钦定四库全书
　历算全书卷三十五
　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰
　笔算卷二
　　乘法
以数生数是之谓乘数不能自生相得乃生故乘亦曰
因(生则不穷故乘有堙义/生则日积故乘有载义)有一位乘有多位乘(或分一/位曰因)
(多位曰乘然古皆/谓之乘今从古)皆有法有实有得数

　　　　　　　　　　　(凡实数纵列于右凡法数/横列于下纵横相遇而得)
　　　　　　　　　　　(数生焉对者法数也斜行/直行所)
　　　　　　　　　　　(所对者实数也而纪得数/则以横行定之)
　　　　　　　　　　　(或问实何以对斜行曰法/有进行故得数斜升是故)
　　　　　　　　　　　(右第一行是法单位乘出/之数也其次行则法十位)
　　　　　　　　　　　(乘出之数也又次而百而/千视此矣故其乘得数不)
　　　　　　　　　　　(出斜格流此虚位也单十/百千周 迭居皆于临时)
　　　　　　　　　　　(定/之)

凡乘出数皆有本位有进位如有十数又有零数(三四/一十)
(二四四一/十六之类)则纪零于本位(本格之/右方)纪十于进位(上一格/之左方)
有十数无零数则纪十于进位而本位作○(五四成二/十五六成)
(三十/之类)有零数无十数则纪零于本位而进位作○(一一/如一)
(二二如/四之类)凡法实有空位则本位进位俱纪○
凡乘皆从法尾位起(即右第/一行)对定实数相乘自下而上
如画卦之法右行乘毕挨乘左行每移一行必进上一
位其各行中斜对实数自下而上皆如右行法

凡法与实有空位则无可乘然必于本位进位各作○
以存其位(若实尾有空位则/于合总时补之)
凡各行乘讫必覆核之乃以并法合总而纪于左方以
为得数实尾有几○皆作于总数之下
凡乘讫定位皆于原实内寻原问每数为根以横行对
定得数命为法尾数则上下之位皆定
凡数单乘单成单(甲为本位/戊为进位)十乘十成百(乙为本位/已为进位)百
乘百成万(丙为本位/庚为进位)千乘千成百万(丁为本位/辛为进位)前图可

明
定位又法(法曰有本数有大数有小数如原问是每亩/之价而原实恰止于亩数是本数也凡本数)
(即用得数尾位命为法尾数是若原问是每亩之价而/原实只有十亩或只有百亩 大数也凡大数当于得)
(数尾位下增○然后于所增○位命为法尾数若大几/位亦增几○皆增至每位止即命末○为法尾数也)
(若原问是每亩之价而原实不止于亩亩下𢃄有分釐/是小数也凡小数当于得数之尾截去之原𢃄畸零几)
(位亦截去几位然后命之即所/截之上一位为法尾数是也)
凡乘毕恐其有误宜用除法还原(置得数为实以法数/为法除之即得原实)
(或置得数为实以实数/为法除之亦得法数)不则以九减七减试之尤捷

　　　　　　　(先以法数如法九减之而纪其馀纪/于右如甲次以实数亦九减之而)
　　　　　　　(其馀于左如乙再以左右两减馀相/乘得数仍九减之而纪其馀于上方)
　　　　　　　(如丙下末以得数亦九减之而纪其/馀于 方如丁 丁丙相同即知无)
　　　　　　　(误七减/亦然)
　　　　　　　(先以法数实数各如法九减之而并/纪其馀如甲与乙 次以两减馀相)
　　　　　　　(乘得数仍九减之而纪其馀如丙以/上并居左方 末以得数亦九减之)
　　　　　　　(而纪其馀于右方如丁二视丙丁相/同即知无误 如甲乙 者内有一)
　　　　　　　(○即丙亦○又或甲为一数即丙/数同乙皆不用乘 七减亦然)

　　一位乘式
假如有熟田三千五百一十九亩每亩编银六分问该若干
　答曰二百一十一两一钱四分
　　　　　　　　　　(法从下起先以法数六乘实/数九呼六九五十四纪四于)
　　　　　　　　　　(于本位纪五于进位进乘实/数一呼一六得六纪六于本)
　　　　　　　　　　(位纪○于进位进乘实数五/呼五六成三十纪○于本位)
　　　　　　　　　　(纪三于进位进乘实数三呼/三六一十八纪八于木位纪)
　　　　　　　　　　(一于进位合乘/毕以并法 总)

