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历算全书 卷五十八 第 1a 页 WYG0795-0353a.png
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历算全书卷五十八
宣城梅文鼎撰
几何补编卷四
方灯
凡灯形内可容立方立方在灯体内必以其尖角各切
于八三角面之心
如图
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分立方面之边为点而联为
斜线则各正方面内成斜线
正方依此斜线斜剖而去其
角则成灯体矣此体有正方
面六三角面八而边线等故
亦为有法之体
凡灯体内可容八等面八等面在灯体内又以其尖角
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凡灯体内可容立圆此立圆内仍可容八等面此八等
面在立圆内可以各角切立圆之点同会于灯体之六
方面而成一点
凡灯体容立圆其内仍可容诸体然惟八等面在立圆
内仍能切灯体馀不能也按圆灯在立圆内亦能切灯
体与八等面同
凡诸体相容皆有一定比例以其外可知其内
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四十一(四二/一三)为灯之高及其腰广(边如方面高广如/斜故倍幂求之)
以高一百四十一(四二/一三)乘方斜之面幂二万得二百八
十二万八千四百二十六为方斜之立方积
立方积五因六除得二百三十五万七千○二十一为
灯积
灯积为立方六之五
以灯积减立积馀四十七万一千四百○五为内容八
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高 其积之比例为立积六之一为灯积五之一
此相容比例
八等面与灯积不惟同高广亦且同边故五之一亦即
为八等面与灯积同边之比例也
灯形内容立方其边为灯体高广三之二 设灯体边
一百其高广一百四十一(四二/一三)则内容立方边九十四
(二八/○八)立方积八十三万八千○五十一
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之一馀三之二如丙丁矩又去其两端六之一馀三之
二如戊正方丙丁矩一万三千
三百三十三(三/三)戊正方八千
八百八十八(八/八)为内容正方
之一面幂其根九十四(二八/○八)
以根乘面得八十三万八千
○五十一
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之皆近大边三之一灯内容
立方之八角皆切于平三角
之心灯改立方则所去者皆
四围斜面三之一于前形为六之一四围皆六之一合
之为三之一而所存必三之二矣
凡立方体各自其边之中半斜剖之得三角锥八此八
者合之即同八等面体
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径为立方则中含八等面体而其体积之比例为六与一
何以言之如己心辛为八等
面之中高庚心戊为八等面
之腰广己庚己戊戊辛辛庚
则八等面之边也若以庚心
戊腰广自乘为甲乙丙丁平面又以己辛心中高乘之
为甲乙丙丁立方(立方一面之/形与平面等)则八等面之角俱正切
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心辛庚心戊皆八等面(己庚/等面)为方之斜也故曰以其斜
径为立方则中含八等面体也
又用前图甲乙丙丁为立方之上下平面从己庚庚辛
辛戊戊己四线剖至底则所存为立方之半而其所剖
三角柱体四合之亦为立方之
半也
此方柱也其高之度如其方之斜
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柱则成此体 其积为立方
之半为八等面之三倍其中
仍容一八等面体
八等面体在方柱体内
柱形从对角斜线(如己辛/戊庚)剖
至底又从对边十字线(如丑/尾卯)
(箕/)剖至底又从腰线(角申/亢)横
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(如心辛申/未丑之体)
三角柱眠视之则堑堵也
堑堵从一尖(即心/尖)斜剖至对
底(未/申)则鳖臑也鳖臑居堑堵
三之一
堑堵立则为三角柱鳖臑立
则为三角锥
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亦剖至对边而皆至底(子/)又
从腰(角申/亢)横剖之则成三角
锥十六
夫方柱为堑堵十六而八等
面为鳖臑亦十六则堑堵鳖
臑之比例即方柱八等面之
比例矣鳖臑为堑堵三之一
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面既为方柱三之一不得不为立方六之一矣
立方内容灯体
甲庚立方体六面各平分其
边(如壬丑癸卯及子/未酉午辰诸点)而斜剖
其八角(如从丑癸剖至子从/从癸卯剖至酉从酉)
(剖至午未则立/方去其八角)成灯体
灯体立方六之五
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合之即成八等面八等面既
为立方六之一则所存灯体
不得不为立方六之五矣
凡立方内容灯体皆以灯之边线为立方之半斜立方内
之灯体又容八等面则以内八等面之边线为立方之
半斜与立方竟容八等面无异推此灯内容八等面其
边线必等其中径亦等
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剖立方之角成此
以剖处为底则三边等以立
方之角丁为顶成三角扁锥
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等面分体
凡八等面容灯体皆以灯体
之边线得八等面之半八等
面内之灯体又容立方则亦
方斜比例与八等面竟容立
方无异也
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乙皆八等面之一己子卯等
小三角在甲丁丙等大三角
面内即灯体之八斜面正切
于八等面者也其中央心点
即内容立方角所切
等径之比例
立方径一 其边一 其积一 一○○○○○○
