钦定四库全书
　测圆海镜卷十一
　　　　　　　　　　　　　元　李冶　撰
　　杂糅一十八问
或问城南有槐树一株城东有柳树一株甲出北门东
　行丙出西门南行甲丙槐柳悉与城参相直既而丙
　就柳行五百四十四步至柳树下甲就槐行四百二
　十五步至槐树下问答同前

　法曰甲就步自之于上以二行相减数自之减上位
　为实二之二行相减数并入二之甲就步为从一步
　常法得平弦
　草曰别得丙就步为边弦也甲就步为底弦也边弦
　即皇弦高弦共也底弦即皇弦平弦共也二行相并
　即大弦皇弦共也二行相减即皇极勾股较也倍皇
　弦以减于大弦馀即虚弦也倍皇弦内减边弦馀即
　叀弦也倍皇弦内减底弦馀即明弦也皇极弦加一

　差(按一差即皇/极勾股较)则大差弦也内减一差则小差弦也
　立天元一为平弦加一皇极勾股差得□□即高弦
　也高弦自之得丨□□内加天元幂得□□□为皇
　弦幂(寄/左)然后以天元减底弦得下式□□自之得丨
　□□为同数与左相消得丨□□开平方得一百三
　十六步即平弦也馀各依法求之合问
或问出南门东行有槐树一株甲出北门东行斜望槐
　树与城相直就槐树行二百七十二步出东门南行

　有柳树一株丙出西门南行斜望柳树与城相直就
　柳树行五百一十步问答同前
　法曰云数相并而半之以自乘于上半丙斜行以为
　幂半甲斜行以为幂并二幂减上位为实并云数为
　益从一步平隅得虚弦
　草曰别得丙斜行为黄广弦也亦为两个高弦也此
　勾则城径也甲斜行即黄长弦也亦为两个平弦也
　此股则城径也二数相并得□即大弦虚弦共也二

　数相减馀□即两个皇极差也二数相并而半之得
　□即皇极和也立天元一为虚弦以减于皇极和得
　□□即皇极弦也以自之得丨□□为皇弦幂(寄/左)然
　后以高弦自之得□以平弦自之得□二自乘数相
　并得□与左相消得□□□开平方得一百二即虚
　弦也合问
或问甲从坤隅南行不知步数而立乙从艮隅南行一
　百五十步望见甲复斜行五百一十步与甲相会问

　答同前
　法曰斜行自之于上倍南行减斜馀自之以减上为
　实倍南行减斜又四之为从八步常法平方得半径
　草曰别得南行即小差股斜行即黄广弦也小差股
　内减半径馀即半个黄广积上股弦差也全径即其
　勾也立天元一为半城径减于乙南行倍之得□□
　即一个黄广即上股弦差也以减于斜行步馀□□
　即股也自之得□□□为股幂也又倍天元以自之

　得□□为大勾幂加入大股幂得□□□(寄/左)然后以
　斜行幂□与寄左相消得下式□□□开平方得一
　百二十步即半径也合问
或问乙从艮隅东行不知远近而止甲从坤隅东行一
　百九十二步望见乙复斜行二百七十二步与乙相
　会问答同前
　法曰倍东行减斜行得数自为幂以减于斜行幂为
　平实倍东行减斜行又四之为从八益隅翻法开平

　方得半径
　草曰别得甲东行即大差勾也斜行则黄长弦也大
　差勾内减半径馀即半个黄长积上勾弦差也全径
　即其股也立天元一为半径减于东行倍之得□□
　即一个黄长积上勾弦差也以减于斜行步得□□
　即黄长勾也以自之得□□□为勾幂于上倍天元
　以自之得□□加上位得下式□□□为弦幂(寄/左)然
　后以斜行幂□为同数与左相消得□□□平开得

