钦定四库全书
　测圆海镜卷九
　　　　　　　　　　　　　　元　李冶　撰
　　大斜四问
或问甲丙俱在中心丙望南门直行不知步数而止甲
　出东门直行不知步数望见丙斜行与丙相会二人
　共行了六百八十步仍云甲直行少于丙直行一百
　一十九步问答同前

　法曰二数相减馀以为幂内却减差幂为平实二数
　相减又四之于上又加入二之差步为益从二步常
　法得皇极勾
　草曰别得共步即皇极三事和少步即勾股差也立
　天元一为皇极勾加少步得□□为股也又以天元
　加股得□□为和也以和减共步得□□为弦也弦
　自之得□□□为一段弦幂(寄/左)然后置股以天元乘之
　又倍之得□□为二直积加入少步幂□共得□□

　□为同数与左相消得□□□平方而一得一百三
　十六即勾也勾加差为股勾股相乘倍之为实勾股
　和减共步为法得城径
又法云数并与云数差相乘(按此句有误当云和数与/倍差相加相减二得数相)
　(乘/)为平实云数并与二数差相并得数以减于八之
　共步为益从(按此只云六因和/步为益从亦同)一步常法得皇极黄
　方
　草曰立天元一为黄方(即虚/弦也)副置之上位加共步得

　□□为二和也下位减共步得□□为二弦也先以
　二和自乘得丨□□为四段和幂又以二弦自乘得
　丨□□为四段弦幂二数相减馀得□又倍之得下
　式□为十六段直积于天元位(寄/左)然后副置二和上
　位加二之少步得□□为四股下位减二之少步得
　□□为四勾勾股相乘得丨□□为同数与左相消
　得□□□平方而一得一百二步即皇极黄方也馀
　各依法求之合问

或问甲丙俱在西北隅起丙向南行不知步数而立甲
　向东行望见丙就丙斜行六百八十步与丙相会丙
　云我南行步多于甲东行二百八十步问答同前
　法曰以云数差乘云数并为实倍多步为从二为平
　隅得大勾
　草曰立天元为大平(按大平/即大勾)加差得□□为股倍天
　元乘之得□□为二积(寄/左)然后以斜步多步并□与
　斜步多步较□相乘得□为同数与左相消得□□

　□开平方得三百二十步即大勾也合问
或问甲乙二人共立于艮隅乙南行过城外而立甲东
　行望乙与城参相直而止丙丁二人共立于坤隅丁
　向东行过城门而立丙向南行望丁及甲乙悉与城
　俱相直丙复就甲斜行六百八十步与甲相会乙丁
　又云吾二人直行共得三百四十二问答同前
　法曰二云数相乘倍之为实倍斜行于上以二云数
　相减加上位为从一步常法开平方得城径

　草曰别得斜步即大弦也其共步则一径一虚弦共
　也其二数相并为一大和一虚弦共数也立天元为
　径减于共步得□□为虚弦也以虚弦复减于天元
　得□□为虚和以斜步乘之得□□(寄/左)乃以天元加
　斜步得□□为大和以虚弦乘之得□□□为同数
　与左相消得丨□□开平方得二百四十步即城径
　也合问
或问甲从北门向东直行庚从西门穿城东行丙从西

　门向南直行壬从北门穿城南行四人遥相望悉与
　城参相直只云丙相望处六百八十步庚壬穿城共
　行了六百三十一步问答同前
　法曰共步自之得数以共步减斜馀自乘以减上为
　实二之斜步加入共步减斜馀数为从一步常法得
　城径
　草曰共行步为一径与皇和共也又为大和皇弦差
　也甲丙相望即大弦也以共步减大弦馀□为皇极

　弦上减一径也立天元一为圆径减于共步得□□
　为皇极和也以自之得丨□□于上弦内减共步馀
　□又以天元加之得□□为皇极弦以自之得丨□
　□减上位馀得□□为两个皇直积(寄/左)乃以天元乘
　皇弦得下式丨□为同数与左相消得丨□□开平
　方得二百四十步即城径也合问
　　大和八问
或问庚从西门穿城东行二百五十六步而立壬从北

　门穿城南行三百七十五步而立又有甲丙二人俱
　在乾隅甲向东行丙向南行各不知步数而立四人
　遥相望只云甲丙共行了九百二十步问答同前
　法曰庚东行幂壬南行幂相并于上并庚壬步而倍
　之内减大和馀复减于庚壬共得数(按或云并庚壬/步以减大和亦)
　(同/)以自乘减上位为平实并庚壬步为益从半步为
　隅法得城径
　草曰立天元一为圆径以半之副置二位上以减于

