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历算全书 卷四十五 第 1a 页 WYG0795-0067a.png
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历算全书卷四十五
宣城梅文鼎撰
方程论卷六
方程御杂法
算术之有方程犹量法之有句股必深知诸算术而后
能言方程犹之必深知诸量法而后能治句股故以
是终
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法不能治句股方程之于粟布差分也亦然故杂法
不能御方程而方程能御杂法
例如后
假如有粮一万九千石𣲖与甲乙丙三县各以其人户
多少米价贵贱僦值远近舟车险易而均输之 甲
县户三万米价每石一两四钱远输二百里用车载
二十石行一里僦值一钱三分 乙县户二万米价
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值三分 丙县户一万米价一两二钱远输二百里
道险可用负担每负六斗行五十里顾值一钱八分
法曰各以其县米价并僦值之数命其户以方程较数
列之 以甲县车载二十石除其僦值一钱三分得
六釐五毫(每载一石行/一里数也)以乘二百里得一两三钱并
米价一两四钱共二两七钱 以乙县舟运二十五
石除其僦值三分得一釐二毫以乘五百里得六钱
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以丙县负担六斗除其顾值一钱八分以乘一石得
三钱又以五十里除之二百里乘之得一两二钱并
米价共二两四钱
原法以各县米价并僦值之数以除其户为衰列而
并之并衰为法各衰乘总米为实法除实得各县米
今用方程则不须尔竟以二两七钱命甲县之衰为
二十七户以一两八钱命乙县之衰为一十八户以
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适足而列之
如三色有空法乘 馀丙县异并一百一十四户为
法 正三十四石二斗为实 法除实得丙县每户
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斗乙县四户除之得每户粮四斗
以乙二户八斗甲县三户除之得每户二斗又三
分斗之二各以每户率乘其县之户总得各县转
计开
甲县三万户 共粮八千石 共僦车值一万○四百两
每户粮二斗六升六合又三之二 每三户粮八斗
每户僦值三钱四分又三之二 每三户僦值一两○四分
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乙县二万户 共粮八十石 其僦船值四千八百两
每户粮四斗 僦值二钱四分
总计米价僦值每户亦七钱二分
丙县一万户 共粮三千石 共顾担夫银三千六百两
每户粮三斗 僦值三钱六分
总计米价僦值每户亦七钱二分
以米言之
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论曰此因米价不等加以僦值不同故以法均之粮虽
不均而每户所出之银数则均若但均其米乃不均
矣是故均之以不均斯谓能均
问官米二百六十五石令三等人户出之甲上等二十
户每户多中等七斗乙中等五十户每户多下等五
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法以和较列位(依省算以和数/十之一列之)
如法乘减 得丙户十八为法 二十一石六斗为
实 法除实得一石二斗为下等每户则例 加正五
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计开
甲上等每户二石四斗 二十户共四十八石
乙中等每户一石七斗 五十户共八十五石
丙下等每户一石二斗 一百一十户共一百三十二石
合计之共二百六十五石
问有米六百七十四石以四等里甲输纳乙为甲十之
八丙为乙十之七丁为丙十之六其甲乙各八十户
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解曰十之八即非二八差分十之七十之六即非三
七四六差分故与带分条所设不同合而观之可也
法以和较列位
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又以馀数与四行平列
数益多用省算法四除减馀然后列之
如法乘减馀丁六百七十四为法 五万六千六百
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数 十因丁数六除之为丙共数 十因丙数七除
之为乙共数 十因乙数八除之为甲共数
计开
甲共数二百五十石以八十户除之得每户三石一斗
二升五合 乙共数二百石为甲十之八以八十户
除之得每户二石五斗 丙共数一百四十石为乙
十之七以七十户除之得每户二石 丁共数八十
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总计之共六百七十四石
论曰此所问是总数相差非每户相差也故原列者总
户而得亦总户之米若云问每户之差则当以每户
列之而所得者亦每户米也如后例
假如共米六百七十四石以四色人户出之甲八十户
乙亦八十户乙每户如甲十之八丙丁各七十户丙
每户如乙十之七丁每户如丙十之六
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法以户细数列位
依省算以首行退位十而一与次行对减而重列之
又半其减馀然后列之与三行对
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又列减馀以对末行
如法乘减异并一千二百九十二为法 一千四百
一十五石四斗无减为实 法除实得一石○九升
又三百二十三之一百七十八为丁每户则例(法实/皆四)
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十因丁则六除之得一石八斗二升又三百二十三
之一百八十九为丙每户则例
十因丙则七除之得二石六斗○又三百二十三之
二百七十为乙每户则例
十因乙则八除之得三石二斗六升又三百二十三
