声明:本站书库内容主要引用自 archive.org,kanripo.org, db.itkc.or.kr 和 zh.wikisource.org
历算全书 卷五十九 第 1a 页 WYG0795-0383c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0383c.png)
历算全书卷五十九
宣城梅文鼎撰
少广拾遗
开方求廉率作法本原图
自开平方至开八乘方
古图附说
历算全书 卷五十九 第 2a 页 WYG0795-0384a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0384a.png)
乘除之可言而数从此起也次并列(一/一)者方边也西法
谓之根数即一十一也左一即本数因有次商而进位
成一十为初商之根右单一为次商之根既有根数即
有平幂故第三层 者幂积也西法谓之面即一百二
十一也左一百为初商自乘之幂即大方积也右单一
为次商自乘之幂即隅积也小平方也中二十则两廉
积也并长方也
历算全书 卷五十九 第 2b 页 WYG0795-0384b.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0384b.png)
一角相联必得两廉
以辅之而其方始全
故平方廉积二也
第四层 者立方积也西法谓之体积即一千三百三十
一也左一千初商再乘之积大立方也右单一为次商
再乘之积隅积也小立方也中三百三十皆廉积也三
百为三平廉积扁立方也三十为三长廉积长立方也
历算全书 卷五十九 第 3a 页 WYG0795-0384c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0384c.png)
历算全书 卷五十九 第 3b 页 WYG0795-0384d.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0384d.png)
相连于一角必得三平廉之扁立方体补于大立方之三
面又有三长廉之长立方体补于小立方之三面及三
平廉之隙而方体始全故立方之廉积有二等而其数
各三也
第五层 者三乘方也即一万四千六百四十一也左
一万者大三乘方也初商方积也右单一者小三乘方
也次商隅积也大方积既以三乘之故而积升至万小
历算全书 卷五十九 第 4a 页 WYG0795-0385a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0385a.png)
(方/法)为千数第二廉(旧名/上廉)为百数第三廉(旧名/下廉)为十数以
补之其数始足其理亦如平方立方也三乘方以上不
可为图诸书有强为之图者非也然其理则有可言者
焉以其相生之序言之则皆加一算法也初商次商如
十与一而其幂则如百与一故于(一/一)之下各加(一/一)即成
如十一之自乘也此平方率也又以十一乘之成
即立方率也又以一十乘之成 即三乘方率四乘以
历算全书 卷五十九 第 4b 页 WYG0795-0385b.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0385b.png)
递乘而得非十一者何以处之曰根非十一而其理皆
如十与一何则凡增一乘积升一等而亦增一廉廉与
廉之积亦皆如十与一也
幂(音觅周礼幂人掌共巾幂说文覆也开平方四边/俱等中函纵横之积亦如覆物之巾有经纬缕文)
(故谓之幂/亦谓之面)幂(同上省文也见张参五经/文字算书或小写作□)
历算全书 卷五十九 第 5a 页 WYG0795-0385c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0385c.png)
历算全书 卷五十九 第 5b 页 WYG0795-0385d.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0385d.png)
凡开方一位除尽者无廉隅也廉隅皆生于次商次商
之根必小于初商一等而其小隅之体𫝑必与初商之
大方同状(如再乘之隅即小立方三/乘方之隅即小三乘方)此可借初商表而
降等求之不必更立隅法也廉法则不然每增一乘则
廉增一等(如平方但有廉立方则有平廉长廉三乘方/则有三种廉四乘方则有四种廉其廉之等)
(并与其乘/数同增)而廉亦加多(如平方只二廉立方则平廉长/廉各三三乘方则三种廉共有)
(十四乘以上则更/增而多如图所列)此廉率所由立也
历算全书 卷五十九 第 6a 页 WYG0795-0386a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0386a.png)
用何也曰此廉之数也非廉之积也廉积有等则既于
其次序分之矣挨次乘之其等自见(如第一廉必小于/初商大方一等第)
(二廉又小一等其最末之廉必/大于小隅一等各乘方皆如是)若同一等中应各有若
干廉必先知之而后可用故立成中所列皆单数
问古图以右为隅法其序自左而右今廉率之序自右
而左何也曰既皆作单数用则左右一也今依笔算自
右而左便于取用故也(廉法相生之序左右同数如立/方平廉三长廉亦三也三乘方)
历算全书 卷五十九 第 6b 页 WYG0795-0386b.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0386b.png)
(为小隅亦可以右为大方而左/为小隅此亦见古图之妙也)
问旧有方法廉法之目今槩曰廉法何也曰开方法有
方有廉有隅其初商自乘即方也次商自乘即隅也方
与隅之间次商初商相乘而得者皆廉也旧以立方之
平廉有似扁方故名之方法而三乘方因之遂又有上
廉下廉之目故不如一切去之但以一二三四为序较
画一耳
历算全书 卷五十九 第 7a 页 WYG0795-0386c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0386c.png)
知三乘方以上之廉积亦能与方隅并状乎曰凡诸乘
方之廉积无不与方隅之乘数等也试以三乘方言之