　定位法　因原问是每亩科则就于右行原实内寻
　每亩数为定位之根横对左行得数命法尾分则其
　馀皆定(根是九亩横对是四分则上位是钱又上是/两又上十两又上是百两定所得为二百一)
　(十一两一/钱四分)
　
　
　　两位以上乘式
假如有金九钱八分五釐每两价银八两八钱问该若

干　答曰八两六钱六分八釐
　　　　　　　　　(先以法八钱乘实数五呼五八成/四十纪○于本位纪四于进位进)
　　　　　　　　　(乘实数八呼八八六十四纪四于/本位纪六于进位进乘实数九呼)
　　　　　　　　　(八九七十二纪二于本位纪七于/进位)
　　　　　　　　　(次进一位以法八两乘实五呼五/八成四十纪○于本位进乘实八)
　　　　　　　　　(呼八八六十四纪四本位纪六进/位进乘实九呼八九七十二纪二)
　　　　　　　　　(本位纪七进位总/乘毕以并法合)
　定位法(原问每两之价而实无两当于实九钱上补/作○两位为根以横对得数定为法尾钱即)

　(上下之/位俱定)
　定位又法(此小数也原问以每两价为法而实有钱分/釐共小三位即于得数截去尾三位定第四)
　(位为/六钱)
　　　　　　　　　　　　　(法实减馀平列左上/相乘而减之列左下)
　　　　　　　　　　　　　(得数减馀列右/下以相同为定)
假如有钱三十万零五百八十文每千卖银九钱零五
釐该若干
　答曰二百七十二两零二分四釐九毫

　　　　　　　　　　　(先以法数五乘实数八纪/四○次乘实数五纪二五)
　　　　　　　　　　　(次乘实数○○本位进一位/俱纪○次乘实数三纪 五)
　　　　　　　　　　　(进一位以法数○乘实○/无可乘于本位进位各纪)
　　　　　　　　　　　(○以存其位法数九乘实/又进一位以)
　　　　　　　　　　　(数八纪七二进乘实数五/纪四五进乘两○纪○进)
　　　　　　　　　　　(乘实数三纪二七/乘毕以并法合总)
　定位(原问是每千之价当于原实内寻干位为/根以对得数命为法尾釐则其馀皆定)
　定位又法(此亦小数也实有十丈于原问每干为小/两位当于得数截去末两位定为法尾釐)

　
　
　　　　　　　　　　　　(此即前问也因法有空/位省不乘但于法首九)
　　　　　　　　　　　　(钱起进二位乘之即得/数无讹与前法同)
　　　　　　　　　　　　(本宜进一位乘九钱今/进两位以合空位之数)
　　　　　　　　　　　　(若法有两空即进/三位以上仿论)
假如星命家以年月日时配成八字(以七百二十/乘七百二十)问共
该若干

　答曰五十一万八千四百
　　　　　　　　　(如法乘讫并之/得五一八四)
　　　　　　　　　定一(原问七百二十年月下每/一数中各配七百二十日)
　　　　　　　　　(时宜于原实下补作○单位/为根以对得数定法尾十)
　　　　　　　　　或用又法(实数止于十大于每/数一位乃大数也宜)
　　　　　　　　　(径于得数增一/○位定法尾一)
　解曰(六十年各十二月则前四字七百二十六十日/各十二时下四字亦七百二十故以相乘即能)
　(尽八字/之变)

假如西历天度每周三百六十今有星行天三百周该若干
　答曰一十万零八千度
　　　　　　　(依法乘讫用并法/合总得一○八)
　　　　　　　定位(原问是每周之度今实数是三百周/当于原实下补作两○至每周位止)
　　　　　　　(以此为根横对得数定法尾十度而得数/空补作一○上一位为百度位得数亦空)
　　　　　　　(又补作○是得数无百无十也再上为千/为万为十万定所得为一十万○八千)
　　　　　　　或用又法(星行三百周大于每周两位乃/大数也法径于得数下增两○)
　　　　　　　(定末○为法尾十/度即得数皆定)

