钦定古今图书集成历象汇编历法典

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历法典第二十三卷

历法总部汇考二十三

宋五

仁宗庆历元年冬十二月，司天监上《崇天万年历》。
按《宋史·仁宗本纪》云云。
英宗治平二年春三月，颁《明天历》。
按《宋史·英宗本纪》云云。　按《律历志》：崇天历行之至于嘉祐之末。英宗即位，命殿中丞、判司天监周琮及司天冬官正王炳、丞王栋、主簿周应祥、周安世、马杰、灵台郎杨得言作新历，三年而成。琮言：旧历气节加时，后天半日；五星之行差半次；日食之候差十刻。既而司天中官正舒易简与监生石道、李遘更陈家学。于是诏翰林学士范镇、诸王府侍讲孙思恭、国子监直讲刘分賱考定是非，上推《尚书》辰弗集于房与春秋之日食，参今历之所候，而易简、道、遘等所学疏阔，不可用，新书为密。遂赐名《明天历》。诏翰林学士王圭序之，而琮亦为义略冠其首。今纪其历法于后：

明天历法

调日法〈朔馀、周天分、斗分、岁差、日度母附〉。
造历之法，必先立元，元正然后定日法，法定然后度周天，以定分、至，三者有程，则历可成矣。日者，积馀成之；度者，积分成之。盖日月始离，初行生分，积分成日。自四分历洎古之六历，皆以九百四十为日法。率由日行一度，经三百六十五日四分之一，是为周天；月行十三度十九分之七，经二十九日有馀，与日相会，是为朔策。史官当会集日月之行，以求合朔。自汉太初至于今，冬至差十日，如刘歆三统复强于古，故先儒谓之最疏。后汉刘洪考验四分，于天不合，乃减朔馀，苟合时用。自是已降，率意加减，以造日法。宋世何承天更以四十九分之二十六为强率，十七分之九为弱率，于强弱之际以求日法。承天日法七百五十二，得一十五强一弱。自后治历者，莫不因承天法、累强弱之数，皆不悟日月有自然合会之数。今稍悟其失，定新历以三万九千为日法，六百二十四万为度母，九千五百为斗分，二万六百九十三为朔馀，可以上稽于古，下验于今，反覆推求，若应绳准。又以二百三十万一千为月行之馀〈月行十三度之馀〉。以一百六十万四百四十七为日行之馀〈日行周天之馀〉。乃会日月之行，以盈不足平之，并盈不足，是为一朔之法〈日法也，名元法〉。今乃以大月乘不足之数，以小月乘盈行之分，平而并之，是为一朔之实〈周天分也〉。以法约实，得日月相会之数，皆以等数约之，悉得今有之数〈盈为朔虚，不足为朔馀〉。又二法相乘为本母，各母互乘，以减周天，馀则岁差生焉，亦以等数约之，即得岁差、度母、周天实用之数。此之一法，理极幽眇，所谓反覆相求，潜遁相通，数有冥符，法有偶会，古历家皆所未达。
以等数约之，得三万九千为元法，九千五百为斗分，二万六百九十三为朔馀，六百二十四万为日度母，二十二亿七千九百二十万四百四十七为周天分，八万四百四十七为岁差。

岁馀：九千五百〈古历日斗分〉。
古者以周天三百六十五度四分度之一，是为斗分。夫举正于中，上稽往古，下验当时，反覆参求，合符应准，然后施行于百代，为不易之术。自后治历者，测今冬至日晷，用校古法，过盈，以万为母，课诸气分，率二千五百以下、二千四百二十八已上为中平之率。新历斗分九千五百，以万平之，得二千四百二十五半盈，得中平之数也。而三万九千年冬至小馀成九千五百日，满朔实一百一十五万一千六百九十三，年齐于日分，而气朔相会。
岁周：一千四百二十四万四千五百。以元法乘三百六十五度，内斗分九千五百，得之，即为一岁之日分，故曰岁周。
若以二十四均之，得一十五日、馀八千五百二十、秒一十五，为一气之策也。

朔实：一百一十五万一千六百九十三。本会日月之行，以盈不足平而得二万六百九十三，是为朔馀〈备在调日法术中〉。是则四象全策之馀也。今以元法乘四象全策二十九，总而并之，是为一朔之实也。古历以一百万平朔馀之分，得五十三万六百以下、五百七十以上，是为中平之率。新历以一百万平之，得五十三万五百八十九，得中平之数也。
若以四象均之，得七日，馀一万四千九百二十三、秒，是为弦策也。

中盈、朔虚分〈闰馀附〉。日月以会朔为正，气序以斗建为中，是故气进而盈分存焉。置中节两气之策，以一月之全策三十减之，每至中气，即一万七千四十、秒十二，是为中盈分。朔退而虚分列焉，置一月之全策三十，以朔策及馀减之，馀一万八千三百七，是为朔虚分。综中盈、朔虚分，而闰馀章焉〈闰馀三万五千三百四十五、秒一十三〉。从消息而自致，以盈虚名焉。
纪法：六十。易乾象之爻九，坤象之爻六，震、坎、艮象之爻皆七，巽、离、兑象之爻皆八。综八卦之数凡六十，又六旬之数也。纪者，终也，数终八卦，故以纪名焉。天正冬至：大馀五十七，小馀一万七千。先测立冬晷景，次取测立春晷景，取近者通计，半之，为距至泛日；乃以晷数相减，馀者以法乘之，满其日晷差而一，为差刻；乃以差刻
求冬至，视其前晷多则为减，少则为加，求夏至者反之。

加减距至汎日，为定日；仍加半日之刻，命从前距日辰，算外，即二至加时日辰及刻分所在。如此推求，则加时与日晷相协。今须积岁四百一年〈治平元年甲辰岁，气积年也〉。则冬至大、小馀与今适会。
天正经朔：大馀三十四，小馀三万一千。闰馀八十八万三千九百九十。此乃检括日月交食加时早晚而定之，损益在夜半后，得戊戌之日，以方程约而齐之。今须积岁七十一万一千七百六十一〈治平元年甲辰岁，朔积年也〉。则经朔大、小馀与今有之数，偕闰馀而相会。日度岁差：八万四百四十七。书举正南之星以正四方，盖先王以明时授人，奉天育物。然先儒所述，互有同异。虞喜云：尧时冬至日短星昴，今二千七百馀年，乃东壁中，则知每岁渐差之所至。又何承天云：《尧典》日永星火，以正仲夏；宵中星虚，以正仲秋。今以中星校之，所差二十七八度，即尧时冬至，日在须女十度。故祖冲之修《大明历》，始立岁差，率四十五年九月却一度。虞邝、刘孝孙等因之，各有增损，以创新法。若从虞喜之验，昴中则五十馀年日退一度；若依承天之验，火中又不及百年日退一度。后皇极综两历之率而要取其中，故七十五年而退一度，此乃通其意未尽其微。今则别调新率，改立岁差，大率七十七年七月，日退一度，上元命于虚九，可以上覆往古，下逮于今。自帝尧以来，循环考验，新历岁差，皆得其中，最为亲近。周天分：二十二亿七千九百二十万四百四十七。本齐日月之行，会合朔而得之〈在调日法〉。使上考仲康房、宿之交，下验姜岌月食之冲，三十年间，若应准绳，则新历周天，有自然冥符之数，最为密近。
日躔盈缩定差：张胄玄名损益率曰盈缩数，刘孝孙以盈缩数为胐朒积，皇极有陟降率、迟疾数，麟德曰先后、盈缩数，大衍曰损益、朏朒积，崇天曰损益、盈缩积。所谓古历平朔之日，而月或朝觌东方，夕见西方，则史官谓之胐朒。今以日行之所盈缩、月行之所迟疾，皆损益之，或进退其日，以为定朔，则舒亟之度，乃势数使然，非失政之致也。新历以七千一为盈缩之极，其数与月离相错，而损益、盈缩为名，则文约而义见。升降分：皇极躔衰有陟降率，麟德以日景差、陟降率、日晷景消息为之，义通轨漏。夫南至之后，日行渐升，去极近，故晷短而万物皆盛；北至之后，日行渐降，去极远，故晷长而万物寖衰。自大衍以下，皆从麟德。今历消息日行之升降，积而为盈缩焉。
赤道宿：汉百二年议造历，乃定东西，立晷仪，下漏刻，以追二十八宿相距于四方，赤道宿度，则其法也。其赤道，斗二十六度及分，牛八度，女十二度，虚十度，危十七度，室十六度，壁九度，奎十六度，娄十二度，胃十四度，昴十一度，毕十六度，觜二度，参九度，井三十三度，鬼四度，柳十五度，星七度，张十八度，翼十八度，轸十七度，角十二度，亢九度，氐十五度，房五度，心五度，尾十八度，箕十一度，自后相承用之。至唐初，李淳风造浑仪，亦无所改。开元中，浮屠一行作大衍历，诏梁令瓒作黄道游仪，测知毕、觜、参及舆鬼四宿赤道宿度，与旧不同〈毕十七度，觜一度，参十度，鬼三度〉。自一行之后，因相沿袭，下更五代，无所增损。至仁宗皇祐初，始有诏造黄道浑仪，铸铜为之。自后测验赤道宿度，又一十四宿与一行所测不同。
斗二十五度，牛七度，女十一度，危十六度，室十七度，胃十五度，毕十八度，井三十四度，鬼二度，柳十四度，氐十六度，心六度，尾十九度，箕十度。

