钦定四库全书
　历算全书卷五十九
　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰
　少广拾遗
开方求廉率作法本原图
　自开平方至开八乘方
　古图附说

图最上书一者本数也本数者即大方也大方无隅无
乘除之可言而数从此起也次并列(一/一)者方边也西法
谓之根数即一十一也左一即本数因有次商而进位
成一十为初商之根右单一为次商之根既有根数即
有平幂故第三层　者幂积也西法谓之面即一百二
十一也左一百为初商自乘之幂即大方积也右单一
为次商自乘之幂即隅积也小平方也中二十则两廉
积也并长方也

　　　　　　　　　　　　如图大小两方幂以
　　　　　　　　　　　　一角相联必得两廉
　　　　　　　　　　　　以辅之而其方始全
　　　　　　　　　　　　故平方廉积二也
第四层　者立方积也西法谓之体积即一千三百三十
一也左一千初商再乘之积大立方也右单一为次商
再乘之积隅积也小立方也中三百三十皆廉积也三
百为三平廉积扁立方也三十为三长廉积长立方也

　
　
　
　
　
　
　
　

如图析观之则初商大立方体与次商隅积小立方体
相连于一角必得三平廉之扁立方体补于大立方之三
面又有三长廉之长立方体补于小立方之三面及三
平廉之隙而方体始全故立方之廉积有二等而其数
各三也
第五层　者三乘方也即一万四千六百四十一也左
一万者大三乘方也初商方积也右单一者小三乘方
也次商隅积也大方积既以三乘之故而积升至万小

隅虽三乘仍单一也其相隔已三位故必有第一廉(旧/名)
(方/法)为千数第二廉(旧名/上廉)为百数第三廉(旧名/下廉)为十数以
补之其数始足其理亦如平方立方也三乘方以上不
可为图诸书有强为之图者非也然其理则有可言者
焉以其相生之序言之则皆加一算法也初商次商如
十与一而其幂则如百与一故于(一/一)之下各加(一/一)即成
　如十一之自乘也此平方率也又以十一乘之成
即立方率也又以一十乘之成　即三乘方率四乘以

上准此加之皆加一法也曰若是则诸乘方皆以十一
递乘而得非十一者何以处之曰根非十一而其理皆
如十与一何则凡增一乘积升一等而亦增一廉廉与
廉之积亦皆如十与一也
　幂(音觅周礼幂人掌共巾幂说文覆也开平方四边/俱等中函纵横之积亦如覆物之巾有经纬缕文)
　(故谓之幂/亦谓之面)幂(同上省文也见张参五经/文字算书或小写作□)

　
　
　
　
　
　
　
　

廉率立成附说
凡开方一位除尽者无廉隅也廉隅皆生于次商次商
之根必小于初商一等而其小隅之体𫝑必与初商之
大方同状(如再乘之隅即小立方三/乘方之隅即小三乘方)此可借初商表而
降等求之不必更立隅法也廉法则不然每增一乘则
廉增一等(如平方但有廉立方则有平廉长廉三乘方/则有三种廉四乘方则有四种廉其廉之等)
(并与其乘/数同增)而廉亦加多(如平方只二廉立方则平廉长/廉各三三乘方则三种廉共有)
(十四乘以上则更/增而多如图所列)此廉率所由立也

问廉既有等(如平方廉为十立方/廉为十为百之类)而今廉率只作单数
用何也曰此廉之数也非廉之积也廉积有等则既于
其次序分之矣挨次乘之其等自见(如第一廉必小于/初商大方一等第)
(二廉又小一等其最末之廉必/大于小隅一等各乘方皆如是)若同一等中应各有若
干廉必先知之而后可用故立成中所列皆单数
问古图以右为隅法其序自左而右今廉率之序自右
而左何也曰既皆作单数用则左右一也今依笔算自
右而左便于取用故也(廉法相生之序左右同数如立/方平廉三长廉亦三也三乘方)

(第一廉四第三廉亦四也其近大方有若干廉则其近/小隅亦有若干廉故左右并同可以左为初商大方右)
(为小隅亦可以右为大方而左/为小隅此亦见古图之妙也)
问旧有方法廉法之目今槩曰廉法何也曰开方法有
方有廉有隅其初商自乘即方也次商自乘即隅也方
与隅之间次商初商相乘而得者皆廉也旧以立方之
平廉有似扁方故名之方法而三乘方因之遂又有上
廉下廉之目故不如一切去之但以一二三四为序较
画一耳