其第一廉有四皆初商之再乘积而又以次商根乘之
是三乘也其第二廉有六皆初商自乘之平幂也而又
以次商之平幂乘之第三廉有四皆初商之根数而又
以次商之立积乘之皆三乘也又以四乘方言之其第
一廉有五皆初商三乘积也又乘次商根是四乘也其
历算全书 卷五十九 第 7b 页 WYG0795-0386d.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0386d.png)
也其第三廉亦十皆初商幂积也又以乘次商再乘积
其第四廉有五皆初商根也又以乘次商之三乘积皆
四乘也五乘方以上俱如是观后算例自明
历算全书 卷五十九 第 8a 页 WYG0795-0387a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0387a.png)
历算全书 卷五十九 第 9a 页 WYG0795-0387c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0387c.png)
历算全书 卷五十九 第 10a 页 WYG0795-0388a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0388a.png)
历算全书 卷五十九 第 10b 页 WYG0795-0388b.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0388b.png)
诸乘方根同而积不同本易知也惟根之一者积同
为一似乎无别矣然有幂积之一有体积之一有三
乘以上诸乘方之一虽曰积同为一其实不同也今
以方根之为单一为一十为一百者为例如右
历算全书 卷五十九 第 11a 页 WYG0795-0388c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0388c.png)
历算全书 卷五十九 第 12a 页 WYG0795-0389a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0389a.png)
历算全书 卷五十九 第 12b 页 WYG0795-0389b.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0389b.png)
因有续商故方根以十数见例方积以尾○定位无
次商者去尾○用之则方根只为单数
历算全书 卷五十九 第 13a 页 WYG0795-0389c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0389c.png)
多(如第一廉用初商立积二廉则初商/幂递减以至三廉则初商只用根)近小隅者次
历算全书 卷五十九 第 13b 页 WYG0795-0389d.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0389d.png)
(积/)各乘方皆如是
历算全书 卷五十九 第 14a 页 WYG0795-0390a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0390a.png)
诸乘方法惟平方为用最多因有专法今自平方立方
推之三乘以上至于多乘而通为一法是为大法(诸乘/方大)
(法可以开平方而平方/专法不可以开诸乘方)
总法 凡诸乘方皆先列实 次作点分段 次查表
以定初商 次求廉隅以定续商
列实之法 依勿庵笔算作平行两直线以设积纪于
右直线之右皆自上而下至单数止无单数者作○存
历算全书 卷五十九 第 14b 页 WYG0795-0390b.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0390b.png)
作点分段之法 皆于原积末位单数作一点起(凡减/隅积)
(必至单位故分段之法以此为/宗同文算指但言起末位殊混)依各乘方宜以若干位
为一段即隔若干位点之(或作实点丶或作虚点□俱可/然虚点尤便以减商积时有借)
(上位之点/免凌杂也)如平方以每两位为一段则隔一位点之立
方以三位为一段则隔两位点之乃至十二乘方以十
三位为一段则隔十二位点之并同一法
谨案作点分段其用有二一以定开方有若干次也如
历算全书 卷五十九 第 15a 页 WYG0795-0390c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0390c.png)
之类一以定开方所得为何等数也如只有一点则初
商即单数二点则初商是十数三点则初商是百数之
类是故初商减积必至于最上点而止也次商减积必
至于次点而止也每开一次必减积一次而所减之数
必各尽于其作点之位亦可以验开方之无误也又最上
点以上初商实也次点以上次商实也每商皆以点位
截实此法于初商尤为扼要
历算全书 卷五十九 第 15b 页 WYG0795-0390d.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0390d.png)
山阴周述学历宗算会悉著其说而同文算指西镜录
本其意以作点定之施于笔算为极善也(鼎于三十年/前见同文算)
(指作点之法惊叹其奇后读诸书/始知其有所祖述非西人创也)
初商之法 皆以最上一点截原积若干位为初商实
乃查初商表视本乘方下数有与实相同或较小于
实者录之纪于左线之左(皆以表数末位对右线/上原实最上点纪之)是为
初商应减之积 即于本表旁行查方根纪于左线之
历算全书 卷五十九 第 16a 页 WYG0795-0391a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0391a.png)
以初商应减之积(左行/所纪)与初商实(右行最上点/所截原实)对位相
减(皆以左减右须依笔算从小数减起如左行减数大/右行实数反小而不及减则作点于上一位借十数)
(减/之)减不尽者为馀实以待续商
凡原实有二点则初商为十数而有次商有三点初商
