钦定四库全书
　测圆海镜卷十二
　　　　　　　　　　　　　元　李冶　撰
　　之分一十四问
或问甲乙二人俱在西北隅乙向直东行不知步数而
　止甲向直南行望见乙复向乙斜行甲告乙云我直
　行斜行共一千二百八十步汝东行步居我南行步
　十五分之八

　法曰十六之共步幂为实二百五十七之共步为益
　从一十六步常法得勾圆差
　草曰别得共步即股弦共也立天元一为小差以乘
　共步得□为勾幂就分以二百二十五通之得□为
　二百二十五段勾幂(寄/左)然后再置共步内减小差得
　□□为二股就分四之得□□为一十五勾以自之
　得□□□为同数与左相消得□□□平方开之
　得八十步即小差也既得小差加共步而半之得六

　百八十步即弦也若以减共步而半之得六百步即
　股也以股幂减弦幂馀一十万二千四百步开平方
　得三百二十步即勾也勾股相乘倍之得三十八万
　四千步为实以弦和和一千六百步为法实如法而
　一得二百四十步即城径也合问
或问甲乙二人俱在西北隅乙直南行不知步数而立
　甲直东行望见乙复向乙斜行与乙相会甲云我共
　行了一千步又云我东行步居汝南行步十五分之

　八
　法曰二百二十五段共步幂为实七百六之共步为
　益从二百二十五步常法得股圆差
　草曰别得共步即勾弦共也立天元一为大差以乘
　共步得□又就分以二百五十六通之得□为二百
　五十六个股幂(寄/左)然后再置共步内减天元大差得
　□□为二勾就分以一十五之得□□为十六个股
　也以自之得□□(□/□)为同数与左相消得□□□开

　平方得三百六十即大差也副置共步上位减大差
　而半之得三百二十步即勾也下位加大差而半之
　得六百八十步即弦也馀数各依法求之合问
或问甲乙俱在城西北隅甲南行不知步数而立乙东
　行亦不知步数望见甲就甲斜行与之相会乙云我
　东步少于城周九分之五甲云我南行却多于汝东
　行二百八十步问答同前
　法曰别得周居九分径居三分乙东行居四分(按此/法未)

　(详当加倍较步为实径分数自之内减二/分数为法得数三之即城径二十四字)
　草曰立天元一为一分之数以三之得□为径以四
　之得□为勾以径减勾馀□为小差(只天元便/是小差)再置
　小差加入甲多步得□□为大差倍大差以天元乘
　之得□□为一段圆径幂(寄/左)再置城径以自之得下
　式□□为同数与左相消得□□上法下实得八十
　步即一分之数也以三之得二百四十步即城径也
　合问

或问甲出西门南行不知步数而立乙出北门东行望
　见甲既而乙云我所行居城径六分之五甲云然则
　我所行却多于汝二百八十步问答同前
　法曰四之却多步为实分自之于上半分母减子得
　数倍之又以减数乘之减上位为法得一分之数
　草曰别得却多步即勾股差也乃立天元一为一分
　数以六之为城径以五之为乙行置乙行内减半城
　径得□为小差也又加入却多步得□□又二之得

　□□为二大差又以小差乘之得□□为径幂(寄/左)然
　后以径幂□□与左相消得下□□上法下实得四
　十步即一分之数也六之则为城径五之则为乙行
　又以却多步加乙行即甲行步也合问
或问甲丙二人俱在西北隅甲向东行不知步数而立
　丙向南行望见甲与之相会丙语甲云我行既多于
　汝又城径少于我四十分之十六(按四十为股分十/六为径当云径少)
　(于我为四十分之十六原文脱/为字似十六为股圆差分矣)甲云然则吾二人共

　行了九百二十步问答同前
　法曰倍子以减倍母又乘共行步为实倍子减倍母
　以乘子母并数于上又以子幂加上位为法如法得
　一十五步即一分之数也
　草曰别得共行步即通和也又别得四十分之十六
　或作二十分之八或作十分之四亦得但所得分数
　不同耳乃立天元一为一分之数以十六之为城径
　以四十之为丙行丙行减和步得□□为通勾勾内

　减径馀得□□为小差于上以分母分子相减馀□
　又倍之得□为两个大差以乘上位得□□为圆径
　幂(寄/左)然后以分子十六分自之得下□□与左相消
　得□□上法下实得一十五步即一分之数也以十
　六之得二百四十步即城径也合问
或问甲乙俱立于城中心乙出东门直行不知步数而
　立甲出南门直行亦不知步数望见乙向乙斜行与
　之相会乙云我居汝南行十五分之八又云斜行步

　内若减甲直行馀三十四步若减乙直行馀一百五
　十三步问答同前
　法曰以云数二减步为小差大差以相乘倍之开平
　方加入大小差并以自之于上又以大小差相较数
　以自之减上位为实甲行分乙行分相乘又倍之为
　隅法得一分之数
　草曰别得云步相并得一百八十七是于皇极弦内
　少一个皇极黄方面也又别得三十四步是个小勾

