钦定四库全书
　测圆海镜卷五
　　　　　　　　　　　　　元　李冶　撰
　　大股一十八问
或问乙出南门直行一百三十五步而立甲从乾隅南
　行六百步望乙与城参相直问答同前
　法曰倍二行差内减甲南行步复以乘甲南行步为
　实(倍二行差减甲南行步即是甲/南行步内减二之乙南行也)四之甲南行步内

　减二之乙南行为从方四为益隅开平方得半径
　草曰立天元一为半径以二之加乙南行步得□□
　为中股以中股又减于甲南行步得□□为股率其
　天元半径即勾率也置甲南行为大股以勾率乘之
　得□合以股率除之不受除便以此为大勾(内𢃄股/率分母)
　再置天元以二之以股率乘之得□□减于大勾馀
　□□为勾圆差于上(内有股/率分母)又以二之天元减甲南
　行得□□为大差以乘上位得□□□为半段黄方

　幂(内寄股/率分母)然后以天元自之又以股率乘之又倍之
　得□□□为同数与左相消得下式□□□开平方
　得一百二十步倍之即城径也合问
或问乙出南门东行七十二步而止甲从乾隅南行六
　百步望乙与城参相直问答同前
　法曰云数相乘为平实甲南行为从二益隅得半径
　草曰别得虚勾乘通股得半段圆径幂此与虚股乘
　通勾同立天元一为半径内减乙东行得□□为虚

　勾以乘甲南行得□□为半段径幂(寄/左)再以天元为
　幂又倍之得□□为同数与左相消得□□□开平
　方得一百二十步即城径也合问
或问乙出东门直行一十六步甲从乾隅南行六百步
　望见乙问答同前
　法曰以乙东行乘甲南行幂为实二之乙东行乘甲
　行为从方廉空二步隅法得半径
　草曰立天元一以为半城径以二之加于乙东行得

　□□为勾率又以天元减甲南行得□□为股率乃
　置乙东行以股率乘之得□□合以勾率除不除便
　以此为小股此小股即半梯之头也(内带勾/率分母)又以股
　率乘之(此股率即半/梯之底也)得□□□为半径幂(内带勾/率分母)寄
　左然后置天元幂以勾率通之得□□□为同数与
　左相消得□○□□开立方得一百二十步倍之即
　城径也合问
或问乙出东门南行三十步而立甲从乾隅南行六百

　步望见乙问答同前
　法曰二行步相乘为宝以南行为从一步常法得半
　径
　草曰立天元一为半径以减于甲南行得□□为半
　梯底以乙南行三十步为半梯头以乘之得□□为
　半径幂(寄/左)乃以天元幂与左相消得丨□□开平方
　得一百二十步即半城径也合问
或问乙从艮隅南行一百五十步而立甲从乾隅南行

　六百步望见乙问答同前
　法曰二行步相乘为实并二行步为法得半径
　草曰立天元一为半径副置之上以减于乙南行得
　□□为半梯头下以减于甲南行得□□为半梯底
　上下相乘得丨□□为半径幂(寄/左)乃以天元幂与左
　相消得下式□□上法下实如法而一得一百二十
　步倍之即城径也合问
或问乙从艮隅东行八十步而立甲从乾隅南行六百

　步望见乙问答同前
　法曰二行步相乘又倍之为实二之乙东行为从一
　步常法得全径
　草曰别得乙东行八十步即小差也立天元一为城
　径减于甲南行步得□□为大差以乙东行步乘之
　得□□又倍之得□□为城径幂(寄/左)然后以天元幂
　与左相消得丨□□开平方得二百四十步即城径
　也合问

或问南门东不知远近有树甲从乾隅南行六百步望
　树与城参相直复就树斜行四百八步至树问答同
　前
　法曰南行步幂内减两段两行相乘数为实二之南
　行步为从一步益隅得城径
　草曰别得南行步内减城径即小股也其斜行步即
　小弦也又二行相减即大差为股之勾也立天元一
　为圆径以减南行步得□□为股圆差也(合为/小股)置南

