钦定四库全书
　历算全书卷五十一
　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰
　三角法举要卷二
　算例
　三角形有三类
　　一曰句股形
　　　即直角三边形也有正方角一馀并锐角

　　一曰锐角形
　　　三角并锐
　　一曰钝角形
　　　三角内有钝角一馀并锐角
　　以上三类总谓之三角形其算之各有术

句股形第一术　有一角一边求馀角馀边
　内分二支
　　一先有之边为弦
　　一先有之边为句(或先有/股亦同)
假如(壬癸丁/)句股形有丁角(五十七度/)壬丁弦(九十一/)
(丈八尺/)
求馀角馀边
　一求癸丁边

　　　　　　　　　术曰以半径全数比丁角之馀弦
　　　　　　　　　若壬丁弦与癸丁句(半径即丁乙/馀弦即甲丁)
　　　　　　　　　(以丁乙比甲丁/若壬丁比丁癸)
一率(原设/弦)半径　　　　一○○○○○为法
二率(原设/句)丁角(五十/七度)馀弦　五四四六四(相乘/)
三率(今有/弦)壬丁边　　　九十一丈八尺(为实/)
四率(今所/求句)癸丁边　　　五十丈　　　法除实得所求
　一求壬癸边

　　术曰以半径比丁角之正弦若壬丁弦与壬癸股
一率(原设/股)半径　　　　一○○○○○　为法
二率(原设/股)丁角(五十/七度)正弦　八三八六七　(相乘/)
三率(今有/弦)壬丁边　　　九十一丈八尺　(为实/)
四率(今所/求股)壬癸边　　　七十七丈　　法除实得所求
　一求壬角
以丁角(五十七度/)与象限九十度相减得馀三十三度
为壬角

　计开
先有之三件
　癸正方角(九十/度)　丁角(五十/七度)　壬丁弦(九十一/丈八尺)
今求得三件
　癸丁旬(五十/丈)　壬癸股(七十/七丈)　壬角(三十/三度)
　　　　右例先得弦以求句股也是为句股形第一
　　　　术之第一支

假如(壬癸丁/)句股形有丁角(六十二度/)癸丁句(二十四/)
(丈/)求馀角馀边
　一求壬角
以丁角(六十二度/)与象限相减得馀二十八度为壬角
　　　　　　　　　(戊丙丁句股形以戊丙切线为/股丙丁半径为句戊丁割线为)
　　　　　　　　　(弦是丁角/原有之线)
　　　　　　　　　(今壬癸丁句股形既/同丁角则其比例等)
　一求壬丁边

　　术为以半径比丁角之割线若癸丁句与壬丁弦
一(原设/句)半径　　　　　一○○○○○　为法
二(原设/弦)丁角(六十/二度)割线　二一三○○五　(相乘/)
三(今有/句)癸丁边　　　　二十四丈　　　(为实/)
四(所求/弦)壬丁边　　　　五十一丈二尺　法除实得所求
　一求壬癸边
　　术为以半径比丁角之切线若癸丁句与壬癸股
一(原设/句)半径　　　　　一○○○○○为法

二(原设/股)丁角(六十/二度)切线　一八八○七三　(相乘/)
三(今有/句)癸丁边　　　　二十四丈　　　(为实/)
四(所求/股)壬癸边　　　　四十五丈一尺　法除实得所求
　计开
先有之三件
　癸正方角　丁角(六十/二度)　癸丁句(二十/四丈)
今求得三件
　壬角(二十/八度)　壬丁弦(五十一/丈一尺)　壬癸股(四十五/丈一尺)

　　　　右例先得句以求弦及股也或先得股以求
　　　　弦及句亦同是为句股形第一术之第二支

句股形第二术　有边求角
　亦分二支
　　一先有二边
　　一先不知正方角而有三边(新增/)
假如(壬癸丁/)句股形有壬丁弦(一百零二丈二尺/)癸丁
句(四十八丈/)
求二角一边
　一求丁角

　　　　　　　　　　术为以壬丁弦比癸丁句若半
　　　　　　　　　　径乙丁与丁角之馀弦甲丁
一　壬丁边　　一百○二丈二尺　今有之弦为法
二　癸丁边　　　四十八丈　　　今有之句(相乘/)
三　半径　　　一○○○○○　　原设之弦(为实/)
四　丁角馀弦　　四六九六六　　法除实得所求原设句
　　依术求得丁角六十二度(以所得馀弦/捡表即得)
　一求壬角

