钦定四库全书
　历算全书卷四十一
　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰
　方程论卷二
　　极数
吾论方程至和较之杂之变尽矣虽然不知带分叠脚
　重审之法无以穷其致故极数次之
　极数有三一带分二叠脚三重审皆不离乎和较之四术

　　带分方程例
法曰视原问中有云几分之几者则以分母通其全数
　而列之或云有物几数又几分之几者以分母通其
　全数而纳其子如法列位遍乘减并以求一法一实
　既得法以除实而得者即所求物之一分也以所得
　一分之数分母乘之则为物之全数矣
　或云几分之几又几分之几者以两分母相乘为全
　数而列之又以两分母互乘其子为所用之分而列

　之所用之分同在一行者并而列之分用于两行者
　不并也并之而所用之分反大于全数者以全
　数除之命为几全数又几分之几其入算乘除
　仍用所并之分得数后则只以全数之分乘之为全
　数(以上两法皆化整为零乘除/竟用零分故先得一分之数)
又法
　凡较数有以此之全数当彼之几分之几者则通其
　一行之内皆以分母乘之而后列焉则其所得即为

　全数而非其一分也(如云乙得甲三分之二则以分/母三乘乙全数得全乙者三乘)
　(甲之二分得六分是为全甲者二则以三乙当二甲/而列之骤视之如倒列其子母其实皆全数耳)
　若有正负之数亦以分母乘而列之(亦全数非零分/也是为以零变)
　(整与化整为零之法不同故径得其/全数所用乘除皆整数非分故也)得即为整(其所/用分)
　(母只在本一行中如一物有两分母又/分用于各行则各以其行中分母为用)凡和数中有
　一位带分而馀只全数者亦可以分母通乘而列之
　其所得亦为全数而非分(如甲三乙二又三之一共/十六则以分母三乘甲得)
　(九乘一二得六乘乙之一得三亦整一也并得整七/乘共十六得四十八是为甲九乙七共四十八变零)

　(为整径以整数乘/除所得即为整数)
又法
　凡带分之法或化整为零或变零为整取其画一也
　此外又有杂用零整之法亦所当知(如行中有几位/或原带有零分)
　(者以化整为零法列之其原未带分者只以整数列/之但乘除得数后整列者所得即为整数零分列者)
　(所得只为零分之数仍/须以分母乘之为全数)
又法
　视所带之分有可以分母除之而尽者则以所除分

　秒附于整数而列之则其乘除后得数亦为所求之
　全数(若分母除其子不能/尽者则不用此法)
今有甲字库贮金丁字库贮银各不知总但云取甲四
　之三加丁五之二则一百一十万若以甲加丁之倍
　数则四百四十万问各若干
　答曰甲库金四十万　丁库银二百万
法以分子甲之三分丁之二分列右
　以分母四通甲整一得四分以分母五通丁整二得

　十分列左
　
　
　依和数法互乘对减馀丁之分二十二为法馀八百
　八十万为实
法除实得四十万为丁之一分以丁之分母五乘丁之
　一分得二百万为丁库银数　乃以丁库数倍之得
　四百万减四百四十万馀四十万为甲库金数

　　此化整从零法也(原列零分故得/亦零分之数)
又法以丁分母五互甲之三得十五以甲分母四互丁
　之二得八列右乂以两分母(五/四)相乘得二十为甲丁
　共母以乘一甲得二十乘倍丁得四十列左　乃以
　甲丁共母乘一百一十万得二千二百万列右乘四
　百四十万得八千八百万列左(分母相乘为母母互/乘子只是通分之法)
　(妙在以分共母乘其和数而零/数皆为整用矣此用法之妙)
上　　　中　　　下

　
　
　依法乘减馀丁四百四十为法　八亿八千万为实
　以法除实得二百万为丁数以丁四十计八千万减八千
　八百万馀八百万以甲二十除之得四十万为甲数
　　此变零为整法也(原列整数故所/得即为整数)
又法以甲分母四除之三得七分五秒以丁分母五除
　之二得四分列之则其馀数皆不变

　
　
　左甲一乘右行皆如原数　右甲○七分五秒乘左
　行各得四分之三甲各○七分五秒尽减　丁馀一
　一(上一整数下一一/分乃十分之一)为法共数减馀二百二十万为
　实　法除实得二百万为丁数　以丁数倍之减共
　数馀四十万即为甲数
　　此除零附整法也(零分既除为分秒则乘除之际/皆以整数为主故所得亦即为)

　　(整/数)
今有甲乙二数不知总但云取乙五之三又取乙四之
　一以益甲则甲之数倍取甲三之二又取甲七之二
　以与乙较则乙多数二百四十问甲乙本数各几何
　答曰甲本数一千○七十一　乙本数一千二百六
　十
法以较数带分取之　本二色也却有三位以分母通
　之仍二位也　先以乙分母(五/四)相乘得二十以当乙

