钦定四库全书
　测圆海镜卷三
　　　　　　　　　　　　　元　李冶　撰
　　边股一十七问
或问乙出东门南行不知步数而止甲出西门南行四
　百八十步望见乙复就乙行五百一十步与乙相会
　问答同前
　法曰倍相减步以乘二之甲南行步为平方实得城

　径
　草曰识别得二行相减馀三十步即乙出东门南行
　步也倍相减步得六十步以乘二之甲南行步九百
　六十步得五万七千六百步为平方实如法开之得
　二百四十步即城径也合问
或问甲出西门南行四百八十步而止乙从艮隅东行
　八十步望见甲问答同前
　法曰倍南行步以东行步乘之为实东行步为从方

　一步常法得全径
　草曰立天元一为全径以减于二之甲南行步得□
　□为两个大差也以乙东行步乘之得□□为圆径
　幂(寄/左)然后以天元幂与左相消得丨□□以带纵平
　方开之得二百四十步即城径也合问
又法半之乙东行步乘南行步为实半之乙东行步为
　从一步常法得半径
　草曰立天元一为半城径减甲南行步得□□为大

　差也以半之东行步乘之得□□即半径幂(寄/左)然后
　以天元幂为同数与左相消得丨□□开带纵平方
　得一百二十步倍之即城径也合问
或问甲出西门南行四百八十步而止乙从艮隅亦南
　行一百五十步望见甲问答同前
　法曰两行步相乘为实南行步为从方一为隅得半
　径
　草曰立天元一为半城径以减乙南行步得□□为

　半梯头以甲行步为梯底以乘之得□□为半径幂
　(寄/左)然后以天元幂与左相消得丨□□开带纵平方
　得一百二十步倍之即城径也合问
或问甲出西门南行四百八十步乙出东门直行一十
　六步望见甲问答同前
　法曰以四之东行步乘南行幂为实从空东行为廉
　一步为隅法得全径
　草曰立天元一为圆径加乙东行步得□□为中勾

　其甲南行即中股也置东行步为小勾以中股乘之
　得□合以中勾除今不受除便以为小股也(内寄中/勾分母)
　乃复以中股乘之得三百六十八万六千四百又四
　之得一千四百七十四万五千六百为一段圆径幂
　(寄中勾分/母寄左)然后以天元径自之又以中勾乘之得
　□□为同数与左相消得丨□□□以𢃄纵立方开
　之得二百四十步为城径也合问
　　按不受除者无可除之理也凡二数此数于彼数

　　有可除之理则受除无可除之理则不受除也盖
　　除有法有实实可二法不可二此题以中勾为法
　　而中勾内有一元又有十六步其为数已二矣又
　　何以均分不一之数乎故曰不受也寄分者姑寄
　　其应除之数也俟求得两相等数而此数内尚少
　　一除不除此而转乘彼则两数仍相等犹之受除
　　者也此所谓以乘代除也
或问乙出南门东行七十二步而止甲出西门南行四

　百八十步望乙与城参相直问答同前
　法曰以乙东行幂乘甲南行为实乙东行幂为从方
　甲南行步内减二之东行步为益廉一步常法得半
　径
　草曰立天元一为半城径以减南行步得□□为小
　股又以天元加乙东行步得□□为小勾又以天元
　加南行步得□□为大股乃置大股在地以小勾乘
　之得下式丨□□合以小股除之今不受除便以为

　大勾(内寄小/股分母)又置天元半径以分母小股乘之得□
　□以减大勾得□□□为半个梯底于上以乙东行
　七十二步为半个梯头以乘上位得□□□为半径
　幂(内寄小/股分母)寄左然后置天元幂又以分母小股乘之
　得□□□为同数与左相消得□□□□以立方开
　之得一百二十步倍之即城径也合问
又法曰以二数相乘为实相减为从一虚法平开得半
　径

　草曰别得二数相并为大股内少一虚勾其二数相
　减为大差弦也立天元一为半径副置之上位减于
　四百八十得□□为股圆差(即大差/股也)下位加七十二
　得□□与股圆差相乘得下式□□□为一大差积
　(寄/左)再以大差勾减于大差股馀□□为较又加入大
　差弦四百单八共得□□为弦较共也以天元乘之
　得□□为同数与左相消得□□□以平方开之得
　一百二十步即半径合问　前法太烦故又立此法

