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钦定四库全书测圆海镜卷十
元 李冶 撰
三事和八问
或问甲乙同立于乾隅乙向东行不知步数而立甲向
南直行多于乙步望见乙复就东北斜行与乙相会
二人共行了一千六百步又云甲南行不及斜行八
十步问答同前
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法曰共步内减四之小差复以自之于上以十八个小差幂减于上为实四之共步内减十六个小差于
上却以十八小差加上为益从四步常法开平方得
中差
草曰别得共步为三事和也不及步即小差也立天
元一为中差加二之小差得□□为大小差并以加
入三事和得□□为三弦也倍三事得三千二百内
去大小差并得□□为三和也内减三弦馀□□为
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三个黄方以自之得□□□为九段黄方幂(寄/左)再置天元中差加小差得□□为大差以小差□乘之得
□□为半个黄方幂就一十八之得□□为同数与
左相消得□□□开平方得二百八十步即中差也
其馀各依法求之合问
或问以前三事和又云大差三百六十步问答同前
法曰倍云数以云数乘之又九之于上倍云数加三
事和为前数倍云数减二之三事和为后数二数又
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相减馀一百六十为泛率以自乘减上位为平实十八之云数内又加四之泛率为从四常法得中差
草曰立天元一为中差置云步倍之内减天元得□
□为大小差共数加于三事和得□□为三弦也倍
三事内减大小差共数得下式□□为三和也内减
三弦得□□为三个黄方面也以自之得□(□/□)□为
九段黄方幂(寄/左)再以天元减大差得下式□□为小
差又倍之得□□以云数乘之得下式□□又就分
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九之得下式□□与左相消得下式□□□开平方得二百八十步即中差也合问
或问依前见三事和又云中差二百八十步问答同前
法曰和步加差步以自乘于上又和步内减差步以
自乘加上位为平实四之和步为从二步益隅得大
弦
草曰立天元一为大弦减共步得□□为和副置之
上位减差步得□□为二勾以自之得丨□□为四
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段勾幂也下位加差步得□□为二股以自之得丨□□为四段股幂也二位相并得□□□为四段弦
幂(寄/左)然后以天元自之又四之得□□为同数与左
相消得□□□开平方得六百八十步即大弦也倍
之以减于三事和馀即城径也合问
或问依前见三事和又云小差大差并四百四十步问
答同前
法曰并前后二数三而一为弦反以减共步得数又
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以减弦得城径草曰二数相并得□三而一得□即弦也以弦减三
事和得□即和也弦和又相减馀二百四十步即城
径也合问
或问依前见三事和又云小差中差大差共七百二十
问答同前
法曰半云数自之又三之于上以三事减上位为平
实(按以三事减上位有误此系偶合三事之数耳当/云加半段三事幂又倍三事和加大差复以大差)
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(乘之减上/位为平实)倍三事于上半云数而五之加上位为益从二常法得小差
草曰别得三差共为二大差也立天元一为小差并
大差加入三事和得□□为三弦也以自之得丨□
□为十八积九较幂(寄/起)又以共三事步自之得□方
于上又以天元小差乘大差倍之得□加于上得□
□为十二积四较幂又加五(按即三/因二归)得□□为十八
个直积六个较幂以减寄起馀得丨□□为三个较
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幂(寄/左)然后以天元小差减大差得□□为中差以自之得丨□□又三之得下式川□□为同数与寄左
相消得□□□平方而一得八十步即小差也馀各
依数求之合问
或问依前见三事和又云明黄方叀黄方共六十六问
答同前
法曰二事内加二之共步复以二之共步乘之于上
位三事内减二之共步复以二之共步乘之得数减
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上位为平实三事内加二之共步又倍之于上又三(按三当/作六)之共步加上位为泛寄三事内减二之共步
又四之于上又三(按三亦/当作六)之共步减上位得数以减
泛寄为从作十八段虚平方开之得虚黄方
草曰别得共步即虚大小差也立天元一为虚黄方
以三之加入倍之共步得□□为圆径也以圆径加
三事得□□为二通和以圆径减三事得□□为二
通弦又副置圆径上加天元得□□为二虚和下减
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天元得□□为二虚弦乃置二大和以二小弦乘之得下□□□(寄/左)然后置二大弦以二小和乘之得下
式□□□与左相消得□□□平方开之得三十六
步即虚黄方也其馀各依法求之合问
或问依前见三事和又云皇极弦二百八十九步问答
同前
法曰二数相乘为实从空一益隅得大弦
草曰立天元一为通弦内减皇弦馀□□为皇极勾
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股和以自之得丨□□于上以皇极弦幂减上位得丨□为二直积合于皇极除之不除寄为母便以此
为城径(寄/左)乃以二之天元弦减共步得□□为黄方
面以皇弦通之得□□与左相消得丨□□开平方
得六百八十步即大弦也合问
或问依前见三事和又云见太虚弦一百二步问答同
前
法曰半虚弦乘三事为实三事为从四虚隅翻开之
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得半大弦草曰识别得以虚弦减大弦半之为皇极弦以虚弦
加大弦半之为皇极勾股共也立天元一为半大弦
以二之内减虚弦得□□折半得□□为皇极弦也
又以虚弦加大弦而半之得□□为皇极和也和自
之得丨□□于上又以弦自之得丨□□减上位馀
得下□为二直积合以皇极弦除之不除寄为分母
便以此为城径(寄/左)然后以四之天元减三事共馀□
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□又以皇极弦分母通之得□□□为同数与左相消得□□□倒积开得三百四十步倍之即大弦也
合问
测圆海镜卷十