钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第五十四卷目录

历法典第五十四卷

历法总部汇考五十四

新法历书四

恒星历指三

以恒星之黄道经纬度求赤道经纬度第一下。〈凡三章〉
求恒星赤道经度前法〈第二法〉

前法求纬度，用曲线三角形，并两腰，分盈缩适足三等，加减得之。此为黄经纬求赤经纬，以二求二故也。
图

既得赤纬，则以三求一，故不拘大小皆归一。法止用两纬度之馀弧，及见角之馀角，以推他角所对赤道经度之馀弧。
如图，甲丙为星赤道纬之馀弧，甲乙为黄道纬之馀弧，甲乙丙为对黄经度之见角，丁乙庚其馀角。是甲

乙丙三角形内，有三边，有乙角，今求甲丙乙他角以推戊己，是为赤道经度之馀弧。
假如甲为大角星，其赤道纬于崇祯元年得二十一度一十○分五十一秒，为甲戊，其馀弧甲丙六十八度四十九分，得正弦九三二四四，为第一率。黄道纬三十一度○二分三十○秒，为庚甲，其馀弧甲乙五十八度五十七分三十○秒，得正弦八五六七九，为第二率。其黄道经度过秋分辛一十九度○二分三十○秒，为辛庚，即甲乙丙角之馀弧，庚丁必七十度五十七分三十○秒，得正弦九四五二八，为第三率。求得八六八五六为戊己弧之正弦，查得戊己弧六十度一十七分三十○秒，以减象限存二十九度四十二分三十○秒，为大角星秋分后之赤道经度。
求赤道经度后法〈第三法〉

用简平仪与前求纬法同。今所求者，为辰卯弧，而先得者赤黄二纬度。故三角形之底线与黄道平行，星纬弧与两道距弧在图左即相加，在图右即相减。如左图，乙为勾陈大星，其黄道纬六十六度○二分，其
图

先得之赤道纬甲癸八十七度一十九分，辛壬为黄赤距弧，〈二十三度三十一分三十○秒〉以加赤道纬度弧壬丙，〈八十七度一十九分〉得辛丙。〈一百一十度五十分三十秒〉总弧其通馀弧丙寅之正弦，〈九三四五七〉为丙庚也。又因星在图之右，应以星纬弧两道距弧相减，得〈六十三度〉四十七分三十秒，
为寅子弧。其正弧〈八九七二○〉为子未或己庚，
以减丙庚正弦，馀〈三七三十，〉为丙己，半之，存〈一八六八，〉为丙戊。今本星黄道纬弧〈六十六度○二分，〉为辛午，其弦〈九一三七八，〉为丁庚，以减丙庚正弦，得丙丁〈二○七九，〉因以丙戊为第一率，丙甲全数为第二，丙丁为第三，得丙乙弦〈一一一二九六，〉去其首位，〈丙甲全数〉存〈一一一九六，〉为甲乙弦所对辰卯弧，〈六度二十九分一十秒〉即本星之赤道经度。
并求恒星赤道经纬度〈第四法〉

依前法，用立成表可并求经纬度且省算。如左图，星
图

在甲，其黄道纬甲丁经丁庚，而求赤道纬，甲乙经乙庚，即用此两曲线三角形取之。其法于甲乙丙三角形内，因三表，可得甲乙弧，为赤纬，及丙乙弧，以得乙庚赤经。先用赤道升度表查取相当之黄道经度。如图，戊庚为赤道弧，辛庚为

黄道弧，今反以辛庚为赤道，即原黄道之丁庚升度。今以当赤道之弧，即可得相当之庚丙上度也。次以黄赤距度表，用其经弧，查其纬弧。既得经弧之度丙庚，即知两道相距之纬度丙丁也。更用过极圈截黄交角表，因辛庚当赤道，即星上过极之壬丙弧，截见当黄道之戊庚弧于丙，则得甲丙乙交角。次以黄纬甲丁加两道距丁丙，得甲丙，为第一三角形之弧。夫甲乙丙既为直角，又有后得之甲丙乙角，即先推甲乙弧为星之赤道纬，后得乙丙以减先得之丙庚，存
图

乙庚为星距分节之经弧。假如娄宿东星于崇祯元年距黄道北〈九度五十七分，〉距春分节〈三十二度二十九分四十八秒，〉为见当赤道上之黄道升度丁庚也。而在大梁宫，查升度表于大梁宫，得其度分。其相当者，为见当黄道上之度〈三十四度四十八分，〉庚丙也。又用
图

