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历算全书 卷四十三 第 1a 页 WYG0795-0021c.png

历算全书卷四十三
宣城梅文鼎撰
方程论卷四
刋误
古之为学也精故其立法也简而语焉不详阙所疑而
敬存其旧无臆参焉斯善学也已不得其理而强为之
解以乱其真古人之意乃不可见矣意不可见而讹谬
历算全书 卷四十三 第 1b 页 WYG0795-0021d.png

方程之误厥有数端
一曰立负之误(立负误也四色五色期于立负以为法/误之误也自骡马递借一问诸书沿讹)
(而加减之/误因之矣)
一曰加减之误
同加异减一误也(误沿于牛羊豕相易之一/问由不知正负之有更也)
奇减偶加二误也(误沿于桃梨问价以/不知和较之交变也)
一曰法实之误(以上为法下为实拘也以/法必少实必多亦谬也)
历算全书 卷四十三 第 2a 页 WYG0795-0022a.png

一曰设问之误(如井不知深而以除法/为井深问中先已大误)
立负辨
立负非古人法也何以知之有负则有正今立负而不
言正非正负之本旨也或曰有正则有负则言负可
不言正矣是又不然凡和之变而较也有减其和数
而尽者亦有减其和数而馀者其减而尽者命为适
足而无较数则但言此之为负以见彼之为正可矣
历算全书 卷四十三 第 2b 页 WYG0795-0022b.png

其较数必与正物同名乎即使同名而竟不明言其
为正何以分别同异而为加减乎至于以有空位而
立之负则又不可何也和之或变而较也固不必以
空位也但减馀分在两行而兼用之即变较数矣今
必以有空位者而立之负则无空位者即不立负乎
然则和数之无空位者终于同减而无异并乎将进
退失据矣故曰非古人法也
历算全书 卷四十三 第 3a 页 WYG0795-0022c.png

言数也皆自然而有之名非立之也而立负乎哉夫
不知正负之出于自然而强立之负则同异之旨淆
而加减之用失种种谬误缘之以生故谨为之辨
今以诸书所载立负例考定如左
假如米四石二斗以马一骡二驴三载之皆不能上坡
若马借骡一骡借驴一驴借马一则各能上坡问马
骡驴力各几何
历算全书 卷四十三 第 3b 页 WYG0795-0022d.png

法各以和数列位(马借骡一则一马一驴也骡借驴一/则二骡一驴也驴借马一则三驴一)
(马也各以其本数加借数而/列之干方程法则和数而已)
此三色有空法也中行无马原只二色故不须乘减
但先以左右两行首位不空者对乘 又因两行马
历算全书 卷四十三 第 4a 页 WYG0795-0023a.png

驴三皆无对不减 米各四石二斗亦对减而尽
乃视减馀骡一在右行驴三在左行分在两行是有
正负也 米亦减尽是正负适足也重列之
论曰此和数变为较数也何以言之两行之马相若而
其载物又相若则其所偕以共载之骡一与驴三其
力亦自相若矣故命之适足适足者以两相较而成
故曰变为较数也然谓之适足可也谓一行俱减尽
历算全书 卷四十三 第 4b 页 WYG0795-0023b.png

俱减尽也适足者物非同类而其物之积数则同故
其物不能减尽而数则减尽也物不同而数同故曰
适足也适足者存之为用也物数俱减尽者清出其
一色而不复用也如此三色中虽不能遽知各力然
已知驴三骡一之适相当矣则已清出马之一色而
变为二色矣此递减立法之意也
又论曰减馀适足则有正负矣其原列只是和数无正
历算全书 卷四十三 第 5a 页 WYG0795-0023c.png

数曰正不知正与负对非与借对也虽递借一匹其
实是本有之头匹与所借之头匹共载此米故曰和
数逮减馀乃变为较耳故减馀适足宜言正负也而
诸书但立负原列和数无正负也而忽分正借又不
立负于减之后而立于其先正也借也立负也三者
相乱而靡有指实古人之法固如是乎哉
次以中行原数与减馀对列 因中行马空故径求也
历算全书 卷四十三 第 5b 页 WYG0795-0023d.png

此和较杂也 减馀分正负 中行原无正负
以减馀骡负一遍乘中行如故(较乘和也数虽如故但皆/以乘法之名名之为负)
又以中行骡二遍乘减馀得数(和乘较也故仍/其正负之名)
骡同减尽 驴异并得七为法 四石二斗无减就
为实 法除实得六斗为一驴之力 三因驴力得
一石八斗为一骡之力(适足/故也)以骡力一石八斗减四
历算全书 卷四十三 第 6a 页 WYG0795-0024a.png

论曰减馀原是骡一与驴三力等乘后得数则骡二与
驴六亦等也然则于中行共力中减去二骡而以相
等之六驴益之其共之四石二斗亦必与原载等也
故并此六驴与原列一驴共七为法以除此四石二
斗而驴力可知也 驴三与骡一既等则三驴之所
载即骡力也 骡与马各一共四石二斗则减骡力
即马力也
历算全书 卷四十三 第 6b 页 WYG0795-0024b.png

行或右行遍乘而减去其马与其数乃列两减馀如
二色求之此常法也今中行马空原只二色恰与减
馀之二色相对故径相乘减是省一算也诸书皆言
因左行骡空故立负骡一与中行对乘不知左行骡
空而右之骡一无减犹右之驴空而左之驴三无减
也其与中行相对乃用此两色之减馀非独用左行
也盖左行有马中行无马原无对乘之理亦犹之右
历算全书 卷四十三 第 7a 页 WYG0795-0024c.png

实自然之理势也而强立之负以用左行乎
有正斯有负立负骡于左行为与何物相对耶以马一
为正耶驴三为正耶其马一驴三皆正耶既无所指
则负为徒立矣
凡言正负者其下数必为正与负之较今所用左行之
四石二斗者为是骡一与驴三相较之数耶骡一与
马一相较之数耶将合马一驴三与骡一相较之数
历算全书 卷四十三 第 7b 页 WYG0795-0024d.png

