钦定四库全书
　历算全书卷三十二
　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰
　　筹算四之五
　开带纵平方法
勿庵氏曰算有九极于勾股勾股出于圆方故少广旁
　要相资为用也然开平方以御勾股而纵法以御和
　较古有益积减积翻积诸术参伍错综尽神通变要

　之皆带纵一法而已
　　　　　　　　(平方者长阔相等如棋局也平方/带纵者直田也长多于阔之数谓)
　　　　　　　　(之纵纵之阔如平方之数其长则/如纵之数纵与方相乘得纵积以)
　　　　　　　　(加方积成一/直田形积也)
　　　　　　　　平方与方纵两形初商之积也两
　　　　　　　　廉一隅一廉纵者次商之积也廉
　　　　　　　　有二故倍之廉之纵只一故不倍
　　　　　　　　也

　　　　　　　　如前图除积不尽则有第三商如
　　　　　　　　此图虽三商亦只倍廉而不倍纵
　　　　　　　　四商以上仿此详之
　
用法曰先以积列位如法作点从单位起隔位点之视
　点在首位独商之点在次位合两位商之皆命为实
　次以带纵数用筹与平方筹并列之各为法
　视平方筹积数有小于实者用其方数为初商用其

　积数为方积(初商自乘/之数也)　即视纵筹与初商同行之
　积数用之为纵积(初商乘纵之数也如初/商一则用纵筹第一行)兼方积纵
　积两数以减原实而定初商(必原实中兼此两积之/数则初商无误矣故曰)
　(定/)　若原实不及减改而商之如前求得两积以减
　之为初商定数　不及减又改商之及减而止
　若应商十数因无纵积改商单九是初商空也则于
　初商之位作○而纪其改商之数于○下若次商者
　然(初商应是百而改九十/应是千而改九百并同)

定位法曰既得初商视所作原实之点共有几何以定
　其得数之位以知其有次商与否(如一点则得数是/单而无次商二点)
　(则得数是十而有次商/之类皆如平方法取之)
次商法曰依前定位知初商未是单数而减积又有未
　尽是有次商也　次商之法倍初商加入纵为廉法
　用筹除之　视廉法筹行内之积数有小于馀实者
　用为廉积以减馀实用其行数为次商　就以次商
　自乘为隅积以减馀实以定次商(必馀实内有廉隅/两积则次商无误)

　　不及减者改商之及减而止皆如平方法
　商三次以上并同次商
命分法曰若得数已是单而有不尽则以法命之　法
　以所商数倍之加入纵为廉又加隅一为命分不尽
　之数为得分
　亦有得数非单而馀实少在廉法以下不能商作单
　一者亦以法命之　法即以廉法加隅一为命分
列商数法曰依平方法视所作点而以最上一点为主

　若初商五以上(不论单五或五十或/五千或五百并同)皆用进法书其
　其得数于点之上两位则不论纵之多少也
　若初商四以下(亦不论单/十百千)则以纵之多少而为之进
　退法以纵折半加入初商(单从单十从十/百千各以类加)若满五以上
　者变从进法书于点之上两位(如初商四而纵有二/初商三而纵有四之)
　(类/)
　若纵数少虽加之而仍不满五数者仍用常法书其
　得数于点之上一位(如初商四而纵只有一初商/三而纵只有二只有二之类)

　总而言之所商单数皆书于廉法之上一位故初商
　得数有进退之法乃豫为廉法之地以居次商也
　初商五以上倍之则十虽无纵加廉法已进位矣初
　商虽四以下而以半纵加之满五则其倍之加纵而
　为廉法也亦满十而进位矣廉法进位故初商必进
　两位书也若加半纵仍不满五则其廉法无进位矣
　故初商只进一位而书之盖豫算所商单数已在廉
　法之上也

　又初商若得单数其廉法即为命分凡商得单数必
　在命分之上一位以此考之庶无谬误
假如有直田积六十三步但云阔不及长二步
　列位(依平方法/)作点(从单位起/)
　　　　　　视点在次位合六十三步商之为实
　　　　　　次以平方筹与纵二筹平列之各为法
　　视平方筹积有(四九/)小于(六三/)其方七也商作单
　七(用进法书于点之上两/位 一点知所商是单)