两道距度表，以庚丙弧四度四十八分，于大梁宫查其相当之距纬，得〈一十三度一十○分，〉为黄赤距度丙丁。又以庚丙弧之度分于交角表查大梁宫之四度四十八分，得〈七十度二十○分二十四秒，〉为甲丙乙角。今以甲丁〈九度五十七分，〉加于丁丙〈十三度一十分，〉得〈二十三度〉○七分。
为三角形之弧甲丙。其正弦〈三九二六○，〉为第二率。
甲丙乙角之正弦〈九四一六七，〉为第三率。甲乙丙直角全数为第一率。求得〈三六九九九，〉为第四率，即甲乙弧之正弦，查得〈二十一度四十二分五十三秒，〉为本星距赤道之纬弧。又以甲乙丙角全数为第一率，甲丙乙馀角〈一十九度三十九分三十六秒〉之弦〈三三六四四〉为第二率，甲丙弧之切线〈四二六八八〉为第三率，而求乙丙底弧之切线，得〈一四三六四，〉为第四率。查得：〈八度一十分二十六秒，〉以减庚丙弧〈三十四度四十八分，〉存〈二十六度三十七分三十四秒，〉为本星赤道之经弧乙庚。
图

若经少纬多，星越赤道极之轴线戊丁，而近黄道极。法当先用升度表，次用黄赤距表，又次用交角表，以三率求乙丙，则甲丙乙角之馀弦与甲丙弧之切线相乘，得数为乙丙弧之切线，内减先升度表所取之丙丁弧，馀丁乙，以减三百

六十度，所馀环周之大丁乙，即赤道经也。再以丙角、甲丙正弦相乘，得数即赤道纬甲乙。
若黄纬过九十度之外，诸法同前，但去九十度而用零数。法以零数之馀弧，取其正弦，乘丙角之正弦，得甲乙纬。又以零馀弧之切线，乘两角之馀弦，得丙乙之馀切线。又以所去九十度加丙乙，内减升度丙丁，所存，以减全周所存通弧，为本星之赤道经度。假如紫微垣新增少弼外南星，其黄经五十○度○九分，黄纬八十○度三十八分，查升度表得五十二
图

度三十五分，为丙丁。查距度表，得一十八度二十九分，为丙己。查交角表，得七十五度一十二分，为丙角。今以距度丙己加黄纬甲己，得甲丙九十九度○七分，为过象限则去九十度，独用其零数九度○七分，以其馀弧八十○度五十

三分，查八线表，得九八七三七，为正弦。以乘丙角之正弦九六六八二，得九五四五○一，为赤纬甲乙之正弦。查得七十二度三十九分，又查馀零弧八十○度五十三分，其切线六二三一六○，以乘丙角之馀弦二五五四五，得一五九一○六，为丙乙之馀切线。查得三十二度○九分，以加前所去九十度，得一百二十二度○九分，内减升度丙丁五十二度三十五分，存六十九度三十四分，以减全周三百六十，存二百九十○度二十六分，为本星之赤道经度。
图

若星在黄赤道之间，法以黄纬减黄赤距度，其馀同前，用相乘之数减丙丁所得数，为赤经数。若星在两道南，丙丁为赤经，法当以乘出之乙丙数，加乙丁，为赤道经度。是黄经短，赤经长也。
前所求在降娄、大梁、实沈
图

三宫则可，若在鹑首、鹑火、鹑尾，其法异是，何也。此星方位出象限之外，经度巳转过至节，故前减者此宜加，前加者此宜减。又前黄纬过九十度，即越北极轴线，故减于三百六十度，内方得所求。今从春分转至秋分，虽过九十度而无轴
线可越，〈不得至黄南极故也〉故不必减于全周，自秋分以往，对
待六宫如寿星，至娵訾，俱同前法。但星在南左，用北右法，星在南右，用北左法，此为异耳。
以度数图星象第二〈凡三章〉
平浑仪义

古之作者，造浑天仪以准天体，以拟天行，其来尚矣。后世增修递进，乃有平面作图为平浑仪者，形体不甚合，而理数甚合。为其地平圈、地平距等圈、及过天顶横截之弧，与天夫黄赤二道，黄赤距等圈，及过两极横截之弧，皆确应天象。故以此言天，特为著明，能毕显诸星之经纬度数也。历家称为至公至便，超绝众器。今详其应用多端，不后于浑仪。其要约简易，则胜浑仪。且浑仪所用大环，欲其纤毫不爽，势不可得。未若平面之直线当一环，圆界当一环，直者必直，圆者必圆，无可疑也。然论其本原，即又从浑仪出，何者。凡于平面图，物体若依体之一面绘之，定不合于全体。必依视学以物影图，物体或圆或方，或长短，各用其远近、明暗、斜直之比例，则像在平面，俨然物之元体矣。但光体变迁，出光之处无数，则所作影亦无数，而受影之半面，有正有偏，则影之变态又无数。故视学家分为二品：一为有法物像，一为无法物像。〈以可用为有法不则无法〉今论浑仪之影，能生平仪义，本于此。必求平面之上能为实用，可显诸曜之度数，以资推算者，则为有法。而于诸无法像中，择其有法者，特有三：一设光于最远处照浑仪，正对春分或秋分，则极至交圈为平面之圈界，以面受影，即显赤道及其距等圈，皆如直线。而各过极经圈皆为曲线之弧，此有法之第一仪也。次设光切南极，则赤道为平面之圈界，诸赤道距等皆作平面上圆形，而极至交圈又如直线，此为有法之第二仪也。又次设光切春分或秋分，在极分圈与赤道之交，则亦以极至交圈为平面之圆界，以面受影，即赤道与极分交圈为直线，而其馀皆为曲线之弧，此有法之第三仪也。今绘星图，惟用第二仪，次则第三，以其正对恒星之度。其第一仪不用也，为是平浑所须井论之。
总星图义