以丁角(六十二度/)与象限相减得馀二十八度为壬角
　一求壬癸边
　　术为以半径比丁角之正弦若壬丁弦与壬癸股
一　半径　　　　　一○○○○○
二　丁角(六十/二度)正弦　　八八二九五
三　壬丁边　　　　一百○二丈二尺
四　壬癸边　　　　　九十丈○二尺三寸
　计开

先有之三件
　壬丁弦(一百○二/丈二尺)　癸丁句(四十/八丈)　癸正方角
今求得三件
　丁角(六十/二度)　壬角(二十/八度)　壬癸股(九十丈○/二尺三寸)
　　　　右例以边求角而先知方角故只用二边也
　　　　是为句股形第二术之第一支(此先有二边/为弦与句故)
　　　　(用正馀弦若先有者是句与股/则用切线其比例之理一也)

假如(壬癸丁/)三角形有壬丁边(一百○六丈/)壬癸边(九/)
(十丈/)癸丁边(五十六丈/)求角
　一求癸角
　　　　　　　　术以壬丁大边与丁癸边相加得(一/)
　　　　　　　　(百六十二丈/)为总又相减得(五十/)
　　　　　　　　(丈/)为较以较乘总得(八千一百丈/)
　　　　　　　　为实以壬癸边(九十丈/)为法除之
　　　　　　　　仍得(九十丈/)与壬癸边数等即知

癸角为正方角
　　依术求得癸角为正方角定为句股形
　一求丁角
　　术为以丁癸边比壬癸边若半径与丁角之切线
一　丁癸句　　五十六丈
二　壬癸股　　九十丈
三　半径　　　一○○○○○
四　丁角切线　一六○七一四

　　依术求得丁角五十八度○六分(以所得切线/捡表即得)
　一求壬角
以丁角(五十八度○六分/)与象限相减得馀三十一度
五十四分为壬角
　计开
先有三边
　壬丁边(一百零/六丈)　壬癸边(九十/丈)　癸丁边(五十/六丈)
求得三角

　癸正方角　丁角(五十八度/零六分)　壬角(三十一度/五十四分)
　　　　右例亦以边求角而先不知其为句股形故
　　　　兼用三边是为句股形第二术之第二支

锐角形第一术　有两角一边求馀角馀边
假如(乙丙丁/)锐角形有丙角(六十度/)丁角(五十度/)丙丁
边(一百二十尺/)
　先求乙角
　　　　　　　　术以丙角(六十度/)丁角(五十度/)相
　　　　　　　　并得(一百一十度/)以减半周一百
　　　　　　　　八十度馀七十度为乙角
　

　次求乙丁边
　　术为以乙角正弦比丙丁边若丙角正弦与乙丁边
一　乙角(七十/度)正弦　九三九六九
二　丙丁边(即乙角/对边)　一百二十尺
三　丙角(六十/度)正弦　八六六○三
四　乙丁边(即丙角/对边)　一百一十尺○六寸
　次求乙丙边
　　术为以乙角正弦比丙丁边若丁角正弦与乙丙

　　边
一　乙角(七十/度)正弦　九三九六九
二　丙丁(乙角/对边)　　　一百二十尺
三　丁角(五十/度)正弦　七六六○四
四　乙丙(丁角/对边)　　　　九十七尺八寸
　计开
先有之三件
　丙角(六十/度)　丁角(五十/度)　丙丁边(一百二/十尺)

今求得三件
　乙角(七十/度)　乙丁边(一百一十/尺零六寸)　乙丙边(九十七/尺八寸)
　　　　右例先有之边在两角之间也若先有之边
　　　　与一角相对亦同盖三角形有两角即有第
　　　　三角故无两法

锐角形第二术　有一角两边求馀角馀边
　此分二支
　　一先有之角与一边相对
　　一先有之角不与边相对
假如(甲乙丙/)锐角形有丙角(六十度/)甲丙边(八千尺/)甲
乙边(七千零三十四尺/)
　先求乙角
　