　　　　　　　　　　　(此先置三百六十为实而/以三百周为法乘之也得)
　　　　　　　　　　　(数一○八与前法同但变/两位乘为一位乘其用更)
　　　　　　　　　　　(简/)
　　　　　　　　　　　定位(用大数法以实止十/度无每位径于得数)
　　　　　　　　　　　(下补作一○定为法尾百/即得数定为十万○八千)
假如有珠子三分五釐每两值银二十四两该
若干
　答曰八钱四分

　
　　　　　　　　　　　依法乘而并之得八四○
　　　　　　　　　　　定位(原问珠每两价今实/数只有分乃进位作)
　　　　　　　　　　　(○于钱位又上作○于两位/两为根横对得数为法尾数)
　　　　　　　　　　　(两而两位空补作/为八钱四分)　(定所得/)
　
　定位又法(此小数法也实有分釐在原问每两下三位/宜截去得数末三位定法尾数两而得数只)
　(三位无可截乃补作○于得/数之上然后截之定为○两)

　此与前条金价并畸零乘法也(馀详/通分)
　　省乘法(古谓之/加法)
假如有漕粮三百六十石每石𢃄耗米四斗问正耗共若干
　答曰共五百○四石
　　　　　　　　此就身加法也(原数即当得数不/动只挨身加四)
　　　　　　　　(先于六十石加四六二十四石又/于三百石加三四一百二十石末)
　　　　　　　　(用并法连原数并之合总凡加/法定位依原数不须更求下同)
　

　　　　　　　(加法九试七试略同并法并合原数加/数减馀列右共数减馀列左此及下)
　　　　　　　(条并九减七/减俱无馀)
假如银五十四两每两月息二分五釐今两个月共本
息若干
　答曰共五十六两七钱
　　　　　　　　(此因所加是分在两下二位故隔/位加 又因每月二分半今两个)
　　　　　　　　(月该五分故以五分为法先于四/两加二○进于五十加二五末以)
　　　　　　　　(并法连原/数合总)

　　省乘又法(古谓之求一乘法/)
凡法数之首为一数者即原数不动而挨身加之与前
两条同也若法首非一数者以法变为一数则亦可挨加
此为本非一数求而得之故名求一乘法也　其法遇
法首为二为三则折半用之而倍其实　法首遇五六
七八九则加倍用之而半其实　法首遇四则取四之
一用之而四其实(如此则法首成/一数可用省乘)
(凡求一乘法定位亦于原实内寻每数为根以横行对/得数定之但此所对得数恒为法首位数 若乘法则)

(为法尾位数与此不同乃/理势之自然不可不知)
假如前条珠三分五釐价每两值银二十四两用乘法
得价银八钱四分今以法数折半作一十二两实数加倍
作七分挨身加之所得正同而用加捷矣
　　　　　　　(原数不动即用为法首一数所乘也七加/挨身以法次位二与原数相乘呼二)
　　　　　　　(一十四本位纪一下位纪四加讫以并法/合总亦连原数作数并之)
　　　　　　　定位(亦从原数七分上加两○寻每两位/为定位之根横对左行总数得法首)
　　　　　　　(位是十两下一位是两俱空位补作两○/再下一位即钱定所得为八钱四分)

又如前条钱三十万○○五百八十文每千价九钱○
五釐以钱折半(十五万○/二百九十)为实价加倍(作一两八/钱一分)为法
　　　　　　　　　　(原数借为得数不动挨以法/去首位一只用八一 身加)
　　　　　　　　　　(之自下起于九加七二九于/二加一六二其○位无加于)
　　　　　　　　　　(五加四○五于实首一加八/加讫合 原数并总)　(一/)
　　　　　　　　　　定位(寻原数千位为根横对/左行得数得法首两位)
　　并乘法(凡有数次乘者并为一次乘亦/算家简法旧谓之异乘同乘)
假如原本银三千二百两每两一年获息一钱五分六

釐二毫五丝已经四年该息若干　答曰二千两
　　　　　　　　　　　(法先以三千二百两乘四/年得一万二千八百两再)
　　　　　　　　　　　(以息银乘之是并两次乘/为一次乘也)

