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历算全书 卷三十 第 1a 页 WYG0794-0671c.png
钦定四库全书
历算全书卷三十
宣城梅文鼎撰
筹算一
作筹之度
凡筹以牙为之或纸或竹片皆可长短任意以方正为
度
凡筹背面皆平分九行每行以曲线界之为两半圆状
历算全书卷三十
宣城梅文鼎撰
筹算一
作筹之度
凡筹以牙为之或纸或竹片皆可长短任意以方正为
度
凡筹背面皆平分九行每行以曲线界之为两半圆状
历算全书 卷三十 第 1b 页 WYG0794-0671d.png
凡筹背面皆相对第一筹之阴即为第九便检寻也二
与八三与七四与六五与空位皆仿此共五类类各
五筹当珠盘二十五位或更加之亦可 外有开方
大筹为平方立方之用详见别卷
筹式列左
与八三与七四与六五与空位皆仿此共五类类各
五筹当珠盘二十五位或更加之亦可 外有开方
大筹为平方立方之用详见别卷
筹式列左
历算全书 卷三十 第 2a 页 WYG0794-0672a.png
历算全书 卷三十 第 3a 页 WYG0794-0672c.png
作筹之理
凡筹每行以曲线界之成两位其下为本位上为进位
假如本位一两则进位为十两
凡列两筹则行内成三位下之进位与上之本位两半
圆合成一位故也 列三筹则成四位 列四筹则
成五位 五筹以上皆仿此
凡筹有明数有暗数明数者筹面所有之数是也暗数
者行数也假如第一行即为一数第二行即为二数
凡筹每行以曲线界之成两位其下为本位上为进位
假如本位一两则进位为十两
凡列两筹则行内成三位下之进位与上之本位两半
圆合成一位故也 列三筹则成四位 列四筹则
成五位 五筹以上皆仿此
凡筹有明数有暗数明数者筹面所有之数是也暗数
者行数也假如第一行即为一数第二行即为二数
历算全书 卷三十 第 3b 页 WYG0794-0672d.png
凡筹与行数相因而成积数假如第二筹之第四行即
为八数第九筹之第八行即为七二数
筹算之资
凡用筹算当先知并减二法今各具一则
并法
并者合也合众散数为一总数也又谓之垛积 其法
先列散数自上而下对位列之千对千百对百十对
十单对单以类相附
为八数第九筹之第八行即为七二数
筹算之资
凡用筹算当先知并减二法今各具一则
并法
并者合也合众散数为一总数也又谓之垛积 其法
先列散数自上而下对位列之千对千百对百十对
十单对单以类相附
历算全书 卷三十 第 4a 页 WYG0794-0673a.png
列讫并为一总数 其法从最下小数起自下而上
如画卦之法 数满十者进位作暗马而本位书其
零
恐混原数故以此
别之便覆核也
假如有米三千四百八十石又五千○六十八石又二
万六千九百石合之共几何
如画卦之法 数满十者进位作暗马而本位书其
零
恐混原数故以此
别之便覆核也
假如有米三千四百八十石又五千○六十八石又二
万六千九百石合之共几何
历算全书 卷三十 第 4b 页 WYG0794-0673b.png
如图散数三宗依法并之为
一总数得三万五千四百四
十八石
减积法
减者去也于总数内减去几何则知其仍馀几何也减
与并正相反减而剩者谓之减馀
其法以应减去之数列左以原有之总数列右而对
一总数得三万五千四百四
十八石
减积法
减者去也于总数内减去几何则知其仍馀几何也减
与并正相反减而剩者谓之减馀
其法以应减去之数列左以原有之总数列右而对
历算全书 卷三十 第 5a 页 WYG0794-0673c.png
减之
千对减千百对减百十对减十单对减单
减而尽者抹去之 减而不尽者改而书之
本位无数可减合上位减之假如欲减八十而原数