　即视带纵筹第七行积数(一四/)用为纵积
　并方积(四十九/)纵积(一十四/)共六十三除实尽(此亦/偶除)
　(尽耳设不尽其命分必是十数故/前商七之数必进书之以存其位)
　定为阔七步　加纵二步得长九步
　凡得数在五以上用进法书于点之上两位此其例
　也
假如有直田六百三十步但云长多阔二步
　列位(无单位补作圈/)作点

　　　　　　　　视点在首位独商之以○六百步
　　　　　　　　为实
　　　　　　　　以平方带纵二各用筹为法
　　　　　　　　视平方筹积数有(○四/)小于(○六/)
　其方二商二十步(二点故/初商十)自乘得方积(四百步/)随视
　纵筹第二行是(四/)得纵积(四十步/)并两积共四百四
　十步以减原实馀一百九十步再商之(初商十故/有次商也)
　　(商数二十以纵折半得单一加之共二十一/仍不满五数故只用常法书于点之上一位)

　次以初商(二十步/)倍之(四十步/)加纵(二步/)共四十二
　步为廉法(用第四第二两筹/)
　合视两筹第四行积数(一六八/)小于(一九○/)次商(四/)减
　廉积一百六十八步馀二十二步(所减首位不空/次商故书本位)
　次以次商(四步/)为隅法自乘得(一十六步/)为隅积用
　减馀实不尽六步以法命之(初商虽不进位所得次/商单数已在命分之上)
　(一位矣列商数/法妙在于此)倍所商(二十四步/)为(四十八步/)加纵
　(二步/)又加隅(一步/)共五十一步为命分

　命为阔(二十四步/)又(五十一分步之六/)加纵(二步/)得
　长(二十六步/)又(五十一分步之六/)
　　凡得数在四以下以半纵加之仍不满五则只用
　　常法书于点之上一位此其例也
假如有直田五亩但云长多阔八十八步
　列位(以亩法二百四十通之得一千/二百步十步单步空补作两圈)作点
　　　　　　　　　视点在次位合商之以一千二
　　　　　　　　　百步为实纵有两位用两筹与

　　　　　　　　　平方筹并列各为法
　　　　　　　　　先视平方筹有(○九/)小于(一二/)
　　　　　　　　　宜商三十(二点/商十)因有纵改商二
　　　　　　　　　十其方积四百步纵积一千七
　百六十步(初商十与纵相乘故/纵单数皆成十数)兼两积共二千一百
　六十步大于实不及减所商有误抹去之
　改商(一十步/)其方积(一百步/)其纵积(八百八十步/)并
　两积共除实九百八十步馀二百二十步再为实以

　求次商(初商十故/有次商也)
　　(纵折半四十四步加初商一十/步共五十四步故变用进法)
　次以初商(一十步/)倍之(二十步/)加纵(八十八步/)共一
　百○八步为廉法(用第一空位第八三筹/)
　合视筹第二行积(二一六/)小于(二二○/)次商(二步/)于
　初商(一十步/)之下减廉积一百一十六馀四步(所减/首位)
　(○故进书之初商/豫进正为此也)
　次以次商(二步/)自乘得四步为隅积除实尽

　定为阔一十二步加纵(八十八步/)得长一百步
假如有直田一十二亩半但云长多阔七十步
　列位(以亩法二百四十通之得/三千步百十单皆作圈)作点
　　　　　　　视点在次位以三千○百步为实
　　　　　　　以平方带纵七十各用筹为法
　　　　　　　先视平方筹积有二五小于(三○/)宜
　　　　　　　商(五十/)因纵改商(四十步/)其方积一
　　　　　　　千六百步其纵积二千八百步共四

　千四百步大于实不及减抹去之
　改商(三十步/)其方积(九百步/)其纵积(二千一百步/)共
　三千步除实尽
　　(纵七十折半三十五加初商三十共六十五/是五以上也故用进法书商三于点上两位)
　　(假有馀实则当再商或命之以分今虽商尽当存/其位 命分者廉法加隅一也倍初商加纵共一)
　　(百三十是原实百者廉法之位也进一/位乃单位初商不进两位何以容单数)
　凡开得平方三十步为田阔　加纵七十步共一百步为长
假如有直田七亩但云长多阔六十步

