钦定四库全书
　历算全书卷四十七
　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰
　句股阐微卷二
　句股积求句股弦句股积与弦较较求诸数
　　第一法
假如句股积(一百/二十)弦较较(十二/)
法以积四之得(四百/八十)弦较较自之(一百四/十四)两数相减馀

(三百三/十六)折半(一百六/十八)为实弦较较(十/二)为法除之得句股
较(十/四)以加弦较较(十/二)共得(二十/六)为弦(有弦有句股较/即诸数可求)
论曰甲乙丙丁合形为弦自乘大方幂甲小方为句股
较幂弦幂内减句股较幂所馀丙乙丁磬折形原与四
　　　　　　　　　句股积等于中又减去乙小方
　　　　　　　　　为弦较较自乘幂仍馀丁丙二
　　　　　　　　　长方并以句股较为其长以弦
　　　　　　　　　较较为其阔故折半而用其一

为实以弦较较为法除之得句股较矣(是以阔求长/)
　　第二法
置四句股积(四百/八十)与弦较较自幂(一百四/十四)相加得共(六/百)
(二十/四)折半(三百/十二)为实弦较较(十/二)为法除之得(二十/六)为弦
弦内减去弦较(十/二)得馀(十/四)为句股较
论曰乙丙丁磬折形原与四句股积等今加一小方形
如己为弦较自乘幂与乙等又丁丙二长方原相等于
是合丁己为一长方合乙丙为一长方必亦相等矣(并/以)

　　　　　　　　　(弦较较为阔/以弦为长)故折半而用其一
　　　　　　　　　为实以弦较较为法除之即得
　　　　　　　　　弦矣(亦是以阔求长/)
　
　　第三法
置四句股积(四百/八十)为实弦较较(十/二)为法除之得(四/十)为弦
较和以弦较较(十/二)加弦较和四十得(五十/二)折半(二十/六)为
弦以弦较较(十/二)减弦较和(四/十)得(二十/八)折半(十/四)为句股较

于前图乙丙丁磬折形即四句股积移丁长方置于戊
　　　　　　　　　　　为乙丙戊长方其长如弦
　　　　　　　　　　　较和其阔如弦较较故以
　　　　　　　　　　　弦较较除之得弦较和(若/以)
　　　　　　　　　　　(弦较和除之/亦得弦较较)
　　又简法
置句股积(一百/二十)为实以弦较较(十/二)半之得(六/)为法除之
得(二/十)为半弦较和以半弦较较(六/)加半弦较和(二/十)得(二/十)

(六/)为弦又以半较(六/)减半和(二/十)得(十/四)为句股较
论曰长方形阔(十/二)如弦较较长(四/十)如弦较和其积如四
　　　　　　　　　　句股今只用一句股积是四
　　　　　　　　　　之一也积四之一者其边必
　　　　　　　　　　半观图自明
句股积与弦较和求诸数
　　第一法
假如句股积(一百/二十)弦较和(四/十)

法以积四之得四百八十弦较和自之得(一千/六百)两数相
减馀(一千一/百二十)折半得(五百/六十)为实弦较和(四/十)为法除之得
(十/四)为句股较以减弦较和得(二十/六)为弦弦自乘(六百七/十六)
加四句股积(四百/八十)得(一千一百/五十六)平方开之得(三十/四)为句
股和以与句股较(十/四)相加得(四十/八)折半(二十/四)为股又相
减得(二/十)折半得(一/十)为句
　句(一十/)　　　股(二十四/)　　弦(二十六/)
　句股和(三十/四)　句股较(十四/)　弦较和(四十/)

　弦较较(十二/)
　　　　　　　　　　论曰总方为弦较和(四/十)自乘
　　　　　　　　　　之幂内分甲戊己方为弦自
　　　　　　　　　　乘幂乙小方为句股较自乘
　　　　　　　　　　幂于弦幂内减去戊己磬折
　　　　　　　　　　形即四句股积则所馀者甲
小方即句股较幂与乙方等以甲小方合丁长方即与
乙丙长方等(以丁丙小长/方原相等故)此二长方并以句股较(十/四)为

阔以弦较和为长(四/十)故折半而用其一为实弦较和(四/十)
为法除之即得句股较(是为以/长求阔)
　　第二法
弦较和自乘(一千/六百)与四句股积(四百/八十)两数相加(二千○/八十)
折半(一千○/四十)为实弦较和(四/十)为法除之得(二十/六)为弦以
减弦较和得(十/四)为句股较馀如前(观后图自明/)
　　第三法
置四句股积(四百/八十)为实弦较和(四/十)为法除之得(十/二)为弦