只有七十但其上位有一百则合而减之于一百七
十内减八十仍馀九十
假如有银三十二万五千三百一十两支放过二十九
万五千三百○五两仍馀几何
千对减千百对减百十对减十单对减单
减而尽者抹去之 减而不尽者改而书之
本位无数可减合上位减之假如欲减八十而原数
只有七十但其上位有一百则合而减之于一百七
十内减八十仍馀九十
假如有银三十二万五千三百一十两支放过二十九
万五千三百○五两仍馀几何
历算全书 卷三十 第 5b 页 WYG0794-0673d.png
依法减之仍馀三万○○○
五两
十万千百十两
如图先于三十万内减二十万馀一十万改三为一
次减九万而万位无九合上位共一十二万减之
馀三万抹去一二改书三
次减五千 次减三百 皆减尽皆抹去之书作○
五两
十万千百十两
如图先于三十万内减二十万馀一十万改三为一
次减九万而万位无九合上位共一十二万减之
馀三万抹去一二改书三
次减五千 次减三百 皆减尽皆抹去之书作○
历算全书 卷三十 第 6a 页 WYG0794-0674a.png
次减五两而两位无五于一十两内减之抹去一
○改书○五 减讫馀二○○○三
凡算有乘有除乘者用并法除者用减法
筹算之用
凡算先别乘除乘除皆有法实实者现有之物也法者
今所用以乘之除之之规则也
凡筹算皆以实列位而以筹为法法有几位则用几筹
如法有十系两位则用两筹法有百系三位则用三
○改书○五 减讫馀二○○○三
凡算有乘有除乘者用并法除者用减法
筹算之用
凡算先别乘除乘除皆有法实实者现有之物也法者
今所用以乘之除之之规则也
凡筹算皆以实列位而以筹为法法有几位则用几筹
如法有十系两位则用两筹法有百系三位则用三
历算全书 卷三十 第 6b 页 WYG0794-0674b.png
筹
凡法实不可误用唯乘法或可通融若除法必须细认
俱详后
凡法实不可误用唯乘法或可通融若除法必须细认
俱详后
历算全书 卷三十 第 7a 页 WYG0794-0674c.png
乘法
勿庵氏曰凡理之可言者皆其有数者也数始于一相
缘以至于无穷故曰一与一为二二与一为三自此
以往巧历不能尽乘之义也故首乘法
解曰乘者增加之义其数渐升如乘高而进也亦曰因
言相因而多也珠算有因法有乘法在筹算总一乘
法殊为简易
法曰凡两数相乘任以一为实一为法
勿庵氏曰凡理之可言者皆其有数者也数始于一相
缘以至于无穷故曰一与一为二二与一为三自此
以往巧历不能尽乘之义也故首乘法
解曰乘者增加之义其数渐升如乘高而进也亦曰因
言相因而多也珠算有因法有乘法在筹算总一乘
法殊为简易
法曰凡两数相乘任以一为实一为法
历算全书 卷三十 第 7b 页 WYG0794-0674d.png
假如以人数给粮或以人为实粮为法或以粮为实
人为法皆可
凡算先列实(列书之于纸或粉板亦可依千/百十零之位列之自左而右)
次以法数用筹乘之
法有几位则用几筹
(假如法为六十四则用第六第四两筹法为/三百八十四则用第三第八第四共三筹)
凡乘皆从实末位最小数起
视原实某数即于筹其行取数列之
人为法皆可
凡算先列实(列书之于纸或粉板亦可依千/百十零之位列之自左而右)
次以法数用筹乘之
法有几位则用几筹
(假如法为六十四则用第六第四两筹法为/三百八十四则用第三第八第四共三筹)
凡乘皆从实末位最小数起
视原实某数即于筹其行取数列之
历算全书 卷三十 第 8a 页 WYG0794-0675a.png
(假如实是二则/取第二行数)
凡列乘数皆自下而上如画卦
凡实有几位挨次乘之但次乘之数必高于前所列
之数一位
(假如先乘者是单次乘/者必是十故进位列之)
乘讫乃以并法并之合问