设浑仪以北极抵立平面，其轴线为平面之垂线。有光或目切南极，正照之仪上设点，其影或像必径射于平面，即北极居中，设点之影去北极渐远者，其在平面之两距亦渐远，乃至南极，则为无穷影，终不及于平面矣。又平面之上，北极所居点为过两极轴线之影，为浑仪众圈之心。平面上诸赤道距等圈离此愈远，即其影愈宽大，至近南极者，则平面无可容之地也。假有浑仪为甲、丙、乙、丁，甲为南极，乙为北极，以乙极抵丑乙子平面，有光或目在甲极，光照近北极
图

之圈，辰己即其影，自己迄辰为本圈之全径，因以乙为心，己辰为界，即平面作圈，准浑仪之实环也。又照夏至圈癸壬之圆界，其影至卯寅，即以卯寅为径，次照赤道圈丙丁之圆界，影至己戊，以己戊为径，各如前作圈，各得准其本环。次

有冬至圈辛庚，虽近甲南极，小于赤道之丙丁圈，而影在平面为丑子，反大于赤道影己戊，盖乙甲丑角大于乙甲己角故也。若至午未，南极圈，其影在平面更远，而终竟可至。惟甲南极为左右直影，与子丑平行，终不至于平面也。今作星图，不用两至两极圈，独用赤道之左右度分，度分近乙北极，即平面上影相距亦愈近，远亦愈远，经度既尔，纬度亦然。盖经度从心向外出线，其左右各侣线愈远心，相距亦愈广。纬度从心向外作圈，其内外各侣圈愈远心，相距亦愈
图

宽也。问：经度远心即愈广，易见矣，何以知星之纬度在平仪之上愈远心，相距愈宽乎。曰：以几何徵之，设有甲乙丙丁圈，以全径甲丙抵戊己平面为垂线，若平分圈界，如一十二，从甲出直线各过所分圈界，至戊己庚辛，平面上各点得
图

戊庚宽于庚辛面，庚辛又宽于辛壬，馀线尽然。盖从甲出各侣线，至平面以各底线连之，其各腰与各底为比例，则甲庚与庚辛若甲壬与壬辛也。今甲庚大于甲壬，则庚辛必大于辛壬。〈见几何第六卷第三题。〉试以丙为心，作壬辛庚三侣圈，其在
仪各所分圈界，则为距等，而壬辛之相距，与辛庚之
相距，广狭大异矣。依此作图，则去心远者，各所限经纬度渐展渐大；与近心者不等，而经纬度之比例恒等，即所绘星之体势与天象恒等。不然者，经度渐展，纬度平分，依经纬则失体势，依体势则失经纬，乖违甚也。
斜圈图圆义

浑仪诸圈有正有斜，正者如赤道圈、赤道距等圈、及诸过极经圈也。斜者如黄道圈、地平圈、及其各距等圈也。以视法作为平面图，设照本〈或光或人目〉在南极，则正受照之圈影至平，面必成圈形或直线，如前说矣。若斜受照之圈，其影在平面当作何形像乎。此当用角体之理明之。按量体法〈测量全义六卷〉中论角体，有正角，有斜角，两者皆以平圆面为底，皆以从顶至底心之直线为轴线，其为正与斜则以垂线分之，若自角下垂线至底与轴线为一，如第一图，甲乙垂线即甲丙丁戊角形之轴线，则甲丙丁戊为正角体。若两线相离，如第二图，甲己为轴线，甲乙为垂线，则甲丙戊庚
第一图

丁为斜角体也。更以斜角体，上下反截之，为甲辛壬小角体。
第二图

既斜截为上下两体，更若从轴线自上而下纵截之，为两平分其截面三角形，大小比例相似则名反截之角体，若不合比例，则为无法。
图

依斜角体之本理，则小体之底与大体之底相似，不得不成圆形。今欲推黄道等斜圈，不能正受照本之光，则于平仪面所显何像。法依第二斜角图，以甲当南极照本之点，壬辛为浑仪上斜圈，丙戊庚为平面上斜圈之影，次用三图徵
第三图

为圆影焉。
假如甲乙丙为极至交圈，甲当南极为照本之点，斜受光之圈为乙丁，从甲照之过乙丁边，直射至己戊平面，为甲己、甲戊两线，即得甲己戊及甲乙丁皆直线三角形。此为浑仪平面形影之体势，以角体法论
图

之，己戊为乙丁圆圈之影，即甲己戊为全角体，而甲乙丁其反截之小角体矣。又甲丙垂线非甲庚枢线，即甲己戊为斜角体，而己戊其底自与甲乙丁小角体其底乙丁，各相似也。问：反截之角体，与平面所得三角形，何云两相似乎。
图

凡相似两三角形必三角各等，三边之比例各等，此有诸乎。曰：有之。甲为共角，从乙作直线至辛，与己戊为平行，即甲丙之垂线。而甲乙辛角与甲己戊角俱在平行线上，必等。又甲乙辛、甲丁乙俱在界乘圈之角，而所乘之甲乙、甲辛两

