钦定四库全书
　测圆海镜卷七
　　　　　　　　　　　　　　元　李冶　撰
　　明□前一十八问
或问出南门东行七十二步有树出东门南行三十步
　见之问答同前
　法曰倍南行以乘倍东行为平实并二行又倍之为
　从一虚隅得城径

　草曰识别得此问名为弦外容圆又为内率求虚积
　其二行步相并为虚弦若以相减即虚较也又倍东
　行为弦较和倍南行即弦较较此二数相乘则两虚
　积也若直以二行相乘则半个虚积也又倍东行减
　于城径馀即二虚勾也倍南行减于城径则二虚股也
　虚积上三事和即城径也乃立天元一为圆径便以
　为三事和也倍二行步减之得□□为黄方一天元
　乘之得□□为二虚积(寄/左)然后倍东行以乘倍南行得

　八千六百四十为同数与左相消得丨□□益积开
　平方得二百四十步即城径也合问
又法二行步相乘为实二行步相并为从一步虚法得
　半径
　草曰立天元一为半径副置二位上加东行步得□
　□为大差勾下加□股得□□为小差股此二数相
　乘得下式丨□□为半段黄方幂(寄/左)然后立天元以
　自之又二之与左相消得丨□□益积开平方得一

　百二十步即半城径也
又法二云数相乘倍之于上加云数差幂权寄并二云
　数又自增乘得数内减上位为平实并云数而倍之
　为从二步益隅得半径
　草曰立天元一为半径副之上减明勾得下□□为
　虚勾下减□股得□□为虚股勾股相乘得丨□□
　又倍之得□□□又加二行差幂□得□□□为弦
　幂(寄/左)然后并云步以自之得□为同数与左相消得

　□□□益积开平方得一百二十步即半城径也
又法云数相乘又倍之为平实云数相减为从一常法
　得虚勾
　草曰立天元一为虚勾以南行减东行馀四十二步
　为虚较也以虚较加天元得丨□为虚股以天元乘
　之得下丨□为直积(寄/左)然后倍南行乘东行得□与
　左相消得丨□□开平方得四十八步即虚勾也以
　勾除积得九十步即虚股也并勾股得□为虚和也

　内加入二行并□得□即圆径也
又法并两行步以自乘于上又倍南行乘倍东行加上
　位为平实一隅法得小和
　草曰立天元一为小和并二行步加之得□□为三
　事和也倍二行步而并之得□以减三事和馀□□
　为黄方却以三事和乘之得下丨□□为二虚积也
　(寄/左)乃倍南行以乘倍东行得□为同数与左相消得
　丨□□开平方得一百三十八步即虚和也加入二

　行步得二百四十步即城径也合问
或问丙出南门直行一百三十五步而立甲出东门直
　行一十六步见之问答同前
　法曰以丙行步一百三十五步再自之得二百四十
　六万零三百七十五于上又以甲行步一十六乘丙
　行幂一万八千二百二十五得二十九万一千六百
　以乘上位得七千一百七十四亿四千五百三十五
　万为三乘方实以二行步相乘又倍之得四千三百

　二十以乘丙行步再自之数得一百六亿二千八百
　八十二万为益从第一廉空以甲行乘丙行幂得二
　十九万一千六百又倍之得五十八万三千二百于
　上四之甲行幂一千零二十四以乘丙行步得一十
　三万八千二百四十减上位馀四十四万四千九百
　六十为第二廉二行步相乘得二千一百六十为虚
　常法得丙行步上勾弦差八十一
　　按法中载数自此始亦择其数繁者详之使人易

　　晓也
　草曰识得二数相并以减于皇极弦馀即虚勾虚股
　并也若以二数相减馀为高弦内减平弦又为皇极
　弦内少个小差弦又为大差弦内减个皇极弦也立
　天元一为丙行大差数置丙行步一百三十五自乘
　得□用天元除之得□□为勾弦并也上减天元得
　□□□为二丙勾也复用丙南行乘之得□□□为
　二积也又以天元除之得□□○□为丙勾外容圆

