钦定四库全书
　历算全书卷十六
　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰
　　五星纪要
　　　论五星岁轮
五星与日皆东出而西没宗动天之所运也土木火三
星在太阳上而近宗动故其左旋速于日每日有所差
之分即岁轮心之平行也

五星与太阳有定距岁轮心既为宗动所掣渐离太阳
而西则星不得不自岁轮之中线(即平/行度)渐移而东以就
日而星既在日之上亦即不得不自岁轮之顶渐移而
下以就日也既渐移而东又渐移而下则不能平转而
成环行岁轮之圆象成矣
岁轮心正在太阳之上星又在岁轮之顶作直线过岁
轮心以过太阳之心而指地心是为合伏合伏以后星
在岁轮上东移有类平转故其东移速(古谓之/疾段)岁轮心

离日渐远星在岁轮离合伏之度亦渐远而向下行则
东移之度渐迟(古谓之/迟段)岁轮心离日至一象限星在岁
轮直向下行人自地观之不见其动(古为/留段)过此留段轮
心距太阳益远将至半周星行岁轮之底转成向西行
(是为/退段)轮心与日冲星正居轮底自轮心作线过星以过
地心而直射太阳之心亦为一直线是为退冲
未至日冲皆为晨见冲日以后则为夕见夕见者西与
日近东与日远轮心反在日后而西行追日日在西星

在东星不得不自轮底西移而就日(故仍为/退段)轮心西距
日益近则星渐西而亦渐上行以就其距日之定距星
既在轮边与轮心亦有定距则其西移过半象限不得
不转而上行矣
至于西距日一象限上行之势又直人自地观之亦不
见动(古亦谓/留段)
过此而轮心距日益近则星亦在轮上渐向东行以就
合伏之度以就其距日之常度于是又见其东移之速

而至于合伏(古亦谓/疾段)是为岁轮之周
　　　论上三星围日之行左旋
问古以七政右旋宋儒以七政周天左旋今以七政恒
星皆为一日一周之天所掣而西发明宋说谓右旋之
度因左旋而成可谓无疑义矣兹论七政新图以太阳
为心而复谓上三星左旋与金水异何居曰左旋有二
前所论七政左旋以地为心者也今上三星左旋以太
阳为心者也五星既为动天所转而成左旋(一日绕地/一周之行)

又依岁轮而右旋(以本轮上/定度为心)此五纬之所同也然岁轮
上实行之度与太阳相直有定距则仍以太阳为心又
成围绕太阳之行矣金水二星即以太阳为岁轮(或伏/见轮)
之心故岁轮即围日之行岁轮右旋故其围日之行亦
右旋也上三星则岁轮不以太阳为心但其距日有定
度而又成围日之形以岁轮上度言之仍是右旋与金
水同以围日之形言之则是左旋与金水异矣
五星与日皆为动天所转绕地左旋但上三星之左旋

速于日故合伏之后即在日西(以右旋言为星不及日/以左旋言为星过于日)
冲日之后乃在日东(以右旋言为日逐星以/左旋言则为星逐日)是不特其
平行绕地者为左旋而其距日有常以成围日之形者
亦左旋也
金水之左旋与日等故合伏之后在日东退合之后在
日西则是平行绕地者均为左旋而其围日之行则右
旋也故曰上三星左旋与金水异者主乎围日以为言
者也

然则岁轮之度又何以同为右旋乎曰视行之法远则
见迟近则见疾上三星之左旋虽速于日而在岁轮上
半则见过日之度稍迟下半则见过日之度加速矣金
水之左旋虽与日等而在岁轮上半较日距地为远则
见左旋迟于日下半距地近则见右旋速于日夫上半
左旋迟则右移反速下半左旋速则右移反迟而成留
退此所以岁轮上度五星皆为右旋也
然五星岁轮所以有在上在下之分者则以与太阳有

定距也因其与日有定距所以能成岁轮上周转之行
因其在岁轮上周转而行所以与日有定距
　杨学山曰上金水左旋右旋之论犹仍历书之说以
　伏见轮同岁轮后言伏见轮乃绕日圆象金水另有
　其岁轮乃勿庵晚年新说耳
　　　论五星以日为心之图
法曰上三星其围日之圈左旋下二星其轮右旋皆以
从宗动而西运之行为主(论左旋则星之/退行乃其行速)假如上三星

合伏时在太阳之上及其每日左旋一周则星行过日
若干分而在日西然其旋也距地则渐近其所以低者
以就太阳也自此左旋之周益多则其离日而西之度
亦渐远而益旋益低比至在日西满半周而冲日则其
旋益近地所以然者因在日冲故必下行岁轮之底以
就日也冲日以后其左旋之行转在日东随日之后而
向日行其旋亦自冲日卑处渐向于高离冲日若干分
则其旋渐高亦若干分自此在日后左旋追日而益近

