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历算全书 卷三十八 第 1a 页 WYG0794-0811c.png
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历算全书卷三十八
宣城梅文鼎撰
笔算卷五
开平方法
测量句股全恃开方开方有平有立而平之用博以其
有实无法故别为一术以佐乘除之所穷
平方者面羃也其形正方故亦为自乘之积开平方者以
历算全书 卷三十八 第 1b 页 WYG0794-0811d.png
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法先列实 依除法作两直线以所用方积列于右直
线之右自上而下至单位止无单作○
次作点定位 自单位作一点起每隔一位点之有一
点则商一位(如有二点则商数有十/有三点则商数有百)
次定初商 皆自原实最上一点截定为初商之实(如/点)
(在首位即以一位为初商实点/在次位即合两位为初商实)以自乘数约而商之皆
以点处为本位点上一位为进位(本位者单数也如一/商一四商二九商三)
历算全书 卷三十八 第 2a 页 WYG0794-0812a.png
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(千与万以上上/皆作十数用)
又法 以初商实入表皆视初商实有与表同数或稍大于表
数者用之以命初商(如一商一四商二此与表数相同也如二/三亦商一五六七八皆商二此比表数稍)
(大也若至九则商三又为相同之数矣十至十五皆商三/皆比表数稍大至十六商四又为相同之数他皆仿此)
初商表(凡初商三以下减积在本位四/以上减积合两位此表明之)
历算全书 卷三十八 第 2b 页 WYG0794-0812b.png
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既得商数即书于左直线之右皆对初点之进位书之(凡商得/一二三)
(四书于点/之上一位)五以上又进一位(凡商得五六七八九/书于点之上两位)
次减实 以初商数自乘书于左直线之左皆以本位对初点
(如初商一二三自乘一四九皆本位即对初点书之如初/商四五六七八九其自乘皆有进位则以下一字对初点)
就以此命为减数以对减右直线所列方积如减积不尽则有次商
次商之法 倍初商得数为次商廉法对原实位书于右直线
之左(视实冇二点则初商是十有三点初商是百四点初商是/千各取倍数对原列方积千百十零之位书之倍而言十)
历算全书 卷三十八 第 3a 页 WYG0794-0812c.png
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次商数(并依除/法约之)挨书于初商之下即用次商数为隅法亦书于
廉法之下为次商廉隅共法(省曰次/商法)以与次商数相乘书其数
于左直线之左(皆以法首位所乘之进位对次商数书之若言/如之数亦以○位对之法有几位遍乘而挨书)
(之点至次点止上又法先以法尾位隅法乘次商数以本位对/次 书之进位 一字书之依乘法例自下而上法有几位皆)
(遍乘而迭进书之/至次商数止亦同)命为次商减积数以对减右直线馀积而定
次商(皆减积至/次点止)如减数大于馀积则改次商(亦改/隅法)如上乘减及
减而止次商减积不尽则有三商
历算全书 卷三十八 第 3b 页 WYG0794-0812d.png
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(商廉/法)截原实第三点为三商之实(三商减积至/三点而止)馀并同次商如
减积不尽则有四商
四商以上并同三商法
审○位之法 若次商廉法大于第二点以上馀积或数适相同是商
得○位也(凡商得一数者其减积必与廉法同而多一数以为/隅故仅同者无隅积也即不能商一数而成○位)
则书○于初商之下以当次商亦增○于廉法之下为三商廉
法三商以上有○并同(若应商几位而于初商或次商即已减积/至尽是末几位皆商得○也俱补作○)
历算全书 卷三十八 第 4a 页 WYG0794-0813a.png
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(之加隅一为分母不尽之/数为分子命为几分之几)虽未商得单数而馀积甚少不能成
单一数亦以法命之(前审○位云廉法大于馀积者但取第二/点以上相较不论千百十零其所谓不能)
(商一数者或是一千或是一百不拘定是/单一也故商○之后仍有所商与此不同)
还原法以商得方根自之有不尽者以不尽之数加入之即得原实
又简法作直线于左方以应减之积依并法并之必合原实有
不尽数亦加入之并同除法还原
初商本位式(凡初商一二三者减积言如在本位然初商/一二三四者书商数于点之上一位 以书)
历算全书 卷三十八 第 4b 页 WYG0794-0813b.png
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假如有方田积二百五十六步问每面方若干