　一百二十步即半城径也合问
或问甲从坤东行一百九十二步丙从艮南行一百五
　十步望见之问答同前
　法曰二行相乘倍之为平实如法得圆径
　草曰别得甲行即大差勾丙行即小差股此二数相
　乘恰与大小差相乘正同如法相乘讫倍之得□为
　圆径幂(寄/左)然然立天元为圆径以自之与左相消得
　丨□□开平方得二百四十步即城径也合问

又法以二行相减数减于二行相并数馀者半之于上
　复以二行相减数加于上即城径
　草曰别得甲东行减于径为虚勾也丙南行减于径
　为虚股也二行共为一径一虚弦共也二行相减即
　虚和也以相并数相减数又相减即两个虚弦也如
　法求得虚和□虚弦□相并得□即城径也合问
　　按又法未合盖以二行相减为虚较而草中误以
　　为虚和也其义甚浅非难知者是殆偶尔之遗忘

　　然亦可以决其为当日未定之稿矣
或问出西门南行二百二十五步有塔出北门东行六
　十四步望塔正当城径之半问答同前
　法曰二行相乘为平实一步常法得半径
　草曰别得二百二十五步为高股此乃半径为勾之
　股也其六十四步为平勾此乃半径为股之勾也二
　数相并即太极弦也二数相减即中差内去皇极差
　也又别得二行相乘恰是半径幂一段此与半梯头

　相乘其意正同今且以弦上容圆取之立天元一为
　半径副之上加南行得□□为股也下加东行步得
　□□为勾也勾股相乘得丨□□为大直积以天元
　半径除之得□□□为勾股和(寄/左)然后并勾股得□
　□与左相消得丨○□开平方得一百二十步即半
　径也合问
或问丙从乾隅南行丁从艮隅亦南行甲从乾隅东行
　乙从坤隅亦东行各不知步数四人悉与城相直只

　云丙行内减丁行馀四百五十步甲行内减乙行馀
　一百二十八步问答同前
　法曰二行相乘为实一步常法得城径
　草曰别得丙行即大股丁行即小差之股也甲行即
　大勾乙行即大差之勾也其□即黄广股其□即黄
　长之勾也立天元一为城径先置黄广股□为股方
　差以□为勾方差以乘之得□为城径幂(寄/左)然后以
　天元幂与左相消得下式丨□□开平方得二百四

　步合问
或问出南门东行有槐树一株出东门南行有柳树一
　株丙丁二人同立于坤隅甲乙二人同立于艮隅丁
　直东行至槐而止乙直南行至柳而止丙直南行甲
　直东行四人遥相望见只云丙行多于丁行一百六
　十八步乙行多于甲行七十步问答同前
　法曰云数相乘为实二数相减又半之为法得城径
　草曰别得□即大差勾股较也其□即小差上勾股

　较也二数相并为大差弦内减小差弦也二数相较
　又半之皇极弦与城径差也二数相并而半之即皇
　极差也立天元一为圆径二云相减数又半之加天
　元得□□为极弦也并二数而半之得□为极差也
　副置极弦上位加极差得□□为弦较和也下位内
　减极差得□□为弦较较也上下相乘得丨□□为
　二直积(寄/左)然后以天元一乘极弦得下式丨□为同
　数与左相消得□□上法下实而一得二百四十步

　即城径也合问
或问甲从坤东行丙从艮南行适相见斜行一百二步
　甲丙相会丙云我南行不及汝四十二步问答同前
　法曰二数相并以斜行乘于上二数相并而半之以
　乘相并数减上位为平实不及步为从一步常法得
　虚勾
　草曰别得一百二步即虚弦四十二步即虚较也又
　斜行得虚股为乙东行此便为大差勾也斜行步得

　虚勾为丙东行此便是小差股也立天元一为虚勾
　加斜行步得□□为小差股也以不及步加于小差
　股得下式□□为大差勾也勾股相乘得丨□□为
　半段黄方幂(寄/左)然后再置虚勾加不及步得□□为
　虚股又加入天元得□□为虚和又加入虚弦得□
　□为圆径以自之得□□□又半之得□□□与寄
　左相消得丨□□平方开得四十八步即虚勾也合
　问

