钦定四库全书
　历算全书卷三十三
　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰
　　筹算六之七
　开方捷法
勿庵氏曰廉隅二形也故有二法今借开方大筹为隅
　法列于廉法筹之下而合商之则廉隅合为一法而
　用加捷矣存前法者所以著其理用捷法者所以善

　其事
　平方
法曰如前列实从单位作点每隅位点之以求初商(初/商)
　(列位有常法/进法俱如前)既得初商即倍根数为廉法(亦同/前法)以廉
　法数用筹(廉法几位/用筹几根)列于平方筹之上为廉隅共法
　(或省曰/次商法)合视廉隅共法筹某行内有次商之实同者
　或略少者减实以得次商(以本行内/方根命之)
　三商者合初商次商倍之以其数用筹列平方筹上

　为廉隅共法(或省曰/三商法)以除三商之实而得三商
　四商以上仿此求之
解曰隅者小平方也故可以平方筹为法　廉之数每
　大于隅一位今以平方筹为隅列于廉之下则隅之
　进位与廉之本位两半圆合成一数故廉隅可合为
　一法
　(何以知廉大于隅一位也曰有次商则初商是十数/矣平方廉法是初商倍数其位同初商故大于隅一)
　(位/)

凡初商减积尽最上一点故最上一点者初商之实也
　次商减积尽第二点故第二点以上次商之实也三
　商减积尽第三点故第三点以上三商之实也推之
　第四点为四商之实第五点为五商之实(以上/并同)
审空位法曰若次商之实小于廉隅共法之第一行(凡/筹)
　(第一行最/小数也)则知次商是空位也(不能成一/数故空)即作圈于
　初商下以为次商　乃于廉法筹下平方筹上加一
　空位筹为廉隅共法以求三商(若空位多者另/有简法见后)

　三商实小有空位并同
假如有平方积二千四百九十九万九千九百九十九
　尺问每面若干
　列位　作点
　　　　　　　　　　如图点在次位以二千四百
　　　　　　　　　　万为初商实
　　　　　　　　　　视平方筹有小于二四者是
　一六其方四也商四千尺减积一千六百万尺(有四/点故)

　(初商是千/而有次商)
　次以初商四千尺倍之得八千尺为廉法用第八筹
　列平方筹上为廉隅共法

　以第二点馀实八百九十九万为次商实视筹第九
　行合数八○一小于实次商九百尺减实八百○一
　万尺
　(此所减首位不/空故对位书之)
　次倍初商次商共四千九百尺得九千八百尺用第
　九第八两筹列平方筹上为廉隅共法　以第三点
　上馀实九八九九为三商之实
　合视筹第九行是八九○一小于实商九十尺减馀

　　　　　　　　　　　　　实八十九万○一百
　　　　　　　　　　　　　尺
　　　　　　　　　　　　　(首位不空故/亦对位书之)
　
　
　
　次倍三次商共四千九百九十尺得九千九百八十
　尺用九九八三筹列平方筹上为廉隅共法

　　　　　　　　　　　　　　　以第四点上馀
　　　　　　　　　　　　　　　积九九八九九
　　　　　　　　　　　　　　　为四商之实
　　　　　　　　　　　　　　　合视筹第九行
　　　　　　　　　　　　　　　积八九九○一
　　　　　　　　　　　　　　　小于实商九尺
　　　　　　　　　　　　　　　减馀实八万九
　　　　　　　　　　　　　　　千九百○一尺

　不尽九千九百九十八尺
　开方已得单尺而有不尽以法命之倍方根加一数
　得九千九百九十九为命分
　凡开得平方四千九百九十九尺又九千九百九十
　九之九千九百九十八
　　右例可明四以上用常法之理盖积所少者不过
　　万分之一不能成五数之方而其法迥异
加空筹式

假如有平方积一千六百七十七万七千二百一十六
　问每面若干
　列位　作点
　　　　　　　　　如图点在次位以一千六百万
　　　　　　　　　为初商实
　　　　　　　　　视平方筹有一六与实同其方
　四商四千尺减积一千六百万尺(凡馀实必在商数/下一位起倘空位)
　(则作圈补/之后仿此)　次以初商四千尺倍得八千尺为廉法

　用第八筹列平方筹上为廉隅共法(筹见/前例)
　以第二点上馀实○七七为次商实
　　　　　　　　筹最小数是○八一(第一/行数)大于实
　　　　　　　　不及减是商数无百也
　　　　　　　　乃于初商四千下作一圈以为次
　商(减去实/中○位)　次如上图加一空位筹于次商廉法之
　下平方筹之上为三商廉隅共法
　以第三点上七七七二为三商实