　之全数　又以分母五互乘分子一得五以分母四
　互乘分子三得十二并之得十七以当乙所益甲之
　分　是为乙二十分之十七以益甲也
　次以甲分母(三/七)相乘得二十一以当甲之全数　又
　以分母三互乘分子二得六以分母七互乘分子二
　得十四并之共二十以当甲所与乙较之分　是为
　甲二十一分之二十以与乙较也
　于是分正负列位

　
　
　依较数法乘减　乙馀八十分为法　负数无减就
　以五千○四十为实　法除实得六十三为乙之一
　分　以乙全分二十乘之得一千二百六十为乙本
　数　乙本数同减负二百四十馀一千○二十即甲
　与乙较之分也以左行甲之二十分除之得五十一
　为甲之一分以甲全分二十一乘之得一千○七十

　一为甲本数
　乃细考之　置乙本数(三/)因(五/)除之得七百五十六
　为五之三　又置一本数(四/)除之得三百一十五为
　四之一　并两数共一千○七十一则与甲数同故
　以此益甲而甲倍也　置甲本数(二/)因(三/)除之得七
　百一十四为三之二　又置甲本数(二/)因(七/)除之得
　三百○六为七之二　并两数共一千○二十以此
　较乙则不及二百四十

　此只是以乙之分与甲较又以甲之分与乙较也末
　卷所列诸率则是以乙之分益甲而转与乙所存之
　分相较又以甲之分益乙而转与甲所存之数相较
　故自不同合而观之则见
今有宝泉宝源二局铸钱不知总但云取宝源五之四
　又四之三以益宝泉则宝泉之数倍　若取宝泉三
　之二以与宝源较则多于宝源四十二贯
　答曰宝泉原数一千九百五十三贯　宝源原数一

　千二百六十贯
法先以宝源分母(五/四)相乘得二十分为全数　又以分
　母五互乘分子(三/)得十五分母(四/)互乘分子(四/)得十
　六并之共三十一分为宝源所以益宝泉之分　全
　数二十分所用以益宝泉者反有三十一分是为以
　宝源全数又二十分之十一以益宝泉也　其宝泉
　只一分母故不用乘并
　乃列位

　
　
　如法乘减　中位馀二分为法　下位馀一百二十
　六贯为实
法除实得六十三贯为宝源局二十分之一分　以分
　母二十乘之得一千二百六十贯为宝源数　以宝
　源数异加正四十二贯共一千三百○二贯即宝泉
　局三分之二也于是以分子之二除以分母三乘得

　一千九百五十三贯为宝泉数(置宝源数四因五除/之得一千○八为五)
　(分之四又置宝源数三因四除之得九百四十五为/四之三并两数亦恰得一千九百五十三贯如宝泉)
　(数以加宝泉是/为宝泉者倍也)
论曰乘得数后宝泉分数同惟右行之宝源多于左行
　者二分而遂能与宝泉等若左行之宝源少此二分
　而其少于宝泉者遂一百二十六贯然则此一百二
　十六贯者正是宝源之二分矣(知分数即知全数/知宝源即知宝泉)
　此二则皆化整为零而分母不同也

今有货泉刀贝四种之币各不知数但云泉八之一兼
　刀布七之二则如货数也　若刀布七之三兼贝六
　之四则其数如泉也若贝六之五又外加数八千九
　百七十则如刀布也　若货数自加九之一则其数
　如贝也问本数各几何
　答曰货五千一百三十　泉九千六百八十
　刀布一万三千七百二十　贝五千七百
法以各分母通其原数然后以正负列之　货分母九

　　泉分母八　刀布分母七　贝分母六　(丁行货/合数一)
　(又九分之一共十是为九分/之十凡全数带分者准此)
　
　
　
　
　先以甲行货正九分为法遍乘丁行得数　又以丁
　行货负十分为法遍乘甲行得数(因首位异名故变/一行以相从而以)

　(丁从/甲)乃以甲丁两行得数相减　货同减尽　甲行
　泉负十分刀布负二十分皆无对不减　丁行贝负
　五十四分亦无对不减　下适足无乘无减仍为适
　足
　乃以泉刀同名在甲行者为一类　贝同名在丁行
　者为一类分正负重列而求之(丁行之负甲/行之正也)
因馀行已无货位当以泉为乘法寻乙行中有泉径用
　与减馀相对

　
　
　如法遍乘得数乃相减并　泉同减尽　刀布异并
　得(正/)一百九十分　贝同减馀负三百九十二分
　以减馀为主命其正负而重列之
因馀行又已无泉当以刀布为乘法寻丙行有刀布径
　用与减馀相对
上　　　　　　中　　　　　　下

