钦定四库全书
　历算全书卷五十五
　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰
　解八线割圆之根
　　八线割圆说
天体至圆最中一点为心过心直线为径圆面诸圈为
弧弧与径古用径一围三之比例(有密术徽术/各家不同)然终非
弧度之真盖圆为曲线径为直线两者为异类亘古无

相通之率夫日月星辰之道皆弧线也人目测视之线
皆直线也苟非由直线以得曲线纵推算极精皆非确
数于推步测量诸用所关甚钜其可略欤西儒几何等
书别立数法求得弧与径相准之率更以逐度之弧准
逐度之线内用弦矢外用割切于是始则因弧而求线
继则因线而知弧交互推求虽分秒之弧度尽得其准
立法之善即𨽻首商高复生无以易也第割圆八线表
虽久传于世而立法之根未得专书剖晰大测中如十

边五边形之理皆缺焉弗讲薛青州作正弦解亦仅依
式推衍未能有所发明予于历算生平癖嗜凡有奥义
必欲直穷其所以然而后快窃思割圆八线乃历算之
本源岂可习焉不察因反覆抽绎耿耿于心者数年积
思之久乃得渐次会通遂著其图衍其算理之隐赜者
明之法之缺略者补之会而成帙以备好学者之采择
云尔

　　立表之根有七
一大圆中止有径线初无边角可寻乃作者凭空结撰
求得七弧之通弦而全割圆表即从此推出又绝无假
借纽合之病割圆之巧孰有加于是焉
表根一　圆内作六等边切形求得六十度之通弦
法曰六十度之通弦与圈之半径等作表时命为十万
亦曰全数
解曰如图辛为心作甲丙丁圈甲丁为全径辛丁为半

径次取丁为心辛为界作戊庚辛圈与原圈相交于丙
于戊次引长丁辛线至庚必平分丙戊弧于丁亦平分
戊丙弧于辛(以丁为戊/庚圈心故)次作辛丙丙丁丁戊戊辛四线
成丁辛丙丁辛戊二形必皆三边等三角形何则丁为
　　　　　　　　　　心辛为界则丁辛与丁丙皆
　　　　　　　　　　为戊庚圈之半径仍用辛丁
　　　　　　　　　　为度辛为心丁为界则辛丁
　　　　　　　　　　又为甲己圈之半径辛丙亦

同则辛丁丁丙辛丙三线俱等而辛丁丙为三边等形
丁辛丙三角俱自相等每角六十度夫辛角在心者也
则丙丁弧为六十度丙丁即六十度之通弦与辛丁半
径等矣丁戊辛形仿此
次以丙辛引至己戊辛引至乙其甲辛己乙辛甲交角
俱与丙辛丁戊辛丁角等角等弧亦等即平分大圈为
六分次作丙丁等六线相连成六等边内切形等边等
角盖乙辛己丙辛戊两交角之弧既当六分圈之四则

中间己戊乙丙二弧亦必各为六分圈之一故成六等
边形皆以半径为边此天地自然之数也
表根二　圈内作四等边切形求得九十度之通弦
法曰半径上方形倍之开方得九十度之通弦
　　　　　　　　　解曰圈内四等边切形即内切
　　　　　　　　　直角方形也　如图甲癸丁圈
　　　　　　　　　庚为心作丁癸全径又作甲己
　　　　　　　　　全径与丁癸十字相交为凑心

四直角即平分大圆为四分每分九十度次作甲癸己
癸己丁甲丁四线相连成四边等形其切圈之甲丁己
癸四角俱为直角(以各角俱/乘半圈故)所容之癸甲丁己为正方
形甲癸等为九十度之通弦用甲庚癸直角形甲庚半
径上方与庚癸半径上方并开方得甲癸弦句股求弦
术也
　巳上二根并仍历书之旧
表根三　圈内作十等边切形用理分中末线求得三

十六度之通弦
法曰圈径上作理分中末线其大分为十边等形之一
边即三十六度之通弦今欲明十边形之理先解理分
　　　　　　　中末线欲明理分中末线先解方形
　　　　　　　及矩形
　　　　　　　一解曰凡正方形内(如乙庚/戊丙方)依一角
复作正方形(如丁/庚方)以小方之各边引长之如甲午辛壬
即分元方戊庚为四分小方之各边与大方之各边俱

两两平行其与小方丁庚相对之丁戊形亦必正方形
左右所截之午壬甲辛二形必皆矩形而恒自相等
一解曰任设一线如甲戊两平分之于乙又任引长之
为戊庚(长短/不论)其全线甲庚偕引长线戊庚(即子/庚)矩内形
　　　　　　　　　　(甲子/矩)及半元线甲乙(癸丑/等)上
　　　　　　　　　　方形(癸辛/方)并成子丑壬甲磬
　　　　　　　　　　折形此形与半元线(乙/戊)偕引
　　　　　　　　　　长线乙庚上之乙丙方形等

何则乙庚上方乙丙与磬折形子丑壬甲共用乙子矩
形今试以此两率各试去乙子矩形两所馀为乙壬矩
及丑丙矩夫此两矩形边各相等(辛丙与乙辛等辛丑/与壬辛亦等以壬丑)
(为正/方故)其幂亦必等则于乙子形加丑丙得乙丙方于乙
子形加乙壬得子甲壬磬折形亦无不等矣　又己辛
亦正方形以相对之己庚为正方故己辛方与壬丑方
亦等以同在甲庚癸子两平行线内又甲乙乙戊相等
故也分中末线

解理分中末线　明上二图可论理分中末线矣法曰
如图任作甲戊线两平分于乙以甲戊线自之作戊卯
方从乙平分处向丁作乙丁线次以甲戊引至庚令乙
庚与乙丁等于乙庚上作乙丙方又取庚子与戊庚等
作癸子线分戊丁于己则戊己为戊丁元线之大分己
丁为小分戊己丁己戊丁三线成连比例戊丁与戊己
若戊己与己丁而戊己为中
解曰依上二图之论甲庚线偕戊庚矩形及乙戊(即甲/乙)

