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卷五十四

钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第五十四卷目录

 历法总部汇考五十四
  新法历书四〈恒星历指三〉

历法典第五十四卷

历法总部汇考五十四

新法历书四

恒星历指三

以恒星之黄道经纬度求赤道经纬度第一下。〈凡三章〉
求恒星赤道经度前法〈第二法〉

前法求纬度,用曲线三角形,并两腰,分盈缩适足三等,加减得之。此为黄经纬求赤经纬,以二求二故也。


既得赤纬,则以三求一,故不拘大小皆归一。法止用两纬度之馀弧,及见角之馀角,以推他角所对赤道经度之馀弧。
如图,甲丙为星赤道纬之馀弧,甲乙为黄道纬之馀弧,甲乙丙为对黄经度之见角,丁乙庚其馀角。是甲

乙丙三角形内,有三边,有乙角,今求甲丙乙他角以推戊己,是为赤道经度之馀弧。
假如甲为大角星,其赤道纬于崇祯元年得二十一度一十○分五十一秒,为甲戊,其馀弧甲丙六十八度四十九分,得正弦九三二四四,为第一率。黄道纬三十一度○二分三十○秒,为庚甲,其馀弧甲乙五十八度五十七分三十○秒,得正弦八五六七九,为第二率。其黄道经度过秋分辛一十九度○二分三十○秒,为辛庚,即甲乙丙角之馀弧,庚丁必七十度五十七分三十○秒,得正弦九四五二八,为第三率。求得八六八五六为戊己弧之正弦,查得戊己弧六十度一十七分三十○秒,以减象限存二十九度四十二分三十○秒,为大角星秋分后之赤道经度。
求赤道经度后法〈第三法〉

用简平仪与前求纬法同。今所求者,为辰卯弧,而先得者赤黄二纬度。故三角形之底线与黄道平行,星纬弧与两道距弧在图左即相加,在图右即相减。如左图,乙为勾陈大星,其黄道纬六十六度○二分,其


先得之赤道纬甲癸八十七度一十九分,辛壬为黄赤距弧,〈二十三度三十一分三十○秒〉以加赤道纬度弧壬丙,〈八十七度一十九分〉得辛丙。〈一百一十度五十分三十秒〉总弧其通馀弧丙寅之正弦,〈九三四五七〉为丙庚也。又因星在图之右,应以星纬弧两道距弧相减,得〈六十三度〉四十七分三十秒,
为寅子弧。其正弧〈八九七二○〉为子未或己庚,
以减丙庚正弦,馀〈三七三十,〉为丙己,半之,存〈一八六八,〉为丙戊。今本星黄道纬弧〈六十六度○二分,〉为辛午,其弦〈九一三七八,〉为丁庚,以减丙庚正弦,得丙丁〈二○七九,〉因以丙戊为第一率,丙甲全数为第二,丙丁为第三,得丙乙弦〈一一一二九六,〉去其首位,〈丙甲全数〉〈一一一九六,〉为甲乙弦所对辰卯弧,〈六度二十九分一十秒〉即本星之赤道经度。
并求恒星赤道经纬度〈第四法〉

依前法,用立成表可并求经纬度且省算。如左图,星


在甲,其黄道纬甲丁经丁庚,而求赤道纬,甲乙经乙庚,即用此两曲线三角形取之。其法于甲乙丙三角形内,因三表,可得甲乙弧,为赤纬,及丙乙弧,以得乙庚赤经。先用赤道升度表查取相当之黄道经度。如图,戊庚为赤道弧,辛庚为

黄道弧,今反以辛庚为赤道,即原黄道之丁庚升度。今以当赤道之弧,即可得相当之庚丙上度也。次以黄赤距度表,用其经弧,查其纬弧。既得经弧之度丙庚,即知两道相距之纬度丙丁也。更用过极圈截黄交角表,因辛庚当赤道,即星上过极之壬丙弧,截见当黄道之戊庚弧于丙,则得甲丙乙交角。次以黄纬甲丁加两道距丁丙,得甲丙,为第一三角形之弧。夫甲乙丙既为直角,又有后得之甲丙乙角,即先推甲乙弧为星之赤道纬,后得乙丙以减先得之丙庚,存


乙庚为星距分节之经弧。假如娄宿东星于崇祯元年距黄道北〈九度五十七分,〉距春分节〈三十二度二十九分四十八秒,〉为见当赤道上之黄道升度丁庚也。而在大梁宫,查升度表于大梁宫,得其度分。其相当者,为见当黄道上之度〈三十四度四十八分,〉庚丙也。又用