　
　
　如法遍乘得数　刀布同减尽贝同减馀一千七百
　九十四分为法正一百七十万四千三百无减就为
　实　法除实得九百五十为负之一分　以丙行贝
　之五分该四千七百五十异加正八千九百七十共
　一万三千七百二十为刀布原数　以刀布分母七
　除原数得一千九百六十为刀布之一分　以刀布

　之三分该五千八百八十贝之四分该三千八百并
　之得九千六百八十为泉数(用乙/行也)以泉分母八除泉
　数得一千二百一十为泉之一分　以泉之一分加
　刀布之二分三千九百二十共五千一百三十为货数
　(用甲/行也)以货分母九除货数得五百七十为货之一分
　　以货数加一分共五千七百为贝数(用丁/行也)
甲丁两行乘减论曰既互乘则甲丁之货等而甲行之
　泉若刀布及丁行之贝又各与其首位之货等则甲

　之泉若刀布必与丁之贝等也故对减去货而径以
　甲之泉若刀布与丁之贝分正负而命之适足也
　此即西学中比例之理然方程中自有之且简快如
　此
乙行减并论曰左右两行之正负皆适足若于右正数
　内减左正右负数内减左负其所馀者亦必适足也
　今右正内既减去同名之泉右负内又减去同名之
　贝而左负内有刀布不与右同名不能相减故反用

　以加加则正数多正数多则负数少而其数亦必适
　足矣
又论曰隔行之异名乃同名也今两行之正与负既皆
　适足若以左之正(泉/)益右之负(贝/)而共为负以左之
　负(刀布/贝)益右之正(泉刀/布)而共为正则亦适足也于是
　以两者(右泉刀布左刀布贝为/一类左泉右贝为一类)对减其相同之物(泉/各)
　(减八十分贝/各减四十分)则其所馀之物必亦适足也(左右刀布/为正右贝)
　(减馀/为负)

又论曰右行刀布正数也正多于负之数也左行刀布
　负数也正少于负之数也合此二数则是右正之多
　于左正者此两行之刀布也然刀布之数右正虽多
　于左正而贝之数右负亦多于左负故两行皆适足
　也然则右正之所多与右负之所多亦必相当适足
　矣
丙行乘减论曰刀布本同惟右之贝多于左右之贝多
　则左之贝少左之贝少则刀布多矣然则左之刀布

　布独有盈数者正是此相差之贝也
　　此亦化整为零而又有整带零(四色有空/之例也)
问品官月俸六品为五品八之五七品为六品四之三
　八品为七品十五之十三九品为七品十五之十一
　倍九品加八品六品七品各一则如五品之倍数而
　多三石各若干
法以分母各通其原数而正负列之　五品通为八
　六品通为四　七品通为十五　八品九品以全数

　原无分母故也(五品倍则/为十六)
　
　
　
　
　
　先以甲行五品十六分遍乘乙行五品六品得数(馀/空)
　(位无/乘)　次以乙行五品五分遍乘甲行得数　乃对

　减　五品各八十分同名对减尽　六品同名对减
　馀四十四分乙行之负物也为乙类
　七品八品九品并禄米较数皆无对不减皆甲行之负
　物负数也为一类　分正负列之与丙行相对
　
　
　如法以减馀六品分遍乘丙行六品七品分得数(馀/空)
　(无/乘)

　又以丙行六品分遍乘减馀得数　乃以对减　六
　品得数各一百三十二分同名减尽　七品同名减
　馀四百三十五分丙行之负物也自为一类　其馀
　三位无减皆减馀之负物负数也共为一类　分正
　负列之与丁行相对
　又因丁戊两行皆有七品是多一算也乃更置之以
　八品列首位
上　　　　　中　　　　下

　
　
　如法以丁行八品负一遍乘减馀皆如故(首行同名/故两行之)
　(正负亦/皆不变)又以减馀八品负十五分遍乘丁行八品七
　品得数　乃对减　八品同减尽　七品同减馀二
　百四十分右行之正物也为一类　九品三十无减
　　禄米四十五石亦无减皆右行之负物负数也同
　名共为一类　乃分正负重列之与戊行相对

　
　
　如法以左右七品分互遍乘得数(首行同名故两行/之正负皆不变)
　　七品同减尽　九品同减馀九十为法　禄米四
　百九十五石无减就为实　法除实得五石五斗为
　九品月俸　置九品俸以相当之七品之十一分除
　之得五斗为七品月俸十五分之一而以与八品相
　当之十三乘之得六石五斗为八品月俸　又以七

　品之分母十五乘其一分得七石五斗为七品月俸
　　又置七品俸以相当之六品之三分除之得二石
　五斗为六品四之一而以其分母四乘之得十石为
　六品月俸　置六品俸以相当之五品之五分除之
　得二石为五品八之一而以其分母八乘之得十六
　石为五品月俸
　　计开　五品每月十六石　六品每月十石　七
　　品每月七石五斗　八品每月六石五斗　九品