之十四半为甲每户则例
计开
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八十户共二百六十石○八斗三升又三百二十三
之一百九十一
乙每户二石六斗○又三百二十三之二百七十 为
甲每户十之八
八十户共二百○八石六斗六升又三百二十三之
二百八十二
丙每户一石八斗二升又三百二十三之一百八十九
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七十户共一百二十七石八斗 ○ 又三百二十三
之三百一十
丁每户一石○九升又三百二十三之一百七十八
为丙每户十之六
七十户共七十六石六斗八升又三百二十三之一
百八十六
合计共六百七十四石(凡六百七十三石九斗七升又/九百六十九分以三百二十三)
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问有均分两银庚以其五之二与甲则甲之数多于庚
一百六十八两若以甲二十一之九与庚则庚之数
多于甲一百八十两原数几何
法以所用益彼之分与此所存之馀分相减而列之
(庚与甲五之二/庚自存五之三)相减馀五之一(是为以庚五之一较/甲全分而甲多一百)
(六十八/两也)
(甲与庚廿一之九二/甲自存廿一之十)相减馀二十一之三(是为以甲二十一之/三较庚全分而庚多)
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庚虽自存五之三而甲股内有庚所与之二故以相
减而馀之一分与甲相较
甲虽自存二十一之一十二而庚股内有甲所与之
九故以相减而馀之三分与庚相较
甲一百○二分为法除实一千○二十两得十两为
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六十八两馀四十二两为庚之一分 五分亦共二百
一十两
计开
(庚/甲)各原银二百一十两(庚五之二计八十四两其五之/三仍一百二十六两 甲二十)
(一之九计九十两其二十/一之十二仍一百二十两)
庚以八十四与甲(甲共有二百九十四/庚仍馀一百二十六)相较甲多一百
六十八
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此设问之意也
以(庚之一分四十二/甲全分二百一十)相较甲亦多一百六十八
以(甲之三分计三十/庚全分二百一十)相较庚亦多一百八十
此列位之理也
论曰右例以此之分益彼而转与此之馀分相较与带
分条所设不同 带分条此之分较彼全分其全分
即是原数 今则一损一增以相较非原数也故曰
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及其相减而列为较数也则亦是此之分较彼原数
矣是之谓尾同而首异
相减列位亦有变为和数者如后所设
问有两银庚以其五之三与甲则甲之数多于庚二百
五十二两若以甲廿一之十三与庚则庚之数多于
甲二百六十两
法亦以所与彼之分与其馀分相减列之
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(庚五之一偕甲全分/共二百五十二两也)
甲(与庚二十一之十三/自存二十一之八)相减馀二十一之五(此亦用/分多存)
(分少是变和数也百甲二十一之/五偕庚全分共二 六十两也)
甲所以多如许者不惟其全数之故其所得于庚之
分又多于庚之馀分者一也故甲所多之数乃是
甲全数偕庚之一分所共也
庚所以多如许者亦不惟其全数之故其所得甲之
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全数偕甲之五分所共也
甲一百分为法除实一千而得十两为一分 以甲
五分计五十两减共二百六十两馀二百一十两为
庚原银 五除之得四十二两为一分 以减共二
百五十二两亦得二百一十两为甲原银
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两 内减去庚自存五之二计八十四两 仍多二
百五十二两 即是甲全数偕庚一分之数也
甲二十一之十三计一百三十两以加庚银共三百四
十两 内减去甲自存二十一之八计八十两 仍
多二百六十两即是庚全数偕甲五分之数也
论曰右例以此之分偕彼全分而为和数亦与带分和
数同然以相减而得之亦是尾同首异 带分条和
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位乃有和较之分
依例推之亦有变为一和一较者皆以所用之分与
所存分相减而得之 列位时巳变不待其重列减
馀也故又与寻常较变和者异
总论曰此二条者皆一损一益例也
问金九锭银十一锭其重适等若交易其一则银多十
三两其原重若干
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解曰交易一锭而差是一多一少故半之为一锭之
较 银得较而增重故与金同名
银二锭除实得银每锭重二十九两二钱半 加正
六两五钱得金每锭三十五两七钱半
计开
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银每锭二十九两二钱五分 银十一锭(亦得三百二十/一两七钱五分)
金八锭二百八十六两加银一锭共三百一十五两二
钱半
银十锭二百九十二两半加金一锭共三百二十八两
二钱半
共多一十三两 若交易二锭而差二十六两则以
二锭倍作四锭除之亦得六两五钱为一锭之较
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论曰此条旧列差分同文算指改立借衰互徵之法皆
不知宜入方程也
凡以两家之数相交易而差若干皆半其所差而列
之为所交易之较何也一增一减而差若干则原所
差者其半也
问甲有朱砂银七锭壬有矿银九锭相较甲原多十五
两今以甲二锭易壬三锭则甲多二十七两
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得六两为甲二锭壬三锭之较(甲得较而增重/故与壬同名)
壬三锭除七十二两得壬每锭二十四两 以九锭
乘得二百一十六两加正一十五两共二百三十一
两甲七锭除之得每锭三十三两