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内容八等面径一 其边○七 其积六之一○一六六六○○
凡立方内容灯体灯内又容立圆圆内又容八等面其
切于立方之面之中央凡六处皆同一点若立圆内容
灯体灯内又容立方方内又容八等面其相切俱隔远
不能同在一点
凡灯体皆可依楞横剖如方灯横剖成六等边面故其
外切立圆之半径与边等 如圆灯横剖成十等边面
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其大分
凡诸体改为灯皆半其边作斜线剖之
凡灯体可补为诸体皆依其同类之面之边引之而会
于不同类之面之中央成不同类之锥体乃虚锥也虚
者盈之即成原体所以化异类为同体也
如方灯依四等边引之补其八隅成八尖即成立方
若依三等边引之补其六隅成六尖即成八等面
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二等面若依三等边引之补其十二隅成十二尖即成
二十等面
增异类之面成锥则改为同类之面而异类之面隐此
化异为同之道也
凡灯体之尖皆以两线交加而成故棱之数皆倍于尖
(方灯十二尖二十四棱/圆灯三十尖六十棱)
凡灯体之棱(即/边)皆可以联为等边平面圈 如方灯二
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线 圆灯六十楞联之则成六圈每圈皆十等边如三
十六度分圆线 此外惟八等边联之成三圈每圈四
楞成四等面而十二棱成六尖有三棱八觚之正法
其馀四等面十二等面二十等面皆不能以边正相联
为圈
灯体亦有二
其一为立方及八等面所变其体有正方之面六三角
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其一为十二等面二十等面所变其体有五等边之面
十二有三角等边之面二十有边楞六十而皆同长棱
尖凡三十
立方及八等面所变是刓方就圆终𢃄方势谓之方灯
十二等面及二十等面所变是削圆就方终带圆体谓
之圆灯方灯为立方及八等面所变其状并同而比例
同
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壬癸子皆其边折半处各于
折半点联为斜线(如丙戊/丙己等)依
此灯体斜线剖而去其角则
成灯形矣
灯形之丁辛高丙丁阔皆与立方同径 其边得立方
之半斜(假如立方边丁辛一百则/灯体边丁壬七十有奇)其积得立方六之五
(假如立方边一百其积百万则灯体边七十/有奇其积八十三万三千三百三十三三三)此为立方
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(灯体边亦一百则其积二百三十五万七千○二/十一而立方一百之积只一百万是反小于灯也)
解曰灯体边一百(如前图/之丁壬)其外切立方必径一百四十
一(四二一三如/前图之丁辛)其自乘之幂二万以径乘幂得二百八
十二万八四二六为立方积再五因六除得灯积二百
三十五万七千○二十一
又法以灯边自乘倍之开方得根仍以根乘倍幂再五
因六除
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甲乙为八等面体 甲乙丙
丁戊皆其边棱所辏之尖
甲丙丁面三边皆等其三边
折半于辛于庚于己
甲丁戊面其边折半于辛于
壬于癸乙丙丁面其边折半
于寅于己于丑乙丁戊面其
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小三等面如甲丙丁面内又成庚辛己三等边面其边
皆半于原边如庚辛得丁丙之半馀三边同
各自其小三角之面之边剖之而去其锥角则成灯形
矣
如依辛巳己丑丑癸癸辛四边平剖之而去其丁角(以/丁)
(角为尖辛巳丑癸为底成/扁方锥甲丙乙戊尖并同)则所剖处成辛巳丑癸平方
面(去甲壬辛庚锥成卯壬辛庚面去丙庚己/寅锥成庚酉寅己面并同一法馀可类推)
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各存原八等面中小三角等边面八与立方剖其八角
者正同
灯形之高阔皆得八等面之半
如辛丑高得甲乙之半
己癸阔得丙戊之半
其边亦为八等面原边之半
其积得八等面八之五
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其边上立方积为比例故边
得二之一其积必八之一也
今所剖去之各尖俱以平
方为底而成方锥两方锥合
为一八等面体皆等面等边
与原体为同类而其边正得
原边二之一则其积为八之
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类八等面之体凡三其积共为原积八之三以为剖去
之数则所存灯体得八之五也
如上图甲乙二锥合为八等面体一丙戊二锥合为八
等面体一 丁尖及所对之尖其二锥合为八等面体
一 通共剖去同类之形三
假如八等面之边一百则其积四十七万一千四百○
四其所容灯体边五十其积必二十九万四千六百二
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或用捷法竟以十六归进位所得灯积亦同
右法乃八等面内容灯体比例也
若灯体之边与八等面同大则其积五倍大于八等面
假如灯体边一百则其积二百三十五万七千○二十
以八等面边一百之积四十七万一千四百○四加五
倍得之 此法则灯体与八等面同为立方所容之比
例亦即为灯内容八等面之比例
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外灯体八之一
灯体内容八等面 五之一 (用畸零乘法化大分为小分/以八等面母数八乘五之一)
八等面内容灯体 八之五 (得八乘母数五得四十/)
外灯体四十 八等面体八 内灯体五 合之为内体得外
体四十之五约为八之一
又八等面容灯灯又容八等面内八等面亦为外八等面八之
一 其体之比例既同则其所容之比例亦同也
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二内立方积得外立方积二十七之八
以三之二自乘再乘为三加之比例也
六 之 五 一百三十五
二十七之八 四十八
准此而知灯内容立方则内立方积得灯积一百三十五之四
