钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第四十八卷目录

历法典第四十八卷

历法总部汇考四十八

明八

郑世子朱载堉历学新说七律历融通
黄钟历议中〈凡十六篇〉
律音

《乐记》曰：宫为君，商为臣，角为民，徵为事，羽为物。五者不乱，则无怗懘之音矣。宫乱则荒，其君骄。商乱则陂，其臣坏。角乱则忧，其民怨。徵乱则哀，其事勤。羽乱则危，其财匮。五者皆乱，迭相陵，谓之慢。如此，则国之灭亡无日矣。纳音之说，盖出于此。凡五音，其三为纲。宫、商、角是也。其二为纪，徵、羽是也。纲者声之根本，故为君为臣为民。纪者声之支末，故为事为物。此三天两地之义也。黄钟为宫，太蔟为商，姑洗为角。三律皆阳，故为夫。林钟为徵，南吕为羽，应钟为和。三吕皆阴，故为妻。此阳奇阴偶之义也。以干支言之，则甲乙者干之纲也。丙丁而下，干之纪也。子丑者，支之纲也。寅卯而下，支之纪也。凡干支，阳者为之夫，而阴者为之妻。甲乙而后丙丁，丙丁而后戊己，戊己而后庚辛，庚辛而后壬癸，此自然之序也。宫而后商，商而后角，角而后徵，徵而后羽，羽而后宫。终则复始，循环无端。此自然之理也。黄钟居子，其冲在午，林钟居未，其冲在丑。子与未隔八相生，午与丑隔八相生。黄钟阳律为夫，林钟阴吕为妻。故丑未者，乃子午之妻也。是以子午丑未，其甲乙起自宫，而继之以商角徵羽。故甲子乙丑甲午乙未为宫，丙子丁丑丙午丁未为商，戊子己丑戊午己未为角，庚子辛丑庚午辛未为徵，壬子癸丑壬午癸未为羽。此皆统于黄钟之宫者也。太蔟居寅，其冲在申。南吕居酉，其冲在卯。寅与酉隔八相生，申与卯隔八相生，太蔟阳律为夫，南吕阴吕为妻。故卯酉者，乃寅申之妻也。是以寅申卯酉，其甲乙起自商，而继之以角徵羽宫。故甲寅乙卯甲申乙酉为商，丙寅丁卯丙申丁酉为角，戊寅己卯戊申己酉为徵，庚寅辛卯庚申辛酉为羽，壬寅癸卯壬申癸酉为宫。此皆统于太蔟之商者也。姑洗居辰，其冲在戌。应钟居亥，其冲在巳。辰与亥隔八相生，戌与巳隔八相生，姑洗阳律为夫，应钟阴吕为妻。故巳亥者，辰戌之妻也。是以长戌巳亥，其甲乙起自角，而继之以徵羽宫商。故甲辰乙巳甲戌乙亥为角，丙辰丁巳丙戌丁亥为徵，戊辰己巳戊戌己亥为羽，庚辰辛巳庚戌辛亥为宫，壬辰癸巳壬戌癸亥为商。此皆统于姑洗之角者也。夫宫属土，土生金；商属金，金生水；角属木，木生火；徵属火，火生土；羽属水，水生木。各以所生者而谓之纳音，盖律娶妻而吕生子，天地之情也。若夫海中金，炉中火之类，斯乃术士俚语，编成歌谣便于记诵耳。元无别义，不必强解也。
律均

律均读作韵，与韵义同。古无韵字，以均为韵字，言一韵声也。旋宫之法，自冬至始，随月所建。六律六吕，迭相为均。一均之音有七，以一为主，六为从。其为从者，律有三，吕有三，先儒谓之三男三女。盖以阳律为父为男，阴吕为母为女，取象于《大易》也。父为均主，则男长女幼，男为兄女为妹，故先男而后女；母为均主，则女长男幼，女为姊男为弟，故先女而后男。此其大凡也。然十有二声中，用者七，不用者五。故十有二均中，用者八十有四，不用者六十。用与不用，总而计之，共百四十有四声也。建子之月所用者七律，谓黄钟，为宫父也。太蔟为商，长男也。姑洗为角，中男也。蕤宾为变徵，少男也。林钟为徵，长女也。南吕为羽，中女也。应钟，为变宫，少女也。不用者五律，谓大吕，夹钟，仲吕，夷则，无射也。建丑之月，所用者七律，谓大吕为宫，母也。夹钟为商，长女也。仲吕为角，中女也。林钟为变徵，少女也。夷则为徵，长男也。无射为羽，中男也。黄钟为变宫，少男也。不用者五律，谓太蔟，姑洗，蕤宾，南吕，应钟也。建寅之月，所用者七律，谓太蔟为宫，父也。姑洗为商，长男也。蕤宾为角，中男也。夷则为变徵，少男也。南吕为徵，长女也。应钟为羽，中女也。大吕为变宫，少女也。不用者五律，谓夹钟，仲吕，林钟，无射，黄钟也。建卯之月，所用者七律，谓夹钟为宫，母也。仲吕为商，长女也。林钟为角，中女也。南吕为变徵，少女也。无射为徵，长男也。黄钟为羽，中男也。太蔟为变宫，少男也。不用者五律，谓姑洗，蕤宾，夷则，应钟，大吕也。建辰之月，所用者七律，谓姑洗为宫，父也。蕤宾为商，长男也。夷则为角，中男也。无射为变徵，少男也。应钟为徵，长女也。大吕为羽，中女也。夹钟为变宫，少女也。不用者五律，谓仲吕，林钟，南吕，黄钟，太蔟也。建巳之月，所用者七律，谓仲吕为宫，母也。林钟为商，长女也。南吕为角，中女也。应钟为变徵，少女也。黄钟为徵，长男也。太蔟为羽，中男也。姑洗为变宫，少男也。不用者五律，谓蕤宾，夷则，无射，大吕，夹钟也。建午之月，所用者七律，谓蕤宾为宫，父也。夷则为商，长男也。无射为角，中男也。黄钟为变徵，少男也。大吕为徵，长女也。夹钟为羽，中女也。仲吕为变宫，少女也。不用者五律，谓林钟，南吕，应钟，太蔟，姑洗也。建未之月，所用者七律，谓林钟为宫，母也。南吕为商，长女也。应钟为角，中女也。大吕为变徵，少女也。太蔟为徵，长男也。姑洗为羽，中男也。蕤宾为变宫，少男也。不用者五律，谓夷则，无射，黄钟，夹钟，仲吕也。建申之月，所用者七律，谓夷则为宫，父也。无射为商，长男也。黄钟为角，中男也。太蔟为变徵，少男也。夹钟为徵，长女也。仲吕为羽，中女也。林钟为变宫，少女也。不用者五律，谓南吕，应钟，大吕，姑洗，蕤宾也。建酉之月，所用者七律，谓南吕为宫，母也。应钟为商，长女也。大吕为角，中女也。夹钟为变徵，少女也。姑洗为徵，长男也。蕤宾为羽，中男也。夷则为变宫，少男也。不用者五律，谓无射，黄钟，太蔟，仲吕，林钟也。建戌之月，所用者七律，谓无射为宫，父也。黄钟为商，长男也。太蔟为角，中男也。姑洗为变徵，少男也。仲吕为徵，长女也。林钟为羽，中女也。南吕为变宫，少女也。不用者五律，谓应钟，大吕，夹钟，蕤宾，夷则也。建亥之月，所用者七律，谓应钟为宫，母也。大吕为商，长女也。夹钟为角，中女也。仲吕为变徵，少女也。蕤宾为徵，长男也。夷则为羽，中男也。无射为变宫，少男也。不用者五律，谓黄钟，太蔟，姑洗，林钟，南吕也。此之谓五声六律十二管，旋相为宫，生生不已，转转无穷，而与《大易》之理相合，造化自然之妙用也。按所用七律者，有虞氏谓之七始，见于《尚书大传》，周人或谓之七音，或谓之七律，见于《左传》、《国语》。古惟五音有其名，而二音之名则略之不载也。至《前汉》、《淮南子》始以和缪二字名之。《后汉·律历志》，又以变宫变徵名之。夫二变之名，起自汉儒，其名不雅，遂使后世疑焉。未若和缪二字雅而近古，无可疑耳。窃谓缪之一字，理犹未尽，宜改为中。盖此七音之内，宫音为之始，变宫为之终。变徵之音，独居于中，故谓之中。以十二律方位考之，则宫必与变徵相冲，正中相对，故谓之中。是故不曰变徵而曰中，不曰变宫而曰和。其名允协，其理尽矣。
十二律吕旋相为宫之图