　列位(以亩法二百四十通之得一/千六百八十步单位空作圈)作点
　　　　　　　视点在次位合商之以一千六百步
　　　　　　　为实
　　　　　　　以平方带纵六十步用筹各为法
　　　　　　　先视平方筹有一六与实同宜商四
　　　　　　　十(二点初/商是十)因带纵改商三十步其方
　　　　　　　积(九百步/)纵积(一千八百步/)共二千
　　　　　　　七百步大于实不及减抹去之

　改商(二十步/)其方积(四百步/)纵积(一千二百步/)共减
　一千六百步馀八十步再商之
　　(纵折半三十加初商/共五十故进书之)
　　(假馀实满命分一百○一步即当商一步故初/商豫进以居次商今次商虽空当存○位故也)
　次以初商(二十步/)倍之(四十步/)加入纵六十步共一
　百步为廉法　廉法大于馀实不及减次商作○其
　馀实以法命之　法以廉法加隅一为命分
　命为阔(二十步/)又(一百○一分步之八十/)加纵为长

　(八十步/)又(一百○一分步之八十/)
假如有直田四亩但云长多阔九十步
　列位(以亩法通之得/九百六十步)作点
　　　　　　　　视点在首位独商之以○九百为实
　　　　　　　　以平方带纵九十步各用筹为法
　　　　　　　　先视平方筹积有(○九/)与实同宜
　　　　　　　　商三十步(二点故/初商十)因带纵改商二
　　　　　　　　十步其方积(四百步/)纵积(一千八/)

　(百步/)不及减又改商一十步其方积(一百步/)纵积(九/)
　(百步/)共一千步仍不及减　此有二点宜商十步今
　改商一十仍不及减是初商十位空也
　　(纵九十折半四十五加初商十步满/五十以上故商一进书点之上两位)
　改商单九步其方积(八十一步/)纵积(八百一十步/)共
　八百九十一步以减实馀六十九步不尽(此宜商十/数者变商)
　(单步故初商之位作○而以改商之九步书于○位/下如次商然也盖必如此书之所商单数乃在命分)
　(之上一/位也)

　商数已得单步而有不尽以法命之以商九步倍之
　加纵九十步共一百○八步更加隅一步共一百○
　九步为命分
　命为阔九步又(一百○九分/步之六十九)　加纵为长九十九步
　又(一百○九分/步之六十九)
　　以上四则乃纵多进位之法也凡得数虽四以下
　　以半纵加之满五即用进法书于点之上两位此
　　其例也

　开带纵立方法(筹算五/)
勿庵氏曰泰西家说勾股开方甚详然未有带纵之术
　同文算指取中算补之其论带纵平方有十一种而
　于立方带纵终缺然也程汝思统宗所载又皆两纵
　之相同者惟难题堆垛还原有二例祇一可用其一
　强合而已非立术本意又不附少广而杂见于均输
　虽有善学何从而辨之兹因筹算稍以鄙意完其缺
　义取晓畅不厌烦复使得其意者可施之他率不穷

　云尔
凡立方带纵有三
一只带一纵
　如云长多方若干或高多方若干是也(深即同高/)
一带两纵而纵数相同
　如云长不及方若干高不及方若干是也(此方多数/为纵)
　
一带两纵而纵数又不相同

　如云长多阔若干阔又多高若干是也
　大约带一纵者只有纵数而已带两纵者有纵廉又
　有纵方故其术不同
　
　
　
　
　

带一纵图三
　　　　　　此长多于方　　　　　此高多于方
　　　　　　也为横纵横　　　　　也为直纵直
　　　　　　纵之形阔与　　　　　纵之形长阔
　　　　　　高等如其方　　　　　相等如其方
　　　　　　其厚也如其　　　　　其高也如其
　　　　　　纵所设　　　　　　　纵所设
　俱立方一纵形一合为长立方形

　　　　　　　　　如图立方形方纵形合者初商
　　　　　　　　　也平廉三内带纵者二长廉三
　　　　　　　　　内带纵者一小隅一此七者次
　　　　　　　　　商也
　　　　　　　　　平廉所带之纵长与立方等厚
　　　　　　　　　与次商等其高也则如纵所设
　　　　　　　　　　长廉所带之纵两头横直等
　　　　　　　　　皆如次商其高也如纵所设

