钦定四库全书
　历算全书卷四十三
　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰
　方程论卷四
　　刋误
古之为学也精故其立法也简而语焉不详阙所疑而
敬存其旧无臆参焉斯善学也已不得其理而强为之
解以乱其真古人之意乃不可见矣意不可见而讹谬

相仍如金在沙淘之汰之沙尽而金以出故刋误次之
　方程之误厥有数端
一曰立负之误(立负误也四色五色期于立负以为法/误之误也自骡马递借一问诸书沿讹)
　(而加减之/误因之矣)
一曰加减之误
　同加异减一误也(误沿于牛羊豕相易之一/问由不知正负之有更也)
　奇减偶加二误也(误沿于桃梨问价以/不知和较之交变也)
一曰法实之误(以上为法下为实拘也以/法必少实必多亦谬也)

一曰并分母之误
一曰设问之误(如井不知深而以除法/为井深问中先已大误)
　立负辨
立负非古人法也何以知之有负则有正今立负而不
　言正非正负之本旨也或曰有正则有负则言负可
　不言正矣是又不然凡和之变而较也有减其和数
　而尽者亦有减其和数而馀者其减而尽者命为适
　足而无较数则但言此之为负以见彼之为正可矣

　若减而馀者是有较数也而但言负不言正何以知
　其较数必与正物同名乎即使同名而竟不明言其
　为正何以分别同异而为加减乎至于以有空位而
　立之负则又不可何也和之或变而较也固不必以
　空位也但减馀分在两行而兼用之即变较数矣今
　必以有空位者而立之负则无空位者即不立负乎
　然则和数之无空位者终于同减而无异并乎将进
　退失据矣故曰非古人法也

凡言正负者分其物以相较也不言正负者合其物以
　言数也皆自然而有之名非立之也而立负乎哉夫
　不知正负之出于自然而强立之负则同异之旨淆
　而加减之用失种种谬误缘之以生故谨为之辨
　今以诸书所载立负例考定如左
假如米四石二斗以马一骡二驴三载之皆不能上坡
　若马借骡一骡借驴一驴借马一则各能上坡问马
　骡驴力各几何

　答曰马力二石四斗　骡力一石八斗　驴力六斗
法各以和数列位(马借骡一则一马一驴也骡借驴一/则二骡一驴也驴借马一则三驴一)
　(马也各以其本数加借数而/列之干方程法则和数而已)
　
　
　
　此三色有空法也中行无马原只二色故不须乘减
　但先以左右两行首位不空者对乘　又因两行马

　数皆一乘皆如故故径以对减马减尽　右骡一左
　驴三皆无对不减　米各四石二斗亦对减而尽
　乃视减馀骡一在右行驴三在左行分在两行是有
　正负也　米亦减尽是正负适足也重列之
论曰此和数变为较数也何以言之两行之马相若而
　其载物又相若则其所偕以共载之骡一与驴三其
　力亦自相若矣故命之适足适足者以两相较而成
　故曰变为较数也然谓之适足可也谓一行俱减尽

　则不可也减尽者同类之物而其数又同故物与数
　俱减尽也适足者物非同类而其物之积数则同故
　其物不能减尽而数则减尽也物不同而数同故曰
　适足也适足者存之为用也物数俱减尽者清出其
　一色而不复用也如此三色中虽不能遽知各力然
　已知驴三骡一之适相当矣则已清出马之一色而
　变为二色矣此递减立法之意也
又论曰减馀适足则有正负矣其原列只是和数无正

　负也诸书以递借一匹之故而列之曰借又别其本
　数曰正不知正与负对非与借对也虽递借一匹其
　实是本有之头匹与所借之头匹共载此米故曰和
　数逮减馀乃变为较耳故减馀适足宜言正负也而
　诸书但立负原列和数无正负也而忽分正借又不
　立负于减之后而立于其先正也借也立负也三者
　相乱而靡有指实古人之法固如是乎哉
　次以中行原数与减馀对列　因中行马空故径求也

　
　
　　此和较杂也　减馀分正负　中行原无正负
　以减馀骡负一遍乘中行如故(较乘和也数虽如故但皆/以乘法之名名之为负)
　又以中行骡二遍乘减馀得数(和乘较也故仍/其正负之名)
　骡同减尽　驴异并得七为法　四石二斗无减就
　为实　法除实得六斗为一驴之力　三因驴力得
　一石八斗为一骡之力(适足/故也)以骡力一石八斗减四

　石二斗馀二石四斗为一马之力(原右/行数)
论曰减馀原是骡一与驴三力等乘后得数则骡二与
　驴六亦等也然则于中行共力中减去二骡而以相
　等之六驴益之其共之四石二斗亦必与原载等也
　故并此六驴与原列一驴共七为法以除此四石二
　斗而驴力可知也　驴三与骡一既等则三驴之所
　载即骡力也　骡与马各一共四石二斗则减骡力
　即马力也

又论曰此因中行有空故径求也使其不空自当与左
　行或右行遍乘而减去其马与其数乃列两减馀如
　二色求之此常法也今中行马空原只二色恰与减
　馀之二色相对故径相乘减是省一算也诸书皆言
　因左行骡空故立负骡一与中行对乘不知左行骡
　空而右之骡一无减犹右之驴空而左之驴三无减
　也其与中行相对乃用此两色之减馀非独用左行
　也盖左行有马中行无马原无对乘之理亦犹之右

　与中不可对乘惟减馀是二色可以对乘虽云径求
　实自然之理势也而强立之负以用左行乎
有正斯有负立负骡于左行为与何物相对耶以马一
　为正耶驴三为正耶其马一驴三皆正耶既无所指
　则负为徒立矣
凡言正负者其下数必为正与负之较今所用左行之
　四石二斗者为是骡一与驴三相较之数耶骡一与
　马一相较之数耶将合马一驴三与骡一相较之数