盖古今之人，以八尺圆器，欲以尽天体，决知其难矣。又况图本所指距星，传习有差，故今赤道宿度与古不同。自汉太初后至唐开元治历之初，凡八百年间，悉无更易。今虽测验与旧不同，亦岁月未久。新历两备其数，如淳风从旧之意。
月度转分：洪范传曰：晦而月见西方谓之朏。月未合朔，在日后；今在日前，太疾也。朏者，人君舒缓、臣下骄盈专权之象。朔而月见东方谓之侧匿。合朔则月与日合，今在日后，太迟也。侧匿者，人君严急、臣下危殆恐惧之象。盈则进，缩则退，躔离九道，周合三旬，考其变行，自有常数。传称，人君有疾舒之变，未达月有迟速之常也。后汉刘洪粗通其旨。尔后治历者多循旧法，皆考迟疾之分，增损平会之朔，得月后定追及日之际而生定朔焉。至于加时早晚，或速或迟，皆由转分强弱所致。旧历课转分，以九分之五为强率，一百一分之五十六为弱率，乃于强弱之际而求秒焉。新历转分二百九十八亿八千二百二十四万二千二百五十一，以一百万平之，得二十七日五十五万四千六百二十六，最得中平之数。旧历置日馀而求胐朒之数，衰次不伦。今从其度而迟疾有渐，月之课验，稍符天度。
转度母〈转法、会周附〉。本以朔分并周天，是为会周〈一朔之月常度也各用本母〉。去其朔差为转终〈朔差乃终外之数也〉。各以等数约之，即得实用之数。乃以等数约本母为转度母〈齐数也〉。又以等数约月分为转法〈亦名转日法也〉。以转法约转终，得转日及馀。本历创立此数，皆古历所未有。
约得八千一百一十二万为转度母，二百九十八亿八千二百二十四万二千二百五十一为转终分，三百二十亿二千五百一十二万九千二百五十一为会周，一十亿八千四百四十七万三千为转法，二十一亿四千二百八十八万七千为朔差。

月离迟疾定差：皇极有加减限、朏朒积，麟德曰增减率、迟疾积，大衍曰损益率、朏朒积，崇天亦曰损益率、朏朒积。所谓日不及平行则损之，过平行则益之，从阳之义也；月不及平行则益之，过平行则损之，御阴之道也。阴阳相错而以损益、迟疾为名。新历以一万四千八百一十九为迟疾之极，而得五度八分，其数与躔相错，可以知合食加时之早晚也。
进朔：进朔之法，兴于麟德。自后诸历，因而立法，互有不同。假令仲夏月朔月行极疾之时，合朔当于亥正，若不进朔，则晨而月见东方；若从大衍，当戌初进朔，则朔日之夕，月生于西方。新历察朔日之馀，验月行徐疾，变立法率，参验加时，常视定朔小馀：秋分后四分法之三已上者，进一日；春分后定朔晨分差如春分之日者，三约之，以减四分之二；定朔小馀如此数已上者，亦进，以来日为朔。俾循环合度，月不见于朔晨；交会无差，明必藏于朔夕。加时在于午中，则晦日之晨同二日之夕，皆合月见；加时在于酉中，则晦日之晨尚见，二日之夕未生；加时在于子中，则晦日之晨不见，二日之夕以生。定晦朔，乃月见之晨夕可知；课小馀，则加时之早晏无失。使坦然不惑，触类而明之。
消息数：因漏刻立名，义通晷景。麟德历差曰屈伸率。天昼夜者，易进退之象也。冬至一阳爻生而晷道渐升，夜漏益减，象君子之道长，故曰息；夏至一阴爻生，而晷道渐降，夜漏益增，象君子之道消，故曰消。表景与阳为冲，从晦者也，故与夜漏长短。今以屈伸象太阴之行，而刻差曰消息数。黄道去极，日行有南北，故晷漏有长短。然景差徐疾不同者，句股使之然也。景直晷中则差迟，与句股数齐则差急，随北极高下，所遇不同。其黄道去极度数与日景、漏刻、昏晚中星反覆相求，消息用率，步日景而稽黄道，因黄道而生漏刻，而正中星，四术旋相为中，以合九服之变，约而易知，简而易从。
六十四卦：十二月卦出于孟氏，七十二候原于《周书》。后宋景业因《刘洪传卦》，李淳风据《旧历元图》，皆未睹阴阳之赜。至开元中，浮屠一行考扬子云太玄经，错综其数，索隐周公三统，纪正时训，参其变通，著在爻象，非深达易象，孰能造于此乎。今之所修，循一行旧义，至于周策分率，随数迁变。夫六十卦直常度全次之交者，诸侯卦也；竟六日三千四百八、十六秒而大夫受之；次九卿受之；次三公受之；次天子受之。五六相错，复协常月之次。凡九三应上九，则天微然以静；六三应上六，则地郁然而定。九三应上六即温，六三应上九即寒。上爻阳者风，阴者雨。各视所直之爻，察不刊之象，而知五等与君辟之得失、过与不及焉。七十二候，李业兴以来迄于麟德，凡七家历，皆以鸡始乳为立春初候，东风解冻为次候，其馀以次承之。与周书相校，二十馀日，舛讹益甚。而一行改从古义，今亦以周书为正。
岳台日晷：岳台者，今京师岳台坊，地曰浚仪，近古候景之所。《尚书·洛诰》称东土是也。《礼·玉人职》：土圭长尺有五寸以致日。此即日有尝数也。司徒职以圭正日晷，日至之景，尺有五寸，谓之地中。此即是地土中致日景与土圭等。然表长八尺，见于《周髀》。夫天有常运，地有常中，历有正象，表有定数。言日至者，明其日至此也。景尺有五寸与圭等者，是其景晷之真效。然夏至之日尺有五寸之景，不因八尺之表将何以得。故经见夏至日景者，明表有定数也。新历周岁中晷长短，皆以八尺之表测候，所得名中晷常数。交会日月，成象于天，以辩尊卑之序。日，君道也；月，臣道也。谪食之变，皆与人事相应。若人君修德以禳之，则或当食而不食。故太阴有变行以避日，则不食；五星潜在日下，为太阴禦侮而扶救，则不食；涉交数浅，或在阳历，日光著盛，阴气衰微，则不食；德之休明而有小眚焉，天为之隐，是以光微蔽之，虽交而不见食。此四者，皆德感之所繇致也。按《大衍历议》：开元十二年七月戊午朔，当食。时自交阯至朔方，同日度景测候之际，晶明无云而不食。以历推之，其日入交七百八十四分，当食八分半。十三年，天正南至，东封礼毕，还次梁、宋，史官言：十二月庚戌朔，当食。帝曰：予方修先后之职，谪见于天，是朕之不敏，无以对扬上帝之休也。于是彻膳素服以俟之，而卒不食。在位之臣莫不称庆，以谓德之动天，不俟终日。以历推之，是月入交二度弱，当食十五分之十三，而阳光自若，无纤毫之变，虽算术乖舛，不宜若是。凡治历之道，定分最微，故损益毫釐，未得其正，则上考春秋以来日月交食之载，必有所差。假令治历者因开元二食变交限以从之，则所协甚少，而差失过多。由此明之，《诗》云：此日而微，乃非天之常数也。旧历直求月行入交，今则先课交初所在，然后与月行更相表里，务通精数。
四正食差：正交如累壁，渐减则有差。在内食分多，在外食分少；交浅则间遥，交深则相薄；所观之地又偏，所食之时亦别。苟非地中，皆随所在而渐异。纵交分正等同在南方，冬食则多，夏食乃少。假均冬夏，早晚又殊，处南北则高，居东西则下。视有斜正，理不可均。月在阳历，校验古今交食，所亏不过其半。合置四正食差，则斜正于卯酉之间，损益于子午之位，务从亲密，以考精微。
五星立率：五星之行，亦因日而立率，以示尊卑之义。日周四时，无所不照，君道也；星分行列宿，臣道也。阴阳进退，于此取仪刑焉。是以当阳而进，当阴而退，皆得其常，故加减之。古之推步，悉皆顺行，至秦方有金、火逆数。大衍曰：
木星之行与诸星稍异：商、周之际，率一百二十年而超一次；至战国之时，其行寖急；逮中平之后，八十四年而超一次，自此之后，以为常率。其行也，初与日合，一十八日行四度，乃晨见东方。而顺行一百八日，计行二十二度强，而留二十七日。乃退行四十六日半，退行五度强，与日相望。旋日而退，又四十六日半，退五度强，复留二十七日。而顺行一百八日，行十八度强，乃夕伏西方。又十八日行四度，复与日合。
火星之行：初与日合，七十日行五十二度，乃晨见东方。而顺行二百八十日，计行二百一十六度半弱，而留十一日。乃退行二十九日，退九度，与日相望。旋日而退，又二十九日，退九度，复留十一日。而顺行二百八十日，行一百六十四度半弱，而夕伏西方。又七十日，行五十二度，复与日合。
土星之行：初与日合，二十一日行二度半，乃晨见东方。顺行八十四日，计行九度半强，而留三十五日。乃退行四十九日，退三度半，与日相望。乃旋日而退，又四十九日，退三度少，复留三十五日。又顺行八十四日，行七度强，而夕伏西方。又二十一日，行二度半，复与日合。
金星之行：初与日合，五十八日半行四十九度太，而夕见西方。乃顺行二百三十一日，计行二百五十一度半，而留七日。乃退行九日，退四度半，而夕伏西方。又六日半，退四度太，与日再合。又六日半，退四度太，而晨见东方。又退九日，逆行四度半，而复留七日。而复顺行二百三十一日，行二百五十一度半，乃晨伏东方。又三十八日半，行四十九度太，复与日会。水星之行：初与日合，十五日行三十三度，乃夕见西方。而顺行三十日，计行六十六度，而留二日，乃夕伏西方。而退十日，退八度，与日再合。又退十日，退八度，乃晨见东方，而复留二日。又顺行三十三日，行三十三度，而晨伏东方。又十五日，行三十三度，与日复会。一行云：五星伏见，留逆之效，表里盈缩之行，皆系之于时，验之于政。小失则小变，大失则大变；事微而象微，事章而象章。盖皇天降谴以警悟人主。又或算者昧于象，占者迷于数，睹五星失行，悉谓之历舛，以数象相参，两丧其实。大凡校验之道，必稽古今注记，使上下相距，反覆相求，苟独异常，则失行可知矣。星行盈缩：五星差行，惟火尤甚。乃有南侵狼坐，北入匏瓜，变化超越，独异于常，是以日行之分，自有盈缩。此乃天度广狭不等，气序升降有差，考今升降之分，积为盈缩之数。凡五星入气加减，兴于张子信，以后方士各自增损，以求亲密。而开元历别为四象六爻，均以进退，今则别立盈缩，与旧异。五星见伏：五星见伏，皆以日度为规。日度之运，既进退不常；星行之差，亦随而增损。是以五星见伏，先考日度之行，今则审日行盈缩，究星躔进退，五星见伏，率皆密近。
《旧说》：水星晨应见不见在雨水后、谷雨前，夕应见不见在处暑后、霜降前。又云，五星在卯酉南则见迟、伏早，在卯酉北则见早、伏迟，盖天势使之然也。
步气朔术