较较馀同弦较较第三法
　　又简法
句股积(一百/二十)为实弦较和(四/十)半之得(二/十)为法除之得(六/)
为弦较较之半馀并同弦较较简法
　　　　　　　　　论曰乙丁丙甲戊己合形为弦
　　　　　　　　　较和(四/十)自乘之大方外加一庚
　　　　　　　　　辛长方为四句股积与戊己磬
　　　　　　　　　折形等于是中分之为两长方

(乙丁庚辛合为左长方/丙甲己戊合为右长方)并以弦为阔(二十/六)弦较和(四/十)为
长故折半为实以弦较和除之得弦(亦为以长求阔/)
借此图可解第三法之理何则庚辛长方形既为四句
股积而其阔(十/二)如弦较较其长(四/十)如弦较和是(十/二)与(四/十)
相乘之积也故以弦较较除之得弦较和若以弦较和
除之即复得弦较较
若庚辛长方横直皆均剖之成四小长方则其阔皆(六/)
加半较其长(二/十)如半和而其积皆(一百/二十)为一句股积矣

此又简法之理也
句股积与弦和较求诸数
　　第一法
假如句股积(六千七/百五十)弦和较(六/十)
法以弦和较自之得(三千/六百)与四句股积(二万/七千)相减馀(二/万)
(三千/四百)折半(一万一/千七百)为实弦和较(六/十)为法除之得(一百九/十五)
为弦加较(六/十)得句股和(二百五/十五)弦幂内减四句股积开
方得句股较以加句股和折半得股以减句股和折半

得句
　句(七十五/)　　　股(一百八十/)　　弦(一百九十五/)
　句股和(二百五/十五)　句股较(百○五/)　弦和和(四百五/十)
　弦较和(三百/)　　弦和较(六十/)　　弦较较(九十/)
　　第二法
以弦和较自乘(三千/六百)与四句股积(二万/七千)相加得(三万○/六百)
折半(一万五/千三百)为实弦和较(六/十)为法除之得(二百五/十五)为句
股和内减弦和较(六/十)得(一百九/十五)为弦

　　　　　　　　论曰丁丙方为句股和自乘方幂
　　　　　　　　内减甲戊方为弦自乘幂其馀丁
　　　　　　　　戊丙磬折形四句股积也内减戊
　　　　　　　　乙小方为弦和较自乘积则所馀
　　　　　　　　丁戊长方与戊丙长方等而并以
弦为长弦和较为阔故以弦和较除之得弦此第一法
减四句股积之理也
若于丁戊丙乙磬折形外加一己丙小方与戊乙等乃

并之为庚戊长方与辛乙等并以句股和为长弦和较
为阔此第二法加四积之理也(两法并以阔求长/)
　　第三法
置四句股积(二万/七千)为实弦和较(六/十)除之得(四百/五十)为弦和
和以与弦和较相加折半为句股和又相减折半为弦
此如有句股积有容圆径而求句股弦乃还元之法也
　　　　　　　　　论曰前图中辛乙长方并戊丙
　　　　　　　　　长方是四句股积联之为辛丙

长方则其阔丁辛弦和较也其长丁丙弦和和也
　　又简法
置句股积(六千七/百五十)为实半弦和较(三/十)除之得(二百二/十五)为
半弦和和以与半弦和较相加得二百五十五为句股
和又相减得(一百九/十五)为弦　此如有容圆半径以除句
股积而得半弦和和句股积与弦和和求诸数
　　第一法
假如句股积(六千七/百五十)弦和和(四百/五十)

法以积四之得(二万/七千)弦和和自之得(二十○万/二千五百)两数相
减馀(十七万五/千五百)折半(八万七千/七百五十)为实弦和和(四百/五十)为法
除之得(一百九/十五)为弦以减弦和和得(二百五/十五)为句股和
　　第二法
以四句股积与弦和和幂两数相加得(二十二万/九千五百)折半
得(十一万四千/七百五十)为实弦和和(四百/五十)为法除之得(二百五/十五)
为句股和以减弦和和得(一百九/十五)为弦
论曰甲乙大方弦和和自乘也内分甲丁方弦自乘也