计开
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甲以二锭与壬馀五锭一百六十五两加易得壬三锭
七十二两共二百三十七两
壬以三锭与甲馀六锭一百四十四两加易得甲二锭
六十六两共二百一十两
相较甲多二十七两
此问意也
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问甲银七锭壬九锭相较壬原少十五两今以一锭相
交易壬多三两
法以原少十五两今多三两并得十八两而半之得九
两为一锭之较(壬得之而变轻为/重故与甲同名)
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甲每锭三十三两
计开
甲六锭一百九十八两加壬一锭二十四两共二百二十二两
壬八锭一百九十二两加甲一锭三十三两共二百二十五两
相较壬多三两 此交易一定之数 馀同前问
论曰此三问皆同法第一问盈偕适足故即用原数第
二问两盈故相减第三问盈偕不足故相并然皆半
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又按于七锭中取一即七之一同带分之理故又作
问明之
问有金不知总任意分为二而较之则庚多八两须令
辛以金还庚如庚存数三之二庚亦以金还辛如辛
存数四之三则其数适均
法以庚自存三分今添二分共五 以辛自存四分今
添三分共七通为两家适足数之分
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分之较(辛失之而减重/故与辛同名)
解曰合而观之庚以五之二辛以七之三相交易则
庚多八两若还其原数庚仍为五分辛仍为七分
则适足也
辛一分得二十两 七分共一百四十两 五除之
历算全书 卷四十五 第 19b 页 WYG0795-0076b.png
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计开
其相易(庚二分五十六两/辛三分六十两)较之辛多四两即相易几
锭之理
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凡损一益一者损庚之几分与甲则甲有增数而转
以甲之既增者与庚之馀数相较也 损庚益甲以
相较是明有增损
今两相交易则损庚之分与辛亦损辛之分与庚然
后以既损且增之庚与亦增之辛相较也
两相交易则末尝明有增损但以相易之数不同而
增损隐寓于其中 以上四条皆同此论
历算全书 卷四十五 第 20b 页 WYG0795-0076d.png
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乙之九加甲则甲倍于乙其原数各若干
答曰甲六十三 乙四十五
解曰云取甲之九加乙是损甲之九而益乙以九
也取乙之九加甲是损乙之九而益甲以九也与
刋误条所举甲乙二仓法不同彼是取甲仓几何
以益乙而共得几何不言与甲仓较取乙仓几何以益甲
而共得几何亦不言与乙仓较是所益者有增数而所取者
历算全书 卷四十五 第 21a 页 WYG0795-0077a.png
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今所列者乃较数也益此损彼则相较几何故不同也
然又与带分条较数不同彼是取彼几分与此全数
较今所列者是取彼几数加此而转与彼之馀数较
当细辨之
又此是以数相增损而得其相较之分
前数条则是以分相损增而得其相较之数
二者大异不但与带分条别也
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位
甲倍乙是甲二乙一合之则三以乘九得二十七为
较甲得此而当倍乙故与乙同名
甲乙等是各一也合之则二以乘九得十八为较乙
得此而与甲等故与甲同名
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并四十五为实
法一即以四十五命为乙数
异加十八得六十三为甲数
试更列之
同减馀甲一为法 异并六十三为实 法一即以
历算全书 卷四十五 第 22b 页 WYG0795-0077d.png
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之得四十五为乙原数
论曰此难题设问也算法统宗收入均输另有求法算
海说详推论借银相当加半倍者不可通用因别立
术然复未确不如用方程之为无弊
又论曰甲与乙九而相等是甲多于乙者二九也 乙
与甲九而甲倍于乙是倍乙多于甲者三九也何也
甲得乙九数而后当倍乙则倍乙中各除九数共二
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问甲乙银不知数但云甲借乙六钱五分则比乙一有
半乙借甲六钱五分则乙与甲等各原银若干
法以甲一乙一有半并之共二半以乘六钱五分得一
两六钱二分半为乙一有半多于甲之较
以甲乙相等各一并之共二以乘六钱五分得一两
三钱为甲多于乙之较
乃列之
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同减馀半乙为法异并二两九钱二分半为实 法
除实得五两八钱五分为乙银 异加正一两三钱
共七两一钱五分为甲银
计开
甲原银七两一钱五分
乙原银五两八钱五分
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得六两五钱是相等也
若损乙六钱五分馀五两二钱 益甲六钱五分得
七两八钱是甲之数如乙一有半也
若以乙原银加半得八两七钱七分半以与甲原甲原银
相较则多一两六钱二分半
论曰甲以六钱五分借与乙而相等是甲原多乙两个
六钱五分也乙以六钱五分借与甲而甲如乙一有
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甲取乙六钱五分而后能当乙有半则此一个半乙
共减去一个半六钱五分甲又加一个六钱五分岂
非共差两个半六钱五分乎
又论曰此即算海说详所设之问以驳统宗者彼自立
术以为当矣不知其宜用方程也
试更设问以明之
今有二数不知总但云丙与丁二数则相等若丁与丙