两道距度表,以庚丙弧四度四十八分,于大梁宫查其相当之距纬,得〈一十三度一十○分,〉为黄赤距度丙丁。又以庚丙弧之度分于交角表查大梁宫之四度四十八分,得〈七十度二十○分二十四秒,〉为甲丙乙角。今以甲丁〈九度五十七分,〉加于丁丙〈十三度一十分,〉〈二十三度〉○七分。
为三角形之弧甲丙。其正弦〈三九二六○,〉为第二率。
甲丙乙角之正弦〈九四一六七,〉为第三率。甲乙丙直角全数为第一率。求得〈三六九九九,〉为第四率,即甲乙弧之正弦,查得〈二十一度四十二分五十三秒,〉为本星距赤道之纬弧。又以甲乙丙角全数为第一率,甲丙乙馀角〈一十九度三十九分三十六秒〉之弦〈三三六四四〉为第二率,甲丙弧之切线〈四二六八八〉为第三率,而求乙丙底弧之切线,得〈一四三六四,〉为第四率。查得:〈八度一十分二十六秒,〉以减庚丙弧〈三十四度四十八分,〉〈二十六度三十七分三十四秒,〉为本星赤道之经弧乙庚。


若经少纬多,星越赤道极之轴线戊丁,而近黄道极。法当先用升度表,次用黄赤距表,又次用交角表,以三率求乙丙,则甲丙乙角之馀弦与甲丙弧之切线相乘,得数为乙丙弧之切线,内减先升度表所取之丙丁弧,馀丁乙,以减三百

六十度,所馀环周之大丁乙,即赤道经也。再以丙角、甲丙正弦相乘,得数即赤道纬甲乙。
若黄纬过九十度之外,诸法同前,但去九十度而用零数。法以零数之馀弧,取其正弦,乘丙角之正弦,得甲乙纬。又以零馀弧之切线,乘两角之馀弦,得丙乙之馀切线。又以所去九十度加丙乙,内减升度丙丁,所存,以减全周所存通弧,为本星之赤道经度。假如紫微垣新增少弼外南星,其黄经五十○度○九分,黄纬八十○度三十八分,查升度表得五十二


度三十五分,为丙丁。查距度表,得一十八度二十九分,为丙己。查交角表,得七十五度一十二分,为丙角。今以距度丙己加黄纬甲己,得甲丙九十九度○七分,为过象限则去九十度,独用其零数九度○七分,以其馀弧八十○度五十

三分,查八线表,得九八七三七,为正弦。以乘丙角之正弦九六六八二,得九五四五○一,为赤纬甲乙之正弦。查得七十二度三十九分,又查馀零弧八十○度五十三分,其切线六二三一六○,以乘丙角之馀弦二五五四五,得一五九一○六,为丙乙之馀切线。查得三十二度○九分,以加前所去九十度,得一百二十二度○九分,内减升度丙丁五十二度三十五分,存六十九度三十四分,以减全周三百六十,存二百九十○度二十六分,为本星之赤道经度。


若星在黄赤道之间,法以黄纬减黄赤距度,其馀同前,用相乘之数减丙丁所得数,为赤经数。若星在两道南,丙丁为赤经,法当以乘出之乙丙数,加乙丁,为赤道经度。是黄经短,赤经长也。
前所求在降娄、大梁、实沈


三宫则可,若在鹑首、鹑火、鹑尾,其法异是,何也。此星方位出象限之外,经度巳转过至节,故前减者此宜加,前加者此宜减。又前黄纬过九十度,即越北极轴线,故减于三百六十度,内方得所求。今从春分转至秋分,虽过九十度而无轴
线可越,〈不得至黄南极故也〉故不必减于全周,自秋分以往,对
待六宫如寿星,至娵訾,俱同前法。但星在南左,用北右法,星在南右,用北左法,此为异耳。
以度数图星象第二〈凡三章〉
平浑仪义

古之作者,造浑天仪以准天体,以拟天行,其来尚矣。后世增修递进,乃有平面作图为平浑仪者,形体不甚合,而理数甚合。为其地平圈、地平距等圈、及过天顶横截之弧,与天夫黄赤二道,黄赤距等圈,及过两极横截之弧,皆确应天象。故以此言天,特为著明,能毕显诸星之经纬度数也。历家称为至公至便,超绝众器。今详其应用多端,不后于浑仪。其要约简易,则胜浑仪。且浑仪所用大环,欲其纤毫不爽,势不可得。未若平面之直线当一环,圆界当一环,直者必直,圆者必圆,无可疑也。然论其本原,即又从浑仪出,何者。凡于平面图,物体若依体之一面绘之,定不合于全体。必依视学以物影图,物体或圆或方,或长短,各用其远近、明暗、斜直之比例,则像在平面,俨然物之元体矣。但光体变迁,出光之处无数,则所作影亦无数,而受影之半面,有正有偏,则影之变态又无数。故视学家分为二品:一为有法物像,一为无法物像。〈以可用为有法不则无法〉今论浑仪之影,能生平仪义,本于此。必求平面之上能为实用,可显诸曜之度数,以资推算者,则为有法。而于诸无法像中,择其有法者,特有三:一设光于最远处照浑仪,正对春分或秋分,则极至交圈为平面之圈界,以面受影,即显赤道及其距等圈,皆如直线。而各过极经圈皆为曲线之弧,此有法之第一仪也。次设光切南极,则赤道为平面之圈界,诸赤道距等皆作平面上圆形,而极至交圈又如直线,此为有法之第二仪也。又次设光切春分或秋分,在极分圈与赤道之交,则亦以极至交圈为平面之圆界,以面受影,即赤道与极分交圈为直线,而其馀皆为曲线之弧,此有法之第三仪也。今绘星图,惟用第二仪,次则第三,以其正对恒星之度。其第一仪不用也,为是平浑所须井论之。
总星图义

