钦定四库全书
　测圆海镜卷二
　　　　　　　　　　　　　元　李冶　撰
　　正率一十四问
假令有圆城一所不知周径四面开门门外纵横各有
　十字大道其西北十字道头定为乾地其东北十字
　道头定为艮地其东南十字道头定为巽地其西南
　十字道头定为坤地所有测望杂法一一设问如后

或问甲乙二人俱在乾地乙东行三百二十步而立甲
　南行六百步望见乙问径几里
　　答曰城径二百四十步
　法曰此为勾股容圆也以勾股相乘倍之为实并勾
　股幂以求弦复加入勾股共以为法
　草曰置甲南行六百步在地以乙东行三百二十步
　乘之得一十九万二千步倍之得三十八万四千步
　为实以乙东行步自之得一十万零二千四百步为

　勾幂以甲南行步自之得三十六万步为股幂二幂
　相并得四十六万二千四百步为弦方实以平方开
　之得六百八十步则弦也以弦加勾股共共得一千
　六百步以为法如法而一得二百四十步则城径也
　合问
或问甲乙二人俱在西门乙东行二百五十六步甲南
　行四百八十步望见乙问答同前
　法曰此为勾上容圆也以勾股相乘倍之为实并勾

　股幂以求弦加入股以为法
　草曰置甲南行四百八十步在地以乙东行二百五
　十六步乘之得一十二万二千八百八十步倍之得
　二十四万五千七百六十步为实以乙东行步自之
　得六万五千五百三十六步为勾幂以甲南行步自
　之得二十三万零四百步为股幂勾股幂相并得二
　十九万五千九百三十六步为弦方实以平方开之
　得五百四十四步为弦也以加入南行步共得一千

　零二十四步以为法而一得二百四十步则城径合
　问
或问甲乙二人俱在北门乙东行二百步而止甲南行
　三百七十五步望见乙问答同前
　法曰此为股上容圆也以勾股相乘倍之为实以勾
　股幂求弦加入勾以为法
　草曰置甲南行三百七十五步以乙东行二百步乘
　之得七万五千步倍之得一十五万步为实以乙东

　行自之得四万步为勾幂以甲南行自之得一十四
　万零六百二十五步为股幂勾股幂相并得一十八
　万零六百二十五步为弦方实如平方而一得四百
　二十五步则弦也加入乙东行二百步共得六百二
　十五步以为法以法除之得二百四十步则城径也
　合问
或问甲乙二人俱在圆城中心而立乙穿城向东行一
　百三十六步而止甲穿城南行二百五十五步望见

　乙问答同前
　法曰此为勾股上容圆也以勾股相乘倍之为实并
　勾股幂如法求弦以为法
　草曰以二行步相乘得三万四千六百八十步倍之
　得六万九千三百六十步为实置乙东行自之得一
　万八千四百九十六步为勾幂又以甲南行自之得
　六万五千零二十五步为股幂二幂相并得八万三
　千五百二十一步为弦方实以平方开之得二百八

　十九步即弦也便以为法如法除实得二百四十步
　即圆城之径也合问
或问甲乙二人同立于乾地乙东行一百八十步遇塔
　而止甲南行三百六十步回望其塔正居城径之半
　问答同前
　法曰此为弦上容圆也以勾股相乘倍之为实以勾
　股和为法
　草曰以二行步相乘得六万四千八百步倍之得一

　十二万九千六百步为实并二行步得五百四十步
　以为法除实得二百四十步即城径也合问
或问甲乙二人俱在坤地乙东行一百九十二步而止
　甲南行三百六十步望乙与城参相直问答同前
　法曰此为勾外容圆也以勾股相乘倍之为实以弦
　较和为法
　草曰以二行步相乘得六万九千一百二十步倍之
　得一十三万八千二百四十步为实置乙东行自之

　得三万六千八百六十四步为勾幂又置甲南行自
　之得一十二万九千六百步为股幂二幂相并得一
　十六万六千四百六十四步为弦方实以平方开之
　得四百零八即弦也又置甲南行步内减乙东行步
　馀一百六十八步即较也以较加弦共得五百七十
　六步以为法实如法而一得二百四十步为城径也
　合问
　　按此题用勾股求得弦即可加减得弦较较为城

　　径今必以勾股相乘倍积为实求得弦加减得弦
　　较和为法而后始得弦较较为城径者盖欲因此
　　并明勾股相乘之倍积为弦较较弦较和相乘之
　　积非故为纡回也
或问甲乙二人同立于艮地甲南行一百五十步而止
　乙东行八十步望乙与城参相直问答同前
　法曰此为股外容圆也以勾股相乘倍之为实以弦
　较较为法

　草曰二行步相乘得一万二千倍之得二万四千步
　为实以甲南行自之得二万二千五百步为股幂又
　以乙东行步自之得六千四百步为勾幂勾股幂相
　并得二万八千九百步为弦方实以平方开之得一
　百七十步即弦也以二行步相减馀七十步为勾股
　较也以此较又减弦馀一百步即弦较较也便以为
　法实如法而一得二百四十步即城径也合问
　　按此题系弦较和为城径其用法实以较取和之

　　意与上题同
或问甲乙二人同立于巽地乙西行四十八步而止甲
　北行九十步望乙与城参相直问答同前
　法曰此为弦外容圆也勾股相乘倍之为实以弦和
　较为法
　草曰以二行步相乘得四千三百二十步倍之得八
　千六百四十步为实以甲北行自之得八千一百步
　为股幂又以乙西行自之得二千三百零四步为勾

