钦定四库全书
　测圆海镜卷八
　　　　　　　　　　　　　元　李冶　撰
　　明叀后一十六问
或问出南门向东有槐树一株出东门向南有柳树一
　株丙丁俱出南门丙直行丁往至槐树下甲乙俱出
　东门甲直行乙往至柳树下四人遥相望见各不知
　所行步数只云丙丁共行了二百七步甲乙共行四

　十六步又云甲丙立处相距二百八十九步问答同
　前
　法曰以二共相减数又以减距数为实二为法得平
　勾
　草曰识别得丙丁共即明和也甲乙共即叀和也相
　距步即极弦也二共相并即极弦内少个虚黄也又
　为极和内少个虚和也二共相减馀为平勾高股差
　也又为虚差极差共也又为通差内减极差也立天

　元为平勾加入二共相减数得□□为高弦又加天
　元得□□为极弦(寄/左)以相距步二百八十九与左相
　消得□□上法下实如法得六十四即平勾也以二
　共相减数加平匀得二百二十五为高股复以平勾
　乘之得一万四千四百步开平方得一百二十步即
　城半径也合问
又法二共数并以减相距数馀者半为泛率以泛率加
　丙丁共为长以泛率加甲乙共为阔长阔相乘为平

　方实得半径
　草曰置极弦内减二共并数馀三十六步即虚黄也
　半之副置二位上以加明和得二百二十五步为高
　股也下以加叀和得六十四步为平勾也二位相乘
　得一万四千四百步开平方得一百二十步即半径
　也合问
或问依前见丙丁共二百七步甲乙共四十六步又云
　二树相去一百二步问答同前

　法曰以甲乙共乘树相去步得数又以自之为平实
　从空并二共数为幂于上内减甲乙共自之数丙丁
　共自之数(按或云二共数/相乘倍之亦同)为益隅得叀弦
　草曰识别得两树相去步即虚弦也馀数具前立天
　元一为叀弦置明和以天元乘之合叀和除不除便
　以□为明弦也(内带□/和分母)乃置虚弦以分母叀和乘之
　得□加入明弦得□□为极股也内带叀和分母以
　自之得下式□□□为极股幂(内寄叀和/羃为分母)又以天元

　加虚弦得□□为极勾以自之得丨□□又以叀和
　幂□乘之得□□□为勾幂也勾股相并得□□□
　为两积一较幂也内有叀和幂分母(寄/左)然后置明弦
　□于上以叀和乘天元得□加上位得□为二弦并
　又置虚弦以叀和乘之得□并入上位得下式□□
　为极弦以自之得□□□为同数与左相消得□□
　□开平方得三十四步即叀弦也
又法以树相去步自之又以甲乙共乘之为平实从空

　倍丙丁共为虚隅得叀弦
　草曰立天元一为叀弦依前术求得明弦□便以为
　皇极勾弦差也(内带叀/和分母)以天元□弦便为皇极股弦
　差以乘之又倍之得□□为虚弦幂(内有叀和/分母寄左)然后
　以虚弦自之又以分母□乘之得四十七万八千五
　百八十四为同数与左相消得□○□开平方得三
　十四步即叀弦也合问
或问皇极大小差共一百八十七步明黄叀黄共六十

　六步问答同前
　法曰后数自乘为实前后数相减馀为法得虚黄方
　草曰别得一百八十七即明叀二弦共也其六十六
　即太虚大小差共也又二数相并得□即明叀二和
　共若以相减馀□即明叀四差共也立天元一为太
　虚黄方面加二黄共得□□即虚弦也倍虚弦又加
　天元得□□即城径也又以虚弦加皇极大小差得
　□□即极弦也以极弦乘城径得□□□为两段皇

　极勾股积(寄/左)再以极弦虚弦相并得□□即皇极勾
　股共也自之得□□□内减皇极弦幂丨□□得□
　□□为同数与寄左相消得□□上法下实如法得
　三十六步即太虚黄方面也合问
或问东门南有柳一株南门东有槐一株甲出东门直
　行丙出东门直行甲丙槐柳悉与城参相直既而甲
　就柳树斜行三十四步至柳树下丙就槐树斜行一
　百五十三步至槐树下问答同前