设浑仪以北极抵立平面,其轴线为平面之垂线。有光或目切南极,正照之仪上设点,其影或像必径射于平面,即北极居中,设点之影去北极渐远者,其在平面之两距亦渐远,乃至南极,则为无穷影,终不及于平面矣。又平面之上,北极所居点为过两极轴线之影,为浑仪众圈之心。平面上诸赤道距等圈离此愈远,即其影愈宽大,至近南极者,则平面无可容之地也。假有浑仪为甲、丙、乙、丁,甲为南极,乙为北极,以乙极抵丑乙子平面,有光或目在甲极,光照近北极


之圈,辰己即其影,自己迄辰为本圈之全径,因以乙为心,己辰为界,即平面作圈,准浑仪之实环也。又照夏至圈癸壬之圆界,其影至卯寅,即以卯寅为径,次照赤道圈丙丁之圆界,影至己戊,以己戊为径,各如前作圈,各得准其本环。次

有冬至圈辛庚,虽近甲南极,小于赤道之丙丁圈,而影在平面为丑子,反大于赤道影己戊,盖乙甲丑角大于乙甲己角故也。若至午未,南极圈,其影在平面更远,而终竟可至。惟甲南极为左右直影,与子丑平行,终不至于平面也。今作星图,不用两至两极圈,独用赤道之左右度分,度分近乙北极,即平面上影相距亦愈近,远亦愈远,经度既尔,纬度亦然。盖经度从心向外出线,其左右各侣线愈远心,相距亦愈广。纬度从心向外作圈,其内外各侣圈愈远心,相距亦愈


宽也。问:经度远心即愈广,易见矣,何以知星之纬度在平仪之上愈远心,相距愈宽乎。曰:以几何徵之,设有甲乙丙丁圈,以全径甲丙抵戊己平面为垂线,若平分圈界,如一十二,从甲出直线各过所分圈界,至戊己庚辛,平面上各点得


戊庚宽于庚辛面,庚辛又宽于辛壬,馀线尽然。盖从甲出各侣线,至平面以各底线连之,其各腰与各底为比例,则甲庚与庚辛若甲壬与壬辛也。今甲庚大于甲壬,则庚辛必大于辛壬。〈见几何第六卷第三题。〉试以丙为心,作壬辛庚三侣圈,其在
仪各所分圈界,则为距等,而壬辛之相距,与辛庚之
相距,广狭大异矣。依此作图,则去心远者,各所限经纬度渐展渐大;与近心者不等,而经纬度之比例恒等,即所绘星之体势与天象恒等。不然者,经度渐展,纬度平分,依经纬则失体势,依体势则失经纬,乖违甚也。
斜圈图圆义

浑仪诸圈有正有斜,正者如赤道圈、赤道距等圈、及诸过极经圈也。斜者如黄道圈、地平圈、及其各距等圈也。以视法作为平面图,设照本〈或光或人目〉在南极,则正受照之圈影至平,面必成圈形或直线,如前说矣。若斜受照之圈,其影在平面当作何形像乎。此当用角体之理明之。按量体法〈测量全义六卷〉中论角体,有正角,有斜角,两者皆以平圆面为底,皆以从顶至底心之直线为轴线,其为正与斜则以垂线分之,若自角下垂线至底与轴线为一,如第一图,甲乙垂线即甲丙丁戊角形之轴线,则甲丙丁戊为正角体。若两线相离,如第二图,甲己为轴线,甲乙为垂线,则甲丙戊庚
第一图

丁为斜角体也。更以斜角体,上下反截之,为甲辛壬小角体。
第二图

既斜截为上下两体,更若从轴线自上而下纵截之,为两平分其截面三角形,大小比例相似则名反截之角体,若不合比例,则为无法。


依斜角体之本理,则小体之底与大体之底相似,不得不成圆形。今欲推黄道等斜圈,不能正受照本之光,则于平仪面所显何像。法依第二斜角图,以甲当南极照本之点,壬辛为浑仪上斜圈,丙戊庚为平面上斜圈之影,次用三图徵
第三图

为圆影焉。
假如甲乙丙为极至交圈,甲当南极为照本之点,斜受光之圈为乙丁,从甲照之过乙丁边,直射至己戊平面,为甲己、甲戊两线,即得甲己戊及甲乙丁皆直线三角形。此为浑仪平面形影之体势,以角体法论


之,己戊为乙丁圆圈之影,即甲己戊为全角体,而甲乙丁其反截之小角体矣。又甲丙垂线非甲庚枢线,即甲己戊为斜角体,而己戊其底自与甲乙丁小角体其底乙丁,各相似也。问:反截之角体,与平面所得三角形,何云两相似乎。