　
　
　
　
　
　
　视筹第九行是七二八一小于实商九十尺减积七
　十二万八千一百

　次合初商次商三商共四○九倍之得八一八为廉
　法

　去空位筹加一八两筹列于平方筹之上为四商廉
　隅共法
　以第四点上四九一一六为四商之实
　合视筹第六行数与实合商六尺减积四万九千一
　百一十六尺恰尽
　凡开得平方四千○九十六尺
假如有平方积九亿○○一十八万○○○九步问每
　面若干

　列位
　作点
　如后图点在首位以○九亿步为初商实
　　　　　　　　　　视平方筹有○九与实同商
　　　　　　　　　　三万步(五点故/初商万)减积九亿步
　　　　　　　　　　次以初商三万步倍之得六
　万步用第六筹加平方筹上为次商法(即廉隅/共法)　以
　第二点上为次商之实视实三位俱空无减知商数

　有空位且不止一空位也如前法宜挨次商得一空
　位则于原实内销一圈(凡续商之实必下于前商之/实一位故虽○位必减去之)
　(以清出续/商之实)而于共法筹内加一空位筹如此挨商颇
　觉碎杂故改用又法
　又法曰凡实有多空位者知商数亦有多空不必挨
　商当于原实中审定可减之数在何位则此位之上
　皆连作圈而径求后商如此馀实有三圈皆无积可
　减必至○一乃有可减而法是第六筹筹最小是○

　六大于○一仍不可减必至一八方可减而一是筹
　之进位当以商数对之则知以上俱是空位乃皆作
　圈合视之有三圈即次商三商四商也干原实内销
　去三圈如后图
　　　　　　　　　　　　　　此即次商三商四
　　　　　　　　　　　　　　商合图也
　
　次加三空筹于平廉(第六/筹)之下平方之上为五商廉

　隅共法　径以第五点上一八○○○九为五商实
　　　　　　　　视筹第三行数与馀实合商三尺
　　　　　　　　除积一八○○○九恰尽
　
　
　
　
　　　　　　　　凡开得平方三万○○○三步

又假如积二千五百○七万○○四十九尺问方若干
　列位　作点
　　　　　　　　　　　如图点在次位以二千五
　　　　　　　　　　　百万尺为初商实
　　　　　　　　　　　视平方筹有二五与实同
　其方五商五千尺减积二千五百万尺
　次倍初商五千尺得一万○千尺用一筹空位筹为
　廉法(凡商得五数则/原带有空位)列平方筹上为次商法　实多

　空位以前除又法审之必至○七万尺乃有可减而
　○七之○与筹上首位之○对当以商数居之则知此
　以上俱无商数也于是于初商五千下作两圈如后图
　
　
　
　
　

　此次商三商合图也(原实上减两圈/商数下加两圈)
　如上图加两空位筹于廉法一万○千之下平方之
　上为四商法
　以○七○○四九为四商实(次商三商之两点已/销故径用第四点)
　　　　　　　　　视筹第七行相合商七尺减实
　　　　　　　　　恰尽
　　　　　　　　　凡开得平方五千○○七尺
又假如积五千六万三千五百○○尺问方若干

　列位
　作点　如图点在次位以五十六万为初商实
　　　　　　　　　　　视平方第七行是四九小
　　　　　　　　　　　于实商七百尺除实四十
　　　　　　　　　　　九万
　次倍初商七百得一千四百用第一第四两筹列平
　方筹上为次商法　以第二点上○七三五为次商
　实

　　　　　　　　　　　　　　　　　合视第五
　　　　　　　　　　　　　　　　　行是○七
　　　　　　　　　　　　　　　　　二五小于
　　　　　　　　　　　　　　　　　实商五十
　　　　　　　　　　　　　　　　　尺减去馀
　　　　　　　　　　　　　　　　　积○七万
　　　　　　　　　　　　　　　　　二千五百
　　　　　　　　　　　　　　　　　尺

　次合商数七百五十倍之得一千五百○尺应用第一
　第五空位三筹加于平方筹上为三商法以第三点
　上○一千○○尺为三商实而实小于法不能成一尺
　乃于商数未作一圈以为三商其不尽之数以法命之
　　　　　　　　凡廉隅共法筹第一行数即命分
　　　　　　　　也盖能满此数即成一单数矣
　　　　　　　　凡开得平方七百五十○尺又一
　　　　　　　　千五百○一之一千○○○约为