　耶则皆无一合矣
凡物有正负者其较数亦有正负此四石二斗者正耶
　负耶若无正负即是和数不应立负骡矣
若以四石二斗为和数则更非理夫以马一驴三之共
　数加一骡力而其数如故理所无也若去一马用一
　骡而与驴三共此米抑又不能马与骡之力原不同
　乃去一马加一骡而其数如故理所无也然则此四
　石二斗安属耶彼惟不知四石二斗之减尽即为适

　足故误至此也
又谓右行俱减尽不知减尽必两行数同如马一与米
　四石二斗也若骡一驴三固未尝有减也况尽乎方
　程立法原以对减有尽不尽而得其朕兆若三色俱
　减而尽其算不立矣惟不知有空位者可以径求而
　误以所用之减馀为是左行之原数故也
凡减尽者两俱减尽不应右减尽而左行独存若谓复
　用左行之原数何以不用原列之马一而加一负骡

　以为马一减去故不用则四石二斗何既减而复存
　耶故以立负骡减马一为用减馀之法则四石二斗
　不宜存四石二斗为用原列之法则马一不宜减负
　骡不宜立破两法而参用之一不成矣承讹者迁就
　多岐抑奚足怪
　今试以减馀更置则先得骡力如后图

　如前法以一和一较遍乘得数　驴同名减尽　骡
　异并得七为法　正十二石六斗无减就为实　实
　如法而一得一石八斗为骡力以驴三除相当一骡
　之力得六斗为驴力(任于原列左行或右行如/法减驴力或骡力得马力)
论曰凡减馀重列之数皆可更置互求何则皆实数也
　三色减去一色即二色法矣若干减馀之适足加以
　四石二斗则不可以互求故知其误
　又试以原列更置之先减去骡如后图

　
　
　
　
　如法先以右中遍乘　骡减尽　中行驴一　右行
　马二皆无减分正负列之　载米馀四石二斗在右
　行与马同名　左行骡空故径与减馀相对　依和
　较杂法乘之　驴同减尽马异并七为法　载米异

　并十六石八斗为实　法除实得二石四斗为马力
　　以马力减四石二斗馀一石八斗得骡力　以马
　力倍之同减四石二斗馀六斗得驴力
　试又更之如后图
　
　
　
　

　如前法先以右中两行遍乘减去驴馀马一骡六皆
　无减分正负载米馀八石四斗在右与骡同名
　乃重列之如前法径与左行相对遍乘　马同减尽
　　骡异并七为法　载米异并十二石六斗为实实
　如法而一得骡力以次得驴马力皆如前
论曰凡诸色方程其上下皆可互更如上二图以空位
　径求之法求之无所不合也
　又试以原列无空而减馀适足者为例如后

假如有三车三橐驼七牛各欲载物六十四石而皆不
　能胜若车借驼牛各一驼借车牛各一牛借车驼各
　一则皆能载问三者力若干
　答曰车二十四石　橐驼十二石　牛四石
法以和数列位
　
　
　

　如法乘　车皆减尽　甲乙两行减馀皆在乙行和
　数也　乙丙相减馀乙驼二丙牛六是有正负也
　载物减尽适足也(乙丙载物减尽则不但对减去之/物适相当而其减馀之驼二牛六)
　(其力亦适相当也虽欲/不命之适足不可得矣)
　乃以和较杂重列之
　
　
　依一和一较法求得牛三十二为法　载物一百二

　十八石为实　法除实得四石为牛力　牛六共力
　二十四石以相当之驼二除之得十二石为驼力
　以牛力驼力减六十四石馀四十八石车二除之得
　二十四石为车力(用右行/原数)
论曰此亦以和变较而有适足之数也岂以有空位而
　立之负乎可以悟其非矣
　试更以较数求之
假如运粮以象马牛车三种但云接运时以三象所载

　与四牛车二十四马载之则馀三十六石以八牛车
　所载与二象十二马载之亦馀三十六石以七十八
　马所载与二象二牛车载之亦馀三十六石问各若干
　答曰象七十二石　牛车二十七石　马三石
法以较数列位

　如法互乘减并重列其馀(中行每加二分一则首位/象与右齐同可对减矣其)
　(中左象本同径以/对减皆省算法也)
　
　
　依省算法求得马三十载九十石以马除载得三石
　为马力　马九十载二百七十石牛车十除之得二
　十七石为牛车力　合计牛车四马二十四共载一
　百八十石异加正三十六石象三除之得七十二石

　为象力(用右行/原数)
论曰此原列较数也而其较数亦有减而适足者然则
　先无适足减之而成适足者往往有之矣
惟适足故分正负非以空位而立负也故知减馀之亦
　有适足而复用左行者非矣知用减馀而非用左行
　则立负之非不攻而破矣
　同加异减辨
同名相减则异名相加矣诸书所载忽而同减者忽而

　异减忽而异加者忽而同加岂不谬哉又为之说曰
　以正为主则同减而异加以负为主则异减而同加
　又为之说曰同名相乘则其下同减而异并异名相
　乘则其下异减而同并言之缕然用之纷然而要之
　非是也夫同名相减即如盈朒章两盈两朒相减也
　异名相并即如盈不足相并也岂有同加异减之理
　乎所以误者不知正负交变之法也正负宜变而不
　变则首位之异名者何以能对减而尽乎不得不迁

　就其法同加异减矣苟知其变则首位必同名首位
　既同名则凡减皆同名凡加皆异名较若画一何必
　纷纷强为之说乎
凡减馀重列有仍其负正如故者亦有更其正负绝非
　其故者且有先无正负及其重列而有正负者有先
　分正负及其重列之而反不分者若但以初名为定
　则加减皆舛矣
假如同减之馀分在两行而为同名(或左馀正右亦馀/正或左馀负右亦)

　(馀/负)则重列必为异名矣必变其一行之名而列之而
　其下所馀数必是此二异名物之较数也若无馀数
　必是此二异名物相当适足也(此以三色言之若四/色以上减馀位数多)
　(者皆仿/此论之)
若同减之馀分在两行而为异名(或左馀正而右馀负/或左馀负而右馀正)
　则重列必为同名矣而其下所馀数必是此二同名
　物之和数也(此亦以三色言之其/减馀只二色故也)则其原列正负之
　名皆不用矣

