钦定四库全书
　历算全书卷三十六
　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰
　笔算卷三
　　异乘同除法
以先有之数知今有之数两两相得是生比例莫善于
异乘同除乃古九章之枢要也先有者二今有者一是
已知者三而未知者一用三求一故西法谓之三率

今先明同异名之说以著古法次详三率之用以显通
理
异者何也言异名也同者何也言同名也假如以粟易
布则粟与粟为同名布与粟为异名也
何以为异乘同除也主乎今有之物以为言也假如先
有粟若干易布若干今复有粟若干将以易布则当以
先所易之数例之是先易之布与今有之粟异名也则
用以乘是谓异乘若先有之粟与今有之粟同名也则

用以除是谓同除皆用以乘除今粟故曰主乎今有以
为言也(置今有粟以异名之布乘之为实再以同名之/粟为法除之是皆以今粟为主而以先有之二)
(件乘除/之也)
　
　
　
　
　

问何以不先除后乘曰以原总物除原物总价则得每
物之价以乘今有总物亦可得今有之总价然除有不
尽则不可以乘故变为先乘后除其理一也
假如原有豆一百○八石价银三十六两今有豆一百
三十五石问价若干
　答曰四十五两

　法曰置今豆一百三十五石以原豆价三十六两乘之
　得四千八百六十两为实以原豆一百○八石为法除
　之得四十五两为今豆应有之价(见以物求价也若/还原则以价求物)
假如原有银四十五两买豆一百三十五石今有银三十
　六两问豆若干
　答曰一百○八石
　法以豆一百三十五石乘价三十六两得四千八百六十
　石为实以价四十五两为法除之得一百○八石合问

　　西人三率法
其法以先有之二件为一率二率今有之二件为三率
四率则前两率之比例与后两率之比例等故其数可
以互求
　(今冇之二率先只有其一合前有之二率共为三率/以求之而得今有之馀一率是以三求一故曰三率)
　(法实四/率也)
假如一率是三二率是四三率是九则四率必为十二何也三
与四之比例若九与十二也故以四(二/率)九(三/率)相乘(卅/六)为实以三

(一/率)为法除之必得十二(四/率)
若互用之以四率为一率则十二与九之比例若四与三故曰
可以互求(此即还/原之理)
　(解曰以三比四以九比十二并三分加一之比例以十二比/九以四比三并四分减一之比例凡言比例等者皆如是)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(此以上图/之四率为)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(一率也故/其序皆倒)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(而所得四/率即上图)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(之一/)

又更而互之
　
　
　
　
凡二三相乘与一四相乘等积此立法之根观右图可明(四九/相乘)
　(三十六而十二与三相乘亦三十六故以三除三十六得十/二以十二除三十六亦复得三此前两图互求之理若更一)
　(四为二三其实同为三十六故以四除之得/九以九除之亦复得四此后两图互求之理)

又错综之
　
　
　
　
　此又以前图之二与三更之则前两率之第二变为
　后两率之第一而其比例亦等(凡一率二率为前两/率乃先有之二件也)
　(三率四率为后两率乃今有之两件也今以二率三/率相易则是先有之次率变为今有之首率也然以)

　(比例言之在前图为三与四若九与十二/者在此图则三与九亦若四与十二也)
　若以一率除二率得数以乘三率亦得四率(如以一/率三除)
　(二率九得三以乘三率四亦必得四率十二以一率/四除二率十二得三以乘三率三亦得四率九但先)
　(除后乘多有不尽之分故异乘同除/为算家大法乃中西两术所同也)
试仍以古图明之
　　　原有小麦十二石　换食盐九石　(俱四分之三比/例若以上□左)
　　　今有小麦　四石　换食盐三石　(右更置即成三/率之前四图)
　　更之(以纵为横/)

　　原有粱米　三石　换棉布九疋　(俱三倍之比例/若以上下左右)
　　今有粱米　四石　换棉布(十/二)疋　(更置即成三率/之错综四图)
　　辨法实
凡三率之用皆以二率乘三率为实首率为法除之以
得所求为四率
然何以定其孰为一率孰为二率三率也曰此则古人
同异名之法不可易也诀曰凡今有之已知者常定为
三率(其未知者待算而/知则常为四率)视先有之物与三率之今有同