　三之二弱
　立方
法曰如前列实隔两位作点以求初商既得初商即以
　初商数自乘而三之为平廉法(即方/法)以平廉法用筹
　列于立方筹之上(借立方筹/为隅法也)为平廉小隅共法
　别以初商数三之而进一位为长廉法(即廉/法)以长廉
　法用筹列于立方筹之下(法于长廉数下加一空/筹以合进一位之数)
　先以平隅共法(即平廉小隅共/法或省曰共法)为次商之法即截取

　初商下一位至第二点止为次商之实法除实得次
　商(视共法筹内有小于实者为平廉/廉小隅共积用其根数为次商)次以次商之自
　乘数(即大筹立积下/所带平方积数)与长廉法相乘(以平方数寻长/廉筹之行取其)
　(行内积/数用之)得数加入平隅共积为次商总积以此总积
　减次商之实及减则已倘不及减转改次商及减而
　止(因廉积或大/有不及减者)
三商者合初商次商数自乘而三之为平廉法以其数
　用筹列方筹上为平廉小隅共法

　别以初商次商数三而进位以其数用筹加一空位
　筹列立方筹下为长廉法
　截取次商下一位至第三点为三商之实共法为法除
　之以得三商(其积为/共积)　次以三商自乘数与长廉法
　相乘得数加入共积为三商总积　减实(又一法长/廉法不必)
　(加空位筹得于得数/下加一圈即进位也)
四商以上仿此
解曰隅者小立方也故可以立方筹为法平廉之数每

　大于隅二位今以立方筹为隅列于平廉下则隅之
　首位与平廉之末位两半圆合成一数故平廉小隅
　可合为一法　长廉之两头皆如次商自乘之数故
　可以平方乘之又长廉之数每大于隅一位故于下
　加一空筹以进其位便加积也
　(何以知平廉大于隅二位而长廉只大一位也曰平/廉者初商自乘之数也初商于次商为十数十乘十)
　(则百数矣隅积者次商本位也故平廉与隅如百与/单相去二位也若长廉只是初商之三倍位同初商)
　(初商与次商如十与单故长廉与/小隅亦如十与单相去一位也)

凡初商积尽于上一点故上一点为初商实次商积尽
　于第二点故第二点以上为次商实推之三点为三
　商实四点为四商实以上并同
审空位法曰若次商之实小于平廉小隅共法之第一
　行或仅如共法之第一行而无长廉积则次商是空
　位也即作圈于初商下以为次商乃于平廉筹下立
　方筹上加两空位筹为三商平廉小隅之共法以求
　三商其长廉法下又加一空位筹(并原有一空位/筹共两空位筹)为

　三商长廉法(又法长廉不必加空筹/但于得数下加两圈)　若商数有两
　空位者平廉小隅筹下加四空位筹长廉积下加三
　圈
解曰有空位则所求者三商也初商于三商如百与单
　而平廉者初商之自乘百乘百成万故平廉与三商
　之隅如万与单大四位也此加两空筹之理也(平廉/原大)
　(二位加二空筹/则大四位矣)初商与三商既如百与单则长廉与
　隅亦如百与单大两位也此又加一空筹之理也

初商列位商一用常法二至五用进法六至九用超法
　今各存一例于后
假如有立方积六百八十五万九千尺问每面若干
　列位　作点
　　　　　　　　　　如图点在首位以○○六百
　　　　　　　　　　万为初商实
　　　　　　　　　　视立方筹有小于○○六者
　○○一也其立方一商一百尺(三点故/初商百)减积一百万

　尺次截取第二点上五八五九为次商实
　
　
　
　
　
　
　

　以初商一百尺自乘得一万尺而三因之得三万
　尺为平廉法用第三筹列立方筹上为平廉小隅
　共法
　别以初商一百尺三而进位得三百○十尺为长
　廉法
　列立方筹下视平隅共法筹第九行是三四二九
　小于实商九十尺
　次以第九行平方八一乘长廉三得二四三○以加

　共积得五百八十五万九千为次商九十尺之积除
　实尽
　次商十宜有三商而除实已尽是方面无单数也
　凡开得立方每面一百九十○尺
假如有立方积一千二百八十六亿三千四百六十七
　万○五百九十二尺问方若干
　列位
　作点

