钦定四库全书
　历算全书卷五十二
　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰
　三角法举要卷三
　内容外切(三角测量之用在边与角而其内容/外切亦所当明故次于算例之后)
　内容有二曰本形曰他形
　　一三角求积
　　　积谓之幂亦谓之面乃本形所有

　　一三角容员
　　一三角容方
　　　以上皆形内所容之他形
　外切惟一
　　一三角形外切之员

三角求积第一术
　底与高相乘折半见积
　内分二支
　　一句股形即以句股为底为高
　　一锐角钝角形任以一边为底而求其垂线为高
假如句股形甲乙股(一百二/十尺)乙丙句(三十/五尺)求积
术以甲乙股乙丙句相乘(四千二/百尺)折半得积
　凡求得句股形积二千一百尺

　　　　　　　　如图甲乙股与乙丙句相乘成甲
　　　　　　　　乙丙丁长方形其形半实半虚故
　　　　　　　　折半见积
　　　　　　　　或以句折半(十七/尺半)乘股亦得积(二/千)
　　　　　　　　(一百/尺)
　　　　　　　　如图乙丙句折半于戊以乙戊乘
　　　　　　　　甲乙成甲乙戊丁形是移丙戊己
　　　　　　　　补甲丁己也

　　　　　　　　或以股折半(六十/尺)乘句亦得积(二/千)
　　　　　　　　(一百/尺)
　　　　　　　　如图甲乙股折半于己以己乙乘
　　　　　　　　乙丙成己乙丙丁形是移甲己戊
补戊丁丙也
　右句股形以句为底以股为高若以股为底则句又
　为高可互用也
　句股形有立有平若平地句股以句为阔以股为长

　其理无二
论曰凡求平积皆谓之幂其形如网目又似窗棂之空
皆以横直相交如十字亦如机杼之有经纬而成布帛
故句股是其正法何也句股者方形斜剖之半也折半
则成正剖之半方形矣其他锐角钝角或有直无横有
横无直必以法求之使成句股然后可算故句股者三
角法所依以立也

假如锐角形甲乙边(二百三/十二尺)甲丙边(三百四/十尺)乙丙边(四/百)
(六十/八尺)求积
　　　　　　　　术先求垂线用锐角第三术任以
　　　　　　　　乙丙边为底以甲丙甲乙为两弦
　　　　　　　　两弦之较数(一百零/八尺)总数(五百七/十二尺)
　　　　　　　　相乘(六万一千七/百七十六尺)为实以乙丙底
为法除之得数(一百三/十二尺)转减乙丙馀数(三百三/十六尺)半之得
乙丁(一百六/十八尺)依句股法以乙丁自乘(二万八千二/百二十四尺)与甲

乙自乘(五万三千八/百二十四尺)相减馀数(二万五千/六百尺)平方开之得
甲丁垂线(一百六/十尺)以甲丁垂线折半乘乙丙底得积
　凡求得锐角形积三万七千四百四十尺
　　　　　　　　如图移辛补壬移庚补癸则成长
　　　　　　　　方形即垂线折半乘底之积
　　　　　　　　右锐角形任以乙丙边为底取垂
　　　　　　　　线求积若改用甲乙或甲丙边为
底则所得垂线不同而得积无异故可以任用为底

假如钝角形甲乙边(五十/八步)甲丙边(八十/五步)乙丙边(三十/三步)求积
　　　　　　　　术求垂线立于形外用钝角第三
　　　　　　　　术以乙丙为底甲乙甲丙为两弦
　　　　　　　　总数(一百四/十三步)较数(二十/七步)相乘(三千/八百)
　　　　　　　　(六十/一步)为实乙丙底为法除之得数
　　　　　　　　(一百一/十七步)内减乙丙馀数(八十/四步)折半
(四十/二步)为乙丁(即乙丙/引长边)依句股法乙丁自乘(一千七百/六十四步)甲
乙自乘(三千三百/六十四步)相减馀数(一千六/百步)平方开之得甲丁