　　截乘法(凡乘法位多者截作数次乘之以便初学/其法与并乘相反而其理相通)
假如有三十二人各给布六丈四尺共若干
　答曰二百○四丈八尺
　　　　　　　(先置六丈四尺以十六人为法用省/乘就身加六得一百○二丈四尺又)
　　　　　　　(二乘加倍合总二乘即三十二乘也/解曰十六乘又)
　　　　　　　定位(凡就身加者原数即可定位如/前条漕粮每石加四斗是也此)
　　　　　　　(条是十六加首行六四虽以原数当/得数而六丈四尺已升为六十四丈)
　　　　　　　(矣时若加倍自是本位此在用算者/临 消息之也)

或置三十二人以八丈乘两次亦同
　
　
　
　
　解曰八乘二次即六十四乘也
或置六丈四尺以四乘之得数又以八乘之所得
亦同

　
　
　
　
　
　解曰四乘一次又八乘一次即三十二乘也

　　除法
以数剖数是之谓除除其原数以归各数故除亦曰归
(除与乘对理精用博近/或谓之分义则浅矣)
有一位除有多位除(或分一位曰归多位曰除或/曰归除曰混归然古皆曰除)皆有
法有实有得数(得数一/名商数)
实其物也法其则也法实在乘法或可互用而除法必
须审定乘法以法与实相遇而生一数如阴阳相交而
生物也故虽互用而其交之理不易其生之用亦不易

也除法以实满法而成一数如镕金以就型也故曰实
如法而一若倒用之则非矣(实如法而一或变文曰如/某数而一如用三除者省)
(文曰以三而一言以三数成一数也而字皆连上为/文或者不察遂竟以而一当除之字义失其旨矣)
　定法实诀
凡审法实有二诀一曰先有定则即以定则为法其所
除者必同名之物也(如有定则之银为法而除总银以/定则之米为法而除总米是也)
一曰先无定则而求定则须详问意以所用求之者为
法其所除者必异名之物也(如以总米除总银以/总银除总米是也)

何以为先有定则也以事明之如银籴米而先知每米
一石之银若干是先有定则之银也即以此定则之银
为法而以总银为实以法除实则得总银所籴之总米
矣(此为有总银数又有米每石之/银数故以银除银而得总米)
若先知每银一两之米若干是先有定则之米也即以
此定则之米为法而以总米为实以法除实则得总米
所粜之总银矣(此为有总米数又有银每两之/米数故以米除米而得总银)
是皆所除者同名而所得者异名也又谓之以每数求

总数(凡以每数求总数者以每数为法每数/即定则也以比例求之更明图具左方)
　
　
　
　
何以为先无定则而求定则也如有总米又有总银而
无每数则当于问意详之问者若欲知每米一石之银
是以米分银也则以总米为法总银为实问者若欲知

每银一两之米是以银分米也则以总银为法总米为
实是所除者异名而所得者亦异名也又谓之以总数
求每数(凡以总数求每数先无定则故必于/问者之所求酌之亦有比例之理)
　
　
　
　
　又捷法

凡不动者为法动者为实何以明之如有总米总银而
欲知每米一石之银则将变总银为每米之银是银动
而米不动也故以米为法若欲知每银一两之米则将
变总米为每银之米是米动而银不动也故以银为法
其以每数求总数者先有定则不动即用为法尤为易
见
　　凡布算乘易而除难除法之难尤在法实法实无
　　误则思过半矣此乃珠算笔算所同也故首辨之

　　如右若笔算除法更有宜知者数端具如后方
　一列位(法实既辨即当列位/)
其法先作两直线自上而下平行相望约其间可容字
两行为率其长短则视位数多寡定之先以实数列于
右直线之右自上而下依列位法书之次以法数列于
右直线之左亦自上而下其千百十单皆与实相对或
法数有千而实只有百者即对书于上一位馀皆仿此
亦有实数无分秒而法数有之者亦对书于实尾之下

　次约实以求得数(得数亦名商数/)
以法约实纪其得数于左线之右视法首位是言如之
数(如三三如/九之𩔖)则书于实之上一位而于实首添作○以
遥对之或法首位是言十之数(如二六一/十二之类)则书于实首
之对位其次商三商以上皆依此书之若书之而不相
接辏是商数有空位也补作○此定位之根慎不可错
　次乘商数求应减之数以减原实
以商得数与法数相呼乘之而纪数于左线之左皆以