　　　　　　　　　　与丁丙方等丁乙方句股和
　　　　　　　　　　自乘也于丁乙内减去丁丙
　　　　　　　　　　弦幂则所馀者四句股积即
　　　　　　　　　　壬乙丙戊二小长方也而己
　　　　　　　　　　辛小长方与丙戊等则己乙
长方亦四句股积也今于甲乙大方内减去己乙则所
馀者甲戊己戊二长方并以弦为阔弦和和为长故以
弦和和除之而得弦此第一法减四句股积之理也是

为以长求阔
又论曰若于甲乙大方外增一甲庚长方与己乙等而
中分之于癸戊则癸乙与癸庚两长方等并以句股和
为阔弦和和为长故以弦和和除之而先得句股和此
第二法加四句股积之理也亦是以长求阔
　　第三法
置四句股积(二万/七千)为实弦和和(四百/五十)除之得弦和较(六/十)
此如并句股弦除四倍积而得容员径

　　又简法
置句股积(六千七/百五十)为实半弦和和(二百二/十五)除之得半弦
和较(三/十)此如合半句半股半弦除积得容员半径
欲明加减用四句股之理当观古图
　　　　　　　　　　甲乙丙句股形　甲丙句六
　　　　　　　　　　　甲乙股八　乙丙弦十
　　　　　　　　　　甲丁句股和十四　壬辛句
　　　　　　　　　　股较二甲己大方句股和自

乘幂也其积一百九十六　丙戊次方弦自乘幂也其
积一百　壬庚小方句股较自乘幂也其积四　甲己
和幂内减弦幂所馀者四句股也　弦幂内减较幂所
馀者亦四句股也　句股之积并二十四
甲丁句股和十四癸丁弦十子丁句股较二甲丙方为
句股和自乘幂(一百九/十六)内减癸辛弦幂(一/百)馀(九十/六)为甲
己丙磬折形(亦即四/句股积)内分甲己直形移置于丙戊成乙
戊长方即为弦(和较乘/弦和和)又壬丁小方为句股较自乘其

幂四以减弦幂一百馀九十六为癸壬辛巳磬折形(亦/即)
　　　　　　　　　　　　　　(四句/股积)内分癸壬直
　　　　　　　　　　　　　　形移置于辛庚成
　　　　　　　　　　　　　　己庚长方即为弦
　　　　　　　　　　　　　　较较乘弦较和
假如方环田有积有田之阔问内外方各若干
法以积四之一为实田阔除之得数为内外二方半和
与田阔相加得外方又相减得内方(盖田阔即如半较/)

若但知外方及内小方及环田积法即并大小方边为
和以除积得数为较较与和相加折半为外周大方又
相减折半为小方以两方之较折半为环田阔
若方田内有方墩法同或方墩不居正中其法亦同但
只可求大小方边不能知阔
总论曰弦较较乘弦较和之积与弦和较乘弦和和之
积等为四句股乃立法之根也而其理皆具古图中学
者所宜深玩

又如有辛庚壬圆池不知其径法于乙作甲乙直线切
员池于庚又乙丙横线切圆池于壬乙为正方角又自
　　　　　　　　　　丙望甲作斜线切员池于辛
　　　　　　　　　　乃自丙取乙丙之度截斜线
　　　　　　　　　　于丁又自甲取甲乙之度截
　　　　　　　　　　斜线于戊末但量丁戊有若
干尺即圆池径
解曰此即句股容员法也丙乙句截甲丙弦于丁则丁

甲为句弦较甲乙股截弦于戊则戊丙为股弦较而丁
戊为弦和较故即为圆径　其句股弦不必问其丈尺
但取三直线并切员而乙为方角足矣故为测员简法
(凡城堢墩台锥塔员柱之/类形正员者并同一法也)
句股容方(系鲍燕/翌法)
句股形引股线法
即依正角作方形于形外　又即引小形成大形
甲乙丙句股形今欲引甲乙股至丁甲丙弦至戊而令

　　　　　　　　乙丁与戊丁等
　　　　　　　　法曰以乙丙分甲乙得数减一馀
　　　　　　　　用归甲乙得之
　　　　　　　　解曰乙丙与甲乙原若丁戊与甲
丁故以乙丙分甲乙与以丁戊分甲丁所得之分数等
然则减一者虽似于甲乙分数内减乙丙之一分实于
甲丁分数内减丁戊之一分也(即乙丁/之一分)故以减馀分甲
乙而得