问平方之廉皆平幂也立方之平廉长廉皆体积也不
知三乘方以上之廉积亦能与方隅并状乎曰凡诸乘
方之廉积无不与方隅之乘数等也试以三乘方言之
其第一廉有四皆初商之再乘积而又以次商根乘之
是三乘也其第二廉有六皆初商自乘之平幂也而又
以次商之平幂乘之第三廉有四皆初商之根数而又
以次商之立积乘之皆三乘也又以四乘方言之其第
一廉有五皆初商三乘积也又乘次商根是四乘也其

第二廉有十皆初商再乘积也又以乘次商幂亦四乘
也其第三廉亦十皆初商幂积也又以乘次商再乘积
其第四廉有五皆初商根也又以乘次商之三乘积皆
四乘也五乘方以上俱如是观后算例自明

　
　
　
　
　
　
　
　

　
　
　诸乘方根同而积不同本易知也惟根之一者积同
　为一似乎无别矣然有幂积之一有体积之一有三
　乘以上诸乘方之一虽曰积同为一其实不同也今
　以方根之为单一为一十为一百者为例如右

　
　
　
　
　
　
　
　

　
　因有续商故方根以十数见例方积以尾○定位无
　次商者去尾○用之则方根只为单数

　
　
　
　
　
　
　
　多(如第一廉用初商立积二廉则初商/幂递减以至三廉则初商只用根)近小隅者次

　商乘之遍数多(如第一廉只用次商根第二廉则次/商亦用幂三廉则递加而用次商立)
　(积/)各乘方皆如是

开诸乘方大法
诸乘方法惟平方为用最多因有专法今自平方立方
推之三乘以上至于多乘而通为一法是为大法(诸乘/方大)
(法可以开平方而平方/专法不可以开诸乘方)
总法　凡诸乘方皆先列实　次作点分段　次查表
以定初商　次求廉隅以定续商
列实之法　依勿庵笔算作平行两直线以设积纪于
右直线之右皆自上而下至单数止无单数者作○存

其位
作点分段之法　皆于原积末位单数作一点起(凡减/隅积)
(必至单位故分段之法以此为/宗同文算指但言起末位殊混)依各乘方宜以若干位
为一段即隔若干位点之(或作实点丶或作虚点□俱可/然虚点尤便以减商积时有借)
(上位之点/免凌杂也)如平方以每两位为一段则隔一位点之立
方以三位为一段则隔两位点之乃至十二乘方以十
三位为一段则隔十二位点之并同一法
谨案作点分段其用有二一以定开方有若干次也如

有一点则只开一次有两点则开二次三点则开三次
之类一以定开方所得为何等数也如只有一点则初
商即单数二点则初商是十数三点则初商是百数之
类是故初商减积必至于最上点而止也次商减积必
至于次点而止也每开一次必减积一次而所减之数
必各尽于其作点之位亦可以验开方之无误也又最上
点以上初商实也次点以上次商实也每商皆以点位
截实此法于初商尤为扼要

又案开方分段古人旧法之精钱塘吴信民九章比类
山阴周述学历宗算会悉著其说而同文算指西镜录
本其意以作点定之施于笔算为极善也(鼎于三十年/前见同文算)
(指作点之法惊叹其奇后读诸书/始知其有所祖述非西人创也)
初商之法　皆以最上一点截原积若干位为初商实
　乃查初商表视本乘方下数有与实相同或较小于
实者录之纪于左线之左(皆以表数末位对右线/上原实最上点纪之)是为
初商应减之积　即于本表旁行查方根纪于左线之

右(皆对所纪表数首/位进一位纪之)是为初商数
以初商应减之积(左行/所纪)与初商实(右行最上点/所截原实)对位相
减(皆以左减右须依笔算从小数减起如左行减数大/右行实数反小而不及减则作点于上一位借十数)
(减/之)减不尽者为馀实以待续商
凡原实有二点则初商为十数而有次商有三点初商
为百数而有次商及三商以上仿论如实只一点则初
商即是单数无续商
次商之法　皆以第二点截馀实为次商实

凡初商皆为方积次商以后则有廉积隅积
先求廉率　查廉率立成本乘方廉率有若干等等有
若干数平列之为若干行谓之定率(如平方只一种廉/其定率二立方有)
(二种廉曰平廉曰长廉其定率并三若三乘方则有三/种廉曰一廉曰二廉曰三廉其定率曰四四六曰四详)
(后/式)每增一乘即廉增一等而定率增一行(有廉之等有/廉之数如平)
(方有二廉立方有三平廉三长廉此廉之数也平方之/两廉同积共为一等立方之三平廉同积为一等三长)
(廉同积为一等共为二等此/廉之等也廉率中兼此二义)
求廉汎积　以各廉定率乘初商应有各数各依本乘