为百数而有次商及三商以上仿论如实只一点则初
商即是单数无续商
次商之法 皆以第二点截馀实为次商实
历算全书 卷五十九 第 16b 页 WYG0795-0391b.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0391b.png)
先求廉率 查廉率立成本乘方廉率有若干等等有
若干数平列之为若干行谓之定率(如平方只一种廉/其定率二立方有)
(二种廉曰平廉曰长廉其定率并三若三乘方则有三/种廉曰一廉曰二廉曰三廉其定率曰四四六曰四详)
(后/式)每增一乘即廉增一等而定率增一行(有廉之等有/廉之数如平)
(方有二廉立方有三平廉三长廉此廉之数也平方之/两廉同积共为一等立方之三平廉同积为一等三长)
(廉同积为一等共为二等此/廉之等也廉率中兼此二义)
求廉汎积 以各廉定率乘初商应有各数各依本乘
历算全书 卷五十九 第 17a 页 WYG0795-0391c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0391c.png)
是为汎积(有初商数即各带有自乘幂积二乘立积乃/至三乘以上各积是为应有各数也今求汎)
(积当依本乘方减小一等用之如平方只用根数立方/用初商幂积乃至十二乘方用初商十一乘此为减小)
(一等也至第二廉则立方用初商根三乘方用初商再/乘乃至十二乘方用初商十乘此为廉多者二廉以上)
(又递减挨次乘之也递减至初商根/则为末后一廉矣故曰至根数止)
求㳄商数以汎积约馀实得之
求廉定积 以各廉汎积乘次商数廉多者递增一等
挨次乘之至本乘方减小一等止是为定积(凡第一廉/汎积皆乘)
历算全书 卷五十九 第 17b 页 WYG0795-0391d.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0391d.png)
(得至本乘方但增至本乘方减/小一等数即为末后一廉矣)
求隅积 以次商数查初商表各依本乘方取之(以次/商对)
(横行根数以本乘方对/直行纵横相遇得之)列于廉积之后一行是为隅积
(小隅体势并同初商大方如平方则隅即小平方立方/则隅即小立方三乘方之隅亦为小三乘方四乘以上)
(并同故可借/初商表用之)
求廉隅共积 以所得各廉定积及隅积用并法并之
即得
历算全书 卷五十九 第 18a 页 WYG0795-0392a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0392a.png)
(以末位对第二点纪/之为次商应减之数)与次商实(右行第二/点所截)对位相减(以/左)
(减/右)减不尽者又为馀实以待三商遂纪次商数于初商
之下为次商定数 如廉隅共积大于次商实不及减
则改次商至及减而止乃为次商定数
三商以后并同上法
不论三商四商乃至多商其廉定率不变但求汎积时
三商则并初商次商两位商数合而用之四商则并前
历算全书 卷五十九 第 18b 页 WYG0795-0392b.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0392b.png)
上法之用初商 其求定积则三商即用三商之数四
商即用四商之数以乘汎积而得定积亦如上法之用
次商 馀法并同次商
审○位之法 凡廉汎积大于馀实或仅相等而无隅
不能商一数是次商为○位也即纪○位于先商之次
而并下一点馀实为续商馀实
次商单一之法 凡汎积与实仅同而有隅一是商得
历算全书 卷五十九 第 19a 页 WYG0795-0392c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0392c.png)
(一百一千仍/须如法乘之)
历算全书 卷五十九 第 20a 页 WYG0795-0393a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0393a.png)
设平方积三千三百四十四万三千○八十九问方
根若干
答曰五千七百八十三
列实法(先作两直线次以方积/三三四四三○八九列)
(右线/之右) 作点(法于实末位单数/作一点起逆上每)
(隔一位点之有四点/宜商四次初商是千)初商法曰
(用最上一点截原实两位三三/为初商实查表有小于实三三)
历算全书 卷五十九 第 20b 页 WYG0795-0393b.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0393b.png)
(左与原实对减先于实次位减五实系三不足减作/点借上一数为十三减去五馀八改书八于实三之)
(右次于实首减二原实是三因借下去一只得二减/尽乃作线抹去三三存八以待次商亦于左作线抹)
(去减数/二五)
求次商 用第二点上馀实八四四为次商实
隅 次商自乘 四九○○○○
历算全书 卷五十九 第 21a 页 WYG0795-0393c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0393c.png)
次商法曰(置廉率立成内定率二乘初商五千得一/万为汎积乃约实作七百定为次商即以)
(汎积乘之得定积七百万再用次商自乘为隅其积/四十九万并定积成七百四十九万即廉隅共积也)
(俱如式列之于是将次商七续书初商五之下又将/共积七四九对实八四四书左线之左以减实馀九)
(五乃作线抹去八四四亦/于左作线抹去七四九)
求三商 用第三点上馀实九五三○为三商实
历算全书 卷五十九 第 21b 页 WYG0795-0393d.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0393d.png)
廉隅共廉 并 得 九一八四○○
三商法曰(复置定率二以乘初商次商合数五千七/百得一万一千四百为汎积乃约实作八)
(十为三商即以泛积乘之得定积九十一万二千三/商亦自乘为隅得积六千四百以并定积成九十一)
(万八千四百为廉隅共积俱如式列之再将三商八/十挨书次商七百之下而以其廉隅积九一八四对)
(实九五三○书于左线之左去减实馀三四六即改/书之以待四商作线抹去九五三○左亦作线抺去)