(勿庵又法句股相乘为实句股较为法/除之亦即得所引乙丁与乙戊同数)
句股形截股法
即依正角作方形于形内　又即截大形成小形
甲丁戊句股形内今欲截甲丁股于乙甲戊弦于丙而
　　　　　　　　令乙丁与乙丙等
　　　　　　　　法曰以丁戊分甲丁得数加一共
　　　　　　　　用归甲丁得之　(勿庵又法句股/相乘为实句股)
　　　　　　　　(和为法除之亦即得所截乙丁/与丁丙同数即句股容方法)

解曰丁戊与甲丁原若乙丙与甲乙故以丁戊分甲丁
与以乙丙分甲乙所得之分数等然则加一者虽似于
甲丁分数外加丁戊之一分实于甲乙分数外加乙丙
之一分也(即乙丁/之一分)故以加共分甲丁而得
若欲令丙戊与丁戊等或欲令乙丙与丙戊等依法推之
按后一法即句股容方也原法简易今鲍燕翼先生所
设殊新要其理亦相通耳(勿庵/补例)
设甲乙股十六　乙丙句八　今引甲乙股长出至丁

　　　　　　　而令引出之乙丁股分与所当之丁
　　　　　　　戊句等问若干答曰乙丁十六
　　　　　　　法以乙丙句(八/)甲乙股(十/六)相乘得(一/百)
(廿/八)为实句股相减得较(八/)为法除之得乙丁引出一十
六与丁戊句相等　若如鲍法以句(八/)除股(十/六)得(二/)内
减去一仍馀一用为法以除股(十/六)仍得(十/六)为乙丁
又设甲乙股(四十八/)乙丙句(十二/)依法引出乙丁股(十/)
(六/)与丁戊句等

　　　　　　　　法以句十二乘股(四十八/)得积(五/百)
　　　　　　　　(七十/六)为实　句减股得较(三十/六)为
　　　　　　　　法除之得(十六/)为乙丁
或以句(十二/)除股(四十八/)得数(四/)内减(一/)馀(三/)为法以
除股(四十八/)亦得(十六/)为乙丁
又设甲乙股(六/)乙丙句(四/)依法引出乙丁股(十二/)与丁
戊句等法以句乘股得(二十四/)为实　句股较(二/)为法
除之得(十二/)为乙丁

或以句(四/)除股(六/)得(一半/)内减一馀(半/)为法以除股(六/)
　　　　　　　亦得(十二/)为乙丁
　　　　　　　解曰半为除法则得倍数此畸零除
　　　　　　　法也详别卷
又设甲乙股(三十/)乙丙句(十二/)依法引出乙丁股(二十/)
与丁戊句等
法以句乘股得(三百六十/)为实句股较(十八/)为法除之
得乙丁(二十/)

　　　　　　　或以句(十二/)除股(三十/)得(二半/)内减
　　　　　　　一馀(一半/)为法以除股(三十/)亦得乙
　　　　　　　丁(二十/)
解两法相同所以然之故　盖此是依句股正角(即乙/角)
作正方形于形之外也本法以句弦较为法除句股形
倍积(即句股/相乘)今不用句股较之本数而用其除过之句
股较为法(以句除股则股内所原带句数及句股较数/并为句所除而减去其一即减去除过之句)
(也用减馀为法即是用其/除过之句股较为法也)故亦不用句股形之倍积而

用其除过之倍积为实(倍即是句股相乘之数若以句/除之必仍得股今径以股数受)
(除即是用其除过/之倍积为实也)法实并为除过之数则其理相同而
得数亦同矣
　以上补第一条之例
设甲丁戊形甲丁股(廿/八)丁戊句(廿/一)甲戊弦(三十/五)欲截甲
　　　　　　　丁股于乙截甲戊弦于丙而令所截
　　　　　　　之乙丁与乙丙等问其数若干
　　　　　　　答曰乙丁一十二

法以甲丁股(二十/八)丁戊句(二十/一)相乘得(五百八/十八)为实并
句股得和(四十/九)为法除之得(一十/二)为所截乙丁与乙丙
截句等
如鲍法以句(二十/一)除股(二十/八)得一(又三/之一)又外加一数共
二(又三/之一)为法(通作/七)用以除股二十八(通作八/十四)亦得(十二/)
为乙丁截股
设甲丁股(三百四/十五)丁戊句(一百八/十四)弦甲戊(三百九/十一)欲截
乙丁与乙丙等该若干　答曰一百二十