　用法曰以积列位乃作点从单位起隔两位点之
　点毕视积首位有点独商之以首位为初商之实
　首位无点以首位合有点之位商之　点在次位以
　首两位为初商之实　点在第三位以首三位为初
　商之实　皆同立方法
　先视立方筹积数有小于初商之实者用其方数为
　初商(定位法合计所作点共有若干一点者商单数/二点则商十数每一点进一位皆如立方)用
　其积数为初商立方积(定位法视初商方数若初商/单数其积亦尽于单位若初)

　(商十数其积乃尽于千位每初商进一位/其积进三位亦可以点计之皆如立方)
　次以初商自乘以乘纵数为纵积
　合计立方积纵积共数以减原积而定初商(若初商/无误者)
　(原实中必/兼此两积)命初商为方数加纵数为高数(或长数皆/依先所设)
　不及减者改商之及减而止
次商法曰依前定位知初商是何等(或单十/百千等)若初商未
　是单数而减积又有不尽是有次商也
　法以初商自乘而三之又以纵与初商相乘而两之

　共为平廉法　又法以初商三之纵倍之并其数与
　初商相乘得数为平廉法　或以初商加纵而倍之
　并初商数以乘初商为平廉法并同
　又以初商三之加纵为长廉法
　乃置馀实列位以平廉法除之得数为次商(用筹为/法除而)
　(得/之)
　　(依除法/定其位)
　于是以次商乘平廉法为三平廉积　又以次商自

　乘以乘长廉法为三长廉积　就以次商自乘再乘
　为隅积　合计平廉长廉隅积共若干数以减原实
　(原实中兼此并积/知次商无误矣)乃并初商次商所得数为方数加
　纵命为高数(或长数皆/如先所设)合问　不及减者改商之及
　减而止
商三次者以初商次商所得数加纵而倍之并商得数
　为法仍与商得数相乘为平廉法
　又以商得数三之加纵为长廉法　馀并同次商

命分法曰己商至单数而有不尽则以法命之　其法
　以所商得数加纵倍之加所商得数以乘所商得数
　(如平/廉)又以所商得数三之加纵(如长/廉)并两数又加单
　一(如/隅)为命分不尽之数为得分
　或商数尚未是单而馀实甚少在所用平廉长廉两
　法并数之下或仅同其数(仅同者/无隅积)是无可续商也亦
　以法命之法即以所用平廉长廉两法并之又加隅
　一为命分

列商数法曰依立方法以初商之实有点者为主(即原/实内)
　(最上之/一点)凡初商得数必书于点之上一位乃常法也
　惟初商一数者用常法
　有以初商得数书于点之上两位者进法也初商二
　三四五者用进法
　有以初商得数书于点之上三位者超进法也初商
　六七八九者用超进之法
　若纵数多廉法有进位则宜用常法者改用进法宜

　用进法者用超进之法宜超进者更超一位书之
　其法于次商时酌而定之盖次商时有三平廉法三
　长廉法再加隅一为命分法于原实寻命分之位为
　主命分上一位单数位也从此单数逆寻而上自单
　而十而百而千至初商位止有不合者改而进书之
　若与初商恰合者不必强改此法甚妙平方带纵亦
　可用之
　若宜商一十而改单九或宜商一百而改九十凡得

　数退改小一等数者皆不用最上一点而以第二点
　论之此尤要诀(或于初商位作圈而以所商小一等/数书于圈之下即可以上一点论也)
　(细考其数则同此商数列/位立法之妙宜详玩之)
假如浚井计立方积七百五十四万九千八百八十八
　尺但云深多方八百尺　法以立方带纵为法除之
　列位　作点
　　　　　　　　　　　视点在首位独商之以○
　　　　　　　　　　　○七百万尺为初商之实

　以立方筹为法　视立方筹积有○○一小于○○
　七商一百尺(三点故初商百商一百故/用常法书于点之上一位)得立方积一
　百万尺(三点者方积尽百万之位一初/商之方积皆尽于最上之 点)
　次以初商一百尺自乘一万尺乘纵八百尺得八百
　万尺为纵积　并两积九百万积大于原实不及减
　抹去之不用改商如后图
　视立方筹第九行积七二九改商九十尺得立方积
　七十二万九千尺(百改十故亦改用第二点第二/点是十位故方积亦尽于千位)次

