钦定四库全书
　测圆海镜卷四
　　　　　　　　　　　　　元　李冶　撰
　　底勾一十七问
或问乙出南门东行不知步数而立甲出北门东行二
　百步见之就乙斜行二百七十二步与乙相会问答
　同前
　法曰二行差数乘甲东行又四之为平方实得全径

　草曰识别得二行相减馀即乙出南门东行数也以
　甲东行减于就乙斜行馀七十二步以乘甲东行步
　得一万四千四百步又四之得五万七千六百步为
　实以平方开之得二百四十步即城径也合问
或问乙从坤隅南行三百六十步甲出北门东行二百
　步见之问答同前
　法曰二行步相乘倍之为实乙南行为从一步常法
　得城径

　草曰立天元一为城径以减于二之甲东行步得(□/)
　□为两个小差以乙南行步乘之得□□为城径幂
　(寄/左)然后以天元幂丨□与左相消得丨□□以平方
　开之得二百四十步即城径也合问
又法半之乙南行步乘甲东行为实半乙南行为从一
　步常法得半径
　草曰立天元一为半城径减甲东行得□□为小差
　半乙南行步得一百八十步以乘小差得□□为半

　径幂(寄/左)然后以天元幂丨□与左相消得下式丨□
　□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问
或问乙从坤隅东行一百九十二步而止甲出北门东
　行二百步见乙问答同前
　法曰两行步相乘为实甲东行为从乙为隅得半径
　草曰立天元一为半径减于乙东行得□□以甲行
　步乘之得□□为半径幂(寄/左)然后以天元幂丨□与
　左相消得丨□□以平方开之得一百二十步倍之

　即城径也合问
或问乙出南门直行一百三十五步甲出北门东行二
　百步见乙问答同前
　法曰以乙南行步乘甲东行幂又四之为实从空乙
　行为廉一步常法得城径
　草曰立天元一为城径加乙南行得□□为股率其
　甲东行即勾率也其乙南行□为小股以勾率乘之
　得□合以股率除今不除受便以此为小勾(寄股率/为母)

　乃以甲东行步乘之得□　又四之得□为一段城
　径幂(寄/左)然后以天元城径自之又以股率分母通之
　得丨□□为同数与左相消得下式丨□□□以立
　方开之得二百四十步即城径也合问
又法二行相乘又以自乘为实以二行相乘倍之为益
　方南行幂为廉八步益隅立方开得小勾七十二
　草曰立天元一为小勾以南行为小股以东行二百
　步为大勾也置大勾内减天元得□□为中勾也以

　小股乘之得□□以天元小勾除之得□□为中股
　即城径也以自之得□□□为城径幂也(寄/左)又以天
　元小勾乘通勾二百步得□又四之得□为同数与
　左相消得□□□□开立方得七十二步即小勾也
　以乘通勾二百步为实平方开得一百二十步倍之
　即城径也合问
又法求半径以南行步乘东行幂为实从空东行步为
　廉二步常法得半径

　草曰立天元一为半径以二之加南行步得□□为
　股率以东行□为勾率以南行为小股也置小股以
　勾率乘之得□以股率除之不受除只寄股率分母
　便以此为小勾也又以勾率乘之得下式□为半径
　幂(寄/左)再立天元半径以自之又以分母股率乘之得
　□□□为同数与左相消得□□□□开立方得一
　百二十步倍之即城径也合问
或问乙出东门南行三十步而止甲出北门东行二百

　步望乙与城参相直问答同前
　法曰以甲东行步乘乙南行幂为实以乙南行幂为
　从甲东行内减二之乙南行为益廉一步隅得半径
　草曰立天元一为半城径减于甲东行步得□□为
　小勾以天元加于乙南行步得□□为小股乃以天
　元加东行步得□□为大勾置大勾以小股乘之得
　丨□□合以小勾除之今不受除便以此为大股(内/带)
　(小勾/分母)又置天元半径以分母小勾乘之得□□减于

　大股馀□□□以乙南行步乘之得□□□为半径
　幂(内有小/勾分母)寄左然后以天元为幂又以小勾通之得
　□□□为同数与左相消得下式□□□□以立方
　开之得一百二十步倍之即城径也合问(翻法在记/)
又法乙南行乘甲东行为平实二数相减为法一隅翻
　开得半径
　草曰别得二数相并为大勾内少一虚股其二数相
　减为小差弦也　立天元一为半径副置之上位减