　法曰云数相乘倍之便为平方实开方得虚弦一百
　二步以此弦加甲行步即极勾以此弦加丙行步即
　极股馀各依法求之　识别甲斜行即叀弦也丙斜
　行即明弦也　无草
或问东门南有柳一株南门东有槐一株甲出东门直
　行丙出南门直行二人遥相望槐柳与城边悉相直
　既而甲复斜行至柳树下丙复斜行至槐树下各不
　知步数只云丙共行了二百八十八步甲斜行与柳

　至东门步共得六十四步问答同前
　法曰二云数相乘于上以六十四步自之又二之减
　上位为平实十四之六十四于上倍丙行减上位为
　从(按倍丙行乃数偶合当云九/个半六十四内减丙行为从)二十常法得甲直行
　步
　草曰别得丙共步即明股明弦和也六十四即平勾
　也内甲斜行即叀弦也柳至东门步即叀股也又云
　二数相并即明差与极弦共也二云数相减即明差

　与平勾高股差共也又平勾内减叀勾即虚勾也立
　天元一为叀勾置丙共步以天元乘之复以六十四
　除之得□□呔为明勾也又以天元减于六十四得
　□□为虚勾也并虚明二勾□□为半径也以自之
　得□□□□倍之得□□□□为半段圆城径幂(寄/左)
　乃以天元加六十四得□□为勾圆差于上又以明
　勾加丙共步得□□□为股圆差于下上下相乘得
　□□□□为同数与左相消得□□□开平方得一

　十六步即叀勾也此叀勾乃甲出东门直行步也馀
　皆依数求　合问
或问东门南有柳树一株南门东有槐树一株甲出东
　门直行丙出南门直行二人遥相望槐柳与城边悉
　相直既而甲复斜行至柳树下丙复斜行至槐树下
　各不知步数只云甲共行五十步丙斜行与槐至南
　门步共得二百二十五步问答同前
　法曰以二百二十五步自之为幂又以此幂自为幂

　于上置甲共行以二百二十五步三度乘之得数复
　折半减上位为平实置二百二十五步自之数以二
　云数相减数乘之又倍之于上倍五十步在地以二
　百二十五步自之数乘之复折半加上位为益从云
　数相减自乘于上以云数相乘复折半减上位为常
　法得明股
　草曰识别得甲共步即叀勾叀弦共也二百二十五
　即高股也内丙斜行即明弦槐至南门步即明勾也

　又二云数相并即极弦内减一个叀差也云数相减
　即叀差与高股平勾差共也又高股内减明股即虚
　股也立天元一为明股即丙出南门直行步也置五
　十步以天元乘之得□合高股除不除便以此□为
　叀股也内带高股□分母再置高股内减天元得□
　□为虚股以分母高股乘之得下式□□加入叀股
　得□□即半径也以自增乘得下□□□为半径幂
　也内带高股幂为母(寄/左)然后置甲共步以分母高股

　乘之得□加入叀股得□□为勾圆差于上(内带高/股分母)
　又以天元加高股得□□为股圆差于下上下相乘
　得□□□又以分母高股乘之得□□□复折半得
　□□□为同数与左相消得□□□开平方得一百
　三十五步即明股也合问
或问通勾通弦共一千步叀勾叀弦共五十步问答同
　前
　法曰置一千减二之五十步为汎率以自乘复半之

　于上又置泛率复以五十乘之加上位为平实二十
　二之泛率于上(按二十二乃此题叀和除通和所得/通倍叀数加二数之数易题则数不)
　(同矣当直云通倍叀/数加二数乘泛率)以四十二(按四十二乃此题倍/通倍叀数加二数之)
　(数当直云倍通/倍叀数加二数)乘五十得数内减泛率加上位为益
　从二百(按二百乃此题通倍叀数加二数自乘折半/于上又倍通倍叀数并二数以减上位之数)
　(当同上不/必载数)为常法得叀股
　草曰立天元一为叀股置一千以天元乘之以五十
　除之得□为通股也又以天元加五十步得□□即