　　　　　　　　　　以初商九十尺自乘八千一
　　　　　　　　　　百尺乘纵八百尺得六百四
　　　　　　　　　　十八万尺为纵积　并两积
　共七百二十万○九千尺以减原实馀三十四万○
　八百八十八尺再商除之(初商一百今改商九十故/上一点不用用第二点论)
　(之商九者书于第二点/之上三位超进法也)
　次用次商又法以纵八百尺加初商九十尺而倍之
　得一千七百八十尺并初商九十尺共一千八百七

　十尺用与初商九十尺相乘得一十六万八千三百
　尺为平廉法　又以初商九十尺三因之得二百七
　十尺加纵八百尺共得一千○七十尺为长廉法
　乃列馀实以平廉为法除之(用第一第六第/八第三共四等)
　　商九十用超进法书于第二点之上三位今以纵
　　多致廉法进为十万故次商时应更为酌定又超
　　一位书之然后次商单数在廉法上一位矣改如
　　后图(廉法十万上一位单数位也今/商九十不合在此位故改之)

　
　
　
　合视筹第二行积○三三六六小于馀实次商二尺
　于初商九十之下(所减首位是○法宜进书也初/商不改而更超之何以居次商)
　就以次商二尺乘平廉法得三十三万六千六百尺
　为平廉积　又以次商二尺自乘四尺用乘长廉法
　得四千二百八十尺为长廉积　又以次商二尺自

　乘再乘得八尺为隅积　并三积共三十四万○八
　百八十八尺除实尽
　乃以商数命为井方　加纵为井深
　计开
　　井方九十二尺深八百九十二尺
　　此超进法改而更超一位也

带两纵纵数相同图二
　　　　　　　　　此高不及方也方之横与直俱
　　　　　　　　　多于高是为两纵两纵者纵廉
　　　　　　　　　二纵方一并立方而四
　　　　　　　　　立方形长阔高皆相等
　　　　　　　　　纵廉形高与阔相等如其方之
　　　　　　　　　数其厚也如所设纵之数
　纵方形两头等皆如纵数其高也如立方之数

　两纵廉辅立方两面而纵方补其隅合为一短立方
　形
　不及之数有在立方旁者观后图可互见其意

　如图初商有立方有纵廉二纵方一共四形今只
　图其二馀为平廉所掩意会之可也(此横头不及/方也即前图)
　(之眠/体)
　次商平廉三内带一纵者二带两纵者一长廉三内
　带纵者二小隅一共七
　平廉带一纵者阔如初商加纵为长厚如次商其
　带两纵者高阔皆等皆如初商加纵之数厚如次
　啇

　长廉带纵者长如初商加纵之数其两头横直皆
　等皆如次商
　无纵长廉长如初商两头横直等如次商
　小隅横直高皆等皆如次商
用法曰先以纵倍之为纵廉(两纵/并也)以纵自乘为纵方
　(两纵/相乘)
　此因两纵数同故其法如此也若两纵不同径用
　乘法并法矣

　乃如法列位作点求初商之实
　以立方筹为法求得初商方数及初商立方积(皆如/立方)
　(法皆依定/位法命之)
　次以初商乘纵方得数为纵方积　又以初商自乘
　数乘纵廉得数为纵廉积
　合计纵方纵廉立方之积共若干数以减原实而定
　初商(皆如一/纵法)
　命初商为高数(或深数皆/如所设)加纵为方数(不及减改商/之若初商未)

　(是单数则以/馀实求次商)
次商法曰以初商加纵倍之以乘初商高数得数　又
　以初商加纵自乘得数　并之共为平廉法(又法初/商三之)
　(加纵以初商加纵乘之/得数为平廉法亦同)
　次以初商加纵倍之并初商数共为长廉法(又法初/商三之)
　(纵倍之并为/长廉法亦同)
　乃置馀实列位　以廉法位酌定初商列法而进退
　之以平廉为法而除馀实得数为次商(皆以所减首/位是○与否)

　(而为之/进若退)　又法合平廉长廉两法以求次商
　于是以次商乘平廉法为平廉积　又以次商自乘
　数乘长廉法为长廉积　又以次商自乘再乘为隅
　积　合计平廉长廉隅积共若干数以减馀实而定
　初商(皆如一/纵法)
　(又法以次商乘长廉法为长廉法又以次商自乘为/隅法并平廉长廉隅法以与次商相乘为次商廉隅)
　(共积以减/馀实亦同)
　乃命所商数为高(或深之类/如所设)加纵数命为方合问