答曰每面方十六步
列实(作两直线列方积于右直线之右/)
作点定位(自单位起每隔一位作一点共/两点宜商两次 初商是十)
历算全书 卷三十八 第 5a 页 WYG0794-0813c.png
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(位书于左直线之右有两点初商是一十自乘一百/为减数书左线之左遥对右行初点○二百书之就)
(以对减初商实于二百内减一百仍馀/馀一百改书之初商减积未尽有次商)
次商(倍初商一十作二十对原列方积十步位书于/右线之左为廉法 以第二点馀实一五六为)
(次商实用廉法约实可商七步因无隅积只约六步/为次商以书于初商之下即用六步为隅法以书于)
(廉法之下合廉隅共二十六步为次商法以乘次商/六步得廉积一百二十步隅积三十六步皆对次商)
(位书起每挨一位书之至次点止共得次/商减数一百五十六以对减馀实恰尽)共开得平
方根一十六步合问
历算全书 卷三十八 第 5b 页 WYG0794-0813d.png
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甲分形正方(四而皆十步积一百步即/初商积)
丙丁二分形皆长方(广六步长十步积/六十步两形共积)
(一百二十步/即次商廉积)
乙小分形亦正方(面皆六步积三十六/步即次商隅积)
自乘还原法置方一十六步为实即以
十六步为法乘之得二百五十六步合
原数
历算全书 卷三十八 第 6a 页 WYG0794-0814a.png
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(书商数以点上一位为本位则此其/进位也两进位法此一式中皆有之)
假如方积三十五万八千八百零一尺问方若干
答曰方五百九十九步
列位(同/前)
作点定位(有三点宜商三/次初商是百)
历算全书 卷三十八 第 6b 页 WYG0794-0814b.png
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(点上两位书左直线之右又即以表中自乘数二五遥对实/三五书于左直线之左就以对减初商实馀一○改书之以)
(待次/商)
次商(倍初商五百作一千○百对实千百位书于右直线之/左为廉法 以第二点上馀实一○八八为次商实用)
(廉法约之得九为次商续书于初商之下即以次商九为隅/法书廉法之下合廉隅共一○九为次商法以乘次商九得)
(廉积九隅积八一对次商位书起至次点止共得减数九/万八千一百以减次商实馀一○七改书之以待三商)
三商(以次商隅法九十倍作一百八十于次商法一千之下/抹去○九改书一八共一一入为廉法 以第三点上)
(馀积一○七○一为三商实用廉法约之得九为三商续书/于次商下即以三商九为隅法书于廉法之下合廉隅共一)
历算全书 卷三十八 第 7a 页 WYG0794-0814c.png
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(七百○一以对/减三商实恰尽)凡开得方根五百九十九尺
初商甲(方五百尺积/二十五万尺)
次商(丁/戊)二廉(各长五百尺阔九/十尺共积九万尺)
隅乙(方九十尺积/八千一百尺)
三商(已/庚)二廉(各长五百九十尺阔/九尺共积一万○六)
(百二/十尺)隅丙(方九尺积/八十一尺)
七形合成正方共积(三十五万八千/八百○一○)
历算全书 卷三十八 第 7b 页 WYG0794-0814d.png
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假如方积八十二万六千二百八十一尺问方若干
答曰九百○九尺
列位
作点定位(并同/前条)
历算全书 卷三十八 第 8a 页 WYG0794-0815a.png
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(之亦以表数八一对实八二书于左线之/左以减初商实馀○一改书之以待次商)
次商(倍初商九百作一千八百对原实位书之为廉法以第/三点上馀实○一六二为次商实以廉法约之法大实)
(小不能商一数是商得○位也纪○于初/商之下即于实首位销去一○馀俟三商)
三商(因次商是○增○于廉法之下共一八○为廉法以第/三点上馀实一六二八一为三商实用廉法约实得九)
(尺为三商书于次商○之下即以九为隅法书于廉法之下/共廉隅法一八○九以乘三商九得廉积一万六千二百隅)
(积八十一减/三商实恰尽)凡开得方根九百○九尺
计开
历算全书 卷三十八 第 8b 页 WYG0794-0815b.png
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续商廉(各阔九尺/长九百尺)共积(一万六千/二百尺) 隅方九尺积(八十/一尺)
通共八十二万六千二百八十一尺
假如方积二十五亿○七百○○万四千九百尺问方若干
答曰五万○七十尺
列位(原积尾位是百/补作两○列之)
作点定位(有五点当商五/次 初商是万)
