钦定四库全书
　测圆海镜卷六
　　　　　　　　　　　　　元　李冶　撰
　　大勾一十八问
或问乙从东门直行一十六步甲从乾隅东行三百二
　十步望乙与城参相直问答同前
　法曰甲东行内减二之乙南行复以乘甲东行为实
　四之东行内减二之乙东行为从四益隅得半径

　草曰立天元一为半径以二之加乙东行得□□为
　中勾以中勾减于甲东行得□□为勾率也其天元
　半径即股率也置甲东行为大勾以股率乘之得□
　合以勾率除之不受除便以此为大股(内带勾/率分母)再置
　天元以二之以勾率乘之得□□减于大股馀□□
　为股圆差于上(内有勾/率分母)又以二之天元减甲东行得
　□□为小差以乘上位得□□□为半段黄方幂(内/有)
　(勾率/分母)寄左然后以天元自之又以勾率乘之又就分

　倍之得□□□为同数与左相消得□□□开平方
　得一百二十步倍之即城径也合问
或问乙出东门南行三十步而立甲从乾隅东行三百
　二十步望乙与城参相直问答同前
　法曰甲乙相乘为实甲东行为从二虚法得半径
　草曰识别具见大股第二问中立天元为半径内减
　乙南行得□□为虚股以乘通勾甲东行得□□为
　半段城径幂(寄/左)然后以天元自之又就分二之得□

　□为同数与左相消得□□□开平方得一百二十
　步倍之即城径也合问
或问乙出南门直行一百三十五步而立甲从乾隅东
　行三百二十步望见乙问答同前
　法曰以乙南行乘甲东行幂为实二之乙南行乘甲
　东行为从方廉空二步常法得半径
　草曰立天元一为半城径以二之加于乙南行得□
　□为股率以天元减甲东行得□□为勾率乃置乙

　南行以勾率乘之得□□合股率除不除便以此为
　小勾此即半梯之头(内带股/率分母)又以勾率乘之得□□
　□为半径幂(内𢃄股/率分母)寄左乃以股率乘天元幂得□
　□□为同数与左相消得□○□□开立方得一百
　二十步倍之即城径也合问
或问乙出南门东行七十二步甲从西北隅取直行三
　百二十步见乙问答同前
　法曰二行相乘为实以东行为从一步常法得半径

　草曰立天元一为半城径以减甲东行步得□□为
　梯底以乙东行七十二步为梯头以乘之得□□为
　半径幂(寄/左)然后以天元幂与左相消得丨□□以平
　方开之得一百二十步倍之即城径也合问
或问乙从西南隅直东行一百九十二步甲从西北隅
　直东行三百二十步望见乙问答同前
　法曰二行步相乘为实二行相并为法得半径
　草曰立天元一为半径副置之上以减于乙东行得

　□□为梯头于上下位减于甲东行得□□为梯底
　以乘上位得丨□□为半径幂(寄/左)然后以天元幂与
　左相消得□□上法下实即半径也合问
或问乙从坤隅直南行三百六十步而止甲从乾隅直
　东行三百二十步望见乙问答同前
　法曰二行步相乘倍之为实二之甲东行为从一步
　常法得城径
　草曰立天元一以为城径加一南行得□□为股二

　行步相并得六百八十步为弦甲东行为勾勾股相
　乘得□□又倍之得□□为二直积(寄/左)然后以勾股
　弦相并得□□为三事和以天元乘之得丨□为同
　数与左相消得丨□□开平方得二百四十步即城
　径也合问
或问东门南不知远近有树甲从乾隅东行三百二十
　步望树与城参相直复就树斜行一百七十步至树
　问答同前

　法曰两段东行步幂内减两段东行斜行相乘数为
　实(按或云倍东行步以/二行差东之亦同)二之东行为从一益隅得城径
　草曰别得东行步即大勾斜行步即小弦也乃立天
　元一为城径减东行步得□□为勾圆差也(今为/小勾)置
　东行步以斜步乘之得□合以小勾除之今不受除
　便以此为大弦(内带小/勾分母)再置东行步以小勾乘之得
　□□为大勾以减大弦得□□为大差合以小差乘
　之(缘内带小/差分母)更不须乘便以此为半段黄方幂(更无/分母)

　又二之得□□为一段黄方幂(寄/左)然后以天元幂与
　左相消得□□□开平方得二百四十步即城径也
　合问
依前问假令乙出东门南行不知步数而止甲从乾东
　行三百二十步望乙与城相直复就乙斜行一百七
　十步
　法曰以甲东行乘二行差幂为实以甲东行乘二之
　二行差为从方二之二行差为隅法得半径