　圆差其一百五十三步是一个小股圆差此二差又
　相减馀一百一十九即中差也乃立天元一为一分
　之数以八之得□为乙东行数以十五之得□为甲
　南行数以二数相乘又倍之得□□为二直积于上
　(寄/左)然后以云步三十四乘一百五十三得五千二百
　二又倍之得一万四百四为平方实开之得一百二
　步即小黄方也加入相并数一百八十七得二百八
　十九为小弦也以自之得八万三千五百二十一为

　弦幂于上以中差幂一万四千一百六十一减上位
　馀□与左相消得□□□平方开之得一十七步即
　一分之数也副置一分之数上位以八之得一百三
　十六即乙东行也下位以十五之得二百五十五即
　甲东行也二位相乘得三万四千六百八十又倍之
　得六万九千三百六十为实以弦二百八十九为法
　如法得二百四十步即城径也合问
或问甲出西门南行乙出北门东行各不知远近两相

　望见复相斜行各行了三百四十步相会甲云城径
　居我南行二分之一乙云我东行居城径六分之五
　问答同前
　法曰以二之斜行步自之为实以各行分数自之为
　幂(按此语未详当云以城径六分乘甲南行二分得/十二分加半城径三分得十五分为大股分乙东)
　(行五分加半城径三分得八/分为大勾分各自之为幂)又相并为隅法开平方
　得一分之数
　草曰别得倍斜行为大弦又别得乙行五分城径六

　分甲行十二分乃立天元一为一分之数以六之得
　□为城径以五之得□为乙行分以十二之得□为
　甲行分乃副置半城径上位加甲行步得□以自之
　得□□为甲行幂下位加乙行步得□以自之得□
　□为乙行幂二幂又相并得□□为大弦幂(寄/左)然后
　置大弦六百八十步以自之得□与左相消得□□
　□平方开之得四十步即一分之数也以六之得二
　百四十步即城径也合问

或问甲出西门南行不知步数而立乙出北门东行见
　之乙斜行与甲相会甲乙二人共行了一千三百六
　十步其甲南行居斜十七分之十二其乙东行居斜
　十七分之五问答同前
　法曰别得共步即二弦也半共步得六百八十步副
　置上位以五之得三千四百以十七而一得二百步
　即乙东行也下位以十二之得八万一千六百以十
　七而一得四百八十即甲南行也二行相减馀二百

　八十即勾股差也其馀各依法求之合问
或问甲出西门南行不知步数而立乙出北门东行望
　见之既而乙谓甲云我取汝六分之五得六百步甲
　谓乙云我取汝五分之三亦得六百步问答同前
　法曰求得各行步(按见/后草)相并以自之于上并甲南行
　幂乙东行幂以减上为实并各行为从半步常法得
　全径
　草曰置(乙取甲六分之五六百步/甲取乙五分之三六百步)以上六分五分各

　自直乘步数讫得人(六分/五分)　(之五/之三)　(三千六百步/三千步)别
　得左行三千六百步为六乙行五甲行也右行三千
　步为五甲行三乙行也以方程法入之乃再置
　(五甲行/五甲行)　(六乙行/三乙行)　(三千六百步/三 千 步)先以左行直减右
　行右上空中馀三乙行下馀六百步上法下实得二
　百步即乙行也却以今右行减于元左行上馀五甲
　行空中下馀二千四百步上法下实得四百八十步
　即甲行也既得此数乃立天元一为城径以半之副

　置二位上以加甲行得□□为通股以自之得□□
　□为大股幂下位加乙行得□□为通勾以自之得
　□□□为大勾幂二幂相并得□□□为大弦幂(寄/左)
　乃并甲行乙行以自乘得下式□亦为大弦幂与左
　相消得下□□□开平方得二百四十步即城径也
　合问
或问甲从坤隅南行不知步数而立乙从艮隅东行望
　见之既而乙谓甲云我所行取汝所行三分之一得

　二百步甲谓乙云我所行内减汝所行四分之三得
　三百步问答同前
　法曰如法求得各行(按见/后草)以相乘又二之开平方得
　全径
　草曰置(乙取甲三分/甲减乙四分)　(之一/之三)　(二百步/三百步)以上三分四
　分置乘步数讫得(三分之一/四分之三)　(六百步百步/一千二)别得右行六
　百步为三乙行一甲行也左行一千二百步为四甲
　行内少三之乙行步也以方程法入之乃再置

　(一甲行/四甲行)　(三乙行负/三乙行)　(六千百百步/一 二 步)先以左行直加右行
　右上得五甲行中空下一千八百步上法下实得三
　百六十步即甲行也次以一甲行减元右行六百步
　馀二百四十步以中三除之得八十步即乙行步也
　甲行乙行二数相乘得数又倍之开平方即城径也
　合问
或问股圆差如股五分之三勾圆差如勾四分之一又
　云其大小差相减馀二百八十步问答同前

