钦定四库全书
　历算全书卷四十二
　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰
　方程论卷三
　　致用
笇之用惟捷其说惟详详说之斯能捷用省笇列位诸
　法由是以生也故致用次之
　致用有二一者省笇一者列位(例杂见诸卷中故不/具列而备论其理)

　省算法亦有二一者行有空则省算一者数偶同则
　省乘
凡方程之法去繁就简同者去之异者存之归于一法
　一实而已矣故三色以上有空位则可径求
若三色方程无空位者必须乘减得数变为二色以求
　之此常法也若内有一行中空一位则以所空之位
　列于首而先以其馀两行不空者如法乘减得数即
　重列之与原有空位者相对如二色方程也(以两行/无空者)

　(相乘对减则减去一色惟馀二色其有/空者原只二色故可相对如二色也)则省一笇(原/法)
　(乘减三次今只两/次故曰省一笇)
凡三色方程不论一行有空或两行各有空或三行各
　有空皆只省一算何也其各行中虽有空位而不相
　对故也何以知其不相对若两行有空而又相对则
　径可以二色算之矣即不成三色方程　三色有空
　例杂见前卷
凡四色五色以至多色有几行空位者如上省算径求

　最为简捷若中行无空则必如法乘减以五色变四
　色四色变三色三色又变二色渐次求之不可径求
　而省算也今诸书所载皆其各位之有空者耳非通
　法也而欲以此尽方程可乎
凡四色方程有乘减六次者常也　若有一位空则省
　一算　一行中空两位或两行各空一位而相对则
　省二算　若一行空两位又一行空一位则省三算
　止矣　或有四行中各空一位而不相对亦只省一

　算而已何也惟首位空乃能省算若首位不空而空
　在下数位则乘减之后自然补实不能省矣　亦有
　两行各空两位而只省二算者亦以空位相左乘后
　补实耳故虽四行中各空两位亦只省三算也
假如四色中有一行空两位则将此无空之三行如法
　乘减变为两行又将此两行如法乘并变为一行此
　减馀一行却有二位恰兴空两位之行相对矣便以
　重列如二色方程取之此最方程中要法而诸书未

　及也故详论之
若四色方程有两行各空一位而又相对则将其无空
　之两行如法互乘而减去此不空之位变为一行与
　空位之两行同列如三色法而之尤为易见
其四色各行空两位而省三算即今诸书中所载是也
　可无更赘然但欲知其为省算方程而非常法耳
其四色无空乘减六次者竟无其式故误以省算为常
　然既明其理亦不必一一为式矣

凡五色方程无空则有乘减十次者常法也(五色变四/色则有四)
　(算四色又变三色则有三算三色又变二色则/有二算二色又一算乃得法实合之为十算)故五
　色而为四图者亦常法也(原列一图以减馀重列为/四色而三色而二色又各)
　(一图合之/为四图)
若有空一位则省一算　或空两位而省二算(须两位/空在一)
　(行或两行俱/空首位乃可)　空三位而省三算(须空在一行或三/行同空首位或一)
　(行首位空一行/首次两空则可)　空四位而省四算(须一行空三位/而一行又空一)
　(位恰与空三位者同或二行俱空首位而一行/又空首次两位乃可或两行俱空首次亦可)　空

　五位而省五算(须两行空首位而一行空首次三位/或两行空首次而一行空首位或一)
　(行空首次而一行空/首次三之位乃可)　空六位而省六算(须一行空/首位一行)
　(空首次一行空首/次三行位乃可)
　省至六算止矣六算以上虽多空位无关省算也
今诸书有载五色方程者皆其各行空三位者耳总计
　之有空十五位而其为法亦必用四算然后得数则
　所省者亦只六算而竟不知其为省算之法则习而
　不察也

假如五色方程内只有行空三位法当以有空之三色列
　于上而先以其无空之四行如法乘减变为四色者
　三行又以乘减变为三色者二行又以乘减变为二
　色者一行则恰与空位之行相对矣再乘减一次得
　所求矣故曰省三算也(变四色时省一算变三色时/省一算变二色时省一算共)
　(省三/算)
假如五色方程内有两行各空二位而相对法当以有
　空之二色列于首次而先以其无空之三行如法乘