　行步以斜行步乘之得□合以小股除之不受除便
　以此为大弦(内带小/股分母)再置南行步以小股乘之得□
　□为大股(亦带小/股分母)以大股减大弦得□□为小差也
　合以大差乘之缘于内带大差分母更不须乘便以
　为半段黄方幂(更无/分母)又二之得□□为一段黄方幂
　(寄/左)然后以天元幂为同数与左相消得□□□开平
　方得二百四十步即城径也合问
依前问假令乙出南门东行不知步数而立甲从乾南

　行六百步望乙与城相直复就乙斜行四百八步(按/此)
　(即前问以/明又法)
　法曰二行差幂乘甲南行为实二之二行差以乘南
　行步为益方二之二行差为隅得半径
　草曰识别得二行相减即半城径与乙东行共也得
　此数更不须用斜立天元为半径减于二行差一百
　九十二得□□即半梯头也又以二天元减甲南行
　步得□□为股率又以一百九十二为勾率乃置甲

　南行以勾率乘之得□合股率除不除便以此为大
　勾(内寄股/率分母)再置天元以股率乘之得□□以减于大
　勾得□□□为半梯底也头底相乘得下□□□□
　为半城径幂(内寄股/率分母)寄左然后以股率乘天元幂得
　□□□为同数与左相消得□□□开平方得一百
　二十步倍之即城径也合问
或问东门南不知远近有树甲从乾隅南行六百步见
　树复向树斜行五百一十步至树问答同前

　法曰二行差步乘甲南行步为实二行之差步并甲
　南行步为从二益隅(若欲从简上/下俱折半)
　草曰别得二行相减数即虚积之股也立天元一为
　半径内减二行之差步得□□为梯头于上又以天
　元减于甲之南行步得□□为梯底上下相乘得□
　□□为圆径幂(寄/左)然后以天元幂与左相消得□□
　□开平方得一百二十步即城径也合问
或问乙出东门直行不知步数而立甲从乾隅南行六

　百步望见乙复就乙斜行五百四十四步与乙相会
　问答同前
　法曰以二行步相减乘甲南行步得数又半之南行
　步以乘之为实以二行差乘南行步于上又以半之
　南行步乘南行步加于上为从方二之南行步为益
　廉一步常法得半径
　草曰别得二行相减即半径上勾股较(此股即/半径也)又别
　得是大勾圆差不及平弦数立天元一以为半城径

　以减南行步得□□为中股其斜行步即中弦也乃
　立半城径以斜步乘之得□合以中股除今不受除
　便以此为平弦(内带中/股分母)又以二行步相减馀五十六
　步为勾圆差不及平弦数置此数以中股乘之得□
　□复以减平弦馀得□□为小差(内带中/股分母)乃以二天
　元减甲南行步得□□为大差又半之得□□以乘
　小差得□□□为半径幂(寄/左)然后以天元自乘又以
　中股通之得□□□为同数与左相消得丨□□□

　开立方得一百二十步倍之即城径也合问(翻法在记/)
或问甲乙二人俱在乾隅乙东行不知步数而立甲南
　行六百步望见乙复就乙斜行六百八十步与乙相
　会问答同前
　法曰以二行差乘二行并开平方得数内复减二行
　差得全径
　草曰别得二行相减即勾圆差也先求大勾立天元
　一为大勾以二行相减馀八十步以乘二行相并数

　一千二百八十步得□为勾幂开平方得三百二十
　步即大勾也大勾内减去勾圆差馀二百四十步即
　城径也合问
或问南门外不知远近有树甲从乾隅南行六百步望
　树与城参相直复就树斜行二百五十五步至树问
　答同前
　法曰倍二行相减数内减甲南行得数复以乘甲南
　行为实倍二行相减数为从二步益隅得半径

　草曰识别得斜行步乃是树至城心之数也立天元
　一为半径加斜行步得□□为树至城北门之步也
　乃以减于甲南行得□□为小股率其天元半径即
　小勾率其斜步即小弦数也再置甲南行步内减天
　元得□□为梯底于上又置梯底内减二之小股率
　得□□即梯头也复以乘上位得□□□为半径幂
　(寄/左)然后以天元幂与左相消得下式□□□开平方
　得一百二十步倍之即城径也合问

