钦定四库全书
　历算全书卷五十
　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰
　三角形举要法卷一
　测算名义
　　古用句股有割员弧背弦矢诸名今用三角其类
　　稍广不可以不知爰摘纲要列于首简
　点

点如针芒无长短阔狭可论然算从此起譬如算日月
行度只论日月中心一点此点所到即为躔离真度
　线
线有弧直二种皆有长短而无阔狭自一点引而长之
至又一点止则成线矣

如测日月相距度皆自太阳心算至太阴心是为弧线
如测日月去人远近皆自人目中一点算至太阳太阴
天是为直线
凡句股三角之法俱论线线两端各一点故线以点为
其界
　面
面有方员各种之形皆有长短有阔狭而无厚薄故谓
之幂幂者所以冒物如量田畴界域只论土面之大小

　
　
　
　
　
　
　
面之方员各类皆以线限之故面以线为界(面之线/亦曰边)

惟员面是一线所成乃弧线也若直线必三线以上始能成形
　体
体或方或员其形不一皆有长短有阔狭又有厚薄(或/浅)
(深高下/之类)员体如球如柱方体如匮如㪷或如员塔方塔
皆以面为界(图/后)
　
　
　

　
　
　
以上四者(谓点线/面体)略尽测量之事矣然其用皆在线如
论点则有距线论面则有边线论体则有棱线(面与面/相得则)
(成棱/线)凡所谓长短阔狭厚薄浅深高下皆以线得之三
角法者求线之法也
长短阔狭厚薄等类皆以量而得而量者必于一线正

中若稍偏于两旁则其度不真矣故凡测量所求者皆线也
　三角形
欲明三角之法必详三角之形
　
　
　
两直线不能成形成形者必三线以上而三线相遇则
有三角故三角形者形之始也

　
　
　
多线皆可成形析之皆可成三角至三角则无可析矣
故三角能尽诸形之理
凡可算者为有法之形不可算者为无法之形三角者
有法之形也不论长短斜正皆可以求其数故曰有法
若无法之形析之成三角则可量故三角者量法之宗也

　角
三角法异于句股者以用角也故先论角
两线相遇则成角(平行两直线不能作角何也线既平/行则虽引而长之至于无穷终无相)
(遇之理角安从生是故作角/者必两线相遇必不平行也)
角有三类一正方角一锐角一钝角
　
　
　

如右图以两线十字纵横相遇皆为正方角(亦曰直角/亦曰方角)
　
　
　
如右图以两线斜相遇则一为锐角一为钝角
凡锐角必小于正方角凡钝角必大于正方角
正方角止一锐角钝角则有多种而算法生焉
　弧

角在小形与在大形无以异也故无丈尺可言必量之
以对角之弧
法以角之端为员心用规作员员周分三百六十度乃
视本角所对之弧于全员三百六十度中得几何度分
其弧分所对正得九十度者为正方角(九十度者全员/四之一谓之象)
(限/)若所对弧分不满九十度者为锐角(自八十九度以/至一度并锐角)
(也/)所对弧分在九十度以上者为钝角(自九十一度至/百七十九度并)
(钝角/也)

　　　　　　　如图丁为角即用为员心以作员形
　　　　　　　其庚丁丙角(凡论角度并以中一字/为所指之角此言庚丁)
　　　　　　　(丙即丁/为角也)所对者庚丙弧在全员为四
　　　　　　　之一正得象限九十度是为正方角
若乙丁丙角所对者乙丙弧在象限庚丙弧之内小于
象限九十度是为锐角
又乙丁壬角所对乙庚壬弧过于壬庚弧(壬庚亦象限/九十度弧故)
(庚丁壬/亦方角)大于象限九十度是为钝角

角之度生于割员
　割员弧矢
有弧则有矢弧矢者古人割员之法也
　　　　　　　　如图以乙子直线割平员则成弧
　　　　　　　　矢形
　　　　　　　　所割乙丙子员分如弓之曲古谓
　　　　　　　　之弧背以弧背半之则为半弧背
(如乙/丙)