十八 若灯容立方立方又容灯则内灯积亦为外灯积二十
七之八其为所容者之比例即能容者之比例故也
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三角锥棱皆五十即原边之
半(甲乙甲/丙甲丁) 底之边皆七十
○(七一/○七)即灯体之边(丙乙乙/丁丁丙)
其半三十五(三五五三/乙戊戊丁)
求甲戊斜垂线
法曰乙丁为甲乙之方斜线则甲戊为半斜与乙戊戊
丁等皆三十五(三五/五三)其幂皆一千二百五十
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以戊丁幂三因之为丙戊幂平方开之得六十一(二三/七二)
为丙丁乙等边三角形中长线
求甲己中高线
法以戊丁幂(一千二/百五十)取三之一为己戊幂(四百一十六/六六六六)
与甲戊幂(即丁/戊幂)相减馀(八百三十三/三三三三)为甲己中高幂开
方得甲己中高二十八(八六/七五)
又以己戊幂开方得己戊二十○(四一/二四)以己戊(二十○/四一二)
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(六十四○/五七五)为乙丙丁三等边幂
又以中高甲己(二十八八/六七五)乘之得数三除之得三角锥
积二万○八百二十三(六六/三五)又八乘之得一十六万六
千五百八十七(三/○)为所去八三角锥共积即立方一百
万六之一与前所推合(本该一十六万六千六百六十/六六六不尽因积算尾数有欠)
(然不过万/分之一耳)
圆灯为十二等面二十等面所变体势并同而比例亦
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公法皆于原边之半作斜线相联则各平面之中成小
平面此小平面与原体之平面皆相似即为内容灯体
之面 依此小平面之边平剖之去原体之锐角此所
去之锐角皆成锥体锥体之底平割锥体则原体挫锐
为平亦成平面于灯体原有若干锐亦成若干面而与
先所成之小平面不同类然其边则同
如图
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其各边之半联为斜线则成
小平面于内亦五等边为同
类
依此斜线剖之而去其角所
去者皆成三角锥锥体既去
即成三等面为异类
原有十二面故所存小平面
历算全书 卷五十八 第 19b 页 WYG0795-0362b.png
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原有二十尖故所剖锥体而
成异类之面者亦二十
求灯体边
法以十二等面边为理分中末之大分求其全分而半
之即为内容灯体之边
一率 理分中末之大分 六十一(八○三/三九八)
二率 理分中末全分之半 五十○
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四率 内容灯体之边 八十○(九○/一七)
灯体边原为大横线之半十二等面边与其大横线若
小分与大分则亦若大分与全分也而十二等面边与
灯边亦必若大分与全分之半矣
总乘较为实戊丙底为法法
除实得丙辛以丙辛减戊丙
得戊辛折半为戊己
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幂用减甲戊幂馀为甲己幂
开方得一十七(八四/一一)为中高
今改用捷法(省求/丙辛)取戊丙幂
九之一为戊己幂(戊己为戊/内三之一)
(故其幂为/九之一)得五百四十五(四/二)
(三/七)
或径用戊丁幂三之一亦同
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甲丁(即甲丙/或甲乙)幂为甲己幂开方即得甲己中高比前法
省数倍之力
戊丁幂 一千六百三十六(二七/一二)
三之一 五百四十五(四二/三七)
并得 二千一百八十七(六九/四九)
甲丁(即甲/丙幂)二千五百○○
相减馀(甲乙/幂) 三百一十八(三○/五一) 与前所得同
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之一减甲戊幂得甲己幂今以戊丁三分加一而减甲
丁幂即径得甲己幂其理正同
前之捷法有求丙辛及较总相乘后用底除诸法可谓
捷矣今法径不求甲戊斜垂线捷之捷矣凡三角锥底
阔等者当以为式
订定三角锥法(圆灯所去/)
用捷法以戊丁幂三分加一减甲丁幂为甲己幂
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丙丁(丁乙/乙丙)皆八十○(九○/一七)其
半(戊丁/戊乙)四十○(四五○/八半)
丙戊七十○(○六/二九)为底之垂线
甲己一十七(八四/一一)为中高
丙乙丁底幂二千八百三十四
(一○/三八)
法以半边(戊/丁)乘中长(丙/戊)得底幂(丙乙/丁) 以中高(甲/己)乘底
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之得锥积一万六千八百五十四(五○/九七) 又以二十乘
之为灯体所去之积三十三万七千○九十○(一九/四○)
十二等面边设一百前推其积为七百六十八万三千
二百一十五今减去积三十三万七千○九十存灯积
七百三十四万五千一百二十五 内容灯体边八十
○(九○/一七)
依测量全义凡同类之体皆以其边上立方为比例可
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二十等面边设一百则灯体之边五十
捷法求得一百七十三万三千九百四十八为设边五
十之灯积
一 灯体边八十○(九○/一七)之立方五十二万九千○百○八(五/)
二 灯体积七百三十四万五千一百二十五
三 灯体边五十之立方一十二万五千
四 灯体五十之积一百七十三万三千九百四十八
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边设三十○(九○一七即理分/中末之大分乙丁)
外切立圆半径五十(即理分中末之/全分丁中乙中)
外切立圆全径一百(即外切/立方)
体积四十○万三千三百四十九
内有三角锥计二十共计一十二万
八千七百五十二
五棱锥计十二共积二十七万四千