若异并者尤为易见何也凡异并者正与负并也正与
　负并则如一物矣故重列之际必以一行为主而定
　其名(或为正或为负或/变和数则无正负)若但守初名而不知所变将
　一物而名之正又名之负乎必不然矣兼此数端知
　正负之交变出于自然非强名也(不知正负之变亦/不知和较之变矣)
　(故又有奇减/偶加之误也)
　今以诸书所载同加异减例考定如左
假如以牛二羊五作价易猪十三剩价五两以牛一猪

　一易羊三适足以羊六猪八易牛五不足三两问价
　各若干
　答曰牛价六两　羊价二两五钱　猪价一两五钱
列所问数
　
　
　
　先以右行牛正二遍乘中左两行得数(中右首位同/名故正负不)

　(变右左首位异名故变左行之/正负以从右亦为以少从多)
　次以中行牛正一遍乘右行皆得原数　乃以中右
　两得数对减　牛各正二同名减尽　羊异名(右正/五中)
　(负/六)并得十一猪异名(右负十三/中正二)并得十五　价无减
　(右正五两/中适足)仍得五两　于是分正负以价与羊为同
　名而重列之(羊右正中负猪右负中正故仍为较数/价与羊同为正于右行故仍为同名)
　次以左行牛负五遍乘右行得数(左行既变以从右/则右行不变仍其)
　(正/负)乃以左右两得数对减　牛各正十同名减尽

　羊异名(右正廿五/左负十二)并得三十七　猪同名(右负六十/五左负一)
　(十/六)减馀四十九(在/右)　价同名减(右正二十五/两左正六两)馀十九
　两(亦在/右)　于是亦分正负亦以价与羊同名而重列
　之　羊与馀猪原分正负于右故仍为较数价与羊
　同为正于右故同名
列两减馀
　
　

　如法以两正羊遍乘得数　乃对减　羊同减尽
　猪同减馀十六为法　价同减馀二十四两为实法
　除实得一两五钱为猪价　以猪十五价二十二两
　五钱异加正价五两(共二十七/两五钱)羊十一除之得二两
　五钱为羊价　任于原列中行羊三价七两五钱内
　减猪价一两五钱馀六两为牛价
论曰凡列正负可以任意呼之要在知下价之于正负
　孰为同名耳若乘后得数则其首列一位必以同名

　而相减故正负有时变而其价之正负从之变矣故
　同异加减必以乘后得数而定也如此所列左右行
　先为一正一负异名之价而乘后得数必为同名之
　价何也两价皆与牛同名而牛在首列得数必同名
　故也若以羊更置首列则两价得数必异名何也价
　与羊于右同名而于左异名也
　试更列之于后
上　　　　中上　　　中下　　　下

　
　
　
　如法以中行羊与左右两行互遍乘得数相减　羊
　同减皆尽　右中牛异并三十七　猪异并一百十
　八　价异并四十五两(价与牛/同名)中左牛同减馀九
　猪异并三十　价九两无减(与牛/同名)
　乃以两减馀各分正负而重列之

　
　
　如法以牛互遍乘而变左行之正负以相从　牛同减
　尽　猪同减馀四十八为法　价同减馀七十二两为
　实　法除实得猪价以次得牛羊价合问　试又更之
　
　
　

　如法以中行猪与左右两行互遍乘得数相减　猪同减
　皆尽右中羊异并一百十八(右负/中正)　牛同减馀四十九(馀/负)
　(在/中)　价同减馀一两(馀负/在右)　分正负(以价与/羊同名)　左中羊异
　并三十(中正而/左负)　牛异并十三(中负/左正)　价三两无减(中之/负数)
　　亦分正负(以价与/牛同名)　皆重列之
　
　
　如法互乘羊同减尽牛同减馀六十四两为法价异并三

　百八十四两为实法除实得牛价六两以次得羊价猪价
论曰反覆求之皆同减异加别无他术可见古人立法之简快
　奇减偶加辨
方程立法只同名相减异名相加尽之(和数有减无并皆/同名也较数有减)
　(有并或同名或异名也/和较交变故减并相生)不论二色三色四色乃至多色
　皆一法也今诸书不察偶见瓜梨一例有奇减偶加之
　形不得其解遂执为四色之定法而不知通变使方程
　一章之法为徒法而莫可施用深可惜也故覼缕辨之

　今将瓜梨一问考定如后
假如有瓜二梨四共价四十文又梨二榴七共价四十文榴
　四桃七共价三十文瓜一桃八共二十四文问各价几何
　答曰瓜八文　梨六文　榴四文　桃二文
法以和数列位　依四色有空以省算法求之

　
　惟甲丁两行有瓜如四色故先以相乘　瓜减尽
　甲梨四丁桃十六皆无减　价馀八文　分正负(梨/甲)
　(桃丁/故也)以价与桃同名(同在丁/行故也)　瓜减尽矣而馀行皆
　无瓜则只三色故径以减馀之数与乙行相对
　
　
　如法互乘　梨同减尽　榴二十八(左/正)桃三十二(右/负)皆

　无减价异并一百七十六文(右负/左正)
　隔行之异名乃同名也以和数列之不分正负
　又以馀行无梨则只二色径以减馀与丙行列之(于/后)
　
　
　如法乘减榴减尽馀桃六十八为法价一百三十六文为实
　法除实得桃价二文　以丙行桃七价十四文减共三
　十文馀十六文悉榴价也榴四除之得榴价四文　以

　乙行榴七价二十八文减共四十二文悉梨价也梨
　二除之得梨价六文　以甲行梨四共二十四文减
　共四十文除十六文悉瓜价也瓜二除之得价八文
论曰此和数变为较数而较数复变和数也何以言之初次
　减馀价八文乃桃多于梨之价故曰变为较数也(桃十六/价三十)
　(二文梨四价二/十四文差八文)何以知之馀数分在两行也(桃十六在丁/行梨四在甲)
　(行/)何以知桃多于梨桃与价同在丁行故同名也然所
　用分正负者是甲丁两行之减馀非但以丁行空位而