凡列乘数皆自下而上如画卦
凡实有几位挨次乘之但次乘之数必高于前所列
之数一位
(假如先乘者是单次乘/者必是十故进位列之)
乘讫乃以并法并之合问
历算全书 卷三十 第 9a 页 WYG0794-0675c.png
历算全书 卷三十 第 10a 页 WYG0794-0676a.png
历算全书 卷三十 第 10b 页 WYG0794-0676b.png
又法
凡法尾空位者省不乘但于并数之后补作圈于其
下以存其位尤为简捷
如上图乘讫并得三○
○○因法尾有空又补
作一圈是为三○○○
○则知所得三万
定位法见前
凡法尾空位者省不乘但于并数之后补作圈于其
下以存其位尤为简捷
如上图乘讫并得三○
○○因法尾有空又补
作一圈是为三○○○
○则知所得三万
定位法见前
历算全书 卷三十 第 11a 页 WYG0794-0677a.png
历算全书 卷三十 第 12a 页 WYG0794-0677c.png
又若田为一亩二分则所得为三合何也亩下有分
故得数之三○○其尾○又是勺下之分也此定位
之精理须细审之
故得数之三○○其尾○又是勺下之分也此定位
之精理须细审之
历算全书 卷三十 第 13a 页 WYG0794-0678a.png
历算全书 卷三十 第 14a 页 WYG0794-0678c.png
一四二四四四五七五共九位因实尾空位(无零年/故也)用
省乘法加一○于末位下共十位而以尾○命为分得
一十四万二千四百四十四日五十七刻五十○分合
问
省乘法加一○于末位下共十位而以尾○命为分得
一十四万二千四百四十四日五十七刻五十○分合
问
历算全书 卷三十 第 14b 页 WYG0794-0678d.png
除法
勿庵氏曰天地之道盈虚消息而已无有盈而不虚无
有消而不息乘者息也盈也除者消也虚也二者相
反而不能相无其数每相当不失毫釐如相报也邵
子曰算法虽多乘除尽之矣故除法次之
解曰除者分物之法也原作几何今作几分分之则成
各得之数而除去原数也有归除有商除珠算任用
筹算则独用商除为便以意商量用之故曰商除
勿庵氏曰天地之道盈虚消息而已无有盈而不虚无
有消而不息乘者息也盈也除者消也虚也二者相
反而不能相无其数每相当不失毫釐如相报也邵
子曰算法虽多乘除尽之矣故除法次之
解曰除者分物之法也原作几何今作几分分之则成
各得之数而除去原数也有归除有商除珠算任用
筹算则独用商除为便以意商量用之故曰商除
历算全书 卷三十 第 15a 页 WYG0794-0679a.png
法曰凡除以所分之物为实今欲作几分分之为法法
与实须审定倘一倒置则毫釐千里矣(假如有粮若/干分给若干)
(人则当以粮为实以人之数为法除之盖粮数是所/分之物人数是用以分之之法也若倒用以粮分人)
(则所误/多矣) 凡法有几位则用几筹 乃列实(自上而/下直书)
(之/) 视筹之第几行中积数有与原实相同者或略
少于实者用其数以减原实而得初商 有不尽者
如法再商或三商以上皆如之实尽而止 馀实不
满法以法命之
与实须审定倘一倒置则毫釐千里矣(假如有粮若/干分给若干)
(人则当以粮为实以人之数为法除之盖粮数是所/分之物人数是用以分之之法也若倒用以粮分人)
(则所误/多矣) 凡法有几位则用几筹 乃列实(自上而/下直书)
(之/) 视筹之第几行中积数有与原实相同者或略
少于实者用其数以减原实而得初商 有不尽者
如法再商或三商以上皆如之实尽而止 馀实不
满法以法命之
历算全书 卷三十 第 15b 页 WYG0794-0679b.png
凡商数皆以筹之行数为其数(假如所减是等第一/行即商一数第二行)