乘数之进位对商数纪之(如二六一十二则以一十对/商数书之如三三如九是为)
(○九则以九上之○对/商数书之他皆仿此)乃遂以乘出数与右行原实对
减(周减/法)足减者于原实抹改之不足减者改商数其乘
出数亦抹去便续商也
　次定得数之位
先于法数之上一位作□为识以对得数命为单位
等而上之则十百千万等而下之则分秒忽微皆
从此定

　次命分
除有不尽者以法命之用法数为母不尽之数为子命
为几分之几
　次还原
凡除法恐其有误当以乘法还原用法数与得数相乘
除有不尽者并入之即得原实
又法仍以除法还原用得数为法转除原实即复得法
数除有不尽者以减原实为实然后除之

又法以九减七减试之以法数九减七减皆用其所减
之馀纪右再以得数如法减之纪其馀于左左右两馀
数相乘仍如法减之纪其馀于上方末以原实亦如法
减之纪其馀于下方上下相同则无误矣
又简法作直线于左方以应减之数依并法并之必合
原实有不尽数亦并入之(此法更简更确/)
　按笔除原法以法实上下相叠不论数之何等(谓十/单分)
　(秒之/等)而但齐其尾殊欠条理又以得数横续于法实

　之尾定位易淆今法与实皆用真数相对而宜减之
　数先列左方对减无误即古人实如法而一之故了
　了分明据法首定位尤为简快
　　一位除式
假如有额编地丁银二百一十一两一钱四分其科则
　每亩六分问原地若干
　答曰三千五百一十九亩
　审法实诀(此为以每数求总数也其每数六分为先/有之定则不动故以为法)

　
　
　
　
　
　(右并法还原即用原列应减之数并之必合原实是/为简法)
　列位法(如法作两直线先以实数二一一一四列于/右直线之右自上而下顺布之次以法数六)
　(列于右直线之左因法系/六分故与实分位相对)

　商除法(次以法数约实法是六实是二以六除二当/合下位作廿一除之商作三以乘法六呼三)
　(六一十八是言十之数将商得三以法首二书于左/直线之右以乘得一八书于左直线之左因是言十)
　(之数以乘得进位一字对商数三字书之遂以此乘/得一八用减法与原实二一对减先于实次位减八)
　(实系一不足减作点借上一数为十一减八馀三改/书三于实一之右次于实首位减一实系二因借去)
　(一点只作一减尽作○乃作线抹去二/一存○三亦于左作线抹去减数一八)
　(次商以六除三亦当合下位作三一除之商作五以/乘法六呼五六成三十是言十之数将次商五对实)
　(三字书于初商之下亦以乘得三○依法以三字为/进位对次商五字书于左直线之左依法对减实三)

　(作○仍作线抹去实三亦于左减数抹去三○如六/三商以六除一合下位作十一商作一呼一六)
　(是言如之数将三商一对实上位一字书于次商五/之下依法以乘得○六对所商一字书于左线之左)
　(以对减实一一以六减一不足减作点借上成十一/减六馀五改书 五于右抹去一一亦于左减数抹)
　(去○六六除五亦合下位作五十四商作九呼六九/末商以)
　(五十四是言十之数将商得九对实五字书于三商/一之下依法以乘得五四对所商九字书左线之左)
　(以对减实五四恰尽俱改书○而抹去五/四左减数亦抹去 共商得三五一九)
　定位诀(于右线法数六字上一位作□为单位之识亩/以横对左得数九字定为单九亩进位是十)
　(又进百亩又进千亩命所/得为三千五百一十九亩)

　乘法还原(以法六分乘得数三千五百一十九亩仍/得原实见乘法)
　除法还原(以得数为法除原实仍得法数六分/后条)　(见/)
　试法
　　　　　　　　(九减得数无馀纪○于左法数馀/六纪于右左右相乘仍纪○于上)
　　　　　　　　(九减原实无馀纪○于下皆○/凡○位与他数相乘所得)
　
　　　　　　　　(七减得数馀五纪左法数馀六纪/右左右相乘仍以七减馀二纪于)
　　　　　　　　(上七减原实馀二纪于下误/两试皆上下相同知其不)