之以复至合伏则其旋益高而复在太阳之上矣是故
上三星之能为围日之圈者以左旋言也
惟以左旋言之则无论冲合之在恒星何度亦无问各
星之冲合各有周率经历之时日几何而其以日为心
悉同一法也
其下二星以岁轮围日其理易明然亦是与太阳同为
一日一周之左旋而星之左旋迟于日故合伏时在太
阳上每左旋一周则星不及日若干分度而在日东其

行亦渐降至于夕留之后又复渐速而追日其度益降
至退合伏而极乃复离日而西度亦渐升而复于合伏
矣
地谷曰日之摄五星若磁石之引铁故其距日有定距
也惟其然也故日在本天行一周而星之升降之迹亦
成一圆相历家因取而名之曰岁轮也是故上三星岁
轮约略皆与太阳天同大而今其径有大小者各以其
本天半径为十万之比例也

地谷新图其理如此不知者遂以围日为本天则是岁
轮心而非星体失之远矣
宗动天左旋星与太阳皆从之左旋而有迟速以其所
居有高下离动天有远近也
上三星在日天之上近于动天故其每日左旋比日为
速虽不能与恒星同复故处而所差甚微(土星只二分/奇木星只五)
(六分火星/只半度)不能若太阳之每差一度也
　　　论五星本天以地为心

问五星之法至西历而详明然其旧说五星各一重天
大小相函而皆以地为心其新说五星天虽亦大小相
函而以日为心若是其不同何也曰无不同也西人九
重天之说第一重宗动天次则恒星又次土星次木星
次火星次太阳次金次水次太阴是皆以其行度之迟
速而知其距地有远近因以知其天周有大小理之可
信者也星之天有大小既皆以距地之远近而知则皆
以地心为心矣是故土木火三星距地心甚远故其天

皆大于太阳之天而包于外金水二星距地心渐近故
其天皆小于太阳之天而在其内为太阳天所包是其
本天皆以地为心无可疑者惟是五星之行各有岁轮
岁轮亦圆象五星各以其本天载岁轮岁轮心行于本
天之周星之体则行于岁轮之周以成迟疾留逆(岁轮/心行)
(于本天周皆平行也星行于岁轮之周亦平行也人自/地测之则有合有冲有疾有迟有留有逆自然之理也)
若以岁轮上星行之度联之亦成圆象而以太阳为心
西洋新说谓五星皆以日为心盖以此耳然此围日圆

象原是岁轮周行度所成而岁轮之心又行于本天之
周本天原以地为心三者相待而成原非两法故曰无
不同也(上三星在岁轮上右旋金水/在岁轮上左旋皆挨度平行)
夫围日圆象既为岁轮周星行之迹则迟留逆伏之度
两轮皆有之故以岁轮立算可以得其迟留逆伏之度
以围日圆轮立算所得不殊立法者溯本穷源用法者
从简便算如历书上三星用岁轮金水二星用伏见轮
皆可以求次均立算虽殊其归一也或者不察遂谓五

星之天真以日为心失其指矣
夫太阳去地亦甚远矣五星本天既以地为心而又能
以日为心将日与地竟合为一乎必不然矣
历指又尝言火星天独以日为心不与四星同予尝断
其非是作图以推明地谷立法之根原以地为本天之
心其说甚明其金水二星历指之说多淆亦久疑其非
今得门人刘允恭悟得金水二星之有岁轮其理的确
而不可易可谓发前人之未发矣

　　　论伏见轮非岁轮
问金水二星之求次均也(即迟疾/留逆)用伏见轮历指谓其
即岁轮其说非欤曰非也伏见轮之法起于回历而欧
逻因之若果即岁轮何为别立此名乎由今以观盖即
岁轮上星行绕日之圆象耳(王寅旭书亦云/伏见轮非岁轮)
然则伏见轮既为围日之迹上三星宜皆有之何以不
用而独用之金水曰以其便用也盖五星行于岁轮起
合伏终合伏皆从距日而生故五星之岁轮并与日天

同大而岁轮之心原在本天周故其围日象又并与本
天同大上三星之本天包太阳外其大无伦又其行皆
左旋(所以左旋之/故详其后论)颇费解说故只用岁轮也至于金水
本天在太阳天内伏见轮既与之同大又其度顺行故
用伏见轮(亦即绕/日圆象)若用岁轮则金水之岁轮反大于本
天(以岁轮与日天同/大故皆大于本天)故不用岁轮非无岁轮也承用者
未能深考立法之根辄谓伏见轮即岁轮其说似是而
非不可不知也伏见亦起合伏终合伏有似岁轮然岁

轮之心行于本天之周而伏见轮以太阳为心故遂以
太阳之平行为平行皆相因而误者也
　　　论五星平行
然则金水既非以太阳之平行为平行又何以求其平
行曰岁轮之心行于本天是为平行乃实度也实度者
周度也(以本天分三百六十度而以各星周率平分之/则得其每日平行如土星二十九年奇而行本)
(天一周则二十九日而行一度每日平行二十九分度/之一是为最迟木星十二年周天每日平行约为十二)
(分度之一火星二年周天约为每日平行半度金星二/百二十馀日周天约每日平行一度半强水星八十八)