　小差也通股加小差得□□即通弦也以通弦减一
　千得□□即通勾也以小差减通勾得□□即圆径
　也以圆径减通股得□□即大差也置大差以小差
　乘之得□□□(寄/左)然后置圆径以自之得□□□折
　半得□□□与左相消得□□□开平方得三十步
　即叀股也合问
　　按此题通勾弦和为叀勾弦和度尽之数则不用
　　寄分而用除法以从省便作者盖举一以例其馀

　　也
或问通勾通弦共一千步明勾明弦共二百二十五步
　问答同前
　法曰以后数再自乘又以前数乘之为平实以后数
　为幂又以前数乘之为从以前数幂为常法得明股
　草曰别得二百二十五步即高股也立天元一为明
　股置一千以天元乘之合以高股除不除便以此□
　为通股(内带高/股为母)以天元加高股□□即大差也置大

　差以高股分母乘之得□□即带分大差也以此减
　于通股馀□□即圆径也以自增乘得□□□寄左
　(内𢃄高股/幂分母)然后置一千以高股分母通之得□内减
　带分大差得□□为两个通勾也内减两个圆径得
　□□为两个小差也以带分大差乘之得下式□□
　□为同数与左相消得□□开平方得一百三十五
　步即明股也合问
或问通股通弦共一千二百八十步叀股叀弦共六十

　四步问答同前
　法曰云数相乘为平实前数为益从置前数以后数
　除之得二十为泛率泛率减一以自乘于上又倍泛
　率减一加上位为常法倒积开得叀勾
　草曰别得六十四步即平勾也立天元一为叀勾置
　前数以天元乘之以后数除之得□即通勾也又置
　天元加后数得□□即小差也以小差减通勾馀□
　□即圆径也以自之得□□□(寄/左)然后以小差减于

　前数得□□为二通股内减两个圆径得□□为二
　大差也以小差乘之得下□□□与左相消得□□
　□开平方得一十六步即叀勾也合问
或问通股通弦共一千二百八十步明股明弦共二百
　八十八步问答同前
　法曰二数相减以后数乘之内减后数幂又半之为
　泛率以自乘为平实(按或云前数内减二后数馀/以后数乘之折半自之亦同)置
　前数加二之后数而半之为次率以乘泛率于上以

　后数乘泛率减上位(按或云二数相加以/乘前折半数亦同)为益从次
　率自乘之于上以前数加次率复以后数乘之减上
　位(按或云前数折半内减后/数又以半前数乘之亦同)为隅法得明勾
　草曰别得二数相减馀□为通勾通股及明勾共也
　立天元一为明勾置前数以天元乘之合以后数除
　之不除便以此□为通勾也(内寄后/数分母)又以二数相减
　得数内又减天元得□□为通和也乃以分母二百
　八十八乘之得下式□□内减通勾馀□□为通股

　也又以天元加后数又以分母(即后/数也)通之得□□为
　大差也以此大差减于通股得下式□□为一个圆
　径也半之得□□以自得之□□□为半径幂(寄/左)然
　后以半圆径减通勾得□□为底勾又以天元乘之
　又以分母二百八十八乘之得□□呔为同数与左
　相消得□□□开平方得七十二步即明勾也合问
或问明股明弦并二百八十八步叀勾叀弦并五十步
　又云明股叀勾并多于虚弦四十九步问答同前

　法曰前二数相并内减二之多步即圆径又只以前
　二数相乘便是半径幂
　草曰识别得前二数相减而半之即极差也其多步
　名傍差又圆径不及极弦数
或问平差高差共一百六十一步明股叀勾并多于虚
　弦四十九步问答同前
　法曰二数相减又半之以自乘为实后数为法得平
　勾

　草曰立天元一为平勾以加前数得□□为高股也
　又以天元加高股得□□为极弦内减后数得□□
　又半之得□□为半径以自之得丨□□(寄/左)然后以
　天元乘高股得丨□为同数与左相消得□□上法
　下实得六十四步即平勾也合问
或问平勾高股差一百六十一步明差叀差并七十七
　步又云极弦多于城径四十九步问答同前
　法曰并上二位而半之为平率其四十九即旁率也