方减小一等用之廉多者又递减挨次乘之至根数止
是为汎积(有初商数即各带有自乘幂积二乘立积乃/至三乘以上各积是为应有各数也今求汎)
(积当依本乘方减小一等用之如平方只用根数立方/用初商幂积乃至十二乘方用初商十一乘此为减小)
(一等也至第二廉则立方用初商根三乘方用初商再/乘乃至十二乘方用初商十乘此为廉多者二廉以上)
(又递减挨次乘之也递减至初商根/则为末后一廉矣故曰至根数止)
求㳄商数以汎积约馀实得之
求廉定积　以各廉汎积乘次商数廉多者递增一等
挨次乘之至本乘方减小一等止是为定积(凡第一廉/汎积皆乘)

(次商根而得定积有第二廉则以次商自乘积乘之有/三廉则以次商立方积乘之是为递增一等也然增不)
(得至本乘方但增至本乘方减/小一等数即为末后一廉矣)
求隅积　以次商数查初商表各依本乘方取之(以次/商对)
(横行根数以本乘方对/直行纵横相遇得之)列于廉积之后一行是为隅积
(小隅体势并同初商大方如平方则隅即小平方立方/则隅即小立方三乘方之隅亦为小三乘方四乘以上)
(并同故可借/初商表用之)
求廉隅共积　以所得各廉定积及隅积用并法并之
即得

求次商定数　以所得廉隅共积纪左线之左(又在表/数之左)
(以末位对第二点纪/之为次商应减之数)与次商实(右行第二/点所截)对位相减(以/左)
(减/右)减不尽者又为馀实以待三商遂纪次商数于初商
之下为次商定数　如廉隅共积大于次商实不及减
则改次商至及减而止乃为次商定数
三商以后并同上法
不论三商四商乃至多商其廉定率不变但求汎积时
三商则并初商次商两位商数合而用之四商则并前

三次商数皆取其应有各数以乘定率而得汎积亦如
上法之用初商　其求定积则三商即用三商之数四
商即用四商之数以乘汎积而得定积亦如上法之用
次商　馀法并同次商
审○位之法　凡廉汎积大于馀实或仅相等而无隅
不能商一数是次商为○位也即纪○位于先商之次
而并下一点馀实为续商馀实
次商单一之法　凡汎积与实仅同而有隅一是商得

一数也即以汎积为定积不必更乘次商(惟单一则然/若商得一十)
(一百一千仍/须如法乘之)

开平方(即一乘方/)
　设平方积三千三百四十四万三千○八十九问方
　根若干
　答曰五千七百八十三
　　　　　　　　　列实法(先作两直线次以方积/三三四四三○八九列)
　　　　　　　　　(右线/之右)　作点(法于实末位单数/作一点起逆上每)
　　　　　　　　　(隔一位点之有四点/宜商四次初商是千)初商法曰
　　　　　　　　　(用最上一点截原实两位三三/为初商实查表有小于实三三)

　(者是二五其方根五即以五为初商对实首上一位/书于左线之右却以表数二五对实三三书左线之)
　(左与原实对减先于实次位减五实系三不足减作/点借上一数为十三减去五馀八改书八于实三之)
　(右次于实首减二原实是三因借下去一只得二减/尽乃作线抹去三三存八以待次商亦于左作线抹)
　(去减数/二五)
　求次商　用第二点上馀实八四四为次商实
　
　
隅　　　　　　　　　　次商自乘　四九○○○○

廉隅共积　　　并　　得　　　　七四九○○○○
　次商法曰(置廉率立成内定率二乘初商五千得一/万为汎积乃约实作七百定为次商即以)
　(汎积乘之得定积七百万再用次商自乘为隅其积/四十九万并定积成七百四十九万即廉隅共积也)
　(俱如式列之于是将次商七续书初商五之下又将/共积七四九对实八四四书左线之左以减实馀九)
　(五乃作线抹去八四四亦/于左作线抹去七四九)
　求三商　用第三点上馀实九五三○为三商实
　
　

隅　　　　　　　　　三商自乘　　　　六四○○
廉隅共廉　　　并　　　得　　　　九一八四○○
　三商法曰(复置定率二以乘初商次商合数五千七/百得一万一千四百为汎积乃约实作八)
　(十为三商即以泛积乘之得定积九十一万二千三/商亦自乘为隅得积六千四百以并定积成九十一)
　(万八千四百为廉隅共积俱如式列之再将三商八/十挨书次商七百之下而以其廉隅积九一八四对)
　(实九五三○书于左线之左去减实馀三四六即改/书之以待四商作线抹去九五三○左亦作线抺去)
　(九一/八四)
　求四商　用第四点上馀实三四六八九为四商实