何月之律为宫即将内层宫字转于本月之上则知某律为商某律为角馀皆仿此
图说

朱熹、蔡元定，言律吕最详，未尝废黜二变。皆谓：律为均者十二，每均各有七声，凡八十四声。其宫、商、角、徵、羽五声为正，中和二声为变，正者为调，变者不为调。故以五乘十二，得六十调，是为旋宫。夫中和二音，虽不为调，而每调内有此中和二音，七律备而成乐，是乃乐学千古不刊之正法也。何妥、陈旸未谙此理，专用五声而黜二变，旋宫既废，黄钟孤立，冬夏声缺，四时失序，无以赞化机而育万物，礼坏乐崩，莫斯为甚，遂使庙堂之上，不复得闻治世之音。此则何妥、陈旸之大罪也。按旋宫之法，历家多未晓，故详载之。十二律吕，各有正半。正律，平调也。半律，清调也。先半而后正，从微至著也。冬至已前黄钟半律为宫。已后，正律为宫。大寒已前大吕，半律为宫。已后，正律为宫。馀律放此。雨水则太蔟也。春分则夹钟也。谷雨则姑洗也。小满则仲吕也。夏至则蕤宾也。大暑则林钟也。处暑则夷则也。秋分则南吕也。霜降则无射也。小雪则应钟也。凡黄钟为宫，则太蔟为商，姑洗为角，蕤宾为中，林钟为徵，南吕为羽，应钟为和。歌《国风》，以黄钟之角，用姑洗起调，姑洗毕曲。歌《小雅》，以黄钟之徵，用林钟起调，林钟毕曲。歌《大雅》，以黄钟之宫，用黄钟起调，黄钟毕曲。歌《周颂》以黄钟之羽，用南吕起调，南吕毕曲。歌《商颂》，以黄钟之商，用太蔟起调，太蔟毕曲。凡大吕为宫，则夹钟为商，仲吕为角，林钟为中，夷则为徵，无射为羽，黄钟为和。歌《国风》，以大吕之角，用仲吕起调，仲吕毕曲。歌《小雅》，以大吕之徵，用夷则起调，夷则毕曲。歌《大雅》，以大吕之宫，用大吕起调，大吕毕曲。歌《周颂》，以大吕之羽，用无射起调，无射毕曲。歌《商颂》，以大吕之商，用夹钟起调，夹钟毕曲。凡太蔟为宫，则姑洗为商，蕤宾为角，夷则为中，南吕为徵，应钟为羽，大吕为和。歌《国风》以太蔟之角，用蕤宾起调，蕤宾毕曲。歌《小雅》，以太蔟之徵，用南吕起调，南吕毕曲。歌《大雅》，以太蔟之宫，用太蔟起调，太蔟毕曲。歌《周颂》，以太蔟之羽，用应钟起调，应钟毕曲。歌《商颂》，以太蔟之商，用姑洗起调，姑洗毕曲。凡夹钟为宫，则仲吕为商，林钟为角，南吕为中，无射为徵，黄钟为羽，太蔟为和。歌《国风》，以夹钟之角，用林钟起调，林钟毕曲。歌《小雅》，以夹钟之徵，用无射起调，无射毕曲。歌《大雅》，以夹钟之宫，用夹钟起调，夹钟毕曲。歌《周颂》，以夹钟之羽，用黄钟起调，黄钟毕曲。歌《商颂》，以夹钟之商，用仲吕起调，仲吕毕曲。凡姑洗为宫，则蕤宾为商，夷则为角，无射为中，应钟为徵，大吕为羽，夹钟为和。歌《国风》，以姑洗之角，用夷则起调，夷则毕曲。歌《小雅》，以姑洗之徵，用应钟起调，应钟毕曲。歌《大雅》，以姑洗之宫，用姑洗起调，姑洗毕曲。歌《周颂》，以姑洗之羽，用大吕起调，大吕毕曲。歌《商颂》，以姑洗之商，用蕤宾起调，蕤宾毕曲。凡仲吕为宫，则林钟为商，南吕为角，应钟为中，黄钟为徵，太蔟为羽，姑洗为和。歌《国风》，以仲吕之角，用南吕起调，南吕毕曲。歌《小雅》，以仲吕之徵，用黄钟起调，黄钟毕曲。歌《大雅》，以仲吕之宫，用仲吕起调，仲吕毕曲。歌《周颂》，以仲吕之羽，用太蔟起调，太蔟毕曲。歌《商颂》，以仲吕之商，用林钟起调，林钟毕曲。凡蕤宾为宫，则夷则为商，无射为角，黄钟为中，大吕为徵，夹钟为羽，仲吕为和。歌《国风》，以蕤宾之角，用无射起调，无射毕曲。歌《小雅》，以蕤宾之徵，用大吕起调，大吕毕曲。歌《大雅》，以蕤宾之宫，用蕤宾起调，蕤宾毕曲。歌《周颂》，以蕤宾之羽，用夹钟起调，夹钟毕曲。歌《商颂》，以蕤宾之商，用夷则起调，夷则毕曲。凡林钟为宫，则南吕为商，应钟为角，大吕为中，太蔟为徵，姑洗为羽，蕤宾为和。歌《国风》，以林钟之角，用应钟起调，应钟毕曲。歌《小雅》，以林钟之徵，用太蔟起调，太蔟毕曲。歌《大雅》，以林钟之宫，用林钟起调，林钟毕曲。歌《周颂》，以林钟之羽，用姑洗起调，姑洗毕曲。歌《商颂》，以林钟之商，用南吕起调，南吕毕曲。凡夷则为宫，则无射为商，黄钟为角，太蔟为中，夹钟为徵，仲吕为羽，林钟为和。歌《国风》，以夷则之角，用黄钟起调，黄钟毕曲。歌《小雅》，以夷则之徵，用夹钟起调，夹钟毕曲。歌《大雅》，以夷则之宫，用夷则起调，夷则毕曲。歌《周颂》，以夷则之羽，用仲吕起调，仲吕毕曲。歌《商颂》，以夷则之商，用无射起调，无射毕曲。凡南吕为宫，则应钟为商，大吕为角，夹钟为中，姑洗为徵，蕤宾为羽，夷则为和。歌《国风》，以南吕之角，用大吕起调，大吕毕曲。歌《小雅》，以南吕之徵，用姑洗起调，姑洗毕曲。歌《大雅》，以南吕之宫，用南吕起调，南吕毕曲。歌《周颂》，以南吕之羽，用蕤宾起调，蕤宾毕曲。歌《商颂》，以南吕之商，用应钟起调，应钟毕曲。凡无射为宫，则黄钟为商，太蔟为角，姑洗为中，仲吕为徵，林钟为羽，南吕为和。歌《国风》，以无射之角，用太蔟起调，太蔟毕曲。歌《小雅》，以无射之徵，用仲吕起调，仲吕毕曲。歌《大雅》，以无射之宫，用无射起调，无射毕曲。歌《周颂》，以无射之羽，用林钟起调，林钟毕曲。歌《商颂》，以无射之商，用黄钟起调，黄钟毕曲。凡应钟为宫，则大吕为商，夹钟为角，仲吕为中，蕤宾为徵，夷则为羽，无射为和。歌《国风》，以应钟之角，用夹钟起调，夹钟毕曲。歌《小雅》，以应钟之徵，用蕤宾起调，蕤宾毕曲。歌《大雅》，以应钟之宫，用应钟起调，应钟毕曲。歌《周颂》，以应钟之羽，用夷则起调，夷则毕曲。歌《商颂》，以应钟之商，用大吕起调，大吕毕曲。冬至后，夏至前，阳生之月也，律吕有半而无倍。夏至后，冬至前，阴生之月也，律吕有倍而无半。阳一阴二之义也。故自仲吕已上，先半律而后正律，自蕤宾已下，先正律而后倍律，盖以正律代彼半律，而以倍律代彼正律，正与倍半，所用虽异，皆先短而后长，由清而至浊也。《汉志》曰：六律六吕，而十二辰立矣。五声清浊，而十日行矣。大五六者，天地之中合而民所受以生也。故日有六甲，辰有五子，十一而天地之道毕。言终而复始。《唐志》曰：天数始于一，地数始于二，合二始以位刚柔。天数终于九，地数终于十，合二终以纪闰。馀天数中于五，地数中于六，合二中以通律历。天有五音，所以司日也。地有六律，所以司辰也。参伍相周，究于六十，圣人以此见天地之心也。故六十日及六十年甲子一周，皆名律总。因而六之，减去律总，止馀三百，是名律限。甲子五周，黄道渐差天度，古所谓斗历改宪之期也。以律母乘律总，如律限而一，得二十，是名律差。以律数为限带，律差为分，得十二限，二十分，是名月限。以律数乘七音，得八十四，是为声数。进一位，以律差减之，馀八百二十，即月限之刻分也。
律纪