(日奇而周天约每日平/行四度皆平行实度)若岁轮及伏见轮虽亦各分三百
六十度亦各有其平行然而非实度也(既非本天上平/行之度又非从)
(地心实测/之平行度)乃各星之离度耳因此离度(下文/详之)用三角法从
地心测之则得其迟留伏逆之状亦为实度矣(此实度不平行/与本天之平行)
(实度/不同)
本天之度平行实度也岁轮及伏见乃离度也离度为
虚数故皆以半径之大小为大小
伏见轮上行度与岁轮同所不同者半径也伏见之半

径皆同本天岁轮之半径皆同日天
　　　论离度有顺有逆
问何以谓之离度曰于星平行内减去太阳之平行故
曰离度乃离日之行也以太阴譬之其每日平行十三
度奇者太阴平行实度每日十二度奇者太阴之离度
也(于太阴平行内/减太阳平行)是故金星每日行大半度奇水星每
日约行三度皆于星平行内减太阳之平行　因金水
行速其离度在太阳之前乃星离于日之度故其度右

旋顺行与太阴同法也
若上三星则当于太阳平行内减去星行是为离度盖
以上三星行迟在太阳之后乃星不及于日之度其度
左旋而成逆行与太阴相反然其为离日之行度一而
已矣(王寅旭五星行度解谓上三星左旋盖/谓此也然竟以此为本天则终非了义)
　　　论平行有二用而必以本天之度为宗
平行者对实行而言也然实行有二一是本天最高卑
之行亦曰实行一是黄道上迟留逆伏实测亦曰视行

是二者皆必以本天之平行为宗
若金水独以太阳之平行为平行是废本天之平行矣
又何以求最高卑乎
围日之轮(即伏/见轮)起合伏终合伏是即古法之合率也本
天之行则古法之周率也最高卑则古法之历率也又
有正交中交以定纬度即如古法之太阴交率也(此一/法是)
(西法胜中法/之一大端)是数者皆必以本天取之故不得以围日
之轮为本天

历指言金星正交定于最高前十六度水星正交与最
高同度其所指皆本天之度非伏见行之度则伏见轮
不得为本天明矣
今以七政历徵之不惟最高卑之盈缩有定度即其交
南北亦有定度故金星恒以二百二十馀日而南北之
交一终水星则八十八日奇而交终此皆论本天实度
原不论伏见行是尤其较著者矣
　　　论金水交行非遍交黄道

问周云渊言金水遍交黄道不论何宫今日交有定度
何也曰云渊之说盖因回回历纬表而误者也何以言
之回回历以自行度小轮心度立表而定其交黄道之
度非以黄道度为主而求其交处也故其所谓宫度者
皆小轮之宫度也非黄道之宫度也若谓黄道之宫度
而可以遍交将正交之度亦无定在矣又安得谓金星
正交在最高前十六度及水星正交定于最高同度乎
必不然矣(正交定度虽出历书然/与回历原是大同小异)

今以七政历考之金星水星之交周皆有定期(金星以/二百二)
(十馀日水星以/八十八日奇)但岁轮心行至正交即无纬度不论其
为合伏为冲退为疾为迟或留也以此而断其必有本
天有岁轮可以勿疑
　　　论金水伏见轮
伏见轮即绕日圆象也其半径与本天等本天上岁轮
心所行之周半在黄道北半在黄道南其势斜立如太
阴之出入黄道为阴阳历也而星体行伏见轮周其势

　　　　　　　　亦斜立与之相应故其交角
　　　　　　　　等
　　　　　　　　岁轮心在正交或中交则星无纬度
　　　　　　　　故伏见轮上亦有正交中交　岁轮
　　　　　　　　心行过正交渐生北纬至离正交九十
　　　　　　　　度则北纬极大如太阴之阴历半交
　　　　　　　　也(古法正交后阳历中交后阴历/西法则反用其号然其用不殊)
岁轮心行过北大距(离正交九十度至/一百七十九度)北纬渐小至中

交而复无纬此如太阴之阴历半周也　岁轮心行本
天阴历半周即星在伏见轮上亦行北半周而其纬在
北纬有大小无不与之相似
岁轮心行过中交渐生南纬至离中交九十度南纬极
大如太阴之阳历半交也岁轮心行过南大距南纬渐
小复至正交而无纬如太阴之阳历半周也即星在伏
见轮亦行南半周而南纬之大小一一与本天相似
联正交中交成一线此线在本天必过地心以本天圆

面与黄道面斜交相割而成也而在伏见轮亦必过日
心以伏见轮之绕日圆象亦与黄道面斜交而半在黄
南半在黄北圆面相割成线也以此线为横线而均剖
之作十字横线则上下两端所指并半交大距度矣此
伏见轮上十字线之理也
伏见轮心即太阳太阳行黄道三百六十度伏见轮亦
随之行一百六十度而十字之形不变此正视之形也
又正视图不能见交角故必以旁视明之伏见轮事事