凡物有正负者其较数亦有正负此四石二斗者正耶
负耶若无正负即是和数不应立负骡矣
若以四石二斗为和数则更非理夫以马一驴三之共
数加一骡力而其数如故理所无也若去一马用一
骡而与驴三共此米抑又不能马与骡之力原不同
乃去一马加一骡而其数如故理所无也然则此四
石二斗安属耶彼惟不知四石二斗之减尽即为适
历算全书 卷四十三 第 8a 页 WYG0795-0025a.png

又谓右行俱减尽不知减尽必两行数同如马一与米
四石二斗也若骡一驴三固未尝有减也况尽乎方
程立法原以对减有尽不尽而得其朕兆若三色俱
减而尽其算不立矣惟不知有空位者可以径求而
误以所用之减馀为是左行之原数故也
凡减尽者两俱减尽不应右减尽而左行独存若谓复
用左行之原数何以不用原列之马一而加一负骡
历算全书 卷四十三 第 8b 页 WYG0795-0025b.png

耶故以立负骡减马一为用减馀之法则四石二斗
不宜存四石二斗为用原列之法则马一不宜减负
骡不宜立破两法而参用之一不成矣承讹者迁就
多岐抑奚足怪
今试以减馀更置则先得骡力如后图
历算全书 卷四十三 第 9a 页 WYG0795-0025c.png

异并得七为法 正十二石六斗无减就为实 实
如法而一得一石八斗为骡力以驴三除相当一骡
之力得六斗为驴力(任于原列左行或右行如/法减驴力或骡力得马力)
论曰凡减馀重列之数皆可更置互求何则皆实数也
三色减去一色即二色法矣若干减馀之适足加以
四石二斗则不可以互求故知其误
又试以原列更置之先减去骡如后图
历算全书 卷四十三 第 9b 页 WYG0795-0025d.png

如法先以右中遍乘 骡减尽 中行驴一 右行
马二皆无减分正负列之 载米馀四石二斗在右
行与马同名 左行骡空故径与减馀相对 依和
较杂法乘之 驴同减尽马异并七为法 载米异
历算全书 卷四十三 第 10a 页 WYG0795-0026a.png

以马力减四石二斗馀一石八斗得骡力 以马
力倍之同减四石二斗馀六斗得驴力
试又更之如后图
历算全书 卷四十三 第 10b 页 WYG0795-0026b.png

无减分正负载米馀八石四斗在右与骡同名
乃重列之如前法径与左行相对遍乘 马同减尽
骡异并七为法 载米异并十二石六斗为实实
如法而一得骡力以次得驴马力皆如前
论曰凡诸色方程其上下皆可互更如上二图以空位
径求之法求之无所不合也
又试以原列无空而减馀适足者为例如后
历算全书 卷四十三 第 11a 页 WYG0795-0026c.png

能胜若车借驼牛各一驼借车牛各一牛借车驼各
一则皆能载问三者力若干
答曰车二十四石 橐驼十二石 牛四石
法以和数列位
历算全书 卷四十三 第 11b 页 WYG0795-0026d.png

数也 乙丙相减馀乙驼二丙牛六是有正负也
载物减尽适足也(乙丙载物减尽则不但对减去之/物适相当而其减馀之驼二牛六)
(其力亦适相当也虽欲/不命之适足不可得矣)
乃以和较杂重列之
依一和一较法求得牛三十二为法 载物一百二
历算全书 卷四十三 第 12a 页 WYG0795-0027a.png

二十四石以相当之驼二除之得十二石为驼力
以牛力驼力减六十四石馀四十八石车二除之得
二十四石为车力(用右行/原数)
论曰此亦以和变较而有适足之数也岂以有空位而
立之负乎可以悟其非矣
试更以较数求之
假如运粮以象马牛车三种但云接运时以三象所载
历算全书 卷四十三 第 12b 页 WYG0795-0027b.png

所载与二象十二马载之亦馀三十六石以七十八
马所载与二象二牛车载之亦馀三十六石问各若干
答曰象七十二石 牛车二十七石 马三石
法以较数列位
历算全书 卷四十三 第 13a 页 WYG0795-0027c.png

(中左象本同径以/对减皆省算法也)
依省算法求得马三十载九十石以马除载得三石
为马力 马九十载二百七十石牛车十除之得二
十七石为牛车力 合计牛车四马二十四共载一
百八十石异加正三十六石象三除之得七十二石
历算全书 卷四十三 第 13b 页 WYG0795-0027d.png

论曰此原列较数也而其较数亦有减而适足者然则
先无适足减之而成适足者往往有之矣
惟适足故分正负非以空位而立负也故知减馀之亦
有适足而复用左行者非矣知用减馀而非用左行
则立负之非不攻而破矣
同加异减辨
同名相减则异名相加矣诸书所载忽而同减者忽而
历算全书 卷四十三 第 14a 页 WYG0795-0028a.png

以正为主则同减而异加以负为主则异减而同加
又为之说曰同名相乘则其下同减而异并异名相
乘则其下异减而同并言之缕然用之纷然而要之
非是也夫同名相减即如盈朒章两盈两朒相减也
异名相并即如盈不足相并也岂有同加异减之理
乎所以误者不知正负交变之法也正负宜变而不
变则首位之异名者何以能对减而尽乎不得不迁
历算全书 卷四十三 第 14b 页 WYG0795-0028b.png

既同名则凡减皆同名凡加皆异名较若画一何必
纷纷强为之说乎
凡减馀重列有仍其负正如故者亦有更其正负绝非
其故者且有先无正负及其重列而有正负者有先
分正负及其重列之而反不分者若但以初名为定
则加减皆舛矣
假如同减之馀分在两行而为同名(或左馀正右亦馀/正或左馀负右亦)
历算全书 卷四十三 第 15a 页 WYG0795-0028c.png