或问东门外不知步数有槐树一株甲从乾隅南行至
　柳树下望见槐树复斜行至槐树下甲自云我共行
　了一千一百四十四步乙从艮隅东行望见槐树与
　城相直复斜行至槐树下乙自云我东行少不及斜
　行五十六步问答同前
　法曰甲斜行减于甲南行以乘甲南行得数复以乘
　二之甲南行为实半之甲南行以乘二之甲南行于
　上甲斜行减于甲南行馀复以乘甲南行又倍之加

　上位为从方二之甲南行为益廉五分隅法(按五分/隅法即)
　(半个/立方)
　草曰识别得五十六步是小差不及平弦数(此小差/即勾圆)
　(差/也)又为平弦上勾股差又为甲斜行不及大股乃副
　置甲共行在地其上位加五十六步而半之得六百
　步即大股也其下位减五十六步而半之得五百四
　十四步即今弦也立天元一为圆径以半之减于甲
　南行步得□□为中股其斜行五百四十四步即中

　弦也乃立半天元以斜步乘之得□合以中股除之
　今不受除便以此为平弦(内寄中/股分母)又置勾圆差不及
　平弦数以中股乘之得□□复以减于平弦□□为
　小差(内带小/股分母)又以天元减甲南行倍之得□□为两
　个大差以乘小差得□□□为圆径幂(寄/左)然后以中
　股乘天元幂得下式□□□为同数与左相消得□
　□□□开立方得二百四十步即城径也合问(翻法/)
　(在记/)

或问出东门向南行不知步数有柳树一株甲从乾隅
　南行六百步望见柳树而止乙出东门直行不知步
　数望柳树与甲相直却斜行三十四步至柳树下问
　答同前
　法曰乙斜行乘甲南行数以乘甲南行幂为实斜行
　乘甲南行幂又三之为从方甲行幂内减两段斜行
　南行相乘数(按甲南行内减二之乙/斜行以甲南行乘之)为第一廉二之
　南行步为第二益廉二步常法得半径

　草曰立天元一为半径以二之减甲南行得□□为
　大差以自之得□□□为大差幂加于南行幂得□
　□□又半之得□□□为大弦也内带大差□□分
　母别寄又置乙斜行以大股六百步乘之得□合大
　弦除不除便以此为小股也(内带大/弦分母)乃以天元减甲
　南行得□□即半梯底也以乘小股半梯头得□□
　为半径幂于上此半径幂内有大弦分母缘别寄大
　弦分母元带大差分母故又用大差分母□□乘上

　半径幂得□□□为带分半径幂也所带之分谓只
　带大弦分母也(寄/左)然后以大弦乘天元幂得□□□
　□为同数与左相消得□□□□□开三乘方得一
　百二十步即半城径也合问
　　按此条寄分内又带寄分则以所带之分乘本条
　　仍以寄分乘次条者盖寄分为应除本条之数而
　　寄分内所带之分又为应除寄分之数今不除寄
　　分而乘本条则犹是寄分乘次条之理也乘除之

　　变至斯而极矣
又法置甲南行幂于上又置甲行幂半之以乘上位为
　实以斜行乘甲行幂倍之于上位又以甲行再自乘
　加上位为益方置甲行幂于上以斜行乘甲南行倍
　之以减上位为第一廉甲南行步为第二廉半步常
　法得股圆差
　草曰立天元一为股圆差(即大/差)以自之为幂以加甲
　南行幂得丨□□半之又以天元除之得□□□为

　大弦其甲南行即大股也别置乙斜行三十四步以
　大股乘之得□合大弦除不除便以为小股(内寄大/弦分母)
　乃以天元加甲南行步得□□为全梯底也以乘小
　股半梯头得□□又倍之得□□为城径幂(内寄大/弦为母)
　寄左置天元大差减甲南行馀□□为圆径以自之
　得丨□□又以大弦分母乘之得□□□□□为同
　数与左相消得□□□□□开三乘方得三百六十
　步即股圆差也以股圆差减甲南行馀二百四十步

　即城径也合问
或问甲从乾隅南行六百步而止丙出南门直行乙出
　南门东行各不知步数而立甲望乙丙悉与城参相
　直既而乙就丙斜行一百五十三步相会问答同前
　法曰以甲南行步再自之于上以斜行步乘甲南行
　幂又倍之减上位为立方实南行步自之又四之于
　上以斜步乘甲南行又倍之减上位为益从六之甲
　行步为从廉四步虚常法得半径