(九一/八四)
求四商 用第四点上馀实三四六八九为四商实
历算全书 卷五十九 第 22a 页 WYG0795-0394a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0394a.png)
隅 四商自乘 九
廉隅共积 并 得 三四六八九
四商法曰(用定率二乘初商次商三商合数五千七/百八十得一万一千五百六十为泛积乃)
(约实可商三定为四商即以泛积乘之得定积三万四/千六百八十四商三自乘得九为隅积并定积成三)
(万四千六百八十九是为廉隅共积各如式列讫再/将四商三挨书于三商八十之下而以其廉隅积三)
(四六八九对第四点实书于左线之左就以减/四商实恰尽乃作线抹去之左减数亦抺去)
历算全书 卷五十九 第 22b 页 WYG0795-0394b.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0394b.png)
次商七百
三商八十
四商单三
凡开得平方根五七千百八十三
还原法 置方根五千七百八十三自乘得积三千
三百四十四万三千○八十九合原积
历算全书 卷五十九 第 23a 页 WYG0795-0394c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0394c.png)
设立方积一千○○七万七千六百九十六尺问每
面方若干
答曰二百一十六尺
依法列实 作点(自末位单数/作一点起逆)
(上每隔两位点之/有三点宜商三次)
求初商(用最上一点截原实两/位一○为初商实查初)
(商表有小于一○者是○八其/方根二即以二定为初商对实)
历算全书 卷五十九 第 23b 页 WYG0795-0394d.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0394d.png)
初商二百尺(有三点初/商是百)
求次商 用第二点上馀实二○七七为次商实
依法求得次商一十尺(书于初商二百之下而以其/廉隅共积一百二十六万一)
历算全书 卷五十九 第 24a 页 WYG0795-0395a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0395a.png)
求三商 用第三点上馀实八一六六九六为三商
实
隅 三 商 再 乘 二一六
廉隅共积 并 得 八一六六九六
依法求得三商六尺(续书次商一十之下而以廉隅/共积八十一万六千六百九十)
历算全书 卷五十九 第 24b 页 WYG0795-0395b.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0395b.png)
凡开得立方根二百一十六尺
还原 置方根(二百一/十六尺)自之得(四万六千六/百五十六尺)为平幂
又置平幂以方根乘之得一千○○七万七千六百
九十六合原数
历算全书 卷五十九 第 25a 页 WYG0795-0395c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0395c.png)
设三乘方积一亿三千六百○四万八千八百九十
六问方根若干
答曰一百○八
依法列实 作点(自末位单/数作一点)
(起逆上每隔/三位点之)
求初商 用最上一点截实
首位一为初商实
历算全书 卷五十九 第 25b 页 WYG0795-0395d.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0395d.png)
(对减/恰尽)
初商一百(有三点初/商是百)
求次商 用第二点馀实三六○四为次商实
隅 次 商 三 乘 一○○○○
历算全书 卷五十九 第 26a 页 WYG0795-0396a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0396a.png)
依法求得廉隅共积四千六百四十一万为次商一
十之积大于次商实不及减是无次商也法于初商
一百下书○
求三商 用第三点合上第二点馀实三六○四八
八九六共八位为三商实(三商减积至末位第三/点故合八位为其实)
凡求三商当合初商次商两数乘定率以求泛积今
次商 故只用初商数
历算全书 卷五十九 第 26b 页 WYG0795-0396b.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0396b.png)
隅 三 商 自 乘 三 次 四○九六
廉隅共积 并 得 三六○四八八九六
依法求得三商八(续书次商○之下而以其廉隅共/积三千六百○四万八千八百九)
(十六与馀实/相减恰尽)
凡开得三乘方根一百○八
历算全书 卷五十九 第 27a 页 WYG0795-0396c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0396c.png)
自乘得一亿三千六百○四万八千八百九十六合
原积
或以方根一百○八自乘三次亦同
开方简法 置三乘方积(一三六○四/八八九六)以平方法开
之得(一一六/六四)再置(一一六/六四)以平方开之得方根一百
○八合问
历算全书 卷五十九 第 28a 页 WYG0795-0397a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0397a.png)
设四乘方积一十三亿五千○一十二万五千一百
○七问方根若干
答曰六十七
依法列实 作点(自末位单/数作一点)
(起逆上每隔四位点/之共两点宜商两次)
求初商 用最上一点截原
实一三五○一为初商实(查表/有七)
历算全书 卷五十九 第 28b 页 WYG0795-0397b.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0397b.png)
初商六十(有两点初/商是十)
求次商 用第二点上馀实五七二五二五一○七
为次商实