(即商/二数)
书商数法曰凡书商数皆与减数第一位相对 若所
减第一位是○则补作○于原实首位上而对之(此/定)
(位之/根)
定位法曰除毕以商得数与原实对位求之皆于法首
位之上一位命为单数(程大位曰归于法前得零/古法实如法而一是也)
此有二法 有法少实多者从原实内寻法首位认
(即商/二数)
书商数法曰凡书商数皆与减数第一位相对 若所
减第一位是○则补作○于原实首位上而对之(此/定)
(位之/根)
定位法曰除毕以商得数与原实对位求之皆于法首
位之上一位命为单数(程大位曰归于法前得零/古法实如法而一是也)
此有二法 有法少实多者从原实内寻法首位认
历算全书 卷三十 第 16a 页 WYG0794-0679c.png
定逆转上一位命为单数(如米则为单石钱/则为单文之类)既得单
数则上而十百千万下而分秒忽微皆定矣此为正
法
有法反多实反少者乃变法也法从原实首位逆溯
而上至法首位止又上一位命为单数(此是虚位借/之以求实数)
既得单数乃顺下求之命所得为分秒之数
数则上而十百千万下而分秒忽微皆定矣此为正
法
有法反多实反少者乃变法也法从原实首位逆溯
而上至法首位止又上一位命为单数(此是虚位借/之以求实数)
既得单数乃顺下求之命所得为分秒之数
历算全书 卷三十 第 16b 页 WYG0794-0679d.png
初商除尽式 法此欲分为七十二分也故以七二为
假如太阳每 法用两筹
岁行天三百 实三六○ 如图先列三百六十度
六十度分为 百十 为实次简两筹行内有
七十二候每 三六○与实相同用减
候几何度 原实恰尽 次查所简
(答/曰)每候五度 系筹之第五行商作五
又查所减第一位是三将商数五对三字书之
假如太阳每 法用两筹
岁行天三百 实三六○ 如图先列三百六十度
六十度分为 百十 为实次简两筹行内有
七十二候每 三六○与实相同用减
候几何度 原实恰尽 次查所简
(答/曰)每候五度 系筹之第五行商作五
又查所减第一位是三将商数五对三字书之
历算全书 卷三十 第 17a 页 WYG0794-0680a.png
定位法曰此法少于实也宜于原实内寻十度位即法
首位也法首再上一位为单度定所得为五度
假令实是三千六百则所得为五十度如后图
定位法曰此亦法少于实也法亦于
原实内寻法首十位再上一位为单
位单位空补作圈再上一位是十度
定所得为五十度用筹同而得数迥
异定位之法所以当明也
首位也法首再上一位为单度定所得为五度
假令实是三千六百则所得为五十度如后图
定位法曰此亦法少于实也法亦于
原实内寻法首十位再上一位为单
位单位空补作圈再上一位是十度
定所得为五十度用筹同而得数迥
异定位之法所以当明也
历算全书 卷三十 第 17b 页 WYG0794-0680b.png
再商式 法此欲分为一十二分也故以一二
假如皇极经世 为法用两筹
一元共一十二 实 如图列实(一元/总数)简
万九千六百年 ○一二九六○○筹第一行是○一
分为一十二会 十万千百十年二商作一数(第一/行故)
各几何 (商/一)减实一十二万
答曰每会一万 馀九千六百不尽
○八百年 再用筹如法除之
假如皇极经世 为法用两筹
一元共一十二 实 如图列实(一元/总数)简
万九千六百年 ○一二九六○○筹第一行是○一
分为一十二会 十万千百十年二商作一数(第一/行故)
各几何 (商/一)减实一十二万
答曰每会一万 馀九千六百不尽
○八百年 再用筹如法除之
历算全书 卷三十 第 18a 页 WYG0794-0680c.png
又因所减数是○一二故于原实首补作圈而以商
得一对此○位书之(即所减筹上/第一位也)此定位之根不可