其下所馀数必是此二异名物之较数也若无馀数
必是此二异名物相当适足也(此以三色言之若四/色以上减馀位数多)
(者皆仿/此论之)
若同减之馀分在两行而为异名(或左馀正而右馀负/或左馀负而右馀正)
则重列必为同名矣而其下所馀数必是此二同名
物之和数也(此亦以三色言之其/减馀只二色故也)则其原列正负之
名皆不用矣
历算全书 卷四十三 第 15b 页 WYG0795-0028d.png

负并则如一物矣故重列之际必以一行为主而定
其名(或为正或为负或/变和数则无正负)若但守初名而不知所变将
一物而名之正又名之负乎必不然矣兼此数端知
正负之交变出于自然非强名也(不知正负之变亦/不知和较之变矣)
(故又有奇减/偶加之误也)
今以诸书所载同加异减例考定如左
假如以牛二羊五作价易猪十三剩价五两以牛一猪
历算全书 卷四十三 第 16a 页 WYG0795-0029a.png

各若干
答曰牛价六两 羊价二两五钱 猪价一两五钱
列所问数
先以右行牛正二遍乘中左两行得数(中右首位同/名故正负不)
历算全书 卷四十三 第 16b 页 WYG0795-0029b.png

次以中行牛正一遍乘右行皆得原数 乃以中右
两得数对减 牛各正二同名减尽 羊异名(右正/五中)
(负/六)并得十一猪异名(右负十三/中正二)并得十五 价无减
(右正五两/中适足)仍得五两 于是分正负以价与羊为同
名而重列之(羊右正中负猪右负中正故仍为较数/价与羊同为正于右行故仍为同名)
次以左行牛负五遍乘右行得数(左行既变以从右/则右行不变仍其)
(正/负)乃以左右两得数对减 牛各正十同名减尽
历算全书 卷四十三 第 17a 页 WYG0795-0029c.png

(十/六)减馀四十九(在/右) 价同名减(右正二十五/两左正六两)馀十九
两(亦在/右) 于是亦分正负亦以价与羊同名而重列
之 羊与馀猪原分正负于右故仍为较数价与羊
同为正于右故同名
列两减馀
历算全书 卷四十三 第 17b 页 WYG0795-0029d.png

猪同减馀十六为法 价同减馀二十四两为实法
除实得一两五钱为猪价 以猪十五价二十二两
五钱异加正价五两(共二十七/两五钱)羊十一除之得二两
五钱为羊价 任于原列中行羊三价七两五钱内
减猪价一两五钱馀六两为牛价
论曰凡列正负可以任意呼之要在知下价之于正负
孰为同名耳若乘后得数则其首列一位必以同名
历算全书 卷四十三 第 18a 页 WYG0795-0030a.png

同异加减必以乘后得数而定也如此所列左右行
先为一正一负异名之价而乘后得数必为同名之
价何也两价皆与牛同名而牛在首列得数必同名
故也若以羊更置首列则两价得数必异名何也价
与羊于右同名而于左异名也
试更列之于后
上 中上 中下 下
历算全书 卷四十三 第 18b 页 WYG0795-0030b.png

如法以中行羊与左右两行互遍乘得数相减 羊
同减皆尽 右中牛异并三十七 猪异并一百十
八 价异并四十五两(价与牛/同名)中左牛同减馀九
猪异并三十 价九两无减(与牛/同名)
乃以两减馀各分正负而重列之
历算全书 卷四十三 第 19a 页 WYG0795-0030c.png

如法以牛互遍乘而变左行之正负以相从 牛同减
尽 猪同减馀四十八为法 价同减馀七十二两为
实 法除实得猪价以次得牛羊价合问 试又更之
历算全书 卷四十三 第 19b 页 WYG0795-0030d.png

皆尽右中羊异并一百十八(右负/中正) 牛同减馀四十九(馀/负)
(在/中) 价同减馀一两(馀负/在右) 分正负(以价与/羊同名) 左中羊异
并三十(中正而/左负) 牛异并十三(中负/左正) 价三两无减(中之/负数)
亦分正负(以价与/牛同名) 皆重列之
如法互乘羊同减尽牛同减馀六十四两为法价异并三
历算全书 卷四十三 第 20a 页 WYG0795-0031a.png

论曰反覆求之皆同减异加别无他术可见古人立法之简快
奇减偶加辨
方程立法只同名相减异名相加尽之(和数有减无并皆/同名也较数有减)
(有并或同名或异名也/和较交变故减并相生)不论二色三色四色乃至多色
皆一法也今诸书不察偶见瓜梨一例有奇减偶加之
形不得其解遂执为四色之定法而不知通变使方程
一章之法为徒法而莫可施用深可惜也故覼缕辨之
历算全书 卷四十三 第 20b 页 WYG0795-0031b.png

假如有瓜二梨四共价四十文又梨二榴七共价四十文榴
四桃七共价三十文瓜一桃八共二十四文问各价几何
答曰瓜八文 梨六文 榴四文 桃二文
法以和数列位 依四色有空以省算法求之
历算全书 卷四十三 第 21a 页 WYG0795-0031c.png

惟甲丁两行有瓜如四色故先以相乘 瓜减尽
甲梨四丁桃十六皆无减 价馀八文 分正负(梨/甲)
(桃丁/故也)以价与桃同名(同在丁/行故也) 瓜减尽矣而馀行皆
无瓜则只三色故径以减馀之数与乙行相对
如法互乘 梨同减尽 榴二十八(左/正)桃三十二(右/负)皆
历算全书 卷四十三 第 21b 页 WYG0795-0031d.png