不尽者以方倍之乘高又以方自乘(如平/廉)又以方倍之
　并高(如长/廉)又加单一(如/隅)为命分
假如有方台积五百八十六万六千一百八十一尺但
　云高不及方一百四十尺　以带两纵立方为法除
　之(方者长阔等每面各/多高一百四十尺)
　先以纵一百四十尺倍之得二百八十尺为纵积
　又纵自乘之得一万九千六百尺为纵方
　列位　加点

　　　　　　　　　　　视点在首位独商之以○
　　　　　　　　　　　○五百万尺为初商之实
　　　　　　　　　　　视立方积有○○一小于
　○○五商一百尺(三点故/商百尺)得立方积一百万尺(商一/数宜)
　(用常法书于点之上一位今因纵多致廉法升为十/万法上一位为单单上一位为十今初商是百尺故)
　(改用进法书之/廉法之升见后)
　就以初商一百尺乘纵方得一百九十六万尺为纵
　方积

　又以初商一百自乘一万乘纵廉得二百八十万尺
　为纵廉积
　合计立方纵方纵廉积共五百七十六万尺以减原
　实馀一十万○六千一百八十一尺(初商百尺/宜有续商)
　初商一百尺高也　加纵共二百四十尺方也
　次以方倍之四百八十尺用乘高数得四万八千尺
　又以方自乘之得五万七千六百尺并之得一十万
　○五千六百尺为平廉法

　又以方倍之并高得五百八十尺为长廉法
　乃列馀实　以廉法酌定初商改进一位书之
　　　　　　　　　　　以平廉法用筹除馀实
　　　　　　　　　　　视筹第一行○一○五六
　　　　　　　　　　　小于馀实次商一尺于初
　商一百尺之隔位(所减是○一○五六首位○宜进/书然犹与初商隔位故知为单一)
　(尺/)　就以次商一尺乘平廉法如故又以次商一尺
　自乘以乘长廉法亦如故就命为平廉长廉积　又

　以次商自乘再乘仍得一尺如故　合计三积共一
　十万○六千一百八十一尺除实尽
　乃以所商数命为台高　加纵为方
　计开
　台高一百○一尺　方二百四十一尺
　　此常法改用进法也
假如有方池积五十万丈但云深不及方五十尺　先
　以纵(五/十)尺倍之一百为纵廉　又纵自乘之得(二千/五百)

　尺为纵方
　列位　加点
　　　　　　　　　视点在第三位合商之以五十
　　　　　　　　　万○○尺为初商之实
　　　　　　　　　视立方筹有三四三小于五○
　○宜商七十尺(二点商/十尺)因纵改商六十尺得立方积
　二十一万六千尺　次以初商六十尺自乘三千六
　百尺用乘纵廉一百尺得三十六万尺已大于实不

　及减不必求纵方积矣　改商五十尺用筹求得立
　方积一十二万五千尺
　就以初商五十尺乘纵方得纵方积亦一十二万五
　千尺　又以初商五十尺自乘二千五百尺用乘纵
　廉得纵廉积二十五万尺　并三积共五十万尺除
　实尽　以商数命为池深　加纵为方
　计开　池深五十尺　方一百尺
　　此进法改为超进也(假有次商则其平廉法二万/尺矣假有命分则其命分二)

　　(万○二百/五十一矣)　亦有高与长同而阔不及数者准此
　　求之但以初商命为阔而加纵为高与长
　
　
　
　
　
　

带两纵纵数不相同图二
　　　　　　　　　　　此长多于阔而高又多于
　　　　　　　　　　　长也是为两纵而又不相
　　　　　　　　　　　同凡为大纵廉小纵廉各
　　　　　　　　　　　一纵方一并立方形而四
　　　　　　　　　　　立方形长阔高相等
　　　　　　　　　　　大纵廉横直等如其方而
　　　　　　　　　　　高如大纵　小纵廉高阔

　　　　　　　　　　等如其方而厚如小纵
　　　　　　　　　　纵方形之两头高如大纵
　　　　　　　　　　厚如小纵其长也则如立
　　　　　　　　　　方　大纵小纵以辅立方
　　　　　　　　　　之两面而纵方补其阙合
　　　　　　　　　　为一长立方形
　　　　　　　　　　如图初商有立方有大纵
　　　　　　　　　　廉小纵廉纵方各一共四