弧等，即两角必等。而甲丁乙与甲己戊两角亦等，其馀角甲乙丁及甲戊己亦等，则乙丁小角体之底，与其所照平面上之己戊，必相似也。凡斜圈之弧近于照本，其影必长，距远则短。如从南极照黄道斜圈，其半弧乙在赤道南，近甲，即甲己必长于甲戊。然分较之，虽南影长于北影，合较之则平面上圆影不失黄道之圆影矣。
问：以视法图，黄道既为圆形，从何知其心乎。曰：从照本之点出直线为斜圈径之垂线，引至平面，则黄道
图

之心也。盖本图大小三角形既相似，而甲丙与甲庚两线又相离，即各分为两三角形，各相似。其甲丙戊与甲丙己一偶也，甲辛乙与甲辛丁一偶也，是以甲己庚角与己甲庚角等，而甲庚线与庚己线亦等，又甲戊庚角与戊甲庚角等，
何者。因前图得己角与丁角等，此图得丁角与乙甲
辛角等，即己角与乙甲辛角亦等，因得乙戊两角等，又得乙角与庚甲戊角等，即戊角与庚甲戊角亦等，而戊庚与甲庚两线亦等，因得戊庚与庚己两线等，而庚为己戊径之心。
绘总星图第三〈凡三章〉

古法绘星图，以恒见圈为紫微垣，以恒隐圈界为总图之界，过此南偏之星，不复有图矣。西历因恒见圈南北随地不同又渐次不同，故以两极为心，以赤道为界，平分为南北二图。以全括浑天可见之星，此两法所繇异也。
赤道平分南北二总星图

以规器作赤道圈，即本图之外界也。纵横作十字，二径平分为四象限，限各九十，又三分之，分各三十，又五分之，分各六，又六分之，分各一，此为全周三百六十度矣。次从心至界上依度数引直线，为各经度。其作纬度有二法：一用几何则依界上经度于横径之左，定尺于横径之右，上下游移之，每度一界限度。
图

界限度者，或一度、二度为一限，或五度、十度为一限，以至九十。
即于直径上作识，则直径上下所得度与界限度各相应而疏密不等，经纬相称矣。用数则依切线表，求界限度之相当数，以规器取之。
图

用比例规甚便，无规先作半径，百平分之，用以取数。
若表中求一十度，即径上下得二十度，表中求二十，径上下得四十，所得比所求恒多一倍也。
假如欲依界限度以分径，如第一图，甲乙、丙丁为赤
图

道所分径，为甲丙于乙上，定尺从右径末丁向上移尺至一十二十等限，于甲丙径上作戊己等一十、二十诸识，各识愈离心，其侣距愈远矣。若以数分之，依第二图，如求四十度癸庚，则表中查二十度之切线相当数，为三十六。用规器

向庚辛直线，取庚子三十六，移至甲乙径上，自中心乙至己为三十六，即得四十度矣。盖以丁为心，作乙丙象弧。其半弧乙壬之切线为平面之半径甲乙，即乙己为二十度弧乙戊之切线。若引丁戌割线至庚，则癸庚得四十度，与前法合也。
见界总星图

见界总星图者，以北极为心，以恒隐圈为界，此巫咸、甘石以来相传旧法也。然两极出入地平，随地各异。而旧图恒见恒隐，各三十六度。三十六者，嵩高之北极出地度耳。自是而南，江淮间可见之星，本图无有也。更南，闽、粤、黔、滇可见之星，本图更无有也。则此为嵩高之见界总图，而非各省直之见界总图也。又赤道为天之大圈，其左右距等侣圈，以渐加小，至两极各一点耳。于平面作图而平分纬度，自极至于赤道，纬度恒平分，而经度渐广。广袤不合，即与天象不合。向所谓得之经纬，失之形势，得之形势，失之经纬者也。况过赤道以南，其距等纬圈宜小而愈大，其经度宜翕而愈张，若复平分纬度，即不称愈甚，其相失亦愈甚矣。今依此作图，宜用滇南北极出地二十度为恒隐圈之半径，以其圈为隐见之界，则各省直所得见之星无不备载，可名为总星图矣。又依前法为不等纬距度，向外渐宽，则经纬度广袤相称，而星形度数两不相失矣。但前以赤道为界，设照本在南极，所求者止九十纬度，则所用切线半之，止四十五度，至赤道止矣。用为平图之半径，经纬度犹未甚广，足可相配，若此图则否，其半径过赤道而外尚七十度，并得一百六十度，半之为八十度，从南极点出直线，必
图图

剖圆八十度，乃合于百六十度之切线也。此其长比赤道内之半径不啻五倍，经纬皆愈出愈宽，以比近北极之度分，大小殊绝矣。如右图，甲为平图之心，乙为南极，甲丙为半径，亦即为四十五度甲戊弧之切线。若从乙出直线割八十度之弧甲丁，然后与甲丙引长百六十度之线遇于己，其长于甲丙几及六倍也。如是而依本法作图，若图幅少狭即北度难分，若北度加宽，即图广难用矣。今改立一法，设照本稍出南极之外，去极二十度起一直线，以代乙己，其与甲
图