　径(泛/寄)别置丙南行用二甲勾乘之得□合用二丙勾
　除之不受除便以此为甲股(内寄二丙/勾为分母)复用二甲勾
　三十二乘之得□为二个甲直积也又置丙南行内
　减天元得□□为黄方以自乘得丨□□为丙上勾
　弦差乘股弦差二段以天元除之得□□□为两个
　丙小差也乃用甲股乘之得下式□□□复用丙南
　行除之得□□□又折半得□□□为一个甲步股
　弦差也内亦带前二丙勾分母复置二个甲直积内

　已寄此甲股弦差分母便为甲步股外容圆径(寄/左)乃
　再置先求到泛寄(按即前所寄□/□○□之数)用甲股弦差分母
　乘之得□□○□□为同数与左相消得下式□□
　○□□开三乘方得八十一步即丙步上勾弦差也
　钤经载此法以勾弦差率幂减丙行差幂复以丙行
　乘之为实以差率幂为法如法得径此法只是以勾
　外求容圆半合以大差除陪积而今皆以大差幂为
　分母也依法求之勾弦差八十一自之得六千五百

　六十一以减于丙行幂一万八千二百二十五馀一
　万一千六百六十四复以丙行一百三十五乘之得
　一百五十七万四千六百四十为实以大差幂六千
　五百六十一为法如法得二百四十步即城径也
又法二行相乘得数又自之为三乘方实并二行步以
　乘二行相乘数又倍之为从二行相并数以自乘于
　上又二行相减数自乘减上位为第一廉第二廉空
　一益隅益积开之得半径(其第一廉只是四/段二行相乘数)

　草曰立天元一为半城径副置之上加南行步得□
　□为股下位加东行步得□□为勾勾股相乘得丨
　□□为直积一段以天元除之得丨□□为弦以自
　之得丨□□□□为弦幂(寄/左)乃以勾自之得丨□□
　又以股自之得丨□□二位相并得□□□为同数
　与左相消得丨○□□□益积开三乘方得一百二
　十步即半城径也
又法条段同前

　草曰以前求得勾股率置出南门步为小股以勾率
　乘之得□□合以股率除不除寄为母便以此为半
　梯头于上又置南行步加二天元得□□为大股以
　勾率乘之得□□□合以股率除不除寄为母便以
　此为梯底以乘上位得□□□□为半径自乘数内
　带股率幂为母(寄/左)然后置天元以自之又以股率幂
　乘之得下丨□□□为同数与左相消得数一如前
　答

又法以二行差幂数自乘又倍之为实并二行步以乘
　二行差幂又四之为益从四段南行幂内减二段差
　幂于上又二段差幂内减四段东行幂馀以减上位
　(按并二行幂减二行/差幂四因之亦同)为第一廉四之二行共为第二
　廉二步虚法益积开之得皇极弦二百八十九
　草曰立天元一为皇极弦以自之为弦幂于上以二
　行步相减馀□以自之得□为较幂以减上得丨□
　□为二直积复以天元除之得□○□为一个城径

　也副置之上位加二之东行步得□□□为二勾也
　以自增乘得丨□□□□为四段勾幂于上下位加
　二之南行得□□□为二股也以自增乘得丨□□
　□□为四段股幂也并入上位得下式□□□□□
　为四段弦幂(寄/左)然后以天元为幂四之为同数与左
　相消得下式□□□□□益积开三乘方得二百八
　十九步即皇极弦也　欲见城径者别立天元半径
　副之加东行为勾加南行为股勾股各为幂并之与