凡相似两三角形必三角各等,三边之比例各等,此有诸乎。曰:有之。甲为共角,从乙作直线至辛,与己戊为平行,即甲丙之垂线。而甲乙辛角与甲己戊角俱在平行线上,必等。又甲乙辛、甲丁乙俱在界乘圈之角,而所乘之甲乙、甲辛两

弧等,即两角必等。而甲丁乙与甲己戊两角亦等,其馀角甲乙丁及甲戊己亦等,则乙丁小角体之底,与其所照平面上之己戊,必相似也。凡斜圈之弧近于照本,其影必长,距远则短。如从南极照黄道斜圈,其半弧乙在赤道南,近甲,即甲己必长于甲戊。然分较之,虽南影长于北影,合较之则平面上圆影不失黄道之圆影矣。
问:以视法图,黄道既为圆形,从何知其心乎。曰:从照本之点出直线为斜圈径之垂线,引至平面,则黄道


之心也。盖本图大小三角形既相似,而甲丙与甲庚两线又相离,即各分为两三角形,各相似。其甲丙戊与甲丙己一偶也,甲辛乙与甲辛丁一偶也,是以甲己庚角与己甲庚角等,而甲庚线与庚己线亦等,又甲戊庚角与戊甲庚角等,
何者。因前图得己角与丁角等,此图得丁角与乙甲
辛角等,即己角与乙甲辛角亦等,因得乙戊两角等,又得乙角与庚甲戊角等,即戊角与庚甲戊角亦等,而戊庚与甲庚两线亦等,因得戊庚与庚己两线等,而庚为己戊径之心。
绘总星图第三〈凡三章〉

古法绘星图,以恒见圈为紫微垣,以恒隐圈界为总图之界,过此南偏之星,不复有图矣。西历因恒见圈南北随地不同又渐次不同,故以两极为心,以赤道为界,平分为南北二图。以全括浑天可见之星,此两法所繇异也。
赤道平分南北二总星图

以规器作赤道圈,即本图之外界也。纵横作十字,二径平分为四象限,限各九十,又三分之,分各三十,又五分之,分各六,又六分之,分各一,此为全周三百六十度矣。次从心至界上依度数引直线,为各经度。其作纬度有二法:一用几何则依界上经度于横径之左,定尺于横径之右,上下游移之,每度一界限度。


界限度者,或一度、二度为一限,或五度、十度为一限,以至九十。
即于直径上作识,则直径上下所得度与界限度各相应而疏密不等,经纬相称矣。用数则依切线表,求界限度之相当数,以规器取之。


用比例规甚便,无规先作半径,百平分之,用以取数。
若表中求一十度,即径上下得二十度,表中求二十,径上下得四十,所得比所求恒多一倍也。
假如欲依界限度以分径,如第一图,甲乙、丙丁为赤


道所分径,为甲丙于乙上,定尺从右径末丁向上移尺至一十二十等限,于甲丙径上作戊己等一十、二十诸识,各识愈离心,其侣距愈远矣。若以数分之,依第二图,如求四十度癸庚,则表中查二十度之切线相当数,为三十六。用规器

向庚辛直线,取庚子三十六,移至甲乙径上,自中心乙至己为三十六,即得四十度矣。盖以丁为心,作乙丙象弧。其半弧乙壬之切线为平面之半径甲乙,即乙己为二十度弧乙戊之切线。若引丁戌割线至庚,则癸庚得四十度,与前法合也。
见界总星图

见界总星图者,以北极为心,以恒隐圈为界,此巫咸、甘石以来相传旧法也。然两极出入地平,随地各异。而旧图恒见恒隐,各三十六度。三十六者,嵩高之北极出地度耳。自是而南,江淮间可见之星,本图无有也。更南,闽、粤、黔、滇可见之星,本图更无有也。则此为嵩高之见界总图,而非各省直之见界总图也。又赤道为天之大圈,其左右距等侣圈,以渐加小,至两极各一点耳。于平面作图而平分纬度,自极至于赤道,纬度恒平分,而经度渐广。广袤不合,即与天象不合。向所谓得之经纬,失之形势,得之形势,失之经纬者也。况过赤道以南,其距等纬圈宜小而愈大,其经度宜翕而愈张,若复平分纬度,即不称愈甚,其相失亦愈甚矣。今依此作图,宜用滇南北极出地二十度为恒隐圈之半径,以其圈为隐见之界,则各省直所得见之星无不备载,可名为总星图矣。又依前法为不等纬距度,向外渐宽,则经纬度广袤相称,而星形度数两不相失矣。但前以赤道为界,设照本在南极,所求者止九十纬度,则所用切线半之,止四十五度,至赤道止矣。用为平图之半径,经纬度犹未甚广,足可相配,若此图则否,其半径过赤道而外尚七十度,并得一百六十度,半之为八十度,从南极点出直线,必
图图

剖圆八十度,乃合于百六十度之切线也。此其长比赤道内之半径不啻五倍,经纬皆愈出愈宽,以比近北极之度分,大小殊绝矣。如右图,甲为平图之心,乙为南极,甲丙为半径,亦即为四十五度甲戊弧之切线。若从乙出直线割八十度之弧甲丁,然后与甲丙引长百六十度之线遇于己,其长于甲丙几及六倍也。如是而依本法作图,若图幅少狭即北度难分,若北度加宽,即图广难用矣。今改立一法,设照本稍出南极之外,去极二十度起一直线,以代乙己,其与甲