隔行之异名乃同名也以和数列之不分正负
又以馀行无梨则只二色径以减馀与丙行列之(于/后)
如法乘减榴减尽馀桃六十八为法价一百三十六文为实
法除实得桃价二文 以丙行桃七价十四文减共三
十文馀十六文悉榴价也榴四除之得榴价四文 以
历算全书 卷四十三 第 22a 页 WYG0795-0032a.png

二除之得梨价六文 以甲行梨四共二十四文减
共四十文除十六文悉瓜价也瓜二除之得价八文
论曰此和数变为较数而较数复变和数也何以言之初次
减馀价八文乃桃多于梨之价故曰变为较数也(桃十六/价三十)
(二文梨四价二/十四文差八文)何以知之馀数分在两行也(桃十六在丁/行梨四在甲)
(行/)何以知桃多于梨桃与价同在丁行故同名也然所
用分正负者是甲丁两行之减馀非但以丁行空位而
历算全书 卷四十三 第 22b 页 WYG0795-0032b.png

是省二算也乃径求也非专用丁行为主也减馀较也乙
行和也一和一较故有异名相并而非以偶行故加也
若第二次减馀则复是和数何也其相并一百七十六文
乃桃榴之共价(桃三十二价六十四文榴二/十八价一百十二文共此数)而非其较
数故曰复变和数也何以知之桃与榴虽分馀于两行
而异名然隔行之异名乃同名也(乙行榴正价亦正减/馀桃负价亦负兼而)
(用之变为/同名矣)至于立负之非此尤易见盖既变和数无正
历算全书 卷四十三 第 23a 页 WYG0795-0032c.png

亦空故径用减馀与之对减是又省一算非以丁行对
丙行也而顾曰立负榴于丁行误之误矣减馀变和丙
行相对是两和也故有减而无并也而岂以奇行之故
而减也乎哉 今试以甲丁之行易之则加减全非矣
历算全书 卷四十三 第 23b 页 WYG0795-0032d.png

如法以甲丁行对乘减瓜尽 桃十六(甲/)梨四(丁/)皆
无减 价相减馀八文(甲/) 乃分正负以价与桃同
名而重列之与乙行相对
如法乘 桃同减尽 榴六十四(左/正)梨二十八(右/负)皆
无减 价同减馀四百二十四文 依前论隔行之异
历算全书 卷四十三 第 24a 页 WYG0795-0033a.png

如法减榴 馀梨六十八为法 四百○八文为实
法除实得梨价六文以次得诸物价皆如前
论曰此但更其前后之行耳而价皆同减无异并可见
奇减偶加之非通法矣 又试以上下之位而更之
历算全书 卷四十三 第 24b 页 WYG0795-0033b.png

如法以甲丁先乘减去梨尽 馀榴二十八(甲/)瓜四
(丁/)皆无减 价相减馀八十文(甲/)依前论分正负以
价与榴同名而重列之与乙行相对
历算全书 卷四十三 第 25a 页 WYG0795-0033c.png

皆无减 价相减馀五百二十文(左/正)依前论复变和
数不分正负而径与丙行重列之
如法减桃 馀瓜六十八为法 价五百四十四文
为实 法除实得瓜价八文以次得诸物价皆如前
论曰此亦有同减无异加固不以奇偶之行而有别也
历算全书 卷四十三 第 25b 页 WYG0795-0033d.png

论曰此下价何以并异名故也何以异名凡一和一较
方程在和数行者其得必与较首位同名故其较数
之价与首位同名者则亦与和价同名也其与首位
异名者与和价亦异名也
先用丙行何也以有瓜故可与馀瓜相减亦可见行次
历算全书 卷四十三 第 26a 页 WYG0795-0034a.png

以定之转不定矣
又论曰此亦复变为和数也何以知之正榴正价皆右
负桃负价皆左以之并为一行则无正负矣盖隔行
如法减桃 馀榴六十八为法 价二百七十二文
历算全书 卷四十三 第 26b 页 WYG0795-0034b.png

论曰兼此数端知加减非关行数矣
统宗歌曰四色方程实可誇须存末位作根芽若遇奇
行须减价偶行之价要相加诸书仍讹又推而至于
五色六色皆云以末位为主而自首行以往皆与之
加减至其所以加减者又皆以行之奇偶如一行三
行五行奇数也则价与末行减二行四行偶数也则
价与末行加而不言同异名将奇行者皆同名乎偶
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两位势必挨列虽云四色乃四色之有空者耳非四
色之本法也(省算卷辨之极/详可以互发)既挨列矣馀行之首一
色皆空不须乘减惟末行首行相对可以互乘非用
末行乃用上一色相对之行耳使上一色不空者在
中二行而末行反空又当以中行先用矣虽欲以末
行为主得乎
至于第二次重列而乘减者乃用首行末行相减之馀
历算全书 卷四十三 第 27b 页 WYG0795-0034d.png

末行亦可云用首行矣
又因各行多空故径以减馀与次行乘减得数又径以
减馀与三行乘减乃省算之法于末行毫不相涉也
且方程之行次非有定也其前后可以互居左右中可
以相易亦何从而定之为末行乎末行无定矣又安
有奇偶之可言乎而以是为加减之定法乎
然则恶乎定曰详和较以列减馀别同异以定加减苟
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空位分正负也此列减馀之法也但同名者不论何
行皆减但异名者不论何位皆加此定加减之法也
如是而已
法实辨
算家法实皆生于问者之所求如有总物若干总价若
干而问每物若干价则是以物为法价为实也或问
每银一两得若干物则是以价为法以物为实也诸
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实盖本统宗然其说非也同文算指曰以少除多其
说亦非也何以明之曰方程法实犹诸算之法实也
故必于问者之所求详之中下多少非可执也
假如和数方程有物若干又物若干共价若干是物之
位在上中而价之位在下也若问每物之价而以物
为法银为实是中除下也固也或问每银一两之物而
以银为法物为实又当以下除中矣不知问者之所
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又物之价值莫可等计有贱于银之物以一两而得数
千百斤有贵于银之物以数十百金而得一物假如
有贵物若干又若干共价若干是物之数少而银之
数多也而问每物之价谓之以少除多似也若问每
银之物不又当以多除少乎又如有贱物若干又若
干共价若干是物之数多而银之数少也而问每银
物若干谓以少除多可也若问每物价若干不且以多
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有以法命之如云每银一两于物得几分之几者是
也其物多除银少者则有退除为钱若分釐故曰多
少难拘也
多少中下既不足以定法实则法实安定曰亦惟于问
意详之而已 今具例如后
论曰方程法实只是以下一位与上中数位相须为用
耳故有实一而法二其三色者则有实一而法三若
历算全书 卷四十三 第 30a 页 WYG0795-0036a.png