　弦幂相消开方得城径也
又法以二行差一百一十九自乘得一万四千一百六
　十一为差幂以东行步乘之得二十二万六千五百
　七十六为汎率又自增乘得五百一十三亿三千六
　百六十八万三千七百七十六为五乘方实倍东行
　步得三十二以二行差一百一十九乘之得三千八
　百八为小汎以乘泛率又倍之得一十七亿二千五
　百六十○万二千八百一十六为从方并两行而倍

　之得三百二以乘泛率得六千八百四十二万五千
　九百五十二于上位以小泛幂一千四百五十万○
　○八百六十四加入上位共得八千二百九十二万
　六千八百一十六为第一廉并两行而倍之得三百
　二以乘小泛得一百一十五万○○一十六为寄数
　倍二行差以乘差幂得三百三十七万零三百一十
　八内减寄数馀二百二十二万零三百零二为第二
　廉六段二行差幂八万四千九百六十六内减二行

　并数幂二万二千八百一馀六万二千一百六十五
　为第三益廉六之二行差七百一十四为第四益廉
　二步虚法得□弦三十四步
　草曰立天元一为皇极弦上股弦差(即东行步上斜/也亦谓□斜)
　以元加二行差得□□即明弦也(此即皇极弦/上勾弦差也)以天
　元乘之又倍之得□□□即皇极内黄方幂也(泛/寄)置
　皇极弦上勾弦差以东行步乘之得□□以天元除之
　得□□为明勾也又置天元以南行乘之得□□合

　用明弦除不除寄为母便以此为□股于上(寄明/弦母)乃
　再置明勾以明弦乘之得□□□亦为带分明勾加
　入上位得□□□即是一个虚弦也以自增乘得下
　式□□□□□为一段虚弦幂也内带明弦幂分母
　(寄/左)然后置明弦以自之得丨□□为明弦幂以乘泛
　寄得□□□□为同数与左相消得下式□□□□
　□□□开五乘方得三十四步为东行步上斜步也
　(即□/弦)其东行十六步即□勾也勾弦各自为幂以相

　减馀九百步开方得三十步即□股也既各得此数
　乃以股外容圆半法求圆径得二百四十步即城径
　也合问
　　按此草又法求□弦至开带纵五乘方法愈繁数
　　愈赜而天元一之用愈见其妙第所得带纵五乘
　　方廉隅积数虽具而未习其法者不能信其数之
　　必然今姑取已得之□弦数按廉隅数推其积数
　　以明其数之无可疑焉置五乘方数二以□弦三

　　十四乘之得六十八与四乘方数七百一十四相
　　加得七百八十二又以□弦乘之得二万六千五
　　百八十八与三乘方数六万二千一百六十五相
　　加得八万八千七百五十三又以□弦乘之得三
　　百零一万七千六百零二与立方数二百二十二
　　万零三百零二相加得五百二十三万七千九百
　　零四又以□弦乘之得一亿七千八百零八万八
　　千七百三十六内减所少平方数八千二百九十

　　二万六千八百一十六馀九千五百一十六万一
　　千九百二十又以□弦乘之得三十二亿三千五
　　百五十万零五千二百八十内减所少元数十七
　　亿二千五百六十万零二千八百一十六馀十五
　　亿零九百九十万零二千四百六十四又以□弦
　　乘之得五百一十三亿三千六百六十八万三千
　　七百七十六为积数与草中积数合(此即无次商/带纵五乘方)
　　(法/)

或问出东门一十六步有树出南门东行七十二步见
　之问答同前
　法曰二行步相减得数以自之于上又以出东门步
　自之减上位为平方实二之出南门东行步为益从
　一步常法翻开得半径
　草曰别得人到树即平弦也半圆径即平股也其东
　行七十二步则平勾平弦差也乃立天元一为半径
　加一十六减七十二得□□为勾也以自之得丨□

　□为勾幂又加入天元股幂得□□□为弦幂(寄/左)再
　立天元一为半径加出东门步得□□即弦也以自
　之得丨□□为同数与左相消得□□□翻法开之
　得一百二十步即半城径也合问
或问出南门一百三十五步有树出东门南行三十步
　见之问答同前
　法曰树去城步内减南行步馀以为幂于上又以树
　去城步为幂内减上位为平实倍树去城步为从一

