自序
授时历于日躔盈缩月离迟疾并云以算术垛积招差
立算而今所传九章诸书无此术也岂古有而今逸耶
载考历草并以盈缩日数离为六段各以段日除其段
之积度得数乃相减为一差一差乂相减为二差则其
数齐同乃缘此以生定差及平差立差定差者盈缩初
日最大之差也于是以平差立差减之则为每日之定
差矣若其布立成法则直以立差六者因之以为每日

平立合差之差此两法者若不相蒙而其术巧会从未
有能言其故者余因李世德孝廉之疑而试为思之其
中原委亦自晓然爰命孙(瑴成/)衍为垛积之图得书一
卷

几何补编自序
天学初函内有几何原本六卷止于测面其七卷以后
未经译出盖利氏既歾徐李云亡遂无有任此者耳然
历书中往往有杂引之处读者或未之详也壬申春月
偶见馆童屈篾为灯诧其为有法之形(其制以六圈成/一灯每圈匀为)
(六折并周天六十度之通弦故知其为有法之/形而可以求其比例然测量诸书皆未言及)乃覆取
测量全义量体诸率实考其作法根源(法皆自楞剖至/心即皆成锥体)
(以求其分积/则总积可知)以补原书之未备而原书二十等面体之

算向固疑其有误者今乃徵其实数(测量全义设二十/等面体之边一百)
(则其容积五十二万三八○九今以法求之/得容积二百一十八万一八二八相差四倍)又几何原
本理分中末线亦得其用法(几何原本理分中末线但/有求作之法而莫知所用)
(今依法求得十二等面及二十等面之体积因得其各/体中棱线及辏心对角诸线之比例乂两体互相容及)
(两体与立方立圆诸体相容各比例并以/理分中末线为法乃知此线原非徒设)则西人之术
固了不异人意也爰命之曰几何补编

钦定四库全书
　历算全书卷十三
　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰
　授时平立定三差详说
太阳行天有盈有缩立成以八十八日九十一刻就整
为限者(据盈历/言之)此由测验而得之也盖自定气冬至至
定气春分太阳行天一象限(依古法以九十一/度三一奇为象限)该历九
十一日三十一刻有奇而今则不然每于冬至后八十

八日九十一刻而太阳已到春分宿度故盈历以此为
限也
夫八十八日九十一刻而行天一象限则于平行之外
多行二度四十分奇也是为盈历之大积差若缩历即
其不及之数必行至九十三日奇而后满一象限也故
缩历之限多于盈历日数其积差极数亦与盈历同
但此盈缩之差绝非平派或自多而渐少或由少而渐
多何以能得其每日参差之数郭太史立为平立定三

差法以齐其不齐可得每日细差及积差其理则出于
垛积招差之法也
定差者何曰所测盈缩初日最大之差也凡盈缩末日
即同平行其盈缩之最多必在初日今欲求逐日之差
必先求初日最大之差以为之准则故曰定差也
既有此最大之差即可以求逐日之差而逐日之差皆
以渐而少法当用减故又有平差立差皆减法也
然何以谓之平差曰平者平方也其差之增有类平方

故以名之也差何以能若平方曰初日以后其盈缩渐
减以至于平以常法论之数宜平派即用差分法足矣
而合之测验所得则又非平派也其近初日也所减甚
少其近末日也所减骤多假如一日减平差一则二日
宜减二而今则二日之平差增为四又初日平差一二
日平差四则三日宜为七四日宜为十而今则三日之
平差增为九四日增为十六故非平方垛积之加法不
足以列其衰序也

然则又何以为立差曰立者立方也差何以又若立方
曰以平差合之测验犹为未足故复设此以益之假如
初日减平差一又带减立差一至二日则平差四而所
带之立差非四也乃八也三限平差九而立差非九也
乃二十七也盖必如此而后与所测之盈缩相应
其分为六段何也曰此求差之法也一二日间虽各有
盈缩之差然差少则难辨积至半次其差始多而可见
矣故各就其盈缩之日匀分之一年二十四定气分四

象限各有六气故其分亦以六也
既匀分六段矣又以后段连前段何也曰此所谓招差
也虽匀分六段其差积仍难细分故惟于初段用本数
以其盈缩多而易见也(如盈历初段积盈七千/分是最多而易见也)若末段
必带前段以其盈缩少而难真也(如盈历末段积差与/第五段相减则其本)
(段中只共盈七百四十九分/数少难分故连前段论之)借彼易见之差以显难真
之数此立法之意也(以太阳盈差/为例他仿此)
然则各段平差不几混乎曰无虑也凡前多后少之积