　　　　　　　　术为以甲乙边比甲丙边若丙角
　　　　　　　　正弦与乙角正弦
　
一　甲乙(丙角/对边)　　　七千○三十四尺
二　甲丙(乙角/对边)　　　八千尺
三　丙角(六十/度)正弦　八六六○三
四　乙角　　正弦　九八四九六
　　捡正弦表得乙角八十度○三分

　次求甲角
以丙角乙角相并得(一百四十度○三分/)以减半周馀
三十九度五十七分为甲角
　次求乙丙边
　　术为以乙角之正弦比甲角之正弦若甲丙边之
　　与乙丙边
一　乙角(八十度○/三分)正弦　九八四九六
二　甲角(三十九度/五十七分)正弦　六四二一二

三　甲丙(乙角/对边)　　　　　八千尺
四　乙丙(甲角/对边)　　　　　五千二百一十五尺
　计开
先有之三件
　丙角(六十/度)　甲丙边(八千/尺)　乙甲边(七千○三/十四尺)
今求得三件
　乙角(八十度/○三分)　甲角(三十九度/五十七分)　乙丙边(五千二百/一十五尺)
　　　　右例有两边一角而角与一边相对是为锐

　　　　角形第二术之第一支
　
　
　
　
　
　
　

假如(甲乙丙/)锐角形有甲丙边(四百尺/)乙丙边(二百六/)
(十一尺○八分/)丙角(六十度/)　角在两边之中不与边
对求甲乙边
　先求中长线分为两句股形
　　　　　　　　　术为以半径比丙角正弦若甲
　　　　　　　　　丙边与甲丁中长线
　
一　半径　　　　　一○○○○○

二　丙角(六十/度)正弦　○八六六○三
三　甲丙边　　　　四百尺
四　甲丁中长线　　三百四十六尺四寸一分
　次求丙丁边(即所分甲丁丙形之/句而甲丙为之弦)
　　术为以半径比丙角馀弦若甲丙边与丙丁边
一　半径　　　　　一○○○○○
二　丙角(六十/度)馀弦　　五○○○○
三　甲丙边　　　　四百尺

四　丙丁边　　　　二百尺
　次求乙丁边(即所分甲丁乙形之/句而甲丁为之股)
以丙丁与丙乙相减馀六十一尺○八分为乙丁
　次求丁甲乙分角(即分形甲丁乙/句股之甲角)
　　术为以甲丁中长线比乙丁分边若半径与甲分
　　角切线
一　甲丁中长线　三百四十六尺四寸一分
二　乙丁分边　　　六十一尺○八分

三　半径　　　　一○○○○○
四　甲分角切线　　一七六三三
　　捡切线表得一十度为甲分角
　末求甲乙边
　　术为以半径比甲分角割线若甲丁中长线与甲
　　乙边
一　半径　　　　　　一○○○○○
二　甲分角(十度/)割线　一○一五四三

三　甲丁中长线　　　三百四十六尺四寸一分
四　甲乙边　　　　　三百五十一尺七寸五分
　求甲全角
以丙角(六十度/)之馀角三十度(即分形甲丁/丙之甲分角)与求到甲
分角(一十度/)相并得四十度为甲全角
　求乙角
以甲分角(一十度/)减象限得八十度为乙角(或并丙甲/二角减半)
(周亦/同)

　计开
先有之三件
　甲丙边(四百/尺)　乙丙边(二百六十一/尺○八分)　丙角(六十/度)
今求得三件
　甲乙边(三百五十一/尺七寸五分)　甲角(四十/度)　乙角(八十/度)
　　　　右例有两边一角而角在两边之中不与边
　　　　对故用分形以取句股是为锐角形第二术
　　　　之第二支

又术(新增/)　用切线分外角
假如(甲乙丙/)锐角形有甲丙边(四百尺/)乙丙边(二百六/)
(十一尺○八分/)丙角(六十度/)　此即前例但求甲角
　　　　　　　　术以(甲丙/乙丙)两边相并为总相减为
　　　　　　　　较又以丙角(六十度/)减半周得外
　　　　　　　　角(一百二十度/)半之得半外角(六/)
　　　　　　　　(十度/)捡其切线依三率法求得半
较角以减半外角得甲角