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依前术列位(合丙丁各一共二以乘二得四为丙多/于丁之较 合丙一丁三共四以乘二)
(得八为三丁多/于一丙之较)
同减馀丙二为法 异并二十为实 法除实得一
十为丙数 同减负四馀六为丁数
计开
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丁原数六 三之则十八多于丙者八
若损丙之二以益丁则各得八故相等
若损丁之二以益丙则丙得十二丁得四故丙如三丁
论曰丙以二与丁而等是丙多于丁者两个二也 丁
以二与丙而丙如三丁是三丁之数共多于丙者四
个二也何也丙增一个二其三个丁各少一个二共
四个二也
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程能合彼问而彼所立术殊不能通之此问
问戊己银不知数但戊以五十两与己则己如戊之倍
己以五十两与戊如三己
依前术列位(并戊二己一共三以乘五十得一百五/十为二戊多于一己之较 并戊一己)
(三共四以乘五十得二百/为三己多于一戊之较)
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实得一百一十两为己银 异加正一百五十两共
二百六十两戊二除之得一百三十两为戊银
计开
戊原银一百三十两 倍之二百六十两多于己一百
五十两
己原银一百一十两 三之得三百三十两多于戊二
百两
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戊加五十两得一百八十两己损五十两得六十两则
戊如三己 己加五十两得一百六十两戊损五十两
得八十两则己如戊之倍
此则问意
问香炉二座不知重有一盖重百两以加甲炉则甲多
于乙两倍以加乙炉则乙多于甲一倍其炉各重若
干
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一倍是两倍也乙得盖如两甲也
法以盖重为较而列之 甲得盖如三乙是三乙之重
于甲者如盖也故与乙同名 乙得盖如倍甲是两
甲之重于乙者如盖也故与甲同名
炉同减馀乙炉五为法 较异并三百两为实
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异加一百两共一百六十两甲二除之得八十两为
甲炉重
计开
甲炉八十两 加盖共一百八十两则如乙炉重者三
乙炉六十两 加盖共一百六十两则如甲炉重者倍
论曰此与前所设戊己银数以五十两损戊益己而己
倍于戊以五十两损己益戊而戊如二己异何也以
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两之益乃因彼之所损而合成其数耳此之加盖则
实增一百两矣而于彼又无所损因炉盖乃两家公
物非若戊己之银必取诸彼以与此也故其法不同
若改问各铸炉而均铸盖则必于炉重各加半盖乃
合原金得数与戊己银同矣
问调兵征倭内有南北西三处兵马南兵已知四万其
北兵为南兵与西兵二之一西兵为南兵与北兵三
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法以南兵为西北之较而列之
西兵得南兵而数倍于北是倍北数而多于西兵者
数如南兵也
北兵得南兵而数如三西兵是三其西兵而多于北
者亦如南兵也
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二千为北兵数异加正四万共七万二千西兵三除
之得二万四千为西兵数
计开
南兵四万
西兵二万四千 偕南兵则六万四千其二之一则如北兵也
北兵三万二千 偕南兵则七万二千其二之一则如西兵也
论曰此与香炉借盖为较同 其所用较乃是南兵而
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彼而转与其所借之馀物相较者不同
问二人携银不知数但减乙六两与甲则甲倍于乙减
甲三两与乙则相等其原数若干
解曰此所损益又是不同之数然其理则一故亦依前
术乘其较数而列之(合甲一乙二共三以乘六两得十/八两为倍乙多于一甲之较合甲)
(乙各一共二以乘三两得/六两为甲多于乙之较)
列位
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同减馀乙一为法 异并二十四两为实 法一即
以实为乙数 异加六两为甲数
计开
乙二十四两 倍之得四十八两多于甲一十八两
甲三十两 原多于乙六两
若损乙六两得十八两加甲六两得三十六两是甲如
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若损甲三两加乙三两各得二十七两则相等
问二商各携母银但云取乙十二两与甲则乙有甲六
之一取甲十五两与乙则甲有乙十之一
依前术列位(并六与一共七以乘十二两得八十四/两为六乙多于一甲之较 并十与一)
(共十一以乘十五两得一百六/十五两为十甲多于一乙之较)
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实 法除实得一十八两又五十九之一十二为甲
数 异加正八十四两共一百○二两(又五十九/之一十二)乙
六除之得一十七两(又五十/九之二)为乙数
计开
甲银一十八两(又五十九/之一十二)十之则一百八十二两(又五/十九)
(之/二)多于乙者一百六十五两
乙银一十七两(又五十/九之二)六之则一百○二两(又五十九/之一十二)
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若损乙一十二两与甲则甲有三十两(又五十九/之一十二)乙仅
有五两(又五十/九之二)而乙于甲为六之一
若损甲一十五两与乙则乙有三十二两(又五十/九之二)甲仅
三两(又五十九/之一十二)而甲于乙为十之一(以五十九通二/两得一百一十)
(八加子二从之共一百二十是三十两又/五十九之一百二十岂非十倍于甲乎)
论曰乙得甲六之一是六乙当一甲也然必损乙之十
二两与甲而后成此数是于一甲中添十二两而于