　　　　　　　　　　　　如图点在第三位以一
　　　　　　　　　　　　千二百八十亿为初商
　　　　　　　　　　　　实
　视立方筹内有小于一二八是一二五其方五也商
　五千尺(四点故/初商千)减积一千二百五十亿
　次截取第二点上○三六三四为次商实
　以初商五千自乘得二千五百万而三之得七千五
　百万为平廉法用七五两筹列立方筹上为平廉小

　隅共法别以初商五千尺三而进位得一万五千○
　百尺为长廉法用筹列立方筹下
　　　　　　　　　　　　视共法筹第一行是○
　　　　　　　　　　　　七五○一大于实不及
　　　　　　　　　　　　减知次商百位空也于
　初商下作一圈为次商(原实上/减一圈)
　乃截第三点三六三四六七○为三商实
　次于平廉筹下立方筹上加两空位筹为平廉小隅

　共法
　于长廉筹下又加一空位筹(原有一空位/筹共二空位)为长廉法
　　　　　　　　　　　　　　视共法筹第四行
　
　
　
　　　　　　　　　　　　　　是三○○○○六
　　　　　　　　　　　　　　四小于实用为共

　积商四十尺　以长廉法与四行之平方一六相乘
　得二四○○○为长廉积加入共积得三○二四○
　六四减积三十○亿二千四百○六万四千尺
　次以商数五千○四十自乘得二千五百四十○万
　一千六百尺而三之得七千六百二十○万四千八
　百尺为平廉法列立方筹上为平隅共法别以商数
　五千○四十尺三而进位得一万五千一百二十○
　尺为长廉法列立方筹下

　　　　　　　　　　　　　　　　乃截第四点
　　　　　　　　　　　　　　　　六一○六○
　　　　　　　　　　　　　　　　六五九二为
　　　　　　　　　　　　　　　　四商之实
　　　　　　　　　　　　　　　　视共法筹第
　　　　　　　　　　　　　　　　八行六○九
　　　　　　　　　　　　　　　　六三八九
　　　　　　　　　　　　　　　　一二小于实

　商八尺以长廉法与第八行平方六四相乘得九六
　七六八○为长廉积以加共积得六一○六○六五
　九二除实尽
　凡开得立方每面五千○四十八尺
　　右加两空筹例
假如有立方积七千二百九十七亿二千九百二十四
　万三千○二十七尺问每面若干
　列位　作点

　　　　　　　　　　　　如图点在第三位以七
　　　　　　　　　　　　千二百九十亿为初商
　　　　　　　　　　　　实　视立方筹方九之
　积七二九与实同商九千尺减积七千二百九十亿
　(四点故/初商千)次截第二点○○○七二九为次商实
　以初商九千尺自乘八千一百万尺而三之得二亿
　四千三百万尺为平廉法列立方筹上为平廉小隅
　共法别以初商九千尺三而进位得二万七千○百

　尺为长廉法列立方筹下　视共法筹第一行是○
　二四三○一大于实不及减知次商百位空也于初
　商九千尺下作一圈为次商(原实上减/去一圈)乃于平廉筹
　下立方筹上加两空筹为平廉小隅共法于长廉筹
　下又加一空筹得二七○○为长廉法　截取第三
　点○○七二九二四三为三商实　视共法筹第一
　行是○二四三○○○一大于实仍不及减知三商十位
　亦空也于商得九千○百下加一圈为三商(原实上又/减去一圈)

　(又法实多空不必挨商但寻至不空之界如○七乃/与平廉相应即于○七之上初商之下作连圈为次)
　(商三商而于原/实中销两圈)
　　　　　　　　　　　　此次商三商合图也
　　　　　　　　　　　　乃于平廉筹下立方筹
　　　　　　　　　　　　上又加两空筹(共四/空筹)为
　平廉小隅共法　其长廉筹下又加一空筹(共三/空筹)得
　二七○○○为长廉法(或不必加筹只于得/数下加三圈亦同)
　截取第四点○七二九二四三○二七为四商实

　
　
　
　
　
　
　
　

　　　　　　　　　　视共法筹第三行是○七二
　　　　　　　　　　九○○○○二七小于实商
　　　　　　　　　　三尺　以长廉法与第三行
　　　　　　　　　　平方○九相乘得二四三○
　　　　　　　　　　○○为长廉积以加共积得
　　　　　　　　　　○七二九二四三○二七除实尽
　凡开得立方每面九千○○三尺
　　右加四空筹例