与本天等故以本天明之
　　　　　　　　　　如图　甲丙乙壬为本
　　　　　　　　　　天浑员之体(因旁视即/为本天浑)
　　　　　　　　　　(体/)甲心乙即本天之星
　　　　　　　　　　道(因旁视故前平视之/外周跻缩成一直线)
　　　　　　　　　　(也/)心即地心(在伏见轮/即为太阳)又
　　　　　　　　　　即为正交中交(因旁视/正交中)
　　　　　　　　　　(交过心横线/竟看成一点)丁心癸即本

天上黄道圈(本天小于黄道然其度一一与黄/道相应而成一圈亦因旁视看成)
(一直/线)两直线相交于心即成纬度角(两直线相/交即两圈)
(相交也亦即为两圆面相切两圆面者/一为星道一为黄道在浑体皆成面)甲心丁角
在黄道北其弧甲丁其正弦甲庚北大距之纬度也(甲/丁)
(弧虽在本天然/即外应黄道纬)乙心癸角在黄道南其弧乙癸其正弦
乙辛南大距之纬度也(乙癸弧在本天外/应黄道与甲丁同)
问何以分南北也曰甲丁与乙癸两大距弧各引长之
成一全圈在本天浑体即外与黄道上过极经圈相应

而北心南直线为之轴北即北极南即南极亦与黄道
之南北极相应矣甲心线在黄道北即生北纬乙心线
在黄道南即生南纬又何疑哉(甲心半径也以旁视故/正交后北半周一百八)
(十弧度并跻缩成直线与/半径等乙心之在南亦然)
然何以谓之大距曰甲丁纬弧与甲心丁角相应为北
大纬乙癸弧与乙心癸角相应为南大纬甲点乙点并
居半交故其纬最大其未及半交及已过半交其纬并
小南北并同也

问纬度即角度也角同而纬有大小何也曰角虽同而
边不同也大距度以半径为全数其馀各度并皆以正
弦当全数
假如任举一度如过正交三十度为戊点(未至中交三/十度亦同)
其正弦戊心法为甲心全数与甲丁大距之正弦甲庚
若戊心正弦与戊子弧之正弦戊巳也(戊心巳句股形与/甲心庚形相似同)
(用心角而戊心边正得甲心之半则戊巳亦甲庚/之半而戊子弧亦必为甲丁之半矣他皆仿此)
以上所论皆本天之事然伏见轮之理并无有二故此

一图即可作伏见轮观其旁视之交角甚明也
　　　论伏见轮十字线
伏见轮既为绕日员象而生于本天之岁轮故其面与
本天等径而其斜交黄道之势亦与本天等夫本天之
斜交黄道也半在北半在南惟正交中交二点与黄道
合联此二点过心是为交线即两员面相切所成也从
交线上中分之作过心十字直线至本天周即大距线
也何则黄道面上原有十字线正视之两线合为一直

旁视之则本天直线斜穿而成交角故此直线在本天
即为大距线也此直线所指本天之度正在二交折半
之中其距最大故即为大距线然则此十字线者固本
天所原有而伏见轮之斜交黄道既与本天等则其十
字线亦无不等矣
伏见轮即为绕日之员象则太阳即轮心太阳行于黄
道故伏见心钉于黄道也然其心虽钉于黄道而其面
则半在北半在南一定不易任轮心在黄道之何度而

其斜交之面总与本天为平行故其交线皆不变其十
字大距线亦不变也
由是观之伏见轮亦有二面何则伏见轮之面既斜交
黄道与本天之面为平行则其相当之黄道亦即有与
伏见轮相应之一圈与黄道面平行而与伏见轮斜交
亦如本天之与黄道斜交矣
如是则伏见轮之交线常与本天之交线平行不论在
黄道上何度分也而伏见轮上之从心所出之十字大

距线及所相当黄道上从太阳心即轮心所出之十字
线亦与本天心黄道之十字线平行而两十字线正视
之成一直线旁视之一直一斜而成大距之交角亦一
一与本天交黄道之角分寸不爽故用伏见即如本天
也
　　　论伏见轮之所以然
伏见轮半在日天外半在日天内其半径与本天等即
星体所行也(黄道半径与金星本天之/比例约为十与七二有奇)伏见轮以日为

心绕日环行与本天周上岁轮心行度相应故其大相
等本天半在黄道北半在其南伏见轮亦然(门人刘著/云譬如人)
(放纸鸢人在下环行而纸鸢亦在空际环行盖以纸鸢/为风所举不能下而又为线所引不能不环行可谓善)
(于形/容)故惟本天之度为实度不惟伏见轮为星绕日行
之虚迹即岁轮周上星行之度亦虚设之员周非硬圈
有形质也譬如浮屠高尖有珠如日人持长竿竿上端
有微小之珠(如金/星)浮屠之中腰有圆圈梯道斜绕之(如/金)
(星本天/之斜立)人行其上(如岁轮心之/行于本天周)其珠竿直立指天其长