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为八十四两也
甲得乙十之一是十甲当一乙也然必损甲之十五两
与乙而后成此数是于一乙中添十五两而其十甲
中皆各减十五两也一添一减共十一个十五两是
为一百六十五两也
损乙之十二两与甲而乙为甲六之一若其原数则以
六乙当一甲而乙多八十四两矣
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十甲当一乙而甲多一百六十五两矣
问有两数不知总但损甲六数与己则甲如己四之三
而多二数若以己之二十损与甲则己如甲四之三
而少五数其原数各几何
法以四甲三己共七乘六得四十二又以四甲乘多二
数得八而益之共五十为四甲多于三己之数(损甲/六益)
(己故较与甲同名其二数/甲所多也故以之益数)
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少五数得二十以相减馀一百二十为四己多于三
甲之较(损己二十益甲故较与己同名/其五数巳所少也故以之减较)
己同减馀七为法 异并六百三十为实 法除实
得九十为己原数四因己数同减一百二十馀二百
四十甲三除之得八十为甲原数
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甲八十
己九十
以列位之理言之
甲四共三百二十 己三共二百七十 是甲多五十
甲三共二百四十 己四共三百六十 是己多一百
二十
以问之意言之
历算全书 卷四十五 第 34b 页 WYG0795-0083d.png
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六四分之而取其三得七十二 是为甲如己四之
三而多二数
己损二十馀七十 甲加二十共一百 以一百四分
之而取其三得七十五 是为己如甲四之三而少
五数
论曰以甲当己四之三是四甲当三己也然必以六数
减甲增己而成则是四甲中各减六而三己中各增
历算全书 卷四十五 第 35a 页 WYG0795-0084a.png
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甲当三己而共多八数也 合而观之此四十二者
四甲多于三己之数也此八数者亦四甲多于三己
之数也故皆与甲同名而列其较为五十也
以己当甲四之三是四己可当三甲也然必以二十减
己增甲而成则是四己中各减二十而三甲中各增
二十共一百四十也 以己当甲四之三而少五数
则以四己当三甲而共少二十也 合而观之此一
历算全书 卷四十五 第 35b 页 WYG0795-0084b.png
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二十者则四己少于三甲之数也与己异名也故以
相减而馀者列为己同名之较也
损甲六数与己而甲如己四之三仍多二数若其原数
则以四甲当三己而共多五十矣
损己二十与甲而己如甲四之三却少五数若其原数
则以四己当三甲而共多一百二十矣
问有三数损甲一百益乙则甲如乙六之二若损乙五
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如丙二之一而少五数各若干
法以甲六乙二共八以乘一百共八百为六甲当二乙
之较(损甲益乙故/与甲同名)
以乙十五丙九共二十四乘五十得一千二百为十
五乙当九丙之较(损乙益丙故/与乙同名)
以丙一甲二共三乘三十得九十又以甲二乘少五
数共十而加之共一百为一丙当二甲之较(损丙益/甲故与)
历算全书 卷四十五 第 36b 页 WYG0795-0084d.png
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如法递减馀丙五十四为法 异并三万七千八百
为实 法除实得七百为丙数 丙数同减一百馀
六百甲二除之得三百为甲数 六因甲数一千八
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五乘乙数得七千五百同减一千二百馀六千三百
丙九除之仍得七百为丙数(反覆相求列/位之理著矣)
计开
甲三百
乙五百
丙七百
甲损一百馀二百乙增一百得六百是甲为乙六之二
历算全书 卷四十五 第 37b 页 WYG0795-0085b.png
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丙十五之九
丙损三十馀六百七十其二之一则三百三十五甲增
十得三百三十是甲为丙二之一而少五数
问二人共数一百原所得之数不均今以甲三之一与
乙五之一相易则适均其原所得若干
法以三分通甲数损一与乙而存其二分 又以五分
通乙数损一与甲而存其四分
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乙七为法 馀五十为实 法除实得七又七之一
为乙之一分 以乙分母五乘之得三十五又七之
五(为乙/数)以减一百得六十四又七之二为甲数
计开
甲六十四(又七/之二)其三之一为二十一(又七/之三)其三之二为
历算全书 卷四十五 第 38b 页 WYG0795-0085d.png
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乙三十五(又七/之五)其五之四为二十八(又七/之四)其五之一为
七(又七/之一)以甲三之一加乙五之四五十也 以乙五
之一加甲三之二亦五十也
论曰此以分相增损而为和数亦与刋误条甲乙二仓
异彼是以其全数偕彼几分此则以所存之馀数偕
彼几分也既云相易则实有增损非如甲乙仓虚借
增率而无损也
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和合而平分之以凑原存数则各五十而适均其原
数各若干
法以三分通甲数而倍之为六分损其一与乙馀五分
以四分通乙数而倍之为八分损其一与甲馀七分
以和数列位
解曰以四之一与三之一和合而平分之是各取其
数之半也 于三之一取其半是六之一以与乙
历算全书 卷四十五 第 39b 页 WYG0795-0086b.png