　副置平率上加旁率下减旁率以相乘为实倍旁差
　为法得勾圆差(按求实数有误当云并上二位而半/之内减后数于上又置上前数内减)
　(后数以乘上/位为实方合)
　草曰识别得平勾高股差名为角差副置角差上加
　七十七而半之得□即极差也下减七十七而半之
　得□即虚差也角差加极差得□即通差也又极弦
　多于城径步名为旁差副置角差上加旁差得□为
　两个高段上勾股较下减傍差得□为两个平段上

　勾股较也又副置极差上加傍差得□为股圆差上
　勾股较下减旁差□为勾圆差上勾股较也立天元
　一为勾圆差依法求得通差加入天元得□□即大
　差也以天元乘之得丨□为半段圆径幂(寄/左)乃置大
　差□□内减股圆差上勾股较□馀有□□为股圆
　差之勾于上再置天元内加勾圆差上勾股较□得
　□□为勾圆差之股以乘上位得丨□□为同数与
　左相消得□□上法下实得八十步即勾圆差也

又依前问见角差一百六十一步见明差叀差并七十
　七步又见太虚弦较较六十步问答同前
　法曰前二数相减而半之得数加入半之太虚弦较
　较为泛率以自乘为平实置一百六十一内减二之
　泛率为从一常法得平勾
　草曰别得□即二叀股也立天元一为平勾先以前
　二数相减而半之得□为虚差以虚差加叀股得□
　即明勾也以明勾加天元得丨□为平弦以自之得

　丨□□内减天元幂得□□为半径幂(寄/左)然后以天
　元加一百六十一为高股以天元乘之得丨□为同
　数与左相消得丨□□开平方得六十四步即平勾
　也
又法曰前数内加半之太虚弦较较以自乘(按此语内/有误当云)
　(倍角差加半太虚较/以半太虚较乘之)为实前数内减太虚弦较较为
　从一常法开平方得平勾此更不用明差叀差并也
　草曰依前求平勾前高股内加叀股得□□为高弦

　也以自之得丨□□于上位内减高股幂丨□□馀
　得□□为半径幂(寄/左)然后以天元乘高股得丨□为
　同数与左相消得下丨□□开平方得六十四步即
　平勾也合问
或问高差平差并一百六十一步明差叀差并七十七
　步问答同前
　法曰以前数自乘于上二数相并而半之以自乘减
　上位得数复自增乘为平实前数自之于上又以四

　之前数乘之寄位以前数自之于上并二数而半之
　以自乘减上位得数又以四之前数乘之(按此下落/又倍之三)
　(字/)减于寄位为从前数自之又四之于上又以四之
　前数为幂加上位权寄以前数为幂于上并二数而
　半之以自乘减上位得数复八之加上位又以四之
　前数为幂加入上位并以减于权寄为常法(按或云/二和并)
　(而自之又半之以减高平共/差幂又四之为常法亦同)得平勾
　草曰识别得二位相并而半之得□即极差也立天

　元一为平勾加一百六十一得□□为高股高股内
　又加天元得□□为极弦以自之得□□□于上内
　减极差幂一万四千一百六十一馀□□□为两段
　极积合以极弦除不除寄为母便以此为城径以自
　增乘得□□□□□为圆径幂(内有极弦幂/分母寄左)然后以
　天元乘高股又四之得□□又以分母极弦幂□□
　□通之得□□□□呔为同数与左相消得□□□
　开平方得六十四步即平勾也合问

或问见明和二百七步叀和四十六步问答同前
　法曰二和上下相减数同则止名为泛率又以二和
　直相减馀为泛实(此则角/差也)乃以泛率除汎实所得为
　差率也以差率加减泛率若半讫与勾股相应者其
　泛率便为和率其泛实便为较率乘和率也若不相
　应则直取差率以消息之定为相管和率(其勾股数/少得见弦)
　(黄而相为率者勾三股四则其和七而其较一也勾/五股十二则其和一十七而其较七也勾八股十五)
　(则其和二十三而其较亦得七七勾七股二十四则/其和三十一而其较一十七也勾九股二十则其和)