丙之引线不交于己，而稍近丙，以敛所求之度，定平图之半径，则广狭大小皆适中矣。但照本所居，宜有定处。去极远则切线太促，不能分七十度之限，太近则半径过长，略同前说也。今法如上图，甲为平图之心，欲其外界出丙己壬赤

道之外，远至七十度。先求照本，随所照光图之作甲丙直线，去赤道径甲癸七十度正，次作乙丙垂线为二十度之正弦，次作丙丁线为二十度之切线，令丁点在南极之外，为照本则甲丙与乙丙，若丙丁与乙丁，何者。甲乙丙、乙丙丁两三角形相似故也。次引丁丙切线与甲癸之引长线遇于辛，则辛点定百六十度之限，为平图之半径矣。次以纬度分甲辛线，恒令丁戊与戊己若丁甲与甲庚，则赤道内庚分向北之纬度，赤道外庚分向南之纬度也。欲得各丁戊线，以
图

加减取之，向南距度之正弦以减甲丁割线，得小丁戊，因得大甲庚，向北距度之正弦以加甲丁割线，得大丁戌，因得小甲庚也。盖正弦虽在癸己左右，因甲戊其平行线，即与正弦等，故
图

左边为北，右边为南。
问：赤道纬度其内外广狭既尔不齐，则欲作黄道圈，用何法乎。曰：此因照本不切南极，以照黄道斜圈之边，不能为直角，即不能为轴边之心而有二心，故其影不前为正圆，而微成撱圆，与前南北平分总图稍异法也。当于甲辛径上从

赤道回内数黄赤距二十三度三十一分三十○秒，若所得为子午，即作午壬直线平分之于未，从未出垂线向甲辛径上，得黄道，向北半圈之心为下庚，而其边依纬度之狭则小。次于赤道外自癸至辛数得二道距度，如前，求得黄道向南半圈之心为上庚，其边因纬度之宽则大也。
极至交圈平分左右二总星图

前分有法物象三仪：其第一，照本在最远者，星图所不用，其用者第二第三也。第二法，照本在南极，以赤
图

道圈为平面界，则前说赤道平分二图是已。第三法，照本在二分，以极至交圈为平面界。今解之，设照本切春分，即用所照平面之心以准秋分，以极至交圈为界，赤道圈、极分交圈则为直线，诸赤道距等圈、诸过极经圈则为曲线之弧，
图

以此定经纬度，及半天恒星之方位也。又设照本切秋分，则以春分为心，其馀圈影皆同上，可定馀半天恒星之方位矣。图法先作极至交圈为图界，假设甲乙丙丁圈为赤道，
本极至交圈假为赤道，借用第一图，
图缺平分三百六十度，借丙点为赤道与极分圈之交，从丙向己庚等边界引直线，过乙丁径作辛壬等识，即各过极圈之经度限也。次即用甲乙丙丁圈为极至交圈，〈即第一图〉则甲辛、丙甲、壬丙等过极经圈之弧可定恒星之赤道经度矣。次欲
图

作赤道距等圈，先假设甲乙丙丁为极分交圈。
本极至交圈假为极分，借用第二图。
借乙点为赤道与极分圈之交，从乙向己庚等边界引直线，过甲丙径，上作辛壬等识，即各赤道距等圈之纬度限也。次即用甲乙

丙丁为极至交圈，〈即第二图〉则己辛、庚壬等皆赤道距等之弧，而丁戊乙为赤道，可定恒星之赤道纬度也。若欲以黄道为心作图，则以乙丁线当黄道，甲丙为黄道之两极，而乙丁上下距等之弧皆可定恒星之黄道纬度。平面界圈亦为过黄道极之经度圈，如前所作赤道平分，二图皆改赤道极为黄道极，赤道面为黄道面，皆可定恒星之黄道经纬度也。
恒星有等无数第四〈凡三章〉

恒星以芒色分气势，以大小分等第，所载者有数，不能载者无数可尽也。今略论其体等及其大数，别定黄赤二道之经纬度，作图作表如后卷。
恒星分六等

古多禄某推太阳、太阴本体之容积，先测其视径，及月食时之地影，及地球之径容，展转相较，乃能得之。〈详见三大论〉后巴德倪借用其法，以考五星及恒星离地之远，又测诸大星之视径。如图，甲辛为太阳离地之远，其视径甲乙为太阳居最高及最高冲折中之半径也。今设丙为镇星，其离地为辛丙，即太阳之半径，
图

至此见如丙戊，而镇星居此所见大，仅得太阳视半径一十八分之一，为丙丁，用三率法，辛丙与丙戊若辛甲与甲乙。次以地径推得丙戊总线数，即可得丙丁分线数。古法推七政及恒星之体，大略如此。盖因其视径及距地之远，可得