　(论曰除法以乘法还原犹之乘法以除法还原此旧/法珠算所必需若除法以除法还原则旧所无也同)
　(文算指用九减七减试法可免还原颇称巧捷今以/并法代之则试法亦省故称简法焉兹各具一则用)
　(相参互以明算理握算者择而用之可也法/今定笔除只用简法还原若笔乘仍用试)
　　多位除式
假如有熟地三千五百一十九亩共徵银二百一十一
两一钱四分问每亩科则若干　答曰每亩六分
　审法实(此以总数求每数也问者欲知每亩科则是/将以总银变为每银银数动地亩不动故以)
　(地为法/银为实)

　列位法(先以实数自上而下顺布于右线之右次以/法数对书于右线之左实首位是二百法首)
　(是三千法大于实一位故进一/位列之凡进位列者皆不满法)
　
　
　
　
　
　商除法(以法数约实法首是三实是二合两位二一/除之宜商七因法有次位须留馀地改商六)

　(以乘法三呼三六一十八是言十之数以商数六对/实首二书于左直线之右以乘得一八书于左线之)
　(左遂以商数六遍乘法次位五呼五六成三十乘得/三○挨书于一八之下一位又以商数遍乘法第三)
　(位一呼一六如六乘得○六挨书下一位又以商数/六遍乘法末位九呼六九五十四乘得五四又挨书)
　(下一位如此遍乘法四位讫乃以/乘出数为减数对减原实恰尽)
　定位(寻法首上一位为单位横对左线得数上二位/定为两顺下一位是钱此二位俱空补作○○)
　(再下是分定/所得为六分)
　此一次除尽例也又为法大实小故所得不能成整
　数(两为整数今所得/是分在两下二位)

　(若用乘法还原同前条还原法/若用除法还原即前条除法)
　此所定单位在得数之外乃借虚位以定实数(下条/同)
　其故何也曰法是三千有零能满此数始能成一两
　故曰实如法而一今法大实小是实不满法不能成
　一数所得者乃剖一整数而得其若干如此条所得
　乃百分两之六也(详命/分)
假如有银八两六钱六分八釐换金每金一两该银八
两八钱问换金若干

　答曰九钱八分五釐
　定法实诀(此为以银除银金价八两八钱是先有之/定则不动就以为法)
　
　
　
　
　
　

　(如前法对列法实于右线之左右改退商九以乘法/初商法八实八宜商一因无次商)
　(八得七二又乘法次位八亦得七二依法挨书遂以/对减实三位八六六馀○七四 次商八以乘法八)
　(得六四乘法次八亦得六四依法书之遂以对减馀/实七四八馀○四四 三商五以乘法八八得四四)
　(○依法书之遂以/对减馀实恰尽)
　定位(法数上一位为单位横对得数上一位是两定/为○两九钱八分五釐法实首位同而法次位)
　(八大于实次位六故亦借/虚位以定实数说在前条)
　(角乘法还原见乘法第二条两用除法还原以金九/钱八分五釐为法除实得每 价八两八钱即畸零)
　(法也详/通分)

假如有银四万八千两六十四人分之该若干
　答曰各七百五十两
　
　
　
　
　
假如有银二百七十二两○二分四釐九毫每钱一千

银九钱○五釐问钱若干　答曰三十万零五百八十文
　定法实(此先有定则九钱○五釐故以为法/)
　　　　　　　　　　(此法有○位例也亦是得数有/○之例)
　　　　　　　　　　(初商三以乘法九得二七法次/位空无乘挨作○○以存其位)
　　　　　　　　　　(再乘法末位五得一五各如式/书之以对减原实二七二○馀)
　　　　　　　　　　(○○○五字实空位无可商次/商从实五 起商作五以乘法)
　　　　　　　　　　(九得四五法次位空亦作○存/位 乘法末位五得二五如式)
　　　　　　　　　　(书之以对减实五二四九馀○/七二四)