　　每月五石五斗
论曰此所列有二种　六品通为四分者问原云四之
　三是可以四分者也七品通为十五分者原云十五
　之十三之十一是可以十五分者也五品通为十六
　分者原云八之五是可以八分者也又倍之而十六
　则为八分者二矣此皆以分立算化整从零之法也
　　八品则只是原数九品亦是原数而又有倍数然
　只是原数之倍非如五品倍其分也此两者皆不用

　分只用整　合而言之乃零整杂用之法也　零与
　整杂似不伦矣然乘除得数则同　但用分者所得
　数亦为一分之数故必以分母乘之乃合原数而其
　原不用分者得即原数更不须乘能知此理则用分
　无误矣
甲乙两行论曰两行正数内五品本同而甲有负多于
　正之较乙则无有是此较数乃甲负多于乙负之较
　也于是以两负相减以去其同之分而观其所不同

　之处则甲有诸品而乙惟六品之减馀然则甲负之
　独多此较者乃甲诸品多于乙六品减馀之较矣
丙行乘减论曰两得数对减而六品减尽是其数同也
　其与六品为正负者又减去相同之七品分而左仍
　馀七品之馀分右仍馀诸品之全分则是两行诸数
　皆同而惟此二者有差也然则右之独有盈于六品
　之较者正此二者之差数也
丁行论曰两行对减而于负数内减去相同之八品惟

　馀九品于正数内减去相同之七品分惟馀七品之
　馀分然则右行负数独有盈于正数者正是右行九
　品与其七品馀分之较也何也与之对减者乃左行
　适足之数故于较数无关也(重列三/次皆然)
戊行论曰右行内减去左行适足数惟馀九品数则其
　下盈数必所馀九品之数也　此条递减归一其理
　较明学者玩之
　　此零整杂列也亦五色方程有空例也有减无并

　　可悟偶加奇减之非
问有物一百七十四以三人分之乙所分如甲七之三
　仍不足单六丙所分如乙七之三而多二数各几何
　答曰甲数一百一十二　乙数四十二　丙数二十
　　(甲数三因七除得四十八多于乙数六/乙数三因七除之得十八少于丙数二)
法列位　以甲乙分母七化整为零　丙无分仍用整
　
　

(○/)　　　乙之三分(正/)　丙一(负/)负二(此行无甲数存与减馀重列/)
　此三色有空先以和较杂法用两行甲互遍乘之
　和数甲全分七乘较行得数(依其/正负)以较数甲正三分
　乘和行得数(从乘法皆/命为正)　甲各二十一分同减尽
　乙异并七十分(正/)丙三无减(正/)下数同减馀四百八
　十(正/)皆同名不分正负以和数重列与第三行较数
　求之
上　　　　　　中　　　下

　
　
　如法互乘减并　乙同减尽　丙异并七十九为法
　　下数异并一千五百八十为实　法除实得二十
　为丙数　丙数同减负二得一十八为乙七之三乃
　以三分除之得六为乙七之一以分母七乘之得四
　十二为乙数　乙数异加正六共四十八当甲七之
　三乃以三分除之得十六为甲七之一以甲分母七

　乘之得一百一十二为甲数　此亦零整杂用之法
　也
若依变零从整法则以分子母倒位列之其正负以分
　母乘之乃与和数列而求之
论曰倒位何也非倒位也分母遍乘则然也以分母七
　乘子三而皆七之则为三分者七为三分七是为全
　全数者三矣而其所当者全数也七之则为全数者
　七矣是乙以全数当甲七之三者七乘之则七乙当

　三甲也故如倒位然皆全数也非分也故非倒位
　正负亦分母乘何也乙一当甲七之三而少六则七
　乙当三甲而共少七个六为四十二也丙一当乙七
　之三而多二则七丙当三乙而共多七个二为十四也
　
　
　
　

　如法以前两行遍乘减并又重列之与第三行遍乘
　减并　乙减尽丙异并七十九为法　下数异并一
　千五百八十为实　法除实得二十为丙数
　七因丙数得一百四十同减负十四馀一百二十六
　以乙三除之得四十二为乙数
　七因乙数得二百九十四异加正四十二共三百三
　十六以甲三除之得一百一十二为甲数
　　此变零从整而分母同者也亦有分母不同但取

　　其本一行中所用之分母遍乘本行以为用不必
　　齐同如后条
问有数不知总以三人分之亦不知各所分之数但云
　甲如乙丙共数二之一乙如甲丙三之二丙如甲乙
　四之三而不足四又四分之一总数分数各几何
　答曰总数十五　甲五　乙六　丙四　乙丙共十
　其二之一则五如甲　甲丙共九其三之二则六如
　乙　甲乙共十一其四之三则八叉四之一以丙相