互乘之法以减之及其用也则只是一法一实而已
二色者互乘而对减其一则一法一实也三色者对
减其一又对减其一亦一法一实也四色五色其法
悉同此方程立法之原也
问河工方九百尺以当筑城八百尺城多一工以河工
七百二十尺当城工七百尺城多二工问每工一日
若干尺
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如法乘减 馀城工五万四千尺为实 工一千○
八十为法法除实得每工五十尺为城工每日之数
以城工五十尺除右行八百尺得十六工同减负一
工馀十五工以除河工九百尺得每工六十尺为河
工每日之数
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求土也故以工为法土为实若拘中法下实则法实
反矣
若问每土千尺该用几工则当以五万四千尺为法
一千○八十工为实法除实得百分工之二是为每
城工一尺之数以所问每千尺乘之得二十工是为
城工每千尺用工二十日也 若用异同除则以土
千尺乘一千○八十工得一百○八万工为实以法
历算全书 卷四十三 第 31b 页 WYG0795-0036d.png

同
于是以二十工乘八百尺(用右行/原列)千尺除之得十六
工减负一工馀十五工河工九百尺数也以九百尺
除十五工得百分工之一又三分之二河工每尺数
也以问千尺乘之得十六工又三分工之二为河工
千尺之数 用异乘同除以千尺乘十五工得一万
五千工九百尺除之得十六工又九之六约为三之
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问开渠十七工筑堡二十工共以立方计者一千六百
八十尺又渠三十工堡四十工共三千二百尺今欲
计土续工则每百尺得几工
答曰开渠每土一百尺(二工/半)筑堡每土一百尺二工
如法乘减 馀堡工八十为实 土四千尺为法
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筑堡每百尺之工(或异乘同除以百尺乘八十工得/八千为实以法四千尺除之亦得)
(每百工/二工) 以左行堡工四十乘百尺二工除之得二
千尺以减共三千二百尺馀一千二百尺渠土数也
用除渠工三十得百分工之二半以百尺乘之得二
工半为开渠每百尺之工(或异乘同除以百尺乘三/十工得三千以一千二百)
(尺除之亦得每/百尺二工半)
论曰此亦以下法除中实也缘所问以土求工故也又
历算全书 卷四十三 第 33a 页 WYG0795-0037c.png

分秒而所问者每百故又有异乘同除之用也
并分母辨
自方程笇失传有可以方程立算亦可以差分诸法立
算者则皆收入诸法而不知用方程如愚末卷所载
方程御杂法是也有实非方程法而列于方程如同
文算指所收菽麦畦工诸互乘之法是也有可以方
程算而不用方程漫以他法强合而漫谓之方程如
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专辨分母
问甲乙二窖不知数但云取乙三之一益甲取甲二之
一益乙则各足二千石
答曰甲窖一千六百石 乙窖一千二百石
原法曰列位互乘甲得六千石乙得四千石相减馀二
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分母三乘之得一千二百石为乙窖以乙窖减二千
石馀八百石以甲分母二乘之得一千六百石为甲
窖
论曰此法不然乃偶合耳若分母为三与四即不可用
或分子为之二之三亦不可用况方程法原无平列
两色物之理而此独平列既平列矣又何以先得乙
窖皆不合也今以方程本法御之则无所不合
历算全书 卷四十三 第 34b 页 WYG0795-0038b.png

如法乘减 甲减尽 馀乙五分为法 馀二千石
为实 法除实得四百石为乙之一分以乙分母三
乘其一分得一千二百石为乙窖 以乙之一分减
二千石馀一千六百石为甲窖
论曰此亦用五分为法也然为得数相减之馀非并分
历算全书 卷四十三 第 35a 页 WYG0795-0038c.png

非甲乙两分母互乘相减也
亦先得四百石为乙三分之一然以乙列于中甲列
于上故先减去甲而馀乙为法以先得乙之分若列
乙于上则亦先得甲分矣试更列之以先求甲窖
如法乘减 乙减尽 甲馀五分为法 馀四千石
历算全书 卷四十三 第 35b 页 WYG0795-0038d.png

乘之得一千六百石为甲窖
以甲之一分减二千石馀一千二百石为乙窖
论曰凡方程有各色皆可更列其上下以互求而任先
得其一色何也其互乘而对减者皆实数也若并分
母为法则无实数可言故不可以互求
愚于带分言之备矣或化整为零(如上所列/二例是也)或变零从
整或除零附整共有三法凡带分者皆可施用若并
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文算指亦皆收入未尝驳正也
试以分母非三与二者求之
假如有句股不知数但云以股四之一益句以句三之
一益股则皆二丈二尺问句股各若干
答曰句一丈八尺 股一丈六尺
依化整法列位
上 中 下
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如法乘减 馀股十一分为法 四丈四尺为实
法除实得四尺为股之一分以股分母四乘其一分
得一丈六尺为股
以股之一分减共二丈二尺馀一丈八尺为句
论曰此十一为法也若以股列于上则亦十一分为法
也如并分母将以七为法其能合乎
历算全书 卷四十三 第 37a 页 WYG0795-0039c.png