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丁中丙乙三角锥为圆灯分体之一 乙丁丙三等边
面巳为平面心 中为体心 中巳为分体之中高
戊丁为半边丁中自体心至角线为分体之棱 戊中
为斜垂线
乙癸中辛五棱锥亦圆灯分体之一 乙丁癸壬辛五
等边面庚为平面心 中庚为分体中高 其戊丁半
边丁中分体棱戊中斜垂线与前三角锥皆同一线
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所同用而两种锥体皆以体心中为其顶尖故诸线不
得不同观上图自明
先算三角锥(共二十/)
半边一十五(四五○/八五)戊丁幂二百三十八(七二/八七)
平面容圆半径(即戊/巳)○八(九一/○五)其幂七十九(五七六二/用捷法取)
(戊丁幂以/三除得之)
平面积(乙丙/丁面)四百一十三(四八/七九)
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(己幂减之为巳中幂今径以戊丁幂加/三之一减丁中幂为己中是捷法也)
三角锥积六千四百三十七(六六/二○)
二十锥共积一十二万八千七百五十三(三/四)
次算五棱锥(共十二/)
半边一十五(四五○八/五戊丁)
半周七十七(二五四二五用/半边五因得之)
平面容圆半径二十一(二六六三/戊庚)
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中高四十一(七八五三/庚中)
五棱锥积二万一千九百六十二(六/六)
十二锥共积二十七万四千五百九十六
求戊庚半径
一率 三十六度切线 ○七二六五四
二率 全数 一○○○○○
三率 半边戊丁 一十五(四五/八五)
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戊丁句幂二百三十八(七二/八七)
丁中弦幂二千五百○○
戊中股幂二千二百六十一(二七/一三)
戊庚句幂四百五十二(二五/五五)
戊中弦幂二千二百六十一(二七/一三)
庚中股幂一千八百○九(○一/五八)
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一 灯体边五十之立方一十二万五千
二 灯体边五十之体积一百七十三万三千九百四
十八
三 灯体边三十○(九○/一七)之立方二万九千五百○八
(四九/八七)
四 灯体边三十○(九○/一七)之体积四十○万九千三百
二十九与细推者只差五千九百八十为八十分之一
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锥积二万二千八百八十三
十二锥共积二十七万四千五百九十六
孔林宗附记
方灯可名为二十四等边体 圆灯可名为六十等边
体
四等面体又可变为十八等边体为六边之面四为三
边之面四凡十二角
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十二十字之交六凡八角如蒺藜形
六等面体又可变三十六等边体为八边之面六为三
边之面八凡二十四角
八等面体亦可变三十六等边体为六边之面八为
四边之面六凡二十四角
又可变四十八等边体为四边之面十八为三边之面
八凡二十四角
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甲大圆内容乙戊丙三小圆
法以小圆径(如乙戊/戊丙)为边作
等边三角形而求其心如丁
乃于丁戊(三角形自/心至角线)加戊甲
(小图/半径)为大圆半径(丁/甲)
凡平圆内容三平圆四平圆五平圆六平圆皆以小圆
自相扶立 若平圆内容七平圆以上皆中有稍大圆
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甲大浑圆内容丙戊乙己四
小浑圆法以小浑圆径(如乙/戊戊)
(巳/等)为边作四等面体而求其
体心如丁 次求体心至角
线(如丁戊丁己丁乙丁丙/又为外切立圆半径)加小浑圆半径(即戊/甲)为大圆
半径(如丁/甲)
凡浑圆内容四浑圆或容六浑圆或容八浑圆十二浑
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多馀空必内有稍大浑圆夹之
甲大平圆内容乙戊丙己四
小平圆法以小圆径(如乙/戊等)为
边作平方(如乙戊/丙己方)而求其斜
(如丁乙即方心/至小圆心线)加小圆半径
(如乙/甲)为大圆半径(如丁/甲)
若先有大圆(甲/)而求所容小圆则以三率之比例求之
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二率 方根 一○○
三率 所设之浑圆半径 丁甲
四率 所容之小圆半径 乙甲
推此而知五等边形于其锐角为心半其边为界作小
圆而以五等边之心至角如半边以为半径而作大圆
则大圆容五小圆俱如上法
若六等边于其锐作小圆仍可于其心作圆共七小圆
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二分加一为大圆半径
甲大浑圆内容乙丙等六小
浑圆
法以小浑圆之径为边作八
等面虚体如乙己丙辛戊皆
小立圆之心联为线则成八
觚 乃求八等面心(丁/)至角
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为大浑圆半径(如甲/丁)
捷法以小浑圆径为方(即乙/己丙)
(辛平/方)求其斜(如丁/乙)加小圆半
径(如甲/乙)为大圆半径或以小浑圆径自乘而倍之开方
得根加小圆半径为大圆半径亦同
或先得大圆而求小圆径则用比例
一率 方斜并 二四一四
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三率 所设大浑圆之径
四率 内容六小浑圆之径
甲浑圆内容乙丙戊已庚壬辛及癸丑子寅卯十二小
圆
法以小立圆径(如乙/丙等)作二十
等面虚体之棱(如乙丙等俱/小圆之心联)
(为线则成二/十等面之棱)次求体心(丁/)至
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径(如甲/乙)为大圆半径(如甲/丁)
按体心至角线即二十等面
外切圆半径
二十等面之例边一百(即小/浑圆)
(例/径)