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甲而乙馀其七也
偏乘对减以得法实 法除实得五又十七分之十
五为乙八之一 以乙分母八乘之得四十七又十
七分之一为乙原数 以两五十共一百减乙原数
馀五十二又十七分之一十六为甲原数
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甲原数五十二(又十七分/之十六)三除之得十七(又十七分/之十一)为
甲三之一 以三之一转减甲馀三十五(又十七/分之五)为
甲所存三之二
乙原数四十七(又十七/分之一)四除之得十一(又十七分/之十三)为乙
四之一以四之一转减乙馀三十五(又十七/分之五)为乙所
存四之三
以甲三之一乙四之一和合之共二十九(又十七/分之七)半之
历算全书 卷四十五 第 40b 页 WYG0795-0086d.png
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各得五十
论曰甲去三之一乙去四之一所存之数已均矣故以
平分之数加之而适均
又法
以甲分母三通甲为三分以乙分母四通乙为四分
又总计各得五十六共一百为和数
以甲取三之一馀三之二乙取四之一馀四之三命
历算全书 卷四十五 第 41a 页 WYG0795-0087a.png
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乃以和较杂列位
如法乘甲同减尽 乙异并一十七分为法 正二
百无减就为实 法除实得一十一又十七之十三
为乙之一分以分母四乘之得四十七又十七分
之一为乙原数 以乙原数减共数一百馀五十二
历算全书 卷四十五 第 41b 页 WYG0795-0087b.png
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按此所得与前无异而较捷故并存之
问甲乙丙三人共博甲赢乙金二之一乙赢丙金三之
一丙又赢甲金四之一事毕各剩金七百其原携金
若干
法以各分母通其原数又各减其赢去之一而列之
(以七百/为和数)
和数列位
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如法减并 丙七分为法 二千一百为实 法除
实得三百为丙之一分 以丙分母三乘之得九百
为丙原金 以丙之一分减乙剩七百馀四百为乙
所馀二之一 二因之得八百为乙原金 以乙二
历算全书 卷四十五 第 42b 页 WYG0795-0087d.png
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除之得一百为甲三之一 四乘之得四百为甲原
金
计开
甲原金四百 加赢乙四百(二之/一也)共八百 除丙又赢
去甲一百(四之/一也)仍馀七百
乙原金八百 加赢丙三百(三之/一也)共一千一百 甲赢
去四百(乙二之/一也)仍馀七百
历算全书 卷四十五 第 43a 页 WYG0795-0088a.png
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(丙三之/一也)亦仍馀七百
论曰此与刋误条骡马递借一匹同但马一骡二驴三
即是原物偕所借之一而为和数今乙一丙二甲三
却是各所存之馀分偕所赢之一分而为和数也得
数大异者马骡即是全数今则用分故丙之全数转
多于乙若以一分计则乙之分自多于丙如马力之
于骡矣
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金银交易几锭不同
难题歌曰一条竿子一条索索比竿子长一托双折索
子去量竿却比竿子短一托
解曰一托者五尺也
法以零整杂列位 因双折是二之一故以二通索
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绳长二丈 减负五尺馀得竿长一丈五尺
假如有绳长不知数但云比竿长六尺若三折其绳则
短于竿八尺
法二除实三丈得竿长一丈五尺 加正六尺得绳
长二丈一尺
历算全书 卷四十五 第 44b 页 WYG0795-0088d.png
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之若用难题法不能通矣故方程能御杂法而杂法
不能御方程 此条统宗原入均输今改正
问井不知深先将绳折作三条入井汲永绳长四尺复
将绳折作四条入井亦长一尺其井深绳长各若干
法以两母(三/四)相乘得十二分为绳母数 以母(三/四)互乘
其子(之一/之一)得(四/三)是为以绳十二分之四汲水而长四
尺以绳十二分之三汲水而长一尺也
历算全书 卷四十五 第 45a 页 WYG0795-0089a.png
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馀一分为法 即以实三尺命为绳十二分之一
以十二分乘一分得三十六尺为绳长 以绳之三
分计九尺同减负一尺得八尺为井深
计开
井深八尺
绳长三十六尺
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四折之得九尺 比井多一尺
论曰此条原属盈朒今以方程御之尤简易故曰方程
能御杂法也
试更之则先得井深
法一省除即以八尺命为井深 加正四尺共十二
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之得绳长三十六尺
论曰此馀八尺者即物实也前以馀三尺为绳长实者
即人实即此可悟盈朒章作法之原要之是二色方
程法耳(人实物实不同而除法/则同故皆可以互求)
今有绢一疋欲作帐幅先摺成六幅比旧帐长六寸改
折作七幅却又短四寸其绢并旧帐幅各长若干(折/作)
(六幅以较长即六之/一七幅即七之一)
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其(之一/之一)得(之七分/之六分)为所用之分而列之(以绢四十二/之七则长于)
(帐六寸短以绢四十二/之六则 于帐四寸)为较数
法一 实一尺即为绢之一分 以分母四十二乘
之得绢长四丈二尺 以绢之七分计七尺减负六
寸馀六尺四寸为旧帐之长