丙之引线不交于己,而稍近丙,以敛所求之度,定平图之半径,则广狭大小皆适中矣。但照本所居,宜有定处。去极远则切线太促,不能分七十度之限,太近则半径过长,略同前说也。今法如上图,甲为平图之心,欲其外界出丙己壬赤

道之外,远至七十度。先求照本,随所照光图之作甲丙直线,去赤道径甲癸七十度正,次作乙丙垂线为二十度之正弦,次作丙丁线为二十度之切线,令丁点在南极之外,为照本则甲丙与乙丙,若丙丁与乙丁,何者。甲乙丙、乙丙丁两三角形相似故也。次引丁丙切线与甲癸之引长线遇于辛,则辛点定百六十度之限,为平图之半径矣。次以纬度分甲辛线,恒令丁戊与戊己若丁甲与甲庚,则赤道内庚分向北之纬度,赤道外庚分向南之纬度也。欲得各丁戊线,以


加减取之,向南距度之正弦以减甲丁割线,得小丁戊,因得大甲庚,向北距度之正弦以加甲丁割线,得大丁戌,因得小甲庚也。盖正弦虽在癸己左右,因甲戊其平行线,即与正弦等,故


左边为北,右边为南。
问:赤道纬度其内外广狭既尔不齐,则欲作黄道圈,用何法乎。曰:此因照本不切南极,以照黄道斜圈之边,不能为直角,即不能为轴边之心而有二心,故其影不前为正圆,而微成撱圆,与前南北平分总图稍异法也。当于甲辛径上从

赤道回内数黄赤距二十三度三十一分三十○秒,若所得为子午,即作午壬直线平分之于未,从未出垂线向甲辛径上,得黄道,向北半圈之心为下庚,而其边依纬度之狭则小。次于赤道外自癸至辛数得二道距度,如前,求得黄道向南半圈之心为上庚,其边因纬度之宽则大也。
极至交圈平分左右二总星图

前分有法物象三仪:其第一,照本在最远者,星图所不用,其用者第二第三也。第二法,照本在南极,以赤


道圈为平面界,则前说赤道平分二图是已。第三法,照本在二分,以极至交圈为平面界。今解之,设照本切春分,即用所照平面之心以准秋分,以极至交圈为界,赤道圈、极分交圈则为直线,诸赤道距等圈、诸过极经圈则为曲线之弧,


以此定经纬度,及半天恒星之方位也。又设照本切秋分,则以春分为心,其馀圈影皆同上,可定馀半天恒星之方位矣。图法先作极至交圈为图界,假设甲乙丙丁圈为赤道,
本极至交圈假为赤道,借用第一图,
图缺平分三百六十度,借丙点为赤道与极分圈之交,从丙向己庚等边界引直线,过乙丁径作辛壬等识,即各过极圈之经度限也。次即用甲乙丙丁圈为极至交圈,〈即第一图〉则甲辛、丙甲、壬丙等过极经圈之弧可定恒星之赤道经度矣。次欲


作赤道距等圈,先假设甲乙丙丁为极分交圈。
本极至交圈假为极分,借用第二图。
借乙点为赤道与极分圈之交,从乙向己庚等边界引直线,过甲丙径,上作辛壬等识,即各赤道距等圈之纬度限也。次即用甲乙

丙丁为极至交圈,〈即第二图〉则己辛、庚壬等皆赤道距等之弧,而丁戊乙为赤道,可定恒星之赤道纬度也。若欲以黄道为心作图,则以乙丁线当黄道,甲丙为黄道之两极,而乙丁上下距等之弧皆可定恒星之黄道纬度。平面界圈亦为过黄道极之经度圈,如前所作赤道平分,二图皆改赤道极为黄道极,赤道面为黄道面,皆可定恒星之黄道经纬度也。
恒星有等无数第四〈凡三章〉

恒星以芒色分气势,以大小分等第,所载者有数,不能载者无数可尽也。今略论其体等及其大数,别定黄赤二道之经纬度,作图作表如后卷。
恒星分六等

古多禄某推太阳、太阴本体之容积,先测其视径,及月食时之地影,及地球之径容,展转相较,乃能得之。〈详见三大论〉后巴德倪借用其法,以考五星及恒星离地之远,又测诸大星之视径。如图,甲辛为太阳离地之远,其视径甲乙为太阳居最高及最高冲折中之半径也。今设丙为镇星,其离地为辛丙,即太阳之半径,


至此见如丙戊,而镇星居此所见大,仅得太阳视半径一十八分之一,为丙丁,用三率法,辛丙与丙戊若辛甲与甲乙。次以地径推得丙戊总线数,即可得丙丁分线数。古法推七政及恒星之体,大略如此。盖因其视径及距地之远,可得