外切浑圆例径二百八十八
(一三/五五)
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加小浑例径得此数
若先有大浑圆而求所容之十二小浑圆则以二率为
一率四率为三率
一 外切浑圆之例径二百八十八(一三/五五)
二 二十等面之例边一百(即小浑/圆例径)
三 设浑圆之全径一百
四 内容十二小浑圆之径三十八(六九/四八) (其比例如全/分与小分)
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法以甲庚圆径取三之一(如/丁)
(乙庚/辛等)为小圆径若容八圆以
上则其数变矣假如以七小圆
均布于大圆周之内而切于
边则中心一小圆必大于七
小圆而后能相切(以上/仿此)
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法以小圆径作立方(如乙/庚方)求
其立方心至角数(即外切浑/圆半径如)
(乙/丁)再加小圆半径(如甲/乙)为大
浑圆半径(如甲/丁)
按八小员半径十(甲/乙)则其全径二十内斜线(乙/丁)十七加
(甲/乙)共二十七内减小圆径二十馀七倍之得十四是比
小圆半径为小其比例为十之七安得复容一稍大小
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又二十等面有十二尖可作十二小圆以居大浑圆之
内而为所容
又八等面有六尖可作六小圆为大浑圆所容 四等
面有四尖可作四小圆
又方灯亦有十二尖可作十二小圆为大浑圆所容其
中容空处仍容一小圆为十三小圆皆等径也
十二等面有二十尖用为小浑圆之心可作二十小立
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圆灯尖三十可作三十小球亦皆以内稍大浑圆夹之
公法皆以心至尖为小浑圆心距体心之度皆以小浑
圆径为所作虚体边
如作内容二十小浑圆联其心成十二等面虚体
虚体之各边皆如小浑圆径也虚体之各尖距心皆等
此距心度以小浑圆半径加之为外切之大浑圆半径
以小浑圆半径减之为内夹稍大浑圆半径
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公法凡有法之体在浑圆体内其各尖必皆切于浑圆
之面
凡浑圆面与内容有法体之尖相切成点皆可以八线
知其弧度所当
内惟八等面皆以弧线十字相交为正角馀皆锐角其
十二等面则钝角
十二等面每面五边等析之从每面之角至心成平三
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皆七十二度半之三
十六度即甲心乙角
其馀心乙甲角必五
十四度倍之为甲乙
丁角则百○八度故
为钝角
凡浑圆面切点依内切各面之界联为曲线以得所分
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如四等面则其分为弧面者亦四而皆为三角弧面十
二等面则亦分弧面为十二而皆成五边弧形八等面
则弧面亦分为八二十等面弧面亦分二十而皆为三
角弧形内惟六等面为立方体所分弧面共六皆为四
边弧形
凡浑圆面上以内切两点联为线皆可以八线知其几
何长
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其周作圈线即为圆浑体过极大圈以八线求两点所
当之度即知两点间曲线之长
凡浑圆面以曲线为界分为若干相等之弧面即可以
知所分弧面之幂积
假如四等面外切浑圆依切点联为曲线分浑圆面为
四则此四相等三角形弧面各与浑圆中剖之平圆面
等幂何也浑圆全幂得浑体中剖平圆面之四倍今以
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推此而知六等面分外切浑圆幂为六即各得中剖平
圆三之二
八等面分浑圆幂为八即各得中剖平圆之半幂
十二等面分浑圆幂为十二即各得中剖平圆三之一
二十等面分浑圆幂为二十即各得中剖平圆五之一
凡依等面切浑所剖之圆幂又细剖之皆可以知其分
幂
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四之一而作三角弧面若中
分其边而会于中心则一又
剖为三为浑圆幂十二之一
与十二等面所分正等但十
二等面所剖为三边弧线等此所分为四边弧线形如
方胜而边不等若自各角中会于心成三边形其幂亦
不等也
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(之半而/边不等)若但一剖为二则得浑圆幂八之一与八等面
所剖正等但八等面三边等又三皆直角此则边不等
又非直角
假如八等面所剖为浑幂八
之一若一剖为二则十六之
一剖为四则三十二之一可
以剖为六十四至四千九十
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剖亦如四等面之六剖也再细剖之可以剖为九十是
依度剖也可以剖为五千四百则依分剖也再以秒微
剖之可至无穷
惟八等面可以细细剖之者以腰围为底而两弦会于
极其形皆相似故剖之可以不穷
又以此知曲面之容倍于平面何也八等面所剖之浑
体腰围即平圆周也以平圆周之九十度为底两端皆
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之心则其幂为平圆四之一
若浑体四面以腰围九十度
为底两端各以曲线为两弦
以会于浑圆之极则其幂为
平圆二之一矣
假如六等面(即立/方)在浑圆内
剖浑幂为六得浑幂六之一
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所剖等剖为四则二十四之
一再剖则一为八而得四十
八之一
假如十二等面剖浑幂为十
二各得浑幂十二之一若剖
一为五则得六十之一再剖
一为十则得百二十之一而
历算全书 卷五十八 第 39b 页 WYG0795-0372b.png
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假如二十等面剖浑幂为二十各得浑幂二十之一若
一剖二则四十之一若一剖三则六十之一若一剖六
则百二十之一皆与十二等面所剖之幂等而边不必
等也