　草曰立天元一为半径以二之减于甲南行得□□
　为大差也以自之得□□□为大差幂也乃置甲南
　行幂内加大差幂而半之得□□□为大弦也(内寄/大差)
　(分/母)又置甲南行幂内减大差幂而半之得□□为大
　勾也(亦带大/差分母)乃置斜行步在地以大勾乘之得□□
　合以大弦除不除便以此为小勾内带大弦为母(其/大)
　(勾内元有大/差分母不用)即半梯头也(寄上/位)再寄天元半径以大
　差乘之得□□以减于大勾得□为半梯底也以乘

　上位得□□□为半径幂也(内带大差及/大弦为母)寄左然后
　置天元幂以大差通之又以大弦通之得□□□□□
　为同数与左相消得□□□□开立方得一百二十步
　即半城径也合问
依前问假令南门外有树乙出南门东行不知步数而
　立(只云乙东行步/少于树去城步)甲从乾隅向南行六百步望树与
　乙悉与城参相直乙就树斜行一百五十三步至问
　答同前

　法曰以斜行步乘甲行幂为立方实以甲行幂半之
　于上以斜行步乘甲行步减上位为益从廉空五分
　隅得大勾大弦差
　草曰别得斜步即小弦小弦得小和即勾弦差也立
　天元一为股圆差以自之为幂副之上以加甲南行
　幂而半之得□□□为大弦也(寄大差/分母)下以减于甲
　南行幂而半之得下式□□□为大勾也(寄大差/分母)乃
　置斜步以大勾乘之得下□□□合以大弦除不除

　便以此为小勾(寄大弦/分母)又置斜步以甲南行乘之得
　□合以大弦除为小股不除而又以同母分通之得
　□○为同分小股也(内只寄大/弦分母)注(大股乘时无大差/分母故今通之以)
　(齐大勾上所有/大差分母也)又置斜步以大弦通之得□□□为
　通分小弦也三位相并得□□为股圆差(寄/左)然后置
　天元大差以大弦分母通之得□○□为同数与左
　相消得□○□□开立方得三百六十步即股圆差
　也以股圆差减于甲南行步即城径也合问

或问东门外不知步数有树甲从乾南行六百步而止
　乙出北门东行斜望树及甲与城参相直却就树斜
　行一百三十六步问答同前
　法曰二行步相乘于上又半甲南行乘之为实二行
　相乘于上又半甲南行以乘甲南行加上位为益从
　甲南行为从廉一步益隅开立方得半径
　草曰立天元一为半径便以为小股其斜行步即小
　弦也乃以甲南行为大股以小弦乘之复以天元除

　之得□□即大弦也又倍天元减甲南行馀□□为
　大差以减大弦馀□□□为大勾也又倍天元以减
　勾得□□□为小差也却以半大差□□乘之得□
　□□为半径幂(寄/左)乃以天元幂相消得下式丨□□
　□开立方得一百二十步即半径合问
或问南门外不知步数有槐树一株东门外不知步数
　有柳树一株槐柳二树相去二百八十九步有人从
　乾南行六百步而止斜望槐柳与城参相直问答同

　前
　法曰云数相乘得又自增乘为三乘方实斜步幂乘
　南行步又云之为益从二云数相乘又倍之(按此下/脱内减)
　(斜步幂/五字)为益廉二之斜步为第二从廉二法常法得
　槐至城心步
　草曰别得槐树至城心步即人所止至槐树步也乃
　立天元一为槐树至城心步(即人至/槐处)加于斜步得□
　□为边弦也以天元乘之得丨□合斜步除不除便

　以此为边股(寄斜步/分母)又以斜步乘南行步得□为大
　股以边股减之馀□□□为半城径(寄斜步/分母)以自之
　得丨□□□□为半径幂(内带斜/步为母)寄左又以天元减
　斜步得□□为□弦以天元乘之得□□○合斜步
　除不除寄为母便以此为半梯头以边股半梯底乘
　之得□○□□为同数与左相消得□□□□□开
　三乘方得二百五十五步即槐树至城心之步也亦
　为皇极正股又自之得数以减斜幂馀如平方而一