　草曰识别得二行相减馀一百五十即半城径与乙
　南行共数也得此数更不须用斜立天元一为半径
　减于二行差得□□即半梯头也又以二天元减甲
　东行步得□□为勾率又以一百五十为股率乃置
　甲东行以股率乘之得□合勾率除不除便以此为
　大股(内寄勾/率分母)再置天元以勾率乘之得□□以减于
　大股得□□□为半梯底也头底相乘得下□□□
　□为半径幂也(内带勾/率分母)寄左然后以勾率乘天元幂

　得□□□为同数与左相消得□□□开平方得一
　百二十步倍之即城径也合问
或问南门东不知远近有树甲从乾隅东行三百二十
　步见树复向树斜行二百七十二步至树问答同前
　法曰二之二行差乘二之甲东行为实并二之二行
　差及二之甲东行为从二步益隅得城径
　草曰别得二行相减馀四十八步即虚积之勾也立
　天元一为城径内减二之二行差得□□为梯头于

　上置甲东行步以二之内减天元得□□为梯底以
　乘上位得□□□为城径幂(寄/左)然后以天元幂与左
　相消得□□□开平方得二百四十步即城径也合
　问
或问甲从乾隅东行三百二十步而止乙出南门直行
　不知步数望见甲复就甲斜行四百二十五步与甲
　相会问答同前
　法曰二行步相减以乘东行幂得数半之为实以半

　之东行步乘东行步于上二行步相减馀乘东行步
　减上位为从二之东行步为益廉一步常法得半径
　草曰识别得二行相减是高积上勾股较(此勾即/半径也)又
　别得是高弦不及股圆差数乃立天元为半城径以
　减东行步得□□为中勾其斜行步即中弦也又置
　半城径以斜步乘之得□合以中勾除之不受除便
　以此为高弦(内寄中/勾为母)又以二行步相减馀一百五步
　为高弦不及股圆差数置此数以中勾乘之得□□

　加入高弦得□□为大差于上(内带中/勾分母)又倍天元减
　东行步得□□为小差又半之得□□以乘上位得
　□□□为半径幂(内有中/勾分母)寄左乃以天元自乘又以
　中勾乘之得□□□为同数与左相消得□□□□
　以立方开得一百二十步倍之即城径也合问
或问甲乙二人俱在乾隅乙直南行不知步数而立甲
　直东行三百二十步望见乙复就乙斜行六百八十
　步与乙相会问答同前

　法曰以二行差乘甲东行步又二之为实以二之二
　行差为从一步常法得城径
　草曰别得二行步相减馀三百六十步即股圆差也
　乃立天元一为圆径以减于甲东行步得□□为小
　差以东行斜行差三百六十步乘之得□□倍之得
　□□为一段城径幂(寄/左)乃以天元幂与左相消得丨
　□□开平方得二百四十步即城径也合问
或问东门外不知远近有树甲从乾隅东行三百二十

　步望树与城参相直复就树斜行一百三十六步至
　树问答同前
　法曰倍二行相减数内减甲东行得数复以乘甲东
　行为实(按或云倍斜步以减甲东/行馀以甲东行乘之亦同)倍二行差为从二
　步虚常法得半径
　草曰识别得斜行步乃树至城心步也立天元一为
　半径加斜行步得□□即树至城西门之步也乃以
　减于甲东行得下□□为小勾率其天元半径即小

　股率其斜步即小弦数也再置甲东行步内减天元
　得□□为梯底于上又置梯底内减二之小勾率得
　□□(按倍小勾得三百六十八步少二元以少二元/减梯底之少一元反为多一元以三百六十八)
　(步减梯底之三百二十/步反为少四十八步也)以乘上位得□□□为半径
　幂乃以天元幂与左相消得下式□□□以平方开
　之得一百二十步倍之即城径也合问
或问南门外不知步数有槐一株甲从乾隅直东行至
　柳树下望见槐树复斜行至槐树下甲自云我共行

　了七百四十五步乙从坤隅南行望见槐柳与城参
　相直复斜行至槐树下乙自云我南行步多于斜行
　步一百五步
　　按此问下有草无法今依细草补之
　法曰置甲共步内减乙较步馀数折半自之再倍乙
　较步乘之为立方实置上减馀折半数又减二之乙
　较步复以减馀折半数乘之为从甲共步内减乙较
　步为廉五分为负隅开立方得城径

　草曰识别得一百五步是大差多于高弦数又为高
　弦上勾股差数又别得是甲斜行多于东行数也乃
　副置甲共行七百四十五步在地其上位加一百五
　步而半之得四百二十五步即甲斜行也其下位减
　一百五步而半之得三百二十步即甲东行也乃立
　天元一为圆径以半之减于甲东行步得□□为中
　勾其甲斜行四百二十五步即中弦也再置天元以
　半之为小勾以中弦乘之得□合以中勾除不除便