凡球上所剖诸幂以为底直剖至球之中心成锥形即
分球体为若干分
如四等面之幂得球幂四之一依其边直剖至球心成
历算全书 卷五十八 第 40a 页 WYG0795-0372c.png
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历算全书 卷五十八 第 41a 页 WYG0795-0373a.png
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平三角六边形之比例
平三角等边形
甲丁丙三边等形其边(丁/甲)折半
(丁/乙)自乘而三之即为对角中
长线幂开方得中长线丙乙
既得中长线丙乙以乘丁
乙半边即等边三角形积 若以丙乙幂丁乙幂相乘
历算全书 卷五十八 第 41b 页 WYG0795-0373b.png
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捷法不求中长线但以丁乙幂三因之与丁乙幂相乘
开方得根即三等边幂积 或用原边丁甲自乘得数
乃四分之取四之一与四之三相乘得数开方得三等
边积亦同
论曰边与边横直相乘得积若边之幂乘边之幂亦必
得积之幂矣故开方得积
法曰以原边之幂三因四除之又以原边之半乘之两
历算全书 卷五十八 第 42a 页 WYG0795-0373c.png
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解曰原边幂四之三即中长幂也半边乘二次以幂乘
也 又法以原边与半边幂相减相乘开方见积
平三角等边形幂积自乘之幂与平方形幂积自乘之
幂若三与十六(理同/前条)
解曰甲戊庚丁为平方形丁
丙甲为等边三角形其边同
为甲丁题言丁甲线上所作
历算全书 卷五十八 第 42b 页 WYG0795-0373d.png
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六之平方根也(即一七奇/与四○)
捷法于分面线上取三点为等边三角形积其十六点
即正方积 若以边问积则以边之方幂数于分面线
之十六点为句置尺取三点之句即得三等边积其设
数得数并于平分线取之(此用比/例尺算)
又法作癸卯辰半员辰癸为径于径上匀分十七分而
尽一端取其四分如丑癸(丑癸为辰癸十七分之四则/丑子为辰子十六分之三)
历算全书 卷五十八 第 43a 页 WYG0795-0374a.png
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半径作癸壬丑小半员又以
丁癸折半于子作卯子直线
(与辰癸径为/十字垂线)割小员于壬则
壬子与卯子之比例即三等
边幂与正方幂积比例
用法有三等边形求积法以甲丁边上方形(即庚/甲)积作
卯子直线如句四倍之作横线如辰子为股次引横线
历算全书 卷五十八 第 43b 页 WYG0795-0374b.png
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半径丁为心作半员截卯子于壬即得壬子为三等边
积
捷法不作辰子线但于子作半十字线如癸丁次于子
点左右取癸取丁各为卯子四之一乃任以丁为心癸
为界作割员分即割卯子于壬而为三等边形之积
论曰此借用开平方法也平方求根有算法有量法此
所用者量法也量法有二其一以两方之边当句当股
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用者中比例也(详比例/规解)
附三等边求容圆
法曰以原边之幂十二除之为实平方开之得容圆半
径
解曰原边幂十二之一即半边三之一也
附三等边形求外切圆
法曰以原边之幂三除之为实平方开之得外切圆半
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新增求六等边法
法曰六等边形者三等边之六倍也(以同边/者言) 用前法
得三等边积六因之即六等边积
依前法边上方幂与三等边形幂若四○与一七奇因
显边上方幂与六等边形幂若四○与十○二奇(亦若/一○)
(○与二/五五)
今有六等边形问积 法以六等边形之一边自乘得
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解曰置四○与一○二各以四除之则为一○○与二
五五之比例也
若问员内容六等边形者即用员半径上方幂为实以
二五五为法乘之得数降二位见积亦同(降二位者一/○○除也)
依显平员积与其内容六等边形积之比例若三一
四与二五五
论曰六等边形之边与外切员形之半径同大故以半
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(形亦若一/与二五五)然则员全径上方
形与内容六等边形必若四
○○与二五五(全径上方原/为半径上方)
(之四/倍)而员面幂积与六等边形积亦必若三一四与二
五五矣(员径上方与员幂原若/四○○与三一四故也)
用尺算 用平分线 求同根之幂
平方幂 四○○ 八十○ (皆倍而退/位之数)
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六等边幂 二五五 五十一
三等边幂 一七○ 三十四
右皆方内容员员内又容六角之比例其六等边与
员同径乃对角之径也于六等边之边则为倍数三
等边则只用边
若六等边形亦即用边与平方平员之全径相比则如
后法
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平员 三一四 平员 七八五四
六角 一○二○ 六角 二五五○○
三角 一七○ 三角 四二五○
论曰以平方平员之径六角三角之边并设二○则为
平方四○○之比例若设一○○则如下方平方一○
○○○之比例也
量体细法
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法曰以原边之幂三除之得数以乘边幂得数副寘之
又置边幂二十四除之得数以乘副平方开之即四等
面积也
又法置半边幂三除之得数以乘半边幂得数副寘之又
以六为法除半边幂得数为实平方开之即四等面积四
分之一也(即三角/扁锥)
算二十等面