　庚东行得□□为平弦也下以减于壬南行得□□
　为高弦也二弦相并得□□为皇弦虚弦共也倍此
　数得□□为大弦虚弦共也以大弦虚弦共减于大
　和馀□□为虚勾虚股共也天元内减虚勾虚股共
　馀□□即虚弦也复置皇弦虚弦共内减虚弦馀□
　□即皇极弦也以自之得□□(寄/左)然后以平弦自之
　得下式□□□为勾幂也又以高弦自之得□□□
　为股幂也二幂相并得□□□为同数与左相消得

　□□□平方而一得二百四十步即城径也合问
或问丙甲俱在西北隅甲向东行不知步数而立丙向
　南行望见甲就甲斜行与甲相会甲直行丙直行共
　九百二十步(甲步少/于丙步)又出东门南行有柳树一株出
　南门东行有槐树一株戊己二人同在巽隅戊就柳
　树已从槐树亦与甲乙遥相望只云已行少于戊行
　数与两树相距数相并得一百四十四步其二数相
　减馀六十步问答同前

　法曰二云数相并而半之为虚弦以乘大和九百二
　十步于上以一百四十四减大和以虚较乘之减上
　位为平实以一百四十四减大和又二之于上以二
　之虚较减上位(按或云倍甲丙直行共加己戊较与/两树距之较减三之己戊较与两树)
　(距之和/亦同)为从四虚隅得太虚勾
　草曰别得甲丙直行共即大和也戊就柳树步即虚
　股也已就槐树步即虚勾也其一百四十四步即二
　明勾其六十步即二叀股也立天元一为虚勾加明

　勾得□□为半径也倍之得□□即城径也(又为虚/弦上三)
　(事/和)二云数相并而半之得□即小弦也相减而半之
　得□即小较也以天元加较得□□即小股也小勾
　股共得□□即小和也以小三事减大和得□□即
　大弦也乃先置小和以大弦乘之得下式□□□(寄/左)
　次以小弦乘大和得□□与左相消得下式□□□
　开平方得四十八步即虚勾也加明勾又倍之得二
　百四十步即城径也合问

或问甲从乾隅东行乙从艮隅南行丙从乾隅南行丁
　从坤隅东行四人遥相望见既而甲还至艮隅就乙
　丙还至坤隅就丁甲丙直行共九百二十步甲还就
　乙共二百三十步丙还就丁共五百五十二步问答
　同前
　法曰并就数以减直行共复以所并就数乘之为实
　并就数减直行共得数复加入直行共为法得虚弦
　草曰别得甲丙直行共为大和也甲还就乙步为小

　差勾股共也丙还就丁步为大差勾股共也以大差
　勾股共减于大股馀即虚勾也以小差勾股共减于
　大勾馀即虚股也二数相并得□为大弦虚弦共也
　二数相减馀□为通差及大虚勾股差共也又并二
　数而半之得□为太极弦虚弦共又为太极勾股共
　也立天元一为虚弦先以二共数减于大和馀□为
　虚勾虚股和于上次以虚弦减于二共数馀□□为
　大弦以乘上位得下□□(寄/左)然后以天元乘大和得

　□为同数与左相消得□□上法下实得一百二步
　即虚弦也加入虚和得二百四十步即城径也合问
又法并云数减大和复以二数相减乘之为实并云数
　减大和得数复加入大和为法得虚差
　草曰立天元一为虚较先以并云数减大和馀□为
　虚和于上次以天元减于二就步较□得□□为通
　差以乘之得□□(寄/左)然后以天元乘大和得□为同
　数与左相消得□□上法下实得四十二步即虚差

　也副置虚和为二位上加虚差而半之得九十即虚
　股也下减虚差而半之得四十八即虚勾也勾幂股
　幂相并得□开平方得一百二步即虚弦也加入虚
　和得二百四十步即城径也合问
或问依前见大和只云股圆差上勾弦差二百一十六
　勾圆差上股弦差二十步问答同前
　法曰以云数二十步减通和复以二十步乘之于上
　以云数二百一十六减九百步(按即并二差/以减大和)而半之

　乘上位为立实三因二十步以减通和得八百六十
　以二百一十六减通和而半之得二百四十二二数相
　乘讫内减二十之九百步又以三百四十二及二百
　一十六共得五百五十八又以之以减之为从方(按/取)
　(从方内语有误当云三因小差减大和并二差减大/和半之相乘于上三因大和加大差减三之小差半)
　(之以小差乘之得/数减上位为从方)以二百一十六减通和又以三之
　二十步减通和相并于上以二之五百五十八内却
　减二十步馀以减上位为益廉(按取益廉内语亦有/误当云三因大和减)