差合总数而匀分之即得最中之率如第六段之平差
即第四十四日之盈加分(以八十八日九二折半得四/十四日四六即最中之处其)
(本段平差二百七十馀/分与之相应下仿此)第五段之平差即第三十七日
之盈加分第四段之平差即二十九日之盈加分第三
段之平差即第二十二日之盈加分第二段之平差即
第十四日八二之盈加分第一段之平差即第七日四
一之盈加分其数各有归著虽连前段原无牵混也
然则又何以有一差二差曰一差者差之较也二差者

较之较也曷言乎差之较曰各段平差是盈缩于平行
之数也其数初段多而末段少各段一差是相邻两限
盈缩之较也其数初段少而末段反多然则二者若是
其相反欤曰非相反也乃相成也盖惟其盈缩于平行
之数既以渐而减则其盈缩自相差之数必以渐而增
其法于前限平差内减次限平差即知前限之盈缩多
于后限若干矣而此一差之数原非平派故初限次限
之较最少而次限三限之较渐多三限四限之较又多

四限五限更多至五限六限则多之极矣其多之极者
何也盈缩之数近末限则骤减也此一差之前少后多
正所以为盈缩之前多后少也
然则二差又何以有齐数曰不齐者物之情也而不齐
之中有所以不齐焉得其所以不齐斯可以齐其不齐
矣今各限之一差不齐而前后两一差相减则仍有齐
数为二差是其不齐者差之较而其无不齐者较之较
也较之较既为齐数则较数之不齐皆有伦而有脊矣

故遂可据之以求定差也
泛平积即用第一段平差何也曰今推定差初日之数
也前所推第一段平差则第七日之数也故总第一段
言之可曰平差而自初日言之但成泛积泛者对定之
辞言必再有加减而后为定率也

　
　
　
　
　
二差折半何也曰以分平差立差之实也盖泛平积差
既为初日盈加分多于七日之较则皆此七日中平差
立差所积而成之者也而平差之数大立差之数小泛

平积之大数皆平差所成而其中有六十九秒(即半/二差)则
立差所成故分出此数以便各求其数也
平差除一次立差除两次何也曰此平立之分也除一
次者段日本数为法也除两次者段日自乘为法也于
是再以段日乘之则本数者如平方之自乘自乘者如
立方之再乘矣
平立合差何也曰次限少于初限之差也内有两平差
六立差之共数故谓之合差(如盈历以二分四十六秒/为平差三十一微为立差)

(今倍平差得四分九十二秒加入加分立差一秒八十/六微共得四分九十三秒八十六微为平立合差是有)
(两平差六立差之数盖加/分立差原是六个立差也)
定差内又减一平差一立差为初日加分何也曰此初
日加分之积少于定差之数也既以定差为初日加分
矣而积又减此何也曰以定差为初日加分者乃初日
最初之率也积满一日则平差立差各有所减而特其减甚
微故各祗一数如平方立方之起数以一也是故此一
平差一立差者即初日平立合差也

初日之平立合差何独少耶曰准于平方立方之加法
正相应也盖平方幂积以自乘之积为等(其数一四九/十六二十五)
(三十六四九/六四八一也)立方体积以再乘之积为等(其数一八二/十七六四百)
(二十五二一六三/四三五一二也)而平立合差之数亦如之
是故初日之盈缩积是于定差内减一平差一立差
　如平方立方之根一者积亦一也
次日之盈缩积是于二定差内减四平差八立差　如
　方根二者平积必四立积必八也

三日之盈缩积是于三定差内减九平差二十七立差
　如方根三者平积必九立积二十七也
四日之盈缩积是于四定差内减十六平差六十四立
　差如方根四者平积必十六立积必六十四也
向后各限并同此推合而言之即皆逐日之平立合差
也然则以一平差一立差较次日之四平差八立差固
为小矣而以四平差八立差较三日之九平差二十七
立差不更小乎何况以三较四则为九平差二十七立

差与十六平差六十四立差其相差不更悬绝乎
问次日之平立合差只两平差六立差而今又云四平
差八立差三日以后之平立合差只递增六立差(逐日/递增)
(加分立差一秒八十六/微是六个立差之数)而今所云者三日有平差九立
差二十七其说之不同如此必有一误矣曰差之积类
于平方立方者是总计其所减之数而每加加分立差
者是分论其逐日所减之数也欲明此理仍当求诸少
广(少广者开/方法也)