　　　　　　　　　　只图其二馀为平廉所掩
　　　　　　　　　　也
　　　　　　　　　　次商平廉三内带小纵者
　　　　　　　　　　一带大纵者一(在初商大/纵立方之)
　　　　　　　　　　(背/面)带两纵者一
　　　　　　　　　　长廉三内带小纵者一带
　　　　　　　　　　大纵者一
　　　　　　　　　　小隅一共七

　带小纵平廉阔如初商长如初商加小纵之数高如
　次商
　带大纵平廉阔如初商高如初商加大纵之数厚如
　次商
　带两纵平廉阔如初商加小纵之数高如初商加大
　纵之数厚如次商
　带小纵长廉长如初商加小纵之数　带大纵长廉
　高如初商加大纵之数　无纵长廉长如初商数

　其两头横直皆如次商之数
　小隅横直高皆如次商之数
用法曰以两纵相并为纵廉　以两纵相乘为纵方
　列位作点求初商之实　以立方筹求得初商立方
　积　以初商求得纵方纵廉两积　皆如前法
　乃以初商命为阔　各加纵命为长为高
求次商者以初商长阔高维乘得数而并之为平廉法
　　又以初商长阔高并之为长廉法

　乃置馀实列位(以平廉酌定/初商之位)以平廉为法求次商及
　平廉积长廉积隅积以减馀实乃命所商为阔各以
　纵加之为高为长(如所/设)皆如前法
不尽者以所商长阔高维乘并之(如平/廉)又以长阔高并
　之(如长/廉)又加单一(如/隅)为命分
假如有长立方形积九十尺但云高多阔三尺长多阔
　二尺
　先以两纵相并五尺为纵廉　以两纵相乘六尺为

　纵方
　列位　作点
　　　　　　　　视点在第二位合商之以○九十
　　　　　　　　○尺为初商之实
　乃视立方筹有○六四小于○九○宜商四八因有
　纵改商三尺得二十七尺为立方积(原实只一点故/初商是单商三)
　(故书于点之上/两位用进法也)
　次以初商三尺自乘九尺乘纵廉得四十五尺为纵

　廉积
　又以初商三尺乘纵方得一十八尺为纵方积
　并三积共九十尺除实尽
　乃以初商命为阔　各加纵为高为长
　计开
　阔三尺　长五尺　高六尺
假如有立方积一千六百二十尺但云长多阔六尺高
　多阔三尺

　先以两纵相并九尺为纵廉　以两纵相乘一十八
　尺为纵方
　列位　作点
　　　　　　　　视点在首位独商之以○○一千
　　　　　　　　尺为初商之实
　乃视立方筹有○○一与实同商一十尺(二点/商十)得立
　方积一千尺次以初商一十尺自乘一百尺乘纵廉
　得九百尺为纵廉积又以初商一十尺乘纵方得一

　百八十尺为纵方积　合计之共二千○八十尺大
　于实不及减(商一十故用常法/书于点之上一位)改商九尺得七百二
　十九尺为立方积(十变为单则上一点不用用第二/点故商九书于第二点之上两位)
　(用超进/法也)
　次以初商九尺自乘八十一乘纵廉亦得七百二十
　九尺为纵廉积
　次以初商九尺乘纵方得一百六十二尺为纵方积
　并三积共一千六百二十尺除实尽

　乃以商数命为阔　各加纵为长为高
　计开
　阔九尺　长一十五尺　高一十二尺
假如有长立方积六万四千尺但云长多阔五尺高又
　多长一尺
　先以长多五尺高多六尺并之得(十/十)为纵廉　又以
　五尺六尺相乘三十为纵方
　(解曰长多阔五尺高又多/长一尺是高多阔六尺也)

　列位　作点
　　　　　　　　　视点在第二位合商之以○六
　　　　　　　　　万四千尺为初商之实
　　　　　　　　　视立方筹有○六四与实同宜
　商四十尺因有纵改商三十尺(二点故/商十尺)得二万七千
　尺为立方积(商三十故书于点之/上两位用进法也)
　次以初商三十尺自乘九百尺乘纵廉得九千九百
　尺为纵廉积