也如浮屠尖至其腰围之心(如星在岁轮周至岁轮/心之径与日天半径等)两
珠相望有绳系之其绳常引直而有定距与腰围斜绕
之磴道等(如金星绕日有定距/与本天半径相等)持竿者循斜梯绕浮屠
旋转平行之则竿上珠自然亦绕尖上大珠旋转成员
象矣(此如伏见轮为/绕日之员象)
由是言之可以免岁轮大小之疑何则岁轮之心行于
本天之周而本天既有高卑岁轮心行于高度则金星
在伏见轮者离地远矣岁轮心行低度则星在伏见轮

者离地近矣近则觉岁轮之半径小矣远则觉岁轮之
半径大矣若岁轮为坚韧之物何以能伸屈如此乎更
以视法徵之何以在最高反大在最卑反小乎必不然
矣
岁轮之大小又因于太阳高卑伏见轮既以日为心则
太阳行最高时伏见轮从之亦高而星去地远太阳行
最卑则伏见轮从之卑而去地近亦遂疑岁轮之有大
小而与视法反若知岁轮亦非真有轮则群疑尽释矣

　　　求伏见轮交角
伏见轮斜交黄道既一一与本天等则伏见轮交角与
本天交角亦必相等
假如本天大距纬度之正弦欲变为伏见轮上大距之
正弦法为黄道半径与本天大距之正弦(即本天/交角)若伏
见轮半径(亦即本/天半径)与伏见轮之大距正弦也
金星本天交角定为三度二十九分　水星六度　分
一　黄道半径(全数/)　　一○○○○○

二　本天交角(正/弦)　　　○六○七六
二　伏见轮半径　　　七二二五一
四　伏见轮大距纬(正/弦)　○四三八九
王寅旭中纬准分是○四三九○盖以得数九九七收
作一数故也
其馀各度并先以全数为一率交角正弦为二率各度
正弦为三率得四率为各度纬
再以全数为一率各度纬为二率伏见半径为三率求

得四率为各度变率之本纬
简法置交角正弦以各度正弦乘之去末五位又以伏
见轮半径乘之去末五位即径得各度变率本纬
又捷法　黄道半径为一率　大距正弦变率为二率
各度正弦为三率　得各度本纬为四率
假如伏见轮上距交三十度求其本纬
一　黄半径全数一○○○○○
二　(大距/正弦)变率　　○四三九○乘得二一九五○○

三　三十度正弦　五○○○○○○○
四　三十度本纬　○二一九五
解曰此以变率求变率故径得本纬不须再变寅旭用
中纬准分即此理也
求各度正馀弦变率法
置各度正馀弦以伏见轮半径乘之得数去末五位即
得变率之正馀弦
　　　求金星视纬法(水星仿此/)

一求合伏距交
法以本日太阳实行在正交后宫度(即伏见轮心/距交宫度)命为
合伏距交度
解曰凡星合伏必与太阳同度太阳行一度小轮上合
伏点亦随之移一度故太阳实行度即轮心而轮心距
交必与轮周之合伏距交等角
二求星距交
法以用日距合伏后日数在位用星离日度三十七分

弱为法乘之得离日平行以加合伏距交度为星距交
平行度再简本度盈缩差加减之(即加减差从/最高卑起算)为星实
行距交度分
解曰金星之行速于太阳太阳行一度金星行一度三
十七分弱有奇故虽与太阳同行而常在前谓之离日
度历书以太阳之行为星平行非真平行故必并此离
日度始为真平行
星平行在伏见轮周而根本在本天岁轮心行于本天

有高卑加减古历谓之盈缩差伏见轮上行既与本天
上岁轮心行相应则亦必有盈缩加减矣
三求两距交度入阴阳历及初末限
法以两距交度(一伏见轮心距交是黄道上度/一星体距交是伏见轮周度)并视其
在半周以下为入阴历(○一二三/四五宫)满半周以上内减去
半周为入阳历(六七八九/十十一宫)各视其度在象限以下为初
限(○一二宫为阴历初限/六七八宫为阳历初限)满象限以上用以减半周馀
为末限(三四五宫为阴历末限九/十十一为为阳历末限)

四求视纬正弦
法以星距交正弦(用变/率)及各度本纬(变/率)各自乘实相减
得数开方得根以加减黄道正弦(即轮心距交度/正弦用本数)为黄
道正弦又自乘之得数以与本纬自乘实相并(本纬实/即上所)
(求/)为视纬股实开方得视纬正弦(捷法不必开/方只用股实)
加减例　视(黄道上轮心/伏见轮上星)两距交度(同在阴历或同在/阳历则相加或一)
(在阴历一在/阳历则相减)
解曰星距地心线如句股之弦即全数也故亦有其正

弦为股馀弦为句
五求视纬馀弦
法以星距交度馀弦(变/率)加减黄道馀弦(用本数与/正弦同)为视
纬馀弦
加减例　视两距交度(仝在正交边或仝在中交边则/相加若一在正交边一在中交)
(边则/相减)
解曰在正交边者阴历初限阳历末限也阴历初限为
已过正交在正交前一象限也阳历末限为未到正交