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旧帐幅六尺四寸
绢长四丈二尺
均作六幅得七尺 比帐长六寸
均作七幅得六尺 比帐短四寸
论曰此与井不知深皆是以一物之细分与一整物较
皆零整杂用之法也
又以上三条盈朒章旧有求法然皆因所较之井深与
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分数不同则非盈朒所能御此方程之用能包盈朒
诸法而诸法不能御方程
今有台不知高从上以绳缒而度之及台三之二而馀
六尺双折其绳度之及台之半而不足三尺问台之
高及绳之长若何
法以台(三/二)之(二/一)用母相乘为母之法通台为六分 又
用母互乘子为子之法变台三之二为六之四台之
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零而列之
馀绳二分为法 并三十尺为实 因二为分母与
法同省除与乘径以实三十尺为绳长 减负六尺
馀二十四尺以台之四分除之母六乘之得三十六
尺为台高
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台高三十六尺
绳长三十尺
台三之二高二十四尺 以绳度之馀六尺
台之半高一十八尺 以半绳一十五尺比之短三尺
今有井不知深以乙绳汲之馀绳二尺以庚绳汲之亦
馀绳四尺双折庚绳三折乙绳以相续而汲之适足
问井深及二绳各长若何
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以三色列之 井整数乙庚用分
以隔行之同名仍为较数列之 馀较皆与庚同名
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之得庚绳二丈 减负二尺得乙绳一丈八尺(用减/馀之)
(右行盖乙正/三即全数也)
又减负二尺得井深一丈六尺(用原列之右行亦以/乙负三即全数故)
计开
井深一丈六尺
乙绳一丈八尺 比井多二尺
庚绳二丈 比井多四尺
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井深
论曰此二条与前井深绢帐同理然即非盈朒所能御
又按田之横直亦可以绳折比量水面亦然
今有直田欲截一段之积只云截长六步不足积七步
截长八步又多积九步问所截之积及原阔
法以较数列之(其原阔即截长/每一步之积)
上 中 下
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长二步除积十六步得原阔八步 以截长六步乘
阔得四十八步加不足七步得截积五十五步
论曰此盈朒中方田也然无关于方田之实用故入盈
朒然不知宜入方程也
试更作问
今有方田欲截横头之积改为直田但云截阔五步则
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截直田积并原田之方
如法列位
阔一步半为法 积十八步为实 法除实得原方
一十二步 以阔五步乘方得六十步加不足十二
步得截直田七十二步
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原方田方十二步 积一百四十四步
截直田七十二步 宜截阔六步
若此条则盈朒不能御
今有米换布七疋多四斗换九疋适足问原米若干及
布价
法列位
上 中 下
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布二疋为法 四斗为实 法除实得布价每疋二
斗 以九疋适足乘布价得原米一石八斗
论曰此盈朒中粟布法也
试更设问
今有榖换绢十疋馀三石以榖之半换绢六疋不足五
斗问原榖若干及绢价
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法一免除 得绢每疋价二石 以十疋乘价加馀
三石得原谷二十三石
若此条则非盈朒所能御
论曰直田截积及米换布盈朒本法也愚所设方田截
积及谷换绢非盈朒本法也乃带分盈朒之变例也
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矣不如用方程之省约
今有芝麻不知总但云取麻八分之三粜银十两不足
二石取麻三分之一粜银八两适足问原麻总数及
每银一两之麻
法先以麻(八/三) (之三/之一)用母相乘得二十四为母母互乘
子得(之九/之八)为所用之分而列之 依省算左加九之
一而径减
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法一两省除即以麻二石命为银每两之麻 以银
八两麻八分适足省乘除径以二石为麻之一分以
二十四分乘得原麻四十八石
计开
原麻四十八石 银每两麻二石
其八之三计一十八石 银十两该二十石 故不足
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其三之一计一十六石 银八两恰该一十六石 故
适足
若问麻每石之银则以二石为法转除一两得每石
价五钱
按此条宜入方程旧列带分盈胸之末
问者若云有银买麻以麻八之三与之则馀二石以麻
三之一与之适足问原麻及银所买
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依法求得二石为麻之一分 以总母廿四分乘之
得原麻四十八石 以九分乘二石减负二石得银
所买麻十六石
论曰此所设问则盈朒带分本法也然不能知每价以
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今有黄连木香不知数但云取连三之一换木香七之
二则连多二斤取连四之三换木香五之四则连少
一斤若于五之四内减去木香三斤则连多一斤
法先以通分齐其分
乃列位
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如法乘减 馀木香二十二分为法 异并黄连二
十二斤为实 法除实得每木香一分(即三十五/分之一)换
黄连一斤 以木香十分换黄连十斤异加正二斤
共十二斤以黄连正四分除之得黄连每三斤为一