　减变为四色者二行又以乘减变为三色者一行则
　恰与空位之两行相对矣于是以三色法取之得所
　求矣故曰省四算也(变四色时省二算变/三色时亦省二算)
假如五色方程内有两行空首位又一行空首次三之
　三位法当以无空之两行如法乘减变为四色者一
　行则恰与空首位之两行相对矣　乃以原数两行
　减馀一行相并列之用相乘减变为三色者两行又
　相乘减变为二色者一行则又恰与空三位者相对

　矣　乃以原空三位者与减馀列而求之即得之矣
　故曰省五算也(变四色时省三算变三/色与二色又各省一算)
若五色方程内有两行各空三位者即如一行空两位
　一行空三位也法以无空之三行先用乘减变为四
　色者两行又以乘减变为三色者一行则恰与空首
　位次位者对矣取出原空两位者与减馀列而求之
　变为二色者一行又恰与空三位者相对矣又取出
　与减馀列而求之即得所问故亦省五算也(变四色/三色时)

　(各省二算变二色/时又省一算共五)其两行虽各空三位而不相对故
　也(若各空三位而相对/即成二色方程矣)
若五色方程各行俱有空位不等要之省六算止矣省
　六算者必一行空首位而省一算一行空首次而省
　二算一行空首次三之位而省三算其馀空位必不
　相对不能省算与无空同也
　其法先以不空之两行乘减得数变为四色与空首
　位者相对又乘减变为三色与空首次者相对又乘

　减变为二色与空三位者相对再乘减即得所求
　诸列不能悉具智者反隅可也
论曰常与变相待而成告方方程省算而特详其不省
　之算者欲穷其变先得其常也
　以上所论虽止五色引而伸之若六色七色八色九
　色乃至多色其理一也
　以常言之　二色者一算　三色者三算　四色者
　六算　五色者十算　六色者十五算　七色者二

　十一算　八色者二十八算　九色者三十六算
　十色者四十五算　十一色五十五算　十二色者
　六十六算
　以空位言之　三色者有省一算　四色者有省一
　算至三算　五色者有省至六算　六色者有省至
　十算　七色者省十五算　八色有省二十一算
　九色有省二十八算　十色有省三十六算　十一
　色有省四十五算　十二色有省五十五算

　以省算所用而言之　三色者有只用二算　四色
　者有只用三算　五色有只用四算　六色有只五
　算　七色有只六算　八色有只七算　九色有只
　八算　十色有只用九算　十一色有只十算　十
　二色有只十一算
　总而言之　二色则只一算　三色则有二算或三
　算　四色则有三算以至六算　五色则有四算以
　至于十算　六色则有五算至十五算　七色则自

　六算至二十一算　八算则自七算至二十八算
　九色则自八算至三十六算　十色则自九算至四
　十五算　十一色自十算至五十五算　十二色则
　自十一算至六十六算
扩而充之犹举一隅耳然其法不外于和较与和较之
　杂与变愚故不欲以四色五色等分为之目也　必
　如此则方程之法乃为通法若诸书所列四色者必
　各行空二位五色必各空三位非通法也方程者所

　以御杂糅正负也而必递空相等乃可用算是法有
　所不及而穷于问也岂古人立法之意哉
　　此以上论空位省算省算者乘减并俱省之也非
　　若省乘者但省互乘而不省减乘
凡方程互遍乘者取其首位齐同耳故乘减一次则少
　一色以首位之齐同必减而尽也然亦有其首位之
　数偶尔相同者法当径以对减而省其互乘此虽省
　其乘而不省其减并故与前论省算同而微异也

假如和数方程首位同则径减矣　若较数者又须论
　其正负之名　同数矣而又同名径对减矣　同数
　而不同名则更其一行之正负以相较而后减并焉
　此要诀也不则首位虽减去而其下之同异淆则加
　减皆误矣
若和较杂者首位之数同亦必以较数首位之名名其
　和数之一行而后减并之但省其互乘可也
　　以上论同数省乘