在正交后一象限也此两象限共一百八十度在十字
直线之右并于正交为近也
在中交边者阴历末限为未到中交之度在中交后一
象限阳历初限为已过中交之度在中交前此一百八
十度在十字直线之左并于中交为近也
又总解曰正弦之加减论阴阳历以十字横线为断也
馀弦之加减论正中交以十字直线为断也横线者交
线也直线者大距线也正弦线并与大距线平行是各

度距交线之数馀弦线并与交线平行是各度距大距
线之数于此而知十字线之为用大也
六求星距地心线
法以视纬正弦馀弦各自之并而开方得星距地心线
七求视纬
法以各度本纬(变/率)加五位为实星距地心为法除之得
视纬论曰必如此下算则事事有著落视纬得数始真
若前纬后纬之表以中分取数加减法虽巧便得数亦

恐不真耳
假如金星伏见轮心距正交三十度星距合伏三十五
度求视纬
　　　　　　　　　　　　　　如图大圈为黄
　　　　　　　　　　　　　　道小圈为伏见轮
　　　　　　　　　　　　　　轮心在日距正交
　　　　　　　　　　　　　　为井日弧三十度
　　　　　　　　　　　　　　合伏距正交为

合正亦三十度星在戊过合伏三十五度距正交为戊
正弧六十五度
法先用日乙丙丁戊巳两三角形依变率法日乙与乙
丙大纬正弦若丁戊星距交正弦与戊巳纬次用丁戊
巳直角形巳为直角戊丁为弦戊巳为勾求得巳丁股
次用戊巳癸直角形巳为直角以巳丁股加丁癸(丁癸/即日)
(壬为轮心距交/井日弧正弦)共己癸为股戊巳为勾求得戊癸为视
纬正弦次以星距交正戊弧馀弦丁日即壬癸也与壬

心相加(壬心为轮心距交/井日弧之馀弦)共癸心为视纬馀弦次用戊
癸心形癸为直角戊癸为股癸心为勾求得戊心星距
地心线末用心戊巳直角形巳为直角心戊与戊巳纬
若全数与戊心巳角之正弦求弧得心角视纬度(图内/诸三)
(角形俱是立三角须/以浑体观之便明)
按右法未加高卑之算盖前纬后纬表原亦未用高卑
也若求密率仍当以高卑入算为稳说具后条
又按依右法用三角形推算可不必立前后纬表亦不

用中分历书盖以作表故用约法以该之也
　　　论大距纬之变率又以高卑而变
大距纬者即黄道交角之正弦金水本天半径皆小于
黄道半径(黄道常为十万而金星本天半径得其/十之七有奇水星得其十之三有奇)故其
大距纬亦小于黄道之大距纬而各度从之皆有变率
矣然星本天既有高卑则其半径亦时有大小而其距
纬亦从之有大小变率之法又当以此为准的也
准前论在本天最高则半径大而伏见轮半径亦大即

距纬亦大矣在最卑则半径小(本天与伏/见轮并仝)距纬亦小矣
(皆变率/之距纬)说者遂谓其与视法之理相反殊不然也何则
本纬之变率与视纬之变率不同也
本纬在最高则半径大本纬亦大在最卑则半径小本
纬亦小乃本天自有之数非关视法(伏见轮上纬/仍是本天)
视纬星距地远则大纬变小星距地近则小纬变大全
系视法(从地上看伏/见轮上星)
　　　论黄道亦有半径之大小

黄道半径常为十万分全数然黄道既有高卑则其半
径必有大小最高时半径必十万有奇最卑时半径必
十万不足日躔章原有太阳距地高卑表所当取用者
也
太阳距地为黄道半径亦即伏见轮心距地也在上三
星用岁轮即为岁轮半径王寅旭曰因黄道之高卑而
岁轮有大小盖谓此也今按岁轮与黄道同大历家算
高卑或用不同心圈则其距地之数有大小乃是半径

有大小非以此半径另作一圈也以岁轮立算乃是数中
之象因天运有常故可以轮法测之此可为达者告也
　　　论伏见轮半径亦有大小而本纬因之有大小
本天既有高卑则半径有大小而伏见轮并与之等伏
见轮半径既有大小则其正弦馀弦之变率及大距度
之变率与各度之本纬并因之而有大小
法以本天高卑求得各度半径为伏见轮各度半径(最/高)
(距正交十/六度起算)

就以半径为法乘各度正弦馀弦去末五位为正弦馀
弦变率又以半径为法乘大距正弦(金星大距三/度二十九分)去末
五位为大距变率
就以大距变率为法乘各度正弦去末五位为各度本
纬
以上数端并以最高变大最卑变小
　　　论视纬当兼用两种高卑立算
准上论黄道半径有大小伏见轮半径及正馀弦及本