分 以分母十二乘之得总黄连三十六斤
另并黄连多一斤少一斤共二斤为法除减木香三
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(一斤故/知其数)
此连所换之木香一斤半即其三十五分之一分也
以三十五分乘之得木香五十二斤半
计开
黄连三十六斤
木香五十二斤半
每黄连一斤换木香一斤半
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七分五十二斤半而取其二得十五斤为木香七之二
该换连十斤今连有十二斤是连多二斤也
四分三十六斤而取其三得二十七斤为黄连四之三
五分五十二斤半而取其四得四十二斤为木香五之
四该换连二十八斤今连只二十七斤是连少一斤
也
若于木香五之四减三斤馀三十九斤该换连二十六
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论曰凡较数方程有若干物共几色又有其所较之价
银若钱之类今所用较数即用其物之斤两而无银
若钱微有不同乃古者贸迁有无交易之术也专用
银若钱以权物价后世事耳
问绫每尺多罗价三十六文今买绫六尺罗八尺其共
价绫比罗少三十六文
答曰绫每尺一百六十二文 罗每尺一百二十六文
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罗二尺除二百五十六尺得罗价每尺一百二十六
文 加多三十六文得绫价每尺一百六十二文
问银二千九百二十八两买绫一百五十疋罗三百疋
绢四百五十疋只云绫每疋比罗多四钱七分罗每
疋多绢一两三钱五分 答曰绫每疋四两三钱二
分 罗每疋三两八钱五分 绢每疋二两半
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绢九百疋为法除实二千二百五十两得绢价二两五
钱 加多一两三钱半得罗价三两八钱半 又加
多四钱七分得绫价四两三钱二分
今有兄弟三人不知年小弟谓长兄曰我年比汝四之
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法以带分别之 皆变零从整
季弟二 除一百四十四岁得年七十二岁 加八
岁得仲兄年八十 六因仲年五除之得伯年九十
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计开
伯九十六岁 仲八十岁(为伯年/六之五) 季七十二岁(为伯年/四之三)
今有四人分钱但云乙得甲六之五丙得甲四之三丁
得甲二十四之十七其丁与丙差四文
甲正五 乙负六 空 空 适足(此行不用乙/无对故也)
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丁四除二百七十二得丁钱六十八文
加四文得丙钱七十二文
四乘丙钱三除之得甲钱九十六文
五乘甲钱六除之得乙钱八十文
计开
甲九十六文
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丙七十二文
丁六十八文
甲六之一得一十六以五因得八十文为六之五乙数也
甲四之一得二十四以三因得七十二为四之三丙数也
甲二十四之一得四以一十七因得六十八为二十
四之一十七丁数也
论曰此虽四色实三色也故径以三色取之
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共六十五文不知各数亦不知馀人数
法以递差故知倍乙当甲丙倍丙当乙丁而列之
重列减馀与三行 减馀变较
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重列减馀与四行
丁八为法除实二百四十八文得三十一文为丁数
倍丁数与六十五文相减得递差三文 以差递
加得甲乙丙数以差递减得戊己庚数 皆加减丁
历算全书 卷四十五 第 61b 页 WYG0795-0097b.png
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计开 甲四十文 乙三十七文 丙三十四文 丁三十一文
戊二十八文 己二十五文 庚二十二文
今有银二百四十两以四人递差分之只云甲多丁一
十八两
如前法以倍乙当甲丙倍丙当乙丁 又依省算移甲
于丁位
和较列位
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重列两减馀
又重列减馀与末行
历算全书 卷四十五 第 62b 页 WYG0795-0097d.png
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甲四除二百七十六两得甲数六十九两 甲数内
减十八两得丁数五十一两 以甲数减二百四十两
馀一百七十一两丙三除之得丙数五十七两 并
丙数甲数一百廿六两半之得乙数六十三两
计开
甲六十九两 乙六十三两 丙五十七两 丁五十
历算全书 卷四十五 第 63a 页 WYG0795-0098a.png
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今有米二百四十石五人递差分之其甲乙二人与戊
丁丙三人共数等
如前法列位 依省算倒甲位自下而上
历算全书 卷四十五 第 63b 页 WYG0795-0098b.png
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重列减馀与三行
又重列减馀与四行
又重列减馀与末行
历算全书 卷四十五 第 64a 页 WYG0795-0098c.png
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甲十五除九百六十得甲数六十四石 倍甲数减
一百廿石馀得递差八石 以差递减各数得乙丙
丁戊数
计开
历算全书 卷四十五 第 64b 页 WYG0795-0098d.png
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论曰凡差分章竹筒七节盛米之类皆可以此法求之
兹不烦列
历算全书卷四十五