　以就简也
或问乙出南门东行不知步数而立甲出西门南行四
　百八十步望见乙与城参相直又就乙行四百零八
　步与乙相会问答同前
　法曰二行步相减以乘甲南行步为实甲东行步内
　减相减步为益方一步常法得半径
　草曰识别得二行相减馀七十二步即是乙出南门
　东行数也更不须用弦遂立天元一为半城径加乙

　东行得□□为小勾也副置南行步上减天乙得□
　□为小股下加天元得□□为大股乃置大股以小
　勾乘之得下式丨□□合以小股除之今不受除便
　以此为大勾也(内带小/股分母)又倍天元以小股乘之得下
　式□□以减于大勾得□□□为勾圆差也合以股
　圆差乘之缘此勾圆差内已带小股分母(小股即股/圆差也)
　更不须乘便以此为半段黄方幂(更无分/母也)寄左乃以
　天元自之又倍之得□□为同数与左相消得□□

　□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问
或问乙出东门直行不知步数而止甲出西门南行四
　百八十步望见乙复就乙斜行五百四十四步与乙
　相会问答同前
　法曰半南行步减半斜行步以乘南行步为实从方
　空半斜行半南行相减得数加入南行步为隅法得
　半径
　草曰识别得二行相减馀六十四步即半径为股之

　勾也立天元为半径就以为小股其二行相减馀六
　十四步即小勾也乃置甲南行步加天元得下式□
　□为大股以小勾乘之得□□又以小股除之得□
　□为大勾又倍天元一减之得下式□□□为勾圆
　差也半之得□□□于上乃以天元减甲南行步得
　□□为股圆差以乘上位得丨□○□为半径幂(寄/左)
　然后以天元幂与左相消得下式□□□以平方开
　之得一百二十步倍之即城径也合问

　　按此问以小股为除法盖因小股只一天元其数
　　不二犹有可除之理也然得数降于实数之下者
　　皆不可以命名至开方时仍须各升一位以计之
　　是两边各加一乘犹是寄分之理也
又法以二数差乘二数并开方得边勾复以边股乘之
　为实并二数而半之为法实如法得二百四十步即
　城径(此盖用前勾/上容圆法也)
或问乙从乾地东行不知几步而止甲出西门南行四

　百八十步望见乙复就乙斜行六百八十步与乙相
　会问答同前
　法曰并二行数以二行差乘之内减二行差幂为实
　并二行步及二行差为从方二步常法得半径
　草曰识别得二行相减馀二百步即半圆径与小差
　勾之共数也立天元一为半城径加于二百步得□
　□为大勾也又以天元加于甲南行步四百八十得
　□□即大股也乃以大勾自之得丨□□为勾幂(寄/左)

　乃置乙斜行六百八十步为大弦加入大股共得□
　□于上再置二行差内减天元得□□为小差勾即
　股弦较以乘上位得□□□为同数与左相消得□
　□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合
　问
又法求小差二行相减以自之又四之为实二行相减
　八之于上二之南行步内减二之二行相减数又以
　加上位为益方二步常法

　草曰立天元一为小差减二行差得□□为半城径
　以自之得丨□□又四之得□□□为圆径幂(寄/左)然
　后以半城径减于甲南行得□□又倍之得□□为
　两个大差也又以天元乘之得□□○为同数与左
　相消得下式□□□以平方开之得八十步为小差
　也
或问乙出南门南行不知步数而立甲出西门南行四
　百八十步望乙与城参相直复就乙斜行二百五十

　五步与乙相会问答同前
　法曰甲南行内减二之两行差馀以乘甲南行又倍
　之为实二步为隅得半径
　草曰别得二行步相减馀二百二十五步乃是半径
　为勾之股也立天元一为半城径就以为小勾率其
　二行差二百二十五步即为小股率乃置甲南行步
　加入天元得□□为大股以天元小勾乘之得丨□
　合以小股除今不受除(按此所谓不受除乃其数奇/零不能尽非无可除之理也)

　(与前辞同/而意异)便以此为大勾(内寄小/股分母)乃倍天元以小股
　乘之得□以减大勾馀丨□为一个小差于上(内寄/小股)
　(分/母)乃以天元减甲南行步得□□为大差也以乘上
　位得□□□又倍之得□□□为圆径幂(内寄小/股分母)寄
　左然后倍天元以自之又以小股乘之得□□为同
　数与左相消得□○□以平方开之得一百二十步
　倍之即城径也合问
　　按此题止用股弦求勾法即得城半径其必展转