一　两边总　　　六百六十一尺○八分
二　两边较　　　一百三十八尺九寸二分
三　半外角切线　一七三二○五
四　半较角切线　　三六三九七
　　捡切线表得(二十度/)为半较角转与半外角(六十/)
　　(度/)相减得甲角四十度
　次求乙角
并甲丙二角共(一百度/)以减半周得馀八十度为乙角

　次求甲乙边
一　甲角(四十/度)正弦　六四二七九
二　丙角(六十/度)正弦　八六六○三
三　乙丙边　　　　二百六十一尺○八分
四　甲乙边　　　　三百五十一尺七寸五分

锐角形第三术　有三边求角
假如(甲乙丙/)锐角形有乙丙边(二十丈/)甲丙边(一十七/)
(丈五尺八寸五分/)乙甲边(一十三丈○五寸/)
　　　　　　　　术曰任以(乙丙/)大边为底从甲角
　　　　　　　　作甲丁虚垂线至底分为两句股
　　　　　　　　形
　　　　　　　　一甲丁丙形以甲丙边为弦丁丙
　　　　　　　　为句

一甲丁乙形以甲乙边为弦丁乙为句
两弦相并为总相减为较　两句相并(即乙丙/边原数)为句总
　求两句相减之数为句较
　　术为以句总比弦总若弦较与句较也
一　两句之总(即乙/丙)　二十丈
二　两弦之总　　　三十丈○六尺三寸五分
三　两弦之较　　　四丈五尺三寸五分
四　两句之较(即丙/戊)　六丈九尺四寸六分

　求分形之两句
以句较(六丈九尺/四寸六分)减句总(二十丈/即乙丙)馀乙戊(一十三丈○/五寸四分)
半之得丁乙(即戊/丁)六丈五尺二寸七分为(甲丁乙/)分形
之句
又以戊丁(六丈五尺/二寸七分)加句较(六丈九尺四寸/六分 即戊丙)得丁丙一
十三丈四尺七寸三分为(甲丁丙/)分形之句
　求丙角
　　术为以甲丙弦比丁丙句若半径与丙角之馀弦

一　甲丙边　　一十七丈五尺八寸五分
二　丁丙分边　一十三丈四尺七寸三分
三　半径　　　一○○○○○
四　丙角馀弦　　七六六一六
　　捡馀弦表得丙角四十度
　求甲角
　　术先求分形大半之甲角
以丙角(四十度/)减象限馀五十度为(丁甲丙/)分形之甲角

　　次求分形小半之甲角
　　术为以甲乙弦比丁乙句若半径与分形甲角之正弦
一　甲乙边　　　一十三丈○五寸
二　丁乙分边　　　六丈五尺二寸七分
三　半径　　　　一○○○○○
四　甲分角正弦　　五○○一五
　　捡正弦表得三十度为(丁甲乙/)分形之甲角
并分形两甲角(先得五十度/后得三十度)得共八十度为甲全角

　求乙角
并丙甲二角共(一百二十度/)以减半周得馀六十度为乙角
　计开
先有三边
　甲丙边(一十七丈五/尺八寸五分)　乙丙边(二十/丈)乙甲边(一十三丈/○五寸)
求得三角
　丙角(四十/度)　甲角(八十/度)　乙角(六十/度)

钝角形第一术　有两角一边求馀角馀边
假如(乙丙丁/)钝角形有丙角(三十六度半/)乙角(二十四/)
(度/)丁乙边(五十四丈/)
　先求丁角
　　　　　　　　术以丙乙二角并之共(六十度半/)
　　　　　　　　以减半周得馀一百一十九度半
　　　　　　　　为丁钝角
　

　次求乙丙边
　　术为以丙角正弦比丁角正弦若乙丁边与乙丙
　　边
一　丙角(三十六度/二十分)正弦　五九四八二
二　丁角(一百十九/度三十分)正弦　八七○三六
三　乙丁边　　　　　　五十四丈
四　乙丙边　　　　　七十九丈○一寸
　　右所用丁角正弦即六十度半正弦以钝角度减

　　半周用之凡钝角并同
　求丁丙边
　　术为以丙角正弦比乙角正弦若乙丁边与丁丙
　　边
一　丙角(三十六度/三十分)正弦　五九四八二
二　乙角(二十四度/)正弦　四○六七四
三　乙丁边　　　　　五十四丈
四　丁丙边　　　　　三十六丈九尺二寸