　通弦正弦
割员直线如弓之弦谓之通弦(如乙/子)
通弦半之古谓之半弧弦今曰正弦(如乙/甲)
　矢线
正弦以十字截半径成矢(如丁丙横半径为乙甲/正弦所截成甲丙矢)谓之
正矢
　　(以上二条/俱仍前图)
　正弧馀弧正角馀角

　
　　　　　　　所用之弧度为正弧以正弧减象限
　　　　　　　为馀弧(如庚丙象限内减乙丙正/弧则其馀乙庚为馀弧)
　
正弧所对为正角(如正弧乙丙对乙/丁丙角则为正角)
以正角减正方角为馀角(如以乙丁丙正角去减庚丁/丙方角则其馀乙丁庚角为)
(馀/角)
　正弦馀弦正矢馀矢

　
　　　　　　　有正弧正角即有正弦(如乙/甲)有正矢
　　　　　　　(如甲/丙)亦即有馀弦(如乙/己)有馀矢(如己/庚)
　
正弦正矢馀弦馀矢皆乙丙弧所有亦即乙丁丙角所
有
自一度至八十九度并得为乙丙并得为正弧即正馀
弦矢毕具

若用乙庚为正弧则乙丙反为馀弧
角之正馀亦同
　割线切线
每一弧一角各有正弦馀弦正矢馀矢己成四线于平
员内(古人用句股割员即此法也/盖此四线己成倒顺二句股)
再引半径透于平员之外与切员直线相遇为割线切
线而各有正馀复成四线(正割正切馀割馀切/复成倒顺二句股)共为八
线故曰割员八线也

　　　　　　　　如图庚乙丙平员切戊丙直线于丙
　　　　　　　　又引乙丁半径透出员周外使两线相
　　　　　　　　遇于戊则戊丙为乙丙弧之正切线
　　　　　　　　亦即为乙丁丙角之正切线而戊丁
为乙丙弧之正割线亦即为乙丁丙角之正割线
又以平员切庚辛直线于庚与乙丁透出线相遇于辛
则庚辛为乙丙弧之馀切线亦即为乙丁丙角之馀切线
而辛丁为乙丙弧之馀割线亦即为乙丁丙角之馀割线

　割员八线
凡用一弧即对一角用一角亦对一弧故可互求
凡一弧即有八线(正弦正矢正割正切/馀弦馀矢馀割馀切)角亦然
凡一弧之八线即成倒顺四句股角亦然
　　　　　　　　如图庚丙象弧共九十度庚丁丙
　　　　　　　　为九十度十字正方角
　　　　　　　　任分乙丙为正弧乙丁丙为正角
　　　　　　　　则乙庚为馀弧乙丁庚为馀角

　　正弦(乙甲己/同丁)　正矢(甲丙/)正切(戊丙/)　正割(戊丁/)
　　馀弦(乙己甲/同丁)　馀矢(庚己/)馀切(辛庚/)　馀割(辛丁/)
以上八线为乙丙弧所用亦即为乙丁丙角所用(自一/度至)
(八十九/度并同)若用乙庚弧亦同此八线但以馀为正以正为馀
　　　　　　　乙甲丁句股形乙丁(半/径)为弦乙甲(正/弦)为
　　　　　　　股丁甲(馀/弦)为句　戊丙丁句股形戊丁
　　　　　　　(正/割)为弦戊丙(正/切)为股丙丁(半/径)为句
　　　　　　　以上两顺句股形同用乙丁甲角故其

比例等(凡句股形一角/等则馀角并等)
　　　　　　　乙己丁倒句股形乙丁(半/径)为弦己丁(正/弦)为
　　　　　　　股乙己(馀/弦)为句　辛庚丁倒句股形辛丁
　　　　　　　(馀/割)为弦丁庚(半/径)为股辛庚(馀/切)为句　以上两
　　　　　　　倒句股形同用乙丁巳角故其比例亦等
　　　　　　　乙甲丁句股形乙丁(半/径)为弦乙甲(正/弦)为股甲
　　　　　　　丁(馀/弦)为句　丁己乙倒句股形乙丁(半/径)为
弦己丁(正/弦)为股乙己(馀/弦)为句　此倒顺两句股形等边又等