上方形并与乙庚上方等今乙庚线既令与乙丁等则
　　　　　　　　　乙丁上方亦与乙庚上方等是
　　　　　　　　　甲庚偕戊庚矩形及乙戊上方
　　　　　　　　　并与乙丁上方等而乙丁上方
　　　　　　　　　与乙戊丁戊上两方之并等此
二率者共用乙戊上方试以此二率各减去乙戊上方
则所存之戊卯方与甲子矩形必等矣夫戊卯方既与
甲子矩等又共用甲己矩形试各减去甲己矩形则所

存戊子方与卯巳矩形必等矣卯巳与戊子两矩形既
等又以巳直角相连则两形之边为互相似之比例癸
己与巳子若戊己与己丁夫癸己即戊丁也则戊丁与
戊己若戊己与己丁为连比例而戊己为中率戊己上
方(二三/率)与戊丁(一/率)偕己丁(四/率)矩形等戊丁全线为首率
戊己大分为中率减戊丁(甲戊/同)存己丁小分为末率盖
理分中末线云者于一直线上作连比例之谓也求之
法以所设甲戊半于乙为句甲戊为股(即戊/丁)求乙丁弦

即乙庚也减乙戊句存戊庚即戊己大分减戊丁元线
存己丁小分
又甲戊引长线止于庚者欲令乙庚等乙丁也若不为
连比例戊庚可任意引长之如前二图之论然理分中
末线法实从二图之理推出其关键全在乙庚乙丁二
线等也
解理分中末线大分为三十六度之通弦　观上诸论
可明理分中末线之法然何以知其大分能为十等边

形之一边如图任作甲乙线用上法分之于内为理分
中末线甲乙与甲丙若甲丙与丙乙甲丙其大分丙乙
其小分次用甲乙全线为半径甲为心乙为界作圈又
从乙作乙丁合圈线令与甲丙等末从圈心作甲丁线
相连其甲乙甲丁两半径等即甲丙丁为两腰等三角
形夫此三角形其腰间之甲乙丁甲丁乙二角必各倍
大于底上甲角何则试从丙作丙丁线于甲丙丁角形
外作甲丙丁外切圈其甲乙偕乙丙矩内直角形与甲

丙上方形等(因连比/例等)亦即与至规外之乙丁上方等而
乙丁切小圈于丁为切线即乙丁切线偕丁丙线所作
乙丁丙角与负丁甲丙圈分之甲角交互相等(见几何/三卷三)
　　　　　　　　　　　(十/二)此二率者每加一丙丁
　　　　　　　　　　　甲角即甲丁乙全角与丙
　　　　　　　　　　　甲丁丙丁甲两角并等夫
　　　　　　　　　　　乙丙丁外角与丁甲相对
　　　　　　　　　　　之内两角并等即乙丙丁

角与甲丁乙全角等而与相等之甲乙丁亦等丙丁与
乙丁两线亦等夫乙丁原与甲丙等即丙丁与丙甲亦
等因丙甲丁丙丁甲两角亦等又甲角既与乙丁丙角
等即乙丁丙甲丁丙两角亦相等是甲丁乙倍大于丙
丁甲亦即倍大于相等之丙甲丁角也而甲乙边与甲
丁等则甲乙丁角亦倍大于甲角也
次解曰丙丁乙角何以知其与丙甲丁角交互相等试
作未丁全径与乙丁为直角又作未丙线成未丙丁直

角夫丙未丁丙丁未二角并与一直角等乙丁未亦一
直角此二率者各减去未丁丙角所存丙丁乙丙未丁
二角必等夫丙未丁负圈角也丙甲丁亦负圈角也同
负丙丁弧则丙甲丁角与丙未丁角等夫未角与丙丁
乙角等也今既与丙甲丁等则丙甲丁角亦必与丙丁
乙角等
依上论显甲乙丁形之乙丁二角俱倍大于底上甲角
形内之丙丁乙形与甲乙丁原形相似其丙乙二角亦

倍大于乙丁丙角乙丁丙丁甲丙三线俱等夫甲丁乙
形之甲乙丁三角并等两直角今乙丁二角既倍大于
甲角是合乙甲丁角而为五分两直角矣则乙甲丁角
该五分两直角之一为三十六度夫五分两直角之一
与十分四直角(全周/)之一等则乙甲丁角或乙丁弧即
十分圈之一分乙甲丁甲又各为半径则乙丁即十等
边形之一边夫乙丁与丙丁等丙丁与甲丙等则甲丙
与乙丁亦等而甲丙即理分中末线之大分故圈径上

作理分中末线其大分为三十六度之通弦
圈内作十等边切形法　先依上作甲丁乙两腰等三
角形以甲乙甲丁各引至圈界为乙己丁戊其己戊弧
与乙丁等次以戊乙弧半于庚作乙庚戊庚二线各半
之于辛于壬又作癸丑子寅卯庚诸线俱过甲心各抵
圈界即平分大圆为十分末作戊己等十线相连即所求
　十边形之理据历书见几何十三卷九题而几何六
　卷巳后之书未经翻译不可得见考之他书未有发

　明其义者余特作此解之
表根四　圈内作五等边内切形求得七十二度之通弦
法曰六边形上方形及十边形上方形并开方得七十
二度通弦
解内切五等边形法　法曰甲乙丁圈于圈内作甲丙
　　　　　　　　丁两腰等乘圈角形令腰间丙丁
　　　　　　　　二角各倍大于甲角即甲角所乘
　　　　　　　　之丙丁弧为全圈五分之一何则