浑体之容积也。但恒星已知离地最远而无视差可考，止依其视径以较五星，即其体之大小，十得七八矣。第谷则以镇星较之，因测镇星得其视径一分五十秒，亦微有视差，为一十五秒弱。推其离地以地半径为度，得一万○五百五十，因得其全径，大于地之全径二倍又一十一分之九，是镇星之浑体，容地之浑体二十有二矣。此测为镇星居最高、最高冲折中之数也。若在最高测其距地，为地半径一万二千九百。〈后论五星更详此理〉而恒星更远居其上，设加一千，即约为一万四千，因以所测之视径分其差等。
先测明星，如心宿中星、大角，参宿右肩等，其视径二分，即得大地四径有奇，何也。因设星离地一万四千，依圈界与圈径之比例，〈径七围二十二〉即星所居之圈界，得八万八千三百，六十分之，每度得二百四十四○九分之四，又六十分之，每分得四视径，二分得八有奇，是恒星之全径二分，当浑地之八半径也，即四全径也。又以立圆法推之，即此星浑体之容大于浑地之容六十有八倍，此为第一等星也。此一等内尚有狼星、织女等，又见大一十五秒，其体更加二十馀倍，若见小一十五秒，如角宿距星等，即反之，其体减二十馀倍。
次测北斗、上相、北河等。其视径一分三十○秒，设其距地与前等，推其实径大于地径三倍有奇。而其浑体大于地之浑体二十八倍有奇，此为第二等。又次测娄、箕、尾、三、宿等星。其视径一分○五秒，依前距地之远，其实径大于地径二倍又五分之一，其体大于地体近一十一倍，为第三等。
又次测参、旗、柳、宿、玉井等星。其视径四十五秒，其实径与地径若三与二，其体大于地体四倍有半，为第四等。
又次测内平、东咸、从官等小星。得视径三十○秒，其实径与地径若五十与四十九，其体比于地体得一又一十八分之一，为第五等。
又次测最小星如昴宿左更等。得视径二十○秒，其实径与地径若一十五与二十二，即其体比于地体得三分之一，为第六等。
右恒星相比，约分六等。若各等之中，更有微过或不及。其差无尽，则匪目能测，匪数可算矣。
或问：前言恒星居镇星之上，离地皆等，故依其视径以推其体之大小则不等，若设其远近不等，即其实径不随其视径，从何推知其体乎。曰：假令诸恒星之体实等，因其中更有远近不等故。见有大小不等，即以六等星比第一等，所见小大乃尔，必更远于前率十馀倍矣。盖测此大小星，比其视径。如天田西星与大角星，差一分五十五秒，即其远近距当得一十四万一千大地之半径，与镇星最高及大角之距地略等。此中空界，安所用之。且小大彬彬，杂以成文，物之理也。若何舍此而强言等体乎。七政恒星远近大小皆从视径视差，展转推测，理数实然，无庸不信然。而宏阔已甚，犹有未经测算难于遽信者焉。况此远近等体之说，非理非数，则是虚想戏论而已，又谁信之哉。
恒星无数

自古掌天星者，大都以可见可测之星求其形似，联合而为象，因象而命之名，以为识别。是有三垣，二十八宿，三百座，一千四百六十一有名之星焉。世所传巫咸、石申、甘德之书是也。西历依黄道分十二宫，其南北又三十七像，亦以能见能测之星联合成之，共得一千七百二十五。其第一等大星一十七，次二等五十七，次三等一百八十五，次四等三百八十九，次五等三百二十三，次六等二百九十五。盖有名者一千二百六十六，馀皆无名矣。然而可图者，止此。若依法仰观，所见实无数也。何谓依法。今使未谙星历者，漫视之而漫数之，樊然淆乱，未足实證其无数也。更使谙晓者按图索象，则依法矣。如是令图以内之星悉皆习熟，若数一二然。而各座之外，各座之中，所不能图，不能测者，尚多有之，可见恒星实无数也。更于晴明之夜，比蒙昧之夜又多矣。于晦朔之夜，比弦望之夜又多矣。以秋冬比春夏又多矣。以利眼比钝眼又多矣。至若用远镜以窥，众星较多于平时不啻数十倍，而且光耀粲然，界限井然也。即如昴宿传云七星，或云止见六星，而实有三十七星。鬼宿四星，其中
鬼宿中积尸气图