演纪上元甲子岁，距治平元年甲辰，岁积七十一万一千七百六十，算外〈上验往古，每年减一算；下算将来，每年加一算〉。元法：三万九千。
岁周：一千四百二十四万四千五百。
朔实：一百一十五万一千六百九十三。
岁周：三百六十五日、馀九千五百。
朔策：二十九、馀二万六百九十三。
望策：一十四、馀二万九千八百四十六半。
弦策：七、馀一万四千九百二十三、秒四半。
气策：一十五、馀八千五百二十、秒一十五。
中盈分：一万七千四十一、秒一十二。
朔虚分：一万八千三百七。
闰限：一百一十一万六千三百四十四、秒六。
岁闰：四十二万四千一百八十四。
月闰：三万五千三百四十八、秒一十二。
没限：三万四百七十九、秒三。
纪法：六十。秒母：一十八。
求天正冬至：置所求积年，以岁周乘之，为天正冬至气积分；满元法除之为积日，不满为小馀。日盈纪法去之，不尽，命甲子，算外，即得所求年前天正冬至日辰及馀。
求次气：置天正冬至大、小馀，以气策加之，即得次气大、小馀。
若秒盈秒母从小馀，小馀满元法从大馀，大馀满纪法即去之。

命大馀甲子，算外，即次气日辰及馀〈馀气累而求之〉。求天正经朔：置天正冬至气积分，满朔实去之为积月，不尽为闰馀；盈元法为日，不盈为馀；以减天正冬至大、小馀，为天正经朔大、小馀。
大馀不足减，加纪法；小馀不足减，退大馀，加元法以减之。

命大馀甲子，算外，即得所求年前天正经朔日辰及馀。
求弦望及次朔经日：置天正经朔大、小馀，以弦策累加之，命如前，即得弦、望及次朔经日日辰及馀。求没日：置有没之气小馀，
二十四气小馀在没限已上者，为有没之气。

以秒母乘之〈其秒从之〉。用减七十一万二千二百二十五，馀以一万二百二十五除之为没日，不满为馀。以没日加其气大馀，命甲子，算外，即其气没日日辰。求减日，置有减经朔小馀，
经朔小馀不满朔虚分者，为有减之朔。

以三十乘之，满朔虚分为减日，不满为馀。以减日加经朔大馀，命甲子，算外，即其月减日日辰。
步发敛术

候策：五、馀二千八百四十、秒五。
卦策：六、馀三千四百八、秒六。
土王策：三、馀一千七百四、秒三。
辰法：三千二百五十。
刻法：三百九十。
半辰法：一千六百二十五。
秒母：一十八。
求七十二候：各置中节大、小馀命之，为初候；以候策加之，为次候；又加之，为末候。各命甲子，算外，即得其候日辰。
求六十四卦：各因中气大、小馀命之，为公卦用事日；以卦策加之，即次卦用事日；以土王策加诸侯之卦，得十有二节之初外卦用事日。
求五行用事日：各因四立之节大、小馀命之，即春木、夏火、秋金、冬水首用事日；以土王策减四季中气大、小馀，命甲子，算外，即其月土始用事日也。
求发敛加时：各置小馀，满辰法除之为辰数，不满者，刻法而一为刻，又不满为分。命辰数从子正，算外，即得所求加时辰时。
若以半辰之数加而命之，即得辰初后所入刻数。

求发敛去经朔：置天正经朔闰馀，以月闰累加之，即每月闰馀；满元法除之为闰日，不尽为小馀，即得其月中气去经朔日及馀秒。
其闰馀满闰限，即为置闰，以月内无中气为定。

求卦候去经朔：各以卦、候策及馀秒累加减之〈中气前，减；中气后，加〉。即各得卦、候去经朔日及馀秒。
步日躔术

日度母：六百二十四万。周天分：二十二亿七千九百二十万四百四十七。周天：三百六十五度。
馀一百六十四万四百四十七，约分二千五百六十四、秒八十二。

岁差：八万四百四十七。
二至限：一百八十二度。
馀二万四千二百五十，约分六千二百一十八。

一象度：九十一。
馀一万二千一百二十五，约分三千一百九。

求朔弦望入盈缩度：置二至限度及馀，以天正闰日及馀减之，馀为天正经朔入缩度及馀；以弦策累加之，满二至限度及馀去之〈则盈入缩，缩入盈而互得之〉。即得弦、望及次经朔日所入盈缩度及馀。
其馀以一万乘之，元法除之，即得约分。

求朔弦望盈缩差及定差：各置朔、弦、望所入盈缩度及约分，如在象度分以下者为在初；以上者，覆减二至限，馀为在末。置初、末度分于上，列二至于下，以上减下，馀以下乘上，为积数；满四千一百三十五除之为度，不满，退除为分，命曰盈缩差度及分。若以四百乘积数，满五百六十七除之，为盈缩定差。
若用立成者，以其度损益率乘度除，满元法而一，所得，以损益其度下盈缩积，为定差度；其损益初、末分为二日者，各随其初、末以乘除。其后皆如此例。

求定气日：冬、夏二至，盈缩之端，以常为定。馀者以其气所得盈缩差度及分盈减缩加常气日及约分，即为其气定日及分。
赤道宿度

斗：二十六　牛：八　　女：十二　虚：十及分
危：十七　　室：十六　壁：九
北方七宿九十八度〈馀一百六十万四百四十七，约分二千五百六十四〉。

奎：十六　　娄：十二　胃：十四　昴：十一
毕：十七　　觜：一　　参：十
西方七宿八十一度。

井：三十三　鬼：三　　柳：十五　星：七
张：十八　　翼：十八　轸：十七
南方七宿一百一十一度。

角：十二　　亢：九　　氐：十五　房：五
心：五　　　尾：十八　箕：十一
东方七宿七十五度。

前皆赤道度，自大衍以下，以仪测定，用为常数。赤道者，常道也，纮于天半，以格黄道。
求天正冬至赤道日度：以岁差乘所求积年，满周天分去之，不尽，用减周天分，馀以度母除之，一度为度，不满为馀。
馀以一万乘之，度母退除为约分。

命起赤道虚宿六度去之，至不满宿，即所求年天正冬至加时赤道日躔所在宿度及分。
求夏至赤道加时日度：置天正冬至加时赤道日度，以二至限度及分加之，满赤道宿度去之，即得夏至加时赤道日度。
若求二至昏后夜半赤道日度者，各以二至之日约馀减一万分，馀以加二至加时赤道日度，即为二至初日昏后夜半赤道日度，每日加一度，满赤道宿度去之，即得每日昏后夜半赤道日度。