　(初商三乘九得二十七是言十之数宜对实首位二/字书得数三次商五乘九得四十五亦是言十之数)
　(宜对馀实首位五字书得数五如此审定而书则乘/出减实之数与实相对了了分明便知不误然初商)
　(次商不相接续所差二位是得数有二空位也补作/○○于初商次商之间以存得数之空位如是则次)
　(商之事毕之末商八以乘法九得七二法次位无乘尽/亦作○存 法末位乘得四○以对减馀七二四恰)
　定位(此因所问是每千之价故千即单数也从法上/一位横对定为千文之位上为万又上十万定)
　(所得为三十万○/○五百八十文)
　若以数三十万○○五百八十文为法除原实二百
　七十二两○二分四釐九毫亦复得九钱○五釐为

　每千之价如后图
　审法实(此问钱价是以钱分银故以总钱为法总银/为实)
　　　　　　　　　　　列位之理(所欲知者每千/之价故以千为)
　　　　　　　　　　　(单以万为十以十万当百/与原银对列)
　　　　　　　　　　　(其书商数如式不错则得无/数之空位自明定位亦自)
　　　　　　　　　　　(舛说见前相还原/此两条互)　(若以/)
　　　　　　　　　　　(乘法还原并用乘法第三/条)

　　命分法
凡除法至单而止故曰实如法而一所谓一者即单一
数也其有除至单数而仍有不尽之馀实或法之数本
大于实皆不能成一整数则以法命之其法有二
其一除之至尽如计轻重者不满一两则除之为若干钱
若干分及釐毫丝忽前条法大实小及得数单下仍有数
位者是也(若授时历万分为度百秒为分及钱钞论/贯贯之下有百冇十有零文尤为易见)
其一以法数为分母不尽之数为分子命为几分之几(如以三/除五内)

(除三数满法成一整数馀实二不能成整则以此二数各剖为/三分共成六分而以三除之各得二分是为三分之二也)
假如十九人分银二百五十四两问各若干
　答曰各十三两零十九分之七
　　　　　　　　(以十九人为法除二百五十四两/各得一十三两不尽七两以法命)
　　　　　　　　(之七其法以法十九命为分母不/尽 数为分子命为十九分两之)
　　　　　　　　(七不解曰一整两各剖为十九分/则 尽之七两共剖为一百三十)
　　　　　　　　(三分以十九人分之各得七分并/整数分数为每人分得一十三两)
　　　　　　　　(零十九分两之七/)

　　　　　　　　(若用乘法还原法以十九人乘得/数十三两得共二百四十七两加)
　　　　　　　　(八不尽七两共二百五十四两合/原实)
　(若用除法还原实法置原实内减不尽之数七两馀二/百四十七两为 每人十三两为法法除实得十九人)
论曰古人只用命分后世乃有除之至尽之法然终不
能尽(如以十九人除七两各得三钱六/分八釐四毫二丝一忽终馀一忽)故不如命分之
简妙(如钱粮尾数一忽之下仍冇微纤等七位不等徒/滋繁文无裨实用然亦终不能尽若命分之法只)
(一语喝尽更无渗漏/然后知古法为无弊)
　　省除法(旧名定身除亦名减法凡法首位是一数/者用之)

假如漕粮正耗共五百○四石每正米一石除耗四斗
问正米若干
　答曰三百六十石
　　　　　　　　(先以原数五定正数为三书直线/左以应减耗数四乘所定正三得)
　　　　　　　　(耗一十二并正三共得四二以减/原数五○馀○八次以馀数八定)
　　　　　　　　(正数为六书正数三之下以减耗/四乘六得二十四并正六共得八)
　　　　　　　　(四减馀数恰尽之即还原数或用/合得数减数并)
　　　　　　　　(加四亦同/)

　定位(凡省除皆以原数定位/)
　　省除又法(古谓之求一除法/)
凡定身除惟法首是一数者可用今以倍半之法求之
则法首皆变为一数
其法遇法首位是二是三法实皆折半遇四则折半两
次遇五六七八九法实皆加倍(如此则法首位皆成一/数)
假如前条六十四人分银四万八千两用除法各得七
百五十两今以法实各折半两次用定身除所得亦