积尸气相传为白气，如云耳。今如图，甲为距星，乙为本宿东北大星，其间小星三十六，瞭然分明可数也。他如牛宿中南星，尾宿东
觜宿南小星图

鱼星，传说星觜宿南星，皆在六等之外，所称微茫难见者，用镜则各见多星，列次甚远。假如觜宿南一星

数得二十一星，相距如图，大小不等，可徵周天诸星实无数也。
天汉

浑天众圈有大有小，如黄、赤二道，过极经圈极至极分交圈、地平圈等，凡与地同心者，皆大圈也。如冬夏二至圈，常见常隐圈、各距等圈，凡与地不同心者，皆小圈也。若天汉者，论其界不可谓圈。凡圈以圆线为界，此以广面为界故也。论其心实与黄赤二道相等，不可谓非大圈。盖其心必同地心，且两交黄道，两交赤道，旁过二极，皆一一相对，正与黄道相反，斜络天体平分为二故也。欲测其广，无定数，大约两至之外广于两至之中，从天津又分为二，至尾宿复合为一。过夏至圈以井宿距星为限，正切鹑首初度，过北极，西距二十三度半前。过冬至圈则星纪初度约居其中，又转至南极，东距亦二十三度半，而复就夏至，总为过两至与黄道相反之斜圈也。古多禄某测其两涯所过星宿，与近世不异。在赤道北则从四渎，始南三星当其中，北一星不与焉。次水府，次井西四星切其左边，天关一星五车口切其右，更前积水在左，大陵从北，第二星在右，王良所居在其中，若洲渚然。次天津横截之，两端平出其左右，河鼓中星在右，其对边为天市垣齐星，此赤道北两涯所经诸星也。在赤道南者，以天弁东星为界，次斗第三星，次箕南二星，其对边则天市垣未星，尾宿第一星，而入于常隐之界，迨过南极以来复起于天稷，过弧矢天狼以至赤道，此为赤道南所经诸星也。
问：天汉何物也﹖曰：古人以天汉非星，不置诸列宿天之上也，意其光与映日之轻云相类，谓在空中月天之下，为恒清气而已。今则不然，远镜既出，用以仰窥，明见为无数小星。盖因天体通明映彻，受诸星之光，并合为一，直是清白之气与鬼宿同理，不藉此器，其谁知之。然后思天汉果为气类，与星天异体者，安能亘古恒存。且所当星宿又安得古今寰宇若画一哉。甚矣，天载之元而人智之浅也。温故知新，可为惕然矣。〈按以上原本作历指卷四，误当作历指卷三恒星之三。〉
恒星经纬图说〈附〉
第一见界总星图说

见界总星图者，以赤道之北极为心，以赤道为中圈，以见界为界。见界者，取北极出地三十度为限，则闽粤以北可见诸星，无不具在矣。自此以南，难以复加者，为是浑天圆体，赤道以南，天度渐狭，而在图则渐广，形势相违，是故无法可以入图也。必用赤道为界，分作二图，以二极为心，然后体理相应。故作赤道南北二总图次焉。本图外界分三百六十五度四分度之一者，赤道经度也。正南北直线名子午线，线上分极以南，极以北，各一百六十度者，赤道纬度也。从心至界分二十八直线者，依二十八宿各距星分二十八宿各所占度分也。此各宿度分，公元史载古今前后六测，如汉落下闳，唐僧一行，宋皇祐、元丰、崇宁，元郭守敬等，或前多后寡，或前寡后多，或寡而复多，多而复寡，种种不一。元世造历者，推究至此，茫然不解。但揣摩臆度，以为非微有动移，则前人所测或有未密而已。夫谓前人未密，他术有之。此则千四百年如彼其久，二十八宿如彼其多，诸名家所测如彼其详，而悉无一合，安得悖谬至是，且其他诸法又何以不甚参商，谓繇误测，必不然也。若曰：微有动移，庶几近之，而又不能推明其所以然之故。今以西历详考黄赤经纬变易，盖二十八宿分经者，从赤道极出线至赤道乃止。而诸星自依黄道行，是以岁月不同，积久斯见。若精言之，则日日刻刻皆有参差，特此差经二万五千四百馀年而行天一周，正所谓微有动移，非久不觉，故后此数十年、百年，依法推变，正是事宜，而前代各测不同者，皆天行自然，非术有未密也。此说已具恒星历次卷中，今略举一二。如北极天枢一星，古测去离北极二度，后行过北极，今更踰三度有奇矣。觜宿距星汉落下闳测得二度，唐一行宋皇祐、元丰皆一度，崇宁半度，元测五分，今测之不啻无分，且侵入参宿二十四分。今之各宿距星所当宫度，所得多寡，悉与前史前图不合，盖缘于此。此图皆崇祯元年戊辰实躔赤道度分，其量度法如求某星之经纬度分若干，用平边界尺从图心引线切本星视图边，得所指某宫某度分，即本年本星之赤道经度分。次用规器，依元定界尺，从赤道量至本星以为度，用元度，依南北分度线上量得度分，即本年本星之赤道纬度分。次视本图本星所躔宫分，查本宫表所注度分，即知绘图、立表、测天三事悉皆符合，若黄道在本图中，止画一规及经度，其查考经纬度分别具黄道分合各图中。
第二赤道南北两总星图说