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(方与十二等面/同故改此数) 心乙一百四十四(即原切十等边之/半径又为外切立)
(方之/半径) 外切立方径二百八十八
求中心为分体之高 法先
求乙中(乃各棱折半处至三/角面中央一点之距)
依几何补编半甲丁得八
十九为甲乙自乘(七千九百/二十一)
取三之一(得二千六百四/十又三之一)为
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(一万八千○九/十五又三之二)为股幂开方得心中一百三十四半强
为分体锐尖之高倍之得二百七十九半弱为内容立
员径
求甲心为分体斜棱 法以甲乙为句其幂(七九/二一)以乙
心为股其幂(二○七/三六)并之(二八六/五七)为弦幂开方得甲心
一百六十九二为分体自角至锐之斜棱 倍之三百
三十八半弱为外切浑员之径
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取其弦(甲心或/丁心)为二十等面自角至心之楞线合
之成甲心丁形即二十等面分形之
斜立面也甲丁则原形之楞也
如(甲心/丁)之面三皆以心角为宗以甲
心等弦合之(三面皆/有此弦)则甲丁等底(三/底)
(并同/甲丁)以尖相遇而成三等边之面即
二十等面之一面也以此为底则成
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解曰乙戊与甲乙等而甲心与戊心(即乙/心)不等如弦与
股(乙戊即十等边之一边乃/二十等面横切之面之边)今欲求心中正立线中即
二十等面一面之中自此至
心成心中线则其正高也
法先求甲中为句取其幂以
减甲心弦幂即心中股幂开
方得心中
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(即原楞均半处至形/心即斜立面中线)之幂即心中幂
又解曰原以甲乙半楞(又即二十等面中剖所成之楞/即十等边之一边故为小分)
为句(在形内为小分乃乙戊也今形外/之甲乙与甲乙同大故亦为小分)乙心(即二十等/面中切成)
(十等边自角至心之弦故为大分又即/为二十尖锥各立面三角形之中长线)为股则甲心为
弦(自各角至/体心之线)而甲心弦幂内有乙心股甲乙句两幂今
求心中之高则又以甲中为句自各角至各面心也而
仍以甲心为弦弦幂内减甲中句幂则其馀心中股幂
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乙心幂内减去甲乙幂三分之一即成心中股幂
又解曰若以乙心为弦则中乙为句而心中为股依补
编中乙幂为甲乙幂三分之一故直取去甲乙幂三之
一为句幂以减心乙弦幂即得心中股幂开方得心中
此法尤捷
作法 以二十等面之楞(如甲/丁)折半(如甲乙或丁/乙亦即甲戊)为理
分中末之小分求其大分(如乙心即二十等面各楞线/当中一点至心之线亦即外)
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其弦(甲心即二十等面自各角至心之/线谓之角半径亦即切员半径) 再以原楞(甲/丁)
为底切员半径为两弦(甲心及/丁心)成两等边之三角形即
二十等面体自各角依各楞线切至体心而成立锥体之
一面三面尽如是则成三角立锥矣 如是作立锥形
二十聚之成二十等面体
立锥体之中高线(心/中)以乘三体面之幂而三除之得各
锥积二十乘锥积得立积 其中高线(心/中)即内容立员
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立方内容二十等面体其根之比例若全分与大分
立方内容十二等面体其根之比例若全分与小分
二十等面体之分体并三楞锥以元体之面为底
原体之楞(甲/丁)折半(甲/乙)为小分为句取其大分(心/乙)为股句
股求弦得自角至心为外切员之半径(心/甲)
假如(甲/丁)原楞一百一十半之得甲乙半楞五十五自乘
(三千○/二十五)为句幂其大分乙心(即外切立/方半径)八十九自乘(七/千)
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(百四/十六)平方开之得弦(一○四/又六二)
(不尽约为一/○四半强)为角至体心之
线(心/甲)即外切立员之半径
算二十等面之楞于浑天度
得几何分
法以心甲为浑天半径甲乙
为正弦法为心甲与甲乙若
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通弦所当之度
算十二等面
五等边面为十二等面之一 面有五边在体之面则
为五楞锥其一楞设一百一十(甲/丙)半之五十五(乙/丙)以甲
丙为小分求其大分得一百七十八丙戊也(即丙丁壬/丁壬戊丁)
(角为丙中甲角之半与/平圆十等边之一面等)半之八十九已丙也(即乙辛以/丙巳乙为)
(两腰等形辛巳乙亦两腰等形故辛乙与巳丙等丙巳分乙/乙形与元形丙戊甲形相似巳角即戊角而乙丙为小)
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从腰围平切之十等边面也
又以乙辛为小分求得大分一百四十四心乙也(分图/辛心)
(乙形即前图辛心乙形乙辛为心壬之小分心乙为大/分乙心线即五等面一边折半处至体心之距丙点即)
(五等面边两楞相凑之角丙辛形/乙丙辛虚线形即前图乙)为甲丙半楞(乙/丙)之全分何则
前图之丙巳乙形乙丙为小分丙巳为大分试于辛乙
心形内(分/图)作庚辛乙形与丙巳乙形等(庚乙即乙丙五等面/一边之半乙辛庚辛)
(即丙巳乙巳为小/五边形之一边)则乙庚为小分乙辛为大分(心庚/同)今又以乙
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乙乃庚乙(小/分)辛乙(大分即/心庚)之并则乙心为庚乙之全分
矣其比例心乙与心庚若心庚与庚乙而乙心即外切
立圆半径也
右法杨作枚补
今求心中线为五等边最中一点(中/)至体心(心/)之距亦
即内容浑员半径
先求乙中线为五等边各楞折半处至最中之距 法
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一 半径 一○○○○○
二 乙甲中角(五十/四度)切线一三七六三八
三 半楞甲乙 五十五