纬并有大小必兼论之则视纬始为密率
法以伏见轮各度正弦变率自乘本纬亦自乘两得数
相减开方求根以加减黄道正弦(高卑/所求)为正弦又自乘
之以并本纬自乘为视纬自乘实(即视纬/股实)又法不用加
减但以伏见轮正弦(变/率)为一边黄道正弦(高卑/所算)为一边
大距度外角(以大距角/减半周)为一角用切线分外角法求得
视纬正弦自乘为股实亦同又以伏见轮馀弦黄道馀
弦相加减(俱用/变率)为视纬馀弦又自乘之为句实并视纬

股实句实开方得弦即星距地心远近线也
末以星距地心为法本纬(变/率)加五位为实实如法而一
得视纬密率
黄道高卑于太阳实行度取轮心距最高宫度(在正交/后若干)
(度起/算)
本天高卑于伏见轮上星实行度取距最高宫度(距正/交十)
(六度/起算)
又按用此密率当设两表

一伏见轮上各度半径表　以金星高卑算得其大小
一伏见轮上各度大距表　即以各度半径乘大距变
率正弦全数除之即得
其黄道中各度半径即用日躔高卑表不必另作
有各度半径即可求逐度正弦馀弦变率(黄道/仝)
有各度大距变率即可求各度正纬　以上俱用乘法
按金星之最高不与正交同度相差十六度当于伏见
轮上安两种十字线水星之最高则与正交同度

　　　论金星前后纬表南北之向
金星前纬自小轮初宫向北其纬极大为一度二十八
分自此渐减至二宫三十度而减尽无纬度(即三宫/初度)
自三宫初向南渐有南纬至五宫三十度南纬极大为
九度○二分(即六宫/初度)
自六宫初以后南纬渐减至八宫三十度南纬减尽无
纬(即九宫/初度)
自九宫初度复向北渐有北纬至十一宫三十度复为

一度二十八分(即初宫/初度)
据此则金星前纬南纬大北纬小南大纬至九度○二
北大纬只一度二八而分为四限
自合伏至留际(乃岁轮上距合伏九/十度亦可名为留际)北纬减尽为初限
自留际向南至退合南纬至九度○二分(为南纬/极大)为次
限
自退合以后南纬渐减至留际(距退合亦/九十度)南纬减尽为
三限

自留际复向北至合伏北纬至一度二十八分(北纬/极大)为
末限
此盖以岁轮上合伏之时星距地远故纬度见小退合
之时星距地近故纬度见大
此前纬是置轮心在正交后大距处而算伏见轮上一
周之纬故其南北之向如此
金星后纬自小轮初宫初度无纬度自此向北而生北
纬北纬之大为二度三十三分在四宫十五度自此渐

减至五宫三十度北纬减尽(即六宫/初度)
自六宫初度以后向南而生南纬南纬之大亦二度二
十三分在七宫十五度又自此渐减至十一宫三十度
南纬减尽(复至初/宫初度)
据此则金星后纬向南向北分为两限(其增减之分南/北相同但有顺)
(逆而无/大小)
自合伏始向北而生北纬至距合伏一百三十五度北
纬甚大(至二度三/十三分)至距合伏一百八十度北纬减尽而

无纬度(即退合时其距大纬/度相距四十五度)是为北纬限
自退合后始向南而生南纬至距退合四十五度南纬
甚大(亦二度三/十三分)从此渐减至退合一百八十度南纬减
尽而无纬度(即复至合伏其距南大/纬度一百三十五度)是为南纬限
此后纬是置轮心在正交点而算伏见轮上一周之纬
故其南北之向若此　若水星南北之向俱与金星相
反然伏见轮之理则同
合前后二纬表观之距合伏后一象限前后纬宜相加

以其同为向北也距退合前一象限前后纬宜相减以
前纬已改向南而后纬仍向北也
过退合后一象限前后纬又宜相加以前纬仍向南而
后纬亦向南也过退合后第二象限(即距合伏/前一象限)前后纬
又宜相减以前纬已改向北而后纬仍向南也
　　　论金星前后纬加减之法
前纬起大距(凡言起者即/合伏点所在)自初宫至二宫共九十度为
阴历末限后纬起正交自初宫至二宫共九十度(○一/二宫)

为阴历初限虽分初末皆阴历也故相加
前纬过九十度(三宫四/宫五宫)为阳历初限后纬过九十度(三/宫)
(四宫/五宫)为阴历末限一阴历一阳历南北相反故相减
前纬过一百八十度复行九十度(六宫七/宫八宫)为阳历末限
后纬过半周复行九十度(六宫七/宫八宫)为阳历初限并阳历
俱在南故亦相加
前纬过二百七十度行一象限复至合伏(九宫十宫/十一宫)为
阴历初限后纬过二百七十度行一象限(九宫十宫/十一宫)复