(四十/步)为形外垂线以乙丙底折半(十六/步半)乘之得积
　　　　　　　　凡求得钝角形积六百六十步
　　　　　　　　如图甲乙丙钝角形移戊补庚移
　　　　　　　　庚己补壬癸又移壬子补辛成辛
　　　　　　　　癸丑长方即乙丙底折半乘中长
甲丁之积
　右钝角形以乙丙为底故从甲角作垂线若以甲乙
　为底则自丙角作垂线亦立形外而垂线不同然以

　之求积并同若以甲丙为底从乙角作垂线则在形
　内如锐角矣其垂线必又不同而其得积无有不同
　故亦可任用一边为底
　凡用垂线之高乘底见积必其线上指天顶底线之
　横下应地平两线相交正如十字故其所乘之幂积
　皆成小平方可以虚实相补而求其积数钝角形引
　长底线以作垂线立于形外则两线相遇亦成十字
　正方之角矣

总论曰三角形作垂线于内则分两句股钝角形作垂
线于外则补成句股皆句股法也

三角求积第二术
　以中垂线乘半周得积谓之以量代算
假如钝角形乙丙边(五十/八步)甲乙边(一百一/十七步)甲丙边(八十/五步)
求积
　　　　　　　术平分甲乙两角各作线会于心从
　　　　　　　心作十字垂线至乙甲边(如心/庚)即中
　　　　　　　垂线也乃量取中垂线(心/庚)得数(一十/八步)
合计三边而半之(一百三/十步)为半周以半周乘中垂线得积

　　　　　　　凡求得钝角形积二千三百四十步
　　　　　　　又术如前取中垂线(心/庚)为阔半周为
　　　　　　　长(如乙癸/及丁壬)别作一长方形(如乙壬/丁癸)即
　　　　　　　与(甲乙/丙)钝角形等积
解曰凡自形心作垂线至各边皆等故中垂线乘半周
为一切有法之形所公用方员及五等面六等面至十
等面以上并同故以中垂线为阔半周为长其所作长
方形即与三角形等积

又解曰中垂线至边皆十字正方角即分各边成句股
形以乘半周得积即句股相乘折半之理
　　附分角术　有甲角欲平分之
　　　　　　　术以甲角为心作虚半规截角旁两
　　　　　　　线得辛壬二点乃自辛自壬各用为
　　　　　　　心作弧线相遇于癸作癸甲线即分
　　　　　　　此角为两平分
　　三角求心术

　　　　　　　如上分角术于甲角平分之于乙角
　　　　　　　又平分之两平分之线必相遇成一
　　　　　　　点此一点即三角形之心
　　　　　　　解曰试再于丙角如上法分之则亦
　　　　　　　必相遇于原点

三角求积第三术
　以三较连乘又乘半总开方见积
假如钝角形甲乙边(一百一/十六尺)甲丙边(一百七/十尺)乙丙边(二/百)
(三十/四尺)求积
　　　　　　　术合计三边而半之(二百六/十尺)为半总
　　　　　　　以与甲乙边相减得较(一百四/十四尺)与甲
　　　　　　　丙边相减得较(九十/尺)与乙丙边相减
　　　　　　　得较(二十/六尺)三较连乘(以两较相乘得/数又以馀一较)

(乘之/也)得数(三十三万六千/九百六十尺)又以半总较之得数(八千七/百六十)
(万零九千/六百尺)平方开之得积
　凡求得钝角形积九千三百六十尺
　若系锐角同法
解曰此亦中垂线乘半周之理但所得为幂乘幂之数
故开方见积详或问

三角容员第一术
　以弦与句股求容员径(此术惟句股形有之凡句股/相并为和以和与弦并为弦)
　(和和以和与弦/相减为弦和较)
假如(甲乙丙/)句股形甲丙句(二十/步)乙甲股(二十/一步)乙丙弦
(二十/九步)求容员径
术以句股和(四十/一步)与弦相减得数为容员径
　凡求得内容员径一十二步
解曰此以弦和较为容员径