　以为高弦于上(内𢃄中/勾分母)别置乙多步一百五步以中
　勾乘之得□□为大差多于高弦数也以加入上位
　得下式□□为一个大差也置甲东行以天元减之
　又倍之得□□为二个小差以乘大差得下□□□
　为一段黄方幂(内带中/股分母)寄左然后置天元幂丨□以
　中勾通之得□□□与左相消得□□□□开立方
　得二百四十步即城径也合问
或问出东门直行不知步数有槐树一株出南门东行

　不知步数有柳树一株槐柳斜相距一百五十三步
　甲从乾东行三百二十步望槐柳与城参相直问答
　同前
　法曰二行相乘讫又以乘甲东行幂为实斜行乘甲
　东行幂又三之为从方甲东行幂内减两段二行相
　乘数为第一廉二之甲东行为益二廉二步常法开
　三乘方得半径
　草曰立天元一为半径以二之减于甲东行得□□

　为小差以自之得□□□加于甲东行幂复半之得
　□□□为大弦(内寄小/差分母)又置斜相距步以大勾乘之
　得□合大弦除不除便以此为小勾(内𢃄大/弦分母)乃以天
　元减甲东行数得□□为半梯底以乘小勾半梯头
　得□□为半径幂于上此半径幂内有大弦分母此
　大弦分母元𢃄小差分母故先用小差分母以乘上
　半径幂得□□□为半径幂也内𢃄本大弦分母(寄/左)
　然后以大弦乘天元幂得□□□□为同数与左相

　消得□□□□□开三乘方得一百二十步即半城
　径也合问
或问甲从乾隅东行三百二十步而止丙出东门南行
　乙出东门直行各不知步数而立甲回望乙丙悉与
　城参相直既而乙就丙斜行三十四步相会问答同
　前
　法曰甲东行再自之于上以二之斜行步乘甲东行
　幂减上位为立方实两段南行幂内减东行斜行相

　乘数为益从以甲东行加五(按加五/即加半)为从廉五分虚
　隅得全径
　草曰立天元一为城径以减于甲东行步得□□为
　小差以自之得丨□□为小差幂也乃置甲东行幂
　内加小差幂而半之得□□□为大弦也(内带小/差分母)又
　置甲东行幂乃减小差幂而半之得□□○为大股
　也(内带小/差分母)乃置斜行步在地以大股乘之得□□合
　以大弦除之不除而又倍之得□□为梯头也(即两/个小)

　(股内寄大弦/为母权寄)乃置天元圆径以半之以小差分母通
　之得□□以减于大股馀得□又倍之得□为梯底
　也(即两个边股内/亦有小差分母)以乘权寄得□□□为城径幂也
　(内寄大弦及/小差分母)寄左然后以天元自之为幂以大弦通
　之又以小差通之得□□□□□为同数与左相消
　得□□□□开立方得二百四十步即城径也合问
依前问假令东门外有树乙出东门南行不知步数而
　立(只云树去城步/少于乙南行步)甲从乾隅向东行三百二十步望

　乙与树悉与城参相直乙复就树斜行三十四步到
　树问答同前
　法曰甲东行自之又以斜步乘之为立方实置半段
　甲东行幂于上以斜步乘甲东行减上位为从廉空
　半步常法得勾圆差
　草曰别得乙斜行即□弦也□弦得小勾股即大股
　弦较也乃立天元一为勾圆差以自之为幂副之上
　以加于甲东行幂而半之得□□□为大弦也(寄小/差分)

　(母/)下以减于甲东行幂而半之得□□□为大股也
　(寄小差/分母)乃置斜步以大股乘之得□□□合大弦除
　不除便以此为小股(寄大弦/分母)又置斜步以甲东行乘
　之得□合大弦除不除便以此为小勾而又以通母
　分通之得□为同分小勾也(寄大弦/分母)注(大股乘时有/小差分母今)
　(大勾无母故/又以齐同之)又置斜步以大弦通之得□□□为同
　分小弦也三位相并得□□为勾圆差也(寄/左)然后置
　天元以大弦通之得□○□为同数与左相消得□

　○□□开立方得八十步即勾圆差也以勾圆差减
　于甲东行步馀二百四十步即城径也合问
或问南门外不知步数有树甲从乾东行三百二十步
　而立乙出西门便南行望树及甲与城参相直却就
　树斜行二百五十五步至树问答同前
　法曰二行相乘于上以半之甲东行乘之为实二行
　相乘于上又半之甲东行以乘甲东行加上位为益
　从甲东行为从廉一步虚法开立方得半径

　草曰立天元一为半径便以为小勾其斜行即小弦
　也乃以甲东行为大勾以小弦乘之复以天元除之
　得□□即大弦也又倍天元减东行馀□□为小差
　以减大弦馀□□□为大股也又倍天元以减股馀
　□□为大差也却以半小差□□乘之得下式□□
　□为半径幂(寄/左)乃以天元幂与左相消得丨□□□
　开立方得一百二十步倍之即城径也合问
或问南门外不知步数有槐树一株东门外不知步数