　　　　　　法以句(一百八/十四)股(三百四/十五)相乘得(六万/三千)
　　　　　　(四百/八十)为实句股和(五百二/十九)为法除之得
　　　　　　所截乙丁(一百/二十)与截句乙丙等
或以句(一百八/十四)除股(三百四/十五)得一(又八之七/)又外加一
共二(又八之七/)通作(二十三/)为法以股(三百四/十五)通作(二/千)
(七百/六十)为实法除实亦得(一百二十/)为乙丁截股
解两法相同所以然之故　盖此是依句股形正角作
方形于内(即句股/容方)也本法以句股和为法除句股形倍

积(即句股/相乘)今不用句股和本数而用其除过之句股和
为法(股被句除既变为除过之股而得数中之一其本/数皆与句同今于得数又加一是又加一除过之)
(句合之则共为除/过之句股和矣)故即用股为实以当除过之倍积法
与实并为除过之数则其理相同而得数亦同矣
　以上补第二条之例
按数度衍有在远测正方形之算立破句名色不稳图
亦不真今于此第一例中生二法补之
分角线至对边(亦系/鲍法)

甲乙丙句股形　今平分乙方角作乙丁线至对边弦
欲知丁点之所在
法曰先依句股求方求得己丁戊乙正方形
　　　　　　次用丁戊丙形或丁己甲形求得丁丙
　　　　　　弦或甲丁弦即得
甲乙丙句股形　今平分乙锐角作线至甲丙股欲知
丁点所在
法以甲丙股乙丙句相乘得丙庚长方亦即乙辛长斜

　　　　　　　方其辛戊小长斜方又即戊壬长斜
　　　　　　　方取甲子癸小句股形补壬寅丑虚
　　　　　　　句股形成甲寅长方此即句股相乘
实以句弦和除之也(甲乙为弦/乙壬即句)得壬寅边
丙甲辛句股形中(即甲乙丙/原设形)作甲卯垂线至丙辛弦(法/另)
(具/)于是一率甲卯二率甲辛三率甲子四率甲癸(即丁/己)
成丁己乙戊四斜方形
次用丁戊丙形或丁己甲形依句弦求股求得丁丙或

丁甲即得
按上鲍法此寅甲长方为句弦和除句股形倍积所得
壬寅边必小于句股容方之边其内容丁己乙戊四斜
方形之丁己边又必大于句股容方之边二者之间可
以得容方边矣(容方边除倍积得句股和以减/句弦和得股弦较即其他可知)
求丁己线法　一率甲丙股　二率甲乙弦　三率壬
寅　四率丁己(即壬丑/)
甲乙丙锐角形　求分乙角作线至甲丙边之丁点

　　　　　　　法于形中求得辰丙垂线(丙辛甲形/即甲乙丙)
　　　　　　　(形故其/垂线等)用丙长线乘乙丙所得即辛
　　　　　　　乙长斜方形自此以下至成丁己乙
　　　　　　　戊四斜方(并同/前法)
次用比例法　一率甲乙　二率甲丙　三率丁戊
四率得丁丙
或一率甲乙　二率甲丙　三率甲己　四率甲丁
甲乙丙钝角形　法先从形外求得甲辰外垂线　引

乙丙线与之相遇　次以甲辰垂线乘乙丙得乙辛长
　　　　　　　斜方形　馀同前法
　
　　　　　　　甲乙丙钝角形　甲辰垂线在形外
　　　　　　　与右图同法
　　　　　　　鼎按若依几何六卷三题法甚捷
句股容员
甲乙丙句股形　求容员径卯戌(即丁辛/)

法于甲丙弦上截丁丙如句(乙/丙)又截甲辛如股(乙/甲)因得
丁辛即容员之径
试依所截丁丙为句作戊丁丙句股形(自丁作弦之垂/线至戊又引乙)
(丙句遇于戊/即成此形)又依所截甲辛为股作甲辛氐句股形(自/辛)
(作弦之垂线长出至/氐引甲乙股遇于氐)又作戊戌房句股形(引戊丁股至/房如弦之度)
(自房作垂线/至戌即成)乃自甲自戊各为分角线遇于己成十字
则己即容员心也又引十字线透出而以甲己为度截
之于癸于女乃自癸作线与丙戊平行至辰又自女作