　　　　　　　　如图从容员心作半径至边又作
　　　　　　　　分角线至角成六小句股形则各
　　　　　　　　角旁之两线相等(如丙戊丙庚两/线在丙角旁则)
　　　　　　　　(相等乙庚乙己在乙角旁甲戊/甲己在甲角旁并两线相等)
其在正方角旁者(甲戊/甲己)乃弦和较也(于乙丙弦内分丙/庚以对丙戊又分)
(乙庚以对乙己则其馀为甲戊及甲己/此即句股和与乙丙弦相较之数也)然即为内容员
径何也各角旁两线并自相等而正方角旁之两线又
皆与容员半径等(正方角旁两小形之角皆平分方角/之半则句股自相等而甲戊等心戊)

(甲己等/心己)然则弦和较者正方角旁两线(甲戊/甲己)之合即容
员两半径(心戊/心己)之合也故弦和较即容员径也
　　　　　　　　试以甲戊为半径作员则戊心亦
　　　　　　　　半径而其全径(癸戊/甲)与容员径(丁/心)
　　　　　　　　(己/)等以甲己为半径作员则己心
　　　　　　　　亦半径而其全径(辛己/甲)与容员径
　　　　　　　　(戊心/壬)亦等
　

三角容员第二术
　以周与积求容员径
　内分二支
　　一句股形以弦和和为用(亦可/用半)
　　一锐角钝角形以全周半周为用
假如(甲乙丙/)句股形甲丙句(一十/六步)甲乙股(三十/步)乙丙弦
(三十/四步)求容员径
术以句股相乘得数(四百八/十步)为实并句股弦数(共八/十步)为

法除之得数倍之为容员径
　凡求得容员径一十二步
解曰此以弦和和除句股倍积得容员半径也
如图从容员心作对角线分其形为三(一甲心丙一甲/心乙一丙心乙)
乃于甲丙句线两端各引长之截子甲如乙甲股截丙
丑如丙乙弦则子丑线即弦和和也乃自员心作癸壬
直线与丑子平行两端各联之成长方又作辛丙线分
为三长方形其阔并如员半径其长各如句如股如弦

　　　　　　　　而各为所分三小形之倍积(甲辛/长方)
　　　　　　　　(如甲丙句之长而以心戊半径为/阔即为甲心丙分形之倍甲癸长)
　　　　　　　　(方如乙甲股之长而以同心己之/半径为阔即为乙心甲形之倍丙)
　　　　　　　　(壬长方如丙乙弦之长而以同心/庚之半径为阔即为乙心丙形之)
　　　　　　　　(倍/)合之即为本形倍积与句股相
　　　　　　　　乘同也(句股相乘为倍/积见求积条)故以弦和
　　　　　　　　和除句股相乘积得容员半径

假如(甲乙丙/)句股形甲丙句(八十/八尺)甲乙股(一百零/五尺)乙丙
弦(一百三/十七尺)求容员径
术以句股相乘而半之得积(四千六百/二十尺)为实并句股弦
数而半之(一百六/十五尺)为法除之得数倍之为容员径
　凡求得内容员径五十六尺
解曰此以半周除句股形积而得容员半径也(半周即/弦和和)
(之/半)
如图从容员心分本形为六小句股则同角之句股各

　　　　　　　相等可以合之而各成小方形(同甲/角之)
　　　　　　　(两句股成丁己小方形同丙角之两/句股可合之成丁辛长方形以心辛)
　　　　　　　(丙形等丙戊心也同乙角之两句股/可合之成己庚长方形以乙庚心形)
　　　　　　　(等心戊/乙也)乃移己庚长方为辛癸长方
　　　　　　　则癸甲即同半周而癸己大长方即
为半周乘半径而与句股积等也(六小形之句皆原形/之周变为长方则两)
(两相得而各用其半是半周也癸甲及壬己之长并半/周壬癸及己甲辛丙之间并同心丁是半周乘半径也)
(辛癸长方与己庚等积即与乙角旁两句股等积又丁/辛长方与丙角旁两句股等积再加丁己形即与原设)

(乙甲丙句股/形等积矣)然则以句股相乘而半之者句股形积也
故以半周除之即容员半径矣
　或以弦和和除四倍积得容员全径并同前论
论曰句股形古法以弦和较为容员径与弦和和互相
乘除乃至精之理测员海镜引伸其例以为测望之用
其变甚多三角容员盖从此出故为第一支
　
　