　立负也又因乙丙瓜位皆空故用此减馀径与乙行相对
　是省二算也乃径求也非专用丁行为主也减馀较也乙
　行和也一和一较故有异名相并而非以偶行故加也
若第二次减馀则复是和数何也其相并一百七十六文
　乃桃榴之共价(桃三十二价六十四文榴二/十八价一百十二文共此数)而非其较
　数故曰复变和数也何以知之桃与榴虽分馀于两行
　而异名然隔行之异名乃同名也(乙行榴正价亦正减/馀桃负价亦负兼而)
　(用之变为/同名矣)至于立负之非此尤易见盖既变和数无正

　负矣虽两遇空而无减岂得谓之立负乎又因丙行梨
　亦空故径用减馀与之对减是又省一算非以丁行对
　丙行也而顾曰立负榴于丁行误之误矣减馀变和丙
　行相对是两和也故有减而无并也而岂以奇行之故
　而减也乎哉　今试以甲丁之行易之则加减全非矣
　
　
　

　
　如法以甲丁行对乘减瓜尽　桃十六(甲/)梨四(丁/)皆
　无减　价相减馀八文(甲/)　乃分正负以价与桃同
　名而重列之与乙行相对
　
　
　如法乘　桃同减尽　榴六十四(左/正)梨二十八(右/负)皆
　无减　价同减馀四百二十四文　依前论隔行之异

　名即同名也不分正负而重列之与丙行相对
　
　
　如法减榴　馀梨六十八为法　四百○八文为实
　　法除实得梨价六文以次得诸物价皆如前
论曰此但更其前后之行耳而价皆同减无异并可见
　奇减偶加之非通法矣　又试以上下之位而更之
　

　
　
　
　如法以甲丁先乘减去梨尽　馀榴二十八(甲/)瓜四
　(丁/)皆无减　价相减馀八十文(甲/)依前论分正负以
　价与榴同名而重列之与乙行相对

　如法乘减榴尽　馀桃一百九十六(左/正)瓜一十六(右/负)
　皆无减　价相减馀五百二十文(左/正)依前论复变和
　数不分正负而径与丙行重列之
　
　
　如法减桃　馀瓜六十八为法　价五百四十四文
　为实　法除实得瓜价八文以次得诸物价皆如前
论曰此亦有同减无异加固不以奇偶之行而有别也

　若以甲丁减馀更置之则亦有异并之用如后图
　
　
论曰此下价何以并异名故也何以异名凡一和一较
　方程在和数行者其得必与较首位同名故其较数
　之价与首位同名者则亦与和价同名也其与首位
　异名者与和价亦异名也
先用丙行何也以有瓜故可与馀瓜相减亦可见行次

　之非定也　理之不定乃其一定凡事尽然泥一端
　以定之转不定矣
又论曰此亦复变为和数也何以知之正榴正价皆右
　负桃负价皆左以之并为一行则无正负矣盖隔行
　
　
　
　如法减桃　馀榴六十八为法　价二百七十二文

　为实　法除实得榴价四文以次得诸物价皆如前
论曰兼此数端知加减非关行数矣
统宗歌曰四色方程实可誇须存末位作根芽若遇奇
　行须减价偶行之价要相加诸书仍讹又推而至于
　五色六色皆云以末位为主而自首行以往皆与之
　加减至其所以加减者又皆以行之奇偶如一行三
　行五行奇数也则价与末行减二行四行偶数也则
　价与末行加而不言同异名将奇行者皆同名乎偶

　行者皆异名乎未可必也不知彼所设问各行递空
　两位势必挨列虽云四色乃四色之有空者耳非四
　色之本法也(省算卷辨之极/详可以互发)既挨列矣馀行之首一
　色皆空不须乘减惟末行首行相对可以互乘非用
　末行乃用上一色相对之行耳使上一色不空者在
　中二行而末行反空又当以中行先用矣虽欲以末
　行为主得乎
至于第二次重列而乘减者乃用首行末行相减之馀

　也非专用末行也盖两行相减乃生馀数若谓之用
　末行亦可云用首行矣
又因各行多空故径以减馀与次行乘减得数又径以
　减馀与三行乘减乃省算之法于末行毫不相涉也
且方程之行次非有定也其前后可以互居左右中可
　以相易亦何从而定之为末行乎末行无定矣又安
　有奇偶之可言乎而以是为加减之定法乎
然则恶乎定曰详和较以列减馀别同异以定加减苟

　其和数也虽空无减不立正负也苟其较数也虽无
　空位分正负也此列减馀之法也但同名者不论何
　行皆减但异名者不论何位皆加此定加减之法也
　如是而已
　法实辨
算家法实皆生于问者之所求如有总物若干总价若
　干而问每物若干价则是以物为法价为实也或问
　每银一两得若干物则是以价为法以物为实也诸

　算尽然则方程可知矣算海说详曰中馀为法除下
　实盖本统宗然其说非也同文算指曰以少除多其
　说亦非也何以明之曰方程法实犹诸算之法实也
　故必于问者之所求详之中下多少非可执也
假如和数方程有物若干又物若干共价若干是物之
　位在上中而价之位在下也若问每物之价而以物
　为法银为实是中除下也固也或问每银一两之物而
　以银为法物为实又当以下除中矣不知问者之所

　求以物求价乎以价求物乎愚故曰中下难执也
又物之价值莫可等计有贱于银之物以一两而得数
　千百斤有贵于银之物以数十百金而得一物假如
　有贵物若干又若干共价若干是物之数少而银之
　数多也而问每物之价谓之以少除多似也若问每
　银之物不又当以多除少乎又如有贱物若干又若
　干共价若干是物之数多而银之数少也而问每银
　物若干谓以少除多可也若问每物价若干不且以多