名者定为首率其与今有异名必为二率矣
又诀曰凡三率之法以三件求一件其所求之一件未
知而三件则巳知也此已知之三件中必有两件同名
(如价与价物/与物之类)就以此同名之两件审其孰为先有定为
首率(其今有者则为三率而其馀异名/之一件亦必先有也恒为二率)
假如有句股形田长一百三十五步阔四十五步今截
相似形长一百○八步问阔若干
　答曰截阔三十六步

　
　
　
　
　
　
　
　定法实诀

　　以今截长一百○八步定为三率长与长同名以
　　原长一百三十五步定为首率阔与长异名以原
　　阔四十五步定为二率
　又诀(此巳知之三件是原长原阔截长内长与长同/名以原长是先有之数定为首率截长是今有)
　(之数为三率原阔/与长异名为次率)
　按原长与原阔即大句大股截长截阔即小句小股
　也四者皆可以递互相求三率中更互错综之理尤
　为易见

　
　
　
　
　以比例言之大股与大句若小股与小句也更之则
　小股与小句亦若大股与大句也此为以股求句反
　之而以句求股则大句与大股亦若小句与小股也
　又更之则小句与小股亦若大句与大股也

　
　
　
　
　又错综之则大股与小股若大句与小句也而大句
　与小句亦必若大股与小股矣又小句与大句若小
　股与大股也而小股与大股亦必若小句与大句矣
　是为三率之八变

　　异乘同除定位法
三率定位与乘法除法无异(乘法以实单位为根定所/对得数为法尾数除法以)
(法首上一位作识定所对得/数为所求单数并详前卷)但所用之实以二率三率
相乘而得握算者或疑其数之骤升而不能守其定法
则定位必讹而其理益晦矣故复论之(诸家算术往往/有定位不确者)
(皆由见乘后数多未免/惊怖而辄为酌改故也)
假如六个时辰马行二百一十里今行五个时辰当有
若干里

　答曰一百七十五里
　
　
　
　
　论曰试以六时除马行(二百一/十里)得每时行(三十/五里)以乘
　(五/)时亦得(一百七/十五里)原无可疑今先乘后除故以(一千/○五)
　(十/里)为实骤观之似乎太多究竟除后适得其本数

　而已
假如银(三十/二两)换钱(三万六/千文)今有银(二十/八两)问钱若干
　答曰三万一千五百文
　
　
　
　
　

　若以(三十/二两)除(三万/六千)得每两钱(一千一百/二十五文)以乘(二十/八两)亦
　得三万一千五百文(知得数之同则知一/百万零八千之非误)
　　异乘同除约分法
三率内有两率相准可用约分者即改用所约之数易
繁为简如法乘除所得无误而用加捷矣(两率者其一/首率其一次)
(率或三率也凡以法约之必两率相准次率三率祗则/用其一皆取其与首率相准也 或两率并为偶数)
(俱折半或两率并可均剖为四则折半两次或两率并/可均分为三则各取三之一或两数互减而得等数则)
(以等数约之/并如约分法)

　
　
　
　
　(论其比例/为十八比)　(半之则/九与八)　(以三约之/则六与十)　(以九约之/则二与十)　(再约之/则为一)
　(十六若九/十九与八)　(之比例/亦若九)　(六之比例/若三十三)　(六之比例/若十一与)　(与八若/十一与)
　(十八也/)　　(十九与/八十八)　(与八十八/)　(八十八/)　　(八十八/)
假如赁房九个月银七十八两问住二年该若干

　答曰二百零八两(法以二年成二十/四个月依式列之)
　
　
　
四　　　　　　　　　　二百零八(八乘廿六/即得此数)
假如八色金六十两换银二百八十八两今有九色金
五十两该若干
　答曰二百七十两(此以金折成足色六十两作四十/八两五十两作四十五两算之)