假如(甲乙丙/)锐角形乙丙边(五十/六尺)甲丙边(七十/五尺)甲乙边
(六十/一尺)求容员径
术以乙丙边为底求得甲丁中长线(六十尺○/法见求积)以乘底
得数(三千三百/六十尺)倍之(六千七百/二十尺)为实合计三边(共一百/九十二)
(尺/)为法除之得容员径
　　　　　　　　凡求得内容员径三十五尺
　　　　　　　　解曰此以全周除四倍积得容员
　　　　　　　　径也

　　　　　　　　　如图自容员心作对角线分为
　　　　　　　　　小三角形三各以员半径为高
　　　　　　　　　各边为底若于各边作长方而
　　　　　　　　　各以边为长半径为阔必倍大
　　　　　　　　　于各小三角形(如壬丙长方倍/大于丙心乙形)
　　　　　　　　　(丙丑长方倍大于丙心甲形/甲丁长方倍大于甲心乙形)又
　　　　　　　　　作加一倍之长方则四倍大于
　　　　　　　　　各小三角(如未乙长方倍大于/丙壬长方必四倍于)

(丙心乙三角则卯甲亦四倍于丙/心甲而甲酉亦四倍于甲心乙)于是而通为一大长
方(移卯甲长方为亥丙移甲酉为/乙辰则成亥午大长方形矣)必四倍原形之幂而
以三边合数为长以容员之径为阔然则以中长线乘
底而倍之者正为积之四倍也以三边除之岂不即得
员径乎
　或以全周除倍积得容员半径
　或以半周除积得容员半径并同
　若钝角形亦同上法

论曰锐角钝角并以周为法此与句股形用弦和和同
但必先求中长线故为第二支
　
　
　
　
　
　

三角容员第三术
　以中垂线为员半径曰以量代算
假如(甲乙丙/)三角形求容员径(既不用算故不/言边角之数)
　　　　　　　　如求积术均分甲乙二角之度各
　　　　　　　　作虚线交于己即己为容员之心
　　　　　　　　次以己为心尽一边为界运规作
　　　　　　　　员此员界必切三边
于是从己心向三边各作十字垂线必俱在切员之点

而等为员半径知半径知全径矣(半径各如/己庚线)
论曰此容员心即三角形之心(故以容员半径乘/半总即得积也)
又案此术亦句股及锐钝两角通用
　
　
　
　
　

三角容员第四术
　用三较连乘
假如(甲乙丙/)钝角形乙丙边(四百三/十二尺)甲丙边(五百/尺)甲乙
边(一百四/十八尺)求容员径
　　　　　　　　术以半总(五百四/十尺)求得乙丙边较
　　　　　　　　(一百○/八尺)甲丙边较(四十/尺)乙甲边较
　　　　　　　　(三百九/十二尺)三较连乘得数(一百六十/九万三千)
　　　　　　　　(四百四/十尺)以半总除之得数(三千一/百三十)

(六/尺)四因之(一万二千五/百四十四尺)为实平方开之得容员径
　凡求得内容员径一百一十二尺
　锐角同法
解曰此所得者为容员径上之自乘方幂故开方得径
　
　
　
　

三角容方第一术
　合底与高除倍积得容方径
　内分二支
　　一句股形即以句股为底为高(即句股和也其/容方依正方角)
　　一三角形以一边为底求其垂线为高(句股形以/弦为底锐)
　　(角形三边皆可为底钝角形以大/边为底其容方并依为底之边)
假如(甲乙丙/)句股形甲丙股(三十/六尺)乙丙句(一十/八尺)求容方
依正方角而以容方之一角切于弦

术以句股相乘得数(六百四/十八尺)为实以句股和(五十/四尺)为法
除之得所求
求到内容方径一十二尺
　　　　　　　　如图作寅乙线与股平行作寅甲
　　　　　　　　线与句平行成寅丙长方为句股
　　　　　　　　形倍积
　　　　　　　　次引寅甲线横出截之于癸引乙
　　　　　　　　丙句横出截之于卯使引出两线