求赤道宿积度：置冬至加时赤道宿全度，以冬至赤道加时日度减之，馀为距后度及分；以赤道宿度累加之，即各得赤道其宿积度及分。
求赤道宿积度入初末限，各置赤道宿积度及分，满九十一度三十一分去之，馀在四十五度六十五分半以下〈分以日为母〉。为在初限；以上者，用减九十一度三十一分，馀为入末限度及分。
求二十八宿黄道度：各置赤道宿入初、末限度及分，用减一百一十一度三十七分，馀以乘初、末限度及分，进一位，以一万约之，所得，命曰黄赤道差度及分；在至后、分前减，在分后、至前加，皆加减赤道宿积度及分，为其宿黄道积度及分；以前宿黄道积度减其宿黄道积度，为其宿黄道及分〈其分就近为太、半、少〉。
黄道宿度

斗：二十三〈半〉牛：七〈半〉　　女：十一〈半〉　虚：十〈少、秒六十四〉危：十七〈太〉　室：十七〈少〉　壁：九〈太〉
北方七宿九十七度半〈秒六十四〉。

奎：十七〈太〉　娄：十二〈太〉　胃：十四〈半〉　昴：十〈太〉毕：十六　　　　觜：一　　　　　参：九〈少〉
西方七宿八十一度。

井：三十　　　　鬼：二〈太〉　　柳：十四〈少〉　星：七张：十八〈太〉　翼：十九〈半〉　轸：十八〈太〉
南方七宿一百一十一度。

角：十三　　　　亢：九〈半〉　　氐：十五〈半〉　房：五心：四　　　　　尾：十七　　　　箕：十
东方七宿七十四度〈太〉。

七曜循此黄道宿度，准今历变定。若上考往古，下验将来，当据岁差，每移一度，乃依法变从当时宿度，然后可步日、月、五星，知其守犯。
求天正冬至加时黄道日度：以冬至加时赤道日度及分，减一百一十一度三十七分，馀以冬至加时赤道日度及分乘之，进一位，满一万约之为度；不满为分，命曰赤道差；用减冬至赤道日度及分，即为所求年天正冬至，加时黄道日度及分。
求冬至之日晨前夜半日度：置一万分，以其日升分加之，以乘冬至约馀，以一万约之，所得，以减冬至加时黄道日度，即为冬至之日晨前夜半黄道日度及分。
求逐月定朔之日晨前夜半黄道日度：置其朔距冬至日数，以其度下盈缩积度盈加缩减之，馀以加天正冬至夜半日度，命之，即其月定朔之日晨前夜半日躔所在宿次。
求每日夜半黄道日度：各置其定朔之日晨前夜半黄道日度，每日加一度，以其日升降分升加降减之，满黄道宿度去之，即各得每日晨前夜半黄道日躔所在宿度及分。
若次年冬至小馀满法者，以升分极数加之。
步晷漏术

二至限：一百八十一日六十二分。
一象度：九十一度三十一分。
消息法：一万六百八十九。
辰法：三千二百五十。
刻法：三百九十。
半辰法：一千六百二十五。
昏明刻分：九百七十五。
昏明：二刻一百九十五分。
冬至岳台晷景常数：一丈二尺八寸五分。
夏至岳台晷景常数：一尺五寸七分。
冬至后初限、夏至后末限：四十五日六十二分。夏至后初限、冬至后末限：一百三十七日。
求岳台晷景入二至后日数：计入二至后来日数，以二至约馀减之，仍加半日之分，即为入二至后来日午中积数及分。
求岳台晷景午中定数：置所求午中积数，加初限以下者为在初；以上者，覆减二至限，馀为在末。其在冬至后初限、夏至后末限者，以入限日减一千九百三十七半，为汎差；仍以入限日分乘其日盈缩积〈盈缩积在日度术中〉。五因百约之，用减汎差，为定差；乃以入限日分自相乘，以乘定差，满一百万为尺，不满为寸、为分及小分，以减冬至常晷，馀为其日午中晷景定数。若所求入冬至后末限、夏至后初限者，乃三约入限日分，以减四百八十五少，馀为汎差；仍以盈缩差减极数，馀者若在春分后、秋分前者，直以四约之，以加汎差，为定差；若春分前、秋分后者，以去二分日数及分乘之，满六百而一，以减汎差，馀为定差；乃以入限日分自相乘，以乘定差，满一百万为尺，不满为寸、为分及小分，以加夏至常晷，即为其日午中晷景定数。求每日消息定数：置所求日中日度分，如在二至限以下者为在息；以上者去之，馀为在消。又视入消息度加一象以下者为在初；以上者，覆减二至限，馀为在末。其初、末度自相乘，以一万乘而再折之，满消息法除之，为常数。乃副之，用减一千九百五十，馀以乘其副，满八千六百五十除之，所得以加常数，为所求消息定数。
求每日黄道去极度及赤道内外度：置其日消息定数，以四因之，满三百二十五除之为度，不满，退除为分，所得，在春分后加六十七度三十一分，在秋分后减一百一十五度三十一分，即为所求日黄道去极度及分。以黄道去极度与一象度相减，馀为赤道内、外度。若去极度少，为日在赤道内；若去极度多，为日在赤道外。
求每日晨昏分及日出入分：以其日消息定数，春分后加六千八百二十五，秋分后减一万七百二十五，馀为所求日晨分；用减元法，馀为昏分。以昏明分加晨分，为日出分；减昏分，为日入分。
求每日距中距子度及每更差度：置其日晨分，以七百乘之，满七万四千七百四十二除为度，不满，退除为分，命曰距子度；用减半周天，馀为距中度。
若倍距子度，五除之，即为每更差度及分。若依司晨星漏历，则倍距子度，减去待旦三十六度五十二分半，馀以五约之，即每更差度。

求每日夜半定漏：置其日晨分，以刻法除之为刻，不满为分，即所求日夜半定漏。
求每日昼夜刻及日出入晨刻：倍夜半定漏，加五刻，为定刻。用减一百刻，馀为昼刻。以昏明刻加夜半定漏，满辰法除之为辰数，不满，刻法除之为刻，又不满，为刻分。命辰数从子正，算外，即日出辰刻；以昼刻加之，命如前，即日入辰刻。
若以半辰刻加之，即命从辰初也。

求更点辰刻：倍夜半定漏，二十五而一，为点差刻；五因之，为更差刻。以昏明刻加日入辰刻，即甲夜辰刻；以更点差刻累加之，满辰刻及分去之，各得更点所入辰刻及分。
若同司辰星漏历者，倍夜半定漏，减去待旦一十刻，馀依术求之，即同内中更点。

求昏晓及五更中星：置距中度，以其日昏后夜半赤道日度加而命之，即其日昏中星所格宿次，其昏中星便为初更中星；以每更差度加而命之，即乙夜所格中星；累加之，得逐更中星所格宿次。又倍距子度，加昏中星命之，即晓中星所格宿次。
若同司辰星漏历中星，则倍距子度，减去待旦十刻之度三十六度五十二分半，馀约之为五更，即同内中更点中星。

求九服距差日：各于所在立表候之，若地在岳台北，测冬至后与岳台冬至晷景同者，累冬至后至其日，为距差日；若地在岳台南，测夏至后与岳台晷景同者，累夏至后至其日，为距差日。
求九服晷景：若地在岳台北冬至前后者，以冬至前后日数减距差日，为馀日；以馀日减一千九百三十七半，为汎差；依前术求之，以加岳台冬至晷景常数，为其地其日中晷常数。若冬至前后日多以距差日，乃减去距差日，馀依前术求之，即得其地其日中晷常数。若地在岳台南夏至前后者，以夏至前后日数减距差日，为馀日；乃三约之，以减四百八十五少，为汎差；依前术求之，以减岳台夏至晷景常数，即其地其日中晷常数。如夏至前后日数多于距差日，乃减岳台夏至常晷，馀即晷在表南也。若夏至前后日多于距差日，即减去距差日，馀依前术求之，各得其地其日中晷常数。
若求定数，依立成以求午中晷景定数。

求九服所在昼夜漏刻：冬、夏二至各于所在下水漏，以定其地二至夜刻，乃相减，馀为冬、夏至差刻。置岳台其日消息定数，以其地二至差刻乘之，如岳台二至差刻二十而一，所得，为其地其日消息定数。乃倍消息定数，满刻法约之为刻，不满为分，乃加减其地二至夜刻，
秋分后、春分前，减冬至夜刻；春分后、秋分前，加夏至夜刻。

为其地其日夜刻；用减一百刻，馀为昼刻。
其日出入辰刻及距中度五更中星，并依前术求之。
步月离术

转度母：八千一百一十二万。
转终分：二百九十八亿八千二百二十四万二千二百五十一。
朔差：二十一亿四千二百八十八万七千。
朔差：二十六度〈馀三千三百七十六万七千，约馀四千一百六十二半〉。转法：一十亿八千四百四十七万三千。
会周：三百二十亿二千五百一十二万九千二百五十一。
转终：三百六十八度〈馀三十八万二千二百五十一，约馀二千七百八〉。转终：二十七日〈馀六亿一百四十七万一千二百五十一，约馀五千五百四十六〉。中度：一百八十四度〈馀一千五百四万一千一百一十五半，约馀一千八百五十四〉。象度：九十二度〈馀七百五十二万五百六十二太，约分九百二十七〉。月平行：十三度〈馀二千九百九十一万三千，约分三千六百八十七半〉。望差：一百九十七度〈馀三千一百九十二万四千百二十五半，约分三千九百十四〉。
弦差：九十八度〈馀五千六百五十二万二千三百一十二太，约分六千九百六十七〉。日衰：一十八、小分九。
求月行入转度：以朔差乘所求积月，满转中分去之，不尽为转馀。满转度母除为度，不满为馀，
其馀若以一万乘之，满转度母除之，即得约分；若以转法除转馀，即为入转日及馀。