历算全书 卷五十九 第 29a 页 WYG0795-0397c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0397c.png)
廉隅共积 并 得 五七二五二五一○七
依法求得次商七(书于初商六十之下而以廉隅共/积五亿七千二百五十二万五千)
(一百○七减/次商实恰尽) 凡开得四乘方根六十七
还原 置方根(六十/七)自乘四次得积一十三亿五千
○一十二万五千一百○七合原数
历算全书 卷五十九 第 30a 页 WYG0795-0398a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0398a.png)
设五乘方积一兆七千五百九十六万二千八百七
十八亿○一百万问方根若干
答曰五百一十
列实(数以/单位)
(为根今原/积尾位是)
(百万故补/六○列之)
作点(自末/单位)
历算全书 卷五十九 第 30b 页 WYG0795-0398b.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0398b.png)
(实入表得五为初商对实首上一位录左线右即以/其积数对实列左线左相减馀一九七一改书之以)
(待次/商) 初商求到五百(有三点故/初商是百)
求次商(用第二点上馀实一九七一/二八七八○一为次商实)
历算全书 卷五十九 第 31a 页 WYG0795-0398c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0398c.png)
隅 次 商 五 乘 一○○○○○○
历算全书 卷五十九 第 31b 页 WYG0795-0398d.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0398d.png)
依法求得次商一十(书初商五百之下再将廉隅共/积一千九百七十一万二千七)
(百七十八亿○一百/万去减次商实恰尽)
原实三点宜有三商而次商已减实尽无可商作○
于次商下
凡开得五乘方根五百一十○
还原 置方根(五百一/十○)自乘五次复得一兆七千五
百九十六万二千八百七十八亿○一百万合原积
历算全书 卷五十九 第 32a 页 WYG0795-0399a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0399a.png)
设六乘方积三百四十三亿五千九百七十三万八
千三百六十八问方根若干
答曰三十二
依法列实 作点(自末位/单数作)
(点起逆上每隔六位点/之共两点宜商两次)
求初商 用最上点截原
实三四三五为初商实(查/表)
历算全书 卷五十九 第 32b 页 WYG0795-0399b.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0399b.png)
初商三十(有两点故/初商是十)
求次商 用第二点上馀实(一二四八九七/三八三六八)为次商实
历算全书 卷五十九 第 33a 页 WYG0795-0399c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0399c.png)
隅 次 商 六 乘 一二八
廉隅共积 并 得 一二四八九七三八三六八
依法求得次商二(书初商三十之下再以廉隅/共积与次商实对减恰尽)
凡开得六乘方根三十二
还原 置方根(三十/二)自乘六次得积(三四三五九七/三八三六八)
合原数
历算全书 卷五十九 第 34a 页 WYG0795-0400a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0400a.png)
设七乘方积一千一百○○亿七千五百三十一万
四千一百七十六问方根若干
答曰二十四
依法列实 作点(自末/位单)
(数作点起逆上每/隔七位再作一点)
求初商 用最上点截
原实一一○○为初商
历算全书 卷五十九 第 34b 页 WYG0795-0400b.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0400b.png)
(之以待/续商)
初商二十(有两点初/商是十)
求次商 用第二点上馀实(八四四七五三/一四一七六)为次商
实
历算全书 卷五十九 第 35a 页 WYG0795-0400c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0400c.png)
廉隅共积 并 得 八四四七五三一四一七六
依法求得次商四(书初商二十之下再将廉隅共积/八四四七五三一四一七六与次)
(商实对/减恰尽)
历算全书 卷五十九 第 35b 页 WYG0795-0400d.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0400d.png)
还原 置方根(二十/四)自乘七次复得(一一○○七五/三一四一七六)
合原数
或以根(二十/四)自乘得(五百七/十六)为平幂平幂又自乘得
(三十三万一千/七百七十六)为三乘方积三乘方积又自乘得(一/一)
(○○七五三/一四一七六)亦合原数
开方简法 置设积(一一○○七五/三一四一七六)以平方法开之
得(三三一/七七六)又置为实以三乘方法开之得方根二十
历算全书 卷五十九 第 36a 页 WYG0795-0401a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0401a.png)
或置设积(一一○○七五/三一四一七六)用平方法连开三次亦得
方根二十四
历算全书 卷五十九 第 37a 页 WYG0795-0401c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0401c.png)
设八乘方积一千六百二十八万四千一百三十五
亿九千七百九十一万○四百四十九问方根
答曰四十九
列实(法同/前)
作点(自末位/单数作)
(点起逆上每/隔八位点之)