或问甲从城心东行丙从城心南行庚从巽隅西行壬
　从巽隅北行四人遥相望见各不知步数只云甲丙
　共行了三百九十一庚壬共行了一百三十八问答
　同前
　法曰云数相乘为实相并为法得虚弦
　草曰别得甲丙共为皇极和也又为极弦极黄共庚
　壬共为太虚和也又为虚弦虚黄共立天元一为皇
　极黄方面(亦为虚/弦也)减于甲丙共得□□即极弦也又

　以天元减于庚壬共得□□即太虚黄方面也以太
　虚黄方面乘极弦得丨□□(寄/左)然后以天元幂与左
　相消得□□上法下实如法得一百二步即皇极黄
　方面也合问(按此亦系相消后/得一边之二数者)
或问甲从乾隅东行不知步数而止丙向南行亦不知
　步数望见甲就甲斜行七百八十步与甲相会甲云
　我行地虽少于汝以我东行步为法除汝南行步则
　汝止得二步四分问答同前

　法曰斜步自之为平实除步自之又加一步为隅得
　甲东行
　草曰此问所求城径与诸问并同其勾股则与前后
　诸率不同今特为此草者欲使后学有以考较诸率
　当否也立天元一为甲东行(即大/勾)以乘二步四分得
　□为长以自之得□□为股幂又并入天元幂得□
　□为弦幂(寄/左)乃以斜行自之得□为同数与左相消
　得□□□开平方得三百即甲东行也以二步四分

　乘之得七百二十步即丙南行也倍丙东行以甲东
　行乘之得四十三万二千为实以三事和一千八百
　为法除之得二百四十步即城径也合问
或问小差黄方面少于大差黄方面八十四步太虚黄
　方面少于皇极黄方面六十六步问答同前
　法半八十四为中差以中差减六十六为二小差半
　之为小差又中小差相并为大差乃以小差乘大差
　为平实半步常法得虚黄

　草曰别得八十四为两个虚积中差其六十六为虚
　积大小差并半八十四得□为虚中差也以中差减
　六十六馀二十四半之得□即虚小差也以小差反
　减六十六馀□即虚大差也又别得小差黄方为两
　叀股大差黄方为两明勾也立天元一为虚黄方置
　三位上加小差得□□为虚勾也中加大差得下□
　□为虚股也下加大小差并得□□为虚弦也三位
　并之得□□即城径也倍虚勾减城径得□□为大

　差黄方面也又倍虚股减城径得□□为小差黄方
　面也半小差黄方面得□□以乘大差黄方得□□
　□为一个虚直积(寄/左)乃以虚勾虚股相乘得丨□□
　为同数与左相消得□□□平方开得三十六步即
　虚黄方面也其馀依法求之合问据此问既别得大小
　差正数自可以求得黄方面也诸如此数实不须草
　今特为细草者庶使后学知其来历
或问大差弦较较减皇极弦馀四十九步小差弦较和

　减太虚弦馀一百三十八步又皇极差一百一十九
　步问答同前
　法曰并前二数为幂内减极差幂为平实从空二益
　隅得虚弦
　草曰别得大差弦较较与小差弦较和皆同为圆径
　也又二数相并得□为明弦叀弦共又为极和内少
　两个虚弦也其一百三十八即虚和也□则旁差也
　立天元一为虚弦加入一百三十八得□□为圆径

　也又加入□得□□为极弦以自之得丨□□又倍
　之得□□□内却减极差幂□得下式□□□为和
　幂(寄/左)乃倍天元加并数得□□为极和以自增乘得
　□□□为同数与左相消得□□□开平方得一百
　二步即虚弦也加入一百三十八得二百四十步为
　圆径合问(前二数相并加/虚弦便是极弦)
或问小差不及平弦五十六步高弦不及大差一百五
　步问答同前