甲丙丁形之三角并等两直角今丙丁二角既各倍大
于甲角则甲角为五分两直角之一又甲为乘圈角所
乘之丙丁弧必更倍大于甲角之度为全圈五之一矣
(七十/二度)夫丙于二角又倍大于甲角则其所乘甲丙甲丁
二弧亦必倍大于丙丁为全圈五分之二即作丙戊丁
乙二线平分丙丁二角亦平分甲丁甲丙二弧分大圈
为五平分丙丁线即五等边之一末作丁戊等四线相
连成五等边内切形等边等角　此系历书原法

新增作五等边形法
　　　　　　　甲庚壬平圆内作五边等形法任作
　　　　　　　切圆直线如子丑切平圆于甲乃以
　　　　　　　切点甲为心任作半圈如子寅丑次
　　　　　　　匀分半圆周为五平分如子辰等次
从半圆上取五平分之各点作直线至切点甲此直线
必过半圆周(如甲辰线必过庚寅/甲线必过戊馀仿此)末于平圆内联各点
作通弦即成五等边形(庚甲乙甲本为通弦补作戊庚/丁戊乙丁三线并与庚甲乙甲)

　　　　　　　　(等皆七十二/度通弦也)
　　　　　　　　解曰卯甲寅负圈角正得丁心戊
　　　　　　　　分圆角之半卯甲寅既为十等面
　　　　　　　　凑心之角必三十六度也则丁心
戊角必七十二度而为五等边角矣　或作半圆于外
如下图亦同前论
解六边十边两方并等五边上方形　法曰依前理分
中末线法作己丁丁丙二边为十分圈之一乙己乙丙

甲乙三线俱为中末线之大分与十边形之一等乙丁
　　　　　　　　　　　　　　其小分次取己丁
　　　　　　　　　　　　　　弧之倍至丙作甲
　　　　　　　　　　　　　　丙线得己丙七十
　　　　　　　　　　　　　　二度为五分圈之
　　　　　　　　　　　　　　一(己丁丙为十分/圈之二即五分)
　　　　　　　　　　　　　　(圈之/一矣)作丙己线即
　　　　　　　　　　　　　　五等形之一边也

己甲丙为七十二度之角次取己为心己丁大分为界
作丁未庚圈又以丙为心丙甲半径为界作子甲丑图
两圈相交于辛末从丙心向交点(辛/)作丙辛线从己心
向交点(辛/)作己辛线成丙己辛三角形此形辛为直角
丙辛六边形之边(即子/丙)为股己辛十边形之边(即己/丁)为
句己丙五边形之边为弦用句股术得己丙七十二度
之通弦
解曰丙辛己形何以知辛点必为直角试观乙己丁乙

丙丁俱为两腰等形又自相等合之成己乙丙丁四等
　　　　　　　　　　边斜方形则丙己线必平分
　　　　　　　　　　乙丁小分于壬甲丁线因己
　　　　　　　　　　丙弧为己丁之倍亦平分丙
　　　　　　　　　　己弦于壬壬点为直角又形
内所分之乙壬己乙壬丙丁壬己丁壬丙四句股形俱
自相等夫丙己边上方形为壬己上方形之四倍(几何/言全)
(线上方形为半元/线上方形之四倍)而壬己上方乃乙己上方减去乙壬

上方之数(句弦/求股)是以乙己上方四倍之(即己乙己丁丙/丁丙乙四线上)
(方之/并)减去乙丁小分上方(乙丁上方为乙壬上方之四/倍以乙壬为乙丁之半故也)
(即乙壬等四/小句方之并)所馀即与丙己上方等矣而此四乙己方
减乙丁上方之馀又与全数上方及中末线大分之方
并等(即十边/形之一)何则试观二图(即理分中/末线图)甲丁为全数甲
戊为全数上方丁乙为大分丁子为大分上方两方之
并成甲壬子戊磬折形此形内容丁子大分方形之四
则重一庚己小分之方(取丙丁与乙丁等则己丁壬乙/俱为大分之方而庚壬矩与丁)

(子方等甲壬矩又与庚壬矩等是共有大分上方形之/四倍而庚己小方则重叠在内庚己乃辛己小分之方)
(也/)今试于磬折形内减去重叠之方(癸辛/方)是即于四个
大分方内减一小分上方亦犹之前图四乙己方内减
去乙丁上方而所馀必等矣夫此磬折形既与前四乙
己方内减乙丁上方之馀幂等而此馀幂又与丙己上
方等则此磬折形亦与五等边之一丙己上方等而磬
折形乃甲戊丁子两方之并也甲戊方之根甲丁即前
丙辛己形之丙辛边丁子方形之根丁己即前丙己辛

形之己辛边今丙辛己辛上两方并既等于丙己上方
是丙辛己为句股形而辛为直角矣丙辛半径股也己
辛大分句也丙子弧六十度之边子丙即丙辛股己丁
弧三十六度之边丁己即己辛句而丙辛己辛丙己三
边适凑成句股形故历书言六边上方并十边上方与
五边上方等盖以此也
若作戊乙线成戊丁乙句股形与前丙辛己形等戊乙
即五边形之一益可见辛之必为直角矣

　求七十二度通弦法取径甚奇大测止具算术未著
　其理(据云见几何/十三卷十题)薛书及孔林宗说殊多牵附余此
　图与原算吻合乃知古人立法之简奥也因更推衍
　四法如下
如图午丁大圈依理分中末线法作十边等内切形丁
午等俱大分次从癸昴诸点(癸甲昴甲/俱为大分)作癸昴昴壁等
线俱为小分各连之则中末线之大小两分成内外两
十边等形俱各两两平行一切于周一切于径次任取

　　　　　　　　　　　　　戊为心甲为界作圈
　　　　　　　　　　　　　亦依上法用其大分
　　　　　　　　　　　　　小分作内外两十边
　　　　　　　　　　　　　等形末作乙丙乙丑
　　　　　　　　　　　　　等五线为五边形之
　　　　　　　　　　　　　各边诸线交错得求
乙丙边之法有五
一丁乙丙形有丁丙全径有丁卯全数及卯乙大分并