五音生于阴阳，分为十二律吕，所以纪斗气，效物类也。冬至之气，斗杓建子，子为天正，一阳来复之初，而群物感之，于是乎始萌。日度去极至远，昼漏至短，晷景至长，以此三至焉，故曰冬至也。是故律始黄钟，历始冬至，月始建子，时始夜半。以此四始焉，故曰岁始也。夫一阳生于子，节交冬至，即属次年，亦犹夜半已后，即属次日。然人事，一日始于寅时，一年始于寅月。寅月为正，子丑二月，虽属次年，而纪历则犹在旧岁，如月食于夜半，后虽属晓，犹以夜言之也。故自去年冬至，至今年冬至，谓之一岁，自今年正旦，至明年正旦，谓之一年。冬至正旦，一岁节令，二者为首，故制典重之也。历家推日躔，命星度，测景候气，皆自天正冬至为首，或谓之岁首冬至，或谓之岁前冬至以别之者，谓非今年仲冬冬至，乃昨年仲冬冬至也。凡欲正岁始，则必验以律历。当此之时，天效之以景，地效之以响。《后汉志》曰：阴阳和则景至，律气应则灰除。古者天子常以日冬夏至，御前殿，合八能之士，陈八音，听乐均，度晷景，候钟律，权土灰，放阴阳。冬至阳气应，则乐均清，景长极，黄钟通，土灰轻而衡仰。夏至阴气应，则乐均浊，景短极，蕤宾通，土灰重而衡低。水胜故夏至湿，火胜故冬至燥。燥故灰轻，湿故灰重。进退于先后五日之中，八能各以候状闻，太史封上，效则和，否则占。夫历，有圣人之德六焉：以本气者尚其体，以综数者尚其文，以考类者尚其象，以作事者尚其时，以占往者向其源，以知来者向其流。大业载之，吉凶生焉。是以君子将有兴焉，咨焉，而以从事受命，而莫之违也。若夫用天因地，揆时施教，颁诸明堂，以为民极者，莫大乎月令。帝王之大司备矣。天下之能事毕矣。过此而往，群忌拘禁，非君子之所取也。其术曰：十二律吕，共管一岁，周而复始。每律各管三十日四十三刻有奇，是名一律。其间分为前后二段，前段为半律，后段为正律，正半各管初中末三小段，每一小段各管五日七刻有奇，是名为均。每均各管宫、商、角、徵、羽五声，每声各管一日零一刻有奇，名为一音。《晋志》曰：一律而生五音，十二律而为六十音，因而六之，六六三十六。故三百六十音，以当一岁之日。故律历之数，天地之道也。各于其日奏其调焉，律均条中详载之矣。
律策

律吕相距，大率三十日十六分之七，此古法也。今以律母通母，得千六百；通子，得七百。而减其一分，为日率三十带日馀千六百分之六百九十九，此新法也。以积月乘日率为积日，以积月乘日，馀为积馀。积馀满法从日，不满退除为刻及分。夫策者算器之名，以竹为之，古人用以计数，《周易》所谓二篇之策是也。本起于黄钟之数，始于子一而每辰三之，历九辰至酉，得万九千六百八十三，而五数备焉。以为律法，又参之终亥，凡历十二辰，得十七万七千一百四十七，而辰数该矣。以为律积，以法除积，得九寸，即黄钟宫律之长也。此则数因律起，律以数成，故可历管万事，综覈气象。其算用竹，广二分长三寸正，策三廉积二百一十六枚，成六觚乾之策也。负策四廉积百四十四枚成四方坤之策也。觚方皆经十二天地之大数也。是故探赜索隐钩深致远，莫不用焉。夫一十百千万所同用也。律度量衡历，其别用也。故体有长短，检以度。物有多少，受以量。量有轻重，平以权衡。声有清浊，协以律吕。三光运行，纪以历数。然后幽隐之情，精微之变，可得而综也。今黄钟历法，以三百六十五日二十四刻有奇为岁策，半之为岁中。以十二除岁策，得三十日四十三刻有奇，为正律策，半之为半律。三约半律，为均策。五约均策，为声策。已上诸策，各随岁差增损，故其分秒无定，临时依术求而用之。以二十九日五十三刻五分九十三秒为朔策，半之为望策，再半之为弦策。以三百六十五度二十五分为躔周，半之为躔中，再半之为象策，又半之为半象。三约象策为辰策，半之为半辰。以三百六十八度三十七分为离周，半之为离中。以二十七日五十五刻四十六分为转周，半之为转中。以转周减朔策，馀为转差。以三百六十三度七十九分三十四秒为正交，半之为中交。以二十七日二十一刻二十二分二十四秒为交周，半之为交中。以交周减朔策，馀为交差。已上诸策，皆有常数，不随岁差而增损也，故附于此。
律岁

太岁在子，为黄钟。戊子，黄钟之宫也。庚子，其为无射之商。甲子，其为夷则之角。丙子，其为仲吕之徵。壬子，其为夹钟之羽。太岁在丑，为大吕。己丑，大吕之宫也。辛丑，其为应钟之商。乙丑，其为南吕之角。丁丑，其为蕤宾之徵。癸丑，其为姑洗之羽。太岁在寅，为太蔟。戊寅，太蔟之宫也。庚寅，其为黄钟之商。甲寅，其为无射之角。丙寅，其为林钟之徵。壬寅，其为仲吕之羽。太岁在卯，为夹钟。己卯，夹钟之宫也。辛卯，其为大吕之商。乙卯，其为应钟之角。丁卯，其为夷则之徵。癸卯，其为蕤宾之羽。太岁在辰，为姑洗。戊辰，姑洗之宫也。庚辰，其为太蔟之商。甲辰，其为黄钟之角。丙辰，其为南吕之徵。壬辰其为林钟之羽。太岁在巳，为仲吕。己巳，仲吕之宫也。辛巳，其为夹钟之商。乙巳，其为大吕之角。丁巳，其为无射之徵。癸巳，其为夷则之羽。太岁在午，为蕤宾。戊午，蕤宾之宫也。庚午，其为姑洗之商。甲午，其为太蔟之角。丙午，其为应钟之徵。壬午，其为南吕之羽。太岁在未，为林钟。己未，林钟之宫也。辛未，其为仲吕之商。乙未，其为夹钟之角。丁未，其为黄钟之徵。癸未，其为无射之羽。太岁在申，为夷则。戊申，夷则之宫也。庚申，其为蕤宾之商。甲申，其为姑洗之角。丙申，其为大吕之徵。壬申，其为应钟之羽。太岁在酉，为南吕。己酉，南吕之宫也。辛酉，其为林钟之商。乙酉，其为仲吕之角。丁酉，其为太蔟之徵。癸酉，其为黄钟之羽。太岁在戌，为无射。戊戌，无射之宫也。庚戌，其为夷则之商。甲戌，其为蕤宾之角。丙戌，其为夹钟之徵。壬戌，其为大吕之羽。太岁在亥，为应钟。己亥，应钟之宫也。辛亥，其为南吕之商。乙亥，其为林钟之角。丁亥，其为姑洗之徵。癸亥，其为太蔟之羽。《旧说》：甲子，仲吕之徵也。丙子，夹钟之羽也。戊子，黄钟之宫也。庚子，无射之商也。壬子，夷则之角也。本以丙壬戊庚甲为次序，乃以甲丙戊庚壬为次序，盖后世浅陋，人不晓此理，妄改本文耳。本出《淮南子》而《晋书》《宋书》皆引之，今考其来由，则知承讹踵谬，亦已久矣。
律风