角(倒形之丁角即顺形丁角之馀/倒形之乙角即顺形乙角之馀)竟如一句股也准此
论之则倒顺四句股之比例亦无不等矣
　角度
凡三角形并三角之度皆成两象限(共一百/八十度)
　　　　　　　　假如乙甲丁句股形其丁角五十五
　　　　　　　　度(当乙/丙弧)则乙角必三十五度(当乙庚/馀弧)
　　　　　　　　两角共一象限九十度其甲角正方
　　　　　　　　原系九十度合三角成一百八十度

乙角何以必三十五度也试引乙丁弦过心至卯则卯
丁丑角与丁乙甲角等(卯丁乙同为一线丁丑线又与/乙甲平行则所作之角必等)
而卯丁丑固三十度也则乙角亦三十度矣
　　　　　　　又假如丙乙丁三角形从乙角作乙
　　　　　　　甲直线至丁丙边分为两句股形(乙/甲)
　　　　　　　(丁乙/甲丙)准前论乙甲丁句股形以乙分
　　　　　　　角与丁角合之成一象限九十度又
乙甲丙句股形以乙分角与丙角合之成一象限九十

度然则以乙全角(即两分/角之合)与丁丙两角合之必两象限
一百八十度矣(乙为钝/角并同)
以此推知三角形有两角即知馀角(并两角以减半周/一百八十度得之)
句股形有一角即知馀角(句股原有正方角九十度则馀两/角共九十度故得一可知其二)
　相似形
既知角可以论形有两三角形其各角之度相等则为
相似形而两形中各边之比例相等(谓此形中各边自/相较之比例亦如)
(彼形中各边自/相较之比例也)

　比例
两数相形则比例生比例者或相等或大若干或小若
干乃两数相比之差数也有两数于此又有两数于此
数虽不同而其各两数自相差之比例同谓之比例等
或两小数相等又有两大数相等是为相等之比例数
虽有大小其相等之比例均也或两小数相差三倍又
有两大数亦相差三倍是为三倍之比例或两小数相
差为一倍有半又有两大数相差亦一倍有半是为一

倍有半之比例数虽有大小其为三倍之比例及一倍
有半之比例均也
论八线之比例有二
一为八线自相生之比例
　　　　　　　　乙甲丁小句股形与戊丙丁大句
　　　　　　　　股形相似(见前/条)故以半径乙丁比
　　　　　　　　正弦乙甲若割线戊丁与切线戊
　　　　　　　　丙之比例也(此为以小弦比小/股若大弦与大股)股

求弦亦同
又以半径丙丁比正切戊丙若馀弦甲丁与正弦乙甲
之比例也(此为以大句比大/股若小句比小股)股求句亦同馀仿此
以故凡八线中但得一线则馀皆可求观图自明
一为八线算他形之比例
乙丁甲角所有八线为表中原设之数亢丁房句股形
为今所算之数
或先有丁角有亢丁弦而求房丁句则为以乙丁半径

　　　　　　　　比甲丁馀弦若亢丁弦与房丁句
　　　　　　　　也(以角与句/求弦亦同)以上是用八线以求
　　　　　　　　他形
　　　　　　　　或先有亢丁弦有亢房股而求丁
　　　　　　　　角则为以亢丁弦比亢房股若乙
　　　　　　　　丁半径与丁角之正弦乙甲也(得/乙)
　　　　　　　　(甲得丁/角矣)或先有亢房股与房丁句
　　　　　　　　而求丁角则为以亢房股比房丁

句若丁庚半径与庚辛馀切也(得庚辛亦/得丁角)以上二者是
用他形转求八线
总而言之皆以先有两数之比例为后两数之比例其
乘除之法皆依三率也
　三率
三率算术古谓之异乘同除今以句股解之
丁戊大股(十四/尺)丙戊大句(十一尺/二寸)截丁乙小股(十/尺)问乙
甲截句