　虚隅翻法得半城径
　草曰别得人距树即高弦也半圆径即高勾也其南
　行三十步即高弦上小差也乃立天元一为半径加
　树去城步为弦内减小差□得□□即股也以自之
　得丨□□为股幂内加入天元幂得□□□为弦幂
　(寄/左)再置弦□□自之得丨□□为同数与左相消得
　丨□□翻开得一百二十步即半城径也合问
或问乙出东门不知远近而立甲出南门东行七十二

　步望见乙就乙斜行一百三十六步与乙相会问答
　同前
　法曰以斜行步自之于上以二行相减馀自为幂减
　上位为平实从空一步常法得半径
　草曰别得七十二步即大差也斜行即弦半径即股
　也立天元一为半径以自之为股幂又以二行差六
　十四以自之得□为勾幂并二幂得丨□□为弦幂
　(寄/左)然后以斜行步自之得□为同数与左相消得丨

　□□开平方得一百二十步倍之即城径也合问
或问甲出南门不知远近而立乙出东门南行三十步
　望见甲却就甲斜行二百五十五步与甲相会问答
　同前
　法曰二行差自之为幂以减于斜行幂为平实一虚
　隅得半径
　草曰别得南行步即股弦差也斜步即弦也半径即
　勾也乃立天元一为半城径以自之为幂以二行相

　减馀二百二十五以自之得□为股幂二幂相并得
　丨□□为弦幂(寄/左)然后以斜行自之得□为同数与
　左相消得下丨□□开平方得一百二十步即半径
　也合问
或问甲出南门东行不知步数而立乙出东门南行三
　十步望见甲斜行一百二步相会问答同前
　法曰二行相乘四之于上又加入斜行幂为平实得
　虚和一百三十八

　草曰别得斜步内减南行为甲东行步也此问以弦
　外容圆入之以二行相减数乘乙南行三十步得□
　又四之得□为二直积也又加入斜步幂□共得□
　即和幂也平方而一得一百三十八步即虚和也又
　加斜步得二百四十步即城径也合问
或问乙出东门南行不知步数而立甲出南门东行七
　十二步望见乙斜行一百二步与乙相会问答同前
　法曰倍相减步以乘倍东行得数复以减于斜步幂

　馀为实平方而一得较也又以二行相减数乘倍东
　行为平实以较为从方得勾勾较共为长又以斜步
　并入勾股共即城径
　草曰别得二行相减馀□为乙南行步也以此数又
　减于甲东行馀四十二步即较也乃以二行相减数
　□乘倍东行得□为平实以较为从平方开得四十
　八即勾也勾内加较得九十步即股也勾股共得一
　百三十八又加入斜步共得二百四十步即城径也

　合问
或问乙出南门东行甲出东门南行两相望见既而乙
　云我东行不及城径一百六十八步甲云我南行不
　及城径二百一十问答同前
　法曰半甲不及步以自之为幂半甲不及步内减云
　数差以自之为幂二幂相并内却减差幂为平实二
　之乙不及为益从三步半虚法得甲南行
　草曰别得乙不及为虚勾半径共又为径内减明勾

　也甲不及为虚股半径共又为径内减□股也又二
　云数相并为虚和圆径共也云数相减即虚较也乃
　立天元一为甲南行以减于甲不及步又半之得□
　□为虚股也虚股内减虚较得□□为虚勾勾自之
　得□□□为勾幂也又股自之得下式□□□为股
　幂也二幂相并得□□□为弦幂(寄/左)然后以天元加
　虚较得□□为乙东行又加入天元甲南行得□□
　为虚弦以自之得□□□为同数与左相消得□□