今夫平方以一四九十六二十五等为序者其幂积也
若分而言之以一三五七九为序者其廉隅也(以相挨/两平幂)
(相减即得廉隅如一与四相减得三四与九相减得五/九与十六相减得七十六与二十五相减得九是也)
廉隅即较也而递增以二数者较之较也(一三五七九/皆递增以二)
今夫立方以一八二七六四一二五为序者其体积也
若分而言之以七十九三七六一为序者其廉隅也(亦/以)
(相挨两体积相减得之如一减八得七八减廿七得十/九廿七减六十四得三十七六十四减一百二十五得)
(六十一/是也)廉隅即较也而递增以六者较之较也(一增六/得七七)

(增二六得十九十九增三六得/三十七三十七增四六得六一)是故平立差之总积是
初日以来所积之差也亦如平立方之幂积体积也平
立差之加法是逐日递增之较也亦如平立方之廉隅
也
合初日以来之加分(即盈缩/积度)与定差较则其差如平立
方之幂积体积也(平差之序一四九十六二十五十立/差之序一八二十七六四一二 五)
若以本日之加分与定差较则其差如平立方之廉隅
也(平差之序一三五七九十立差/之序七十九三十七六 一)

若以本日之平立合差与初日较如平立方之廉积(平/差)
(之增二四六八立差之/增六十八三十六六十)若以相近两日之平立合差自
相较如平立方之廉积相较(平差之递增皆二立差之/递增以六而再增十二为)
(二六再增十八为三六/再增二十四为四六也)于定差内减平差立差各一为
初日加分
又于初日加分内减去二平差六立差是共减平差四
(本日实减三合初/日所减之一则四)立差八(本日实减七合初/日所减之一则八)而为次日
加分也

又于次日平立合差内加入六立差为平立合差(共二/平差)
(十二/立差)以减次日加分是共减去平差九(本日实减平差/五合前两日所)
(减四/共九)立差二十七(本日实减立差十九合前/日所减之八则二十七)而为三日
加分也
又于三日之平立合差内加六立差为平立合差(共二/平差)
(十八/立差)以减三日加分是共减去平差十六(本日实减平/差七合前三)
(日所减之/九则十六)立差六十四(本日实减立差三十七合前三/日所减之二十七则六十四)
而为四日加分也

故曰合初日以来之加分与定差较其差如平立方之
幂积体积而以本日之加分(即本日/实减数)与定差较则如廉
隅也
若论布立成法则不言定差但以初日加分为根
以平立合差减初日加分为次日加分是于初日加分
内减二平差六立差也
又以六立差并入平立合差以减次日加分为三日加
分是于次日加分内又减二平差十二立差于初日加

分则为减四平差十八立差也
又如上法再增六立差以减三日加分为四日加分是
于三日加分内又减二平差十八立差于初日加分内
则为减六平差三十六立差也
故曰以平立合差与初日较若平立方之廉积而以相
近两日自相较如平立方之廉积相较也
平方二廉故相加以二立方六廉故相加以六此倍平
差六因立差为平立合差之理也平方之相加以二者

始终不变立方之相加以六者每限递增此向后立差
递增六数之理也

　
　
　
　
　
　
　
　

　　盈缩招差图说
盈缩招差本为各一象限之法(如盈历则以八十八日/九十一刻为象限缩历)
(则以九十三日七/十一刻为象限)今只作九限者举此为例也其空格
九行定差本数为实也其斜线以上平差立差之数为
法也斜线以下空格之定差乃馀实也
假如定差为一万平差为一百立差为单一今求九限
法以九限乘平差得九百又以九限乘立差二次得八
十一并两数九百八十一为法定差一万为实法减实

馀实九千○一十九即九限末位所书之定差也于是
再以九限为法乘馀实得八万一千一百七十一为九
限积数
本法以九限乘定差得九万为实另置平差以九限乘
二次得八千一百置立差以九限乘三次得七百二十
九并两数得八千八百二十九为法以减实九万得八
万一千一百七十一为九限积与前所得同
本法是先乘后减用法是先减后乘其理一也

　
　
　
　
　
　
　
　

初日减平差一庚也次日又减平差二甲也实减三并
甲庚也合廉隅矣并计初日共减四合平方幂矣
第三日又多减平差二乙也实减五并二甲二乙一庚
也合廉隅矣并计前两日共减九合平方幂矣第四日
以后仿此推之

　
　
　
　
　
　
　
　