　
　
隅　　　　　　　　　　四商自乘　　　　　九
廉隅共积　　　并　　　得　　　　三四六八九
　四商法曰(用定率二乘初商次商三商合数五千七/百八十得一万一千五百六十为泛积乃)
　(约实可商三定为四商即以泛积乘之得定积三万四/千六百八十四商三自乘得九为隅积并定积成三)
　(万四千六百八十九是为廉隅共积各如式列讫再/将四商三挨书于三商八十之下而以其廉隅积三)
　(四六八九对第四点实书于左线之左就以减/四商实恰尽乃作线抹去之左减数亦抺去)

　初商五千　有四点故初商是千位
　次商七百
　三商八十
　四商单三
　凡开得平方根五七千百八十三
　还原法　置方根五千七百八十三自乘得积三千
　三百四十四万三千○八十九合原积

开立方(即再乘方/)
　设立方积一千○○七万七千六百九十六尺问每
　面方若干
　答曰二百一十六尺
　　　　　　　　　依法列实　作点(自末位单数/作一点起逆)
　　　　　　　　　(上每隔两位点之/有三点宜商三次)
　　　　　　　　　求初商(用最上一点截原实两/位一○为初商实查初)
　　　　　　　　　(商表有小于一○者是○八其/方根二即以二定为初商对实)

　(首上一位书左线之右而以其积数○八对实一○/书左线之左对减初商实馀二改书之以待次商)
　初商二百尺(有三点初/商是百)
　求次商　用第二点上馀实二○七七为次商实
　
　
　
　
　依法求得次商一十尺(书于初商二百之下而以其/廉隅共积一百二十六万一)

　(千减㳄商实馀八一/六改书之以待三商)
　求三商　用第三点上馀实八一六六九六为三商
　实
　
　
隅　　　　　三　商　再　乘　　　　　　二一六
廉隅共积　　　并　　得　　　　　八一六六九六
　依法求得三商六尺(续书次商一十之下而以廉隅/共积八十一万六千六百九十)

　(六减三商/实恰尽)
　凡开得立方根二百一十六尺
　还原　置方根(二百一/十六尺)自之得(四万六千六/百五十六尺)为平幂
　又置平幂以方根乘之得一千○○七万七千六百
　九十六合原数

开三乘方
　设三乘方积一亿三千六百○四万八千八百九十
　六问方根若干
　答曰一百○八
　　　　　　　　　　依法列实　作点(自末位单/数作一点)
　　　　　　　　　　(起逆上每隔/三位点之)
　　　　　　　　　　求初商　用最上一点截实
　　　　　　　　　　首位一为初商实

　凡积一者其根亦一不必查表竟以一为初商(其积/与实)
　(对减/恰尽)
　初商一百(有三点初/商是百)
　求次商　用第二点馀实三六○四为次商实
　
　
　
隅　　　　次　　商　　三　　乘　　一○○○○

廉隅共积　　　并　　得　　　　　四六四一○○○○
　依法求得廉隅共积四千六百四十一万为次商一
　十之积大于次商实不及减是无次商也法于初商
　一百下书○
　求三商　用第三点合上第二点馀实三六○四八
　八九六共八位为三商实(三商减积至末位第三/点故合八位为其实)
　凡求三商当合初商次商两数乘定率以求泛积今
　次商　故只用初商数

　
　
　
隅　　　三　商　自　乘　三　次　　　　　四○九六
廉隅共积　　　并　　得　　　　　三六○四八八九六
　依法求得三商八(续书次商○之下而以其廉隅共/积三千六百○四万八千八百九)
　(十六与馀实/相减恰尽)
　凡开得三乘方根一百○八

　还原　置方根(一○/八)自乘得(一一六/六四)为平幂平幂又
　自乘得一亿三千六百○四万八千八百九十六合
　原积
　或以方根一百○八自乘三次亦同
　开方简法　置三乘方积(一三六○四/八八九六)以平方法开
　之得(一一六/六四)再置(一一六/六四)以平方开之得方根一百
　○八合问

开四乘方
　设四乘方积一十三亿五千○一十二万五千一百
　○七问方根若干
　答曰六十七
　　　　　　　　　　依法列实　作点(自末位单/数作一点)
　　　　　　　　　　(起逆上每隔四位点/之共两点宜商两次)
　　　　　　　　　　求初商　用最上一点截原
　　　　　　　　　　实一三五○一为初商实(查表/有七)