　计开
先有之三件
　丙角(三十六/度半)　乙角(二十/四度)　丁乙边(五十/四丈)
今求得三件
　丁钝角(一百一十/九度半)　乙丙边(七十九丈/○一寸)　丁丙边(三/十)
　(六丈九/尺二寸)

钝角形第二术　有一角两边求馀角馀边
　亦分二支
　　一先有对角之边
　　一先有二边皆角旁之边而不对角
假如(甲乙丙/)钝角形有乙角(九十九度五十七分/)甲丙
对边(四千尺/)甲乙边(三千五百一十七尺/)
　求丙角
　

　　　　　　　　　术为以甲丙对边比甲乙边若
　　　　　　　　　乙角正弦与丙角正弦
　
一　甲丙边　　　　　　四千尺
二　甲乙边　　　　　　三千五百一十七尺
三　乙角(九十九度/五十七分)正弦　九八四九六(即八十度/三分正弦)
四　丙角　　　　正弦　八六六○三
　　捡表得丙角六十度

　求甲角
并乙丙二角(共一百五十九度五十七分/)以减半周得
馀二十度○三分为甲角
　求乙丙边
　　术为以乙角之正弦比甲角之正弦若甲丙对边
　　与乙丙边
一　乙角(九十九度/五十七分)正弦　九八四六九
二　甲角(二十○度/三分)正弦　三四二八四

三　甲丙边　　　　　　四千尺
四　乙丙边　　　　　　一千三百九十二尺
　计开
先有之三件
　乙钝角(九十九度/五十七分)　甲丙边(四千/尺)　甲乙边(三千五/百一十)
　(七/尺)
今求得三件
　丙角(六十/度)　甲角(二十度/○三分)　乙丙边(一千三百/九十二尺)

　　　　右例有两边一角而先有对角之边是为钝
　　　　角形第二术之第一支
　
　
　
　
　
　

假如(乙丁丙/)钝角形有乙丁边(一千零八十尺/)乙丙边
(一千五百八十二尺/)乙角(二十四度/)　角在两边之中
不与边对
　　　　　　　术先求形外之虚垂线补成正方角
　　　　　　　　从不知之丙角作虚垂线于形外
　　　　　　　　如丙戊亦引乙丁线于形外如丁
　　　　　　　　戊两虚线遇于戊成正方角
　　　　　　　术为以半径比乙角正弦若乙丙边

与丙戊
一　半径　　　　　一○○○○○
二　乙角(二十/四度)正弦　　四○六七四
三　乙丙边　　　　一千五百八十二尺
四　丙戊边(即虚/垂线)　　　六百四十三尺
　　又以半径比乙角之馀弦若乙丙边与乙戊
一　半径　　　　　一○○○○○
二　乙角(二十/四度)馀弦　　九一三五五

三　乙丙边　　　　一千五百八十二尺
四　乙戊边(即乙丁/引长线)　一千四百四十五尺
　　以原边乙丁(一千○/八十尺)与引长乙戊边相减得丁戊
　　(三百六/十五尺)为形外所作虚句股形之句(则先得丙戊/垂线为股而)
　　(原边丁丙/为之弦)
　求丁丙边
依句股求弦术以丙戊股自乘(四十一万三千/四百四十九尺)丁戊句
自乘(一十三万三千/二百二十五尺)并之得数(五十四万六千/六百七十四尺)为实平

方开之得弦七百三十九尺为丁丙边
　求丙角
　　术为以丁丙边比丁乙边若乙角正弦与丙角正
　　弦
一　丁丙边　　　　　七百三十九尺
二　丁乙边　　　　一千○八十尺
三　乙角(二十/四度)正弦　四○六七四
四　丙角　　正弦　五九四四二

　　捡表得丙角三十六度二十九分
　求丁角
并乙丙二角共(六十度二十九分/)以减半周得馀一百
一十九度三十一分为丁钝角
　计开
先有之三件
　乙丁边(一千零/八十尺)　乙丙边(一千五百/八十二尺)　乙角(二十/四度)
今求得三件