　□开平方得三十步即甲南行也内加少步即城径
　也合问
或问丙出南门直行甲出东门直行两相望见既而丙
　云我行少于城径一百五步甲云我行少于城径二
　百二十四步问答同前
　法曰二少步相乘讫又自乘为实六之共步乘云数
　相乘数为益从十八之云数相乘数于上又三之共
　步自乘加上位内复减丙少步幂甲少步幂为从廉

　四十八之共步为益二廉六十三步常法翻法开三
　乘方得一百二十步即半径
　草曰别得云数共减于倍城径为甲丙共数又云数
　相减即皇极差亦为甲行不及丙行数立天元一为
　半城径以三之副置二位上位减丙少步得□□为
　皇极股也下位减甲少步得□□为皇极勾也勾股
　相乘得□□□以天元除之得□□□为弦也弦自
　之得□□□□□为弦幂(寄/左)然后以股自之得下□

　□□为股幂于上又以勾自之得□□□为勾幂并
　以加入上位得□□□为同数与左相消得□□□
　□□翻法开三乘方得一百二十步即半城径也合
　问
或问甲出东门直行丙出南门直行各不知步数而立
　乙望见甲就甲斜行了二百八十九步与甲相会其
　二直行共一百五十一步问答同前
　法曰斜幂内减共步幂为平实倍共步内减斜步为

　从一常法得径
　草曰别得共数城径并即皇极和也立天元一为圆
　径加共步得□□为皇极和以自之得丨□□于上
　以斜行幂□减上位馀丨□□为二直积(寄/左)然后以
　天元乘斜步得□□与左相消得丨□□开平方得
　二百四十步即城径也合问
或问甲出东门直行乙出东门南行丙出南门直行丁
　出南门东行各不知步数而立四人遥相望悉与城

　参相直只云甲丙共行了一百五十一步乙丁立处
　相距一百二步又云丙直行步多于甲直行步问答
　同前
　法曰共步距步相减得数自之于上以共步为幂内
　减上为平实二之距步内减共步距步差为从一步
　虚法得城径
　草曰别得共步得城径即皇极和也相距步即虚弦
　也皇极和内减虚弦即皇极弦也又共步距步差□

　即皇极弦内减城径也(此名/旁差)乃立天元一为城径加
　共步得□□为皇极和也以自之得丨□□于上以
　共步距步差□加天元得□□为皇极弦也以自之
　得下式丨□□减上位馀得□□为二直积(寄/左)然后
　以天元径乘皇极弦得丨□为同数与左相消得丨
　□□开平方得二百四十步即城径也合问
或问甲出南门东行不知步数而立乙出东门南行望
　见甲复就甲斜行与甲相会乙通计行了一百三十

　二步其乙南行步不及斜行七十二步其甲东行多
　于乙南行问答同前
　法曰倍不及步在地以不及步减通步以乘之为实
　以四之不及步为法得乙南行三十步
　草曰别得乙南行即□股也以减通步即虚弦也以
　减不及步即虚较也其不及步即甲东行也立天元
　一为乙南行置不及步以天元乘之又四之得□为
　二直积(寄/左)然后倍不及步以为弦较和于上□以不

　及步减通步得□为弦较较以乘上位得□为同数
　与左相消得□□上法下实得三十步为乙南行也
　馀各以数求之
又法别得通行步为两个乙南行一个甲东行共也其
　不及步即东行步也云步相并即两个虚弦相减即
　两个乙南行也
或问甲出南门东行不知步数而立乙出东门南行望
　见甲复斜行与甲相会二人共行了二百四步又云

　甲行不及乙一百三十二(按甲不及乙六十步非一/百三十二步当云甲行不)
　(及共步/方合)问答同前
　法曰别得二行共即两个虚弦也其不及步即乙南
　行与一虚弦共也置不及步内减一弦馀三十步即
　乙南行也以乙南行反以减虚弦馀七十二步即甲
　东行也以乙南行减甲东行馀即虚较也　此问无
　草
　　按右二问语若浅近然以发明加减乘除相通之