求初商(用最/上一)
历算全书 卷五十九 第 37b 页 WYG0795-0401d.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0401d.png)
(右而以其积数书左线左对减初商/实馀一三六六二六九以待次商)
初商四十(有两点初/商是十)
求次商 用第二点上馀实(一三六六二六九五/九七九一○四四九)为
次商实
历算全书 卷五十九 第 38a 页 WYG0795-0402a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0402a.png)
历算全书 卷五十九 第 38b 页 WYG0795-0402b.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0402b.png)
隅 次 商 八 乘 三八七四二○四八九
廉隅共积 并 得 一三六六二六九五九七九一○四四九
历算全书 卷五十九 第 39a 页 WYG0795-0402c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0402c.png)
凡开得八乘方根四十九
还原 置方根(四十/四)自乘八次复得(一六二八四一/三五九七九一)
(○四/四九)合原积
历算全书 卷五十九 第 40a 页 WYG0795-0403a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0403a.png)
设九乘方积八十三兆九千二百九十九万三千六
百五十八亿六千八百三十四万○二百二十四问
方根若干
答曰六十二
列实(法同/前)
作点(自末位/单数作)
(点起逆上每/隔九位点之)
历算全书 卷五十九 第 40b 页 WYG0795-0403b.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0403b.png)
(数六○四六六一七六减初商实馀二/三四六三七六○待续商各如法书之)
初商六十(冇两点初/商是十)
求次商 用第二点上馀实二三四六三七六○五
八六八三四○二二四为次商实
历算全书 卷五十九 第 41a 页 WYG0795-0403c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0403c.png)
历算全书 卷五十九 第 41b 页 WYG0795-0403d.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0403d.png)
隅 次商九乘 一○二四
历算全书 卷五十九 第 42a 页 WYG0795-0404a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0404a.png)
依法求到次商二(书于初商六十之下乃以其廉隅/共积二十三兆四千六百三十七)
(万六千○五十八亿六千八百三十/四万○二百二十四减次商实恰尽)
凡开得九乘方根六十二
又法 置九乘方积(八三九二九九三六五/八六八三四○二二四)以平方
法开之得(九一六一三/二八三二)为四乘方积 再以四乘方
法开之得方根(六十/二)
或置九乘方积(八三九二九九三六五/八六八三四○二二四)以四乘方开
历算全书 卷五十九 第 42b 页 WYG0795-0404b.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0404b.png)
还原 以方根(六十/二)自乘九次得原积
或以原根(六十/二)自乘四次得(九一六一三/二八三二)为四乘方
积再以四乘积四乘得原积亦同
历算全书 卷五十九 第 43a 页 WYG0795-0404c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0404c.png)
设十乘方积七千四百三十○亿○八百三十七万○
六百八十八问方根
答曰一十二
依法列实 作点(自末/位单)
(数作一点起逆上每/隔十位再作一点)
求初商(用最上点截实/首位七为初商)
(实查表得十乘方根一/定为初商即以其积一)
历算全书 卷五十九 第 43b 页 WYG0795-0404d.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0404d.png)
初商一十(有二点初/商是十)
求次商 用第二点上馀实六四三○○八三七○
六八八为实
历算全书 卷五十九 第 44a 页 WYG0795-0405a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0405a.png)
历算全书 卷五十九 第 45a 页 WYG0795-0405c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0405c.png)
廉隅共积 并 得 六四三○○八三七○六八八
依法求得次商二(书初商一十之下再将廉/隅共积减次商实恰尽)
还原 置方根(一十/二)自乘十次复得七千四百三十
○亿○八百三十七万○六百八十八合原积
又法 置方根(一十/二)自乘(一四/四)为平幂平幂自乘(二/○)
(七三/六)为三乘方积三乘方又自乘得(四二九九八/一六九六)为
七乘方积再以根再乘之立积(一七/二八)乘之得十乘方
历算全书 卷五十九 第 45b 页 WYG0795-0405d.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0405d.png)
历算全书 卷五十九 第 46a 页 WYG0795-0406a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0406a.png)
设十一乘方积七千三百五十五万八千二百七十
五亿一千一百三十八万六千六百四十一问方根
若干
答曰二十一