假如有股与弦不知数但云若取弦六分之二以益股
则五丈五尺若取股三分之二以当弦则少五丈五
尺问若干
答曰股三丈 弦七丈五尺
法以一和一较依化整法列位
历算全书 卷四十三 第 37b 页 WYG0795-0039d.png

为法 数异名并得二十七丈五尺为实 法除实
得一丈二尺五寸为弦之一分以弦分母六乘其一
分得七丈五尺为弦 以弦之二分二丈五尺减共
五丈五尺馀三丈为股
论曰此以二十二为法也若以弦列于上则亦二十二
为法也而并分母是将以九为法矣岂不毫釐千里
乎
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问者或云甲乙仓粟不知数但知共二千石其甲二之
一与乙三之一等各若干
答曰甲八百石 乙一千二百石
法以和较杂列位亦用化整为零
遍乘甲同减尽 乙异并五分为法 二千石无减
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分得一千二百石为乙仓 因适足故乙之一分犹
甲之一分也以甲分母二乘之得八百石为甲仓
论曰惟此有似于并母然实非并分母乃并得数之异
名者也又按并母法与方程不同
假如有仓粟取三之一又二之一共计二千石问原数
若干
答曰原数二千四百石
历算全书 卷四十三 第 39a 页 WYG0795-0040c.png

法以两母互乘其子而并之得五为法 以两母相
乘得六以乘二千石得一万二千石为实 法除实
得二千四百石为原仓之粟
论曰此即并母法也因两分子皆一故并母用之实并
两分母互乘其子之数也盖既曰三分二分其原数
必可以三分之又二分之者也故以两分母相乘得
历算全书 卷四十三 第 39b 页 WYG0795-0040d.png

即三也并而用之借为所取之分如云取原数六分
之五而二千石也六分之五为二千石则其全数必
二千四百石矣此通分法非方程
设问之误辨
算家设问以为规式意虽引而不发数则实而可稽苟
其稽之而无有真实可言之数则其意不能自明而
何以为式乎至其立法之多违于古皆以不深知算
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今将同文算指所载井不知深例考定如后馀如此者
尚多不能一一为辨也(钱塘吴信民九章比类亦载/是例非同文创立也盖方程)
(之沿误/久矣)
问井不知深以五等绳度之用甲绳二不及泉借乙绳
一补之及泉用乙绳三则借丙一用丙绳四则借丁
一用丁绳五则借戊一用戊绳六借甲一乃俱及泉
其井深若干五等绳各若干
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二乘乙三得六以乘丙得二十四以乘丁得一百二
十以乘戊得七百二十并入子一共七百二十一为
井深积列位
一甲二 乙一 ○ ○ ○ 七百二十一
二○ 乙三 丙一 ○ ○ 七百二十一
三○ ○ 丙四 丁一 ○ 七百二十一
四○ ○ ○ 丁五 戊一 七百二十一
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乃取五行为主而以一二三四俱与相乘
先以一行甲二遍乘五甲(甲一得二戊六得十二积/七百二十一得一千四百)
(四十/二)
五行甲一亦遍乘一行对减(甲得二减尽乙得一因/五行乙空立负一积七)
(七百二十一本数以减/五行仍馀七百二十一)
次以二行乙三乘五行(乙负一得负三戊正十二得/三十六积七百二十一得二)
(千一百/六十三)
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(二十一得本数并入五行/积共二千八百八十四)
再以三行丙四乘五行(丙负一得四戊正三十六得/一百四十四积二千八百八)
(十四得一万一/千五百三十六)
五行丙负一亦乘三行(丙四得四减尽丁一得一因/五行丁空立负一积得本数)
(与五行对减馀一/万○八百一十五)
又以四行丁五乘五行(丁负一得五戊正一百四十/四得七百二十积一万○八)
(百一十五得五万/四千○七十五)
历算全书 卷四十三 第 42a 页 WYG0795-0042a.png

(百二十一积得本数并入五行积五万四/千○七十五共五万四千七百九十六)
乃以最后所得求之以积五万四千七百九十六为
实戊七百二十一为法除之得戊绳七尺六寸以减
四行总积(七百二/十一)馀六百四十五以丁五除之得丁
绳一丈二尺九寸以减三行积(七百二十/一后同)馀五百九
十二以丙四除之得丙绳一丈四尺八寸以减二行
积馀五百七十三以乙三除之得乙绳一丈九尺一
历算全书 卷四十三 第 42b 页 WYG0795-0042b.png

丈六尺五寸
论曰此一例中有数误 一者以末行为主而以一二
三四与之相乘此由不知和较交变而沿奇减偶加
之失误一 一者谓末行有空故立负由不知有空
径求而沿立负之非误二 一者以除法命为井深
而设问不明言丈尺误三 又辄立母递相乘加借
子一之法误四 一例中误至数端将令学者何所
历算全书 卷四十三 第 43a 页 WYG0795-0042c.png

前之两误(谓以未行为主而奇/减偶加反立负之法)业于瓜梨诸例辨之綦
详可以互见今特明后两误之非具如后论
凡言百十者皆虚位也其实数以单位为端故单位为
寸则十者尺百者丈若单位为尺则十者丈百者十
丈若单位为丈则十者十丈百者百丈七百二十一
以为井深不知其所谓一者尺乎寸乎丈乎若七百
二十一尺七百二十一寸七百二十一丈相去甚悬
历算全书 卷四十三 第 43b 页 WYG0795-0042d.png