冬至前后，有风自子方来，为主；自午方来，为客，此宫音之风也。有风自寅方来，为主；自申方来，为客，此商音之风也。有风自辰方来，为主；自戌方来，为客，此角音之风也。有风自未方来，为主；自丑方来，为客，此徵音之风也。有风自酉方来，为主；自卯方来，为客，此羽音之风也。有风自亥方来，为主；自巳方来，为客；自下而上，为主；自上而下，为客。此变宫变徵之风也。大寒前后有，风自丑方来，为主；自未方来，为客，此宫音之风也。有风自卯方来，为主；自酉方来，为客，此商音之风也。有风自巳方来，为主；自亥方来，为客，此角音之风也。有风自申方来，为主，自寅方来，为客，此徵音之风也。有风自戌方来，为主；自辰方来，为客，此羽音之风也。有风自子方来，为主；自午方来，为客，自下而上为主；自上而下为客，此变宫变徵之风也。雨水前后，有风自寅方来，为主；自申方来，为客，此宫音之风也。有风自辰方来，为主；自戌方来，为客，此商音之风也。有风自午方来，为主；自子方来，为客，此角音之风也。有风自酉方来，为主；自卯方来，为客，此徵音之风也。有风自亥方来，为主；自巳方来，为客，此羽音之风也。有风自丑方来，为主；自未方来，为客，自下而上为主，自上而下为客，此变宫变徵之风也。春分前后，有风自卯方来，为主；自酉方来，为客，此宫音之风也。有风自巳方来，为主；自亥方来，为客，此商音之风也。有风自未方来，为主；自丑方来，为客，此角音之风也。有风自戌方来，为主；自辰方来，为客，此徵音之风也。有风自子方来，为主；自午方来，为客，此羽音之风也。有风自寅方来，为主；自申方来，为客，自下而上为主，自上而下为客，此变宫变徵之风也。谷雨前后，有风自辰方来，为主；自戌方来，为客，此宫音之风也。有风自午方来，为主；自子方来，为客，此商音之风也。有风自申方来，为主；自寅方来，为客，此角音之风也。有风自亥方来，为主；自巳方来，为客，此徵音之风也。有风自丑方来，为主；自未方来，为客，此羽音之风也。有风自卯方来，为主；自酉方来，为客，自下而上为主，自上而下为客，此变宫变徵之风也。小满前后，有风自巳方来，为主；自亥方来，为客，此宫音之风也。有风自未方来，为主；自丑方来，为客，此商音之风也。有风自酉方来，为主；自卯方来，为客，此角音之风也。有风自子方来，为主；自午方来，为客，此徵音之风也。有风自寅方来，为主；自申方来，为客，此羽音之风也。有风自辰方来，为主；自戌方来，为客，自下而上为主，自上而下为客，此变宫变徵之风也。夏至前后，有风自午方来，为主；自子方来，为客，此宫音之风也。有风自申方来，为主；自寅方来，为客，此商音之风也。有风自戌方来，为主；自辰方来，为客，此角音之风也。有风自丑方来，为主；自未方来，为客，此徵音之风也。有风自卯方来，为主；自酉方来，为客，此羽音之风也。有风自巳方来，为主；自亥方来，为客，自下而上为主，自上而下为客，此变宫变徵之风也。大暑前后，有风自未方来，为主；自丑方来为客，此宫音之风也。有风自酉方来，为主；自卯方来，为客，此商音之风也，有风自亥方来，为主；自巳方来，为客，此角音之风也，有风自寅方来，为主；自申方来，为客，此徵音之风也，有风自辰方来，为主；自戌方来，为客，此羽音之风也，有风自午方来，为主；自子方来，为客，自下而上为主，自上而下为客，此变宫变徵之风也。处暑前后，有风自申方来，为主；自寅方来，为客，此宫音之风也。有风自戌方来，为主；自辰方来，为客，此商音之风也。有风自子方来，为主；自午方来，为客，此角音之风也。有风自卯方来，为主；自酉方来，为客，此徵音之风也。有风自巳方来，为主；自亥方来，为客，此羽音之风也。有风自未方来，为主；自丑方来，为客，自下而上为主，自上而下为客，此变宫变徵之风也。秋分前后有风自酉方来，为主；自卯方来，为客，此宫音之风也。有风自亥方来，为主；自巳方来，为客，此商音之风也。有风自丑方来，为主；自未方来，为客，此角音之风也，有风自辰方来，为主；自戌方来，为客，此徵音之风也，有风自午方来，为主；自子方来，为客，此羽音之风也，有风自申方来，为主；自寅方来，为客，自下而上为主，自上而下为客，此变宫变徵之风也。霜降前后，有风自戌方来，为主；自辰方来，为客，此宫音之风也。有风自子方来，为主；自午方来，为客，此商音之风也。有风自寅方来，为主；自申方来，为客，此角音之风也。有风自巳方来，为主；自亥方来，为客，此徵音之风也。有风自未方来，为主；自丑方来，为客，此羽音之风也。有风自酉方来，为主；自卯方来，为客，自下而上为主，自上而下为客，此变宫变徵之风也。小雪前后，有风自亥方来，为主；自巳方来，为客，此宫音之风也。有风自丑方来，为主；自未方来，为客，此商音之风也。有风自卯方来，为主；自酉方来，为客，此角音之风也。有风自午方来，为主；自子方来，为客，此徵音之风也。有风自申方来，为主；自寅方来，为客，此羽音之风也。有风自戌方来，为主；自辰方来，为客，自下而上为主，自上而下为客，此变宫变徵之风也。右十二律各随方位分别宾主，占其顺逆之风，而以五行生克，辨定吉凶。今风角家所谓子午为宫，丑未为徵，寅申为商，卯酉为羽，辰戌为角，巳亥为变宫，子午互为变徵，六律五声分为阴阳，即其遗法也。推本而论之，盖以子为黄钟，故曰：阳宫，其徵则林钟也。故未为阳徵，午为蕤宾。故曰：阴宫，其徵则大吕也。故丑为阴徵，至变徵则互相为用，故子为午之变徵，午为子之变徵。一终既毕，则从大吕林钟为始，却以丑为阳宫，未为阴宫，寅申为徵，卯酉为商，辰戌为羽，巳亥为角，子午为变宫，丑未互为变徵，馀律放此，凡十二终而为八十四声。监正元统所《辑风角一览》，乃以子午为宫，丑未寅申为徵，卯酉为羽，辰戌为商，巳亥为角，不随月律所在迁移，其相传之误欤。然古人占风不特此耳。如管子曰：凡听徵，如负猪豕觉而骇。凡听羽，如鸣鸟在树。凡听宫，如牛鸣窌中。凡听商，如离群羊。凡听角，如雉登木以鸣，音疾以清。《周官保章氏》以十有二风，察天地之和，命乖别之妖祥。《郑注》曰：十有二辰，皆有风，吹其律以知和否。春秋，楚师伐郑师，旷曰：吾骤歌北风，又歌南风。南风不竞，多死声，楚必无功。是时楚师多冻，其命乖别审矣。服虔曰：北风无射，夹钟以北，南风南吕，姑洗以南。律书所谓六律为万事根本。其于兵械尤所重。故云：望敌知吉凶，闻声效胜负，百王不易之道也。然考之传记，阳立于五，极于九五，九四十五，则变矣。故八风各四十五日。艮为条风，震为明庶，风巽为清明，风离为景风，坤为凉风，兑为阊阖风，乾为不周风，坎为广莫风。卦不过八风，亦八而已。其言十二风者，乾之风渐九月，坤之风渐六月，艮之风渐十二月，巽之风渐三月，而四维之风，皆主两月。此其所以为十二风也。十二风，即十二律也。故《乐记》曰：八风从律而不奸。此之谓也。古人占风以知未来之事者，亦多矣。如周之尹喜，占风以知神人。汉之翼奉，占风以知邪臣。其为术亦不同，或以六律五声，或以六情五际，或用干支，或依卦象。初无定法，若夫验与不验，则存乎其人耳。
律景