　法曰以前数自之为实二数相减为法得平勾
　草曰别得云数相并得□为平勾不及高股也此数
　得极差则通差也此数内减虚差则极差也云数相
　减馀□即城径不及极弦也以前数减于半径馀即
　平勾以后数加于半径即高股也倍前数加小差则
　为股圆差之勾也此与前数加平弦同倍后数减于
　大差则为勾圆差之股也此与后数减于高弦同立
　天元一为平勾加相并数得□□即高股也又加天

　元得□□即极弦也内减二云数差得□□为城径
　也半之得□□以自之得丨□□为半径幂(寄/左)然后
　以天元乘高股得丨□为同数与左相消得□□上
　法下实得六十四步即平勾也合问
又法云数相得为实相减为法得半径
　草曰立天元为半径副之上内减五十六得□□为
　平勾下加一百五得□□为高股上下相乘得丨□
　□为半径幂(寄/左)以天元幂与左相消得下式□□上

　法下实得一百二十步即半径也合问
或问通勾通弦共一千步大差小差共得四百四十步
　问答同前
　法曰以二差共减于一千又半之以自乘为平实以
　二差共减于一千又半之加入二之前数为纵(前数/谓一)
　(千也数按此语有误应加入二/之后 后数谓大小差共也)二步二分五釐益隅
　得勾圆差
　草曰立天元一为小差数加入后数得□□却以减

　于前数得□□折半得□□为一个圆径也以自之
　得下式□□□(寄/左)然后以天元减后数得□□为大
　差以天元乘之又倍之得□□与左相消得□□□
　开平方得八十步即勾圆差也
或问皇极三事和六百八十步太虚弦和较三十六问
　答同前
　法曰二数相得为实半之后数为益从五分常法平
　开得城径

　草曰别得皇极三事和即大弦也立天元一为城径
　减三个后数□而半之得□□为太虚大小差并也
　却加入两个后数□得下□□为虚和也又以虚和
　减天元得下□□为虚弦也置通弦(即皇极三/事和也)内加
　天元得下式□□即通和也乃置通和以虚弦乘之
　得下式□□□(寄/左)再置虚和以通弦乘之得下□□
　为同数与左相消得□□□开平方得二百四十步
　即城径也合问

或问出南门行一百三十五步有树出北门行一十五
　步折而东行二百八步望见问答同前
　法曰以东行步乘南行步得数又自乘为实以东行
　步自乘乘南行步又倍之为从东行步自乘于上并
　南北二行步以减于东行步馀数自之为幂以减上
　再寄位又并南北二行步以东行步乘而倍之内减
　再寄为第一益廉四之东行步于上又并南北二行
　步减于东行步又四之减上位为第二益廉四步虚

　隅开三乘方得半径
　草曰立天元一为半径(即高/勾也)置南行步加天元得□
　□为高弦也置大勾□以高弦乘之得□□复以高
　勾除之得下式□□为大弦也令之自乘得□□□
　(寄/左)又置二之天元加南北行并得□□为大股复用
　大勾二百八减之得□□为较也以自乘得□□□
　为较幂以减寄左得□□□□□为二直积(寄/左)再置
　大股□□以大勾□乘之得□□为直积又倍之得

　□□为同数与左相消得□□□□□翻法开三乘
　方得一百二十步即城径之半也合问
或问出北门一十五步折而东行二百八步有树出西
　门八步折而南行四百九十五步见之问答同前
　法曰先置南行步内减一东二西并步馀二百七十
　一为前泛率次并一南二北内减东行步馀三百一
　十七为中泛率次并东西步以南行步乘之于上位
　又以西行乘南北并得数减上位馀一十万二千八