中心甲一为初限所减立差即垛积形之顶
加外围六乙共七为次限所减立差平廉长廉各三隅
一也并上层甲共八成根二之体积是为垛积形之第
二层
又加外围丙十二共十九为三限所减立差三平廉共
十二三长廉共六隅一也并上两层共二十七合根三
之体积是为垛积形之第三层
又加外围丁十八共三十七为四限所减立差三平廉

共二十七三长廉共九隅一也并上三层共六十四合
根四体积是为垛积形之第四层
又加外围戊二十四共六十一为五限所减立差三平
廉共四十八三长廉十二隅一也并上三层共一百二
十五合根五之体积是为垛积之第五层
又加巳三十共九十一为六限立差其七十五为三平
廉其十五为三长廉其一隅也并上层共二百一十六成
体积是为垛积之第六层

又加庚三十六共一百二十七为七限立差其百○八
为三平廉其十八为三长廉其一隅也并上层成体积
三百四十三是为垛积之第七层
又加辛四十二共一百六十九为八限立差其百四十
七为三平廉其二十一为三长廉其一隅也并上层共
五百一十二如体积是为垛积之第八层
此姑以八层为式向后仿此推之　因从甲顶平视故
类六角平面其实如六角锥也立方廉隅而图以锥形

六角者以表其垛积招差之理也　甲恒为隅朱书者
长廉馀则平廉立方之平廉长廉各三离居三方则成
六角　六觚形以六抱一每层增六与立方加法同所
异者六觚平面而立方必并其积故以堆垛象之　若
算六角堆垛但取其底之一面自乘再乘见积与立方
同

　
　
　
　
　
　
　
　

以斜立面观之最上甲一次乙二次丙三丁四戊五己
六庚七辛八其底之数各如其层之数(如堆只三层则/以三丙为底四)
(层则四丁为底每多一层其各面之底必/多一数若辛下再加一层为壬必九数也)
实计其每面六觚之数则甲一乙七丙十九丁三十七
戊六十一己九十一庚一百二十七辛一百六十九(前/平)
(视之图乙为甲掩故但见外围之六丙为乙掩故但见/外围十二馀皆若是也观者当置身于高处从甲顶俯)
(视即得/其理)皆以外围之数为下层多于上层之数
合计其堆垛之积则甲一乙八丙二十七丁六十四戊

一百二十五己二百一十六庚三百四十三辛五百一
十二(乙七并甲一成八丙十九并乙/七甲一成二十七馀皆若是)其堆垛之积皆如
其层数之立方(以底之一面馀乘/又以层数乘之也)
问平差之根是以段日除积差而得则每日适得一平
差今所减平差甚多殆非实数曰泛平积差是初日多
于第七日之数(亦据盈/历言之)而平差之数既如段日则于日
数为加倍(盈历段日十四日奇以此分积差为每日平/差则平差共数亦十四奇于七日为加倍)
今倍减平差正合积差原数岂患其多

曰若然又何以能合平方曰以本日实减之数与定差
较但取其销尽积差已足(如第七日实减十三平差第/八日实减十五平差七日有)
(奇在其中半积/差必当减尽)故其法若平方之廉隅若合计初日以
来减过平差与初日以来定差相较则所减之积皆如
平方自乘观图自明(如七日共数得四十九八/日共数得六十四之类)
又如立差以段日自乘除泛立积差而得故其数亦略
如段日之自乘而每日实减亦如立方之廉隅聊足以
销去积差(本日尚有馀秒/后一日奇减尽)若合计初日以来共数则亦

如立方再乘之积矣

右图以九限为例(九限以/后仿论)定差设十万平差设一千立
差设单一如法以本日加法并之为平立合差(如图平/差立差)
(各有加法/故当并用)以平立合差减先日加分得本日加分合计
从前加分为本日盈缩积(或以本日加分加先日盈/缩积得本日盈缩积亦同)
　　又简法
置定差内减平差立差各一为初日加分(又即为第一/日盈缩积)
别置平差倍之加入六立差为初日平立合差以后每
于平立合差内加入六立差为次日平立合差(馀同/上)

　　用定差法
以日数乘立差得数加入平差再以日数乘之得数乃
置定差以得数减之用其馀为实复以日数乘之得本
日盈缩积
置相近两盈缩积相减得加分又置相近两加分相减
得平立合差亦同
　　定差本法
置定差以日数乘之得数为实又以日数自乘用乘平

差得数以日数再自乘用乘立差得数平立两得数并
之为法法减实得盈缩积(馀同/上)
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　历算全书卷十三