　　数次而后始得者益见其为发明立天元一之术
　　使人易晓也后多有仿此者
或问乙出南门直行一百三十五步而止甲出西门南
　行四百八十步望乙与城参相直问答同前
　法曰二行步相减馀以自乘内减乙行幂为实二之
　甲南行为益从一步常法得半径
　草曰立天元一以为半径便以为勾率又以天元加
　乙行步并以减于甲行步得□□为股率乃置乙南

　行步一百三十五步为小股以勾率乘之得□合以
　股率除之今不受除乃便以此为小勾(内寄股/率分母)又置
　乙南行步加二天元得□□为大股以勾率乘之得
　□□合以股率除之今不受除便以此为大勾(内寄/股率)
　(分/母)以小勾大勾相乘得□□□为半径幂(内带股率/幂为分母)
　寄左然后置天元以自乘又以股率幂乘之得丨□
　□□为同数与左相消得□□□以平方开之得一
　百二十步倍之即城径也合问

　　按此草得数为九百六十立方少一三乘方与十
　　万零八百平方等皆虚数也各降二位即如各以
　　平方除之乃为九百六十元少一平方与十万零
　　八百步等两数等所降之位又等则两数仍相等
　　而实积步数乃出矣故可以带纵平方开之也此
　　系降位而得实数者与前升位而得实数者其理
　　互相发明草中不言盖以为不待于言也
或问甲乙二人同出西门向南行至西南十字道口

　分路乙折东行一百九十二步而立甲又南行甲通
　行四百八十步望乙与城参相直问答同前
　法曰两行相乘得数又以乙东行乘之为实二行相
　乘于上位又置乙东行以二行相减数乘之得数加
　上位为法
　草曰立天元一为半城径副置上位加南行步得□
　□为大股也下位减于甲行步得□□为小股也其
　乙东行即小勾也置大股以小勾乘之得□□内寄

　小股□□为母便以为大勾也置天元以母通之得
　□□减于大勾得丨□□为半个矮梯底于上再置
　乙东行内减天元得下式□□为半个矮梯头以乘
　上位得下式□□□□为半径幂寄左再置天元以
　自之为幂又以分母乘之得□□□为如积与左相
　消得□□上法下实得一百二十步即城之半径也
　合问
　　按草中相消法皆得两边数此独得一边二数盖

　　此条共数比彼条共数少一数又多一数为相等
　　则多少二数其必为相等无疑矣多少数多者亦
　　仿此此又相消法中之一变也
又法二行步相乘为实倍甲南行内减乙东行为法
　草曰立天元一为半城径副置上位加甲南行得□
　□为大股下位减甲行步得□□为小股便是股圆
　差也其乙东行即小勾也置大股以小勾乘之得□
　□内寄小股□□为母便以为大勾也再置天元以

　二之又以分母乘之得□□为全径以减于大勾馀
　□□□为勾圆差也合以股圆差乘之缘内已有小
　股分母不须乘便以此为两段之半径幂也更无分
　母(寄/左)然后置天元幂以二之得□□为如积以左相
　消得□□上法下实得一百二十步即半城径也合
　问
或问见边股四百八十步□弦三十四步问答同前(此/题)
　(在甲乙二人同出西门南行至十字道乙折东行一/百九十二步而立甲又南行甲通行四百八十步望)

　(见乙与城参/相直之后)
　法曰□弦乘边股半之为实半□弦半边股相并为
　从半步隅法平方得□股
　草曰立天元一为□股加□弦得□□为平勾也又
　以天元减边股而半之得□□为高股也平勾高股
　相乘得□□□为半径幂(寄/左)然后以天元乘边股得
　□为同数与左相消得下式□□□开平方得□股
　三十步以乘边股开平方倍之即圆城径也合问

　　按此问原稿在三卷末
或问见边股四百八十明弦一百五十三问答同前
　法曰二云数相减复倍之内减边股复以边股乘之
　于上又以明弦幂乘上位为实以边股乘明弦幂又
　二之为从二云数相减馀以自之为第一廉二云数
　相减又倍之为第二益廉一常法开三乘方得明勾
　草曰立天元一为明勾加明弦得□□为高股也以
　高股减边股馀□□为高弦以倍之得□□为黄广

　弦也内减边股得□□为□股复以边股乘之得□
　□于上又以明弦自乘得二万三千四百零九为分
　母以乘上位得□□为𢃄分半径幂(寄/左)然后置黄广
　弦以天元乘之得□□复合以明弦除之不除寄为
　母便以此为全径又半之得□□为半径以自之得
　□□□为同数与左相消得下式丨□□□□开三
　乘方得七十二步即明勾也馀各依法求之合问
又法边股内减二明弦以边股乘之复以明弦幂乘之