　开方分秒法(筹算七/)
勿庵氏曰命分古法也然但可以存其不尽之数而已
　若还原则有不合故有分秒法以御之也虽亦终不
　能尽然最小之分即无关于大数视命分之法不啻
　加密矣
　平方
法曰凡开平方有馀实不能成一数不可开矣若必欲
　开其分秒则于馀实下加二圈(原实一化/为一百分)如法开之

　所得根数是一十分内之几分也或加四圈(原实一/化为一)
　(万/分)如法开之所得根数是一百分内之几分也或加
　六圈(原实一化为/一百万分)如法开之所得根数是一千分内
　之几分也如此递加两圈则多开得一位乃至加十
　圈(原实一化/为百亿分)其根数则十万分内之几万几千几百
　几十几分也
假如平方积八步开得二步除实四步馀四步不尽分
　秒几何

　　　　　　　　法于馀实下添两圈则馀实四步
　　　　　　　　化为四百○○分为次商之实
　　　　　　　　依捷法以初商二步倍作四步为
　　　　　　　　廉法列平方筹上为廉隅共法简
　筹第八行积三八四小于馀实次商八分除实三百
　八十四分开得平方每面二步八分不尽一十六分
　再开之
　又于馀实下加两圈则馀实一十六分化为一千六

　百○○秒为三商之实
　依捷法以初商次商共二步八分倍之得五步六分
　为廉法列平方筹上为廉隅共法简筹第二行积一
　一二四小于馀实商作二秒除实一千一百二十四
　秒共开得平方每面二步八分二秒不尽四百七十
　六秒
　　此单下开两位式也所不尽之数不过百分之四
　　若欲再开亦可得其忽微如后式

　还原以二步八二用筹为法又以二步八二列为实
　而自相乘之得七万九千五百二十四分加不尽之
　分四百七十六共八万乃以一万分为一步之法除
　之(当退/四位)仍得八步合原数
　解曰此以一步化为百分故其积万分何也自乘者
　横一步直一步也今既以一步化为一百分则是横
　一百分直一百分而其积一万分为一步
　

　
　
　
　
假如平方九十步开得九步除实八十一步馀实○九
　步不尽(小分/几何)
　法于馀实九步下加八圈则馀实九步化为九亿共
　作五点而以第二点○九亿○○分为次商之实

　依捷法以初商九步倍作一十八步为廉法列平方
　　　　　　　　　　　筹上为廉隅共法简筹第
　　　　　　　　　　　四行○七三六略小于馀
　　　　　　　　　　　实商四千分除实七亿三
　　　　　　　　　　　千六百万分馀一亿六千
　　　　　　　　　　　四百○○万分为第三商
　　　　　　　　　　　之实(第三/点也)
　又依捷法以初商次商九步又十之四倍之得一十

　八步八为廉法列平方筹上为廉隅共法简筹第八
　行一五一○四略小于馀实商八除实一亿五千一
　百○四万馀一千二百九十六万分○○为第四次
　商之实(第四/点也)
　又依捷法以三次所商共九步四八倍之得一十八
　步九六为廉法列平方筹上为廉隅共法简筹第六
　行一一三七九六略小于实商六除实一千一百三
　十七万九千六百分馀一百五十八万○四百○○

　分为第五次商之实(第五/点也)
　又依捷法以所商九步四八六倍之得一十八步九
　七二为廉法列平方筹上为廉隅共法简筹第八行
　一五一七八二四略小于实商八除实一百五十一
　万七千八百二十四分馀六万二千五百七十六分
　不尽凡开得平方每面九步四千八百六十八分(亦/可)
　(名为四分八/秒六忽八微)不尽一○○○○○○○○之○○○
　○六二五七六(即一万分之/六分有奇)

　虽不尽不过万分之一不足为损益可弃不用
　还原以九步四八六八用筹为法又为实自乘得八
　十九亿九千九百九十三万七千四百二十四分加
　入不尽之分六万二千五百七十六共九十亿以一
　亿分为一步之法除之(当退/八位)仍得九十步合原数
　解曰此以一步化为一万分故其自乘之积一亿何
　也自乘者横一步直一步之积也今既以一万分为
　步则是横一万分直一万分而其积一亿为一步