　　　　　　　　　　　辛氐及房戊之垂线穿而
　　　　　　　　　　　过之与癸辰线遇于辰又
　　　　　　　　　　　引氐辛线至癸引房戌线
　　　　　　　　　　　至女得女辰女房癸辰癸
　　　　　　　　　　　氐四线皆如甲丙弦女卯
　　　　　　　　　　　女亢癸丑癸未四线皆如
甲乙股卯辰房亢丑氐辰未四线皆如乙丙句又成女
卯辰女亢房癸未辰癸丑氐四句股形共八句股形纵

横相叠并以容员心己点为心此同心八句股形各线
相交成正方形二其一卯戌丑乙形依原形之句股而
立其乙方角即原形之所有也其一丁辛亢未形依原
形之弦而立即所谓弦和较也此两形者皆相等而其
方边并与容员径等即容员径上之方幂也
然则何以又为弦和较试即以原弦论之甲丙弦上所
截之丁丙即句也甲辛即股也句股相并即重叠此丁
辛一边是句股和多于弦之数古人以弦和较为容员

径盖谓此也八句股形即有相等之八弦每一弦上各
有此重叠之线以成两四方形相等之八边可以观矣
(因鲍图改作之彼原有八角形外小句股/形辏成一等面八角形之论但图欠明显)
相似两句股并求简法
假如癸辛己大形癸壬乙小形其癸角等则为相似之
两句股形今欲求两形之两句合线(两句者一为己辛/大句一为壬乙小)
(句即辛甲也则己/甲为两句合线)
法以两弦(一癸己大弦/一癸乙小弦)并之为三率以癸角之正弦(两/癸)

　　　　　　　　　　　　(角等只/用其一)为二率二三相
　　　　　　　　　　　　乘为实半径全数为法
　　　　　　　　　　　　实如法而一得四率己
　　　　　　　　　　　　甲即(己辛/壬乙)两句之合
　　　　　　　　　　　　数
　　　　　　　　　　　　何以知之曰试引癸己弦
至丁截己丁弦如癸乙则丁癸即两弦合数也乃以癸角
之正弦乘之半径(全/)除之即得丁丙而丁戊即壬乙(以/己)

(丁即癸乙也/亦即甲辛)戊丙即己辛(同在直线/限内也)则所得丁丙亦即
己甲矣
　　　　　　　　　　　有句股和有弦求句求股(量/法)
　　　　　　　　　　　乙甲句股和　丙甲弦
　　　　　　　　　　　原法以甲为心作乙己卯
　　　　　　　　　　　象限　又以丙甲弦半之
　　　　　　　　　　　于丁以丁为心作甲戊丙
　　　　　　　　　　　半圆

次于丙戊半员上任以辛为心丙为界作丙己小员屡
试之令小员正切象限如己乃作己辛甲及辛丙二线
则辛丙为句辛甲为股如所求按此法不误但己点正
切处难真今别立法求己点
法曰自丁点作垂线分半圆于戊以戊为心用丙为界
作丙己庚丑甲全员全员与象限相割于己从己向甲
作直线割半员于辛乃作辛丙为句即辛甲为股合问
如此则径得辛点不用屡试得数既易且真确矣

论曰凡平员内作两通弦至员径两端必为句股而员
径常为弦今既以丙甲弦为半员径则其辛丙与辛甲
两通弦必句与股也而己辛甲线与乙甲等即句股和
也今以辛为心作小员而其边正切己则己辛与丙辛
等为小员之半径即等为句线矣于己甲句股和内截
己辛为句则辛甲必为股故此法不误也
又论曰半员内所容句股形以半方形为最大(即甲戊/丙也其)
(馀皆半长方形/之句股故小)其句股和亦最大(丙戊句甲戊股相等/其和甲戊庚为最大)

(其馀股长者句反甚小/故其和皆小于甲戊庚)即弦上方幂之斜径也(甲未庚/丙为弦)
(上平方幂甲戊/庚为其斜径)以此为象限之半径(如辰庚亥象限其/半径辰甲及亥甲)
(并与庚/戊甲等)则能容弦上平方(如甲未庚丙平方必/在辰庚亥象限内)又戊心
所作平方外切之平圆亦能容弦上平方(此员以戊为/心以平方四)
(角为界其全径甲戊/庚即平方之斜径也)三者相切于庚点惟相切不相割
其馀句股和并小(如乙甲和必/小于辰丙)不能包平方之角即不
能外切平员而与之相割矣(如乙甲和为半径作乙己/卯象限不能包庚点即与)
(平员相/割如己)其自庚至丙并可为相割之己点而四十五度