浑体之容积也。但恒星已知离地最远而无视差可考,止依其视径以较五星,即其体之大小,十得七八矣。第谷则以镇星较之,因测镇星得其视径一分五十秒,亦微有视差,为一十五秒弱。推其离地以地半径为度,得一万○五百五十,因得其全径,大于地之全径二倍又一十一分之九,是镇星之浑体,容地之浑体二十有二矣。此测为镇星居最高、最高冲折中之数也。若在最高测其距地,为地半径一万二千九百。〈后论五星更详此理〉而恒星更远居其上,设加一千,即约为一万四千,因以所测之视径分其差等。
先测明星,如心宿中星、大角,参宿右肩等,其视径二分,即得大地四径有奇,何也。因设星离地一万四千,依圈界与圈径之比例,〈径七围二十二〉即星所居之圈界,得八万八千三百,六十分之,每度得二百四十四○九分之四,又六十分之,每分得四视径,二分得八有奇,是恒星之全径二分,当浑地之八半径也,即四全径也。又以立圆法推之,即此星浑体之容大于浑地之容六十有八倍,此为第一等星也。此一等内尚有狼星、织女等,又见大一十五秒,其体更加二十馀倍,若见小一十五秒,如角宿距星等,即反之,其体减二十馀倍。
次测北斗、上相、北河等。其视径一分三十○秒,设其距地与前等,推其实径大于地径三倍有奇。而其浑体大于地之浑体二十八倍有奇,此为第二等。又次测娄、箕、尾、三、宿等星。其视径一分○五秒,依前距地之远,其实径大于地径二倍又五分之一,其体大于地体近一十一倍,为第三等。
又次测参、旗、柳、宿、玉井等星。其视径四十五秒,其实径与地径若三与二,其体大于地体四倍有半,为第四等。
又次测内平、东咸、从官等小星。得视径三十○秒,其实径与地径若五十与四十九,其体比于地体得一又一十八分之一,为第五等。
又次测最小星如昴宿左更等。得视径二十○秒,其实径与地径若一十五与二十二,即其体比于地体得三分之一,为第六等。
右恒星相比,约分六等。若各等之中,更有微过或不及。其差无尽,则匪目能测,匪数可算矣。
或问:前言恒星居镇星之上,离地皆等,故依其视径以推其体之大小则不等,若设其远近不等,即其实径不随其视径,从何推知其体乎。曰:假令诸恒星之体实等,因其中更有远近不等故。见有大小不等,即以六等星比第一等,所见小大乃尔,必更远于前率十馀倍矣。盖测此大小星,比其视径。如天田西星与大角星,差一分五十五秒,即其远近距当得一十四万一千大地之半径,与镇星最高及大角之距地略等。此中空界,安所用之。且小大彬彬,杂以成文,物之理也。若何舍此而强言等体乎。七政恒星远近大小皆从视径视差,展转推测,理数实然,无庸不信然。而宏阔已甚,犹有未经测算难于遽信者焉。况此远近等体之说,非理非数,则是虚想戏论而已,又谁信之哉。
恒星无数

自古掌天星者,大都以可见可测之星求其形似,联合而为象,因象而命之名,以为识别。是有三垣,二十八宿,三百座,一千四百六十一有名之星焉。世所传巫咸、石申、甘德之书是也。西历依黄道分十二宫,其南北又三十七像,亦以能见能测之星联合成之,共得一千七百二十五。其第一等大星一十七,次二等五十七,次三等一百八十五,次四等三百八十九,次五等三百二十三,次六等二百九十五。盖有名者一千二百六十六,馀皆无名矣。然而可图者,止此。若依法仰观,所见实无数也。何谓依法。今使未谙星历者,漫视之而漫数之,樊然淆乱,未足实證其无数也。更使谙晓者按图索象,则依法矣。如是令图以内之星悉皆习熟,若数一二然。而各座之外,各座之中,所不能图,不能测者,尚多有之,可见恒星实无数也。更于晴明之夜,比蒙昧之夜又多矣。于晦朔之夜,比弦望之夜又多矣。以秋冬比春夏又多矣。以利眼比钝眼又多矣。至若用远镜以窥,众星较多于平时不啻数十倍,而且光耀粲然,界限井然也。即如昴宿传云七星,或云止见六星,而实有三十七星。鬼宿四星,其中
鬼宿中积尸气图