　　　　　　　　　答曰八尺
　　　　　　　　　术以所截小股乘大句得数
　　　　　　　　　为实以大股为法除之即得截句

　　若先以原股(十四/尺)除原句(十一尺/二寸)得八寸为每一
　　尺之句再以截股(十/尺)乘之亦得八尺但先除后乘
　　多有不尽之数故改用先乘后除乃古九章中通
　　用之纲要也
　　先乘后除何以又谓之异乘同除曰今但有截股
　　而不知句故以原有之句乘之股与句异名故曰
　　异乘然后以原有之股除之股与股同名故曰同除
　　然则又何以谓之三率曰本是以原有之股与句

　　比今截之股与句共四件也然见有者只三件(原/有)
　　(之股与句及/今截之股)故必以见有之三件相为乘除而得
　　所不知之第四件故曰三率
三率乘除图式
一率　原有股十四尺　　为法
二率　原有句十一尺二寸(相乘/)
三率　今截股十尺　　　(为实/)
四率　所求截句八尺　　法除实得所求

　　术曰以原股比原句若截股与截句也
　　凡言以者为一率言比者为二率言若者为三率
　　言与者为四率
　　二率三率常相乘为实一率常为法法除实得四
　　率四率乃所求之数其三率者所以求之也
　　三率与异乘同除非有二理但以横列为异然数
　　既平列即可以四率为法除二三相乘之实而得
　　一率并可以一率四率相乘为实用二率为法除

　　之而得三率或用三率为法除之亦得二率是故
　　一四二三之位可以互居(四可为一/二可为三)法实可以迭
　　用(二与三可居一四之位/一与四可居二三之位)变动不居惟用所适而
　　各有典常于异乘同除之理尤深切而著明者也
三率互用图
反之　　　　　更之　　　　　又反之
一句八尺　　　一股十尺　　　一句十一尺二寸
二股十尺　　　二句八尺　　　二股十四尺

三句十一尺二寸三股十四尺　　三句八尺
四股十四尺　　四句十一尺二寸四股十尺
　　右并以二率三率相乘为实一率为法除之而得
　　四率
　八线表
八线为各弧各角之句股所成故八线表者即句股形
之立成数也古人用句股开方巳尽测量之理然句股
弦皆边线耳边之数无方放之则弥四远近之则陈几

案故所传算术皆以一端示例而已不能备详其数也
今变而用角则有弧度三百六十以限之而以象限尽
全周有合于举一反三之旨又析象限之度各六十分凡
为句股形二千七百角度五千四百(九十度之分五千/四百而句股形并)
(有两角故其形二千/七百而角数倍之)为正弦为切线为割线共一万六
千二百(三项各五千四/百正馀互用也)而句股之形略备用之殊便也
锐角分两句股钝角补成句股然惟有八线表中豫定
之句股故但得其角度则诸数历然可于无句股中寻

出句股矣
　半径全数
全数即半径也不言半径而言全数者省文也凡八线
生于角度而有角有弧则有半径八线之数皆依半径
而立也半径常为一(或五位则为一万/或六位则为十万)则正弦常为半
径之分(正弦必小/于半径)而不得为全数惟半径可称全数也
(割切二线皆依正弦而生/亦皆有畸零不得为全数)
用全数为半径有数善焉一立表时易于求数也一用

表时便于乘除也(三率中全数为除法则但降位可省/一除若全数为乘法则但升位可省)
(一/乘)
历书中多言全数(或但/曰全)以从省便今算例中直云半径
以欲明比例之理故质言之

补遗
　正弦为八线之主
割圜之法皆作句股于圜内以先得正弦故古人祗用
正弦亦无不足今用割切诸线而皆生于正弦
　　　　　　　　平圜径二尺(即戊/壬)半之一尺(即戊/丙庚)
　　　　　　　　(丙/等)为圜里六孤之一面(即乙/戊)半径
　　　　　　　　(戊/丙)为弦半面(戊/丁)为句句弦求股得
　　　　　　　　股(丁/丙)转减半径(庚/丙)得馀(庚/丁)为小句