四 中乙 七十五(七○/)
用句股法以心乙(一百四/十四)为弦中乙(七十/五七)为句句弦各
自乘相减得心中股幂平方开之得中高线(心中为容/员半径)
求得容员半径一百二十二半弱(心/中)
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法以甲乙(五五/)为句心乙(一四/四)为股并句股幂求甲心
弦
求得外切圆半径一百五十四强(甲/心)
十二等面根一一○(甲丙/)
外切立员半径一四四(心/乙)全径二八八○
内容浑员半径一二二半(心/中)全径二四五(弱/)
外切浑员半径一五四(甲/心)全径三○八(强/)
历算全书 卷五十八 第 54b 页 WYG0795-0379d.png
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原体之楞甲丙设一百一十半之乙甲五十五为小分
求其全分乙心一百四十四(即外切立/方半径)乙甲(五十/五)自乘
(三千○/二十五)为句幂心乙(一百四/十四)自乘(二万○七/百三十六)为股幂并
之得(二万三千七/百六十一)平方开之得弦(一百五/十四强)为自角至心
之线甲心即外切员半径
作法 以五等面之一边为
底楞(甲/丙)以外切员半径(角至/心之)
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分体之一如是十二枚则成十二等面体
变体数
求浑圆积
设浑圆径一○○○自乘得一○○○○○○又十一
(古/法)乘之得一一○○○○○○为实十四除之得○七
八五七一四为平圆面幂或用旧径七围念二之比例
亦得圆面七八五七一四以四因之得浑圆之幂三一
历算全书 卷五十八 第 55b 页 WYG0795-0380b.png
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置浑圆之幂以半径五○○因之得一五七一四二八
○○○是为以浑圆面幂为底半径为高之圆柱形积
置圆柱形积以三为法除之得五二三八○九三三三
是为以浑圆面幂为底半径为高之圆角形积亦即浑
圆之积
浑圆根一○○○体积五二三八○九三三三用为公
积
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置公积即浑圆积(五二三八○/九三三三)立方开之得立方根八
○六二○二七一七是为与浑圆等积之立方
方锥
置公积(五二三八○/九三三三)以三因之得数立方开之得高阔
相等之方锥形根一一六二二四四四四七是为与浑
圆等积之方锥
方
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圆柱
置公积(同/上)十四因之十一除之为实立方开之得高阔
相等之圆柱形根八七四二三九四二是为与浑圆之
积之圆柱
(圆/柱)
圆锥
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除之为实(变圆柱积/为立方积)立方开之得高阔相等之圆锥形
根一二五九四七五九是为与浑圆等积之圆锥 或
置积以四十二因之十一除之立方开之亦同
(圆/锥)
按变体线本法有四等面八等面十二等面二十等面
诸数表皆未及其同者惟有浑圆立方二形其馀三形
皆比例规解及测量全义之所未备今以法求之则皆
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仍可以法求者以其长阔相等则仍为有法之形也然
而与今西书所载合者二不合者一意者其传之有误
耶或其所用非径七围二十二之率耶俟考
浑圆以径求积
置径自乘又以半径乘之又四因之又以十一乘之以
十四除之又以三除之见积
历算全书 卷五十八 第 58a 页 WYG0795-0381c.png
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二十八圆周二十二两率各折半为十四与十一 径
自乘则为平方形以十一乘十四除则平方变为平圆
矣以平圆为㡳半径乘之成圆柱形再以三归之成圆
角形(即圆/锥)浑圆面幂为㡳半径为高之角形四倍大于
此圆角形故又四因之即成浑积也
捷法 径自乘以乘半径乃以四十四因四十二除见
积 或径上立方形二十二因四十二除或用半数十
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浑圆以积求径
置积以三因之四除之又以十四因之十一除之再加
一倍立方开之得圆径
解曰圆积是圆角形四今三因之变为圆柱形四矣故
用四除则成一圆柱此圆柱形是半径为高全径之平
圆为㡳今以十四乘十一除则变为全径之平方为㡳
半径为高矣故加一倍即成全径之立方
历算全书 卷五十八 第 59a 页 WYG0795-0382a.png
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径 或用本积以八十四乘四十四除立方开之 或
用半数以四十二乘二十二除立方开之 或又折半
以二十一乘乘十一除立方开之得积并同
按径七围二十二者乃祖冲之古法至今西人用之可
见其立法之善虽异城有同情也虽其于真圆之数似
尚有盈朒然所差在微忽之间而已吾及锡山杨昆生
柘城孔林宗另有法其所得之周俱小于径七围二十
历算全书 卷五十八 第 59b 页 WYG0795-0382b.png
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杨法立圆径一○○○○积五二三八○九二五六四
孔法立圆径一○○○○积五二三五九八七七五
约法
立方与立圆之比例若二十一与十一 平圆与外方
若十一与十四 平圆与内方若十一与七
圆内容方之馀(即四小/弧矢形)若七与四圆外馀方(即四角/减弧矢)若
十一与三准此则馀圆(即小/弧矢)与馀方若四与三而小弧
历算全书 卷五十八 第 60a 页 WYG0795-0382c.png
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历算全书 卷五十八 第 60b 页 WYG0795-0382d.png
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历算全书卷五十八