积尸气相传为白气,如云耳。今如图,甲为距星,乙为本宿东北大星,其间小星三十六,瞭然分明可数也。他如牛宿中南星,尾宿东
觜宿南小星图

鱼星,传说星觜宿南星,皆在六等之外,所称微茫难见者,用镜则各见多星,列次甚远。假如觜宿南一星

数得二十一星,相距如图,大小不等,可徵周天诸星实无数也。
天汉

浑天众圈有大有小,如黄、赤二道,过极经圈极至极分交圈、地平圈等,凡与地同心者,皆大圈也。如冬夏二至圈,常见常隐圈、各距等圈,凡与地不同心者,皆小圈也。若天汉者,论其界不可谓圈。凡圈以圆线为界,此以广面为界故也。论其心实与黄赤二道相等,不可谓非大圈。盖其心必同地心,且两交黄道,两交赤道,旁过二极,皆一一相对,正与黄道相反,斜络天体平分为二故也。欲测其广,无定数,大约两至之外广于两至之中,从天津又分为二,至尾宿复合为一。过夏至圈以井宿距星为限,正切鹑首初度,过北极,西距二十三度半前。过冬至圈则星纪初度约居其中,又转至南极,东距亦二十三度半,而复就夏至,总为过两至与黄道相反之斜圈也。古多禄某测其两涯所过星宿,与近世不异。在赤道北则从四渎,始南三星当其中,北一星不与焉。次水府,次井西四星切其左边,天关一星五车口切其右,更前积水在左,大陵从北,第二星在右,王良所居在其中,若洲渚然。次天津横截之,两端平出其左右,河鼓中星在右,其对边为天市垣齐星,此赤道北两涯所经诸星也。在赤道南者,以天弁东星为界,次斗第三星,次箕南二星,其对边则天市垣未星,尾宿第一星,而入于常隐之界,迨过南极以来复起于天稷,过弧矢天狼以至赤道,此为赤道南所经诸星也。
问:天汉何物也﹖曰:古人以天汉非星,不置诸列宿天之上也,意其光与映日之轻云相类,谓在空中月天之下,为恒清气而已。今则不然,远镜既出,用以仰窥,明见为无数小星。盖因天体通明映彻,受诸星之光,并合为一,直是清白之气与鬼宿同理,不藉此器,其谁知之。然后思天汉果为气类,与星天异体者,安能亘古恒存。且所当星宿又安得古今寰宇若画一哉。甚矣,天载之元而人智之浅也。温故知新,可为惕然矣。〈按以上原本作历指卷四,误当作历指卷三恒星之三。〉
恒星经纬图说〈附〉
第一见界总星图说

见界总星图者,以赤道之北极为心,以赤道为中圈,以见界为界。见界者,取北极出地三十度为限,则闽粤以北可见诸星,无不具在矣。自此以南,难以复加者,为是浑天圆体,赤道以南,天度渐狭,而在图则渐广,形势相违,是故无法可以入图也。必用赤道为界,分作二图,以二极为心,然后体理相应。故作赤道南北二总图次焉。本图外界分三百六十五度四分度之一者,赤道经度也。正南北直线名子午线,线上分极以南,极以北,各一百六十度者,赤道纬度也。从心至界分二十八直线者,依二十八宿各距星分二十八宿各所占度分也。此各宿度分,公元史载古今前后六测,如汉落下闳,唐僧一行,宋皇祐、元丰、崇宁,元郭守敬等,或前多后寡,或前寡后多,或寡而复多,多而复寡,种种不一。元世造历者,推究至此,茫然不解。但揣摩臆度,以为非微有动移,则前人所测或有未密而已。夫谓前人未密,他术有之。此则千四百年如彼其久,二十八宿如彼其多,诸名家所测如彼其详,而悉无一合,安得悖谬至是,且其他诸法又何以不甚参商,谓繇误测,必不然也。若曰:微有动移,庶几近之,而又不能推明其所以然之故。今以西历详考黄赤经纬变易,盖二十八宿分经者,从赤道极出线至赤道乃止。而诸星自依黄道行,是以岁月不同,积久斯见。若精言之,则日日刻刻皆有参差,特此差经二万五千四百馀年而行天一周,正所谓微有动移,非久不觉,故后此数十年、百年,依法推变,正是事宜,而前代各测不同者,皆天行自然,非术有未密也。此说已具恒星历次卷中,今略举一二。如北极天枢一星,古测去离北极二度,后行过北极,今更踰三度有奇矣。觜宿距星汉落下闳测得二度,唐一行宋皇祐、元丰皆一度,崇宁半度,元测五分,今测之不啻无分,且侵入参宿二十四分。今之各宿距星所当宫度,所得多寡,悉与前史前图不合,盖缘于此。此图皆崇祯元年戊辰实躔赤道度分,其量度法如求某星之经纬度分若干,用平边界尺从图心引线切本星视图边,得所指某宫某度分,即本年本星之赤道经度分。次用规器,依元定界尺,从赤道量至本星以为度,用元度,依南北分度线上量得度分,即本年本星之赤道纬度分。次视本图本星所躔宫分,查本宫表所注度分,即知绘图、立表、测天三事悉皆符合,若黄道在本图中,止画一规及经度,其查考经纬度分别具黄道分合各图中。
第二赤道南北两总星图说