　于二百步得□□为勾圆差(即小差/勾也)下位加三十步
　得□□为小差股勾股相乘得□□□为一段小差
　积(寄/左)再以小差勾减小差股馀□□为一较也又以
　此较减于小差弦得下式□□为一个弦较较以天
　元一乘之得下式□□为同数与左相消得□□□
　开平方得一百二十步即半城径也合问(翻法在记/)
　再立此法者盖从简也
　　按此乃以小差勾为平弦上弦较较半径为平股

　　故以小差弦上弦较较与半径相乘等于平弦上
　　弦较较与小差股相乘为一段小差积也
或问乙出东门南行不知步数而立甲出北门东行二
　百步望乙与城参相直复就乙斜行一百七十步与
　乙相会问答同前
　法曰以二行差乘甲东行为实甲就乙斜行为方一
　步常法得半径
　草曰识别得二行相减馀三十步即乙出东门南行

　步也(更不须/用弦)立天元一以为半城径加乙南行得□
　□为小股副置甲东行步上位减天元得下式□□
　为小勾下位加天元得□□为大勾也乃置大勾以
　小股乘之得下式丨□□合以小勾除不受除便以
　此为大股(内𢃄小/勾分母)又倍天元以小勾乘之得□□以
　减于大股得□□□又倍之得下□□□为两个股
　圆差合以勾圆差乘之缘为其中已带小勾分母更
　不须乘便以此为黄方幂(更无/分母)寄左然后倍天元以

　自之得□□为同数与左相消得□□□上下俱半
　之(俱半之者/盖从简也)得□□□以平方开之得一百二十步
　倍之即半径也合问
或问乙出南门直行不知步数而止甲出北门东行二
　百步见之复就乙斜行四百二十五步与乙相会问
　答同前
　法曰倍两行差以乘二之甲东行为实从空四之甲
　东行于上倍两行差加上位为隅得半径

　草曰识别得二行差二百二十五步即半径为勾之
　股也立天元一以为半径便是小勾其二行差便是
　小股乃置甲东行步加天元得□□为大勾以小股
　乘之得下式□□又以小勾除之得□□为大股又
　倍天元以减之得□□□为股圆差又倍之得□□
　□为两个股圆差于上乃以天元减甲东行得□□
　为勾圆差以乘上位得下式□□○□为城径幂(寄/左)
　然后倍天元一以自之得□□为同数与左相消得

　□□□开平方得一百二十步倍之即城径也合问
　(按此系得数各升/一位然后开平方)
又法并二数以二数差乘之开方得底股复以甲东行
　二百步乘之为实并二数而半之以为法如法得二
　百四十步即城径也合问(此用股上容圆求之/比前法极为简易)
或问乙从乾隅南行不知步数而止甲出北门东行二
　百步望见之复就乙斜行六百八十步与乙相会问
　答同前

　法曰并二行以二行差乘之内减二行差幂为实并
　二行步及二行相减数(按即倍/乙斜行)为从二步常法得半
　径
　草曰识别得斜行六百八十步即大弦也其二行相
　减馀四百八十步即乙南行步内减半径也立天元
　一为半城径副置之上位加二行相减数得□□为
　大股也下位加甲东行步得□□为大勾也乃以大
　股自增乘得丨□□为大股幂(寄/左)乃并大勾大弦得

　□□于上又以大勾减大弦得□□为大差以乘上
　位得□□□为同数与左相消得□□□开平方得
　一百二十步倍之即城径也合问
又法求大差
　法曰二行差自乘为实置二之二行差于上乃以甲
　东行步减二行差又半之以减于上为益方(按三因/斜行步)
　(二因东行步相/减折半亦同)半步常法
　草曰立天元一为大差减于二行差得□□为半城

　径以自之得丨□□为半径幂(寄/左)乃以半城径减于
　甲东行得下式丨□为小差又以天元乘之得丨□
　又以半之得□□为同数与左相消得下式□□□
　以平方开之得三百六十步即大差也合问
或问乙出东门不知步数而立甲出北门东行二百步
　望乙与城参相直复就乙斜行一百三十六步与乙
　相会问答同前
　法曰甲东行步内减二之二行差(按倍斜行步内/减东行步亦同)馀