历算全书 卷三十八 第 9a 页 WYG0794-0815c.png
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次商(倍初商五万尺得一十○万为廉法对原实位书之以/第二点上馀实○○○七为次商实实有三○无可商)
(是次商○也书○于初商五之下/亦于实首销去一○以待三商)
三商(因次商○增○于廉法下得一○○为廉法○以第三/点上馀实○○七○○为三商实实仍有两 位是三)
(商亦○也又书○于次商○之下/于实首复销去一○以待四商)
四商(因三商亦○又增○于廉法之下得一○○○为廉法/ 以第四点上○七○○四九为四商实用廉法约之)
(得七十尺书于三商○之下即以七为隅法增于廉法下共/廉隅法一○○○七以乘四商七得廉积七百万隅积四千)
(九百以对减/四商实恰尽)
历算全书 卷三十八 第 9b 页 WYG0794-0815d.png
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凡开得方根五万○○七十○尺
命分式
假如方积五百七十六万四千八百尺问方根若干
答曰二千四百尺(又四千八百○一/分尺之四千八百)
列位(实尽于百位如前/法补作两圈列之)
作点定位(有四点宜商四/次初商是千)
历算全书 卷三十八 第 10a 页 WYG0794-0816a.png
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次商(倍初商二千得四千为廉法约以第二点上馀/实一七六为次商实用廉法 之得四为次商)
(即以为隅法书廉法下共廉隅法四四以乘次商四/得廉积一百六十万隅积一十六万共减积一百七)
(十六万次/商实减尽)
三商(倍次商隅法四作八增入次商法共四八为三/商廉法以第三点上馀实○○四八为三商实)
(有两○无可商作○于三商/位消去实首一○以待四商)
四商(三商○亦增○于廉法下共四八○为廉法与/以第四点上馀实○四八○○为四商实仅)
(廉法相同是无隅积也不能商一数作○于四商位/其不尽之数以法命之法以廉法四千八百○加隅)
历算全书 卷三十八 第 10b 页 WYG0794-0816b.png
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(即一尺/弱也)
共开得平方二千四百尺又四千八百○一之四千
八百
此虽未开至单尺之位而馀实甚少不能成一单尺故
即以法命之若馀实是四千八百○一尺则商得平方
二千四百○一尺矣今止四千八百尺是少一尺故不
能成一单尺也
历算全书 卷三十八 第 11a 页 WYG0794-0816c.png
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开方分秒(凡开方欲知分秒法于馀实下每增两○位则/多开一位为分秒之数 平方之积尺有百寸)
(寸有百分皆以百/为母故增两○)
假如有平方积二十四尺平方开之得方四尺不尽八尺问分
历算全书 卷三十八 第 11b 页 WYG0794-0816d.png
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如常列位作点点在次位即以
二四两位合商得方四尺减其
自乘一十六尺馀八尺用命分
法以商四尺倍作八尺又加隅
一得九为命分母不尽为分子
命为方四尺又九分尺之八
历算全书 卷三十八 第 12a 页 WYG0794-0817a.png
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法于馀实下加两○化八尺为八百寸(每尺纵横十/寸故其积百)
(寸/)用为次商实以初商四尺倍之得八尺亦化八十
寸(商数是每边之/数故尺只十寸)对馀实十寸位书之(即第一/○位)为廉
法用廉法约实可商九寸因恐无隅积只商八寸书
于初商四尺之下亦即以次商八寸为隅法书于廉
法八十寸之下共廉隅八十八寸以乘次商八寸得
廉积六百四十寸隅积六十四寸共廉隅积七百○
历算全书 卷三十八 第 12b 页 WYG0794-0817b.png
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馀九十六寸命为奇数
凡商得每方四尺八寸有奇
再求其分
法于实下又加两○以馀九十六寸化九千六百分(解/见)
(上/)为三商实 商数四尺八寸亦化四百八十分倍
之为九百六十分移对馀实百分十分之位书之为
廉法以廉法约实商得九分为三商书次商之下亦
历算全书 卷三十八 第 13a 页 WYG0794-0817c.png
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共廉隅九百六十九分以乘三商九分得廉积八千
六百四十分隅积八十一分共积八千七百二十一
分自三商位书起至第四○位止以对减馀实仍馀
八百七十九分命为奇数
凡商得每方四尺八寸九分有奇
再求其釐
法于馀实下又加两○以馀八百七十九分化八万
历算全书 卷三十八 第 13b 页 WYG0794-0817d.png