亦有首位数虽不同而可以分数相命者则以其分数
　改其一行之数以从一行则首位齐同而可以对减
　省其互乘焉可矣
　若较数或和较杂皆如前法齐同其首位之名斯减
　并无误耳(较数首位同名则仍之异名者改一行以/相从和较杂者以较首位之名名其和数)
　(之一/行)
假如两首位为五与十是倍数也则半之盖五与十互
　乘各得五十而其下诸数从之而溢矣今但以首位

　十半之为五而其下诸数皆半之以相减并则五之
　之行可无乘而数亦简明殊散人怀也
若两首位为二十与二是十之一也则以退位之法乘
　之使二十之一行皆为十之一　若为八为四亦倍
　数也　若为八与二是四之一也四除其八之行则
　得矣　若九与三则三之一也以三除九则亦三而
　其一行皆三除之则可减并矣然三除多有不尽不
　如只以三因其三之行也　若为五与三则六因其

　五之行而退位　五与二则四因退位　五与四则
　八因退位皆同　若六十四与八则八之一也八除
　其六十四之行犹互乘也　若此类者不可枚举得
　其意者酌而用之可也尤要在首位之必同名
　亦有不可强齐者如七与二九与四之类只用互乘
　为无弊也省乘者为省事而设也强齐之反多事矣
　　此以上论分数省乘
此外又有不拘首位者但数同则径以对减施之二色

　为宜盖二色方程只须减去一色其所馀即一法一
　实矣然亦须同名方可减去若异名者改而齐之可
　也
假如较数方程其中一色同名而又同数径减去矣若
　但同数而不同名则更其一行之正负乃减去之
假如和较杂其中一色同数则以之为主使和数一行
　皆与此一色同名乃减去之
若和较则不须尔但同数者即减去之此二色捷法

　　合此三者省算之理备矣
问田粮七则起科甲有上田一亩上次田一亩输粮七
　斗乙有上田一亩上次四亩上中一亩粮一石八斗
　丙有上次上中田各一亩粮五斗丁有上中田中田
　各二亩粮五斗戊有中田三亩中次五亩中下五亩
　已有中下八亩下田十三亩庚有中下田下田各十
　亩皆粮五斗问各则若何
法曰此方程断续法也以甲乙丙借作三色己庚借作

　二色各如法求得田则则其中两色自知

　先以甲乙两行遍互乘减去上田　馀上次田三亩
　上中田一亩　粮一石一斗　用与丙行乘减　上
　次田减尽　馀上中田二亩为法　粮四斗为实
　法除实得二斗为上中田则例
　就以上中田则减丙粮五斗馀三斗为上次田则例
　以上次田则减甲粮七斗馀四斗为上田则例(以上/三色)
　(法/也)
　又以上中田则例乘丁田二亩得四斗以减丁粮五

　斗馀一斗以二亩除之得五升为中田则例
　又以戊中田三亩乘其则例得一斗五升以减戊粮
　五斗馀三斗五升为戊田中次中下各五亩之共数
　　因此处断而不属故又先求末两行
　再以二色法用己庚两行如法遍乘减去中下田馀
　　下田五亩为法粮一斗为实法除实得二升为下
　　田则例(以八因庚行而/退位省乘法也)
　以庚下田十亩乘其则例得二斗以减庚粮五斗馀

　　三斗以中下田十亩除之得三升为中下田则例
　　(以上二/色法也)
　乃以戊中下田五亩乘其则例得一斗五升以减戊
　　中下中次共三斗五升馀二斗以戊中次五亩除
　　之得四升为中次田则例
　　计开　上田每亩粮四斗　　上次田每亩粮三斗
　　　　　上中田每亩粮二斗　中田每亩粮五升
　　　　　中次田每亩粮四升　中下田每亩粮三升