　义最为深切集中仿此者可类推之
或问乙出东门南行甲出西门南行甲望见乙斜行五
　百一十步相会乙云我南行少于城径二百一十步
　问答同前
　法曰少步幂为平实四斜步内减二少步为益从五
　步常法得乙南行
　草曰别得少步为径内减叀股立天元一为乙南行
　以二之减于倍斜行步得□□为梯底也以二之天

　元乘之得□□为径幂(寄/左)再置天元加少步得下式
　□□为城径以自之得丨□□与左相消得□□□
　开平方得三十步即乙南行也加少步即城径也合
　问
或问乙出南门东行甲出北门东行甲望见乙斜行二
　百七十二步与乙相会乙云我东行不及城径一百
　六十八步问答同前
　法曰以不及步幂之为实四斜内减二之不及步为

　虚从五常法平实开得乙东行七十二
　草曰别得不及步为城径减明勾也立天元一为乙
　东行以倍之减于二之斜行步得下□□为梯底也
　倍天元乘之得□□为径幂(寄/左)再置天元加不及步
　得□□为城径以自之得丨□□为同数与左相消
　得□□□开平方得七十二步即乙东行也加入少
　步即城径也合问
或问乙出南门东行丁出东门南行却有甲丙二人共

　在西北隅甲向东行丙向南行四人遥相望见俱与
　城参相直既而相会甲云我多乙二百四十八步丙
　云我多于丁五百七十步问答同前
　法曰二多步相乘为平实并二多步而半之为从七
　分半常法得城径
　草曰别得甲多步为大勾内减明勾也丙多步为大
　股内少叀股也又乙东行得一虚勾为半径丁南行
　得一虚股为半径又二多数相并得□为大和内少

　虚弦也又二多数相减馀□为两个角差又甲多步
　内减半径即勾方差也丙多步内减半径即股方差
　也立天元一为城径以半之减于甲多步得□□为
　勾方差又以半径减于丙多步得□□为股方差二
　差相乘得□□□为径幂(寄/左)然后以天元幂与左相
　消得下式□□□开平方得二百四十步即城径也
　合问
或问甲丙二人俱在西北隅甲向东行丙向南行又乙

　出南门东行丁出东门南行各不知步数而立四人
　遥相望见悉与城参相直既而相会甲云我与乙共
　行了三百九十二步丙云我与丁共行六百三十步
　问答同前
　法曰甲乙共自之为幂丙丁共自之为幂二幂又相
　乘为三乘方实甲乙共自之为幂以丙丁共乘之于
　上又以丙丁共自之为幂以甲乙共乘之加上位为
　益从甲乙共自之为幂丙丁共自之为幂并以七分

　半乘之于上又以甲乙共乘丙丁共得数减上位为
　第一益廉并二共数以七分半乘之为第二廉以七
　分半自之得五分六釐二毫五丝于上位以一步内
　减上位馀四分三釐七毫五丝为虚隅得城径
　草曰别得甲为大勾乙为明勾丙为大股丁为叀股
　也甲乙共内减半径即是黄长弦也丙丁共内减半
　径即黄广弦也黄长弦黄广弦二数相减馀为两个
　皇极差也乃立天元为城径半之副置二位上以减

　于甲乙共数得□□即黄长弦也以自之得□□□
　为黄长弦幂也内减天元一幂馀得下式□□□为
　勾方差幂也下位以减于丙丁共得下式□□即黄
　广弦也以自之得□□□为黄广弦幂也内减天元
　一幂馀得□□□为殷方差幂也再以勾方差幂股
　方差幂相乘得□□□□□为径幂(寄/左)然后以天元为
　幂又以幂自之与左相消得下式□□□□□开三
　乘方得二百四十步即城径也合问

　
　
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　测圆海镜卷七