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作九尺七寸八分化为九千七百八十釐移对馀实
依千百十之位书之为廉法 用廉法约实得八釐
为四商书于三商之下即以四商八为隅法增于廉
法末共廉隅法九千七百八十八釐以乘四商八釐
得廉积七万八千二百四十釐隅积六十四釐自四
商位书起至第六○位止以减馀实仍馀九千五百
九十六釐
历算全书 卷三十八 第 14a 页 WYG0794-0818a.png
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再求其毫
如法于馀实下又加两○化馀实为九十五万九千六
百毫为五商实 次倍商数四八九八作九尺七寸
九分六釐化为九万七千九百六十毫为廉法移对
馀实万千百十之位书之用廉法约实得九毫为五
商书四商下亦即以五商九为隅法增入廉法下共
廉隅九万七千九百六十九毫以乘五商九毫得廉
历算全书 卷三十八 第 14b 页 WYG0794-0818b.png
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商位书起至第八○位止以减馀实仍馀七万七千
八百七十九毫
凡商得方四尺八寸九分八釐九毫又九万七千九百
七十九之七万七千八百七十九即奇数也
右单数下已开四位(尺为单位析为寸/分釐毫凡四位)其不尽者
是不满一毫之数于单数为十万分之一(如欲再/求忽微)
(亦如/上法)
历算全书 卷三十八 第 15a 页 WYG0794-0818c.png
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历算全书 卷三十八 第 15b 页 WYG0794-0818d.png
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(入方积以减原积不及减者改商之其次商亦倍初/商加纵为廉法但倍方而不倍纵 三商以上并同)
假如有长田积六百二十四步阔不及长二步问长阔各若干
答曰长二十六步阔二十四步
历算全书 卷三十八 第 16a 页 WYG0794-0819a.png
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如常作点定位
初商(以○六为初商实商得二十步自乘应减方积/四百步又以商数乘纵二步得纵积四十步如)
(法列之以减原实仍/馀一百八十四步)
次商(倍初商二十步作四十步加纵二步共四十二/步为廉法以约馀实得商四步即以为隅法合)
(廉隅纵共四十六用乘次商四得廉积一百六十步/隅积十六步纵积八步共减积一百八十四步恰尽)
命为阔二十四步 加纵二步为长二十六步
合问
历算全书 卷三十八 第 16b 页 WYG0794-0819b.png
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甲为初商方形(长阔各二十/步积四十步)
已初商纵形(阔二步四长亦二/十步积 十步)
戊丙并次商廉(长各二十步十阔/四步 积八 步)
乙次商隅(方四步步积/一十六)
丁次商纵廉(长四步八阔二/步 积 步)
(以上五者合之为一长方形步/共长二十六步 阔二十四)
(积六百二十/四步合原数)
历算全书 卷三十八 第 17a 页 WYG0794-0819c.png
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阔因以知长
假如有直田积四百五十步但云长多阔一倍问长阔
若干
答曰阔十五步 长三十步
法平分其积得二百二十五步平方开之得阔十五
步
置阔十五步倍之得长三十步合问
历算全书 卷三十八 第 17b 页 WYG0794-0819d.png
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三问长若干
答曰 阔一十二步长二十一步
法以多三分加分母四共七为法以分母四乘积为
实法除实得一百四十四步开方得阔一十二步
置阔一十二步七因四除之得二十一步为长(长比/阔多)
(九步于十二步/为四分之三)
历算全书 卷三十八 第 18a 页 WYG0794-0820a.png
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平方者方田之属也但取面羃之积立方者方仓之属
也必求其内容之积故平方曰面立方曰体有面而后
有体有线而后有面故皆以线为根
假如长二尺者线数也线有长短而无广狭若以此线
横展之长亦二尺阔亦二尺则其积四尺为面面者平
方形也面有阔狭而无厚薄又以此面层累而厚之长
阔皆二尺高亦二尺则其积八尺为体体者立方形也
历算全书 卷三十八 第 18b 页 WYG0794-0820b.png
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其立方之积数一也