之句股具焉(八线表所列之句股只四十五度互相为/正馀句为正弦股即馀弦也分言正弦则)
(初度小而九十度最大也若合正弦馀弦为和/数则初度与九十度皆最小惟四十五度最大)己足以
尽句股之变态矣(若过庚向末亦四十五度己点至此馀/其和数反小而与前四十五度为正)
句股和之最大者以略小于弦上斜线而止(凡句股有/和有较皆)
(长方形之半非正半方也若半方形/则有和无较可无用算非句股所设)其最小者以稍大
于弦线而止(若同弦线/即无句股)无有不割平圆故可以己点取
之也
又论曰以方斜为半径作象限则能容平方以方斜为

半径作半圆则能容方斜上平圆(如庚己丙甲未平圆/其径甲戊庚方斜是)
(即方斜上之平圆也若以甲戊/庚半径作大半圆即能容之)凡半圆内所容之圆度
每以两度当外周半圆之一度何则论度必以角惟在
心之角一度为一度若在边之角则两度为一度(如辰/庚亥)
(半圆从甲心出两线一至庚一至辰作辰甲庚角其度/辰庚四十五度是一度为一度也若庚己丙甲未圆从)
(甲边出两线一遇戊至庚一至丙作庚甲丙角其度庚/己丙象限只作四十五度是两度当一度以同用甲角)
(故/也)准此论之则弦上半圆所作之戊甲丙角亦必四十
五度矣(既同用甲角则戊辛丙/象限亦两度当一度)若是则庚己丙之度与

　　　　　　　　　　戊辛丙等(并同用甲角以/庚辰为度故也)而
　　　　　　　　　　己点所割之己丙弧及辛丙
　　　　　　　　　　弧亦必等度矣(己丙为方外/切员之度辛)
　　　　　　　　　　(丙为方内切员之度大小不/同而同用甲角以己乙为其)
　　　　　　　　　　(度角等者/度亦等)
又引辛丙至寅则寅丑甲与辛戊甲两弧亦必等度(以/同)
(用丙角/故也)而同为甲角之馀(丙角原为甲角之馀乃甲角/减象限是以己甲乙减象限)
(得己甲卯角与辛丙甲角等也其度则两度为一度乃/甲角之倍度减半周是以寅庚减半周得寅丑甲以丙)

(辛弧减半周/得辛戊甲也)又己庚丑未弧原为己丙减半周之馀即
与寅丑甲等于此两弧内各减寅丑未则己庚寅与未
癸甲亦等于是作己寅线与未甲等亦即与丙甲等
而寅己丙与甲丙己又等(于寅己及甲己/各加一己丙)则丙辛寅及
己辛甲两直线亦等(皆句股/和也)两和线相交于辛则交角
等(皆十字/正角)
又作己丙线成己辛丙三角形而己角丙角等(己甲丙/三角形)
(与己寅丙等则对丙甲之/己角对己寅之丙角亦等)则角所对己辛边丙辛边亦

等矣　准上论己辛与丙辛必等故用己点以求辛点
而和数中句股可分也
又论曰凡句股和所作象限与斜方上平员相割有二
点其一为己其一为丑自丑作直线至甲心(象限/心也)割半
员于壬作丙壬线即成丙壬甲句股形与甲辛丙等(丑/甲)
(丙角为丙甲壬角之馀与壬丙甲角等而其度丑卯与/己乙等是丙甲辛角与壬丙甲等也辛壬又皆正角又)
(同以丙甲为弦是/两句股形等也)准此论之凡半员内所作句股皆两
两相似(句股之正角必负员周亦两两相对如辛点在/戊丙象限内即有壬点在戊甲象限与之相对)

(皆与象限上己点丑点相应/其所作句股形亦两相似)故四十五度能尽句股之
变也(戊丙与戊甲两象限并两度当一度其真度/在庚辰及庚亥两半象限中故皆四十五度)
试以壬为心丑为界作员界必过丙是丙壬股即丑壬
而丑甲为和也丑壬股大于戊丙而丑甲和小于庚甲
以是知和数之大至庚甲而极也
准上论又足以證己庚丑癸员能尽割员句股之理