　次以初商三十尺乘纵方得九百尺为纵方积
　并三积共三万七千八百尺以减原实馀二万六千
　二百尺再商之(初商十宜/有次商)
　初商三十尺阔也　加纵五尺共三十五尺长也
　又加一尺共三十六尺高也
　乃以初商长阔高维乘之
　　阔乘长得一千○五十尺　高乘阔得一千○八
　　十尺　长乘高得一千二百六十尺

　　并三维乘数共三千三百九十尺为平廉法(又法/并长)
　　(与高乘阔又以高/乘长并之亦同)
　次以初商长阔高并之共一百○一尺为长廉法(又/法)
　　(初商三之加/两纵亦同)
　乃以平廉用筹为法以馀实列位除之
　如后图合视筹第六行是二○三四小于馀实次商
　六尺(所减首位不/空故书本位)得二万○三百四十尺为平廉积
　(次商乘平/廉法也)

　　　　　　次以次商六尺自乘三十六尺乘长廉
　　　　　　法得三千六百三十六尺为长廉积
　　　　　　又以次商六尺自乘再乘得二百一十
　　　　　　六尺为隅积
　并三积共二万四千一百九十二尺以减馀实馀二
　千○○八不尽以法命之
　法以初商阔高长各加次商为阔高长而维乘之
　　阔乘长得一千四百七十六尺　高乘阔得一千

　　五百一十二尺　长乘高得一千七百二十二尺
　并得四千七百一十尺(如平/廉)又并阔高长得一百一
　十九尺(如长/廉)又加一尺(如/隅)共得四千八百三十尺为
　命分不尽之数为得分
　命为四千八百三十分尺之二千○○八即奇数也
　计开
　　阔三十六尺有奇(音基/)　长四十一尺有奇
　　高四十二尺有奇

假如有长立方形积一十万○一千尺但云长多阔五
　尺高多阔六尺
　先以两纵并得一十一尺为纵廉
　　以两纵乘得三十尺为纵方
　列位　作点
　　　　　　　　　视点在第三位合三位商之以
　　　　　　　　　一十万○一千为初商之实
　　　　　　　　　乃视立方筹有○六四小于一

　○一商四十尺(二点/商十)得六万四千尺为立方积(商四/十故)
　(书于点之上/两位进法也)
　次以初商自乘一千六百尺乘纵廉得一万七千六
　百尺为纵廉积
　次以初商乘纵方得一千二百尺为纵方积
　并三积共八万二千八百尺以减原实馀一万八千
　二百尺再商之
　初商四十尺阔也　加纵五尺得四十五尺长也

　加纵六尺得四十六尺高也
　乃以初商阔长高而维乘之
　　长乘阔得一千八百尺　阔乘高得一千八百四
　　十尺(又法并高与长九十一尺以阔四十尺乘之/共三千六百四十尺省两维乘其数亦同)
　　　高乘长得二千○七十尺
　并维乘数共五千七百一十尺为平廉法
　又以阔长高并之共一百三十一尺为长廉法
　乃列馀实以平廉用筹为法除之

　　　　　　　　合视筹第三行是一七一三小于
　　　　　　　　馀实次商三尺(所减首位不空/故本位书之)就
　　　　　　　　以次商三尺乘平廉法得一万七
　　　　　　　　千一百三十尺为平廉积　又以
　次商三尺自乘九尺乘长廉法得一千一百七十九
　尺为长廉积　又以次商三尺自乘再乘得二十七
　尺为隅积　并之得一万八千三百三十六尺大于
　馀实不及减

　改商二尺
　就以次商二尺乘平廉法得一万一千四百二十尺
　为平廉积(即用筹第/二行取之)
　次以次商自乘四尺乘长廉法得五百二十四尺为
　长廉积　又以次商自乘再乘得八尺为隅积
　并之共一万一千九百五十二尺以减馀实仍馀六
　千二百四十八不尽以法命之
　法以阔长高各加次商二尺为阔长高而维乘之

　并高四十八尺长四十七尺共九十五尺以阔四十
　二尺乘之得三千九百九十尺(代两/维乘)又以长乘高得
　二千二百五十六尺并得六千二百四十六尺　又
　以长阔高并之得一百三十七尺　又加一尺　共
　六千三百八十四为命分
　命为六千三百八十四之六千二百四十八即奇数
　计开
　阔四十二尺有奇

　长四十七尺有奇
　高四十八尺有奇
　
　
　
　
　
　历算全书卷三十二