　除少乎惟以多除少故有不满法之实实不满法故
　有以法命之如云每银一两于物得几分之几者是
　也其物多除银少者则有退除为钱若分釐故曰多
　少难拘也
多少中下既不足以定法实则法实安定曰亦惟于问
　意详之而已　今具例如后
论曰方程法实只是以下一位与上中数位相须为用
　耳故有实一而法二其三色者则有实一而法三若

　以下除中者则有法一而实二或法一而实三故用
　互乘之法以减之及其用也则只是一法一实而已
　二色者互乘而对减其一则一法一实也三色者对
　减其一又对减其一亦一法一实也四色五色其法
　悉同此方程立法之原也
问河工方九百尺以当筑城八百尺城多一工以河工
　七百二十尺当城工七百尺城多二工问每工一日
　若干尺

　答曰河工每日六十尺　城工每日五十尺
　
　
　如法乘减　馀城工五万四千尺为实　工一千○
　八十为法法除实得每工五十尺为城工每日之数
　以城工五十尺除右行八百尺得十六工同减负一
　工馀十五工以除河工九百尺得每工六十尺为河
　工每日之数

论曰此以下除中也缘所问每工一日土若干尺以工
　求土也故以工为法土为实若拘中法下实则法实
　反矣
若问每土千尺该用几工则当以五万四千尺为法
　一千○八十工为实法除实得百分工之二是为每
　城工一尺之数以所问每千尺乘之得二十工是为
　城工每千尺用工二十日也　若用异同除则以土
　千尺乘一千○八十工得一百○八万工为实以法

　五万四千尺除之得二十工为城工每千尺之数亦
　同
　于是以二十工乘八百尺(用右行/原列)千尺除之得十六
　工减负一工馀十五工河工九百尺数也以九百尺
　除十五工得百分工之一又三分之二河工每尺数
　也以问千尺乘之得十六工又三分工之二为河工
　千尺之数　用异乘同除以千尺乘十五工得一万
　五千工九百尺除之得十六工又九之六约为三之

　二亦同
问开渠十七工筑堡二十工共以立方计者一千六百
　八十尺又渠三十工堡四十工共三千二百尺今欲
　计土续工则每百尺得几工
　答曰开渠每土一百尺(二工/半)筑堡每土一百尺二工
　
　
　如法乘减　馀堡工八十为实　土四千尺为法

　法除实得每尺百分工之二以百尺乘之得二工为
　筑堡每百尺之工(或异乘同除以百尺乘八十工得/八千为实以法四千尺除之亦得)
　(每百工/二工)　以左行堡工四十乘百尺二工除之得二
　千尺以减共三千二百尺馀一千二百尺渠土数也
　用除渠工三十得百分工之二半以百尺乘之得二
　工半为开渠每百尺之工(或异乘同除以百尺乘三/十工得三千以一千二百)
　(尺除之亦得每/百尺二工半)
论曰此亦以下法除中实也缘所问以土求工故也又

　为以多除少盖土之数原多于工也故退除而得其
　分秒而所问者每百故又有异乘同除之用也
　并分母辨
自方程笇失传有可以方程立算亦可以差分诸法立
　算者则皆收入诸法而不知用方程如愚末卷所载
　方程御杂法是也有实非方程法而列于方程如同
　文算指所收菽麦畦工诸互乘之法是也有可以方
　程算而不用方程漫以他法强合而漫谓之方程如

　并分母之法是也诸互乘法非方程易知不必辨故
　专辨分母
问甲乙二窖不知数但云取乙三之一益甲取甲二之
　一益乙则各足二千石
　答曰甲窖一千六百石　乙窖一千二百石
　
　
原法曰列位互乘甲得六千石乙得四千石相减馀二

　千石为实并两分母共五为法除之得四百石以乙
　分母三乘之得一千二百石为乙窖以乙窖减二千
　石馀八百石以甲分母二乘之得一千六百石为甲
　窖
论曰此法不然乃偶合耳若分母为三与四即不可用
　或分子为之二之三亦不可用况方程法原无平列
　两色物之理而此独平列既平列矣又何以先得乙
　窖皆不合也今以方程本法御之则无所不合

依带分化整为零法列位
　
　
　如法乘减　甲减尽　馀乙五分为法　馀二千石
　为实　法除实得四百石为乙之一分以乙分母三
　乘其一分得一千二百石为乙窖　以乙之一分减
　二千石馀一千六百石为甲窖
论曰此亦用五分为法也然为得数相减之馀非并分

　母也所用之实亦二千石然为甲分互乘之数相减
　非甲乙两分母互乘相减也
　亦先得四百石为乙三分之一然以乙列于中甲列
　于上故先减去甲而馀乙为法以先得乙之分若列
　乙于上则亦先得甲分矣试更列之以先求甲窖
　
　
　如法乘减　乙减尽　甲馀五分为法　馀四千石

　为实　法除实得八百石为甲之一分以甲分母二
　乘之得一千六百石为甲窖
　以甲之一分减二千石馀一千二百石为乙窖
论曰凡方程有各色皆可更列其上下以互求而任先
　得其一色何也其互乘而对减者皆实数也若并分
　母为法则无实数可言故不可以互求
愚于带分言之备矣或化整为零(如上所列/二例是也)或变零从
　整或除零附整共有三法凡带分者皆可施用若并

　分母为法则多所不通矣　凡此皆诸书沿误而同
　文算指亦皆收入未尝驳正也
　试以分母非三与二者求之
假如有句股不知数但云以股四之一益句以句三之
　一益股则皆二丈二尺问句股各若干
　答曰句一丈八尺　股一丈六尺
依化整法列位
上　　　　中　　　　　下

　
　
　如法乘减　馀股十一分为法　四丈四尺为实
　法除实得四尺为股之一分以股分母四乘其一分
　得一丈六尺为股
　以股之一分减共二丈二尺馀一丈八尺为句
论曰此十一为法也若以股列于上则亦十一分为法
　也如并分母将以七为法其能合乎

　又试以分子非之一者求之
假如有股与弦不知数但云若取弦六分之二以益股
　则五丈五尺若取股三分之二以当弦则少五丈五
　尺问若干
　答曰股三丈　弦七丈五尺
法以一和一较依化整法列位
　
　