　
　
　
　
　
若依命分法则还原不合
　如前例　原实八步开得方二步除实四步不尽四
　步法当倍每方二步作四步又加隅一步为命分命

　为二步又五分步之四意若曰若得五步则商三步
　矣今只四步是五分内止得四分也然还原有不合
　何也
以算明之
　用通分法以命分五通二步得一十分又加得分四
　共一十四分自乘得一百九十六为实以命分五自
　　　　　　　　　　　乘得二十五分为法(每步/通作)
　　　　　　　　　　　(五分横一步直一步/则共得二十五分也)除之

　得七步又二十五分之二十一以较原实少二十五之四
以图明之
　　　　　　　每步作五分其羃积二十五分方二
　　　　　　　步积四步共一百分又五之四以乘
　　　　　　　方二步得四十分倍之为廉积八十
　　　　　　　分又五之四自乘得隅积一十六分
　共九十六分以合原馀积四步该一百分少二十五
　分之四

　以此观之实数每缩虚数常盈故命分之法不可以
　还原　其故何也曰隅差也何以谓之隅差曰平方
　之有奇零其在两廉者实其在隅者虚何也廉之虚
　者一面而隅之虚者两面也即如二步五之四谓五
　分内虚一分故不能成一步也然试观于图两廉之
　四步皆虚一分(横四分直五分积二十分以二十五/分计之是为于五分之中虚一分)
　而隅之一步虚一分有零(横四分直亦四分积一十/六分虚九分以二十五分)
　(计之是为五分/之中虚二分弱)则是边数二步五之数者其积不及

　五之四也今馀积四步者实数也其边数常盈于五
　之四有奇也而命之曰五之四宜其不及矣然则古
　何以设此法曰古率常宽以为所差者微故命之也
　不但此也古率圆一围三方五斜七今考之皆有微
　差故曰宽也
　愚常考定开平方隅差之法法曰如法以命分之毋
　通其整而纳其子(即得/分)为全数以全数自相乘得数
　为通积另置分毋以分子减之馀数以乘分子而加

　之为实乃以分毋自乘为法除之即适还原数　如
　上方二步五之四以分毋五通二步得十纳子四共
　十四自乘得方积一百九十六分另以分子四减分
　毋五馀一以转乘分子四得四即隅差也以隅差加
　入方积共二百分为实乃以分毋五自乘得二十五
　为法以除实得八步合原积
　又如后例　原实九十步开得九步除实八十一步
　不尽九步法当倍每方九步作十八步又加隅一共

　十九步为命分命为九步又十九分步之九意若曰
　若得十九步则加商一步成十步今只九步是十九
　分内只得九分也然还原亦不合
以算明之
　用通分法以命分十九通九步得一百七十一步又
　加得分九共一百八十步自乘得三万二千四百为
　实以命分十九自乘得三百六十一为法(每步十九/分横十九)
　(分直十九分共得/三百六十一分也)除之得八十九步又三百六十一

　分之二百七十一以较原实之九十步计少三百六
　十一分之九十分
　
　
　
　
　若依隅差之分以得分九减命分十九馀十转乘得
　分得九十分为隅差以加自乘通积三万二千四百

　共得三万二千四百九十为实乃以命分自乘三百
　六十一为法除之恰得九十步合原积
以图明之
　　　　　　　　　　甲戊丁庚形者方九步九分
　　　　　　　　　　之总形也通为一百八十分
　　　　　　　　　　积三万二千四百分以三百
　　　　　　　　　　六十一为步除之较原实少
　　　　　　　　　　九十分

　内分甲丙乙巳形为初商方九步之形其积八千一步
　戊乙形庚乙形次商廉积之形也长九步(通为一百/七十一分)
　阔九分积一千五百三十九分两廉共计三千○七
　十八分
　丁乙者小隅者横直各九分以较廉积中每一步之
　形(如丑/乙)欠一丁癸形即隅差也
　以积考之廉九步每步阔九分长一步(通为十/九分)积一
　百七十一分隅阔九分长亦九分积八十一分少九

　十分为隅差
　
　
　
　
　
　立方
法曰凡立方有馀实不能成一数不可开矣若必欲知

　其分秒则于馀实下加三圈(原实一化/为一千分)如法开之所
　得根数是一十分之几分也若加六圈(原实一化为/一百万分)
　所得根数是一百分之几分也若加九圈(原实一化/为十亿)
　则根数是一千分之几分也若加十二圈(原实一化/为万亿)
　则根数是一万分之几分也
解曰平方筹两位故两位作点而其化小分亦以两位
　为率盖积多两位则根数可多一位也(廉一位隅一/位故两位)
　立方筹三位故三位作点而其化小分亦以三位为