即得所求月加时入转度及馀。
若以弦度及馀累加之，即得上弦、望、下弦及后朔加时入转度及分；其度若满转终度及馀去之。

其入转度如在中度以下为月行在疾历；如在中度以上者，乃减去中度及馀，为月入迟历。
求月行迟疾差度及定差：置所求月行入迟速度，如在象度以下为在初。以上，覆减中度，馀为在末〈其度馀用约分百为母〉。置初、末度于上，列二百一度九分于下，以上减下，馀以下乘上，为积数；满一千九百七十六除为度，不满，退除为分，命曰迟疾差度〈在疾为减，在迟为加〉。以一万乘积数，满六千七百七十三半除之，为迟疾定差。
疾加、迟减，若用立成者，以其度下损益率乘度馀，满转度母而一，所得，随其损益，即得迟疾及定差。其迟疾、初末损益分为二日者，各加其初、末以乘除。

求朔弦望所直度下月行定分：置迟疾所入初、末度分，进一位，满七百三十九除之，用减一百二十七，馀为衰差。以衰差疾初迟末减、迟初疾末加，皆加减平行度分，为其度所直月行定分〈其度以百命为分〉。求朔弦望定日：各以日躔盈缩、月行迟疾定差加减经朔、弦、望小馀，满若不足，进退大馀，命甲子，算外，各得定日日辰及馀。若定朔干名与后朔干名同者月大，不同月小，月内无中气者为闰月。
凡注历，观定朔小馀，秋分后四分之三已上者，进一日；若春分后，其定朔晨分差如春分之日者，三约之，以减四分之三；如定朔小馀及此数已上者，进一日；朔或当交有食，初亏在日入已前者，其朔不进。弦、望定小馀不满日出分者，退一日；其望或当交有食，初亏在日出已前，其定望小馀虽满日出分者，亦退之。又月行九道迟疾，历有三大二小；日行盈缩累增损之，则有四大三小，理数然也。若循其常，则当察加时早晚，随其所近而进退之，使月之大小不过连三。旧说，正月朔有交，必须消息前后一两月，移食在晦、二之日。且日食当朔，月食当望，盖自然之理。夫日之食，盖天之垂诫，警悟时政，若道化得中，则变咎为祥。国家务以至公理天下，不可私移晦朔，宜顺天诫。故春秋传书日食，乃纠正其朔，不可专移食于晦、二。其正月朔有交，一从近典，不可移避。

求朔定弦望加时日度：置朔、弦、望中日及约分，以日躔盈缩度及分盈加缩减之，又以元法退除迟疾定差，疾加迟减之，馀为其朔、弦、望加时定日。以天正冬至加时黄道日度加而命之，即所求朔、弦、望加时定日所在宿次〈朔、望有交，则依后术〉。
求月行九道：凡合朔所交，冬在阴历，夏在阳历，月行青道。
冬至、夏至后，青道半交在春分之宿，当黄道东。立夏、立冬后，青道半交在立春之宿，当黄道东南；至所冲之宿亦如之。

冬在阳历，夏在阴历，月行白道。
冬至、夏至后，白道半交在秋分之宿，当黄道西；立冬、立夏后，白道半交在立秋之宿，当黄道西北；至所冲之宿亦如之。

春在阳历，秋在阴历，月行朱道。
春分、秋分后，朱道半交在夏至之宿，当黄道南；立春、立秋后，朱道半交在立夏之宿，当黄道西南：至所冲之宿亦如之。

春在阴历，秋在阳历，月行黑道。
春分、秋分后，黑道半交冬至之宿，当黄道正北。立春、立秋后，黑道半交在立冬之宿，当黄道东北；至所冲之宿亦如之。

四序离为八节，至阴阳之所交，皆与黄道相会，故月行九道。各视月所入正交积度〈视正交九道宿度所入节候，即其道、其节所起〉。满象度及分去之馀〈入交积度及象度并在交会术中〉。若在半象以下为在初限。以上，覆减象度及分，为在末限。用减一百一十一度三十七分，馀以所入初、末限度及分乘之，退位，半之，满百为度，不满为分，所得为月行与黄道差数。距半交后、正交前，以差数减；距正交后、半交前，以差数加。
此加减出入六度，单与黄道相较之数，若较之赤道，随数迁变不常。

计去二至以来度数，乘黄道所差，九十而一，为月行与黄道差数。凡日以赤道内为阴，外为阳；月以黄道内为阴，外为阳。故月行宿度，入春分交后行阴历，秋分交后行阳历，皆为同名；若入春分交后行阳历，秋分交后行阴历，皆为异名。其在同名，以差数加者加之，减者减之；其在异名，以差数加者减之，减者加之。皆加减黄道宿积度，为九道宿积度；以前宿九道宿积度减其宿九道宿积度，馀为其宿九道宿度及分〈其分就近约为太、半、少三数〉。
求月行九道入交度：置其朔加时定日度，以其朔交初度及分减之，馀为其朔加时月行入交度及馀〈其馀以一万乘之，以元法退除之，即为约馀〉。以天正冬至加时黄道日度加而命之，即正交月离所在黄道宿度。
求正交加时月离九道宿度：以正交度及分减一百一十一度三十七分，馀以正交度及分乘之，退一等，半之，满百为度，不满为分，所得，命曰定差。以定差加黄道宿度，计去冬、夏至以来度数，乘定差，九十而一，所得，依同异名加减之，满若不足，进退其度，命如前，即正交加时月离九道宿度及分。
求定朔弦望加时月离所在宿度：各置其日加时日躔所在，变从九道，循次相加。凡合朔加时，月行潜在日下，与太阳同度，是为加时月离宿次。
先置朔、弦、望加时黄道宿度，以正交加时黄道宿度减之，馀以加其正交加时九道宿度，命起正交宿次，算外，即朔、弦、望加时所当九道宿度。其合朔加时若非正近，则日在黄道、月在九道各入宿度，虽多少不同，考其去极，若应绳准。故云月行潜在
日下，与太阳同度。

各以弦、望度及分如其所当九道宿度，满宿次去之，各得加时九道月离宿次。
求定朔夜半入转：以所求经朔小馀减其朔加时入转日馀〈其经朔小馀，以二万七千八百七乘之，即母转法〉。为其经朔夜半入转。若定朔大馀有进退者，亦进退转日，无进退则因经为定〈其馀以转法退收之，即为约分〉。
求次月定朔夜半入转：因定朔夜半入转，大月加二日，小月加一日，馀、分皆加四千四百五十四，满转终日及约分去之，即次月定朔夜半入转；累加一日，去命如前，各得逐日夜半入转日及分。
求定朔弦望夜半月度：各置加时小馀〈若非朔、望有交者：有用定朔、弦、望小馀〉。以其日月行度分乘之，满元法而一为度，不满，退除为分，命曰加时度。以减其日加时月度，即各得所求夜半月度。
求晨昏月：以晨昏乘其日月行定分，元法而一，为晨度；用减月行定分，馀为昏度。各以晨昏度加夜半月度，即所求晨昏月所在宿度。
求朔弦望晨昏定程：各以其朔昏定月减上弦昏定月，馀为朔后昏定程；以上弦昏定月减望昏定月，馀为上弦后昏定程；以望晨定月减下弦晨定月，馀为望后晨定程；以下弦晨定月减次朔晨定月，馀为下弦后晨定程。
求转积度：计四七日月行定分，以日衰加减之，为逐日月行定程；乃自所入日计求定之，为其程转积度分。
其四七日月行定分者，初日益迟一千二百一十，七日渐疾一千三百四十一，十四日损疾一千四百六十一，二十一日渐迟一千三百二十八，乃观其迟疾之极差而损益之，以百为分母。

求每日晨昏月：以转积度与晨昏定程相减，馀以距后程日数除之，为日差〈定程多为加，定程少为减〉。以加减每日月行定分，为每日转定度及分。以每日转定度及分加朔、弦、望晨昏月，满九道宿次去之，即为每日晨、昏月离所在宿度及分〈凡注历，朔后注昏，望后注晨〉。已前月度，并依九道所推，以究算术之精微。若注历求其速要者，即依后术以推黄道月度。
求天正十一月定朔夜半平行月：以天正经朔小馀乘平行度分，元法而一为度，不满，退除为分秒，所得，为经朔加时度。用减其朔中日，即经朔晨前夜半平行月积度〈若定朔有进退，以平行度分加减之〉。即为天正十一月定朔之日晨前夜半平行月积度及分。
求次月定朔之日夜半平行月：置天正定朔之日夜半平行月，大月加三十五度八十分六十一秒，小月加二十二度四十三分七十三秒半，满周天度分即去之，即每月定朔之晨前夜半平行月积度及分秒。求定弦望夜半平行月、计弦、望距定朔日数，以乘平行度及分秒，以加其定朔夜半平行月积度及分秒，即定弦、望之日夜半平行月积度及分秒〈亦可直求朔望，不复求度，从简易也〉。
求天正定朔夜半入转度：置天正经朔小馀，以平行月度及分乘之，满元法除为度，不满，退除为分秒，命为加时度；以减天正十一月经朔加时入转度及约分，馀为天正十一月经朔夜半入转度及分。若定朔大馀有进退者，亦进退平行度分，即为天正十一月定朔之日晨前夜半入转度及分秒。
求次月定朔及弦望夜半入转度：因天正十一月定朔夜半入转度分，大月加三十二度六十九分一十七秒，小月加十九度三十二分二十九秒半，即各得次月定朔夜半入转度及分。各以朔、弦、望相距日数乘平行度分以加之，满转终度及秒即去之，如在中度以下者为在疾；以上者去之，馀为入迟历，即各得次朔、弦、望定日晨前夜半入转度及分。
若以平行月度及分收之，即为定朔、弦、望入转日。