　得城心至柳树步又为皇极正勾也勾股相乘倍之
　为实如斜步而一即城径也合问
或问甲从乾南行六百步而立乙出南门直行丙出东
　门直行三人相望俱与城相直而乙丙共行了一百
　五十一步问答同前
　法曰甲南行为幂折半又以自之为实倍共步加甲
　南行以乘半段甲行幂为从方甲行乘共数为从廉
　一个半甲南行为第二益廉二分五釐为三乘方隅

　草曰识别得共步加城径即皇极和也又是半径为
　勾之弦与半径为股之弦相和步也二之此数内减
　去大弦即皇极勾股内黄方面也亦为太虚弦乃立
　天元一为大差以自之副置二位上位减于甲行幂
　以天元除之又折半得□□□为大勾也下位加甲
　南行以天元除之又折半得□□□为大弦也其甲
　南行即大股也并勾大股得下式□□□即大和也
　再以天元减甲南行得□□即圆径也加共步得□

　□即皇极和又是半径为勾之弦及半径为股之弦
　共数也又倍之得□□即全径为勾之弦及全径为
　股之弦共数也内减大弦得□□□即小和内黄方
　面也乃置大和□□□以小黄方面乘之得□□□
　□□合以小和除之不除便以此为大黄方也(内寄/小和)
　(为/母)寄左然后以天元减甲南行得□□为大黄方以
　小和乘之得丨□□为同数与左相消得□□□□
　□开三乘方得三百六十步即股圆差也以股圆差

　减于甲南行馀二百四十步即城径也合问
或问丙出南门东行乙出东门南行各不知步数而立
　甲从乾隅南行六百步斜望乙丙悉与城参相直乙
　就丙斜行一百二步相会问答同前
　法曰以斜步乘甲南行幂又倍之为实倍甲行幂于
　上又以斜步乘二之甲南行加于上为从方四之甲
　南行为益廉四步常法开立方得半径
　草曰别得斜步为小弦也以斜步减圆径馀为小和

　也乃立天元为半径以二之减于甲南行得□□为
　大差也以自之得□□□为大差幂也置甲南行幂
　□内加大差幂而半之得□□□为大弦也(内带大/差为分)
　(母/)又置甲南行幂内减大差幂而半之得□□○为
　大勾也(带大差/分母)又以大差乘股六百步得□□并入
　大勾得□□□为大和也(带大差/分母)乃先以小弦乘大
　和得下式□□□寄左又以倍天元减斜步得□□
　为小和以乘大弦得□□□□为同数与左相消得

　□□□□开立方得一百二十步即半径也合问
依前问假令乙出东门南行丙出南门东行各不知步
　数而立(只云丙行步/多于乙行步)甲从乾隅南行六百步望乙丙
　与城参相直乙复斜行就丙行了一百二步与丙相
　会问答同前
　法曰以斜步乘甲行幂又倍之为立方实甲行幂内
　加斜行南行相乘数为从方甲南行为益廉半步为
　隅得全径

　草曰别得相就步即小弦也小弦得小和为直径也
　立天元一为城径以减于甲南行步得□□为大差
　以自之得丨□□为太差幂也置甲南行步以自之
　为幂副之上以加大差幂而半之得□□□为大弦
　也(内寄大/差分母)下以减大差幂而半之得□□○为大勾
　也(内寄大/差分母)乃置相就步在地以大勾乘之得□□合
　大弦除不除寄为母便以此为小勾也寄大弦母又
　置斜步(即相就/步也)以甲南行乘之得□合以大弦除之

　不除寄为母便以此为小股而又以元分母大差乘
　之得□□为同分小股也只寄大弦为母(其大勾内/元有大差)
　(分母其大股内却无分母故今/乘过复以大差通之齐分母也)又置斜行步以大弦
　通之得□□□为小弦也上三位相并得□□为城
　径也(内寄大/弦分母)寄左然后置天元以大弦通之得□□
　□为同数与左相消得□□□□开立方得二百四
　十步即城径也合问
　

　
　
　
　
　
　
　
　测圆海镜卷五