赤道南北两总星图,一以北极为心,一以南极为心。皆以赤道为界,从心出直线抵界,凡十二者,为十二时线。又细分为三百六十,则赤道经度也。与总图所分经度不同者,彼分三百六十五度四分度之一,准一岁日行周天之数,名为日度。此平分三百六十,名为平度也。凡造器测天,推步演算,先用平度,特为径捷。测算既就,以日度通之,所省功力数倍,故两用之也。其正南北直线为子午线,平分十二宫,左右各六,线上细分南北各九十为赤道纬度,亦平度也。去极二十三度半有奇,复作一心者,黄道极也。从黄极出曲线抵界,亦十二者,黄道经度也。分十二宫三百六十度,其黄赤同度同分者,独二分、二至、四线,其馀各有参差。欲考黄赤异同,于此得其大意矣。南总图自见界诸星而外尚有南极旁隐界诸星,旧图未载此,虽各省直未见,从海道至满剌加国悉见之。满剌加者,属国也。考一统志舆地图,凡属国越在万里之外,皆得附载,何独略于天文。如海南诸国,近在襟带间,所见星辰历历指掌,而图籍之中可阙诸乎。惟是向来无象无名,故以原名翻译附焉。查考赤道经纬度法略同见界总图,不具论。若赤道左右星座为赤道所截,分载两图,求其全像,亦在见界总图矣。
第三黄道南北两总星图说

黄道南北两总星图,一以黄道北极为心,一以黄道南极为心。皆以黄道为界,从心出直线十二抵界者,分黄道十二宫。次又细分为三百六十平度,为黄道经度。南北直线从心上下各细分九十平度,则黄道纬度也。凡恒星、七政,皆循黄道行,与赤道途径不同,故行赤道经纬,时时变易,其行黄道经纬,则终古如一矣。前赤道三总图,后黄道二十分图,皆书各星座名数,与立成表相符,足备简阅,此不烦赘述。故加七政字号,分别某恒星之芒色气势,与某政相若,因七政情性可得本星情性,考其会聚冲照三合、四合、六合中,有下济敷施之理焉。南极旁新译诸星仿此,其近界星座为黄道所截分,属两图,亦查前见界总图,或后黄道分图,皆可得其全像量度,法略同见界总图。后此二十分图从此图出,其分截之处位座未全者,于此二图考之。
第四黄道二十分星图说

分星图独依黄道者,恒星与七政皆循黄道行,依此为分,其正术也。必用分图者,总图尺幅既狭,如星座,如宫次,如度分,如等第,未能明皙,用以證合天象,颇觉为难。分之则一览瞭然,世传丹元子步天歌分三垣二十八宿为三十一图,台官亦有为圆方二图者,皆本此意。但步天歌悉不载宫度、方图,稍分宿次,亦系旧率,其经纬度分悉未开载星形等第,与天象不能尽合,则两图等耳。今分为二十图,首一图即紫微垣,而与旧图略异者,彼以赤道之北极为极,此以黄道之北极为极也。彼以恒见星为界,故从心至界为三十六度,是嵩高之恒见星界,他方不然。今取三径均平,止二十二度半,盖以黄极为极,则恒见诸星不复可论也。外周分黄道三百六十平经度,全径四十五,则此图之黄道平纬度是名北极分图也。次六图上狭下广,上狭者,各以本宫本度与北极分图相接;下广者,亦以本宫本度各与黄道中界六图相接也。以十二宫次分六图,每图得二宫,每宫得三十,为黄道经度也。北不至黄道北极二十二度半,南不至黄道二十二度半,中间四十五度为此图中之黄道平纬度,是名黄道北界六分图也。又次六图各上下平分,中间最广,为黄道,上下界皆稍狭。上狭者,以本宫度与北界分图相接,下狭者以本宫度与南界分图相接。每图二宫,每宫三十度,为黄道经度,黄道以北近夏至圈,黄道以南近冬至圈,各二十二度半,并得四十五度,为此图之黄道纬度,是名黄道中界六分图也。又次六图上广下狭,上与中界图相接,下与南极图相接,分宫、分度、分经、分纬、与北界分图同法,是各黄道南界六分图也。又次一图与第一图略等,所有诸星皆在恒隐界中,旧传所无,今译名增入,是为南极分图也。诸图中星名位次皆巫咸、甘石、旧传,各依旧图联合,大小分为六等,各以本等印记分别识之中虚者,旧疑非星,因称为气。今用远镜窥测,则皆星也。因恒时不见分异,姑为散圈以象之。其有位座如恒,而星实未见,用青圈为识,与苍同色明其无有之间也。凡若干星合为一座,各以数识之,本座之外,复有馀数,又不相联则其附近之有测新星表中,各注经纬度分星名之下,称为增入者也。其不书数目者,无测之星,表中所未载也。诸图总以黄道为中界,复有曲线斜络于黄道之上下者,赤道也。又有斜络于赤道之上下者,冬夏至线也。其与天体异色,斜络天体广狭不等者,自昔称为云汉,疑与白气同类;其实亦皆星也。若星座同名,而参观两在,觉其体势不同者,因天本浑圜,所分宿度当为弧线。今居平面不免变易,是黄赤同图,则线分曲、直两次,并列则线分斜、正,而安星本法皆依各线布置,遇曲直与为曲直,遇斜正与为斜正,宁使形模小异,尚可證以根繇,傥令经纬微迁,惧无辞于爽谬矣。且一星一表,毫发难移,点缀既毕,自然肖像。非若画绘之家,先想成形而追形定位,虽欲更移秒末以就成体势,固不可得也。量度则两圆图与总图同法,十八方图则上下求经,左右求纬,各以直线求其相等度分,星居两线之交则各两相等度分为星之经纬度分。