　(七七六小于实其根六即以六为初商而以其积七/七七六对减初商实馀五七二五改书之以待次商)
　初商六十(有两点初/商是十)
　求次商　用第二点上馀实五七二五二五一○七
　为次商实

隅　　　　次　商　四　　乘　　　　　　　一八六○七
廉隅共积　　并　得　　　　　　　五七二五二五一○七
　依法求得次商七(书于初商六十之下而以廉隅共/积五亿七千二百五十二万五千)
　(一百○七减/次商实恰尽)　凡开得四乘方根六十七
　还原　置方根(六十/七)自乘四次得积一十三亿五千
　○一十二万五千一百○七合原数

开五乘方
　设五乘方积一兆七千五百九十六万二千八百七
　十八亿○一百万问方根若干
　答曰五百一十
　　　　　　　　　　　　　　　　　列实(数以/单位)
　　　　　　　　　　　　　　　　　(为根今原/积尾位是)
　　　　　　　　　　　　　　　　　(百万故补/六○列之)
　　　　　　　　　　　　　　　　　作点(自末/单位)

　(○上作一点起逆/上每隔五位点之)　求初商(用最上一点截原实五/位一七五九六为初商)
　(实入表得五为初商对实首上一位录左线右即以/其积数对实列左线左相减馀一九七一改书之以)
　(待次/商)　初商求到五百(有三点故/初商是百)
　求次商(用第二点上馀实一九七一/二八七八○一为次商实)

　
　
　
　
　
　
　
隅　　　　次　　　商　　五　　乘　　　　一○○○○○○

廉隅共积　　并　　得　　一九七一二八七八○一○○○○○○
　依法求得次商一十(书初商五百之下再将廉隅共/积一千九百七十一万二千七)
　(百七十八亿○一百/万去减次商实恰尽)
　原实三点宜有三商而次商已减实尽无可商作○
　于次商下
　凡开得五乘方根五百一十○
　还原　置方根(五百一/十○)自乘五次复得一兆七千五
　百九十六万二千八百七十八亿○一百万合原积

开六乘方
　设六乘方积三百四十三亿五千九百七十三万八
　千三百六十八问方根若干
　答曰三十二
　　　　　　　　　　　依法列实　作点(自末位/单数作)
　　　　　　　　　　　(点起逆上每隔六位点/之共两点宜商两次)
　　　　　　　　　　　求初商　用最上点截原
　　　　　　　　　　　实三四三五为初商实(查/表)

　(得三为初商书左线右而以其积数二一八七书左线/之左对减初商实馀一二四八改书以待续续商)
　初商三十(有两点故/初商是十)
　求次商　用第二点上馀实(一二四八九七/三八三六八)为次商实

　
隅　　　次　　商　　六　　乘　　　　　　　　　一二八
廉隅共积　　并　　　得　　　　一二四八九七三八三六八
　依法求得次商二(书初商三十之下再以廉隅/共积与次商实对减恰尽)
　凡开得六乘方根三十二
　还原　置方根(三十/二)自乘六次得积(三四三五九七/三八三六八)
　合原数

开七乘方
　设七乘方积一千一百○○亿七千五百三十一万
　四千一百七十六问方根若干
　答曰二十四
　　　　　　　　　　　　依法列实　作点(自末/位单)
　　　　　　　　　　　　(数作点起逆上每/隔七位再作一点)
　　　　　　　　　　　　求初商　用最上点截
　　　　　　　　　　　　原实一一○○为初商

　实(查表得二为初商即以二书左线之右而以其积/二五六书左线之左对减初商实馀八四四改书)
　(之以待/续商)
　初商二十(有两点初/商是十)
　求次商　用第二点上馀实(八四四七五三/一四一七六)为次商
　实

　
　
　
　
　
廉隅共积　　并　　　　得　　　　八四四七五三一四一七六
　依法求得次商四(书初商二十之下再将廉隅共积/八四四七五三一四一七六与次)
　(商实对/减恰尽)

　凡开得七乘方根二十四
　还原　置方根(二十/四)自乘七次复得(一一○○七五/三一四一七六)
　合原数
　或以根(二十/四)自乘得(五百七/十六)为平幂平幂又自乘得
　(三十三万一千/七百七十六)为三乘方积三乘方积又自乘得(一/一)
　(○○七五三/一四一七六)亦合原数
　开方简法　置设积(一一○○七五/三一四一七六)以平方法开之
　得(三三一/七七六)又置为实以三乘方法开之得方根二十