　(二十九而其较一十一也此/消息之大略也馀皆仿此)乃以和率约二和其明
　和所得为明垒率其叀和所得为叀垒率也又副置
　和率上加差率而半之则为股率也下位减差率而
　半之则为勾率也既见勾股及差三率各以垒率乘
　之即各得勾股及差之真数也
　　按此用约分以勾股率数求之甚为省便然必两
　　数度尽而得数最小者方可用若两数不能度尽
　　或虽度尽而得数尚大者转属繁难故又设后法

又法二云数相并以自乘于上二之云数相乘又四之
　以相并以四分半乘之又四之以并入上位为从方
　以七十步零四分三釐七毫五丝为常法得叀小差
　四步
　　按此法未求实数其求从隅皆用本题数不可通
　　用今依细草意另演一法于后亦惟二和数可以
　　度尽者用之若不能度尽者仍用寄分为便
　法曰二和数相减自之为平方实叀和除明和得数

　自而倍之内减四之除得数再加二单数以乘二和
　相并之数为从除得数自而四之于上又以除得数
　自乘内减四之除得数外加一单数自之以减上位
　为常法得叀小差
　草曰以二和相约命得叀率一明率四步半其两数
　大小差率并同又别得明小差叀大差俱为半虚黄
　也立天元为叀小差以四步半乘之得□元为□大
　差也又为明小差又为半虚黄置此□大差又以四

　步半乘之得□为明大差也其四差相并得□减于
　二和并得□□即两段太虚大小差并也内加三段
　虚黄方□得□□合成一个太虚三事和即圆城径
　也以自增乘得□□□为径幂(寄/左)乃置叀和加半虚
　黄得□□为平勾又置明和内加半虚黄得□□为
　高股勾相乘得下式□□□又四之得□□□为同
　数与左相消得下式□□□开平方得四步即叀小
　差也合问

或问明叀二勾共八十八步明叀二股共一百六十五
　步问答同前
　法曰先识别得二大差共二小差共及四差共乃以
　二大差二小差相乘为实以四差共为法如法得半
　之虚黄方
　草曰先置前后云数以约法约之得一十一即垒率
　也复各置前后数如垒率而一前得八即勾率也后
　得一十五即股率也再以勾股率求得较率七和率

　二十三弦率一十七黄方率六大差率九小差率二
　即见诸率各以垒率乘之其二和共得□二较共得
　□二弦共得□二黄共得□二大差共□二小差共
　□四差共□已上皆为明叀所得之共数也乃立天
　元一为半虚黄便为明小差又为叀大差也以减于
　大差共得□□即明大差也又以减于小差共得□
　□即叀小差也以二数相增乘得丨□□(寄/左)以天元
　幂与寄左相消得□□上法下实得一十八步即半

　之虚黄方也以倍之得□又加于二黄共六十六共
　得一百二即明勾叀股共也又为极黄方又为虚弦
　也又以三十六减于一百八十七馀一百五十一即
　明股叀勾共也此数内减虚弦馀□为明叀二差较
　也此名傍差以旁差减二弦共一百八十七馀得□
　即太虚和也却加入虚弦一百二并得□为太虚三
　事和即圆城径也合问
又或以虚黄方加于上和共二百五十三得□为极弦

　也以旁差减极弦馀二百四十步亦同
又或前后副置勾股较和弦黄六率在地前以小差率
　二因之则勾得□股得□较得□和得□弦得□黄
　得□即叀段各数也后以大差率九因之则勾得□
　股得□较得□和得□弦得□黄得□即明段各数
　也既得明叀各数馀可知(按此因明弦即皇极形勾/弦差叀弦即皇极形股弦)
　(差故以小差率乘各率即得叀段各数/以大差率乘各率即得明段各数也)
　　按右二卷明叀前十八问后十六问在集中尤为

　　神妙惜其中有偶尔思省未至者亦未暇修饰故
　　耳
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　测圆海镜卷八