　
　
　
四　　　　　　　　　　　二百七十(十八乘十/五得此数)
　(右皆约得一数为首率故不须除但/以二率乘三率即得所求为四率)
　　重测法(三率有叠用两次者谓之/重测即两个异乘同除)
假如有夏布四十五丈欲换棉布但云每夏布三丈价二钱棉
布七丈价七钱五分问换棉布若干　答曰二十八丈

　一　夏布　三丈　　先用为法
　
　
　四　价　三两　法除实得此数
重列
　一　价(七钱/五分)　　　　又用为法

　四　棉布　(二十/八丈)　法除实得此数
　此因两布各有其价故先用法求得第四率以夏布
　变为银就以此定为重列之第三率(即今/价也)而以棉布
　价(七钱/五分)为首率(以与今价/同名也)棉布(七/丈)为次率(以与今价/异名也)
　如法乘除得所换棉布为四率
　　并乘除法
以两次乘除并而为一是合两三率为一三率也即古法之同
乘同除(古以并乘为异乘同乘以并除为异除同/除今乘除俱用并法故谓之同乘同除也)

假如今有芝麻五十四石欲换黄米但云芝麻三石换
绿豆五石换黄米三石问该换黄米若干
　答曰六十七石五斗
本法　　　　　　　重列
　一　麻　　三石　　豆　　四石
　二　豆　　五石　　米　　三石
　三　今麻　(五十/四石)　　今豆九十石(此重列之第三即先/得之第四乃本法也)
　四该豆　(九十/石)　　　米(六十七石/五斗)

简法(即并法/)
　　　　　　　　　　　　　　　　(今以两首率相/乘为首率)
　　　　　　　　　　　　　　　　(亦以两次率相/乘为次率)
　　　　　　　　　　　　　　　　(以两九十石对/去不用故三率)
　　　　　　　　　　　　　　　　(省乘是为并法/实简法也)
论曰本用两次乘除今以豆(四/石)乘麻(三/石)得(十二/石)以除是
并两次除为一次除也以米(三/石)乘豆(五/石)得(十五/石)以乘是
并两次乘为一次乘也依法求之即得所换米(六十七/石五斗)

与两次求者数同(又因一率二率可用约分/约之为四与五而法益简)
然则第三率何以独异(第三率径用今麻不以豆九十/石乘之是与并两首率为首率)
(并两次率为/次率者迥别)曰重列之第三即先得之第四故可以对
去不用不惟不用亦可不求(重列之第三率既无乘并/之用则原列之第四率不)
(必更求/其数)而乘除之用已备(今麻原系第三率今仍用为/第三是三率之用本无所缺)
即所求之得数已清矣(若第三率用豆九十石乘过之/则所得第四率亦必为豆九十)
(石乘过之米得数后必以九十石除之始能清出米数/反多曲折今对去豆九十石不用则所得四率即米数)
(直截/了当)故为简法

　　又式
假如有战兵七百名每年额饷一万二千六百两内有
新着伍兵三百名已经应役七个月问该饷银若干
　答曰三千一百五十两
　
　
　
　

依重测并乘除法当以(十二/月)乘(七百/名)得(八四/○○)为法以(七/个)
(月/)乘(一万二/千六百)得(八八二/○○)又以(三百/名)乘之得(二六四六/○○○○)为实
法除实得三千一百五十两为兵三百名七个月之饷
今用约分以(七/百)与(三/百)约为七与三(皆百/约之)则首率次率各
有(七/)对去不用可省并乘
重列之时径以(十二/)为首率饷银(一二六/○○)为次率(三/)为三率依
法乘除而得四率　又以首率(十二/)三率(三/)约为四与一则
径以饷(一二六/○○)为实以四为法除之得(三千一/百五十)合问