(甲癸及/丙卯)皆如甲丙股仍作卯癸线联之
乃从癸作斜线至乙割甲丙股于戊则戊丙为所求容
方之边又从戊作申未横线与上下两线平行割甲乙
弦于己则己戊为所求容方之又一边末从己作午辛
立线割丙乙句于辛则己辛及辛丙又为两对边而四
边相等为句股形内所容之方
解曰寅卯大长方以癸乙斜线分两句股则相等而寅
戊与戊卯两长方等则寅丙长方与申卯长方亦等(寅/丙)

(内减寅戊而加相等/之戊卯即成申卯)夫寅丙者句股倍积而申卯者句
股和乘容方径也(乙丙句丙卯股合之为申卯形之/长申乙及未卯并同方径为阔)故
以句股和除倍积得容方径
又解曰寅丙长方分两句股而等则寅戊与午丙两长
方等(寅己与己丙既等则于寅戊内减/寅己而加相等之己丙即成午丙)而寅戊原等戊
卯则午丙亦与戊卯等夫午丙形之丙甲与戊卯形之
丙卯皆股也则两形等积又等边矣其长等其阔亦等
(甲丙与丙卯既等则/辛丙与戊丙亦等)而对边悉等即成正方形

论曰此以句为底股为高也若以股为底句为高所得
亦同其容方依正方角乃古法也三角以底阔合中长
除积盖生于此是为第一术之第一支
假如(甲乙丙/)句股形乙丙弦二十八尺其积一百六十
八尺求容方依弦线而以容方之两角切于句股
术以弦除倍积(三百三/十六尺)得对角线(一十/二尺)与弦相并(四十/尺)
为法倍积为实法除实得所求
　求到容方径八尺四寸

　　　　　　　如图作寅丑线与乙丙弦平行又作
　　　　　　　寅丙及丑乙与甲丁对角线平行成
　　　　　　　丑丙长方为句股形倍积
　　　　　　　次引乙丙弦至卯引寅丑线至癸使
　　　　　　　癸丑及卯乙并同甲丁仍作癸卯线
　　　　　　　联之
次从癸向丙作斜线割丑乙线于子遂从子作申未线
与乙丙弦平行割甲乙股于庚割甲丙句于己则庚己

为容方之一边末从庚作辰壬线从己作午辛线并与
甲丁平行而割乙丙弦于壬于辛则辛壬及庚壬及己
辛三线并与庚己等而成正方
解曰寅子长方与子卯长方等积(癸丙线分寅卯形为/两句股而等则两句)
(股内所作/之方必等)午壬长方又与寅子等(寅丁形以甲丙线分/为两句股则寅己与)
(己丁等又丑丁形以甲乙线分为两句股则丑庚与丁/庚等若移寅己作己丁移丑庚作丁庚则午丁等寅戊)
(而辰丁等丑戊合/之而午壬等寅子)则午壬亦与子卯等而午壬之边(午/辛)
(及辰/壬)子卯之边(卯乙及/未子)并等甲丁对角线则两形(午壬/子卯)

等积又等边矣其长等其阔亦等(辰壬既等卯乙则辛/壬亦等子乙而庚壬)
(及己辛亦/不得不等)故四线必俱等也
又解曰寅子既与子卯等则寅乙必与申卯等(于寅乙/内移寅)
(子居子卯之/位即成申卯)而寅乙者倍积也申卯者底偕中长乘容
方径也(乙丙弦也卯乙即甲丁对角中长线也合之为/丙卯之长其两端之阔申丙及未卯并同方径)
故合弦与对角线为法以除倍积得容方径
论曰此以一边为底中长线为高也既以一边为底其
容方即依此一边而以两方角切馀二边也句股形故

以弦为底若锐角形则任以一边为底但依大边则容
方转小亦如句股形依方角之容方必大于依弦线之
容方也钝角形但可以大边为底其求之则皆一法也
是为第一术之第二支

三角容方第二术
　以图算
　内分二支
　　一以法截中长线得容方径(句股形即/截其边)
　　一以法截两斜边得容方边(句股形即/截其弦)
假如锐角形求容方任以一边为底
如图以乙丙最小边为底先从对角甲作中长垂线至
丁又从乙角作丑乙立线与甲丁平行而等乃从甲角