句股和较
弦与句股较(相和即/弦较和)　(加句即/股弦和)　(减股即/句弦较)　(内减弦存/句股较)
　　　　　(相较即/弦较较)　(减句即/股弦较)　(加股即/句弦和)　(用减弦存/句股较)
弦与句股和(相和即/弦和和)　(减弦即/句股和)　(减股即/句弦和)　(减句即/股弦和)
　　　　　(相较即/弦和较)　(加句弦/较即股)　(加股弦/较即句)　(加句弦较股/弦较即弦)
弦与句弦较相和　　(加句即/两弦)　(减句即两/句弦较)　(减弦即/句弦较)
　　　　　相较(即/句)
句与股弦较(相和即/句较和)　(加句股/较即弦)　　(减股弦/较即句)　(加句弦较减/股弦较即股)

　　　　　(相较即/句较较)　(加句股较股/弦较即股)　(加股弦/较即句)　(加句股较股弦/较较即弦)
句与股弦和(相和即/句和和)　(减弦即/句股和)　(减股即/句弦和)　(减句即/股弦和)
　　　　　(相较即/句和较)　(减股即/句弦较)　(减弦即/句股较)　(加句即/股弦和)
句与句股较(相和即/股)
　　　　　相较　　(加句股/较即句)　(加两句股/较即股)
句与句股和相和
　　　　　相较(即/股)　(减股即/两句)　(加股即两/句股和)
句与句弦较相和(即/弦)

　　　　　相较　(加句弦/较即句)　(加两句弦/较即弦)
句与句弦和相和
　　　　　相较(即/弦)
句股较句弦较(相较即/股弦较)　　句股较股弦较(相较即句弦和内减/两句又两股弦较)
　　　　　　(相和即股弦/和内减两句)　　　　　　(相和即/句弦较)
句弦较股弦较(相较即/句股较)
　　　　　　(相和即两弦内/减一句一股)
句股和句弦和(相较即/股弦较)　　句股和股弦和(相较即/句弦较)

　　　　　　(相和即两句/一股一弦)　　　　　　　(相和即两股/一句一弦)
句弦和股弦和(相较即/句股较)
　　　　　　(相和即两弦/一句一股)
句股较与(句/股)和(相和即/两股)　句股较与(句/弦)和(相和即/股弦和)　句股较与股弦和相和
　　　　　　(相较即/两句)　　　　　　　　　　　　　　　　　(相较即/句弦和)
句弦较句弦和(相和即/两弦)　句弦较与(句/股)和(相和即/股弦和)　句弦较与股弦和相和
　　　　　　(相较即/两句)　　　　　　　相较　　　　　　　　(相较即/句股和)
弦和较弦和和(相和半之/为句股和)　弦和较弦较和(相和半/之为股)

　　　　　　(相较半/之为弦)　　　　　　　　(相较半之/为句弦较)
弦和较弦较较(相和半/之为句)　　弦和较句较和(相和半/之为句)
　　　　　　(相较半之/为股弦较)　　　　　　　(相较半之/为股弦较)
弦和较句和较(相和半/之为句)　　弦和较句较较(相和半之仍/为弦和较)
　　　　　　(相较半之/为股弦较)　　　　　　　相较即减尽
弦和和弦较和(相和半之/为股弦和)　弦和和弦较较(相和半之/为句弦和)
　　　　　　(相较半/之为句)　　　　　　　　相较(半之/为股)
弦和和句较和(相和半之/为句弦和)　弦和和句和较(相和半之/即股弦和)

　　　　　　(相较半/之为股)　　　　　　　　相较(半之/为句)
弦和和句较较(相和半之/即句股和)　弦较和弦较较(相和半/之为弦)
　　　　　　(相较半/之为弦)　　　　　　　　(相较半之/为句股较)
弦较和句较和(相和半/之为弦)　　弦较和句和较(相和半之为股与句/弦较或弦与句股较)
　　　　　　(相较半之/为句股较)　　　　　　　相较恰尽
弦较和句较较(相和半/之为股)　　弦较较句较和(相和半之为/句与股弦较)
　　　　　　(相较半之/为句弦较)　　　　　　　相较恰尽
弦较较句和较(相和半/之为弦)　　弦较较句较较(相和半/之为句)

　　　　　　(相较半之/为句股较)　　　　　　(相较半之/为股弦较)
句较和句和较(相和半/之为弦)　句较和句较较(相和半/之为句)
　　　　　　(相较半之/为句股较)　　　　　　(相较半之/为股弦较)
句和较句较较(相和半/之为股)
　　　　　　(相较半之/为句弦较)
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　历算全书卷四十七