为丁乙(丁乙与午/戊必平行)乙为直角用股弦求句法得乙丙边
二乙丙寅形有乙寅小分为句有丙戊戌寅两大分并
得丙寅为弦求得乙丙股
三乙甲丙形用其半甲壬丙形有甲丙全数有甲辛大
分有辛壬为辛戊小分之半并为甲壬求壬丙勾倍之
得丙乙边
四乙壬戊形有乙戊大分为弦有壬戊小分之半为句
求乙壬股倍之得乙丙边

又形中两圈相交内有甲卯乙戊未为小五边形其各
边即大分甲辰戊丙庚形同又有甲卯乙戊丙庚为小
六边形其各边亦即大分又小五边形与午丑乙丙氐
大五边形相似而体势等则其各边俱成比例乙甲全
数与甲卯大分若乙午与午丑则以甲卯与午乙相乘
全数除之亦得五边形之一其午乙线以乙亢午直角
形用句弦求股术取之
表根五　圈内作三等边内切形求得一百二十度通

　　　　　　　　　弦半之为六十度正弦
　　　　　　　　　法曰全径上方形内减六边形
　　　　　　　　　上方形开方得一百二十度之
　　　　　　　　　通弦
解曰甲为圈心甲乙为半径作圈次乙为心仍用乙甲
为半径作弧与大圈相交于丁于戊其所截之丁乙戊
弧即三分圈之一何则依前六边形之论丁乙戊乙二
弧俱为六分圈之一今丁乙戊弧乃倍大于丁乙必三

分圈之一矣(一百二/十度)即作丁戊线为三等边形之边次
以乙甲引至丙必平分丁丙戊大半圈于丙以丙乙为
过心线既平分丁戊弧于乙亦必平分丁丙戊弧于丙
也从丙作丙戊丙丁二线成丁丙戊三边等内切形求
之用乙丁丙三角形丁为直角(以丁角乘丙/戊乙半圈故)丁乙为六
边形之一丙乙全径上方减去丁乙半径上方(丁乙即/乙甲)
馀开方得丙丁边句弦求股术也
表根六　圈内作十五等边内切形求得二十四度之

通弦
法曰三边等形与五边等形之较即十五分圈之一可
求二十四度通弦
解曰戊丙大圈丑为心作丙子全径取丙点为宗依前
法作丙甲辛三边等形又作丙戊乙己庚五边等形丙
甲弧为三分圈之一(一百二/十度)丙戊乙弧为五分圈之二
(七十/二度)相较得甲乙弧二十四度即十五分圈之一也其
求甲乙之边以五边形之边乙己半于癸三边形之边

甲辛半于壬得乙癸与甲壬相减(丁壬即/乙癸)存甲丁为股
次作乙丑甲丑两半径成乙丑癸甲丑壬二直角形以
　　　　　　　　　　乙丑半径上方减乙癸半弦
　　　　　　　　　　上方馀开方得癸丑边又以
　　　　　　　　　　甲丑半径上方减甲壬半弦
　　　　　　　　　　上方馀开方得丑壬边次以
丑癸与丑壬相减得壬癸(即乙/丁)为句末用甲丁乙直角
形甲丁上方与丁乙上方并开方得甲乙为十五等边

内切形之边
又解曰甲乙弧何以知为十五分圈之一凡一圈内作
三边等形又作五边等形以其边数三与五相乘得十
五即知可为十五等边切形其两弧之较必有十五分
圈之一如甲乙也馀仿此推　此亦历书原法
表根七　圈内作九等边内切形求得四十度之通弦(新/增)
求内切九等边形　法曰甲为圆心于圆内先作庚子
辛三边等形(法见/前)平分大圆为三分次用甲庚为度作

　　　　　　　　　　庚己线与庚辛为直角庚为
　　　　　　　　　　心己为界作己壬弧为全圈
　　　　　　　　　　六之一(六十/度)次于己壬弧上
　　　　　　　　　　任取癸点向甲心作癸甲直
线与庚辛交于戊其自癸至戊之度令与甲乙半径等
次癸为心戊为界作圈与大圈相交于丙于庚(庚点为/己壬弧)
(圈心又癸戊半径与/庚己等必相交于庚)从癸又作癸庚癸丙二线得庚戊
丙圈所割之庚乙丙弧必为庚辛弧三之二辛丙为三

之一即全圈九分之一也末作丙辛线为内切九等形
之边依此作丙乙乙庚诸线成九等边内切形等边等角
解曰癸戊线既等甲乙半径则两圈相交之庚戊丙庚
乙丙两弧必等又癸甲线既过两心(甲大圆心癸/庚戊丙圈心)试作
庚丙通弦必平分通弦于丁亦平分庚丙弧于乙与丙
庚弧于戊而庚乙与丙乙等庚戊与丙戊等又两弧(庚/乙)
(丙庚/戊丙)共用庚丙通弦则丙戊与丙乙庚戊与庚乙亦各
相等其丙戊丙乙庚戊庚乙四线亦等又癸丙癸戊癸

庚三线俱即半径(癸为庚戊/丙圈心故)则癸庚戊癸丙戊为两腰
等三角形而两癸角又等(庚戊丙戊/二弧等故)则两形之边角俱
自相等又丙戊辛形其戊辛二角亦等何则戊角之馀
为丙戊庚角而丙戊庚乃庚戊癸丙戊癸两角之并亦
即癸丙戊癸戊丙两角之并(癸戊庚角与癸戊丙等因/两形为等形亦与癸丙戊)
(角/等)是丙戊辛角必与戊癸丙角等其丙辛戊角乘庚丙
弧则辛角必得庚丙之半与乙丙弧等亦与丙戊等是
丙辛戊角亦与戊癸两角等而辛丙戊为两腰等形因