错须细审之
简两筹第八行是○九六与馀实
相合再商八(第八行/故也)减馀实九千
六百恰尽
此所减数亦是○九六故以商得
八进位书之以暗对其○
得一对此○位书之(即所减筹上/第一位也)此定位之根不可
错须细审之
简两筹第八行是○九六与馀实
相合再商八(第八行/故也)减馀实九千
六百恰尽
此所减数亦是○九六故以商得
八进位书之以暗对其○
历算全书 卷三十 第 18b 页 WYG0794-0680d.png
如此审定商数位置已知不错而初商次商隔一位
不相接是得数有空位也乃于其间补作圈为一○
八
假如隔两位则作两圈三位以上仿此求之若非于
商数审其位置鲜不误矣此算中一大关键也非此
则不能定位
定位诀曰此亦法少于实也从原实内寻法首十位再
上一位是单年单位空补作圈又上一位是十十亦
不相接是得数有空位也乃于其间补作圈为一○
八
假如隔两位则作两圈三位以上仿此求之若非于
商数审其位置鲜不误矣此算中一大关键也非此
则不能定位
定位诀曰此亦法少于实也从原实内寻法首十位再
上一位是单年单位空补作圈又上一位是十十亦
历算全书 卷三十 第 19a 页 WYG0794-0681a.png
空亦补作圈又上一位是百知所得为八百年也知
百知千万矣定为一万○八百年
百知千万矣定为一万○八百年
历算全书 卷三十 第 19b 页 WYG0794-0681b.png
假如黄钟之 法此欲分得二千一百八十
实一十七万 七乃为一分故以二一八
七千一百四十 七为法用四筹
七其分法二
千一百八十
七问若干分
答曰八十一
分
实一十七万 七乃为一分故以二一八
七千一百四十 七为法用四筹
七其分法二
千一百八十
七问若干分
答曰八十一
分
历算全书 卷三十 第 20a 页 WYG0794-0681c.png
二千一百八十七再商之
简筹第一行是○二一八七正合
馀实再商一除实恰尽
次商一进位书暗对所减○位
定位诀从原实寻法首位千逆转
上一位得单分则馀位皆定
简筹第一行是○二一八七正合
馀实再商一除实恰尽
次商一进位书暗对所减○位
定位诀从原实寻法首位千逆转
上一位得单分则馀位皆定
历算全书 卷三十 第 20b 页 WYG0794-0681d.png
按筹算原书于定位颇略又其为法原实横而商数纵
各居其方不相依附定位颇难故虽历书间有讹位今
特详之而两两直书于定位尤易亦足见余之非好为
异也
各居其方不相依附定位颇难故虽历书间有讹位今
特详之而两两直书于定位尤易亦足见余之非好为
异也
历算全书 卷三十 第 21a 页 WYG0794-0682a.png
历算全书 卷三十 第 21b 页 WYG0794-0682b.png
四商法
假如有小珠三十四 此欲分为九分有奇也(以/钱)
万三千一百五十四 (为主则六分五釐是其/奇零九分之分去声)故
粒换得大珠重九钱 以(九六/五)为法用筹三根
六分五釐每大珠一 如后图列实先简筹第(三/)
钱换小珠几何粒 行(二八/九五)略少于实商(三/)减
答曰每钱换三万五 实(二十八万/九千五百)馀实(五万三/千六百)
千五百六十粒 (五十/四)以候续商
假如有小珠三十四 此欲分为九分有奇也(以/钱)
万三千一百五十四 (为主则六分五釐是其/奇零九分之分去声)故
粒换得大珠重九钱 以(九六/五)为法用筹三根
六分五釐每大珠一 如后图列实先简筹第(三/)
钱换小珠几何粒 行(二八/九五)略少于实商(三/)减
答曰每钱换三万五 实(二十八万/九千五百)馀实(五万三/千六百)
千五百六十粒 (五十/四)以候续商