　　　　　　　　作横线过丑至癸截丑癸亦如甲
　　　　　　　　丁乃从癸向丙角作斜线割丑乙
　　　　　　　　立线于子末以子乙之度截中长
　　　　　　　　线(甲丁/垂线)于戊即戊丁为容方之径
　　　　　　　　(从戊作己庚又从己作线至辛从/庚作线至壬成庚己辛壬即所求)
　　　　　　　　(容/方)
解曰甲戊与戊丁若甲丁与乙丙(子丑癸句股与子乙/丙形有子交角必相)
(似则丑子句与子乙句若丑癸股与乙丙股而丑子原/与甲戊等子乙与戊丁等丑癸与甲丁等则甲戊与戊)

(丁亦若甲/丁与乙丙)又甲戊与己庚若甲丁与乙丙(甲己庚三角/为甲丙乙之)
(截形必相似则甲戊与/己庚若甲丁与乙丙)
合两比例观之则甲戊与戊丁若甲戊与己庚而己庚
即戊丁
　　　　　　　　　　　　　　以上并锐角形
　　　　　　　　　　　　　　凡锐角三边并可
　　　　　　　　　　　　　　为底而皆一法
　

　
　
　
　
　
假如句股形求容方以股为底则于句端甲作横线与
股平行而截之于癸使癸甲如甲乙句乃自癸向丙作
斜线割甲乙句于戊则戊乙即容方之一边末作己戊

与股平行作己辛与句平行即成容方(或以句为底则/从股端丙作丙)
(癸横线与股等亦作癸甲斜线割丙/乙股于戊其所得容方亦同图如左)
　
　
　
　
　
论曰锐角钝角皆截中长线为容方径句股形以弦为

底亦然惟句股形以句为底即截其股为容方径(用股/为底)
(即截/句)不另求中长而与截中长之法并同是为第二术
之第一支

假如乙丙丁三角求容方　依乙丙边为底
　　　　　　　　如图以乙丙底作正方形(即甲乙/丙戊方)
　　　　　　　　又作丁辛对角线次作甲辛及戊
　　　　　　　　辛两斜线割原形之两斜线于己
　　　　　　　　于庚乃作己庚线为所求容方之
一边(末作己壬及庚癸两线成/小方形于形内即所求)
解曰甲戊与己庚若子辛与午辛也(己庚辛三角形为/甲戊辛之切形则)
(其横与直之/比例相等)而甲戊与子辛同为方径而等则己庚与

午辛亦同为小方径而等
　　　　　　　　若底上方形大则其径亦大于对
　　　　　　　　角线则如第二图引丁辛线至子
　　　　　　　　其理亦同
　　　　　　　　有此二法则三边并可为底
　钝角形用大边为底句股形用弦为底并同第二图
若句股形以句为底求容方如图即用乙丙句作(丙辛/庚乙)
方形从方角庚向丙作斜线割丁乙弦于壬从壬作癸

　　　　　　　　壬及甲壬二线即所容方(或用股/上方则)
　　　　　　　　(引出句/边如股)
　　　　　　　　解曰庚丙线分丙角为两平分则
　　　　　　　　其横直线自相等(壬癸与癸丙相/等壬甲与甲丙)
(相等则四/线皆等)而成正方嘉禾陈䃤庵用分角法求容方与
此同理
论曰此皆以底上方形为法而得所求小方也故不论
顶之偏正其所得容方并同惟句股容方依正方角则

中长线与原边合而为一法虽小异其用不殊是为第
二术之第二支

三角形外切平员第一术
　句股形以弦为径
假如甲乙丙句股形乙丙弦长四尺五寸二分求外切
员
术以弦折半取心得半径二尺二寸六分其弦长四尺
五寸二分即外切平员全径以平员周率三五五乘之
径率一一三除之得员周一十四尺二寸
如图乙丙员径即句股形之弦折半于丁即员心也以