得戊丙与辛丙两边亦等夫丙戊边本与戊庚等则丑
丙与戊庚亦等而丙戊即丙乙庚戊即庚乙是辛丙丙
乙乙庚三线等也而辛丙丙乙乙庚三圈分亦等矣前
庚乙辛弧乃全圈三之一今庚乙又为庚辛三之一即
全圈九之一为四十度而庚乙即四十度通弦　按癸
丙线必与庚甲平行其交己壬弧之丑点必居癸壬弧
之中而壬丑丑癸癸己为三平分各得十二度
求九边形之边　法曰取十边形相较可得九分圈之

　　　　　　　　　　边如图乙辛戊圆甲为心取
　　　　　　　　　　辛丙弧为十边形之一(三十/六度)
　　　　　　　　　　戊乙弧为九边形之一(四十/度)
　　　　　　　　　　辛丙为十边形之边乙戊为
九边形之边二线令平行则其较弧辛乙与丙戊相等
(各二/度)次作辛乙丙乙诸线成辛乙戊丙四边形此形有
丙辛边(前第五/根所得)有辛乙边(一度正弦之倍/用后法所得)先求丙乙线
用丙辛乙钝角形作辛丁垂线以辛丙半之因乙辛得

辛丁次以辛丁上方减辛乙上方开方得乙丁又以减
辛丙上方开方得丁丙并之得乙丙线与辛戊等次以
乙丙自乘方内减去辛乙自乘方馀以辛丙除之得乙
戍为九边形之边即四十度通弦也(上图之/庚乙线)
解曰丙辛线既与戊乙平行则丙乙辛戊两线相等辛
乙与丙戊亦等从辛从丙作辛己丙午二垂线所截戊
乙线之戊午己乙为丙辛戊乙二线相较之半亦必等
夫丙乙自乘得丙乙上方形辛乙自乘得丙戊上方形

(辛乙与丙/戊等故)而丙乙上方乃丙午乙午上两方之并丙戊
上方又丙午戊午上两方之并则试于丙乙上方减去
丙午上方所馀为乙亥方丙戊上方减去丙午上方所
馀为午未方而午未方即己子方也今于丙乙上方形
减丙戊上方形是减去丙午上一方又减去巳子一方
(即戊午/上方形)所馀为午卯丑亥磬折形夫午乙与己戊二线
相等则午丑与巳酉两方形亦等因得卯午矩与申酉
矩等移卯午补申酉则丑未矩形与午卯丑亥磬折形

等矣故以子丑除之(子丑即丙辛以/卯亥为正方故)得子未边即乙戊
四十度通弦也
　按九边形法诸书所无然缺此则九十度之正弦不
　备壬寅秋客润州魏副宪官署时魏公锐意历学因
　作此图补之
附求一度之通弦(一度为全圆三百六十之一亦/可名三百六十等边内切形)
法曰一度之通弦取相近之数用中比例法得之
如图庚乙弧为一度先设甲庚一度三十分依前法(表/根)

(六及表/法一)求其正弦甲癸○度○二六一七六八九又求
其通弦得○度○二六一七九二半之得○度○一三
　　　　　　　　　　　○八九六为己庚四十五
　　　　　　　　　　　分弧正弦己辛也三分之
　　　　　　　　　　　得己寅○度○○四三六
　　　　　　　　　　　三三为十五分弧略大线
加己辛(即未/丑)得壬丑○度○一七四五二八为一度弧
略大之正弦次于甲癸线内减己辛(即戊/癸)馀戊甲亦三

分之得丙戊○度○○四三六二四为十五分弧略小
线加戊癸得丙癸○度○一七四五二即丁午也为丁
庚一度略小弧之正弦夫大小两弦其差八数为壬亥
半之得四壬申也(申亥/同)加小减大得乙子○度○一七
四五二四为乙庚一度之正弦若求其通弦用正弦与
正矢为句股求之(此薛仪甫历/学会通法)
再细求一度正弦(系作枚法/)
前四十五分弧之正弦○度○一三○八九六法以四

十五分半之为廿二分三十秒求其正弦得六五四四
九又半之为十一分十五秒求得正弦三二七二四五
夫廿二分三十秒之弧倍于十一分十五秒而其弦亦
倍则知二十分以内之弧正弦若平分数(纵有参差/非算所及)法
以廿二分三十秒为一率正弦六五四四九为二率十
五分为三率得四率十五分正弦○度○○四三六三
二六次以十五分正弦与四十五分馀弦○度九九九
九一四三相乘得○度○○四三六二八八六○六八

六为先数以十五分馀弦○度九九九九九○四八与
四十五分正弦○度○一三○八九六相乘得○度○
一三○八九四七五三八为后数(相乘之理/见表法六)两数相并
得○度○一七四五二三六一四五为一度正弦与薛
书略同但此法似密
论曰弧与弦非平分数然一度以内弧弦相切曲直之
分所差极微故可以中比例法求也
　按上七根所求者皆各弧之通弦表中所列俱正弦

　盖论割圆必以通弦便算则惟正弦然正弦即通弦
　之半全与分之比例等其理一也

　　作表之法有七
　用上根数于大圆中求七弧之通弦以为造端之始
　而各度之弦尚无从可得爰立六种公法或折半或
　加倍或相总或相较转辗推求以得象限内各度之
　正弦盖上诸法乃其体此则其用也二者相资表以
　成焉
表法一　有一弧之正弦求其馀弦及半本弧之正弦
与馀弦