历算全书 卷三十 第 22a 页 WYG0794-0682c.png
次简筹第(五/)行是(四八/二五)为略少于馀
实商(五/)减馀实(四万八千/二百五十)仍馀(五/千)
(四百/○四)以待第三商
原实 又简筹第(五/)行是(四八/二五)为略少于馀
实又商(五/)减馀实(四千八百/二十五)仍馀
商数 (五百七/十九)知尚有第四商也
又简筹第(六/)行是(五七/九○)与馀实恰合
四次商数俱对首位 商作(六/)除馀实(五百七/十九)恰尽
实商(五/)减馀实(四万八千/二百五十)仍馀(五/千)
(四百/○四)以待第三商
原实 又简筹第(五/)行是(四八/二五)为略少于馀
实又商(五/)减馀实(四千八百/二十五)仍馀
商数 (五百七/十九)知尚有第四商也
又简筹第(六/)行是(五七/九○)与馀实恰合
四次商数俱对首位 商作(六/)除馀实(五百七/十九)恰尽
历算全书 卷三十 第 22b 页 WYG0794-0682d.png
定位诀从原实中寻法首(单/)位逆转上一位得(单/)粒定
所得为(三万五千五/百六十○粒)命为大珠每钱所换小珠之数
五园问曰法是钱数实是粒数不类也何定位亦如
是准乎勿庵曰此定位之法所以的确不易也且钱
与粒不类子疑之固矣抑知单与单之为一类乎盖所问
是每钱若干故钱数为单位若问每分若干则法首
钱数为十位得为(三千五百/五十六)矣故定位须详问意乃
要诀也
所得为(三万五千五/百六十○粒)命为大珠每钱所换小珠之数
五园问曰法是钱数实是粒数不类也何定位亦如
是准乎勿庵曰此定位之法所以的确不易也且钱
与粒不类子疑之固矣抑知单与单之为一类乎盖所问
是每钱若干故钱数为单位若问每分若干则法首
钱数为十位得为(三千五百/五十六)矣故定位须详问意乃
要诀也
历算全书 卷三十 第 23a 页 WYG0794-0683a.png
法有○筹式 法此欲分作(九百○/七分)也故以(九○/七)
假如布二万 为法用三筹
一千七百六 如图简筹第(二/)行
十八丈给与 (一八/一四)商作(二/)减实
九百○七人 (一万八千/一百四十)馀(三千/六百)
各几何 (二十/八丈)次简第(四/)行
答曰(每人二/十四丈) (三六/二八)商(四/)除实尽
以上例皆法少于实故法首在原实中乃本法也
假如布二万 为法用三筹
一千七百六 如图简筹第(二/)行
十八丈给与 (一八/一四)商作(二/)减实
九百○七人 (一万八千/一百四十)馀(三千/六百)
各几何 (二十/八丈)次简第(四/)行
答曰(每人二/十四丈) (三六/二八)商(四/)除实尽
以上例皆法少于实故法首在原实中乃本法也
历算全书 卷三十 第 24a 页 WYG0794-0683c.png
历算全书 卷三十 第 24b 页 WYG0794-0683d.png
以上两例皆法多于实者其法首位或在原实中必
原实首位也或不在原实中则在其原实上几位也
要之皆不能满法其所得必为分秒乃通变之法也
论曰除者分也吾欲作几分分之则为法所分之物为
实所分之物能如所欲分之数则为满法满法则成
一整数假如(三十/六)人分布而布有(三十/六)丈则各人分
得一丈古云实如法而一正谓此也程大位算法统
宗曰归于法前得零其意亦同此立法之本意也
原实首位也或不在原实中则在其原实上几位也
要之皆不能满法其所得必为分秒乃通变之法也
论曰除者分也吾欲作几分分之则为法所分之物为
实所分之物能如所欲分之数则为满法满法则成
一整数假如(三十/六)人分布而布有(三十/六)丈则各人分
得一丈古云实如法而一正谓此也程大位算法统
宗曰归于法前得零其意亦同此立法之本意也