至正交为阳历末限一阴历一阳历故又相减
此置轮心(即太/阳)于正交(后/纬)及正交后大距(前/纬)立表若置
轮心于中交(为后/纬)及中交后大距(为前/纬)则阴阳之名相
易然加减之法并同
并以合伏后一象限相加(○一/二宫)第二象限相减(三四/五宫)退
合后一象限(六七/八宫)又相加第二象限又相减(九十十/一宫)
又按历书枢线之说盖是谓交点移则南北变恐非有
翕张之形也假如交在合伏则合伏线与交线合而无

纬度若合伏过正交若干度则正交上之合伏后若干
度(即合伏点距/枢线之度)此处无纬度而合伏反有纬度矣是纬
度之变动全系乎枢线之移也(即轮心/所到)
　　　论五星以高卑变纬度
本天高卑能变纬度理宜有之然按图详审其法有三
其一于本天之斜交径上作岁轮三径线与黄道面平
行远近不同纬度自异其二于本天斜径上只作一岁
轮径线而最高卑之岁轮心有时而移即其周之长短

随之远近其三亦只作一径线而行最高时岁轮圈大
行最卑时岁轮圈小三者虽同用最高卑立算而加减
各异此必徵之实测乃可定之
第一法用三线则交角虽不变而岁轮面与黄道面之
远近顿殊(角既同矣纬何得异曰所用之本天径线不/同也假如中距时交角为三度其所得正弦)
(乃中距时径线为全数也若最高时则其全数大矣虽/亦三度角之正弦而其实数则大矣故纬亦大最卑时)
(全数小而正弦亦小彷此论之其/留际上下角不同者又在其外也)
又有异者若用三线则交点亦当有变何也中距面线

至正交时与黄道面径合为一线其馀两岁轮面线必
一在北一在南(按至交点则三线合/一此一节可以勿论)
第二法岁轮只用一线其面之距纬本无不同而最高
卑时轮心有动移最高时轮心在上则正弦线如故而
角变小矣(谓小于中/距之角)最卑时轮心近下则正弦如故而
角变大矣(大于中/距角)何则正弦虽同(谓岁轮面与黄/道面平行之纬)而轮
心在上则远于地心而见小矣轮心在下则近于地心
而见大矣(又法用不同心于黄道则不但正弦不变角/亦不变但人在地心视之则有大小与上法)

(二而一/者也)
第三法只作一岁轮径线(凡言径线皆因旁/视而面变为线)而其两端
并作三层线折半为岁轮心而两端无参差尽其轮边
(即径线两/锐尖尽处)为最大圈之径乃最高时所用两端各缩进
为界则中距时径也两端又缩进为界则最卑时圈径
也西历论火星岁轮有大小之故解之以高卑而王寅
旭亦取之用此法也
以上三法不知谁为定法故曰必徵诸实测

又按三法在上三星其用皆同至金水则又大异何则
金水岁轮大于本天(以其径同/太阳天故)则包过地心退合时轮
心在人之背而星在轮周跨过地心在人之上星之下
星在轮周与其轮心如月之望而人居其间故最高时
轮心远于地而星在轮周反近于地纬反变大矣若最
卑时轮心近地而星在轮周反远于地纬反变小矣此
自然之势不得不然者也(此在第一法/第二法并同)
若用第三法则虽有高卑而两端之远近不变与前二

法相反故必徵之实测乃取其合者用之
　杨学山曰西法步五星土木火有岁轮金水有伏见
　轮虽两轮行度求角之法皆同然岁轮上为星离日
　之虚度轮心在本天伏见轮则自有行度轮心即太
　阳细按历书之说盖谓上三星本天包太阳天外星
　离日而又与日有定距是生岁轮其半径恒与太阳
　天等若金水之本天即太阳天其平行与太阳同距
　地亦与太阳等(俱一千一百四/十二地半径)而此伏见一轮以日

　为心绕日环转而为伏见使非此轮则星无所为伏
　见(以平行同/太阳故也)故名伏见轮之半径皆有定度(金星七/千二百)
　(奇水星三/千八百奇)是其意原非以伏见轮当岁轮若果即为
　岁轮则半径宜有大小何则火星因与太阳天近尚
　有日躔本天二差以变次均角岂金水在太阳天下
　而反无之今测不然是伏见轮另为一种行动为金
　水之所独故昔人别立伏见轮之名也其所云即岁
　轮者盖因行法相同而混言之耳今勿庵之说又异

　是谓五星皆同一法皆有岁轮上三星因本天大故
　用岁轮金水因岁轮大难用故用绕日圆象(即伏见/轮如上)
　(三星围/日之圈)如此可明金水自有本天因得自有高卑亦
　自有平行度因在日天下速于太阳本天斜倚黄道
　因有正交中交之名诸根底俱有著落且五星一贯
　但依此立算凡星平行自行之根数初均次均之度
　分南纬北纬之大小皆与历书数迥异验之于天末
　识合否余尝疑历指论五星纬说多混淆金水尤略

　因作五星纬行解一卷明之勿庵之说不敢遽定其
　是非存之以待参考焉
　
　
　
　
　
　历算全书卷十六