解曰如图甲为圈心乙丙戊弧为全圈四之一(九十/)乙
甲戊甲俱半径设有戊丁丙弧其正弦为丙庚即从丙
作丙甲线成丙庚甲直角形法甲丙全数上方减丙庚
正弦上方馀开之得甲庚与丙辛等即丙戊弧之馀弦
也又用甲庚减甲戊半径得庚戊矢又作丙戊线成丙
庚戊直角形法庚戊矢上方与丙庚上方并开方得丙
戊为戊丁丙弧通弦半之得丙己或戊己即半本弧丙
丁或丁戊之正弦又以丙甲己形(戊甲己/形同)用句弦求股

　　　　　　　术求己甲得半本弧之馀弦(癸丙/等)若
　　　　　　　再以丙己丁己二边求丙丁弦半之
　　　　　　　又得半丙丁弧之正弦馀仿此递求
　　　　　　　之
　　　　　　　论曰丙戊弧既平分于丁其丙戊弦
　　　　　　　亦必平分于巳故半丙戊为半本弧
之正弦试作丁甲壬象限则丙己正弦己甲馀弦尤了
然矣

表法二　有一弧之正馀弦求其倍本弧之正弦与馀弦
解曰甲丙象限内设有甲戊弧其正弦戊己馀弦己乙
今求倍甲戊之甲丁弧正弦丁癸与馀弦癸乙法先作
丁甲线为丁戊甲倍弧之通弦此线必为乙戊线平分
　　　　　　　　于壬则壬甲亦为甲戊弧正弦与
　　　　　　　　戊己等丁壬亦等夫壬甲既等戊
　　　　　　　　己则其馀弦壬乙亦必等己乙法
　　　　　　　　用己戊乙庚壬乙两形乙戊全数

与戊巳正弦若乙壬馀弦(即乙/己)与壬庚而壬庚即辛癸
倍之得丁癸为倍弧甲丁之正弦
论曰乙戊己乙壬甲两形相等戊乙等甲乙戊己等甲壬
己乙等壬乙故壬乙得为馀弦又乙戊己乙壬庚两形相
似故第四率可求壬庚(即辛/癸)而壬庚必为丁癸之半以
丁癸甲直角形丁甲弦既平分于壬从壬作壬辛垂线
亦必平分其股于辛也故倍癸辛得丁癸为倍弧甲戊
丁正弦又壬庚线亦平分甲癸句于庚用甲壬庚形依

句股术求甲庚倍之以减甲乙存癸乙或丁子即倍弧
之馀弦也
表法三　求象限内六十度左右距等弧之正弦
解曰六十度左右距等弧之正弦与其前后弧两正弦
之较等如图乙丙象限内设丙戊为六十度(不/动)有丙己
小弧(须在三十/度以上)丙巳丁大弧其大弧与丙戊六十度之
较戊丁令与丙己小弧与戊丙六十度之较戊己等其
大小两弧正弦一为己辛一为丁庚相较为丁癸此丁

癸与己壬丁壬等则丁癸为戊丁戊己距等弧之正弦
壬甲为馀弦
论曰试从巳向子作巳子线则丁巳子为三边等形何
则形中壬子丁壬子己两形相等(丁子壬己子壬两角/本等又同用壬子边)
(则两形/自等)而丁子壬角与乙甲戊角等(以丁庚与乙/甲平行故)为三
十度(乙甲戊为丙戊甲/角六十度之馀)则丁子巳角为丁子壬之倍必
六十度又丁子壬巳子壬两角等则其馀壬丁子壬巳
子二角亦必各六十度而与丁子巳角等则丁子巳为

　　　　　　　　平边三角形夫丁子巳既为平边
　　　　　　　　三角形其巳癸垂线必平分丁子
　　　　　　　　于癸子壬垂线必平分丁巳于壬
　　　　　　　　两分之丁癸与丁壬必等而丁癸
乃己丙丁丙大小二弧两正弦(一巳辛/一丁庚)之较
　按此须先求得象限内六十率之正弦依上法可求
　左右三十率之正弦外此即不可用以六十度之馀
　止三十度故也

表法四　任设两弧之正馀弦求两弧并及较弧折半
之正弦
解曰戊壬象限内任设不齐之两弧一置在上如戊丙
　　　　　　　　一置在下如丁壬中间所容丙丁
　　　　　　　　弧即戊丙丁壬两弧并之馀今求
　　　　　　　　半丙丁弧丙乙(丁乙/同)之正弦法作
　　　　　　　　丁壬弧正弦丁辛馀弦丁癸戊丙
弧正弦丙壬(即癸/己)馀弦丙子又作丙丁线为较弧之通

弦成丙己丁直角形次以丁壬弧正弦(丁辛巳/子同)减戊丙
弧馀弦(丙/子)得丙己为股丁壬弧馀弦(丁/癸)减戊丙弧正弦
(癸/己)得丁己为句句股求弦得丙丁边半于庚得丙庚或
庚丁为丙丁半弧丙乙之正弦
　巳上俱系历书原法
表法五　有一弧之正弦求倍本弧之矢因得馀弦
解曰设戊乙弧其正弦乙丁戊丙为戊乙弧之倍其正弦
丙己正矢戊己丙戊为倍弧通弦半于辛其辛戊与乙

　　　　　　　　丁等法用戊丙己戊辛甲两直角
　　　　　　　　相似形(二形同用戊/角故相似)甲戊与戊辛
　　　　　　　　若丙戊与戊己倍弧矢夫四率之
　　　　　　　　理二三相乘之矩内形与一四相
乘之矩等则丙戊乘辛戊即甲戊乘戊己而丙戊乘辛
戊所得矩形为辛戊上方形之倍(戊辛自乘得辛庚方/倍之为丙庚矩即丙)
(戊与戊庚相乘之/幂也戊庚即戊辛)而全数(甲戊/也)又省一除故以乙丁正
弦(即辛/戊)自乘倍之退位即得戊己倍弧矢用减半径得