赤道南北两总星图，一以北极为心，一以南极为心。皆以赤道为界，从心出直线抵界，凡十二者，为十二时线。又细分为三百六十，则赤道经度也。与总图所分经度不同者，彼分三百六十五度四分度之一，准一岁日行周天之数，名为日度。此平分三百六十，名为平度也。凡造器测天，推步演算，先用平度，特为径捷。测算既就，以日度通之，所省功力数倍，故两用之也。其正南北直线为子午线，平分十二宫，左右各六，线上细分南北各九十为赤道纬度，亦平度也。去极二十三度半有奇，复作一心者，黄道极也。从黄极出曲线抵界，亦十二者，黄道经度也。分十二宫三百六十度，其黄赤同度同分者，独二分、二至、四线，其馀各有参差。欲考黄赤异同，于此得其大意矣。南总图自见界诸星而外尚有南极旁隐界诸星，旧图未载此，虽各省直未见，从海道至满剌加国悉见之。满剌加者，属国也。考一统志舆地图，凡属国越在万里之外，皆得附载，何独略于天文。如海南诸国，近在襟带间，所见星辰历历指掌，而图籍之中可阙诸乎。惟是向来无象无名，故以原名翻译附焉。查考赤道经纬度法略同见界总图，不具论。若赤道左右星座为赤道所截，分载两图，求其全像，亦在见界总图矣。
第三黄道南北两总星图说

黄道南北两总星图，一以黄道北极为心，一以黄道南极为心。皆以黄道为界，从心出直线十二抵界者，分黄道十二宫。次又细分为三百六十平度，为黄道经度。南北直线从心上下各细分九十平度，则黄道纬度也。凡恒星、七政，皆循黄道行，与赤道途径不同，故行赤道经纬，时时变易，其行黄道经纬，则终古如一矣。前赤道三总图，后黄道二十分图，皆书各星座名数，与立成表相符，足备简阅，此不烦赘述。故加七政字号，分别某恒星之芒色气势，与某政相若，因七政情性可得本星情性，考其会聚冲照三合、四合、六合中，有下济敷施之理焉。南极旁新译诸星仿此，其近界星座为黄道所截分，属两图，亦查前见界总图，或后黄道分图，皆可得其全像量度，法略同见界总图。后此二十分图从此图出，其分截之处位座未全者，于此二图考之。
第四黄道二十分星图说

分星图独依黄道者，恒星与七政皆循黄道行，依此为分，其正术也。必用分图者，总图尺幅既狭，如星座，如宫次，如度分，如等第，未能明皙，用以證合天象，颇觉为难。分之则一览瞭然，世传丹元子步天歌分三垣二十八宿为三十一图，台官亦有为圆方二图者，皆本此意。但步天歌悉不载宫度、方图，稍分宿次，亦系旧率，其经纬度分悉未开载星形等第，与天象不能尽合，则两图等耳。今分为二十图，首一图即紫微垣，而与旧图略异者，彼以赤道之北极为极，此以黄道之北极为极也。彼以恒见星为界，故从心至界为三十六度，是嵩高之恒见星界，他方不然。今取三径均平，止二十二度半，盖以黄极为极，则恒见诸星不复可论也。外周分黄道三百六十平经度，全径四十五，则此图之黄道平纬度是名北极分图也。次六图上狭下广，上狭者，各以本宫本度与北极分图相接；下广者，亦以本宫本度各与黄道中界六图相接也。以十二宫次分六图，每图得二宫，每宫得三十，为黄道经度也。北不至黄道北极二十二度半，南不至黄道二十二度半，中间四十五度为此图中之黄道平纬度，是名黄道北界六分图也。又次六图各上下平分，中间最广，为黄道，上下界皆稍狭。上狭者，以本宫度与北界分图相接，下狭者以本宫度与南界分图相接。每图二宫，每宫三十度，为黄道经度，黄道以北近夏至圈，黄道以南近冬至圈，各二十二度半，并得四十五度，为此图之黄道纬度，是名黄道中界六分图也。又次六图上广下狭，上与中界图相接，下与南极图相接，分宫、分度、分经、分纬、与北界分图同法，是各黄道南界六分图也。又次一图与第一图略等，所有诸星皆在恒隐界中，旧传所无，今译名增入，是为南极分图也。诸图中星名位次皆巫咸、甘石、旧传，各依旧图联合，大小分为六等，各以本等印记分别识之中虚者，旧疑非星，因称为气。今用远镜窥测，则皆星也。因恒时不见分异，姑为散圈以象之。其有位座如恒，而星实未见，用青圈为识，与苍同色明其无有之间也。凡若干星合为一座，各以数识之，本座之外，复有馀数，又不相联则其附近之有测新星表中，各注经纬度分星名之下，称为增入者也。其不书数目者，无测之星，表中所未载也。诸图总以黄道为中界，复有曲线斜络于黄道之上下者，赤道也。又有斜络于赤道之上下者，冬夏至线也。其与天体异色，斜络天体广狭不等者，自昔称为云汉，疑与白气同类；其实亦皆星也。若星座同名，而参观两在，觉其体势不同者，因天本浑圜，所分宿度当为弧线。今居平面不免变易，是黄赤同图，则线分曲、直两次，并列则线分斜、正，而安星本法皆依各线布置，遇曲直与为曲直，遇斜正与为斜正，宁使形模小异，尚可證以根繇，傥令经纬微迁，惧无辞于爽谬矣。且一星一表，毫发难移，点缀既毕，自然肖像。非若画绘之家，先想成形而追形定位，虽欲更移秒末以就成体势，固不可得也。量度则两圆图与总图同法，十八方图则上下求经，左右求纬，各以直线求其相等度分，星居两线之交则各两相等度分为星之经纬度分。