天效以景，地效以响。景即晷也，响即律也。景有修短，律有清浊，景有消长，律有损益，其理一也。故冬至景极长，而配之以黄钟，半律则极短。夏至景极短，而配之以黄钟，正律则极长。大雪小寒，冬至之两邻也。故皆配之以应钟，所以佐黄钟半律也。芒种小暑，夏至之两邻也。故皆配之以大吕，所以辅黄钟正律也。春秋二分，晷景适平，故皆配之以蕤宾。以要言之，景渐短则律渐长，景极短则律极长，所谓参伍以变，错综其数者也。《淮南子》曰：子午卯酉为二绳，丑寅辰巳未申戌亥为四钩，东北为报德之维，西南为背阳之维，东南为常羊之维，西北为号通之维，日冬至则斗北中绳，阴气极，阳气萌。故曰：冬至为德日。夏至则斗南中绳，阳气极，阴气萌。故曰：夏至为刑。阴阳刑德有七舍。何谓七舍。室堂庭门巷术野。十二月，德居室三十日，先日至十五日，后日至十五日，而徙所居，各三十日。德在室，则刑在野。德在堂，则刑在术。德在庭，则刑在巷。阴阳相德，则刑德合门。八月二月，阴阳气均，日夜分平。故曰：刑德合门。德南则生，刑南则杀。故曰：二月会而万物生，八月会而草木死。两维之间，九十一度十六分度之五而升，日行一度十五日为一节，以生二十四时之变。斗指子则冬至，音比黄钟。加十五日，指癸，则小寒，音比应钟。加十五日，指丑，则大寒，音比无射。加十五日，指报德之维，则越阴在地。故曰距日冬至四十六日。而立春，阳气冻解，音比南吕。加十五日，指寅，则雨水，音比夷则。加十五日，指甲，则雷惊蛰，音比林钟。加十五日，指卯中绳。故曰春分，则雷行，音比蕤宾。加十五日，指乙，则清明风至，音比仲吕。加十五日，指辰，则谷雨，音比姑洗。加十五日，指常羊之维，则春分尽。故曰有四十六日而立夏，大风济，音比夹钟。加十五日，指巳，则小满，音比太蔟。加十五日，指丙，则芒种，音比大吕。加十五日，指午，则阳气极，故曰有四十六日而夏至，音比黄钟。加十五日，指丁，则小暑，音比大吕。加十五日，指未，则大暑，音比太蔟。加十五日，指背阳之维，则夏分尽，故曰有四十六日而立秋，凉风至，音比夹钟。加十五日，指申，则处暑，音比姑洗。加十五日，指庚，则白露降，音比仲吕。加十五日，指酉中绳，故曰秋分，雷戒蛰，虫北乡，音比蕤宾。加十五日，指辛，则寒露，音比林钟。加十五日，指戌，则霜降，音比夷则。加十五日，指号通之维，则秋分尽，故曰有四十六日而立冬，草木毕死，音比南吕。加十五日，指亥，则小雪，音比无射。加十五日，指壬，则大雪，音比应钟。加十五日，指子，故曰阳生于子，阴生于午。此篇用律，与常法异，历家罕有知者，故备述焉。或问：候气之说，岂传闻之误欤。不然，古人用律，何故异耶。曰：此事大，难言也。非愚昧所知也。虽然尝私淑诸何氏之徒，窃闻其大概焉瑭之言，曰或问孟子：何谓浩然之气。曰：难言也。其为气也，至大至刚，以直养而无害，则塞于天地之间。其为气也，配义与道，无是馁也。是集义所生者，非义袭而取之也。行有不慊于心，则馁矣。律候气之谓欤。公孙弘曰：心和则气和，气和则形和，形和则声和，声和则天地之和应矣。盖律者，形而下者也。气者，形而上者也。形而上谓之道；形而下谓之器。不求诸道而求诸器，未之有也。《隋志》曰：灰飞半出为和气，吹灰全出为猛气，吹灰不能出为衰气，和气应者其政平，猛气应者其臣纵，衰气应者其君暴。由此观之，古人以律占政事之得失，今人以历验律管之真伪，失其旨矣。〈以上《律历融通》系原本卷之三〉
五纪

《洪范五纪》一曰岁，二曰月，三曰日，四曰星辰，五曰历数。乾坤定位之后，四时七政随天而运，寒暑一匝为岁，亏盈一匝为月，旦暮一匝为日，经纬错列为星辰，步算精审为历数。故有王省惟岁，乃至庶民惟星之文。省者，犹言察也。省察岁月日星历，五者之协否也。王察岁，卿士察月，师尹察日，庶民察星，由上达下，皆与闻焉。以验时历，恐有乖误，责非在于一人，故总岁月日星四者言之，则曰五纪。其实历数一事耳。卿士以下，不言省者，统于上文故也。王省惟岁者，察其寒暑之往来，阴阳之消长，以定四时也。卿士惟月者，察其弦望之亏盈，交会之薄食，以定四象也。师尹惟日者，察其晨昏之出没，晷景之进退，以定漏刻也。庶民惟星者，星有好风，星有好雨，察其中星之早晚，以知时令，以便农商，以占风雨，以慎出入也。夫岁乃月之纲，月乃日之纲，日乃星之纲，星乃历之纲。事体有轻重，次序有先后，不容紊也。故曰：岁月日时无易，百谷用成，乂用明，俊民用章，家用平康。此一节本四五纪文，而错简于八庶徵条，先儒因就庶徵为说，非箕子本旨矣。呜呼至哉。天气煦物，地形妪物，日昱昼燥物，月昱夜息物，星辰以纲纪物，岁时分至发敛启闭，以行物，圣人仰观俯察，测以度，计以数，准以法象，用能知其形状大小远近，运行迟速，分齐之详，以教民者，其来尚矣。圜冠句屦之流，斯岂可不知欤。
三正