数何以命之
详观问意乃借井深以知各绳故井深者和数也在各
行中皆所列诸绳之共数必先知此共数然后以乘
减之法求之而各数乃见矣而不先言井深转借各
绳以求之方程中无此法也故其所得但为七百二
十一之虚率而不能断其为丈尺何等亦固然耳
七百二十一亦非井深定率何也倍七百二十一则一
历算全书 卷四十三 第 44a 页 WYG0795-0043a.png

十三推之以至于无穷凡可以七百二十一除之而
尽者皆可以五等绳相借而及泉也故使其井为一
丈四尺四寸二分之深则戊绳必一尺五寸二分丁
绳必二尺五寸八分丙绳必二尺九寸六分乙绳必
三尺八寸二分甲绳必五尺三寸矣使其井为二十
一丈六尺三寸之深则戊绳二丈二尺八寸丁绳三
丈八尺七寸丙绳四丈四尺四寸乙绳五丈七尺三
历算全书 卷四十三 第 44b 页 WYG0795-0043b.png

偕丙一若丙四则偕丁一若丁五则偕戊一若戊六
则偕甲一而及泉故曰七百二十一非井深之定率
也
七百二十一者除法也以此为法除井深乘并之数而
得一绳因以知各绳即不得以此命为井深
除法法也井深实也而以法为实乎
以七百二十一为除法乃绳也如所求先得戊绳之数
历算全书 卷四十三 第 45a 页 WYG0795-0043c.png

九十六者乃七百二十一戊绳之共数也以戊绳七
百二十一为法除其共数而得七十六则是一戊绳
之数也故七百二十一者绳也五万四千七百九十
六者井深也(假如一井深七丈二尺一寸则七十六/井共深五百四十七丈九尺六寸井无)
(此深乘并而有也数犹戊绳之/七百二十一亦以乘并而得也)而顾以绳之积为井
深之积乎
假如井深一丈四尺四寸二分依法求之其为戊绳之
历算全书 卷四十三 第 45b 页 WYG0795-0043d.png

七百二十一以七百二十一为法除一百○九丈五
尺九寸二分得一尺五寸二分则一戊绳之数矣故
曰七百二十一者非井深也乃除法也绳也绳之为
除法者有定而其所除之井深无定也
又辄立母子乘并之法夫以各绳为母而借绳为子未
大失也盖于三绳中取一即是三之一于四绳取一
亦即四之一也乃谓七百二十一为母相乘而加借
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乘子与相乘而不相遇至第四次乃相遇而又适当
其变为一和一较之时异名相并故得此数以为除
法耳固不得立此以为通法也
假如问五色方程而各行不空则和较之变多端岂预
知其减并即使各行有空如所列而或为较数则有
减而无并亦将以借子加之乎
又所加之一乃子相乘之数若遇借子为之二之三则
历算全书 卷四十三 第 46b 页 WYG0795-0044b.png

今试以井深一丈四尺四寸二分者举例如后
假如有井深一丈四尺四寸二分以甲乙丙丁戊五等
绳汲之皆不及泉若甲借乙三之一乙借丙四之一
丙借丁五之一丁借戊六之一戊借甲二之一皆及
泉问绳各长若干
法以带分和数列位
上上 上下 中上 中下 下上 下下
历算全书 卷四十三 第 47a 页 WYG0795-0044c.png

依空位省算先以一行与五行对乘 甲减尽 乙
一戊十二皆无对不减 和数馀一丈四尺四寸二
历算全书 卷四十三 第 47b 页 WYG0795-0044d.png

分正负列之 和变较也 馀行无甲绳不须减
径以减馀与次行相对
依和较相杂法互乘 乙绳同减尽 丙一(左/正)戊三
十六(右/负)皆无减 和较数异并五丈七尺六寸八分
(右负/左正) 复变和数不分正负(隔行异名/并故也)
历算全书 卷四十三 第 48a 页 WYG0795-0045a.png

依和数乘 丙绳减尽 丁绳一(左/)戊绳一百四十
四(右/)皆无减 和数减馀二十一丈六尺三寸(右/)又
复变和数也分正负列之
馀行又无丙绳径以减馀与第四行相对
上 中 下
历算全书 卷四十三 第 48b 页 WYG0795-0045b.png

依和较相杂乘 丁同减尽 戊异并七百二十一
为法 和较数异并一百○九丈五尺九寸二分为
实 法除实得一尺五寸二分为戊绳六之一 以
减共一丈四尺四寸二分得一丈二尺九寸为丁绳
五除丁绳得二尺五寸八分为丁绳五之一 以
减共一丈四尺四寸二分馀一丈一尺八寸四分为
历算全书 卷四十三 第 49a 页 WYG0795-0045c.png

以减共一丈四尺四寸二分馀一丈一尺四寸六
分为乙绳 三除之得三尺八寸二分为乙绳三之
一 以减共一丈四尺四寸二分得一丈○六寸为
甲绳 二除之得五尺三寸为甲绳二之一 以
减共一丈四尺四寸二分得九尺一寸二分为
戊绳
计开
历算全书 卷四十三 第 49b 页 WYG0795-0045d.png

论曰此亦七百二十一为除法也减并之用与前无异
而井深既别绳数迥殊不先言丈尺何以定之
试又以较数明之
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之一以当甲取丙四之一以当乙取丁五之一以当
丙取戊六之一以当丁取甲二之一以当戊皆不足
七百一十九问若干
答曰甲一千○三十四 乙九百四十五 丙九百
○四 丁九百二十五 戊一千二百三十六
法以较数列位
依带分法化整为零
历算全书 卷四十三 第 50b 页 WYG0795-0046b.png

如法乘 甲同减尽 乙一(左/负)戊十二(右/负)皆无减
同名在隔行仍分正负 较数异并与戊同名 馀
行无甲径以减馀对第三行
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如法乘 乙同减尽 丙一(左/负)戊三十六(右/负)皆无减
以隔行同名分正负 较数异并与戊同名 馀
行无乙径以减馀对第四行
如法乘 丙同减尽 丁一(左/负)戊一百四十四(右/负)皆
历算全书 卷四十三 第 51b 页 WYG0795-0046d.png