法先立位(同平/方) 作点(自单位起每隔二位点之/以最上一点为初商实) 定
位(视有若干点则商几位如有二点则商/数有十有五点则商数有百并同平方)
初商法 以自乘再乘数约而商之(如一商一八商二/二七商三之类)
书商数于左线之右(凡商得一数者书于点上一位商/得二三四五者书于点上两位商)
(得六七八九者/书于点上三位)即以自乘再乘数书于左线之左以对
减初商实(初商减积/至初点止)
历算全书 卷三十八 第 19a 页 WYG0794-0821a.png
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为长廉法(亦曰/廉法)皆对原实千百位书之 截第二点上馀实为
次商实(次商减积/至次点止)以平廉法约实得次商(列初/商下)即以次商为隅
法列长廉次(亦按千百/位列之)乃以次商乘平廉法为平廉积又以次
商自乘以乘长廉及隅法为长廉小隅积俱挨书之以减馀积
不及减者改商
三商法 以馀实另列之 合初商次商自乘而三之为平廉
法 合初商次商三之为长廉法 截第三点上馀实为三商
历算全书 卷三十八 第 19b 页 WYG0794-0821b.png
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四商以上并同三商
命分法 合平廉长廉法再加隅一为命分母不尽之数为命
分子(并同/平方)
还原法 置商数自乘得数再以商数乘之即合原实(有不尽者以不/尽之数加入之)
初商表(用法与平/方表同)
历算全书 卷三十八 第 20a 页 WYG0794-0821c.png
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历算全书 卷三十八 第 20b 页 WYG0794-0821d.png
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答曰方一十八尺
列实
作点定位(有两点初/商是十)
历算全书 卷三十八 第 21a 页 WYG0794-0822a.png
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次商(以初商自乘而三之得三百为平廉法二又以初商三/之得三十为长廉法 以平廉法约第 点上馀实得)
(八尺为次商即以为隅法并如法列之乃以次商乘平廉法/得二千四百为平廉积又以次商自乘得六十四以乘长廉)
(及隅法得长廉一千九百二十隅积五百/一十二共减积四千八百三十二恰尽)
历算全书 卷三十八 第 21b 页 WYG0794-0822b.png
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甲为初商方形(长阔皆十尺/积一千尺)
乙为次商平廉凡三以辅于
方之三面(长阔皆十尺厚八/尺积八百尺共积)
(二千四/百尺)
丙为次商长廉亦三以辅三
平廉之隙(长十尺阔与厚皆/八尺积六百四十)
(尺共积一千/九百二十尺)
历算全书 卷三十八 第 22a 页 WYG0794-0822c.png
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假如立方积二千二百五十九亿七千七百八十一万一千五
百七十尺问方根若干答曰方六千零九十尺(又一亿一千/一百二十八)
(万二千五百七十一之一亿一千/一百二十八万二千五百七十)
列实(实尾无单/位补作○)
作点定位(有四/点初)
(商是/)
千
历算全书 卷三十八 第 22b 页 WYG0794-0822d.png
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(商/)
次商(日乘初商而三之得一亿○八百万为平廉法位/以初商三之得一万八千为长廉法各对原实)
(列之次以第二点上馀实为次商实实首有两○无可/商是 商○也作○于初商之下即于实首消去两○)
(馀俟/三商)
三商(次商○即以次商法为三商法尺以第三点上馀实为/三商实以平廉法约之商九十 即以为隅法对实十)
(位列之乃以九十乘平廉法得平廉积九十七亿二千万又/以九十自乘得八千一百以乘长廉及隅法得长廉积一亿)
(四千五百八十万隅积七十二万九千共/减积九十八亿六千六百五十二万九千)
历算全书 卷三十八 第 23a 页 WYG0794-0823a.png
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(法得又以六○九三/之 一万八千二百)
(七十为长廉法廉以/法约实仅与两 法)
(之数相同无隅积不/能成一单数以法命)
(之合平廉长廉数加/隅一为命分母馀实)
(为命/分子)
命为立方六千○九十尺又(一亿一千一百二十八万二千/五百七十一尺之一亿一千一)
(百二十八万二/千五百七十)
历算全书 卷三十八 第 23b 页 WYG0794-0823b.png
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历算全书卷三十八