列实(法同/前)
作点(自末位单/数作点起)
(逆上每隔十/一位点之)
历算全书 卷五十九 第 46b 页 WYG0795-0406b.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0406b.png)
表得十一乘方根二定为初商(以其积四○九六对/减初商实馀三二五)
(九以俟续商皆/各如法书之)
初商二十(有二点初/商是十)
求初商 用第二点上馀实(三二五九八二七五/一一三八六六四一)为
次商实
历算全书 卷五十九 第 47a 页 WYG0795-0406c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0406c.png)
历算全书 卷五十九 第 47b 页 WYG0795-0406d.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0406d.png)
廉隅共积 并 得 三二五九八二七五一一三八六六四一
依法求得次商一(书初商二十之下其廉隅共积三/千二百五十九万八千二百七十)
(五亿一千一百三十八万六/千六百四十一减馀实恰尽)
凡开得十一乘方根二十一
还原 用方根(二十/一)自乘十一次复得原积
又法 置方根自乘再乘得(九二/六一)为立方积立方积
历算全书 卷五十九 第 48a 页 WYG0795-0407a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0407a.png)
十一乘方原积
开方简法 置设积(七三五五八二七五/一一三八六六四一)以平方法
开之得五乘方积(八五七六/六一二一)又置为实以五乘方法
开之得根二十一
历算全书 卷五十九 第 49a 页 WYG0795-0407c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0407c.png)
设十二乘方积一十五兆四千四百七十二万三千
七百七十七亿三千九百一十一万九千四百六十
一问方根若干
历算全书 卷五十九 第 49b 页 WYG0795-0407d.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0407d.png)
求初商 用最上一点截原实一五四四七为初商
实查表得十二乘积(八一/九二)其方根二即以二定为初
商(其积数与实对减馀/七二五五再俟续商)
求初商 用第二点上馀实七二五五三三七七七
三九一一九四六一为次商实
历算全书 卷五十九 第 50a 页 WYG0795-0408a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0408a.png)
历算全书 卷五十九 第 50b 页 WYG0795-0408b.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0408b.png)
廉隅共积 并 得 七二五五二三七七七三九一一九四六一
依法求得次商一(书于初商二十之下再将廉隅共/积七兆二千五百五十二万三千)
(七百七十七亿三千九百一十一万/九千四百有六十一以减馀实恰尽)
凡开得十二乘方根二十一
还原 置方根二十一自乘十二次复得原积
历算全书 卷五十九 第 51a 页 WYG0795-0408c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0408c.png)
(四四/八一)为三乘方积即以三乘方积自乘得(三七八二/二八五九)
(三六/一)再自乘得(七三五五八二七五/一一三八六六四一)为十一乘方积
又置为实而以方根(二十/一)乘之得十二乘原积
又法 以方根自乘再乘得(九二/六一)为立方积就以立
方积自乘三次得(七三五五八二七五/一一三八六六四一)为十一乘方
积如前再以方根乘之亦得原积
又法 以根(二十/一)自乘之平方(四四/一)为法自乘四次
历算全书 卷五十九 第 51b 页 WYG0795-0408d.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0408d.png)
立方(九二/六一)乘之得十二乘原积并同
历算全书 卷五十九 第 52a 页 WYG0795-0409a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0409a.png)
凡开平方二次即三乘方也是为方之方开平方立方
各一次五乘方也可名为立方之平方亦可名为平方
之立方
开平方三次七乘方也或三乘方平方各开一次亦同
可名为平方之三乘亦可名为三乘方之平方
开立方二次八乘方也可名为立方之立方
开四乘方平方各一次九乘方也可名为四乘方之平
历算全书 卷五十九 第 52b 页 WYG0795-0409b.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0409b.png)
开平方二次立方一次十一乘方也或三乘方立方各
一次亦同可名为三乘方之立方亦可名为立方之三
乘方
按惟四乘方六乘方十乘方不能借用他法同文算
指谓四乘方开二次为六乘方又谓四乘方开三次
为十乘方非也且四乘方平方各一次已为九乘方
矣安得有开四乘方二次而反为六乘开四乘方三
历算全书 卷五十九 第 53a 页 WYG0795-0409c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0409c.png)
历算全书 卷五十九 第 54a 页 WYG0795-0410a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0410a.png)
平方积自乘为三乘方 立方积自乘为五乘方 三
乘方积自乘为七乘方 四乘方积自乘为九乘方
五乘方积自乘为十一乘方 六乘方积自乘为十三
乘方 七乘方积自乘为十五乘方 八乘方积自乘
为十七乘方 九乘方积自乘为十九乘方 十乘方