同
　　　　　　　　(先以法六十四折半作三十二又/折半一十六为法实四万八千折)
　　　　　　　　(半作二万四千又折半一万二千/为实用定身除法先以实首两位)
　　　　　　　　(一二定七为得数法去首位一不/用只用六以乘得数七得四十二)
　　　　　　　　(书左并得数七共一一二以减原/实一二馀○○八次以馀实八定)
　　　　　　　　(五为得数亦以法六乘得三○挨/书于左以减馀实八恰尽)
定位(得数七对原实千因法是有十之数退一等作七/百定所得为七百五十石 假如十人七千即每)
　(人七百故法有十者退一位也准此推之法有百退/二位有千退三位万以上仿此论之凡省除依原实)

　(定位当/知此诀)
　　并除法(旧名异除同除/)
凡有当除数次者则以法相乘为法作一次除之亦简
法也(如以四除之又以五除之又以七除之则以四乘/五得二十又以七乘得一百四十共为法以除之)
(是并数次除/为一次除也)
假如经商获利二千两原本三千二百两已经四年问
每年每两之息
　答曰每两息一钱五分六釐二毫半

　
　　　　　　　　　　　法曰先以四年乘原本(三/千)
　　　　　　　　　　　(二/百)得(一万二/千八百)为总法(本法/宜以)
　　　　　　　　　　　(二千二百除二千得每两/之息再以四年除之得每)
　　　　　　　　　　　(年每两之息今并两次除/为一次除足简法也)
　
　　截除法(与并除相反/所以便初学)
凡除有法数位繁者或可以截为两次除以从简易

假如五十六人分银(一千五百/一十二两)各若干
　答曰各二十七两
　
　
　
　
　(此因法五十六是七八相乘之数故先以八除得一/百八十九两仍用为实再以七除之得二十七两合)
　(问/)

(或先用七除得数二百一十六两复以八除之亦得二/十七两为每人数)
　
　
　(右省除式也祇作一直线书原实于右纪得数于左/而以九九数呼而减之不必另书减数凡法只一位)
　(者用此/为便)
假如铜一百二十八斤价二十两问每斤若干
　答曰每斤一钱五分六釐二毫半(原法三位今用截/除三次俱一位为)
　(法可用/省除)

　
　
　
　
　
　
　
假如银一千○八十两置田二百一十六亩问田价每

亩若干
　答曰五两　(原法三位今用六除三次亦同/)
　
　
　
　
　
　　约分法

凡命分有可约者以法约之古法曰可半者半之不可
半者以少减多更相减损求其有等以等约之(以等数/除母子)
(数则皆除尽西/人谓之纽数)
假如八十一人分银二十七两问各数　答曰各得三
分两之一
　法曰(以八十一除二十七不能各得一两依命分法/八十一为分母二十七为分子命为八十一分)
　(两之二十七又以/法约之为三之一)解曰(八十一是三个二十七若剖/每两为八十一分即各得其)
　(二十七分是/三之一也)

　分母八一　(约分法曰置分母八十一用递减法以分/子二十七减之馀五十四复以二十七减)
　分子二七　(之仍馀二十七如是则两数齐同是有等/也即用此等数二十七为法转除分母八)
　减馀五四　(十一得三除分子得一如此则不用细分/但以每两均剖为三而各得其一分即三)
　(又减/分子)二七　(人共一两也十四则用转减法以子五四/若分子是五)
　仍馀二七　(转减母八一馀廿七又以母馀二十七转/减子五四亦馀廿七是相等也就以此等)
　　　　　　(数廿七为法除母八一得三除子五四得/二是为约得三之二)
假如米八十五石分结一百○二人问各若干
　答曰各得六分石之五

　法曰(人多米少不能各一石依命分法以一○二为分母八五/为分子命为一百○二之八十五以法约之为六分之五)
　　　　　　(约分法曰置分母一百○二以分子八/十五减之得馀十七用转减法以馀十)
　　　　　　(七减分子八十五馀六十八又递减之/馀五十一又减之馀三十四又减之馀)
　　　　　　(亦十七是相等也就此等数十七为法/转除母数一百○二得六除子数八十)
　　　　　　(五得五约为六分之五十七八十五是/解曰一百○二是六个)
　　　　　　(五个十七故曰六之五即六人共米五/石也)
　　　　　　(若以米每石均分六分八十五石共得/五百一十分为实以一百○二人为法)
　　　　　　(除之得五是每/分之五也)　(所得为一石米中六/)

　
　
　
　
　
　
　
　历算全书卷三十五