历算全书 卷三十 第 25a 页 WYG0794-0684a.png
乃有所分之物原少于所欲分之数是不满法也既
不满法则不能成一整数而所分者皆分秒之数假
如(三十/六)人分布(二十/七)丈则每人不能分一丈只各得
(七尺/五寸)是于(一/丈)内得其(七分/五秒)也然必先知整数然后可
以知分秒故必于原实上虚拟一满法之位若曰能
如此则分得整数矣而今不能则所分得者皆分秒
也于是视所拟整数虚位距商数若干位而命之若
相差一位则得为十之一(如两有钱/尺有寸)隔位则为百之
不满法则不能成一整数而所分者皆分秒之数假
如(三十/六)人分布(二十/七)丈则每人不能分一丈只各得
(七尺/五寸)是于(一/丈)内得其(七分/五秒)也然必先知整数然后可
以知分秒故必于原实上虚拟一满法之位若曰能
如此则分得整数矣而今不能则所分得者皆分秒
也于是视所拟整数虚位距商数若干位而命之若
相差一位则得为十之一(如两有钱/尺有寸)隔位则为百之
历算全书 卷三十 第 25b 页 WYG0794-0684b.png
一(如两有分/丈有寸)此乃通变之法要其为法上得零则一
而已矣
又论曰此原实即不满法也若馀实不满法除之终不
能尽则以命分之法御之详后
命分法
法曰凡除法商数至单已极而有馀实不尽者不能成
一整数也则以法命之此有二法
一法即以除法为命分不尽之数为得分则云几十几
而已矣
又论曰此原实即不满法也若馀实不满法除之终不
能尽则以命分之法御之详后
命分法
法曰凡除法商数至单已极而有馀实不尽者不能成
一整数也则以法命之此有二法
一法即以除法为命分不尽之数为得分则云几十几
历算全书 卷三十 第 26a 页 WYG0794-0684c.png
分之几
解曰命分者以一整数拟作若干分而命之如满此数
则成一整数而今数少故命之也得分者今所仅有
之数在命分数内得若干也(命分者古谓之分母/得分者古谓之分子)
假如古历以九百四十分为日法每年三百六十五日
又九百四十分日之二百三十五约为四之一(约法/见后)
一法除之至尽古历家所谓退除为分秒是也单下有
一位命为十分之几有两位命为百分之几十几三
解曰命分者以一整数拟作若干分而命之如满此数
则成一整数而今数少故命之也得分者今所仅有
之数在命分数内得若干也(命分者古谓之分母/得分者古谓之分子)
假如古历以九百四十分为日法每年三百六十五日
又九百四十分日之二百三十五约为四之一(约法/见后)
一法除之至尽古历家所谓退除为分秒是也单下有
一位命为十分之几有两位命为百分之几十几三
历算全书 卷三十 第 26b 页 WYG0794-0684d.png
位则命分千四位则命分万皆以除得数为得分
假如授时历法每岁三百六十五日二千四百二十五
分是以万分为日即命分也
式如后
假如五尺为步每方一步积二十五尺今有积二百四
十尺得若干步
答曰九步又五分步之三
假如授时历法每岁三百六十五日二千四百二十五
分是以万分为日即命分也
式如后
假如五尺为步每方一步积二十五尺今有积二百四
十尺得若干步
答曰九步又五分步之三
历算全书 卷三十 第 27a 页 WYG0794-0685a.png
如图列实简筹第九行是二二
五商作九(第九/行故)减实二百二十
五尺馀一十五不尽以法命之
命为九步又二十五分步之一
十五约为五之三(约分法/见后)
若用第二命分法再列馀实加
○位商之以得其分秒如后
五商作九(第九/行故)减实二百二十
五尺馀一十五不尽以法命之
命为九步又二十五分步之一
十五约为五之三(约分法/见后)
若用第二命分法再列馀实加
○位商之以得其分秒如后