　四
　或置设积(一一○○七五/三一四一七六)用平方法连开三次亦得
　方根二十四

开八乘方
　设八乘方积一千六百二十八万四千一百三十五
　亿九千七百九十一万○四百四十九问方根
　答曰四十九
　　　　　　　　　　　　　　　　列实(法同/前)
　　　　　　　　　　　　　　　　作点(自末位/单数作)
　　　　　　　　　　　　　　　　(点起逆上每/隔八位点之)
　　　　　　　　　　　　　　　　求初商(用最/上一)

　(点截原实一六二八四一三为初商实查表得八乘线/方积二六二一四四其根四即以四定为初商书左)
　(右而以其积数书左线左对减初商/实馀一三六六二六九以待次商)
　初商四十(有两点初/商是十)
　求次商　用第二点上馀实(一三六六二六九五/九七九一○四四九)为
　次商实

　
　
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
隅　　　次　　　商　　　八　　乘　　三八七四二○四八九
廉隅共积　并　　　得　一三六六二六九五九七九一○四四九

　依法求得次商九(书初商四十之下再将廉/隅共积对减次商实恰尽)
　凡开得八乘方根四十九
　还原　置方根(四十/四)自乘八次复得(一六二八四一/三五九七九一)
　(○四/四九)合原积

开九乘方
　设九乘方积八十三兆九千二百九十九万三千六
　百五十八亿六千八百三十四万○二百二十四问
　方根若干
　答曰六十二
　　　　　　　　　　　　　　　列实(法同/前)
　　　　　　　　　　　　　　　作点(自末位/单数作)
　　　　　　　　　　　　　　　(点起逆上每/隔九位点之)

　求初商(如法用最上一点原积八位截为初商实查/表得九乘方根六即以六为初商而以其积)
　(数六○四六六一七六减初商实馀二/三四六三七六○待续商各如法书之)
　初商六十(冇两点初/商是十)
　求次商　用第二点上馀实二三四六三七六○五
　八六八三四○二二四为次商实

　
　
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
隅　　　　　　　　次商九乘　　　　　　一○二四

廉隅共积　　　　　并得　　二三四六三七六○五八六八三四○二二四
　依法求到次商二(书于初商六十之下乃以其廉隅/共积二十三兆四千六百三十七)
　(万六千○五十八亿六千八百三十/四万○二百二十四减次商实恰尽)
　凡开得九乘方根六十二
　又法　置九乘方积(八三九二九九三六五/八六八三四○二二四)以平方
　法开之得(九一六一三/二八三二)为四乘方积　再以四乘方
　法开之得方根(六十/二)
　或置九乘方积(八三九二九九三六五/八六八三四○二二四)以四乘方开

　之得(八三/四四)再以平方开之得方根(六十/二)并同
　还原　以方根(六十/二)自乘九次得原积
　或以原根(六十/二)自乘四次得(九一六一三/二八三二)为四乘方
　积再以四乘积四乘得原积亦同

开十乘方
　设十乘方积七千四百三十○亿○八百三十七万○
　六百八十八问方根
　答曰一十二
　　　　　　　　　　　　依法列实　作点(自末/位单)
　　　　　　　　　　　　(数作一点起逆上每/隔十位再作一点)
　　　　　　　　　　　　求初商(用最上点截实/首位七为初商)
　　　　　　　　　　　　(实查表得十乘方根一/定为初商即以其积一)

　(减初商实七馀六/改书之以待续商)
　初商一十(有二点初/商是十)
　求次商　用第二点上馀实六四三○○八三七○
　六八八为实

隅　　　　次　商　十　　乘　　　　二○四八
廉隅共积　　并　得　　　　六四三○○八三七○六八八
　依法求得次商二(书初商一十之下再将廉/隅共积减次商实恰尽)
　还原　置方根(一十/二)自乘十次复得七千四百三十
　○亿○八百三十七万○六百八十八合原积
　又法　置方根(一十/二)自乘(一四/四)为平幂平幂自乘(二/○)
　(七三/六)为三乘方积三乘方又自乘得(四二九九八/一六九六)为
　七乘方积再以根再乘之立积(一七/二八)乘之得十乘方

　积

开十一乘方
　设十一乘方积七千三百五十五万八千二百七十
　五亿一千一百三十八万六千六百四十一问方根
　若干
　答曰二十一
　　　　　　　　　　　　　　　列实(法同/前)
　　　　　　　　　　　　　　　作点(自末位单/数作点起)
　　　　　　　　　　　　　　　(逆上每隔十/一位点之)