倍弧馀弦己甲若反之以戊己矢折半进位开方即得
半本弧之正弦(丁/乙)　此孔林宗术勿庵称为正弦简法
余作此图以著其理
表法六　任设不齐之两弧求两弧相并之正弦及相
较之正弦
解曰寅巳未圈甲为心寅巳为一象限设寅已弧内有
己辛弧若干度为前弧又有己戊弧小于己辛为后弧
戊子为后弧正弦子甲其馀弦午辛为前弧正弦午甲

　　　　　　　　　其馀弦次取辛丑弧与己戊后
　　　　　　　　　弧等则己戊丑为前后两弧之
　　　　　　　　　并弧丑亥即并弧之正弦次作
　　　　　　　　　丑壬线为丑辛弧正弦与戊子
等其馀弦壬甲亦与子甲等辛壬亦与子巳等法用甲
午辛甲壬丁二相似形以后弧之馀弦壬甲因前弧之
正弦辛午全数(甲/辛)除之得壬丁为初数(卯亥/等)寄位　次
用甲辛午丑壬卯二相似形(甲辛午形之辛角与丑乙/辛角等因丑壬乙为直角)

(其丑壬卯角亦与丑乙壬角等则亦与甲辛午/角等又二形之卯午俱为直角则两形相似)甲辛与
甲午若丑壬与丑卯则以前弧之馀弦甲午因后弧之
　　　　　　　　　　正弦丑壬全数(辛/甲)除之得丑
　　　　　　　　　　卯为次数末以五卯与初数
　　　　　　　　　　卯亥相并得丑亥为已戊丑
　　　　　　　　　　两弧相并之正弦　若求两
弧相较之正弦法以后弧丑壬正弦引长之抵圈界于
癸则丑癸为丑辛癸弧之通弦因壬点为直角其癸壬

与丑壬必等因得丑辛癸辛两弧亦等夫丑辛弧原与
戊巳后弧等则辛癸与戊己弧亦等即以辛癸减辛己
前弧得癸己为两弧之较癸庚即较弧之正弦癸酉其
馀弦法用丑辰癸形此形内之癸申壬丑卯壬二直角
形相等(丑癸辰句股形丑癸弦既平分于壬则从壬作/壬卯壬申二垂线亦必平分丑辰句于卯癸辰)
(股于申而癸申壬/丑卯壬两形必等)因得壬申即丑卯次数(壬申等卯辰/卯辰即丑卯)
用以减初数壬丁存申丁即癸庚也为较弧癸巳之正
弦亦与戊辛弧正弦等

若两弧相并在象限外如次图巳寅丑弧理亦同(钤记/同前)
有不齐之两弧求相并相较弧正弦又法
法曰两弧(小甲丙/大甲戊)相并曰总弧(甲/癸)相减曰多弧(戊/丙)置大
小两弧以大弧正弦(戊/辛)因小弧较弦(子/庚)曰先数(庚/乙)以大
弧较弦(辛/庚)因小弧正弦(庚/午)曰后数(午/未)　视两弧在象限
内者以后数(亥/壬)减先数(亥丙也以午亥丙形/与庚乙子形等故)为多弧正
弦(壬/丙)以后数卯丑加先数(丑已以庚巳丑形/与庚乙子形等故)为总弧正
弦(卯巳也以卯午巳形与庚/酉癸形等故卯己即酉癸)若两弧过象限者加减各异

　　　　　　　　　　　　又或置大小两弧(同/上)以
　　　　　　　　　　　　大弧正弦(戊/辛)因小弧正
　　　　　　　　　　　　弦午庚曰先数(庚/未)以大
　　　　　　　　　　　　弧较弦(庚/辛)因小弧较弦
(庚/子)曰后数(子/乙)　视两弧在象限下以后数(午/亥)加先数得
多弧较弦(壬/庚)以后数(庚/丑)减先数(庚/未)得总弧较弦(丑未即/午卯亦)
(即庚/酉)若两弧象限内外不等加减亦异
　此法详三角会编五卷梅勿庵先生环中黍尺亦著

　其法然彼所论者弧三角形此则平圆中求正弦也
表法七　圆内有五通弦错互成四不等边形求不知
一弧之通弦
解曰甲为圆心戊庚为圆径戊丙丙丁丁庚俱为通弦
成戊庚丁丙四不等形丁戊丙庚为对角线法丁戊偕
丙庚相乘之矩形内减丁庚偕丙戊相乘之矩形馀为
戊庚与丙丁相乘之矩形盖丁庚丙戊相乘之矩与戊
庚丁丙相乘之矩并与丁戊丙庚两对角线相乘之矩

　　　　　　　　　　等也若有丙戊丁庚戊庚丙
　　　　　　　　　　庚丁戊五通弦用此可得丙
　　　　　　　　　　丁弧之通弦
　　　　　　　　　　论曰庚戊丁形与庚丙丁形
　　　　　　　　　　其戊丙两角等(同乘丁/庚弧故)若以
丙丁弦引至己作庚己丙直角形则庚戊丁庚己丙两
直角形相似庚戊与戊丁若庚丙与丙己夫四率之理
二三相乘矩形与一四相乘之矩等则庚丙与丁戊相

乘所得即庚丙与丙己相乘之己壬矩也(取己癸与/庚戊径等)次
作丁辛线与己癸平行割圈于子其子庚弧与丙戊弧
等何则戊丁庚为直角丙丁子亦为直角同用戊丁子
角(子戊/弧)则丙丁戊庚丁子两角必等其所乘之丙戊庚
子两弧亦等矣因得庚子边即丙戊通弦又庚子丁角
与庚戊丁角等(同乘丁/庚弧故)于庚作庚乙垂线与己丙平行
成子庚乙直角形与庚戊丁直角形相似戊庚与庚丁
若子庚与庚乙依四率之理庚子(即丙/戊)与丁庚相乘所