　法曰二之中差为实置股子以勾母乘之内减股母
　为法得小差
　草曰别得勾圆差即小差股圆差即大差云步即中
　差乃立天元一为小差以四之得□为勾勾上加中
　差得□□为股又三之得□□为五个大差也内减
　五个天元得□□为五个中差也(寄/左)乃以五之相减
　步□与左相消得□□上法下实得八十步即小差
　也合问

或问股圆差如股五分之三勾圆差如勾四分之一又
　云勾母每分少于股母每分四十步问答同前
　法曰二之少步实以股子母相减数减勾子母相减
　数为法如法得小差
　草曰立天元一为勾圆差便为勾母每分数以天元
　加四十步得□□为股母每分数于上乃以股子减
　股母馀二分以乘上位得□□为城径(寄/左)再置天元
　在地以勾子减勾母馀三分以乘之得□□为同数

　与左相消得下丨□上法下实得八十步即勾圆差
　也合问
或问甲出南门直行乙出东门直行望见甲斜行与甲
　相会甲云我行不及股圆差二十四分之十五乙云
　我行不及勾圆差五分之四又云甲行多于乙行一
　百一十九股圆差多于勾圆差二百八十问答同前
　法曰以大差母分二十四以乘甲多一百一十九得
　数倍小差母五得一十以乘之于上以小差母五乘

　二之二差相较数又九之减上位为实倍小差母得
　一十却以小差乘之又九之于上倍甲分母以小差
　母乘之得数减上位以为法得小差一分之数
　草曰立天元一为小差一分之数(此一分之数便是/乙直行之数也)
　以五之得□为小差加二百八十得下□□为大差
　又倍之得□□以小差乘之得下式□□为一个圆
　径幂又九之得□□(寄/左)乃又置乙行步加一百一十
　九□□即甲行步也以二十四之得□□为九个大

　差也倍小差母得□以乘之得□□为同数与左相
　消得□□上法下实得一十六步即小差一分之数
　也既得此数馀各如法求之合问
或问大勾大股大弦三事和一千六百步以明勾除大
　股得八步三分之一以□股除大勾得一十步三分
　之二以虚勾明勾相减馀二十四步以虚股□股相
　减馀六十步问答同前
　法曰六十步加入大三事和又三之二而一为实并

　二云数分母分子内减六步为法如法得□股
　草曰别得六十步与二十四步二数相并而半之得
　□即明勾□股差也又为虚勾虚股差也若以二数
　直相减即虚黄方也其二十四步得二虚勾即半径
　也其六十步得二□股亦为半径也立天元一为□
　股加差步得□□为明勾也以乘八步三分之一得
　□□为大股也以天元乘一十步三分之二得□为
　大勾也勾股相并得下□□为大和也(寄/左)然后四之

　天元加入二之六十步得□□为小三事和以小三
　事和加入大三事和得□□为二个大和也合折半
　为大和了又就三分之为前数今不折半三因但身
　外加五得□□为同数与左相消得□□上法下实
　得三十步即□股也四之□股加入二之六十步得
　二百四十步即城径也合问
　　按之分即通分也张邱建谓学者不患乘除之为
　　难而患通分之为难又谓夏侯阳之方仓孙子之

　　荡杯皆未尽其妙于是作为算经三卷以发其义
　　是书末设十四问皆以立天元一之法御之尤为
　　简妙殆所以明立天元一之法其用无不周也又
　　按问中两言以方程入之张邱建算经内数问亦
　　然盖有通分而乘除不穷有方程而通分益便此
　　又因通分及之非立天元一本法也秦九韶谓时
　　人误以大衍法为方程者盖此类也
　　按右书十二卷皆为立天元一法而作也其法神

　　明变化不可端倪今略举数端言之如诸法中有
　　求之不可得者此法求之可得若此法求之不可
　　得者则必不可求矣又诸法中有难求者虽强探
　　力索毫釐未至则不可得此法但知大意不待深
　　思加以步算即可得矣又诸法中有所求或先得
　　彼而后得此者不能移易此法任其所求或先得
　　此或先得彼无不如志又诸法有数始可求一数
　　不具则不可求此法数不具亦可求且有无数即

　　可求者又诸法遇甚繁甚密者须次第步算或累
　　日累月其功不能再省此法有经年步算可约之
　　顷刻而得者凡此皆寻常智虑所不能及要皆自
　　然之理数易知易从然自不习者观之盖有茫然
　　莫解其故者矣是书之作殆深忧傅习者难其人
　　而其法遂泯于后世也其誊写鲁鱼算式舛讹今
　　悉正之
　

　
　
　
　
　
　
　
　测圆海镜卷十二