　以乘甲东行为实一步常法得半径
　草曰别得二行相减馀六十四步即半径为股之勾
　立天元一为半城径就以为股率其二行差即勾率
　也乃置甲东行步加天元得□□为大勾以天元股
　率乘之得丨□合以勾率除之不受便以此为大股
　(内𢃄勾/率分母)乃倍天元以勾率乘之得□以减大股得丨
　□为一个大差于上(内𢃄勾/率分母)乃以天元减甲东行得
　□□为小差以乘上位□□□为半段黄方幂(内寄/勾率)

　(为/母)寄左然后以天元自之又以勾率乘之又倍之得
　□□为同数与左相消得下式丨□□以平方开之
　得一百二十步倍之即城径也合问
或问乙出东门直行一十六步而止甲出北门东行二
　百步望见乙与城参相直问答同前
　法曰二行步相减馀以自乘内减乙东行幂为实二
　之甲东行为益从一步隅法得半径
　草曰立天元一以为半城径加乙行步并以减于甲

　行步得□□为平勾率其天元半径即平股率也乃
　置乙东行一十六步为小勾以股率乘之得□合以
　勾率除之今不受除便以此为小股(内带勾/率分母)又置乙
　东行加二天元得□□为大勾以股率乘之得□□
　合以勾率除之今不受除便以此为大股(内寄勾/率为母)以
　此小股大股相乘得□□□为半径幂(内寄勾率/幂为母)寄
　左然后以勾率幂乘天元幂得丨□□□为相同数
　相消得□□□□开平方得一百二十步倍之即城

　径也合问(按此系得数各降/二位然后开平方)
或问甲乙二人同出北门向东行至东北十字道口分
　路乙折南行一百五十步而立甲又向东行甲前后
　通行了二百步回望乙恰与城相直问答同前
　法曰以二行步相乘于上又以南行步乘之为实二
　行步相乘于上又以乙南行减于甲东行得数复以
　乙南行乘之加上位共为法得半径
　草曰立天元一为半城径副之上位加甲行步得□

　□为大勾也下位减于甲行步馀□□为小勾也其
　乙折南行即小股也置大勾以小股乘之得□□内
　寄小勾□□为母便以为大股也再置天元以母乘
　之得□□减于大股馀丨□□为半个矮梯底于上
　(内寄小/勾为母)再置乙折行步内减天元得□□为半个矮
　梯头以乘上位得□□□□为半径幂(寄/左)乃以小勾
　分母乘天元幂得下式□□□为同数与左相消得
　□□上法下实如法而一得一百二十步即城之半

　径也合问
又法　　法曰二行步相乘为实倍甲东行内减乙南
　行为法
　草曰立天元一为半圆径副之上位加甲东行得□
　□为大勾下位减甲东行得□□为小勾此小勾便
　是勾圆差也其乙南行即小股也置大勾以小股乘
　之得下式□□内寄小勾□□为母便以为大股也
　再置天元以二之又以分母乘之得□□为全径以

　减于大股馀得□□□为股圆差也合以勾圆差乘
　之缘内已有小勾分母故不须再乘便以此为两段
　之半径幂也更无分母(寄/左)再置天元以自之又二之
　得□□为同数与左相消得□□上法下实一百二
　十步即半城径也合问
或问见底勾二百步明弦一百五十三步问答同前
　法曰半底勾乘明弦为平实并二云数而半之为从
　五分常法得明勾

　草曰立天元一为明勾加明弦得□□为高股也又
　以天元减底勾而半之得下式□□为平勾也勾股
　相乘得□□□为半径幂(寄/左)然后以天元乘底勾得
　下式□为同数与左相消得□□□开平方得七十
　二步即明弦也以明弦乘底勾为平方实如法开之
　得一百二十步倍之即城径也合问
或问见底勾二百步□弦三十四步问答同前
　法曰底勾□弦相减馀倍之内减去底勾(按倍□弦/减底勾亦)

　(同/)复以底勾乘之于上又以□弦幂乘上位为三乘
　方实倍底勾以□弦幂乘之为从二云数相减馀以
　自之为第一廉二云数相减馀又倍之为第二益廉
　一步隅法得□股
　草曰立天元一为□股加□弦得□□为平勾以平
　勾减底勾馀□□为平弦以倍之得□□为黄长弦
　也此弦内却减底勾馀得下式□□为明勾也复以
　底勾乘之得□□于上又□弦自乘得一千一百五