　有柳树一株槐柳相距二百八十九步甲从乾东行
　三百二十步斜望槐柳与城参相直问答同前
　法曰二行相乘得数又自增乘为实斜行幂乘甲东
　行又倍之为益从两行相乘又倍之为益廉二之斜
　步为第二廉二步常法开三乘方得柳至城心步
　草曰别得柳至城心步即甲立处柳树步也立天元
　一为柳至城心步加斜步得□□为底弦以天元乘
　之得丨□○合斜步除不除便以此为底勾(寄斜步/分母)

　乃再置通勾以斜步乘之得□为带母通勾内减底
　勾馀□□□为半径以自之得丨□□□□为半径
　幂内带斜步幂分母(寄/左)乃以天元减斜步得□□为
　明弦以天元乘之得□□合斜步除不除便以此为
　半梯头(寄斜步/为母)复以底勾半梯底乘之得□□□□
　为同数与左相消得□□□□□开三乘方得一百
　三十六步即柳至城心步也合问
或问甲从乾隅东行三百二十步而立乙出城东行丙

　出城南行三人相望俱与城相直乙丙共行了一百五
　十一步问答同前
　法曰以甲东行为幂折半又以自之为三乘方实倍
　共步加甲东行以乘半段甲行幂为从方甲行乘共
　数为从廉甲东行加五为第二益廉二分五釐常法
　得小差
　草曰别得乙丙共行步即明股□勾共也立天元一
　为小差以自之副置二位上位减于甲东行幂以天

　元除之又折半得□○□即大股也下位加甲行幂
　以天元除之又折半得□○□为大弦也其甲东行
　即大勾也并大勾大股得□□□即大和也再立天
　元以减甲东行步得□□即圆径也以圆径加共行
　步得□□即皇极和也(即小和又为高/弦平弦共数)又倍之得□
　□即黄长弦黄广弦共也内减大弦得下式□□□
　为皇极内小黄方也(亦为/虚弦)再置大和□□□以小黄
　方乘之得下式□□□□□合以小和除之不除便

　以为城径内寄小和为母(寄/左)然后天元减甲东行得
　□□为大黄方以小和乘之得丨□□为同数与左
　相消得□□□□□开三乘方得八十步即小差也
　以小差减甲东行馀二百四十步即城径也合问
或问丙出南门东行乙出东门南行各不知步数而立
　甲从乾隅东行三百二十步望乙丙悉与城参相直
　乙就丙斜行一百二步相会问答同前
　法曰甲东行自之于上倍斜行步乘之为立方实倍

　斜行步乘甲东行于上加两段甲东行幂为从四之
　甲东行为益廉四为隅法得半城径
　草曰别得斜步即虚弦减于全径即小和也乃立天
　元一为半径以二之减于甲东行得□□为小差也
　以自之得□□□为小差幂也置甲东行幂内加小
　差幂而半之得下□□□为大弦(内带小/差分母)置甲东行
　幂内减小差幂而半之得□□为大股也内亦带小
　差为母又以小差乘大勾得□□并入大股得□□

　□为大和也(带小/差母)乃先以小弦乘大和得下□□□
　寄左次以斜步减于二天元得□□为小和以乘大
　弦得下式□□□□为同数与左相消得□□□□
　开立方得一百二十步即半城径也合问
依前问假令乙出东门南行丙出南门东行各不知步
　数而立(只云丙行多/于乙行步)甲从乾隅东行三百二十步望
　乙丙与城参相直其乙丙共行一百二步问答同前
　法曰倍共步以乘甲东行幂为立方实共步乘甲东

　行于上又以甲东行自之加上位为益从甲东行为
　从廉五分隅常法得城径
　草曰别得共步便为小弦得小勾小股即与圆径同
　立天元为城径以减乙东行得□□为小差以自之
　得□□□为小差幂也乃置甲东行以自之为幂副
　之上以加小差幂而半之得□□□为大弦也(内寄/小差)
　(分/母)下以减小差幂而半之得□□○为大股也(内寄/小差)
　(分/母)乃置共步在地以大股乘之得□□合大弦除不

　除便以此为小股也(寄大弦/分母)又置共步以甲东行乘
　之得□合以大弦除不除便以此为小勾而又以元
　分母小差乘之得□□为同分小勾(只寄大/弦分母)注(其大/弦内)
　(元带小差分母其大勾内却无分母故/母故今复以小差通之齐同其分母也)又置共步以
　大弦通之得□□□同分小弦也三位相并得□□
　为城径也(内有大/弦分母)寄左然后置天元城径□以大弦
　分母通之得□□□○为同数与左相消得□□□
　□开立方得二百四十步即城径也合问

　
　
　
　
　
　
　
　测圆海镜卷六