求定朔弦望夜半定月：以定朔、弦、望夜半入转度分乘其度损益衰，以一万约之为分，百约之为秒，损益其度下迟疾度，为迟疾定度。乃以迟加疾减夜半平行月，为朔、弦、望夜半定月积度。以冬至加时黄道日度加而命之，即定朔、弦、望夜半月离所在宿次。
若有求晨昏月，以其日晨昏分乘其日月行定分，元法而一，所得为晨昏度；以加其夜半定月，即得朔、弦、望晨昏月度。

求朔弦望定程：各以朔、弦、望定月相减，馀为定程。
若求晨昏定程，则用晨昏定月相减，朔后用昏，望后用晨。

求朔弦望转积度分：计四七日月行定分，以日衰加减之，为逐日月行定分；乃自所入日计之，为其程转积度分。
其四七日月行定分者，初日益迟一千二百一十，七日渐疾一千三百四十一，十四日损疾一千四百六十一，二十一日渐迟一千三百二十八，乃视
其迟疾之极差而损益之，分以百为母。

求每日月离宿次：各以其朔、弦、望定程与转积度相减，馀为程差。以距后程日数除之，为日差〈定程多为益差，定程少为损差〉。以日差加减月行定分。为每日月行定分；以每日月行定分累加定朔、弦、望夜半月在宿次，命之，即每日晨前夜半月离宿次〈如晨昏宿次，即得每日晨昏月度〉。
步交会术

交度母：六百二十四万。
周天分：二十二亿七千九百二十万四百四十七。朔差：九百九十万一千一百五十九。
朔差：一度、馀三百六十六万一千一百五十九。望差：空度、馀四百九十五万五百七十九半。
半周天：一百八十二度〈馀三百九十二万二百二十三半，约分六千二百八十二〉。日食限：一千四百六十四。
月食限：一千三百三十八。
盈初限缩末限：六十度八十七分半。
缩初限盈末限：一百二十一度七十五分。
求交初度：置所求积月，以朔差乘之，满周天分去之，不尽，覆减周天分，满交度母除之为度，不满为馀，即得所求月交初度及馀；以半周天加之，满周天去之，馀为交中度及馀。
若以望差减之，即得其月望交初度及馀；以朔差减之，即得次月交初度及馀；以交度母退除，即得馀分。若以天正黄道日度加而命之，即各得交初、中所在宿度及分。

求日月食甚小馀及加时辰刻：以其朔、望月行迟疾定差疾加迟减经朔望小馀，
若不足减者，退大馀一，加元法以减之；若加之满法者，但积其数。

以一千三百三十七乘之，满其度所直月行定分除之，为月行差数；乃以日躔盈定差盈加缩减之，馀为其朔、望食甚小馀。
凡加减满者不足，进退其日，此朔望加时以究月行迟疾之数，若非有交会，直以经定小馀为定。

置之，如前发敛加时术入之，即各得日、月食甚所在晨刻。
视食甚小馀，如半法以下者，覆减半法，馀为午前分；半法已上者，减去半法，馀为午后分。

求朔望加时日月度：以其朔、望加时小馀与经朔望小馀相减，馀以元法退收之，以加减其朔、望中日及约分〈经朔望少，加；经朔望多，减〉。为其朔、望加时中日。乃以所入日升降分乘所入日约分，以一万约之，所得，随以损益其日下盈缩积，为盈缩定度；以盈加缩减加时中日，为其朔、望加时定日；望则更加半周天，为加时定月；以天正冬至加时黄道日度加而命之，即得所求朔、望加时日月所在宿度及分。
求朔望日月加时去交度分：置朔望日月加时定度与交初、交中度相减，馀为去交度分〈就近者相减之，其度以百通之为分〉。加时度多为后，少为前，即得其朔望去交前、后分。
交初后、交中前，为月行外道阳历；交中后、交初前，为月行内道阴历。

求日食四正食差定数：置其朔加时定日，如半周天以下者为在盈。以上者去之，馀为在缩。视之，如在初限以下者为在初。以上者，覆减二至限，馀为在末。置初、末限度及分〈盈初限、缩末限者倍之〉。置于上位，列二百四十三度半于下，以上减下，馀以下乘上，以一百六乘之，满三千九十三除之，为东西食差汎数。凡减五百八，馀为南北食差汎数。其求南北食差定数者，乃视午前、后分，如四分法之一以下者覆减之，馀以乘汎数。若以上者即去之，馀以乘汎数，皆满九千七百五十除之，为南北食差定数。盈初缩末限者，
食甚在卯酉以南，内减外加；食甚在卯酉以北，内加外减。

缩初盈末限者，
食甚在卯酉以南，内加外减；食甚在卯酉以北，内减外加。

其求东西食差定数者，乃视午前、后分，如四分法之一以下者以乘汎数；以上者，覆减半法，馀乘汎数，皆满九千七百五十除之，为东西食差定数。盈初末限者，
食甚在子午以东，内减外加；食甚在子午以西，内加外减。

缩初末限者，
食甚在子午以东，内加外减；食甚在子午以西，内减外加。

即得其朔四正食差加减定数。
求日月食去交定分：视其朔四正食差，加减定数，同名相从，异名相消，馀为食差加减总数；以加减去交分，馀为日食去交定分。
其去交定分不足减、乃覆减食差总数、若阳历覆减入阴历，为入食限；若阴历覆减入阳历，为不入
食限。凡加之满食限已上者，亦不入食限。

其望食者，以其望去交分便为其望月食去交定分。求日月食分：日食者，视去交定分，如食限三之一以下者倍之，类同阳历食分。以上者，覆减食限，馀为阴历食分。皆进一位，满九百七十六除为大分，不满，退除为小分，命十为限，即日食之大、小分。月食者，视去交定分，如食限三之一以下者，食既；以上者，覆减食限。馀进一位，满八百九十二除之为大分，不满，退除为小分，命十为限，即月食之大、小分。
其食不满大分者，虽交而数浅，或不见食也。

求日食汎用刻分：置阴、阳历食分于上，列一千九百五十二于下，以上减下，馀以乘上，满二百七十一除之，为日食汎用刻、分。
求月食汎用刻分：置去交定分，自相乘，交初以四百五十九除，交中以五百四十除之，所得，交初以减三千九百，交中以减三千三百一十五，馀为月食汎用刻、分。
求日月食定用刻分：置日月食汎用刻、分以一千三百三十七乘之，以所直度下月行定分除之，所得为日月食定用刻、分。
求日月食亏初复满时刻：以定用刻分减食甚小馀，为亏初小馀；加食甚，为复满小馀；各满辰法为辰数，不尽，满刻法除之为刻数，不满为分。命辰数从子正，算外，即得亏初、复末辰、刻及分〈若以辛辰数加之，即命从时初也〉。求日月食初亏复满方位：其日食在阳历者，初食西南，甚于正南，复于东南；日在阴历者，初食西北，甚于正北，复于东北。其食过八分者，皆初食正西，复于正东。其月食者，月在阴历，初食东南，甚于正南，复于西南；月在阳历，初食东北，甚于正北，复于西北。其食八分已上者，皆初食正东，复于正西。
此皆审其食甚所向，据午正而论之，其食馀方审其斜正，则初亏、复满乃可知矣。

求月食更点定法：倍其望晨分，五而一，为更法；又五而一，为点法。
若依司晨星注历，同内中更点，则倍晨分，减去待旦十刻之分，馀，五而一，为更法；又五而一，为点法。

求月食入更点：各置初亏、食甚、复满小馀，如在晨分以下者加晨分，如在昏分以上者减去昏分，馀以更法除之为更数，不满，以点法除之为点数。其更数命初更，算外，即各得所入更、点。
求月食既内外刻分：置月食去交分，覆减食限三之一〈不及减者为食不既〉。馀列于上位；乃列三之二于下，以上减下，馀以下乘上，以一百七十除之，所得，以定用刻分乘之，满汎用刻分除之，为月食既内刻分；用减定用刻分，馀为既外刻、分。
求日月带食出入所见分数：视食甚小馀在日出分以下者，为月见食甚、日不见食甚；以日出分减复满小馀，若食甚小馀在日出分已上者，为日见食甚、月不见食甚；以初亏小馀减日出分，各为带食差；
若月食既者，以既内刻分减带食差，馀乘所食分，既外刻分而一，不及减者，即带食既出入也。