　幂并二幂得一万零四百零四步为弦方实以平方
　开之得一百零二步为弦也又并二行步得一百三
　十八步为和以弦减和馀三十六步得黄方以为法
　实如法而一得二百四十步即城径也合问
　　按此题弦和和即城径其以勾股相乘倍积为实
　　黄方为法者亦以明弦和和黄方相乘之积与勾
　　股相乘之倍积为相等也
或问甲乙二人俱在南门乙东行七十二步而止甲南

　行一百三十五步望乙与城参相直问答同前
　法曰此为勾外容圆半也以勾股相乘倍之为实以
　大差为法
　草曰以二行步相乘得九千七百二十步倍之得一
　万九千四百四十步为实又以乙东行自之得五千
　一百八十四步为勾幂又以南行自之得一万八千
　二百二十五步为股幂二幂相并得二万三千四百
　零九步为弦方实以平方开之得一百五十三步即

　弦也以乙东行七十二步为勾以减弦馀八十一步
　即勾弦差也便以为法实如法而一得二百四十步
　即城径也合问
或问甲乙二人俱在东门甲南行三十步而止乙东行
　一十六步回望甲与城参相直问答同前
　法曰此为股外容圆半也以勾股相乘倍之为实以
　小差为法
　草曰以二行步相乘得四百八十步倍之得九百六

　十步为实又以乙东行自之得二百五十六步为勾
　幂又以甲南行自之得九百步为股幂二幂相并得
　一千一百五十六步为弦方实以平方开之得三十
　四步即弦也以甲南行三十步为股以减弦馀四步
　以为法以法除实得二百四十步即城径也合问
或问甲出西门南行四百八十步而止乙出东门南行
　三十步望见甲问答同前
　法曰此为半矮梯也以二行步相乘为实如平方而

　一得半径
　草曰以二行步相乘得一万四千四百步为实以平
　方开之得一百二十步倍之即城径也合问
又问甲乙二人乙出南门折而东行七十二步而止甲
　出北门折而东行二百望见乙问答同前
　法曰以二行步相乘得数四之为实如平方而一得
　城径
　草曰二行步相乘得一万四千四百步又四之得五

　万七千六百步为实以平方开之得二百四十步即
　城径也合问
又假令乙出南门折东行二十步甲出北门折东行七
　百二十步如此之类亦同上法(以上三问是以/半矮梯求之)
　　按右三题通为一问
或问甲乙二人乙在艮地东行八十步而立甲在坤地
　南行三百六十步望见乙问答同前
　法曰此为两差求黄方也以二行步相乘倍之为实

　以平方开得城径
　草曰二行步相乘得二万八千八百步倍之得五万
　七千六百步为实以平方开之得二百四十步即城
　径也合问　别得甲南行即股圆差也乙东行即勾
　圆差也
或问甲出东门四十八步而立乙出南门四十八步见
　之问答同前
　法曰此当以方五斜七求之每出门二步管径十步

　草曰置出门步在地以五之得二百四十步即城径
　也据此法合置出门步在地以十之二而一以二数
　相折故五因便是合问
　　按方五斜七古率非密率也设问以尽此题之变
　　故率之疏密勿论
或问出西门南行四百八十步有树出北门东行二百
　步见之问答同前
　法曰以二行步相乘为实二行步相并为从二步常

　法得半径
　草曰立天元一为半径置南行步在地内减天元半
　径得□□为股圆差(按斜画者少之记也□□是为/四百八十步少一元也下仿此)
　又置乙东行步在地内减天元得下式□□为勾圆
　差以勾圆差乘股圆差得丨□□(按丨□□为一平/方少六百八十元)
　(多九万/六千步)为半段黄方幂即城幂之半也(寄/左)又置天元
　幂以倍之得□□亦为半段黄方幂与左相消得丨
　□□如带纵法之得半径合问(按相消者取上两相/等之数同加减相等)

　(之数使一为步数一为方元数仍相等也如寄数内/减一平方加六百八十元则得九万六千步又数内)
　(亦减一平方加六百八十元则得一平方六百八十/元是为一平方六百八十元与九万六千步等故其)
　(式为丨□□旧稿方元数皆作斜画以别之然/遇方元数有多少异号者殊混人目今不用)
又法识别得二行并即大弦也立天元一为半径置甲
　南行步加天元一得□□为大股又置乙东行步加
　天元得□□为大勾也勾股相乘得丨□□为一个
　大直积以天元除之得下式□□□为三事和(寄左/黄方)
　(除倍积得三事和今以半黄/方除直积亦为三事和也)然后并二行步又并入

　勾股共得□□为同数与左相消得□□□以带纵
　平方开之得一百二十步倍之得全径也合问
　　按是书皆先法后草草者以立天元一推衍而得
　　其方元积数者也法者又取推衍中之支节条目
　　融会而归于简约者也草者法之本法者草之用
　　法使人易于推步而草则存其义以俟知者二者
　　相须不可偏废顾应祥仅演其开方乘除之数而
　　去其细草盖亦不得其理矣

　　按元时未有笔算故加减乘除之式不能详载观
　　者遂以为无下手处今借根方法既明视此则涣
　　如冰释矣
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　测圆海镜卷二