名 馀行无丙径以减馀对末行
如法乘 丁同减尽 戊同减馀七百一十九为法
较数异并一十四万八千一百一十四为实 法
除实得二百○五为戊之一分加正七百一十九共
九百二十五为丁数 五除丁数得一百八十五为
历算全书 卷四十三 第 52a 页 WYG0795-0047a.png

四除丙数得二百二十六为丙之一分加正七百一
十九共九百四十五为乙数 三除乙数得三百一
十五为乙之一分加正七百一十九共一千○三十
四为甲数 二除甲数得五百一十七加负七百一
十九共一千二百三十六为戊数 六除戊数仍得
二百○六为戊之一分
计开
历算全书 卷四十三 第 52b 页 WYG0795-0047b.png

论曰此其母与母相乘子与子相乘与前略同但末后
相遇为同减故不以七百二十一为法而以七百一
十九为法无他较数也若依母相乘而并子岂不误
历算全书 卷四十三 第 53a 页 WYG0795-0047c.png

且四次乘减其下较皆异并亦足见奇减偶并之非
又以法同而得数迥异者明之
今有数五宗不知其总但云以乙三之一当甲以丙四
之一当乙以丁五之一当丙以戊六之一当丁皆适
足若以甲二之一偕戊则共数七百二十一问各若
干
法以和较带分列位 化整为零
历算全书 卷四十三 第 53b 页 WYG0795-0047d.png

甲同减尽 乙一(左/负)戊一十二(右/正)皆无减 一千四
百四十一亦无减 隔行异名即同名也变为和数
重列之与次行对
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乙同减尽 丙一(左/负)戊三十六(右/正)四千三百二十六
(右/正)皆无减 皆隔行异名亦变和数重列与第三行
对
丙同减尽 丁一(左/负)戊三十六(右/正)一万七千三百○
历算全书 卷四十三 第 54b 页 WYG0795-0048b.png

丁同减尽 戊异并七百二十一为法 八万六千
五百二十无减就为实 法除实得一百二十为戊
六之一即丁数 五除之得二十四为丁五之一即
丙数 四除之得六为丙四之一即乙数 三除之
得二为乙三之一即甲数 半之得一为甲二之一
历算全书 卷四十三 第 55a 页 WYG0795-0048c.png

计开
甲二 乙六 丙二十四 丁一百二十 戊七百二十
论曰此亦以七百二十一为法而其各数迥不相类则
以下数之为和为较迥不相同也然则井深者即和
数也而不先言其丈尺顾以除法命之可乎
又试以分子递借而非之一者明之
今有甲乙丙丁船各十只以载盐九千七百七十六引
历算全书 卷四十三 第 55b 页 WYG0795-0048d.png

则各能载问各船若干
法以和数列位
列后
历算全书 卷四十三 第 56a 页 WYG0795-0049a.png

正负 载盐馀五万九千八百五十六(左/)与丁同名
甲空与减馀对次行
乙同减尽 丙八(左/正)丁一千(右/负)俱无减 引异并六
十三万八千四百六十四(右负/左正)异名在隔行复变和
数无正负 乙空以减馀对三行
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丙减尽 丁馀九千九百七十六为法 引馀六百
三十万○四千八百三十二为实 法除实得六百
三十二引为丁船数 以丙借丁船三乘丁数得一
千八百九十六以减共九千九百七十六引馀八千
○八十丙所载也以丙十除之得八百○八引为丙
船数 以乙借丙船二乘丙数得一千六百一十六
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载也以乙十除之得八百三十六引为乙船数
以乙船数减共九千九百七十六馀九千一百四十
甲所载也以甲十除之得九百一十四引为甲船数
计开各船每只载数
甲船九百一十四引
乙船八百三十六引
丙船八百○八引
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论曰此四色方程递借法与诸书所载马骡载米同亦
与同文算指井不知深同但彼误以除法为井深又
误立各母递乘加借子法故设此问以显其理
此所用除法丁船九千九百七十六犹彼所用除法戊
绳七百二十一也乃除法也非井深也除法有定而
井深无定即如此问九千九百七十六之除法有定
而盐之数无定也何言乎无定假如以九千九百七
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船所载亦半矣然其除法之九千九百七十六如故
也若不先言引数何知之
共载九千九百七十六引者盐数也以九千九百七十
六为法而除者船数也船为法者算家虚立之率盐
列位者问者现据之实数数虽偶同为用迥别
以各原数为母借数为子是也如甲借乙船一而乙船
原有十即十分之一也谓母相乘而加借子一则非
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如后条马步舟师各借二分者又何以处之数虽似
不可施之他数非通法矣
又试以三色例亦用异加得除法者观之
假如有马步舟师不知数但云取骑兵五分之二益步
取步卒三分之二益舟取舟师七分之二益骑则皆
得六千七百八十名
答曰步卒四千五百名 骑兵五千七百名
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法以和数带分列位
依省笇以左行加二分之一 步卒减尽 骑二分
(右/)舟师十分○半(左/)皆无减 共数减馀三千三百
九十(左/)分馀两行变较数也 以较数与舟师同名
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依省算四因左行而退位 骑同减尽 舟师异并
十一分三釐为法 和较数异并六千一百○二为
实 法除实得五百四十为舟师之一分 以分母
七乘之得三千七百八十名为舟师数
以舟师数减共数六千七百八十馀三千所借步卒
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卒数
以步卒数减共数六千七百八十馀二千二百八十
所借骑兵之二分也 二除之分母五乘之得五千
七百名为骑兵数
论曰此虽以异加而得除法然不得竟以子之二加也
故以分子一加者非通法也
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历算全书卷四十三