　较不足四又四之一也
法曰此各行分母不同(如甲有三之二又有四之三乙/有二之一又有四之三丙有二)
　(之一又有三之/二皆有两分母)宜用变零从整之法以不同同之(用/分)
　(则不同变而用整/则不同而同矣)以分母各遍乘其本行而列之
　右行分母二　中行三左行四

　如法互乘减并以三色较数变为二色而重列之(虽/减)
　(并不同皆仍为/较数不变宜玩)
　
　
　如法互乘　乙同减尽　丙同减馀负三十四为法
　　正一百三十六无减就为实　法除实得四为丙
　数　六乘丙数得二十四以相当适足之四乙除之
　得六为乙数　以原列右行乙丙各一共十以相当

　适足之甲二除之得五为甲数
论曰甲为乙丙二之一则是二甲当一乙一丙也皆二
　因之也　乙为甲丙三之二则是三乙当二甲二丙
　也皆三因之也　丙为甲乙四之三而不足四又四
　之一则是四丙以当三甲三乙而不足十七也皆四
　因之也(甲乙丙各有两分母若化整为零当以分母矣/相乘为原数母互乘子为所用之分殊多事)
　二因甲得二二因乙丙二之一得乙丙各一
　三因乙得三三因甲丙三之二得甲丙各二

　四因丙得四四因甲乙四之三得甲乙各三四因正
　四又四之一得正十七(以一丙与甲乙四之三较不/足四又四之一若以四丙与)
　(四个甲乙四之三较亦不足四/个四又四个四之一是为十七)
问有数九百六十以四人差等分之乙与甲如二与八
　丙与乙如三与七丁与丙如四与六各几何
　答曰甲六百七十二　乙一百六十八　丙七十二
　　丁四十八
法以共数命为和相当数命为较依和较杂法列之

　乙二而甲八是乙得甲八之二故八乙可当二甲也
　丙三而乙七是丙得乙七之三故七丙可当三乙也
　丁四而丙六是丁得丙六之四故六丁可当四丙也
　(推此知二八三七四六各/种差分皆可以方程御之)

　首次两行如法互乘减并讫重列之取出第三行与
　之为耦
　
　
　如法减并讫又重列之(两次减馀皆和数/可见立负之非)
　又取末行与之为耦而列之
　
　

　如法乘　丙减尽　丁并得四百八十为法　正二
　万三千○四十无减就为实　法除实得四十八为
　丁数　六因丁数得二百八十八以相当之四丙除
　之得七十二为丙数　七因丙数得五百○四以相
　当之三乙除之得一百六十八为乙数　八因乙数
　得一千三百四十四以相当之二甲除之得六百七
　十二为甲数
试以甲并乙共八百四十以八因之得甲数若二因亦

　得乙数是乙数甲二八差分也　试以丙并乙共二
　百四十以七因之得乙数若三因亦得丙数是丙与
　乙三七差分也　并丙丁共一百二十以六因之得
　丙数若四因亦得丁数是丁与丙四六差分也
又试以八除甲数得八十四以二除乙数亦得八十四
　若以八十四除甲数必得八以八十四除乙数必得
　二也　又试以七除乙数以三除丙数皆得二十四
　若以二十四除乙数必得七除丙数必得三也　以

　六除丙数以四除丁数皆得十二若以十二除丙数
　必得六除丁数必得四也
问有数七百四十一以四人分之乙于甲为三之二丙
　于乙为五之三丁于丙为七之五各几何
　答曰甲三百一十五　乙二百一十　丙一百二十
　六　丁九十
法曰乙得甲三之二是三乙当二甲也丙得乙五之三
　是五丙当三乙也丁得丙七之五是七丁当五丙也

　故皆命以适足而列之
　
　
　
　
　先以孟仲两行如法互乘减并讫列其馀数取出叔行相对
　
　

　如法减并又列其馀与季行相较
　
　
　如法减并　丁二百四十七为法　正二万二千二
　百三十为实　法除实得九十为丁数
　七因丁数五除之得一百二十六为丙数　五因
　丙数三除之得二百一十为乙数　三因乙数二除
　之得三百一十五为甲数

问有数七百四十一以四人分之乙如甲三之二丙如
　甲五之二丁如甲七之二各几何
　因前问中有叠数故作此问以互明之
　乙三当甲二而丙五又当乙三是丙五亦当甲二也
　丙五当甲二而丁七又当丙五是丁七亦当甲二也
　(又丁七亦当乙三今/云两者以甲为主也)
　在西法谓之连比例
上　　　　　　中　　　　下

　
　
　
　
　首行互乘次行如故　次行乘首行皆二之甲减尽
　　乙异并得五(正/)丙二(正/)丁二(正/)正一千四百八十
　二皆无减(皆仍为和同名/在一行故也)
　次行乘三行因两首位同不用乘竟以对减　甲减