以乘所食之分，满定用刻分而一，即各为日带食出、月带食入所见之分。
凡亏初小馀多如日出分为在昼，复满小馀多如日出分为在夜，不带食出入也。

若食甚小馀在日入分以下者，为日见食甚、月不见食甚；以日入分减复满小馀，若食甚小馀在日入分已上者，为月见食甚、日不见食甚；以初亏小馀减日入分，各为带食差；
若月食既者，以既内刻分减带食差，馀乘所差分，既外刻分而一，不及减者，既带食既出入也。

以乘所食之分，满定用刻分而一，即各为日带食入、月带食出所见之分。
凡亏初小馀多如日入分为在夜，复满小馀少如日入分为在昼，并不带食出入也。
步五星术
木星

终率：一千五百五十五万六千五百四。
终日：三百九十八日〈馀三万四千五百四，约分八千八百四十七〉。历差：六万一千七百五十。
见伏常度：一十四度。
变段变日　　　　　　　　变度　　　　　　历度前二十八日　　　　　　　四度　　　　　　二度〈九十二〉前二三十六日　　　　　　七度〈四十七〉　五度〈四十六〉前三三十六日　　　　　　六度〈四十〉　　四度〈六十八〉前四三十六日　　　　　　四度〈二十七〉　三度〈一十二〉前留二十七日
前退四十六日〈四十四〉　五度〈二十二〉　空度〈六十四〉后退四十六日〈四十四〉　五度〈三十二〉　空度〈六十四〉后留二十七日
后四三十六日　　　　　　四度〈二十七〉　三度〈一十二〉后三三十六日　　　　　　六度〈四十〉　　四度〈六十八〉后二三十六日　　　　　　七度〈四十七〉　五度〈四十六〉后二十八日　　　　　　　四度　　　　　　二度〈九十二〉
初行率

前二二十一〈六十四〉
前二二十一〈六十四〉
前三一十九〈五十五〉
前四一十五〈四十二〉
前留
前退
后退一十四〈八十九〉
后留
后四
后三一十五〈九十九〉
后二一十九〈八十六〉
后二二十一〈八十〉
火星

终率：三千四十一万七千五百三十六。
终日：七百七十九日〈馀三万六千五百三十六，约分九千三百六十八〉。历差：六万一千二百四十。
见伏常度：一十八度。
变段变日　　　　　　　　变度
前一七十日　　　　　　　五十二度〈三十三〉前二七十日　　　　　　　五十度〈三十三〉前三七十日　　　　　　　四十六度〈九十七〉前四七十日　　　　　　　四十度〈二十六〉前五七十日　　　　　　　二十六度〈八十四〉前留一十一日
前退二十八日〈九十七〉　九度〈五〉
后退二十八日〈九十七〉　九度〈五〉
后留一十一日
后五七十日　　　　　　　二十六度〈八十四〉后四七十日　　　　　　　四十度〈二十六〉后三七十日　　　　　　　四十六度〈九十七〉后二七十日　　　　　　　五十度〈三十三〉后一七十日　　　　　　　五十二度
历度　　　　　　　　初行率

前一四十九度〈二十九〉　七十五〈空〉
前二四十七度〈七十〉　　七十三〈三十三〉
前三四十四度〈五十二〉　六十九〈九十八〉
前四三十八度〈一十六〉　六十三〈六十六〉
前五一十五度〈四十四〉　四十七〈二十二〉
前留
前退二度〈二十四〉
后退二度〈二十四〉　　　四十〈六十四〉
后留
后五二十五度〈四十四〉
后四三十八度〈一十六〉　五十一度〈三十六〉
后三四十四度〈五十二〉　六十四〈二十二〉
后二四十七度〈七十〉　　七十〈四十六〉
后一四十九度〈二十九〉　七十三〈五十六〉
土星

终率：一千四百七十四万五千四百四十六。
终日：三百七十八〈馀三千四百四十六，约分八百八十三〉。历差：六万一千三百五十。
见伏常度：一十八度半。
变段变日　　　　　　　　变度　　　　　　历度前一二十一日　　　　　　二度〈五十〉　　一度〈五十四〉前二四十二日　　　　　　四度〈二十九〉　二度〈六十四〉前三四十二日　　　　　　二度〈八十六〉　一度〈七十六〉前留三十五日
前退四十九日〈四〉　　　三度〈二十三〉　空度〈四十八〉后退四十九日〈四〉　　　三度〈二十三〉　空度〈四十八〉后留三十五日
后三四十二日　　　　　　二度〈八十六〉　一度〈七十六〉后二四十二日　　　　　　四度〈二十九〉　二度〈六十四〉后一二十一日　　　　　　二度〈五十〉　　一度〈五十四〉
初行率

前一一十四〈四十一〉
前二一十一〈二十三〉
前三八〈八十五〉
前留
前退
后退八〈五十七〉
后留
后三
后二九〈一十八〉
后一一十一〈三十九〉
金星

终率：二千二百七十七万二千一百九十六。
终日：五百八十三日〈馀三万五千一百九十六，约分九千二十四〉。见伏常度：一十一度少。
变段变日　　　　　　　变度
前一三十八日〈五十〉　四十九度〈七十五〉
前二三十八日〈五十〉　四十九度〈三十七〉
前三三十八日〈五十〉　四十八度〈五十九〉
前四三十八日〈五十〉　四十七度〈二〉
前五三十八日〈五十〉　四十三度〈九十九〉
前六三十八日〈五十〉　四十七度〈六十二〉
前七三十八日〈五十〉　三十五度〈八〉
夕留七日
夕退八日〈九十五〉　　四度〈六十二〉
夕伏退六日〈五十〉　　四度〈七十五〉
晨伏退六日〈五十〉　　四度〈七十五〉
晨退八日〈九十五〉　　四度〈六十二〉
晨留七日
后七三十八日〈五十〉　三十五度〈八〉
后六三十八日〈五十〉　三十七度〈六十二〉
后五三十八日〈五十〉　四十三度〈八十九〉
后四三十八日〈五十〉　四十七度〈二〉
后三三十八日〈五十〉　四十八度〈五十九〉
后二三十八日〈五十〉　四十九度〈三十七〉
后一三十八日〈五十〉　四十九度〈七十五〉
初行率

前一一百二十九〈五十二〉
前二一百二十八〈八十三〉
前三一百二十六〈四十三〉
前四一百二十四〈五十七〉
前五一百一十八〈八十八〉
前六一百七〈四十八〉
前七八十四〈六十八〉
夕留
夕退
夕伏退六十二〈二十〉
晨伏退八十三〈九十四〉
晨退六十二〈二十〉
晨留
后七
后六八十七〈九十四〉
后五一百九〈一十二〉
后四一百一十九〈九十九〉
后三一百二十四〈九十九〉
后二一百二十七〈六十三〉
后一一百二十八〈九十二〉
水星

终率：四百五十一万九千一百八十四〈改九千一百九十四〉。终日：一百一十五日〈馀三万四千一百八十四，约分八千七百六十五〉。见伏常度：一十八度。
变段变日　　　　　　　变度　　　　初行率前二十五日　　　　　　三十三度　　二百四十七〈五十〉前二三十日　　　　　　三十三度　　一百七十六前留三日
夕伏退九日〈九十四〉　八度〈六〉
晨伏退九日〈九十四〉　八度〈六〉　一百三十六〈七十二〉后留三日
后二三十日　　　　　　三十三度
后一一十五日　　　　　三十三度　　一百九十二〈五十〉求五星天正冬至后诸段中积中星：置气积分，各以其星终率去之，不尽，覆减终率，馀满元法为日，不满，退除为分，即天正冬至后其星平合中积。重列之为中星，因命为前一段之初，以诸段变日、变度累加减之，即为诸段中星〈变日加减中积，变度加减中星〉。求木火土三星入历：以其星历差乘积年，满周天分去之，不尽，以度母除之为度，不满，退除为分，命曰差度；以减其星平合中星，即为平合入历度分；以其星其段历度加之，满周天度分即去之，各得其星其段入历度分。
金、水附日而行，更不求历差。其木、火、土三星前变为晨，后变为夕。金、水二星前变为夕，后变为晨。

求木火土三星诸段盈缩定差：木、土二星，置其星其段入历度分，如半周天以下者为在盈。以上者，减去半周天，馀为在缩。置盈缩度分，如在一象以下者为在初限。以上者，覆减半周天，馀为在末限。置初、末限度及分于上，列半周天于下，以上减下，以下乘上〈木进一位，土九因之〉。皆满百为分，分满百为度，命曰盈缩定差。其火星，置盈缩度分，如在初限以下者为在初。以上者，覆减半周天，馀为在末。
以四十五度六十五分半为盈初、缩末限度，以一百三十六度九十六分半为缩初、盈末限度分。

置初、末限度于上〈盈初、缩末三因之〉。列二百七十三度九十三分于下，以上减下，馀以下乘上，以一十二乘之，满百为度，不满，百约为分，命曰盈缩定差。
若用立成法，以其度下损益率乘度下约分，满百者，以损益其度下盈缩差度为盈缩定差，若在留退段者，即在盈缩汎差。