　率盖积多三位则根数可多一位也(平廉一位长廉/一位隅一位故)
　(三/位)
假如立方积一十七步开得立方二步除八步馀实九
　　　　　　　　　　　　　步不尽法于馀实下
　　　　　　　　　　　　　加十二圈则馀实九
　　　　　　　　　　　　　步化为九万亿分(增/)
　　　　　　　　　　　　　(四点可加开四位/)
　依捷法截第二点○九○○○为次商之实　以初

　商二自乘(四/)而三之得一十二步为平廉法列立方
　筹上为平隅共法　以初商(二/)三而进位得(六○/)为
　长廉法列立方筹下　简共法筹第五行积(○六一/)
　(二五/)小于实商五分(六行七行亦小于实因无长廉/)
　(积故不用/)
　乃以第五行平方(二五/)与长廉法相乘得(一五○○/)
　为长廉积以加共积共得(○七六二五/)是为次商五
　分之积以除实馀一三七五以俟三商

　又截取第三点一三七五○○○为三商之实　以
　初商次商共二步五分自乘得(六二五/)而三之得(一/)
　(八七五/)为平廉法列立方筹上为平隅共法　以初
　商次商(二步五分/)三而进位得(七五○/)为长廉法列
　立方筹第七行(一三一二八四三/)共法(八四三/)小于
　实商七秒　乃以第七行平方(四九/)与长廉法相乘
　得(三六七五○/)为长廉积以加共积共得(一三四九/)
　(五九三/)为三商七秒之积以除实馀○二五四○七

　以候续商
　又截取第四点○二五四○七○○○为四商之实
　以商数(二五七/)自乘得(六六○四九/)而三之得(一九/)
　(八一四七/)为平廉法列立方筹上为平隅共法　以
　商数(二五七/)进位而三之得(七七一○/)为长廉法列
　立方筹下简共法筹第一行(○一九八一四七○一/)
　小于实商一忽
　乃以第一行平方(一/)乘长廉得(七七一○/)为长廉积

　以加共积得(一九八二二四一一/)为商一忽之积以
　除实馀○五五八四五八九以候末商
　通第五点○五五八四五八九○○○为末商之实
　　以商数(二五七一/)自乘得(六六一○○四一/)而三
　之得(一九八三○一二三/)为平廉法列立方筹上为
　平隅共法　以商数(二五七一/)进位而三之得(七七/)
　(一三○/)为长廉法列立方筹下简共法筹第二行(○/)
　(三九六六○二四六○八/)小于实商二微

　乃以第二行平方(○四/)乘长廉法得(三○八五二○/)
　为长廉积以加共积得(○三九六六三三三一二八/)
　为末商二微之积以减实馀一六一八二五五八七
　二不尽
　凡开得立方每面二步五分七秒一忽二微(不尽之/数不能)
　(成一微/弃不用)
　还原以二步五七一二用筹为法别以二步五七一
　二列为实以法乘实得六六一一○六九四四

　
　
　
　
　
　
　再乘之得一十六万九千九百八十三亿八千一百
　七十四万四千一百二十八分

　乃以不尽之积一十六亿一千八百二十五万五千
　八百七十二分加入再乘积共得一十七万亿以一
　万亿为一步之法(以一步为万分横一万直/一万商一万共一万亿)除之得
　一十七步合原数
　
　
　
若依命分法则还原不合

　如前所设立方积一十七步开得立方每面二步除
　积九步馀九步法当以立方二步自乘得四步而三
　之得十二步为平廉又以立方二步三之得六步为
　长廉又加(一步/)为隅共(一十九步/)为命分命为立方
　二步又十九分步之九意若曰馀积若满十九步则
　加商一步矣今只有九步是以十九分为一步而今
　仅得九分也然还原则有不合
以算明之

　用通分法以命分十九通立方二步得(三十八分/)又
　加得分九共(四十七分/)此即所云二步又十九分之
　九乃立方一面之数也以此自乘得(二千二百○九/)
　(分/)再乘得(一十○万三千八百二十三/)乃立方二步
　又十九分之九所容积数也为实别以命分十九自
　乘得(三百六十一/)再乘得(六千八百五十九/)乃方一
　步之积为法以除实得(一十五步又六千八百五十/)
　(九之九百三十八/)较原实一十七步少(一步又六千/)