《何休·春秋注》曰：夏以斗建，寅之月为正，平旦为朔法，物见色尚黑。殷以斗建，丑之月为正，鸡鸣为朔法，物牙色尚白。周以斗建，子之月为正，夜半为朔法，物萌色尚赤。今按正朔两字，世并言之，然非一义也。一岁之中，举一月而首之，之谓正。一日之间择一时而尚之，之谓朔。故周之天统也，更始履端，则以子月祀享朝会，亦以子时。故其《诗》云：夜如何。其夜未央，庭燎之光，君子至止，鸾声将将。又云：鸡既鸣矣，朝既盈矣。此皆周人之诗，纪其时事耳。商之地统，夏之人统，异夫是也。说者曰：黄帝以来，至于夏末，并用人统，以寅月为元日，以平旦为良辰。自汤至秦，迄于汉初，迭用亥子丑，而以为正朔。武帝太初元年，始乃复之。至今行焉。大抵有一代之君，则必有一代之统。有一代之正，则必有一代之朔。岂可生其朝而悖其制，从其月而戾其时哉。虽然言天道者必先子，何以知之，阏逢困敦，合璧连珠，数由是起。土圭测景，律管候气，理由是兴。此天道必先乎子也。行人事者必用寅，何以知之，寅宾出日，平秩东作，帝典斯存，鸡鸣而起，坐以待旦，轲书足据。此言人事必用于寅也。夫天道长于子，百世之上，质诸圣人而不易。故孔子曰：复其见天地之心乎。人事便于寅，百世之下，俟诸圣人而不疑。故孔子曰：行夏之时，《周易》主于天道，《鲁论》主于人事，各主一理，不可偏废。然亦不可使相溷也。考诸史志，古之历术，立元有二，夏历以寅月平旦合朔，立春为元，则子丑月属昨岁，而子丑时亦属昨日。周历以子月夜半合朔，冬至为元，则子丑月属来岁，而子丑时亦属来日。刘宋何承天造元嘉历，始以寅月甲子夜半合朔，雨水为元，进乖夏朔，退非周正。唐一行《大衍历议》讥之，当矣。近世术家乖谬尤甚，仍谓寅月为岁之首，子时为日之元，遂使在外臣工，泥于习俗，迷其归趣。每遇朝贺祀享重典，乃以三更五更为期，淆乱正朔，大违国制。原其本心，盖由恭敬使然，遂致于失礼耳。礼者，无过无不及者也。《记》曰：君子表微，况兹非细故乎，是故不可不辨。考诸制典所载，一应重大礼仪，并云清晨。既无三更五更之说，而累朝诏赦首条，皆云自某日昧爽已前，是亦以寅卯为昼夜之际，而不以亥子为今昨之界。以此推之，则知术家岁首寅月日首子时，天人二统，正朔二义，盖相紊矣。原诸古人朝贺祀享，自黄帝至舜禹，皆用平旦行礼，象其有明德也。此百王不易之法，非若庭燎鸡鸣之诗所陈，乃汤武一时之权制也。我朝得天下最正，而明德昭然，可谓度越黄帝舜禹矣。彼汤武一时之权制，无足取也。今在外各衙门，乃舍此而取彼，岂不谬哉。旧历命气朔，皆始自天正，非也。新法推恒气，以立春为首步，经朔以建寅为先计，昼刻以日出为始。如是之类，钦遵圣制用夏正也。惟命律吕，仍首黄钟；命宿度，仍起夜半，所谓并行而不相悖也。
二统

大统历，乃洪武间，钦天监监正元统造其术，以洪武十七年甲子岁为历元，上考下推，无消长之法。时，监副李德芳上疏驳之，谓：统甲子元历不与经史相合，至差四日半，宜用许衡辛巳元历，及消长之法，方合天道。上曰：二统皆难凭，只验七政交会，行度无差者，为是。由是本监造历，用统甲子元历推算。夫大统历，验今交食虽密，但考古之法未备。德芳言之当矣。今则仰体太祖圣谕，二统难凭之意，和会二家，当以大统之密者，刊正授时之失，复以授时之所长者，补大统之所未备。其视元志诸应，惟气应测验最真，是故无所增损。其闰应等，依大统之法以增损之，故闰增元志二刻，交增元志二刻十四秒，转减元志十六刻九十九分。仍借授时所距之年，以立岁差之法，盖距年近，则差法不可以立故也。授时旧法岁实天周，皆每百年顿差一分。大统虽无此法，然当斟酌旧术，但去其已甚者耳。新法所求岁差，每年增损一秒七十五忽，二年秖积，得三秒五十忽。如是渐渐积之，以至于分，分而刻，刻而日，古人所谓天地之道浸，其消长之法，不可以峻也。又推交食，颇与旧法不同，而比授时大统皆密，此乃合二统之所长。钦遵我太祖高皇帝圣谕也。凡当润色者，详见各条下。
岁馀

古之造历者，立表候景于其午，晷短长之极，以验阴阳消息之始，是为历本。孟子曰：天之高，星辰之远，苟求其故，千岁日至可坐而致。此之谓也。且如今日午中，晷景极长，则从今日为始。日日验之，凡历三百六十五日而复长，是为冬至。今日午中，晷景极短，验亦如之，凡历三百六十五日而复短，是为夏至。是知三百六十五日为一岁之大率也。然至四岁，则历三百六十六日，而后复长及复短者，盖每岁之末，尚有馀分。是故积四岁而馀一日，则知一岁，当馀四分日之一也。日有百刻，均作四分，每分为二十五刻，将此所馀一日，派入四岁，则每岁为三百六十五日二十五刻。举其成数言之，则三百六十六日也。故《尧典》曰：期三百有六旬，有六日以闰月，定四时成岁。此之谓也。三代古法，至春秋时盖已亡矣。孔子数致意焉。其说见于《左传》。是已秦汉以降，言历诸家，惟知岁周三百六十五日二十五刻，而不知实不及二十五刻，但二十四刻有奇，然奇零之数，幽微之理，未易窥测，不能的知真数，是故术家以意酌量，定取分秒，谓之岁馀。汉末有刘洪者，宗室之子也。善推布之学，其造乾象历，考验日月，与术相较，因见气朔后天。精思二十年，始悟历与天不合者，盖由岁馀太强之所致也。创意减之，遂将岁馀二十五刻，命作二千五百，而减为二千四百六十一分有奇。由是以来治历之家，所见不同，或损或益，大率多在二千四百四十分左右。至许衡等造授时历，复将岁馀减至二千四百二十五分，可谓减之之极，自古所未有也。然以之推步测验，与天实为密近。迄今历家宗之，无敢议者。抑亦未有逐日验景测仪若彼之用心者，彼虽积久或复渐差，亦无人识之也。尝详味之，疑其一二似有未当，故略辨之以俟知历者择焉。授时历谓上考往古，每百年于岁实加一分；下求将来，减亦如之。窃以为此言过矣。夫阴阳消长之理，以渐而积者也。先自一秒积至十秒，复自十秒积至一分，未有不从秒起便至分者。授时历于百年之际，顿加一分，考古冬至，虽或偶中，揆之于理，实有未然。假如春秋鲁隐公三年辛酉岁，下距至元辛巳二千年，以授时本法算之，于岁实当加二十分，得庚午日六刻为其年天正冬至。凡冬至距来年冬至，该三百六十五日四分日之一。今以授时之法考其次年壬戌岁，下距至元辛巳千九百九十九年当加十九分，得乙亥日五十刻四十四分，为其年天正冬至。置乙亥日五十刻四十四分，减去庚午日六刻，加所去旬周三百六十，得三百六十五日四十四刻四十四分，则是三百六十五日九分日之四非四分日之一也。历法之谬，莫甚于此。知历之家所当订正者也。新法以其差率不均，稍订正之。设若每年增损二秒，推而上之，则失昭公己丑。假如每年增损一秒至一秒半，则失僖公辛亥二秒为过一秒，至一秒半为不及，酌取中数，每年增损一秒太，则僖公辛亥昭公己丑皆得矣。其法置定距自相乘，七因八归所，得律母，约之，为分，命曰岁差。七居《雒书》之西，为坎；八居，《河图》之东，为离。坎离为日月门户，历家取法以制岁差，然惟岁策有所增损，若周天馀分则不必增损。授时历有天周岁馀增损相补之法，今革去不用也。
朔馀