　尽乙三(次行/负也)丙五(三行/负也)皆无减命为正负适足(同名在两行/故为较数)
　三行末行首位亦同亦径减　甲减尽　乙空　丙
　五(三行/负也)丁七(末行/负也)皆亦无减命为正负适足(亦同名/在两行)
　乃以减馀重列之如三色有空之法
　
　
　
　

　如法减并得二百四十七为法二万二千二百三十
　为实　法除实得丁数以次求得甲乙丙数皆如前
　问之数
问有米三百八十五石五斗二升令二等人户以四六
　差分出之甲上等二十六户乙下等四十户下户出
　率则如上户六之四
　答曰上户各七百三斗二升　二十六户共一百九
　十石○三斗二升　下户各四石八斗八升　四十

　户共一百九十五石二斗
法以和较列位
　
　
　如法互乘得四　甲同减尽　乙异并三百一十六
　户为法　米一千五百四十二石○八升无减就为
　实　法除实得四石八斗八升为下等户则例　以
　下等六户乘其则例得二十九石二斗八升以相当

　之上等四户除之得七石三斗二升为上等户则例
问有米三百一十七石给与四色人户甲二十户乙三
　十户丙四十户丁五十户丁每户如丙户七之三丙
　每户如乙户六之四乙每户如甲户八之二各几何
　答曰甲每户八石四斗　二十户共一百六十八石
　　　乙每户二石一斗　三十户共六十三石
　　　丙每户一石四斗　四十户共五十六石
　　　丁每户六斗　　　五十户共三十石

法列位
　
　
　
　
　首行甲二十户十倍于次行甲正二但以首行甲退
　一位作二则齐同矣甲退十为单其下各位皆退十
　为单即如互遍乘而可以对减矣

　乃以减并之馀重与第三行列之
　
　
　又以减并之馀重与第四行列之
　
　
　依法求得六百三十四为法　三百八十石○四斗
　为实　法除实得六斗为丁户则例　七因丁则得

　四石二斗丙三除之得一石四斗为丙则　六因丙
　则四除之得二石一斗为乙则　四因乙则得八石
　四斗为甲则
　(此条有省算/法说见后卷)
　　此上数条皆变零从整法也
　有两数相较而为十之八十之七者即非二八三七
　差分也有二例见末卷
　璎珞方程例

璎珞者言其联缀而垂象璎珞也谓之叠脚
凡算方程皆以多色递减至一法一实以先知一色之
　数然此所先求之一色却原带有不同之数则法一
　而实非一故以一总法而除多实非叠脚之法不可
　也(亦有以下为法上为实者则实一而法有/多名在合问者之所求而定之详刋误条)
今有大江南北两处粮艘载米不同因冰程远近给耗
　米亦不等但云南船三只北船两只共运米一千九
　百七十石外给耗米共六百六十八石又南船一只

　北船四只共运米一千九百九十石外给耗米五百
　五十六石问各船正耗米数以便稽核
　答曰北船每只正运米四百石　给耗米一百石
　　共正耗米五百石　每正米一石耗米二斗五升
　　南船每只正运米三百九十石　给耗米一百五
　　十六石　共正耗米五百四十六石
　　每正米一石给耗米四斗
法各列位

　
　
　
　先以左行南船一遍乘右行各得原数
　次以右行南船三遍乘左行得数　南船三与右减
　尽　北船十二减去右二馀十只为总法
　正运米五千九百七十石减去右一千九百七十石
　馀四千石为运米实

　耗米一千六百六十八石减去六百六十八石馀一
　千石为耗米实
　以总法除正运米实得四百石为北船每只运数
　以总法除耗米实得一百石为北船每只耗米数(总/计)
　(正耗得北船每/只米五百石)
　任于左行总运米一千九百九十石内减北船四只
　该运米一千六百石馀三百九十石为南船一只运
　数(一故不除运或于右行运一千九百七十石内减/北船二只 八百石馀一千一百七十石以南船)

　(三只除之亦得/三百九十石)
　于左行总耗米五百五十六名内减北船四只该耗
　四百石馀一百五十六石为南船一只运数(或于右/行耗六)
　(百六十八石内减北船二只耗二百石馀四百六十/八石以南船三只除之亦得一百五十六石)总
　计正耗得南船每只米五百四十六石
　以北船四百石除其耗米一百石得每石给耗米二
　斗五升以南船三百九十石除其耗米一百五十六
　石得每石给耗四斗

　　此问每船米数故以船为法米为实
若问每米一万石该用几船则以减馀船十只用异乘
　同除以一万乘得十万为总船实　以运米减馀四
　千石为法　法除实得二十五为每运米一万石用
　北船之数　于是任以右行北船二只亦用异乘同
　除以一万石乘之二十五船除之得八百石以减共
　米一千九百七十石馀一千一百七十石又用为法
　以右行原列南船三乘一万石得三万石为实法除