　如法互乘　股同名减尽　弦异名并得二十二分
　为法　数异名并得二十七丈五尺为实　法除实
　得一丈二尺五寸为弦之一分以弦分母六乘其一
　分得七丈五尺为弦　以弦之二分二丈五尺减共
　五丈五尺馀三丈为股
论曰此以二十二为法也若以弦列于上则亦二十二
　为法也而并分母是将以九为法矣岂不毫釐千里
　乎

　以上数则皆不可并分母为法
问者或云甲乙仓粟不知数但知共二千石其甲二之
　一与乙三之一等各若干
　答曰甲八百石　乙一千二百石
法以和较杂列位亦用化整为零
　
　
　遍乘甲同减尽　乙异并五分为法　二千石无减

　为实　法除实为乙之一分　以乙分母三乘其一
　分得一千二百石为乙仓　因适足故乙之一分犹
　甲之一分也以甲分母二乘之得八百石为甲仓
论曰惟此有似于并母然实非并分母乃并得数之异
　名者也又按并母法与方程不同
假如有仓粟取三之一又二之一共计二千石问原数
　若干
　答曰原数二千四百石

　
　
　法以两母互乘其子而并之得五为法　以两母相
　乘得六以乘二千石得一万二千石为实　法除实
　得二千四百石为原仓之粟
论曰此即并母法也因两分子皆一故并母用之实并
　两分母互乘其子之数也盖既曰三分二分其原数
　必可以三分之又二分之者也故以两分母相乘得

　六借为原数之衰原数六则三之一即二也二之一
　即三也并而用之借为所取之分如云取原数六分
　之五而二千石也六分之五为二千石则其全数必
　二千四百石矣此通分法非方程
　设问之误辨
算家设问以为规式意虽引而不发数则实而可稽苟
　其稽之而无有真实可言之数则其意不能自明而
　何以为式乎至其立法之多违于古皆以不深知算

　理而臆见横生又相因而必至也故以设问为之目
今将同文算指所载井不知深例考定如后馀如此者
　尚多不能一一为辨也(钱塘吴信民九章比类亦载/是例非同文创立也盖方程)
　(之沿误/久矣)
问井不知深以五等绳度之用甲绳二不及泉借乙绳
　一补之及泉用乙绳三则借丙一用丙绳四则借丁
　一用丁绳五则借戊一用戊绳六借甲一乃俱及泉
　其井深若干五等绳各若干

原法曰列五行以五绳之数为母借绳一为子先取甲
　二乘乙三得六以乘丙得二十四以乘丁得一百二
　十以乘戊得七百二十并入子一共七百二十一为
　井深积列位
一甲二　乙一　　○　　○　　　○　七百二十一
二○　　乙三　　丙一　○　　　○　七百二十一
三○　　○　　　丙四　丁一　　○　七百二十一
四○　　○　　　○　　丁五　　戊一　七百二十一

五甲一　○负一　○负一　○负一　戊六　七百二十一
　乃取五行为主而以一二三四俱与相乘
　先以一行甲二遍乘五甲(甲一得二戊六得十二积/七百二十一得一千四百)
　(四十/二)
　五行甲一亦遍乘一行对减(甲得二减尽乙得一因/五行乙空立负一积七)
　(七百二十一本数以减/五行仍馀七百二十一)
　次以二行乙三乘五行(乙负一得负三戊正十二得/三十六积七百二十一得二)
　(千一百/六十三)

　五行乙负一亦乘二行(乙三得三对减尽丙一得一/因五行丙空立负一积七百)
　(二十一得本数并入五行/积共二千八百八十四)
　再以三行丙四乘五行(丙负一得四戊正三十六得/一百四十四积二千八百八)
　(十四得一万一/千五百三十六)
　五行丙负一亦乘三行(丙四得四减尽丁一得一因/五行丁空立负一积得本数)
　(与五行对减馀一/万○八百一十五)
　又以四行丁五乘五行(丁负一得五戊正一百四十/四得七百二十积一万○八)
　(百一十五得五万/四千○七十五)

　五行丁负一亦乘四行(丁五得五减尽戊一得一并/入五行戊正七百二十共七)
　(百二十一积得本数并入五行积五万四/千○七十五共五万四千七百九十六)
　乃以最后所得求之以积五万四千七百九十六为
　实戊七百二十一为法除之得戊绳七尺六寸以减
　四行总积(七百二/十一)馀六百四十五以丁五除之得丁
　绳一丈二尺九寸以减三行积(七百二十/一后同)馀五百九
　十二以丙四除之得丙绳一丈四尺八寸以减二行
　积馀五百七十三以乙三除之得乙绳一丈九尺一

　寸以减一行积馀五百三十以甲二除之得甲绳二
　丈六尺五寸
论曰此一例中有数误　一者以末行为主而以一二
　三四与之相乘此由不知和较交变而沿奇减偶加
　之失误一　一者谓末行有空故立负由不知有空
　径求而沿立负之非误二　一者以除法命为井深
　而设问不明言丈尺误三　又辄立母递相乘加借
　子一之法误四　一例中误至数端将令学者何所

　措意乎
前之两误(谓以未行为主而奇/减偶加反立负之法)业于瓜梨诸例辨之綦
　详可以互见今特明后两误之非具如后论
凡言百十者皆虚位也其实数以单位为端故单位为
　寸则十者尺百者丈若单位为尺则十者丈百者十
　丈若单位为丈则十者十丈百者百丈七百二十一
　以为井深不知其所谓一者尺乎寸乎丈乎若七百
　二十一尺七百二十一寸七百二十一丈相去甚悬

　然其为七百二十一者不殊也先不明言尺寸虽得
　数何以命之
详观问意乃借井深以知各绳故井深者和数也在各
　行中皆所列诸绳之共数必先知此共数然后以乘
　减之法求之而各数乃见矣而不先言井深转借各
　绳以求之方程中无此法也故其所得但为七百二
　十一之虚率而不能断其为丈尺何等亦固然耳
七百二十一亦非井深定率何也倍七百二十一则一