半面(戊/丁)又为小股句股求弦得小弦(戊/庚)是为割六弧成
十二弧之一面如是累析为二十四弧四十八弧至九
十六弧以上定为径一尺周三尺一寸四分有奇
论曰九章算经载刘徽割圜术大略如此其以半径为
六弧之一面与八线理合半径恒为一即全数半面为
股则正弦也
平方径十寸其积百寸内作同径之平圜平圜内又作
平方正得外方之半其积五十寸平方开之得七寸○

　　　　　　　　　七有奇(即离震等四/等面之通弦)乃自
　　　　　　　　　四隅之旁增为八角曲圜
　　　　　　　　　为第一次(即八等/面通弦)至第二
　　　　　　　　　次则为曲十六(即十六等/面通弦)
　　　　　　　　　第三次为曲三十二每次
　　　　　　　　　加倍至十二次则为曲一
万六千三百八十四于是方不复方渐变为圜矣其法
逐节以大小句股弦幂相求至十二次所得小弦以一

万六千三百八十四乘之得三十一寸四分一氂五毫
九丝二忽为径十寸之圜周与祖冲之径一百一十三
周三百五十五合
论曰元赵友钦革象新书所撰乾象周髀法大略如此
所得周径与西术同其逐节所求皆通弦所用小股皆
正弦也
又论曰刘徽祖冲之以割六孤起数赵友钦以四角起
数今西术作割圜八线以六宗率则兼用之可见理之

至者先后一揆法之精者中西合辙西人谓古人但知
径一围三未深考也
又论曰中西割圜之法皆以句股法求通弦通弦半之
为正弦割圜诸率皆自此出总之为句股之比例而巳
　钝角正弦
钝角不立正弦而即以外角之正弦为正弦
钝角之正弦在形外即外角之正弦也故乙丙已钝角
与乙丙甲外角同以乙丁为正弦(以钝角减半周得外/角假如钝角一百二)

　　　　　　　　(十度其所用者即/六十度之正弦)乙丁线能为乙
　　　　　　　　丙甲角正弦又能为乙丙已钝角
　　　　　　　　正弦八线表止于象限以此(因钝/角与)
　　　　　　　　(外角同正弦故表虽一象/限而实有半周之用)
　钝角馀弦
钝角既以外角之正弦为正弦即以外角之馀弦为馀弦
　　如前图乙庚为外角(乙丙/甲)馀弦而即为钝角(乙丙/己)
　　馀弦

　　捷法以正角(戊丙/巳)减钝角(乙丙/巳)得馀角(戊丙/乙)即得
　　馀弦
　过弧
钝角之弧为过弧
　　　　　　　　巳戊为象限弧而乙戊巳为乙丙
　　　　　　　　巳钝角之弧是越象限弧而过之
　　　　　　　　也故曰过弧
　

　大矢
钝角之矢为大矢
　　如前图以乙丁辛弦分全圜即全径亦分为二则
　　丁甲为小半圜(乙甲/辛)之径谓之正矢丁巳为大半
　　圜(乙已/辛)之径谓之大矢大矢者钝角所用也　钝
　　角与外角同用乙丁正弦乙庚馀弦所不同者惟
　　矢(乙丙巳角用大矢丁已/乙丙甲角用正矢丁甲)
　　捷法以乙庚(即丁/丙)馀弦加已丙半径即得(丁/巳)大矢

　　(若以馀弦减半/径亦得正矢)
　正角以半径全数为正弦
八线起○度一分至八十九度五十九分并有正弦而
九十度无正弦非无正弦也盖即以半径全数为其正
弦故凡算三角
　　　　　　　有用半径与正弦相为比例者皆正
　　　　　　　角也(其法与锐角形钝角形用两/正弦为比例同理并详后卷)
　　　　　　　八十九度奇之正弦至九九九九九

而极迨满一象限始能成半径全数是故半径全数者
正角九十度之正弦也其数为一○○○○○
　
　
　
　
　
　历算全书卷五十