　十六为分母以乘上位得□□为带分半径幂(寄/左)然
　后置黄长弦以天元乘之得□□合以□弦除之不
　除寄为母便以此为全径也以半之得□□为半径
　(内带□/弦分母)以自之得丨□□□为同数与左相消得丨
　□□□□开三乘方得三十步即□股也馀各依数
　求之合问
又法底勾内减二□弦复以底勾乘之复以□弦幂乘
　之为三乘方实馀廉从并与前同

　草曰识别得二数相减馀一百六十六为平勾虚弦
　共又为平弦□股共于此馀数内又去半径即□和
　也□和□弦相并即勾圆差也相减则□黄方也又
　倍□弦加□黄亦得勾圆差也底勾内减□股馀即
　小差弦也　立天元一为□股减于云数相减数得
　□□为平弦以平弦减底勾得□□即平勾以平勾
　减于云数相减数得□□即虚弦以天元又减虚弦
　得□□即明勾也乃置平弦以天元乘之得□□合

　□弦除不除寄为母便以此为平股也(即半/径)平股自
　之得丨□□□○为半径幂(内带□弦/幂分母)寄左然后置
　底勾以明勾乘之得□□又以□弦幂一千一百五
　十六通之得下式□□为同数与左相消得丨□□
　□□廉从一一如上
或问见底勾二百步平弦一百三十六步问答同前
　法曰倍平弦内减底勾复以底勾乘之开平方得半
　径

　草曰立天元为半径先倍平弦内减底勾馀□为明
　勾复以底勾乘之得□为半径幂(寄/左)然后以天元幂
　为同数与左相消得丨□□开平方得一百二十步
　又倍之即城径也合问
或问底勾二百步高弦二百五十五步问答同前
　法曰底勾幂乘高弦为立实底勾幂为从高弦为廉
　一为隅得半径
　草曰识别得高弦即皇极股也立天元一为半径副

　之上位加高弦得□□即底股也下位减于高弦得
　□□即明股也置明股以底勾乘之得□□合以底
　股除不除寄为母便以此为明勾又以底勾乘之得
　□□为半径幂(内带底/股分母)寄左然后以天元幂乘底股
　得丨□□与左相消得丨□□□开立方得一百二
　十步倍之即城径也合问
或问底勾二百步□勾□弦和五十步问答同前
　法曰以二云数相减馀加底勾复以减馀乘之半之

　于上以减馀自之减上位为实并云数半之为法得
　□股
　草曰别得二数相减馀为小差股立天元一为□股
　减于小差股得□□即半径也又以天元减半径得
　□□为虚股于上又以半径加底勾得□□为通勾
　于下上下相乘得□□□折半得丨□□为半径幂
　(寄/左)然后以半径自之得下式丨□□为同数与左相
　消得□□上法下实得三十步即□股也合问

或问见底勾二百步明股明弦和二百八十八步
　问答同前
　法曰二数相减又半之得数又减于底勾馀为泛率
　以泛率自之又倍之于上位又二数相减而半之以
　乘和步所得减于上倍为实倍泛率于上位又半底
　勾减和步加上位为法得明勾
　草曰别得和步得明勾为大差也大差得底勾为二
　中差　立天元一为明勾加和步得□□为股圆差

　也(即大/差)内又加底勾得□折半得□□即通勾通股
　差也(此即/中差)置大差减中差得下□□即小差也大小
　差相乘得□□□为半段圆径幂(寄/左)乃置底勾内减
　小差得□□为半径以自之得□□□倍之得下式
　□□□为同数与左相消得□□上法下实得七十
　二步即明勾也合问
　　按此条法草与三卷末以小差边股共为二中差
　　者同误依问另设于后

　法曰以底勾乘明股弦和幂为实倍底勾以明股和
　乘之加入明股弦和幂为从倍明股弦和内减底勾
　为廉一为隅开带纵立方得明勾
　草曰别得明弦得明勾为高股高勾即半径也底勾
　为平勾弦和明勾为平勾弦较平股即半径也立天
　元一为明勾自之得丨□应以明股弦和除之不除
　便以为明股弦较(内寄明股/弦和分母)明股弦和自之得□为
　股弦和以加股弦较得丨□□为倍明弦以分母乘

　倍天元得□为倍明勾与倍明弦相加得丨□□为
　倍高股置底勾减天元得□□为倍平勾与倍高股
　相乘得□□□□为城径幂(内寄明股/弦和分母)寄左又倍天
　元与倍底勾相乘得□以寄分母乘之得□为相同
　数与左相消得丨□□□开立方得明勾合问
　
　
　测圆海镜卷四