　实得二十五只又三十九分之二十五为每米一万
　石用南船之数
若问耗米给过五千石该得几船者则亦用异乘同除
　以五千石乘减馀十只为北船实　以减馀耗米一
　千石为法除实得五十只为每耗米五千石给北船
　之数　任以右行北船二只五千石乘之五十只除
　之得二百石以减共耗六百六十八石馀四百六十
　八石又用为法以原列南船三乘五千石为实法除实

　得三十二只又三十九分之二为每耗米五千石给南船
　之数
假如有南运艘二只以比北三只则南船运米不及北
　四百二十石其南船带耗米反多于北一十二石若
　以南船三当北船五则南船运米不及北八百三十
　石其耗米亦不及北三十二石问各几何
法以正负列位
上　　中　　　下

　
　
　如法乘减馀北船一只为总法
　运米同减馀四百石为运米实即为北船每只运数
　(总法一故/不除下同)耗米异并得一百石为耗米实即为北船
　每只耗数
　任以右行北船三乘其运数得一千二百石同减负
　四百二十石馀七百八十石以南船二除之得三百

　九十石为南船运数
　以右行北船三乘其耗数得三百石异加正十二石
　共三百一十二石以南船二除之得一百五十六石
　为南船耗数
若问每米一万石须几船运者则以减馀北船一以一
　万石乘之为船实　以减馀四百石为运米法法除
　实得二十五只为北船每运一万石之数　又以一
　万石任乘右行北船三以二十五只除之得一千二

　百石同减负四百二十石馀七百八十石又为法以
　一万石乘南船二为实法除实得二十五只又三十
　九分船之二十五为南船每运一万石之数
若问耗米五千石该给几船者则亦以五千石乘减馀
　北船一只为船实　以减馀一百石为耗米法法除
　实得五十只为北船耗米五千石之船数　又以五
　千石乘右行北船三以五十只除之得三百石异加
　正十二石共三百一十二石又为法以五千石乘南

　船二为实实如法而一得三十二只又三十九分船
　之二为南船耗米五千石之船数
　　此因耗米与正运不同故也若耗米亦以一万石
　　为问则北船之实皆同
今有墨一百二十七锭研六十六枚给与修史局六十
　人校书局六十三人又有墨五十八锭研三十二枚
　给与修史局二十四人校书局四十二人问各几何
　答曰史局每人墨一锭又六分之四(六人十/锭也)研四分

　之三(四人共/三研)校书局每人墨七分之三(七人共/三锭)研三
　分之一(三人共/一研)
法各列位
　
　
　如法乘减馀校书一千○○八人为总法
　墨馀四百三十二为墨实
　研馀三百三十六为研实

　以总法除墨实得七分之三为校书局给墨数(七人/得墨)
　(三/锭)　就以七人除右行校书六十三人以墨三锭乘
　之得二十七锭以减总给一百二十七锭馀一百锭
　以史局六十人除之得一锭又六分之四(六人得四/锭并整数)
　(为六人/十锭)为史局给墨数
　又以总法除研实得三分之一为校书局给研数(三/人)
　(共/一)　就以三除校书六十三人得二十一研以减总
　给研六十六馀四十五研以史局六十人除之得四

　分之三(四人/三研)为史局给研数
问修艌船只内有旧船二只新船一只共用桐油二百
　六十斤麻一百三十斤钉十七斤石灰二百一十斤
　计工两月有半又旧船一只新船三只共用桐油二
　百八十斤麻一百四十斤钉十六斤灰二百三十斤
　工两月有半其新旧船各几何
　答曰每新船一只　用桐油六十斤　麻三十斤
　　钉三斤　灰五十斤　每工一月修两只

　每旧船一只　用桐油一百斤　麻五十斤　钉七
　斤　灰八十斤　每工一月修一只
法各列位
　
　
　先以左旧船一遍乘右行如故
　次以右旧船二遍乘左行得数　乃相减　上位旧
　船对减尽中位新船减馀五为总法

　下位油相减馀三百斤为新船油实(以总法除之得六/十斤为新船油数)
　麻相减馀一百五十斤为新船麻实(以总法除之得三/十斤为新船麻数)
　钉相减馀一十五斤为新船钉实(以总法除之得三/斤为新船钉数)
　灰相减馀二百五十斤为新船灰实(以总法除之得五/十斤为新船灰数)
任以左行新船三只乘其油数得一百八十斤以减总
　油二百八十斤馀一百斤为旧船一只油数
　以新船三只乘其麻数得九十斤以减总麻一百四
　十斤馀五十斤为旧船一只麻数