　求初商　用最上一点截实七三五五为初商实查
　表得十一乘方根二定为初商(以其积四○九六对/减初商实馀三二五)
　(九以俟续商皆/各如法书之)
　初商二十(有二点初/商是十)
　求初商　用第二点上馀实(三二五九八二七五/一一三八六六四一)为
　次商实

　
　
　
　
　
　
　
　

　
　
廉隅共积　　并　得　　　　三二五九八二七五一一三八六六四一
　依法求得次商一(书初商二十之下其廉隅共积三/千二百五十九万八千二百七十)
　(五亿一千一百三十八万六/千六百四十一减馀实恰尽)
　凡开得十一乘方根二十一
　还原　用方根(二十/一)自乘十一次复得原积
　又法　置方根自乘再乘得(九二/六一)为立方积立方积

　自乘得(八五七六/六一二一)为五乘方积五乘方积又自乘得
　十一乘方原积
　开方简法　置设积(七三五五八二七五/一一三八六六四一)以平方法
　开之得五乘方积(八五七六/六一二一)又置为实以五乘方法
　开之得根二十一

开十二乘方
　设十二乘方积一十五兆四千四百七十二万三千
　七百七十七亿三千九百一十一万九千四百六十
　一问方根若干
　
　
　
　

　依法列实　作点(自末位单数作点起/逆上隔十二位点之)
　求初商　用最上一点截原实一五四四七为初商
　实查表得十二乘积(八一/九二)其方根二即以二定为初
　商(其积数与实对减馀/七二五五再俟续商)
　求初商　用第二点上馀实七二五五三三七七七
　三九一一九四六一为次商实

　
　
　
　
　
　
　
　

　
　
　
廉隅共积　　　并　　得　　七二五五二三七七七三九一一九四六一
　依法求得次商一(书于初商二十之下再将廉隅共/积七兆二千五百五十二万三千)
　(七百七十七亿三千九百一十一万/九千四百有六十一以减馀实恰尽)
　凡开得十二乘方根二十一
　还原　置方根二十一自乘十二次复得原积

　或以方根(二十/一)自乘得(四四/一)再乘得(九二/六一)三乘得(一/九)
　(四四/八一)为三乘方积即以三乘方积自乘得(三七八二/二八五九)
　(三六/一)再自乘得(七三五五八二七五/一一三八六六四一)为十一乘方积
　又置为实而以方根(二十/一)乘之得十二乘原积
　又法　以方根自乘再乘得(九二/六一)为立方积就以立
　方积自乘三次得(七三五五八二七五/一一三八六六四一)为十一乘方
　积如前再以方根乘之亦得原积
　又法　以根(二十/一)自乘之平方(四四/一)为法自乘四次

　得九乘方积(一六六七九八八/○九七八二○一)再以根(二十/一)再乘之
　立方(九二/六一)乘之得十二乘原积并同

　论诸乘方简法
凡开平方二次即三乘方也是为方之方开平方立方
各一次五乘方也可名为立方之平方亦可名为平方
之立方
开平方三次七乘方也或三乘方平方各开一次亦同
可名为平方之三乘亦可名为三乘方之平方
开立方二次八乘方也可名为立方之立方
开四乘方平方各一次九乘方也可名为四乘方之平

方
开平方二次立方一次十一乘方也或三乘方立方各
一次亦同可名为三乘方之立方亦可名为立方之三
乘方
　按惟四乘方六乘方十乘方不能借用他法同文算
　指谓四乘方开二次为六乘方又谓四乘方开三次
　为十乘方非也且四乘方平方各一次已为九乘方
　矣安得有开四乘方二次而反为六乘开四乘方三

　次而止为十乘乎必不然矣

　演诸乘方递增通法
平方积自乘为三乘方　立方积自乘为五乘方　三
乘方积自乘为七乘方　四乘方积自乘为九乘方
五乘方积自乘为十一乘方　六乘方积自乘为十三
乘方　七乘方积自乘为十五乘方　八乘方积自乘
为十七乘方　九乘方积自乘为十九乘方　十乘方
积自乘为二十一乘方　十一乘方积自乘为二十三
乘方　十二乘方积自乘为二十五乘方　十三乘方

积自乘为二十七乘方　十四乘方积自乘为二十九
乘方　十五乘方积自乘为三十一乘方(以上并/超两位)
平方积再自乘为五乘方　立方积再乘为八乘方
三乘方积再乘为十一乘方　四乘方积再乘为十四
乘方　五乘方积再乘为十七乘方　六乘方积再乘
为二十乘方　七乘方积再乘为二十三乘方　八乘
方积再乘为二十六乘方　九乘方积再乘为二十九
乘　十乘方积再乘为三十二乘方(以上并/超三位)