节气晷漏生于日，阳道也；朔望交会生于月，阴道也。阳道至尊而理微，非庸夫所能察。阴道平易而象著，此俗子所共知。故圣人顺世俗之情而纪时令，以弦望指其圆缺以识之，谓之某月。此月名所由立，朔闰所由出也。然星命家直以节气推人吉凶，若断自朔日为某月，推之则不验。此则阳道至尊之明證矣。凡推朔望交食，差一二刻即觉其误，而于二至晷景，差一二日尚不能觉。此又阴道平易之明證矣。故曰：推交食者，历家之易事也。定晷漏者，历家之难事也。是以圣人重气，常人重朔，虽有重轻，未可偏废，或者有谓宜废朔望之名，直以节气纪之庶几，尊阳抑阴之意，殊不思朔望之名，其来也远。《书》曰：十有一月朔，巡守至于北岳之类是也。古人淳朴，但见十九年终冬至与朔同日，遂谓十九年为一章。一章之月，凡二百三十五内有七闰焉。以章岁十九乘周岁三百六十五日二十五刻，而以章月二百三十五除之，得二十九日五十三刻八分五十一秒，此古历一月之率也。故曰九百四十分日之四百九十九。后世精于历者，察知岁朔馀分率，皆太强，以致后天。自汉刘洪，始裁减之，乃以千四百五十七分日之七百七十三为朔馀，以法除实得五十三刻五分四十二秒。是后，诸家增损不同，所同者二十九日五十三刻耳。夫古历朔馀固太强，而洪削之则太弱，故其历行之未久，朔辄先天。惟大衍等历，朔馀五分九十二秒者，无过不及。麟德历以为五分九十七秒，犹失之强。纪元历以为五分八十九秒，亦失之弱。授时历并麟德纪元二历朔馀，折半得五分九十三秒，其庶几乎中平之率矣。
盈虚

一岁十二月，一月三十日，总之以六十甲子焉。盖律历之恒数如此。《传》曰：纪之以三，平之以六，成于十二，天之道也。以十二乘三十，得三百六十，为一期之日。《易》曰：三百六十，当期之日。指恒数而言耳。然十二律气，每气所管，实三十日四十三刻有奇。与三十相减，多四十三刻有奇，谓之气盈。十二月朔，每朔所管，惟二十九日五十三刻有奇，与三十相减，少四十六刻有奇，谓之朔虚。各以十二乘之，气盈，得五日二十四刻有奇，朔虚得五日六十三刻有奇。相并，共得十日八十七刻有奇，谓之闰馀。大概言之，则一年而馀十一日，积至三年之内，则馀一月。是故置闰月也。《书》曰：以闰月定四时成岁。此之谓也。假如今年正月元旦立春，则知明年正月十二日立春。自立春至立春，隔三百六十五日，自元旦至元旦，隔三百五十四日，相减，恰馀十一日也。古语闰馀成岁，此之谓也。夫一岁而馀十一日，此儒者及历家所共知也。若问此十一日分派在一岁内，何月何日为多一日。何月何日为少一日。不独世儒不知，虽精通历学者，而亦未易知也。何以言之。赵友钦曰：唐一行已前，没灭之术不同。元授时历，盖放一行法也。没用气盈而推，灭用朔虚而求，所谓没者，均一期为三百六十段，每段为一日有奇，如以冬至为第一段，则小寒为第十六段，馀以类推。其段日日有之。凡两段跨三日，先一日九十九刻左右，后一日一刻左右。二段之间，虽止一日有奇，但一日整居其间，而馀数跨在前后二日首尾。故曰跨三日，若一日之段在九十八刻五十四分三十七秒半已后者，为没。没之次日，必无其段。无段之日，其先一日必为没矣。今按此说，不以无段之日为没，而以其先一日为没，于理不通。是故为之辨曰：夫盈生于气者也。虚生于朔者也。皆以三十日为法者，纪之以三故也。置律率三十日四十三刻六十八分七十五秒，而以三十除之得一日一刻四十五分六十二秒半，乃一日而有馀，名为盈策。置朔率二十九日五十三刻五分九十三秒，亦以三十除之，得九十八刻四十三分五十三秒十，忽乃一日而不足，名为虚策。置恒气大小馀以盈策累加之，则日日有其段至盈日，则一段跨三日，盖此段其首在昨日，其尾在明日，而本日无全段。故曰没日。置经朔大小馀以虚策累加之，则日日有其段，至虚日则一日跨三段，盖此日上有前段尾，下有后段首，而本段无全日。故曰灭日。古历谓之没灭，今历谓之盈虚，其义一也。置律率三十日四十三刻六十八分七十五秒为实，以其小馀四十三刻六十八分七十五秒为法，实如法而一，为日得六十九日六十六刻九十五分二十七秒，是为前后两盈相距之数。置朔率二十九日五十三刻五分九十三秒为实，而以朔虚四十六刻九十四分七秒为法，实如法而一，为日得六十二日九十一刻四分二十三秒，是为前后两虚相距之数。置所求盈虚大小馀以距数累加之，即得次盈及次虚矣。旧法推万历九年辛巳岁气首冬至在辛未日八十一刻新法，疑其稍强，恐致后天乃减去七刻有奇，以致盈日撙在后耳。故旧法在正月甲午而新法在二月。庚子者，盖盈生于气。气之分秒少改，多则盈移于前多改，少则盈移于后，亦自然之理也。
爻象

爻象配日之说，出自《纬书》《通卦验》《统轨图》《参同契》等。而汉儒孟喜、京房、郎顗、及魏伯阳所见，各有异同。孟氏章句，其说《易》本于气，而后以人事明之，京氏乃以卦爻配期之日，然分数有多寡，参差不齐，止于占灾验吉凶而已。若夫观阴阳之变化，则错乱而不明。郎氏所传之卦，皆六日八十分日之七，盖置期周三百六十五日二十五刻为实，以六十卦为法除之，得六日而馀五百二十五刻，以百刻乘六十，得六千刻用约分法以七十五，除其法得八十，除其实得七，故曰：每卦所管六日七分已上，诸家皆于群卦之内，摘出坎离震兑，馀六十卦以中孚为首，一日配一爻，至岁终为一周。魏氏则于群卦之内，摘出乾坤离坎，馀六十卦以屯蒙为首，一时配一爻，至月尽为一周。夫月尽为一周者，遇小尽则数不行，岁终为一周者，不以复卦阳生为气之始，亦与天地自然之理不相契合，要之各出臆见，互有可疑者焉。自刘洪乾象历已来，至于耶律楚材庚午元历，皆载卦象之术，惟许衡授时历黜之不用。至今从之。新法虽用卦爻配日，然与旧术则大不同。盖谓伏羲以木德王，故其所画八卦，每卦各有三爻。三者，木之生数。八者，木之成数。因而重之不过。倍其三以为爻。八其八以为卦耳。凡爻初自下起，犹木之根而干，干而枝也。其横图自左而右者，阳左而阴右也。其从图自上而下者，阳上而阴下也。如是从横错综，以成六十四卦方图。震巽恒益，实居中央，此四卦者，贞悔皆属木伏羲所尚也。故为群卦之宗，总统四时，而以阳刚阴柔，分配春秋冬夏。震春分，巽秋分，以风雷为验也。益则雷在内，风在外。恒则风在内，雷在外。冬至夏至之象，除此四卦，其馀六十，以冬至日为复初九，而次之以颐、屯、既济、家人。此五卦在子位，以应黄钟后段及大吕前段也。以大寒日为临初九，而次之以明夷、贲、损、节。此五卦在丑位，以应大吕后段及太蔟前段也。以雨水日为泰初九，而次之以大畜、需、小畜、中孚。此五卦在寅位，以应太蔟后段及夹钟前段也。以春分日为大壮初九，而次之以归妹、丰、离、噬嗑。此五卦在卯位，以应夹钟后段及姑洗前段也。以谷雨日为夬初九，而次之以大有、睽、兑、革。此五卦在辰位，以应姑洗后段及仲吕前段也。以小满日为乾初九，而次之以履、同人、无妄、随。此五卦在巳位，以应仲吕后段及蕤宾前段也。以夏至日为姤初六，而次之以大过、鼎、未济、解。此五卦在午位，以应蕤宾后段及林钟前段也。以大暑日为遁初六，而次之以讼、困、咸、旅。此五卦在未位，以应林钟后段及夷则前段也。以处暑日为否初六，而次之以萃、晋、豫、小过。此五卦在申位，以应夷则后段及南吕前段也。以秋分日为观初六，而次之以渐、涣、坎、井。此五卦在酉位，以应南吕后段及无射前段也。以霜降日为剥初六，而次之以比、蹇、艮、蒙。此五卦在戌位，以应无射后段及应钟前段也。以小雪日为坤初六，而次之以谦、师、升、蛊。此五卦在亥位，以应应钟后段及黄钟前段也。卦爻之策，与声策同；黄钟后段，初均宫声，即为复卦初九爻象。累加声策，得复六二，至于上六，而后继以颐卦初九。如是六十卦三百六十爻当期之日，惟盈没为闰日，无爻象者亦犹闰月无中气也。以其术与律吕术同，是故历经附载。
日躔