　　　　　下田每亩粮二升
论曰此虽七色因行中断续即非七色借三色二色之
　法知其首尾而中行亦见焉所省良多然非省乘其
　势则然也以其疑于省算也故附之其末
又有数偶相同不论三色四色但一减之后即得一法
　一实者非省算也然亦省算之类故亦附录一条以
　见其例
假如鞋纱绢不知价但云以鞋一匹纱五匹易绢九匹

　馀价二两六钱又以鞋二匹绢八匹易纱四匹馀价
　六两八钱又以鞋三匹易纱六匹绢七匹少价一两
　二钱
　答曰鞋每匹价银三两纱每匹一两　绢每匹六钱
法列位
　
　
　

　
　
　
　因中左纱减尽只馀一色即以绢十九为法　除十
　一两四钱得绢价每匹六钱　以绢馀二十六匹乘
　价得十五两六钱同减负一两六钱馀十四两纱价
　也以纱馀十四匹除之得纱价每匹一两(用中右减/馀得之)
　　以原左行纱六匹(价六/两)绢七匹(价四两/二钱)共价十两

　二钱同减负一两二钱馀九两鞋三匹价也三除之
　得鞋价每匹三两
论曰此方程之变例也一减之后即得其数　若多色
　方程除首位外有减尽者先虽无空而减馀重列即
　成有空方程矣(例见本卷齐/军列陈条)
若三色俱减尽则不能成算　或三色方程中左三色
　俱减尽中右只减一色则所馀者二色而无相较乘
　减无因不能别其二色亦不能成算也

假有问水银三斤朱砂二斤共价四两四钱又水银九
　斤朱砂六斤共价十三两二钱问各价若干
　答曰此不可以方程算何也彼虽两宗而其后一宗
　之物价皆三倍于先一宗互乘之后必须减尽故也
凡左行之物俱倍于右行或俱半俱四之一等互乘之
　后得数齐同不能分核具如前论方程立法正以诸
　物杂糅多寡错居同异参伍而得其端倪也
又或三色方程而问只二宗则减馀仍有二色不能分

　别故问三色必有三宗问四色必有四宗五色六色
　以上悉同何也方乘立法乘减一次始能分去一色
　若少一行则少一次乘减而不能得其一法一实矣
　故行中可有空位而不可有空行
行中有空者分一行言之也若总列为图则位皆无空
　凡此皆治方程者所当知
知其有不可算斯无疑于算知其有必不可省斯善为
　省矣

列位之法亦有二
　一者更其上下之位以互求也　或为省算之计
凡方程立法务须首位齐同以便减去故每遍乘一次
　则减去一色递减之则一法一实矣今行中有空则
　是不待遍乘而其一色已先减去也故取而列之于
　上位则能省算不则上位不空而下反空则对位无
　减补成不空而不能省算矣
其法于列位时覆视之有横列中空位多者取作首位

　首位空一行则省一算矣
若首位原有空位而欲更定次位者不必改列但于重
　列减馀时检点更定之可也
又横列中有数偶相同或可以分相命者取作首位亦
　省遍乘或横列中有单一数多者取作首位省乘(单/一)
　(数则不须/乘故也)
　　以上论上下之位
　一者更其前后之行也

凡首位多空而其不空者隔远则更而联之便乘减也
　　其各行空位不等者不必更列但以与减馀相对
　者取出对列而乘减之(例见前/诸卷)
若各行首位有可以分相命或数偶相同而为他行所
　隔亦可更置使之相接
又多色方程有各行中对位总空者取出另列而先乘
　其他行之不空者乃于重列之时渐次添入可免细
　书跼蹐(例见/后卷)

　　以上论前后之行
法曰凡多色方程先任意列位竟乃覆视之若首位有
　空而下则无之此不必更置也或首位多空而下则
　少亦不必更置也
　惟首位不空而下反有或首位空少而下反多则更
　而置之故上下可以互居前后亦可易位或云以末
　行为主者非也
问古今历术屡更其所用日法无一同者如以汉太初