平方积自乘三次为七乘方　立方积自乘三次为十
一乘方　三乘方积自乘三次为十五乘方　四乘方
积自乘三次为十九乘方　五乘方积自乘三次为二
十三乘方　六乘方积自乘三次为二十七乘方　七
乘方积自乘三次为三十一乘方(以上并/超四位)
平方积四乘为九乘方　立方积四乘为十四乘方
三乘方积四乘为十九乘方　四乘方积四乘为二十
四乘方　五乘方积四乘为二十九乘方(以上并/超五位)

平方积五乘为十一乘方　立方积五乘为十七乘方
　三乘方积五乘为二十三乘方　四乘方积五乘为
五十九乘方(以上并/超六位)
平方积六乘为十三乘方　立方积六乘为二十乘方
　三乘方积六乘为二十七乘方　四乘方积六乘为
三十四乘方(以上并/超七位)
平方积七乘为十五乘方　立方积七乘为二十三乘
方　三乘方积七乘为三十一乘方(以上并/超八位)

平方积八乘为十七乘方　立方积八乘为二十六乘
方　三乘方积八乘为三十五乘方(以上并/超九位)
平方积九乘为十九乘方　立方积九乘为二十九乘
方(以上并/超十位)

　(平方至十二乘方已有初商表其十三乘以后不及/详列推以根之为二为三者演之至三十二乘以见)
　(其/意)
根二(至三十二乘/则有十位)　　　　根三(至三十二乘/则有十六位)
(十三/乘)　　　　　一六三八四　　　　　　四七八二九六九
(十四/乘)　　　　　三二七六八　　　　　　一四三四八九○七
(十五/乘)　　　　　六五五三六　　　　　　四三○四六七二一
(十六/乘)　　　　一三一○七二　　　　　一二九一四○一六三
(十七/乘)　　　　二六二一四四　　　　　三八七四二○四八九

(十八/乘)　　　　　五二四二八八　　　　　一一六二二六一四六七
(十九/乘)　　　　一○四八五七六　　　　　三四八六七八四四○一
(二十/乘)　　　　二○九七一五二　　　　一○四六○三五三二○三
(二十一/乘)　　　四一九四三○四　　　　三一三八一○五九六○九
(二十二/乘)　　　八三八八六○八　　　　九四一四三一七八八二七
(二十三/乘)　　一六七七七二一六　　　二八二四二九五三六四八一
(二十四/乘)　　三三五五四四三二　　　八四七二八八六○九四四三
(二十五/乘)　　六七一○八八六四　　二五四一八六五八二八三二九

(二十六/乘)　　一三四二一七七二八　　　　七六二五五九七四八四九八七
(二十七/乘)　　二六八四三五四五六　　　二二八七六七九二四五四九六一
(二十八/乘)　　五三六八七○九一二　　　六八六三○三七七三六四八八三
(二十九/乘)　一○七三七四一八二四　　二○五八九一一三二○九四六四九
(三十/乘)　　二一四七四八三六四八　　六一七六七三三九六二八三九四七
(三十一/乘)　四二九四九六七二九六　一八五三○二○一八八八五一八四一
(三十二/乘)　八五八九九三四五九二　五五五九○六○五六六五五五五二三

　附开多乘方求次商捷法
列实作点截实求初商如常法既得初商减一等自乘
为廉积(加五乘方/则用四乘)又以本乘方数加一为廉数(如五乘/方则用)
(六/)廉数乘廉积得数为法以除馀实为次商遂合初商
次商数依本乘方数乘之(如五乘方亦/自乘五次)得积合原数定
所得为方根(如原积数少不及减/则改次商及减而止)
假如三乘方积五百七十六万四千八百○一问方根
若干

　答曰四十九
　　　　　　　如法于初商表取三乘方积二五六
　　　　　　　减原实定初商为四十馀实(三二○/四八○)
　　　　　　　(一/)为次商实　法置初商四○自乘
　再乘得(六四○/○○)为廉积(本方三乘故廉积/用再乘为减一等)又以四为
　廉数(三乘方故用四为/廉数为加一数)廉数乘廉积得(二五六/○○○)为法
　以除次商实得九为次商(得数可进一十因欲存第/二廉以下廉隅积数不得)
　(满除只商作/九数待酌)遂合初商次商共四十九依法自乘得

　(二四/○一)又以(二四/○一)自乘得(五七六四/八○一)以较原实相同减
　尽即定四十九为三乘方根
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　历算全书卷五十九