　为三乘方实廉从并同前
　草曰识别得二数相减馀为高股虚弦共又为高弦
　明勾共此馀数内又去半径即明和也明和明弦相
　并即股圆差相减则明黄方也又倍明弦加明黄亦
　得股圆差也边股内减明勾馀即大差弦也立天元
　一为明勾减于云数相减数得□□即高弦也以高
　弦减边股得□□即高股也以高股减于云数相减
　数得□□即虚弦也以天元又减虚弦得□□即□

　股也乃置高弦以天元乘之得□□合明弦除之不
　受除便以此为高勾也(即半/径)高勾自之得丨□□□
　为半径幂(内带明弦/幂分母)寄左然后置边股以□股乘之
　得□□为半径幂又以明弦幂二万三千四百零九
　分母通之得□□为同数与左相消得实从廉隅五
　层如前式
或问边股四百八十步高弦二百五十五步问答同前
　法曰以边股减于二之高弦复以边股乘之开平方

　得半径
　草曰立天元一为半径先倍高弦内减边股馀□复
　以边股乘之得□□寄左以天元幂与左相消得丨
　□□开平方得数倍之即城径也合问
或问边股四百八十步平弦一百三十六步答问同前
　法曰置平弦以边股再乘之为实以边股自之为益
　从平弦为益廉一虚隅开立方得半径
　草曰别得平弦即皇极勾也立天元一为半径副之

　上位加平弦得□□即边勾也下位减于平弦得□
　□即□勾也置□勾以边股乘之得□□合边勾除
　今不受除寄为母便以此为□股乃以此边股乘之
　得□□为半径幂(内𢃄边/勾分母)寄左然后以天元为幂以
　分母边勾乘之得丨□□为同数与左相消得丨□
　□□开立方得一百二十步倍之即城径也合问
或问边股四百八十步明股明弦和二百八十八步问
　答同前

　法曰以云之云数相减馀加边股复以减馀乘之讫
　又折半于上又以减馀自之减上位为实并云数半
　之为法得明勾
　草曰别得二数相减馀为大差勾立天元一为明勾
　减于大差勾得□□即半径也又以天元减半径得
　□□为虚勾于上又以半径加边股得□□为通股
　于下上下相乘得□□□折半得丨□□为半径幂
　(寄/左)然后以半径幂丨□□为同数与左相消得□□

　上法下实得七十二步即明勾也合问
或问见边股四百八十步□勾□弦和五十步问答同
　前
　法曰半边股半和步相并得为泛率以汎半减边股
　以自之又二之于上以和步乘泛率减上位为实以
　汎率减边股六之于上内又加半个边股三个和步
　为益从三步常法得□股
　草曰别得和步得□股即小差也小差边股共即二

　中差(按此/句误)立天元一为□股加和步得□□即小差
　也以小差加边股而半之得□□即中差也中小差
　相并得□□即大差也以小差乘之得□□□为半
　段径幂(寄/左)然后置边股内减大差得□□为半径以
　自之得□□□又倍之得下式□□□与左相消得
　下式□□□开平方得三十步即□股也合问
　　按草云以小差边股共即二中差有误盖中差即
　　勾股较小差即股弦较边股即勾弦较与容圆半

　　径和若设勾二十股二十一弦二十九则勾弦较
　　九容圆半径六并之得十五为边股股弦较八为
　　小差小差边股共得二十三勾股较一为中差倍
　　之仅得二则相差二十一矣是知细草乃因题数
　　之偶合而误非正法也今依其术另设法草于后
　　以补其阙
　法曰以□勾弦和自之边股再乘为实倍边股加□
　勾弦和再以□勾弦和乘之为从又倍□勾弦和减

　边股馀为益廉一为隅𢃄纵立方开之得□股
　草曰别得边股即高股弦和□股即高股弦差□股
　弦和即平勾也立天天一为□股自之得丨□应以
　□勾弦和除之不除便以为□勾弦较(内寄□勾/弦和分母)转
　以□勾弦和自之得□为□勾弦和加□勾弦较得
　丨○□为倍□弦又以□勾弦和分母乘倍□股得
　□为倍□股与倍□弦相加得丨□□为倍□股弦
　和即倍平勾又于边股内减□股得□□为倍高股

　倍高股倍平勾相乘得□□□□为圆径幂寄左又
　以边股□股相乘得□为半径幂四因之得□为圆
　径幂又以□勾弦和分母乘之得□为同数与左相
　消得丨□□□开带纵立方得□股三十步合问
　
　
　
　测圆海镜卷三