　　变测法(古谓之同乘异除在三率谓之/变测即几何原本之互视法也)
凡异乘同除皆以先有之一率为法(即首/率)以先有之又
一率乘今有之一率为实(即二率三/率相乘)
若同乘异除则反以今有之一率为法(同文算指列于/第三今依法实)
(之序定/为首率)以先有之两率自相乘为实(同文算指列于第/一第二今定为第)
(二第/三)虽亦以法除实得今所求之又一率(即四/率)与诸三
率同而法实相反故曰变测
假如用秤称物物重秤不能称外加一锤称得(八十/四斤)本

锤(一斤/五两)加锤(一斤/三两)问其物实重若干
　答曰一百六十斤
一　锤重二十一两　　　　　为法
　
　
四　实重一百六十斤　　法除实得数
　法以锤(一斤五两作/二十一两)加锤(一斤三两/作十九两)共重(四十/两)为先
　有之一率称重(八十/四斤)为先有之又一率相乘(三三/六○)为

　实以本锤重(二十/一两)为今有之一率为法法除实得实
　重(一百六/十斤)为所求今有之又一率合问
假如秤失去锤有所称物(重一百/六十斤)今以他物代锤(重四/十两)
称得重(八十/四斤)问锤重若干　答曰一斤五两
　一　物重一百六十斤
　二　称得重八十四斤
　三　(他物/代锤)重四十两
　四　锤重二十一两

假如布幔一具用布十六丈五尺布阔二尺今有布阔
一尺五寸如式作幔该用若干
　答曰二十二丈
一　今阔一尺五寸
二　原阔二尺
三　原长十六丈五尺
四　今长二十二丈
假如储粟方窖长(一丈/二尺)阔(九/尺)深(一/丈)今欲别穿一窖藏粟

与之等长亦(一丈/二尺)但深加(二尺/五寸)该阔若干
　答曰阔七尺二寸
　一　今深十二尺五寸
　二　原深十尺
　三　原阔九尺
　四　今阔七尺二寸
　(此原长不动而加深减阔也长今深今阔相乘得九/十尺与原深乘原阔等以乘 一十二尺得一千零)
　(八十尺亦等/则其藏粟等)

又问若依原窖之阔(九/尺)但加长(三/尺)该深若干
　答曰深八尺
　一　今长十五尺
　二　原长十二尺
　三　原深十尺
　四　今深八尺
　(此原阔不动而加长减深也今长乘今深得一百二/十尺与原长乘原深等以乘阔九尺并得一千零八)
　(十/尺)

假如有方仓高(一丈/八尺)阔(二/丈)深(二丈/一尺)今更造一仓亦深(二/丈)
(一/尺)但高减三尺问阔若干
　答曰阔加四尺(共阔二十四尺所储/米石即同原仓之容)
　一　今高十五尺
　二　原高十八尺
　三　原阔二十尺
　四　今阔二十四尺
　(此原深不动而减高增阔也当与右二条/参看仓之高即窖之深仓之深即窖之长)

　(今高乘今阔得三百六十尺与原高乘原阔等再以深/二丈一尺乘之得七千五百六十尺与原仓之容积)
　(等/)
假如原借八五色银四十八两今还九六色银问该若干
　答曰四十二两五钱
　一　今银色九六　　　　　为法
　
　
　四　今还四十二两(五/钱)法除实得数

　(解曰原银八五色是每两实折八钱五分故以乘原银得四/十两零八钱乃折实纹银之数也还银九六色是每九钱六)
　(分成一两故以除折实纹银得四十二两五钱为/应还之数凡零乘数反损零除数反增详别卷)
假如有田一区用三十二人耕治五日而毕今用四十
人问该几日　答曰四日
　一　今用四十人
　二　原用三十二人
　三　原耕五日
　四　今耕四日

假如决水修池水窦阔三尺十二日涸出今开阔八尺
问水涸几日
　答曰四日有半
　一　今阔八尺
　二　原阔三尺
　三　原十二日
　四　今四日半
假如额兵五千六百设有一年之饷今祗留兵三千三

百六十名问其饷可支几时
　答曰一年零八个月
　一　今兵三千三百六十
　二　原兵五千六百
　三　原设饷十二个月
　四　今可支二十个月
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　历算全书卷三十六