得即庚戊与庚乙相乘之己辛矩也(丁辛即庚戊/己丁即庚乙)用以
减己壬矩形馀丁壬矩形乃庚戊与丁丙相乘之幂故
以庚戊除之得丁丙为丁丙弧之通弦
　　　　　　　　若戊丙丁庚非半圈(或大或/小不论)则庚
　　　　　　　　戊为戊丙庚弧之通弦理亦同但
　　　　　　　　己壬为斜方形如上图戊丁庚为
　　　　　　　　小半圈成己壬斜方其庚乙线不
　　　　　　　　与丁己平行法作己庚乙角令与

丁己庚角等则腰间相对丁乙二角亦等因得庚乙丁
己为等边而庚乙子钝角为丁乙庚之馀与丁己庚角
自等亦即与圆内戊丁庚角等而庚乙子庚戊丁为相
似形庚乙即丁己
　此上古多罗某法诸书未有能言其故者得余此图
　庶不昧古人精意　已上二法系余所增
用上七法交互推求可得象限内各度之正弦细推之
又可每隔十五分(四分度/之一)得一正弦十五分以下用中

比例法以十五分正弦为实十五为法而一得一分之
正弦递加之得每度内各分之正弦立割圆表又此正
弦算一象限巳足以适满一直角故也
求切线角线矢线
割圆正弦而外又有切割矢三线并正弦为四线合其
馀为八线盖以八线准一弧弧之曲度得其真矣切线
止切圈以一点全在圈外割线从圈心过规半在内半
在外正弦与矢全在圈内如图甲为圈心庚丁为象限

庚甲丁甲俱半径设有庚乙正弧即戊乙为正弦乙辛
(戊甲/同)为馀弦次于圈外作庚己线与戊乙平行切圈于
庚又从甲心过所截弧乙点作甲己线与庚己交于己
成甲己庚直角形此己庚为乙庚弧正切线己甲其正
割线也而甲己庚直角形与圆内戊甲乙形相似甲戊
与戊乙若甲庚与庚己故以馀弦除正弦半径因之得
本弧正切又戊甲与甲乙若庚甲与甲己故以馀弦除
半径全数因之得本弧正割以戊甲馀弦减甲庚半径

得庚戊本弦正矢此皆庚乙弧相当之线也夫庚乙既
为正弧则乙丁为馀弧作乙辛线为馀弧之弦作丙丁
线切圈于丙为馀弧之切甲乙引出之遇于丙甲丙为
馀弧之割成甲丙丁直角形与圆内甲乙辛形相似甲
　　　　　　　　　　辛与辛乙若甲丁与丁丙得
　　　　　　　　　　馀切甲辛与甲乙若甲丁与
　　　　　　　　　　甲丙得馀割乙戊(即甲/辛)正弦
　　　　　　　　　　减甲丁半径得辛丁馀矢此

又丁乙馀弧相当之线也一正一馀共有八线若或以
丁乙为正弧即庚乙反为馀弧其八线正馀之名亦互
易盖此为正彼自为馀耳
论曰庚乙正弧之各线为甲庚己甲戊乙两句股形所
成乙丁馀弧之各线为甲丁丙甲辛乙两句股形所成
而甲庚己形与甲丁丙形相似(一为顺句股/一为倒句股)又圆内之
乙甲辛甲戊乙二句股形俱自相似亦与甲丁丙甲庚
己二形相似是庚乙弧相当之线成相似之直角形四

设算可以用正亦可以用馀是一弧而能兼用八线此
八线表所由名也
　按表中不列矢线者以矢线用正馀弦减半径即得
　且不常用故省之　又按割圆之难全在求正弦若
　切割线俱以比例得之
附求割线省法(用加减算/)
如乙己弧为二十度其切线乙戊求割线甲戊法先以
馀弦己丙七十度半于丁得丁己三十五度丁丙等次

　　　　　　　　　以戊乙切线引长之令与戊甲
　　　　　　　　　等作甲戊辛两腰等三角形而
　　　　　　　　　乙庚弧必与丁丙等即查乙庚
弧之切乙辛并乙戊得戊辛即甲戊割也
解曰乙庚弧何以与丁己弧等盖甲辛戊既为两腰等
三角形则甲角之己庚弧必为丙己馀弧(己壬/也)之半壬
庚与己庚等而庚点居己壬弧之中夫丙己与己壬并
等两直角则己庚弧之不满直角者必为丙己之半今

丙己既半于丁则以丁己益己庚丁甲庚必为直角而
乙甲丙亦直角也共用乙甲丁角(或丁/乙弧)则丙己与乙庚
等
求矢线　馀弦减半径得正矢正弦减半径得馀矢
求切线　馀弦除正弦半径因之得正切正弦除馀弦
半径因之得馀切
求割线　馀弦除半径半径因之得正割正弦除半径
半径因之得馀割

　按圆内弦矢二线当正弧初度则无九十度极大即
　半径圈外切割二线切线当正弧初度亦无割线即
　半径至九十度俱极大且切与割平行不能相遇名
　曰无穷之度然至此亦无切割之可言矣惟将近九
　十度点有极大之切割线
定八线正馀之界
庚戊丙半圆甲为心戊丙为象限设丙乙正弧在九十
度内则乙壬为正弦壬丙为正矢甲丁为正割丙丁为

　　　　　　　　正切其戊乙馀弧乙己为馀弦己
　　　　　　　　戊为馀矢甲辛为馀割戊辛为馀
　　　　　　　　切若设庚戊乙为正弧在九十度
　　　　　　　　外亦以乙壬为正弦丁丙为正切
甲丁为正割壬丙为正矢而庚壬亦为正矢又名大矢
其馀弧仍用戊乙(非乙/丙)在庚戊象限之外乙己为馀弦
戊己为馀矢戊辛为馀切甲辛为馀割盖乙壬正弦为
丙乙庚乙两弧共用故总以戊乙为馀弧也凡算三角

形取用正馀诸线以此为准
　
　
　
　
　
　
　历算全书卷五十五