　千四百四十二若三其七百二十一则二千一百六
　十三推之以至于无穷凡可以七百二十一除之而
　尽者皆可以五等绳相借而及泉也故使其井为一
　丈四尺四寸二分之深则戊绳必一尺五寸二分丁
　绳必二尺五寸八分丙绳必二尺九寸六分乙绳必
　三尺八寸二分甲绳必五尺三寸矣使其井为二十
　一丈六尺三寸之深则戊绳二丈二尺八寸丁绳三
　丈八尺七寸丙绳四丈四尺四寸乙绳五丈七尺三

　寸甲绳七丈九尺五寸矣皆甲二偕乙一若乙三则
　偕丙一若丙四则偕丁一若丁五则偕戊一若戊六
　则偕甲一而及泉故曰七百二十一非井深之定率
　也
七百二十一者除法也以此为法除井深乘并之数而
　得一绳因以知各绳即不得以此命为井深
除法法也井深实也而以法为实乎
以七百二十一为除法乃绳也如所求先得戊绳之数

　则此七百二十一者即是戊绳也其五万四千七百
　九十六者乃七百二十一戊绳之共数也以戊绳七
　百二十一为法除其共数而得七十六则是一戊绳
　之数也故七百二十一者绳也五万四千七百九十
　六者井深也(假如一井深七丈二尺一寸则七十六/井共深五百四十七丈九尺六寸井无)
　(此深乘并而有也数犹戊绳之/七百二十一亦以乘并而得也)而顾以绳之积为井
　深之积乎
假如井深一丈四尺四寸二分依法求之其为戊绳之

　共数必一百○九丈五尺九寸二分而其戊绳亦必
　七百二十一以七百二十一为法除一百○九丈五
　尺九寸二分得一尺五寸二分则一戊绳之数矣故
　曰七百二十一者非井深也乃除法也绳也绳之为
　除法者有定而其所除之井深无定也
又辄立母子乘并之法夫以各绳为母而借绳为子未
　大失也盖于三绳中取一即是三之一于四绳取一
　亦即四之一也乃谓七百二十一为母相乘而加借

　子则非也盖位既迭空除首位减去外皆母与相乘
　乘子与相乘而不相遇至第四次乃相遇而又适当
　其变为一和一较之时异名相并故得此数以为除
　法耳固不得立此以为通法也
假如问五色方程而各行不空则和较之变多端岂预
　知其减并即使各行有空如所列而或为较数则有
　减而无并亦将以借子加之乎
又所加之一乃子相乘之数若遇借子为之二之三则

　皆不能径用其原借之子数也故曰非通法也
　今试以井深一丈四尺四寸二分者举例如后
假如有井深一丈四尺四寸二分以甲乙丙丁戊五等
　绳汲之皆不及泉若甲借乙三之一乙借丙四之一
　丙借丁五之一丁借戊六之一戊借甲二之一皆及
　泉问绳各长若干
法以带分和数列位
上上　上下　中上　中下　下上　　下下

　
　
　
　
　
　
　依空位省算先以一行与五行对乘　甲减尽　乙
　一戊十二皆无对不减　和数馀一丈四尺四寸二

　分　乙在首行　戊与一丈四尺四寸二分在五行
　　分正负列之　和变较也　馀行无甲绳不须减
　径以减馀与次行相对
　
　
　依和较相杂法互乘　乙绳同减尽　丙一(左/正)戊三
　十六(右/负)皆无减　和较数异并五丈七尺六寸八分
　(右负/左正)　复变和数不分正负(隔行异名/并故也)

　
　
　
　依和数乘　丙绳减尽　丁绳一(左/)戊绳一百四十
　四(右/)皆无减　和数减馀二十一丈六尺三寸(右/)又
　复变和数也分正负列之
　馀行又无丙绳径以减馀与第四行相对
上　　　　　中　　　　下

　
　
　依和较相杂乘　丁同减尽　戊异并七百二十一
　为法　和较数异并一百○九丈五尺九寸二分为
　实　法除实得一尺五寸二分为戊绳六之一　以
　减共一丈四尺四寸二分得一丈二尺九寸为丁绳
　　五除丁绳得二尺五寸八分为丁绳五之一　以
　减共一丈四尺四寸二分馀一丈一尺八寸四分为

　丙绳　四除丙绳得二尺九寸六分为丙绳四之一
　　以减共一丈四尺四寸二分馀一丈一尺四寸六
　分为乙绳　三除之得三尺八寸二分为乙绳三之
　一　以减共一丈四尺四寸二分得一丈○六寸为
　甲绳　二除之得五尺三寸为甲绳二之一　以
　减共一丈四尺四寸二分得九尺一寸二分为
　戊绳
　计开

　
　
　
　
　
论曰此亦七百二十一为除法也减并之用与前无异
　而井深既别绳数迥殊不先言丈尺何以定之
　试又以较数明之

今有数不知总其五人所分亦不知各数但云取乙三
　之一以当甲取丙四之一以当乙取丁五之一以当
　丙取戊六之一以当丁取甲二之一以当戊皆不足
　七百一十九问若干
　答曰甲一千○三十四　乙九百四十五　丙九百
　○四　丁九百二十五　戊一千二百三十六
法以较数列位
　依带分法化整为零

　
　
　
　
　
　如法乘　甲同减尽　乙一(左/负)戊十二(右/负)皆无减
　同名在隔行仍分正负　较数异并与戊同名　馀
　行无甲径以减馀对第三行

　
　
　如法乘　乙同减尽　丙一(左/负)戊三十六(右/负)皆无减
　　以隔行同名分正负　较数异并与戊同名　馀
　行无乙径以减馀对第四行
　
　
　如法乘　丙同减尽　丁一(左/负)戊一百四十四(右/负)皆