古历绪馀，见于经典，灼然可考，莫如日躔及中星焉。而推步家鲜有达者，穿凿纷纭，至今未定，盖由不知夏时之与周正异也。夫唐虞禅让，正朔相沿，故《大戴礼记》云：虞夏之历，建正于孟春。此之谓也。《夏小正篇》即其遗法，大抵夏历纪中星，察发敛，皆以节气为主。周历则以中气为主。历术古有六家，其颛顼等历，今虽不可考，而一行之时尚及见之。《大衍历议》言之详矣。颛顼历上元甲寅岁正月甲寅晨初合朔，立春，七曜皆直艮维之首，盖重黎受职于颛顼，九黎乱德，二官咸废。帝尧复其子孙，命掌天地四时。以及虞夏，故本其所由生。命曰：颛顼，其实夏历也。汤作殷历，更以十一月甲子夜半合朔冬至为上元。周人因之，距羲和千祀昏明中星率差半次夏历章蔀纪首，皆在立春，故其课中星揆斗建与闰馀所盈缩，皆以十二节气为之损益，而殷周汉历章蔀纪首，皆直冬至。故其名察发敛，亦以中气为主，此其异也。《夏小正》虽颇疏简失传，乃羲和遗迹。何承天循大戴之说，复用夏时，更以正月甲子夜半合朔，雨水，为上元。进乖夏朔，退非周正，故近代推月令小正者，皆不与古合。尝以新法岁差，上考《尧典》中星，则所谓四仲月盖自节气之始，至于中气之终，三十日内之中星耳。后世执著于二分二至中星，是亦误矣。《礼记注疏》曰：月令昏明中星，皆大略而言，不与历正同。但在一月之内，有中者即得载之，所以昏明之星，不可正依历法，但举大略耳。此说得之。夫测中晷以定冬至，冬至正则一岁气节从而正矣。验中星以求日躔，日躔真则七政行度无不真矣。此二者盖治历之本也，岂可苟哉。《汉志》曰：元封七年十一月甲子朔旦冬至日，月在建星。又曰：在牵牛之初。宋祁曰：建星在斗后十三度，在牛前十一度日。在斗牛间，是太初所测，止得其大略耳。《大衍历议》谓：明帝永平十一年冬至，当以戊午，而四分历以为辛酉。章帝元和二年冬至，当以丁亥而，四分历以为庚寅。至既后天三日，日必先天三度。故当时测验者，以为日在南斗二十一度。以今密率考之，实在南斗十七八度之间而已。刘宋之世，何承天以为日应在斗十三四度，祖冲之以为在斗十一度，是亦未有定说。唐一行曰：日之所在难知，验以中星，则漏刻不定。汉世课昏明中星，为法已浅。今候夜半中星，以求日冲，近于得密。而水有清浊，壶有增减，或积尘所拥，故漏有迟疾。臣等频夜候中星，而前后相差或至三度。大率冬至远不过斗十四度，近不出十度。以此观之一行所测，盖亦未为密也。按东晋已前，未有岁差之说，故三统历以为冬至常躔牵牛之初，四分历以为冬至常在斗二十一。刘洪蔡邕之流皆无异说。自虞喜始觉其差，谓每岁当渐差，故创立岁差术。其历虽不传，而其法可考也。且如推尧元年冬至日躔宿度，则诸家所见亦各不同。虞喜以为岁差二分，尧时日应在危。何承天谓尧时日应在须女十度左右，祖冲之讥承天之失，复从虞喜之说岁差二分有奇，日在营室初度。刘孝孙以为在危一。刘焯以为在虚六，大衍历岁差一分二十秒，日在虚一，纪元历岁差一分三十六秒，日在虚六，授时历本法上考往古，每百年岁周长一分，天周消一分。尧距至元，三千六百馀年，故岁周三百六十五万二千四百六十一分。天周三百六十五万二千五百三十九分，如是推之，则尧时日在牛二，大统历不用授时消长之术，但以常数推之，然则当在危一有奇。二历相差二十六度，其推冬至之日，及有闰无闰，亦各不同。四仲中星，各随日躔而异。诸贤所见，互有异同。窃以为承天一行二家之说盖近之矣。
天周

古历周天之度，周岁之日，皆三百六十有五。全策之外，皆有奇分，所谓四分之一。自今岁冬至距来岁冬至，历三百六十五日，而日行一周。凡四周，历千四百六十，则馀一日。析而四之，则四分之一也。然天之分，常有馀，岁之分，常不足。其数有不能齐者，盖黄道虽云差，冬夏二至日躔恒距赤道二十四度，其躔每岁不同，岁差移一分，馀斜络于二十八宿。间岁，久皆其经行之道如人缠丝为团，丝丝缠络，虽重复参差而周道，则一譬犹月之出入黄道，每交退移变动不居日出入于赤道大率，亦然但月之退移也。著而日之退移也。微古人造历初未之觉，以为日有常度。天周即岁周，其说似是而非，故久而益差。晋虞喜始觉之，谓天度与岁日数殊，不用天周即岁周之术，使天自为天，岁自为岁，因立岁差法。其法损岁馀，益天周，使岁馀浸弱，天周浸强，强弱相减，则得日躔岁退之差。历代治历者咸宗之，而有所损益焉。初喜以天体为三百六十五度二十六分，乃四分之一有馀。岁策为三百六十五日二十四分，乃四分之一不足。五十年差一度，宋何承天以岁差太速改周天为三百六十五度二十五分，半周岁为三百六十五日二十四分半百年差一度，祖冲之以四十五年差一度，隋刘焯以七十五年差一度，唐傅仁均以五十五年差一度，僧一行以八十二年差一度，自后诸历各各不同宋历多在七十五年左右，惟统天历取大衍岁差率八十二年及开元所距之差，五十五年折取中数得六十六年三分年之二为日，退移一度之限。故谓周天三百六十五度二十五分七十五秒，周岁三百六十五日二十四分二十五秒，百年差一度半。元授时历从之，至今守其说，盖亦近密矣。按汉代以前，未有岁差之法。晋宋而后，虽立岁差，而未有定论。李淳风犹谓无差。冬至日常躔斗十三度。至一行而论始定。《王孝通难》云：如岁差，自昴至壁，则尧前七千馀载，冬至日应在东井，井极北，故暑。斗极南，故寒。寒暑易位，必不然矣。一行辨之曰：夫所谓岁差者，日与黄道俱差也。假冬至日躔大火之中，则春分黄道交于虚九，而南至之轨更出房心，外距赤道亦二十四度，设在东井差亦如之。若日在东井，犹去极最近表景最短则是分至常居其所黄道不迁，日行不退，又安得谓之岁差乎。此言当矣。至若损岁馀益天周之说，今则以为未然。盖岁馀虽有所消，而天周实无所长，其强使之长者，不过因求岁差而设，此以胸臆之见，而诬天也。夫岁馀之消验，诸晷景可知天周之长，则无所凭据，非近诬矣乎。今考诸历周天馀分以万约之，则古六历为三百六十五度二千五百分，大衍历为二千五百六十五分，纪元历为二千五百七十二分，授时历为二千五百七十五分，皆以渐而增也。岂天实有所增哉。特人为傅会之耳。古云：善治历者，当顺天以求合，非为合以验天。此皆为合验天者也。故今新法削去后人所增之分，以复古历之旧，所谓周天三百六十五度四分度之一是也。一为实，四为法，实如法，而一以度母，百约之，则为二十五分。上考下推，无所增损，此不易之法也。