　(八百五十九分之五千九百二十一/)
　其故何也曰长廉小隅之差也何以言之曰立方之
　有奇零其在平廉者实其在长廉小隅者虚何也平
　廉之虚者一面而长廉虚两面小隅虚三面故也今
　以十九分为一步其立方积(六千八百五十九分/)为
　步法以十九分除之得每(三百六十一/)为分法平廉
　每步(横十九分直十九分高九/分积三千二百四十九)分法除之得九是为
　十九分之九适合命分之数也

　若长廉(横九分直十九分高九分/积一千五百三十九分)分法除之得四分
　有奇而已以较平廉九分之积(三千二百四十九/)少
　(一千七百一十分/)三长廉共(六步/)共少(一万○二百/)
　(六十分/)步法除之得一步又三千四百○一分为长
　廉差
　若小隅(横直高各九分积/七百二十九分)分法除之得二分有奇而
　已
　以较平廉九分之积(三千二百四十九/)少二千五百

　二十分为隅差
　合廉隅两差计之共少一步又六千八百五十九分
　之五千九百二十一
以图明之
　　　　　丑寅为立方一步之形每步通为十九分
　　　　　横直高各十九分积六千八百五十九分
　　　　　是为步法
　以十九分除步法得三百六十一分是为分法

廉隅总图(见左/)
　甲乙丙三平廉也纵横各方二步通为三十八分厚
　九分积一万二千九百九十六分三廉共三万八千
　　　　　　　　　九百八十八分丁戊巳三长廉
　　　　　　　　　也各长二步通为三十八分厚
　　　　　　　　　阔各九分积三千○七十八分
　　　　　　　　　三廉共九千二百三十四分
　　　　　　　　　庚小隅也长阔高皆九分积七

　百二十九分
　三长廉三平廉一小隅共包一正方形在内
　正方形纵横各二步通为三十八分　积五万四千
　八百七十二分
　总形方二步九分通为四十七分高如之　积
　一十○万三千八百二十三分　以步法除之
　得一十五步有奇不满原实一步又五千九百二
　十一分

　　　　　　　　平廉方二步其容四步即辛壬癸
　　　　　　　　子之分形也每步纵横皆一步通
　　　　　　　　为十九分厚皆九分积三千二百
　四十九(辛一形积如此/壬癸子者同)　以分除之适得九分
　　　　　　　　长廉长二步(如丑寅/合形)通为三十八
　　　　　　　　分厚九分皆与平廉同所不同者
　　　　　　　　平廉阔十九分而长廉阔只九分
　故长廉二步尚不及平廉一步之积以积计之每长

　廉一步(如丑/形)积一千五百三十九分较平廉每步之
　积(如丑卯/合形)少一千七百一十分(如丑之/虚分卯)三长廉计六
　步共少一万○二百六十分是为长廉之差
　　　　　　　　小隅横直高皆九分(如未/形)于平廉
　　　　　　　　一步之积不及四之一以积计之
　　　　　　　　小隅之积七百二十九较平廉一
　步之积(如未申/合形)少二千五百二十分(如未之/虚分申)是为小
　隅之差　合二差共一步五千九百二十一分

　今考定开立方廉隅差法法曰凡立方有命分者如
　法以分母(即命/分)通其整而纳以分子(即得/分)为立方全
　数以全数自乘再乘得数为立方通积另置命分(母/数)
　与得分(子数/)各自乘得数以相减用其馀数以乘得
　分得数为隅差又置命分与得分相减用其馀数转
　与得分相乘以乘命分得数是为长廉每步虚数又
　以长廉法乘之得数为长廉差合二差数以加通积
　为实以命分自乘再乘得数为法除之即适还原数

　　如所设立方积十七步开得立方二步又十九分
　之九法以分母(十九/)通立方二步而以分(子九分/)纳
　之共(四十七分/)为立方全数以全数自乘再乘得(一/)
　(十○万三千八百二十三/)为通积另置命分(十九/)自
　乘得(三百六十一/)内减分子(九/)自乘(八十一/)馀(二百/)
　(八十分/)以分子(九/)乘之得(二千五百二十分/)为隅差
　又置命分(一十九/)内减得分(九/)馀十分转乘得分(九/)
　得(九十分/)以乘命分(十九/)得(一千七百一十分/)为长

　廉每步虚数又以长廉法(六步/)乘之得(一万○二百/)
　(六十分/)为长廉差合二差共一万二千七百八十分
　以加通积共得一十一万六千六百○三分为实以
　命分一十九自乘再乘得六千八百五十九分为法
　以除实得一十七步合原积
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　历算全书卷三十三