　(六之小差/为益廉)四步常法得小差股
　草曰别得小差上股弦差□加二股为大勾也大差
　上勾弦差□加二勾为大股也立天元一为小差股
　加□得□□为小差弦也小差弦上又加天元得□
　□为通勾以减于和步得□□为通股也通股内减
　大差上勾弦差□得□□半之得下式□□即大差
　之勾也大差勾上又加勾弦差□得□□为大差弦
　也再置通股以小差弦乘之得□□□以天元除之

　得□□□为一个大弦也(泛/寄)再置通勾以大差弦乘
　之得□□□合以大差勾除不除寄母便以为大弦
　(寄/左)乃以大差勾乘泛寄得□□□□为同数与左相
　消得□□□□益积开立方得一百五十步为小差
　股也合问
或问依见前大和只云高弦平弦共得三百九十一步
　高弦平弦相较得一百一十九步问答同前
　法曰以较数幂减于共数幂又半之为实以共数减

　大和为益从一步常法开平方得圆径
　草曰别得高数减于通股为边股内减明股也平弦
　减于通勾为边勾内减明勾也其共数即大弦内减
　皇极弦又为皇极勾股共也其相较步即皇极差也
　二云数相并即黄广弦也二云数相减馀即黄长弦
　也以共数减于大和馀□为皇极弦与圆径共立天
　元一为圆径以减皇极弦与圆径共得□□为皇极
　弦也以共数自之得□于上以相较数自之得□减

　上位馀□又半之得□为两段皇极积(寄/左)乃以天元
　乘皇极弦得卜□为同数与左相消得下□□□开
　平方得二百四十步即城径也合问
或问依前见大和只云大差弦四百八步小差弦一百
　七十步问答同前
　法曰以并云数减大和复以乘大和又倍之为平实
　三之通和于上又以并云数减大和加上位为从二
　步虚法得圆径

　草曰大差弦减和步馀□为大勾大差勾共也以小
　差弦减大和馀□为大股小差股共也云数相并□
　即大弦内减虚弦也云数相减得□为虚弦平弦共
　也(按此二语因数/偶合而误见前)以相并数减于大和馀□为大差
　勾小差股共又为圆径虚弦共也立天元一为圆径
　减于□得□□为虚弦也返以减于圆径得□□为
　小和也以天元减大和得□□为大弦以乘小和得
　□□□(寄/左)乃再置虚弦以通和乘之得□□与左相

　消得□□□开平方得二百四十步即城径也合问
或问依前见大和只云黄广弦五百一十步黄长弦二
　百七十二步问答同前
　法曰云数相并减大和复以相并数乘之为实云数
　相并减大和得数复以加大和为法得虚弦
　草曰别得黄广弦又为大差弦虚弦共又为边股叀
　股共也黄长弦又为小差弦虚弦共又为底勾明勾
　共也以黄广弦减于大股馀即虚股以黄长弦减于

　大勾馀即虚勾故并数以减于大和馀□为虚和也
　以虚和减径□□即虚弦也二云数相并得□为大
　弦虚弦共也云数相减馀□为虚弦平弦共(按此句/误同上)
　立天元一为虚弦以减于七百八十二得□□为大
　弦也以小和乘之得□□(寄/左)乃以天元虚弦乘大和
　得□呔为同数与左相消得□□上法下实得一百
　二步即虚弦也合问
或问依前见大和只云边弦五百四十四步底弦四百

　二十五问答同前
　法曰云数相减自之为实以大和减并数为法得皇
　极弦
　草曰别得以边弦减大股馀为半径内减平勾又为
　平弦内减勾圆差也以底弦减于大勾馀为高股内
　少半径又为股圆差内少高股也二云数相并得九
　百六十九为大弦皇极弦共也二云数相减□为皇
　极勾股差也并数内减通和馀□为皇极弦内减圆

　径也立天元一为皇极弦以自之于上以一百一十
　九自之减上位得丨□□为二皇积(寄/左)复置天元内
　减四十九得下式□□为黄方复以天元乘之得丨
　□与左相消得□□上法下实得二百八十九步即
　皇极弦也内减四十九馀即城径也合问
　　按右大和八问每问于大和外复设二数然多有
　　大和外设一数即可求者细考其法草所载皆三
　　数并用婉转求之盖意在发明三数取用之理非

　　不知其可省也
　
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　测圆海镜卷九