求木火土三星留退差：置后退、后留盈缩汎差，各列其星盈缩极度于下，
木极度，八度三十三分；火极度，二十二度五十一分；土极度，七度五十分。

以上减下，馀以下乘上〈水、土三因之，火倍之〉。皆满百为度，命曰留退差〈后退初半之，后留全用〉。其留退差，在盈益减损加、在缩损减益加其段盈缩汎差，为后退、后留定差。
因为后迟初段定差，各须类会前留定差，观其盈缩，察其降差也。

求五星诸段定积：各置其星其段中积，以其段盈缩定差盈加缩减之，即其星其段定积及分；以天正冬至大馀及约分加之，满纪法去之，不尽，命甲子，算外，即得日辰。
其五星合见、伏，即为推算段定日；后求见、伏合定日，即历注其日。

求五星诸段所在月日：各置诸段定积，以天正闰日及约分加之，满朔策及分去之，为月数；不满，为入月以来日数及分。其月数命从天正十一月，算外，即其星其段入其月经朔日数及分。
定朔有进退者，亦进退其日，以日辰为定。若以气策及约分去定积，命从冬至，算外，即得其段入气日及分。

求五星诸段加时定星：各置其星其段中星，以其段盈缩定差盈加缩减之，即五星诸段定星。若以天正冬至加时黄道日度加而命之，即其段加时定星所在宿次〈五星皆以前留为前退初定星，后留为后顺初定星〉。求五星诸段初日晨前夜半定星：木、火、土三星，以其星其段盈缩定差与次度下盈缩定差相减，馀为其度损益差；以乘其段初行率，一百约之，所得，以加减其段初行率〈在盈，益加损减；在缩，益减损加〉。以一百乘之，为初行积分；又置一百分，亦依其数加减之，以除初行积分，为初日定行分。以乘其段初日约分，以一百约之，顺减退加其段定星，为其段初日晨前夜半定星；以天正冬至加时黄道日度加而命之，即得所求〈金、水二星，直以初行率便为初日定行分〉。
求太阳盈缩度：各置其段定积，如二至限以下为在盈；以上者去之，馀为在缩。又视入盈缩度，如一象以下者为在初；以上者，覆减二至限，馀为在末。置初、末限度及分，如前日度术求之，即得所求。
若用立成者，直以其度下损益分乘度馀，百约之，所得，损益其度下盈缩差，亦得所求。

求诸段日度率：以一段日辰相距为日率，又以二段夜半定星相减，馀为其段度率及分。
求诸段平行分：各置其段度率及分，以其段日率除之，为其段平行分。
求诸段汎差：各以其段平行分与后段平行分相减，馀为汎差；并前段汎差，四因之，退一等，为其段总差。
五星前留前、后留后一段，皆以六因平行分，退一等，为其段总差，水星为半总差。其在退行者，木、火、土以十二乘其段平行分，退一等，为其段总差。金星退行者，以其段汎差为总差，后变则及用初、末。水星退行者，以其段平行分为总差，若在前后顺第一段者，乃半次段总差，为其段总差。

求诸段初末日行分：各半其段总差，加减其段平行分，为其段初、末日行分。
前变加为初，减为末；后变减为初，加为末。在退段者，前则减为初，加为末；后则加为初，减为末。若前后段行分多少不伦者，乃平注之；或总差不备大分者，亦平注之：皆类会前后初、末，不可失其衰杀。

求诸段日差：减其段日率一，以除其段总差，为其段日差〈后行分少为损，后行分多为益〉。
求每日晨前夜半星行宿次：置其段初日行分，以日差累损益之，为每日行分。以每日行分累加减其段初日晨前夜半宿次，命之，即每日星行宿次。
径求其日宿次：置所求日，减一，以乘日差，以加减初日行分〈后少，减之；后多，加之〉。为所求日行分；乃加初日行分而半之，以所求日数乘之，为径求积度；以加减其段初日宿次，命之，即径求其日星宿次。
求五星定合定日：木、火、土三星，以其段初日行分减一百分，馀以除其日太阳盈缩分为日，不满，退除为分，命曰距合差日及分。以差日及分减太阳盈缩分，馀为距合差度。以差日、差度盈减缩加。金、水二星平合者，以百分减初日行分，馀以除其日太阳盈缩分为日，不满，退除为分，命曰距合差日及分。以减太阳盈缩分，馀为距合差度。以差日、差度盈加缩减。金、水星再合者，以初日行分加一百分，以除其日太阴盈缩分为日，不满，退除为分，命曰再合差日；以减太阳盈缩分，馀为再合差度。以差日、差度盈加缩减{{Annotation|差度则反其加减}}。皆以加减定积，为再合定日。以天正冬至大馀及约分加而命之，即得定合日辰。
求五星定见伏：木、火、土三星，各以其段初日行分减一百分，馀以除其日太阳盈缩分为日，不满，退除为分，以盈减缩加。金、水二星夕见、晨伏者，以一百分减初日行分，馀以除其日太阳盈缩分为日，不满，退除为分，以盈加缩减。其在晨见、夕伏者，以一百分加其段初日行分，以除其日太阳盈缩分为日，不满，退除为分，以盈减缩加。皆加减其段定积，为见、伏定日。以加冬至大馀及约分，满纪法去之，命从甲子，算外，即得五星见、伏定日日辰。
琮又论历曰：古今之历，必有术过于前人，而可以为万世之法者，乃为胜也。若一行为大衍历，议及略例，校正历世，以来历法强弱，为历家体要，得中平之数。刘焯悟日行有盈缩之差。
旧历推日行平行一度，至此方悟日行有盈缩，冬至前后定日八十八日八十九分，夏至前后定日九十三日七十四分，冬至前后日行一度有馀，夏至前后日行不及一度。

李淳风悟定朔之法，并气朔、闰馀，皆同一术。
旧历定朔平注一大一小，至此以日行盈缩、月行迟疾加减朔馀，馀为定朔、望加时，以定大小，不过三数。自此后日食在朔，月食在望，更无晦、二之差。旧历皆须用章岁、章月之数，使闰馀有差，淳风造麟德历，以气朔、闰馀同归一母。

张子信悟月行有交道表里，五星有入气加减。
北齐学士张子信因葛荣乱，隐居海岛三十馀年，专以圆仪揆测天道，始悟月行有交这表里，在表为外道阳历，在里为内道阴历。月行在内道，则日有食之，月行在外道则无食。若月外之人北户向日之地，则反观有食。又旧历五星率无盈缩，至是始悟五星皆有盈缩、加减之数。

宋何承天始悟测景以定气序。
景极长，冬至；景极短，夏至。始立八尺之表，连测十馀年，即知旧景初历冬至常迟天三日。乃造元嘉历，冬至加时比旧退减三日。

晋姜岌始悟以月食所冲之宿，为日所在之度。
日所在不知宿度，至此以月食之宿所冲，为日所在宿度。

后汉刘洪作乾象历，始悟月行有迟疾数。
旧历，月平行十三度十九分度之七，至是始悟月行有迟疾之差，极迟则日行十二度强，极疾则日行十四度太，其迟疾极差五度有馀。

宋祖冲之始悟岁差。
《书·尧典》曰：日短星昴，以正仲冬；宵中星虚，以殷仲秋。至今三千馀年，中星所差三十馀度，则知每岁有渐差之数，造大明历率四十五年九月而退差一度。

唐徐升作宣明历，悟日食有气、刻差数。
旧历推日食皆平求食分，多不允合，至是推日食，以气刻差数增损之，测日食分数，稍近天验。

明天历悟日月会合为朔，所立日法，积年有自然之数，及立法推求晷景，知气节加时所在。
自元嘉历后所立日法，以四十九分之二十六为强率、以十七分之九为弱率，并强弱之数为日法、朔馀，自后诸历效之。殊不知日月会合为朔，并朔馀虚分为日法，盖自然之理。其气节加时，晋、汉以来约而要取，有差半日，今立法推求，得尽其数。

后之造历者，莫不遵用焉。其疏谬之甚者，即苗守信之乾元历、马重绩之调元历、郭绍之五纪历也。大概无出于此矣。然造历者，皆须会日月之行，以为晦朔之数，验春秋日食，以明强弱。其于气序，则取验于传之南至。其日行盈缩、月行迟疾、五星加减、二曜食差、日宿月离、中星晷景、立数立法，悉本之于前语。然后较验，上自夏仲康五年九月辰弗集于房，以至于今，其星辰气朔、日月交食等，使三千年间若应准绳。而有前有后、有亲有疏者，即为中平之数，乃可施于后世。其较验则依一行、孙思恭，取数多而不以少，得为亲密。较日月交食，若一分二刻以下为亲，二分四刻以下为近，三分五刻以上为远。以历注有食而天验无食，或天验有食而历注无食者为失。其较星度，则以差天二度以下为亲，三度以下为近，四度以上为远；其较晷景尺寸，以二分以下为亲，三分以下为近，四分以上为远。若较古而得数多，又近于今，兼立法、立数，得其理而通于本者为最也。琮自谓善历，尝曰：世之知历者甚少，近世独孙思恭为妙。而思恭又尝推刘羲叟为知历焉。
神宗熙宁八年夏闰四月壬寅，沈括上《奉元历》。
按《宋史·神宗本纪》云云。