　无减　以隔行同名分正负　较数异并仍与戊同
　名　馀行无丙径以减馀对末行
　
　
　如法乘　丁同减尽　戊同减馀七百一十九为法
　　较数异并一十四万八千一百一十四为实　法
　除实得二百○五为戊之一分加正七百一十九共
　九百二十五为丁数　五除丁数得一百八十五为

　丁之一分加正七百一十九共九百○四为丙数
　四除丙数得二百二十六为丙之一分加正七百一
　十九共九百四十五为乙数　三除乙数得三百一
　十五为乙之一分加正七百一十九共一千○三十
　四为甲数　二除甲数得五百一十七加负七百一
　十九共一千二百三十六为戊数　六除戊数仍得
　二百○六为戊之一分
　计开

　
　
　
　
　
论曰此其母与母相乘子与子相乘与前略同但末后
　相遇为同减故不以七百二十一为法而以七百一
　十九为法无他较数也若依母相乘而并子岂不误

　哉
且四次乘减其下较皆异并亦足见奇减偶并之非
　又以法同而得数迥异者明之
今有数五宗不知其总但云以乙三之一当甲以丙四
　之一当乙以丁五之一当丙以戊六之一当丁皆适
　足若以甲二之一偕戊则共数七百二十一问各若
　干
法以和较带分列位　化整为零

　
　
　
　
　
　甲同减尽　乙一(左/负)戊一十二(右/正)皆无减　一千四
　百四十一亦无减　隔行异名即同名也变为和数
　重列之与次行对

　
　
　乙同减尽　丙一(左/负)戊三十六(右/正)四千三百二十六
　(右/正)皆无减　皆隔行异名亦变和数重列与第三行
　对
　
　
　丙同减尽　丁一(左/负)戊三十六(右/正)一万七千三百○

　四(右/正)皆无减隔行异名仍变和数重列与第四行对
　
　
　丁同减尽　戊异并七百二十一为法　八万六千
　五百二十无减就为实　法除实得一百二十为戊
　六之一即丁数　五除之得二十四为丁五之一即
　丙数　四除之得六为丙四之一即乙数　三除之
　得二为乙三之一即甲数　半之得一为甲二之一

　以减共七百二十一馀七百二十为戊数
　计开
甲二　乙六　丙二十四　丁一百二十　戊七百二十
论曰此亦以七百二十一为法而其各数迥不相类则
　以下数之为和为较迥不相同也然则井深者即和
　数也而不先言其丈尺顾以除法命之可乎
　又试以分子递借而非之一者明之
今有甲乙丙丁船各十只以载盐九千七百七十六引

　俱不足若甲借乙一乙借丙二丙借丁三丁借甲四
　则各能载问各船若干
法以和数列位
　列后

　甲减尽　乙四(右/)丁一百(左/)皆无减　以两行故分
　正负　载盐馀五万九千八百五十六(左/)与丁同名
　甲空与减馀对次行
　
　
　乙同减尽　丙八(左/正)丁一千(右/负)俱无减　引异并六
　十三万八千四百六十四(右负/左正)异名在隔行复变和
　数无正负　乙空以减馀对三行

　
　
　丙减尽　丁馀九千九百七十六为法　引馀六百
　三十万○四千八百三十二为实　法除实得六百
　三十二引为丁船数　以丙借丁船三乘丁数得一
　千八百九十六以减共九千九百七十六引馀八千
　○八十丙所载也以丙十除之得八百○八引为丙
　船数　以乙借丙船二乘丙数得一千六百一十六

　以减共九千九百七十六引馀八千三百六十乙所
　载也以乙十除之得八百三十六引为乙船数
　以乙船数减共九千九百七十六馀九千一百四十
　甲所载也以甲十除之得九百一十四引为甲船数
　计开各船每只载数
甲船九百一十四引
乙船八百三十六引
丙船八百○八引

丁船六百三十二引
论曰此四色方程递借法与诸书所载马骡载米同亦
　与同文算指井不知深同但彼误以除法为井深又
　误立各母递乘加借子法故设此问以显其理
此所用除法丁船九千九百七十六犹彼所用除法戊
　绳七百二十一也乃除法也非井深也除法有定而
　井深无定即如此问九千九百七十六之除法有定
　而盐之数无定也何言乎无定假如以九千九百七

　十六引而倍之则各船之所载亦倍矣以引数半之
　船所载亦半矣然其除法之九千九百七十六如故
　也若不先言引数何知之
共载九千九百七十六引者盐数也以九千九百七十
　六为法而除者船数也船为法者算家虚立之率盐
　列位者问者现据之实数数虽偶同为用迥别
以各原数为母借数为子是也如甲借乙船一而乙船
　原有十即十分之一也谓母相乘而加借子一则非

　法也如此所用除法九千九百七十六何以处之又
　如后条马步舟师各借二分者又何以处之数虽似
　不可施之他数非通法矣
　又试以三色例亦用异加得除法者观之
假如有马步舟师不知数但云取骑兵五分之二益步
　取步卒三分之二益舟取舟师七分之二益骑则皆
　得六千七百八十名
　答曰步卒四千五百名　骑兵五千七百名

　　　舟师三千七百八十名
法以和数带分列位
　
　
　
　依省笇以左行加二分之一　步卒减尽　骑二分
　(右/)舟师十分○半(左/)皆无减　共数减馀三千三百
　九十(左/)分馀两行变较数也　以较数与舟师同名

　　中行步卒原空径以减馀作二色列之
　
　
　依省算四因左行而退位　骑同减尽　舟师异并
　十一分三釐为法　和较数异并六千一百○二为
　实　法除实得五百四十为舟师之一分　以分母
　七乘之得三千七百八十名为舟师数
　以舟师数减共数六千七百八十馀三千所借步卒

　之二分也　二除之分母三乘之得四千五百为步
　卒数
　以步卒数减共数六千七百八十馀二千二百八十
　所借骑兵之二分也　二除之分母五乘之得五千
　七百名为骑兵数
论曰此虽以异加而得除法然不得竟以子之二加也
　故以分子一加者非通法也
　

　
　
　
　
　
　
　
　历算全书卷四十三