　历日法十有一外加四十九则如殷历日法也若以
　太初日法二殷历日法三再加五十八则如唐大衍
　历日法也若太初日法十有四大衍日法二相并以
　比宋纪元历日法仍少七十六若太初日法九十倍
　之即纪元日法其各数若干
法以正负列位
甲太初十一(正/)殷七一(负/)○　　○　　　负四十九
乙太初二(正/)殷六三(正/)大衍一(负/)○　　　负五十八

丙太初十四(正/)　○　　大衍二(正/)　纪元一(负/)　负七十六
丁太初九十(正/)　○　　　○　　纪元一(负/)　适足
　如右图太初历横列皆满须用遍乘对减者三而后
　能减去太初之一色其馀虽多空位自然有无减之
　对位相补不能省算
如法改列
　以最多不空之太初列下为第四位则殷历居上而
　成有空位之方程矣

　
　
　
　
　先如法以甲乙两行互乘减并殷历各正十五对减
　尽大衍负一无减太初异并负三十五下数异并正
　二百○五(因异并故并从甲行之名而大衍/在乙行与下数同名亦改负为正)
　乃重列之(取出丙行与/减馀相对)

　
　
　如法互乘减并　大衍各正二对减尽　纪元负一
　无减　太初异并得正八十四下数异并得负四百
　八十六
　又重列之(以减馀与/丁行相对)
　
　

　首位同名同数省互乘　纪元各负一对减尽　太
　初同减馀六为法　负四百八十六无减为实法除
　实得八十一分为太初日法　以丁行太初九十乘
　其日法(八十/一分)得七千二百九十分为纪元日法　以
　甲行太初十一乘其日法(八十/一分)得八百九十一异加负
　四十九得九百四十分为殷历日法　以乙行殷历
　三乘日法(九百/四十)得二千八百二十又太初二乘日法
　得(一百六/十二)又异加负(五十/八)共得三千○四十分为大

　衍日法
　　计开
　　　殷历日法　九百四十分
　　汉太初历日法　八十一分
　　唐大衍历日法　三千○四十分
　　宋纪元历日法　七千二百九十分
又按列位之法原与省乘省算之法相生故共为一卷
　合观之可也今以六色无空者为例如后

问齐军千乘其陈有先驱申驱为前军有启与胠为两
　翼有戎车贰广为中军有大殿为后军各不知数但
　以前军居馀陈七之三合两翼二广与殿多馀陈四
　十乘合前军两翼与中后较则多二十乘前军合殿
　与翼中军较则少二十乘先驱大殿居与陈二之一
　而少五乘各若干
　答曰前军共三乘
　　　　内先驱一百四十乘

　　　　　申驱一百六十乘
　　　　两翼共二百一十乘
　　　　　内启与胠各一百○五乘
　　　　中军共三百乘
　　　　　内戎车一百八十乘(帅/)
　　　　　　贰广一百二十乘(副/)
　　　　后军一百九十乘是为大殿
法以和较杂列位

　有七之三二之一依变零为整以分母各乘而后列
　之

　如法互乘减并变为五色有空而重列之
　空者偶也若不空亦俨然变为五色矣
　
　
　
　
　
　前三行减馀首位申驱皆空故不须乘减但以末二

　行乘而减之减去申驱即变四色矣又以申驱数本
　同故不须乘而竟以对减乃以四色法重列之
　四色无空法也虽有空而非首位不能省算与无空
　同

　因首末两行之翼数皆倍于中两行故省互乘但以
　首末两行皆半之使其翼数齐同乃原数对减而变
　为三色又重列之
　
　
　
　因次行末行戎车同但首行多于次行二之一故省
　互乘但以次行二分加一与首行对减其次行与末

　行竟以原数对减变为二色而重列之
　
　
　贰广同故省互乘竟以对减尽　大殿异名并得五
　为法　车同名减馀九百五十乘为实　法除实得
　一百九十乘为大殿车数　以大殿车数异加正五
　十乘共二百四十乘以贰广二除之得一百二十乘
　为二广车数(用末次/右行数)　二乘大殿车数同减负二十