　以新船三只乘其钉数得九斤以减总钉一十六斤
　馀七斤为旧船一只钉数
　以新船三只乘灰数得一百五十斤以减总灰二百
　三十斤馀八十斤为旧船一只灰数
　　此为以船求油麻等故以船为法以麻油等为实
乃以减馀新船五只为总实
　以减馀工两月半为法　法除实得二只为每工一
　月修新船之数就以二只除左行新船三只得一月

　有半以减总工两月半馀一月以除旧船一只如故
　得每工一月修旧船一只
　　此以工求船故以工为法船为实与前相反
　重审方程例
凡算方程皆以有总数无各数故递减以求之然有并
　其总数亦隐者此当用两次求之故曰重审
假如品官禄米不知数但云甲支三品俸四个月又带
　支四品俸五个月乙支三品俸六个月又带支四品

　俸五个月亦不知甲乙各得数但云以甲十三分之
　一益乙则三百五十石若以乙十一分之三益甲亦
　三百五十石问两品禄米各几何
　荅曰三品每月俸三十五石
　　　四品每月俸二十四石
法曰此当先求出甲乙两家支过禄米再求各品月俸
　谓之重审先以带分法列位
上　　　　中　　　　　下

　
　
　左甲之一分遍乘右行如故
　右甲之十三分遍乘左行得数
　甲减尽　乙减馀一百四十分为法　馀俸四千二百
　石为实　法除实得三十石为乙之一分　以乙分
　母十一乘其一分得三百三十石为乙支过米数
　以乙支过米数减总三百五十石馀二十石为甲之

　一分　以甲分母十三乘其一分得二百六十石为
　甲支过米数
既得两家支过米数乃重列之以求品俸
　
　
　如法左右乘减　馀四品十月为法　馀俸米二百
　四十石为实　法除实得二十四石为四品每月俸
　　以四品五月计一百二十石减甲支二百六十石

　馀一百四十石以甲支三品四月除之得三十五石
　为三品每月俸
假如品官支俸本折兼支不知数但云甲支一品俸四
　个月又带支二品俸五个月乙支一品俸六个月又
　带支二品俸十个月亦不知甲乙支过数但云取乙
　本色三分之一以益甲共五百六十六石若取甲本
　色三分之二以益乙则八百六十五石　取乙折色
　五分之二以益甲共四百九十八石若取甲四分之

　一以益乙则五百七十九石问各几何
　答曰一品月俸八十七石
　　　内实支本色一半四十三石五斗　折色钞一
　　　半数同二品月俸六十一石
　　　内实支本色六分三十六石六斗　折钞四分
　　　二十四石四斗
法当重审　先求本色依带分法列位
上　　　中　　　下

　
　
　如法乘减　馀乙之七分为法　馀本色一千四百
　六十三石为实实如法而一得二百○九石为乙本
　色之一分以减右行共本色五百六十六石馀三百
　五十七石为甲支过本色数　又以乙分母三乘其
　一分得六百二十七石为乙支过本色数
　　计开

　　　甲支过本色三百五十七石(内一品俸四个月/二品俸五个月)
　　　乙支过本色六百二十七石(内一品俸六个月/二品俸十个月)
次求折色　亦依带分列位
　
　
　如法左右乘减　乙馀十八分为法　馀折色一千
　八百一十八石为实　法除实得一百○一石为乙
　折色之一分以乙分母五乘之得五百○五石为乙

　支过折色数　以乙之二分乘其一分得二百○二
　石以减共折色四百九十八石馀二百九十六石为
　甲支过折色数
　　计开　甲支过折色二百九十六石(内亦一品俸/四个月二品)
　　　　　(俸五/个月)
　　　　　乙支过折色五百○五石(内亦一品俸六/个月二品俸十)
　　　　　(个/月)
　　既得甲乙两家支过本折然后乃求各品月俸

依叠脚法列其所得本折而重测之
　
　
　如法遍乘得数　上位一品减尽　中位二品馀十
　个月为总法　下位本色馀三百六十六石为本色
　实
　折色馀二百四十四石为折色实
乃以总法除本色实得三十六石六斗为二品每月俸

　本色数　以乙二品十个月计三百六十六石减乙
　共本色六百二十七石馀二百六十一石以乙一品
　六个月除之得四十三石五斗为一品月俸本色
又以总法除折色实得二十四石四斗为二品月俸折
　色　以乙二品十个月计二百四十四石减乙共折
　色五百○五石馀二百六十一石以乙一品六个月
　除之亦得四十三石五斗为一品月俸折色(其右行/亦可互)
　(求则先得/甲数也)

于是以一品本色折色并之得每月俸八十七石(本折/各半)
　(支/)
　以二品本折并之得每月俸六十一石(四六支本色/六分折色四)
　(分/)
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　历算全书卷四十一