积自乘为二十一乘方 十一乘方积自乘为二十三
乘方 十二乘方积自乘为二十五乘方 十三乘方
历算全书 卷五十九 第 54b 页 WYG0795-0410b.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0410b.png)
乘方 十五乘方积自乘为三十一乘方(以上并/超两位)
平方积再自乘为五乘方 立方积再乘为八乘方
三乘方积再乘为十一乘方 四乘方积再乘为十四
乘方 五乘方积再乘为十七乘方 六乘方积再乘
为二十乘方 七乘方积再乘为二十三乘方 八乘
方积再乘为二十六乘方 九乘方积再乘为二十九
乘 十乘方积再乘为三十二乘方(以上并/超三位)
历算全书 卷五十九 第 55a 页 WYG0795-0410c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0410c.png)
一乘方 三乘方积自乘三次为十五乘方 四乘方
积自乘三次为十九乘方 五乘方积自乘三次为二
十三乘方 六乘方积自乘三次为二十七乘方 七
乘方积自乘三次为三十一乘方(以上并/超四位)
平方积四乘为九乘方 立方积四乘为十四乘方
三乘方积四乘为十九乘方 四乘方积四乘为二十
四乘方 五乘方积四乘为二十九乘方(以上并/超五位)
历算全书 卷五十九 第 55b 页 WYG0795-0410d.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0410d.png)
三乘方积五乘为二十三乘方 四乘方积五乘为
五十九乘方(以上并/超六位)
平方积六乘为十三乘方 立方积六乘为二十乘方
三乘方积六乘为二十七乘方 四乘方积六乘为
三十四乘方(以上并/超七位)
平方积七乘为十五乘方 立方积七乘为二十三乘
方 三乘方积七乘为三十一乘方(以上并/超八位)
历算全书 卷五十九 第 56a 页 WYG0795-0411a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0411a.png)
方 三乘方积八乘为三十五乘方(以上并/超九位)
平方积九乘为十九乘方 立方积九乘为二十九乘
方(以上并/超十位)
历算全书 卷五十九 第 57a 页 WYG0795-0411c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0411c.png)
(其/意)
根二(至三十二乘/则有十位) 根三(至三十二乘/则有十六位)
(十三/乘) 一六三八四 四七八二九六九
(十四/乘) 三二七六八 一四三四八九○七
(十五/乘) 六五五三六 四三○四六七二一
(十六/乘) 一三一○七二 一二九一四○一六三
(十七/乘) 二六二一四四 三八七四二○四八九
历算全书 卷五十九 第 57b 页 WYG0795-0411d.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0411d.png)
(十九/乘) 一○四八五七六 三四八六七八四四○一
(二十/乘) 二○九七一五二 一○四六○三五三二○三
(二十一/乘) 四一九四三○四 三一三八一○五九六○九
(二十二/乘) 八三八八六○八 九四一四三一七八八二七
(二十三/乘) 一六七七七二一六 二八二四二九五三六四八一
(二十四/乘) 三三五五四四三二 八四七二八八六○九四四三
(二十五/乘) 六七一○八八六四 二五四一八六五八二八三二九
历算全书 卷五十九 第 58a 页 WYG0795-0412a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0412a.png)
(二十七/乘) 二六八四三五四五六 二二八七六七九二四五四九六一
(二十八/乘) 五三六八七○九一二 六八六三○三七七三六四八八三
(二十九/乘) 一○七三七四一八二四 二○五八九一一三二○九四六四九
(三十/乘) 二一四七四八三六四八 六一七六七三三九六二八三九四七
(三十一/乘) 四二九四九六七二九六 一八五三○二○一八八八五一八四一
(三十二/乘) 八五八九九三四五九二 五五五九○六○五六六五五五五二三
历算全书 卷五十九 第 59a 页 WYG0795-0412c.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0412c.png)
列实作点截实求初商如常法既得初商减一等自乘
为廉积(加五乘方/则用四乘)又以本乘方数加一为廉数(如五乘/方则用)
(六/)廉数乘廉积得数为法以除馀实为次商遂合初商
次商数依本乘方数乘之(如五乘方亦/自乘五次)得积合原数定
所得为方根(如原积数少不及减/则改次商及减而止)
假如三乘方积五百七十六万四千八百○一问方根
若干
历算全书 卷五十九 第 59b 页 WYG0795-0412d.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0412d.png)
如法于初商表取三乘方积二五六
减原实定初商为四十馀实(三二○/四八○)
(一/)为次商实 法置初商四○自乘
再乘得(六四○/○○)为廉积(本方三乘故廉积/用再乘为减一等)又以四为
廉数(三乘方故用四为/廉数为加一数)廉数乘廉积得(二五六/○○○)为法
以除次商实得九为次商(得数可进一十因欲存第/二廉以下廉隅积数不得)
(满除只商作/九数待酌)遂合初商次商共四十九依法自乘得
历算全书 卷五十九 第 60a 页 WYG0795-0413a.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0413a.png)
尽即定四十九为三乘方根
历算全书 卷五十九 第 60b 页 WYG0795-0413b.png
![](https://c.cnkgraph.com/kanripoimgs/KR3f0026/WYG0795/WYG0795-0413b.png)
历算全书卷五十九