　乘戎车二除之得一百八十乘为戎车公卒数(用第/四次)
　(三色中/行数也)　二乘戎车异加正六十乘两翼二除之得
　二百一十乘为两翼共数(用第三次所列/四色之次行)又半之即
　启与胠数　合计两翼(二百/一十)戎车(一百/八十)贰广(一百/二十)共
　数(五百/一十)同减负三十乘馀(四百/八十)以申驱三除之得一
　百六十乘为申驱数(用第二次所列/五色之第四行)　合计申驱(一/百)
　(六/十)两翼(二百/一十)戎车(一百/八十)贰广(一百/二十)共(六百/七十)同减负十
　乘馀(六百/六十)又减去大殿二计(三百/八十)馀(二百/八十)以先驱二

　除之得一百四十乘为先驱之数(用原列六色/之第五行数)
试细考之合计两翼(二百/一十)戎路(一百/八十)贰广(一百/二十)大殿(一/百)
　(九/十)共七百乘合计先驱(一百/四十)申驱(一百/六十)共三百乘三
　七差分也故曰前军为馀阵七之三
　合计两翼(二百/一十)贰广(一百/二十)大殿(一百/九十)共五百二十乘
　其馀前军(共三/百)戎路(一百/八十)共四百八十乘故曰翼广
　殿多馀阵四十乘
　合计前军(共三/百)两翼(二百/一十)共五百一十乘以较中军

　(共三/百)后殿(一百/九十)共四百九十乘则多二十乘故正二
　十乘与前军翼同名
　合计前军(三/百)大殿(一百/九十)共四百九十乘以较两翼(二/百)
　(一/十)中军(三/百)共五百一十乘则少二十乘故负二十乘
　与前军殿异名合计先驱(一百/四十)后殿(一百/九十)共三百三
　十乘又合计申驱(一百/六十)中军(三/百)两翼(二百/一十)共六百七
　十乘其二之一为三百三十五乘故曰先驱大殿居
　馀阵二之一而少五乘(以全当其半而少五乘则以/倍当其全而少十乘矣此与)

　(第一行皆变零为/整详见带分条)总计之则千乘矣故以和数参焉
论曰此一例中能兼数法皆省算之捷诀也
　其第二图五色变四色当有互乘减并者四次今以
　申驱空位省其三次此空位径求省算之法也
　其申驱偶尔数同径以对减与第五图二色之贰广
　数同径以对减皆省乘定法也但皆和较之杂故虽
　不乘必以较行首位之正负补于和数之行不然则
　减并误矣此要诀也

　其第三图四色之首位偶有倍数故半其倍者以相
　从此亦省乘法也
　其第四图三色之首位为三与二故加二为三是二
　加一也故其下皆二分加一则如遍乘矣然亦首位
　正负偶同也若不同者须更其一行以同之首位虽
　同数又必同名然后可减而去之尤省乘之要诀
又论曰方程无空者常法也如第一图六色是也若不
　减并五次何以求之亦偶而多有首位相同者故亦

　能省乘然虽省乘不能省减并矣其有空位者偶然
　也如第二图五色有空是也空位多若更置列之所
　省尤多虽不更置而减并之馀自然能补其空亦可
　见方程之有常法矣
　若更置之则自五色起如后图
　　因五色始有空也如此图则省六算　戎翼不空
　　故更之下位后行不空者更之前行以先乘
正负列位

　
　
　
　
　
　甲乙行如法减去申驱以其馀四位重列之与丙行
　相对(一和一/较也)
重列

　
　
　如法减去贰广又重列之与丁行相对(皆较数/也如后)
　
　
　如法半减馀数以从丁行乃对减而重列之与戊行
　相对(又以翼同/故更置之)
上　　　　　中　　　下

　
　
　如法径以对减馀戎路五为法
　并得正负九百乘为实
　法除实得戎路数
　既得戎路数以次得馀重之数
　　合问
　又术以一图而为减并如后所列

　
　
　
　
　
　
　依法先得戎路亦同但其间和较交变错然杂陈非
　深知猝不能了不如前术之为安稳明白也

　
　
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　历算全书卷四十二