　丁丙边(七百三/十九尺)　丙角(三十六度/二十九分)　丁钝角(一百一/十九度)
　(三十/一分)
　　　　右例有两边一角而两边并在角之两旁不
　　　　与角对是为钝角形第二术之第二支
　
　
　
　

又术(新增/)　用切线分外角
假如(乙丙丁/)钝角形有丁乙边(五百四十尺/)丙乙边(七/)
(百九十一尺/)乙角(二十四度/)　角在两边之中不与边对
　求丙角
　
　
　
　　以(丁乙/丙乙)两边相并为总相减为较又以乙角(二十/)

　　(四度/)减半周得外角(一百五十六度/)半之得半外
　　角(七十八度/)捡其切线得四七○四六三
　　术为以边总比边较若半外角切线与半较角切
　　线
一　两边之总　　一千三百三十一尺
二　两边之较　　　二百五十一尺
三　半外角切线　四七○四六三
四　半较角切线　　八八七一九

　　捡表得半较角(四十一度三十五分/)以转减半外
　　角(七十八度/)得馀三十六度二十五分为丙角
　求丁角
并乙丙二角共(六十度二十五分/)以减半周得一百一
十九度三十五分为丁钝角
　求丁丙边
　　术为以丙角正弦比乙角正弦若乙丁边与丁丙
　　边

一　丙角(三十六度/二十五分)正弦　五九三六五
二　乙角(二十四度/)正弦　四○六七四
三　乙丁边　　　　　　五百四十尺
四　丁丙边　　　　　　三百六十九尺九寸八分
　计开
先有之三件
　丁乙边(五百四/十尺)　丙乙边(七百九/十一尺)　乙角(二十/四度)
今求得三件

　丙角(三十六度/二十五分)　丁钝角(一百一十九/度三十五分)　丁丙边(三/百)
　(六十九尺/九寸八分)

钝角形第三术　有三边求角(新式/)
假如(乙丙丁/)钝角形有乙丙边(三百七十五尺/)乙丁边
(六百○七尺/)丁丙边(三百尺/)
　　　　　　　　术自乙角作虚垂线至甲又引丁
　　　　　　　　丙线横出遇于甲而成正方角则
　　　　　　　　成乙甲丁句股形
　　　　　　　　又引横线至辛使甲辛如丙甲成
　　　　　　　　乙甲辛句股形则丁辛为两句之

总而所设丁丙边为两句之较
　　又乙丁边为大形(乙甲/丁)之弦乙丙边为小形(乙甲/辛即)
　　(乙甲/丙)之弦两弦相并为总相减为较
　　术为以句较比弦较若弦总与句总
一　句较(即丁/丙边)　　　　三百尺
二　弦较(即乙丁内减/乙丙之馀)　二百三十二尺
三　弦总(即乙丁乙丙/二边相并)　九百八十二尺
四　句总　　　　　　七百五十九尺四寸

　　以句较(三百/尺)减所得句总(七百五十/九尺四寸)馀数(五百二/十九尺)
　　(四/寸)为大形之句甲丁
　求丁角(用乙甲/丁大形)
　　术为以乙丁弦比丁甲句若半径与丁角之馀弦
一　乙丁弦　　六百○七尺
二　甲丁句　　五百二十九尺七寸
三　半径　　　一○○○○○
四　丁角馀弦　　八七二六五

　　捡表得丁角二十九度一十四分
　求丙角(用乙甲/丙小形)
　　术为以甲丙句比乙丙弦若半径与丙角之割线
一　甲丙句　　二百二十九尺七寸
二　乙丙弦　　三百七十五尺
三　半径　　　一○○○○○
四　丙角割线　一六三二五六
　　捡表得丙角(五十二度一十四分/)为本形之丙外

　　角以减半周得丙钝角一百二十七度四十六分
　求乙角
并丁丙二角所得度分(共一百五十七度/)以减半周得
馀二十三度为乙角
　计开
先有三边
　乙丙边(三百七/十五尺)　乙丁边(六百/七尺)　　丁丙边(三百/尺)
求得三角

　丁角(二十九度/一十四分)　丙钝角(一百二十七/度四十六分)　乙角(二十/)
　(三度/)
　　　　右例钝角形三边求角作垂线于形外径求
　　　　钝角乃新式也若以大边为底从钝角分中
　　　　长线同锐角第三术
　
　
　历算全书卷五十一