　　　　　　　　乙丁半径为度从丁心运规作员
　　　　　　　　必过甲而句股形之角皆切员周
　　　　　　　　矣
　
论曰凡平员径上从两端各作直线至员周相会则成
正方角(如乙丙径之两端于丙于乙各作/直线会于甲则甲角必为正角)而为句股形
(假令两线相遇于庚即成庚乙丙句/股形于辛亦然以其皆正角故也)故不问句股长短
而并以其弦为外切员之径

又论曰径一百一十三而周三百五十五此郑端清世
子所述祖冲之术也(见律吕/精义)按古率周三径一李淳风
等释古九章以为术从简易举大纲而言之诚为通论
诸家所传径五十周一百五十七则魏刘徽所改谓之
徽率径七周二十二则祖冲之所定谓之密率由今以
观冲之自有两率(一为七与二十二一/为一一三与三五五)盖以其捷者为
恒用之须而存其精者明测算之理亦可以观古人之
用心矣

三角形外切平员第二术
　分边取员心内分二支并以图算
　　一句股形但分一边即得员心(其心/在弦)
　　一锐角形钝角形并分二边可得员心(锐角形员/心在形内)
　　　(钝角形员/心在形外)
假如甲乙丙句股形求外切员
术任于句或股平分之作十字正线此线过弦线之点
即为员心

　　　　　　　　如图甲乙丙形以甲乙股平分于
　　　　　　　　戊从戊作庚丁正十字线至乙丙
　　　　　　　　弦即分弦为两平分而丁即员心
　　　　　　　　从丁运规作外切员则甲乙丙三
点并切员周而乙丁丙丁庚丁皆半径
论曰若平分甲丙句于辛从辛作十字正线亦必至丁
故但任分其一边即可得心
又论曰若依第一术先得丁心从丁心作直线与句平

行即此线能分股线为两平分(如丁庚线与甲丙句平/行过甲乙股即平分股)
(线于/戊)若与股平行而分句线亦然(如丁辛线与甲乙股/平行即分句线于辛)
　　　　右句股形外切平员之心在弦线中央

假如锐角形求形外切员
术任以两边各平分之作十字线引长之必相遇于一
点即为员心
　　　　　　　　如图甲乙丙锐角形任以甲丙边
　　　　　　　　平分之于戊作庚戊丁十字线又
　　　　　　　　任以乙丙边平分之于壬作癸壬
　　　　　　　　丁十字线两直线稍引长之相遇
于丁以丁为心作员则甲乙丙三角并切员周而丁癸

丁庚皆半径
论曰试于馀一边再平分之作十字正线亦必会于此
点故此点必员心(如甲乙边再平分之于辛作子/辛丁十字线亦必相遇于丁点)
　　　　右锐角形外切平员之心在形之内

假如钝角形求形外切员　术同锐角
　　　　　　　　如图甲乙丙形甲为钝角任分甲
　　　　　　　　丙于戊分甲乙于辛各作十字线
　　　　　　　　会于丁心从丁作员则丁庚丁癸
　　　　　　　　皆半径而三角并切员周若用大
边平分于壬作壬丁子线亦同
论曰试于丁心作线至丙至乙至甲必皆成员半径与
丁庚丁癸同故丁为员心也

　　　　右钝角形外切平员之心在形之外
总论曰此与容员之法不同何也内容员之心即三角
形之心故其半径皆与各边为垂线而不能平分其边
然从心作线至角即能分各角为两平分此分角求心
之法所由以立也外切员之心非三角形之心其心或
在形内或在形外距边不等而能以十字线剖各边为
两平分此分边求心之法所由以立盖即三点串员之
法也

　附三点串员
　　　　　　　　有甲乙丙三点欲使之并在员周
　　　　　　　　术任以甲为心作虚员分用元度
　　　　　　　　以丙为心亦作虚员分两员分相
　　　　　　　　交于戊于辛作戊辛直线又任以
乙为心以丙为心各作同度之虚员分相交于庚于壬
作庚壬直线两直线相遇于丁以丁为心作员则三点
并在员周

　员周有三点不知其心亦用此法
　
　
　
　
　
　
　历算全书卷五十二