　百四十为后泛率乃以后泛率自乘得一百五亿七
　千六百六万五千六百为三乘方实以前中二泛相
　减馀四十六以乘后法数为从前中二泛相乘得八
　万五千九百七加入二之后泛数共得二十九万一
　千五百八十七于上位又并东西行以乘南北并得
　二十二万三百二十加上位通得五十一万一千九
　百七为第一廉二之前泛数加入四之东西并得一
　千四百五十二于上位又以前中二泛相减于四十

　六减上位馀一千四百六为第二廉一步常法得半
　径(按此法乃取于又法草中其求第二廉云二之前/泛数句误当云二之四数并若二之前泛数加入)
　(四之东西并便得第二廉一千四百零/六更不待再减然原文之意不如是也)
　草曰立天元一为半城径加入东行西行并得□□
　为大勾也又置天元加入南行北行并得□□为大
　股也置西行八步以大股乘之得下式□□合以大
　勾除之不除寄为母便以此为股尖也置南行四百
　九十五步减天元得□□用分母大勾乘之乘讫得

　下式□□□内减了股尖馀□□□为小股也(内带/大勾)
　(分/母)置小股合以大勾乘了复以大股除之为小勾今
　为小股内已有大勾为母更不须乘只以小股□□
　□便为小勾也(内带大/股为母)小勾小股相乘得数为一个
　小勾股相乘直积内带大勾股相乘直积为分母也
　乃以半城径(即天/元也)除之为一个弦较和也丨□□□
　□此法本取勾外容圆合以弦较和除二积为勾外
　所容之圆今用天元半径除一个积则却得一个弦

　较和也内依旧带大积分母也(寄/左)然后再置小股□
　□□合用大积乘之缘内已带大勾分母今只用大
　股□□乘之得□□□□为大积所乘小股于上再
　置小勾合用大积乘之缘内已带大股分母合只用
　大勾□□乘之得□□□□为大积所乘之小勾也
　以此小勾减上小股得□□□即带分小较也又二
　因小较得下式□□□为带分二较也又以大勾股
　直积丨□□乘二之天元半径得□□□为一个带

　分弦较较也(弦较较乘弦较和为二直积既以圆径/除二百积为弦较和则是圆径为弦较)
　(较也今又为半天元圆径除一积为弦/较和故倍天元半径作一个弦较较也)遂将此弦较
　较加入前二较得□□□□亦为一个弦较和也与
　寄左相消得下式丨□□□□开三乘方得一百二
　十步即城半径也合问
又法此问系是洞渊测圆门第一十三前答亦依洞渊
　细草用勾外容圆术以入于弦较和然其数烦碎宛
　转费力今别草一法其廉从与前不殊而中间段络

　径捷明白方之前术极为省易学者当自知也　立
　天元一为半径副之上并加东西行得□□为通勾
　率下并加南北行得□□为通股率乃置西行八步
　以通股乘之得下□□合通勾除不除寄为母便以
　此为南小股也又置南行四百九十五步内减天元
　得□□用通勾乘之得□□□内减了南小股下式
　卜□□为股圆差也内带通勾分母又置北行一十
　五步以通勾乘之得□□合通股除不除寄为母便

　以此为北小勾也又置东行二百八步内减天元得
　□□用通股乘之得□□□内减了北小勾馀□□
　□为勾圆差也(内带通/股分母)乃以二差相乘得下式丨□
　(□/□)□(□/□)为半段圆径幂也内带通积为母(寄/左)然后以
　通勾通股相乘得丨□□以天元幂乘之得丨□□
　□又倍之得下式□□□□为同数与左相消得廉
　从一与前同合问
　　按洞渊疑为古之精于算者序中谓老大以来得

　　洞渊九容之说而于此问又明其为洞渊测圆门
　　第十三题前答亦依其细草大抵是书之作皆师
　　其意而演之者也今洞渊之为人与书虽不可考
　　而即此一草观之其取径遥深而惟变所适亦可
　　见文豹之一班矣至谓其数烦碎宛转费力特为
　　初学难易而言读者宜善会也
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　测圆海镜卷十一