乙、己丙两弧各为引数之度，戊丁弧为引数之
图

三倍一百三十一度四十九分三十秒，
二丙丁乙形，有丙丁、丙乙两边，各圈半径及丁丙乙角〈戊丁弧以满半周之馀〉四十八度十分，求丁乙边得十万分之〈全数〉五○○二。又求丙乙丁角得九度四十五分，三己丙弧或己乙丙角，内减去丁乙丙角，馀丁乙己为三十四度五十六分半。其馀以满半周为丁乙甲角，是为一百四十五度四十八分半。
图

四丁乙甲形，有甲乙、〈全数〉乙丁〈前所算〉两腰及丁乙甲角，求丁甲边为一○三九○二，又求丁甲乙角得一度

三十三分，乃均数之度分也。其号为减，〈引数未过半周〉减之得丁甲庚角，为四十二度二十四分。又以最高之宫度加之，得丁点〈次轮心〉在大火宫十八度二十四分。先测水星在本宫二度三十五分，相减得较为十五度四十九分，乃次轮之视差也。均数也。图上为丁甲辛角，测为晨刻则水星在太阳后次轮右边，
五丁辛甲形，有丁甲〈先所算〉丁辛〈先所设〉两边及辛甲丁角、〈次轮视角〉求辛丁甲角得三十一度三十三分，乃辛丁午角、或辛午弧，水星体距小轮极近处午点之度分。又加半周〈一百八十度〉得二百一十一度有奇，即壬午辛弧。然所定次轮极远非远于地心，乃比平行为远。
故图中命作癸午线，与己甲平行，而壬丁癸角恒于乙甲丁均角为等。

则因先均数类亦均之，若加，加之；若减，减之，今减得癸午辛弧为二百一十度○分。乃当时水星次轮上之行。
本章多禄某所记及前第五章所记，第谷十测中第五测，两测相比中积为一千八百五十一年又五十五日十一小时，依法化年为日，
总积平年为三百六十五日，第四年闰一日为三百六十六日。

得六十七万六千一百三十二日为法。
两测次轮之行相减，得较为八十三度二十五分，因今测小，则以愬到古测，或满全周少八十三度有奇，或满全周外多二百七十六度三十五分，中积时水星行满次轮全周，为五千八百三十六转，外二百七十六度有奇，化作秒，得七五六四四九七○○○为实，以前法入实，而一得一日之行，为一一一八四秒有奇，约之得水星次轮上一日之行为三度六分二十四秒有奇，〈欲穷其数各再化作忽算之〉有一日可得一年、百年之行，又以分法可算一时一分之行。
水星一小时行七分四十六秒，
一日行三度六分二十四秒，
一平年行三全周，外有五十三度五十三分三十二秒，
一闰年三全周，外行五十七度三分五十六秒。一百一十五日二十一小时三分二十二秒，行小轮一周。〈以上原本历指卷二十一五纬之六〉