历算全书 卷三十 第 27b 页 WYG0794-0685b.png
馀实下加一圈则一十五尺通
为一百五十分可再商矣
简等第六行是一五○商六分
除馀实恰尽
命分九步六分(即十分/步之六)
(命分第二法与法多于实/除法同故皆曰除分秒也)
若馀实为一十六尺则又不尽一尺法当于不尽一
○之下再加一圈为一○○使此一尺化为一百分而
为一百五十分可再商矣
简等第六行是一五○商六分
除馀实恰尽
命分九步六分(即十分/步之六)
(命分第二法与法多于实/除法同故皆曰除分秒也)
若馀实为一十六尺则又不尽一尺法当于不尽一
○之下再加一圈为一○○使此一尺化为一百分而
历算全书 卷三十 第 28a 页 WYG0794-0685c.png
再除之得四釐共九步六分四釐(即百分步/之六十四)
约分法
约分者约其繁以从简也
法曰母数子数平列相减而得其纽数即以纽数为法
转除两原数而得其可约之分
凡约分相减不拘左右但以少减多如左少右多则以
左减右左多右少则以右减左若减之后或多者变
而少则转减之必减至左右相同无可减而止即纽
约分法
约分者约其繁以从简也
法曰母数子数平列相减而得其纽数即以纽数为法
转除两原数而得其可约之分
凡约分相减不拘左右但以少减多如左少右多则以
左减右左多右少则以右减左若减之后或多者变
而少则转减之必减至左右相同无可减而止即纽
历算全书 卷三十 第 28b 页 WYG0794-0685d.png
数也(若一减之即得纽/数则不必转减)
解曰纽数者互相减之馀数相等者也以此除两数则
皆可分乃两数之枢纽
若相减至尽而无纽数者则不可约
假如母数二十五子数一十五约之若干
答曰五之三
一○ 先以(十/五) 复以(一/十) ○五
二五 减(二十/五)一○转减(十/五) 一○
解曰纽数者互相减之馀数相等者也以此除两数则
皆可分乃两数之枢纽
若相减至尽而无纽数者则不可约
假如母数二十五子数一十五约之若干
答曰五之三
一○ 先以(十/五) 复以(一/十) ○五
二五 减(二十/五)一○转减(十/五) 一○
历算全书 卷三十 第 29a 页 WYG0794-0686a.png
一五 馀(一十/○)一五 馀(○/五) ○五
复以(○/五)转减(一/十)馀(○五左右皆/五即为纽数)以纽数(○/五)为法转除
母(二十/五)得(五/)除子数(一十/五)得(三/)故曰五之三盖母数
是五个五子数是三个五也
此转减例
又如母数九百四十子数二百三十五约之若干
答曰四之一
先以(二百三/十五)减(九百/四十)馀(七百/○五)又减之馀(四百七/十○)又减
复以(○/五)转减(一/十)馀(○五左右皆/五即为纽数)以纽数(○/五)为法转除
母(二十/五)得(五/)除子数(一十/五)得(三/)故曰五之三盖母数
是五个五子数是三个五也
此转减例
又如母数九百四十子数二百三十五约之若干
答曰四之一
先以(二百三/十五)减(九百/四十)馀(七百/○五)又减之馀(四百七/十○)又减
历算全书 卷三十 第 29b 页 WYG0794-0686b.png
之馀(二百三/十五)
左右皆(二百三/十五)即纽数也
以纽数(二百三/十五)转除母数(九百/四十)得(四/)除
子数(二百三/十五)得一故曰四之一
母数是四个(二百三/十五)
子数是一个(二百三/十五)
此不转减例
历算全书卷三十
左右皆(二百三/十五)即纽数也
以纽数(二百三/十五)转除母数(九百/四十)得(四/)除
子数(二百三/十五)得一故曰四之一
母数是四个(二百三/十五)
子数是一个(二百三/十五)
此不转减例
历算全书卷三十