钦定四库全书
　历算全书卷十
　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰
　环中黍尺卷三之四
初数次数法(加减代乘除之法从初/数次数而生故先论之)
　(上卷之法用角旁两正弦相乘今则兼用两馀弦故/别之为初数次数其法有二其一次数与对弧馀弦)
　(相加其一相减也相加又有二一锐角一钝角也相/减有四或馀弦内减次数或次数内减馀弦而又各)
　(分锐角/钝角也)

约法　三边求角
　
　
　
　
　
　
角求对边

　
　
　
　
　
　
馀弦次数相加例(锐角法钝/角法各一)
丁乙丙形　有三边求乙锐角　角旁大弧丁巳(正弦辛戊/馀弦巳戊)

　小弧丙乙(正弦丙癸/馀弦巳癸)两正弦相乘全数除之成初得
　数戊庚又以两馀弦相乘全数除之成次得数戊丑
　(即卯/巳)乃以次得数卯巳加对弧之馀弦已戌成卯戌(即申/戊)
　　　　　　　　　　　一　初得数　　戊庚
　　　　　　　　　　　二　(次得数与对/弧馀弦相并)申戊
　　　　　　　　　　　三　半径　　　亥已
　　　　　　　　　　　四　角之馀弦　已乾
　　　　　　　　　　　　(以馀弦检表得/乙锐角之度)

若先有角求对边则反之
一　半径　　　亥巳
二　角之馀弦　巳乾
三　初得数　　戊庚
四　(次得数与对/弧馀弦相并)申戊(以次得数戊丑减之得/对弧馀弦丑申即巳戌)
论曰辛戊正弦与亥巳半径同为乙丁弧所分则辛戊
全与丁戊分若亥巳全与乾巳分也而辛戊弦与丁戊
小弦又若戊庚句与申戊小句也故戊庚与申戊必若

亥巳与乾巳
若用丁甲丙形其算并同何以明之甲丁者乙丁半周
之馀甲丙者乙丙半周之馀其所用正弦并同又同用
丁丙为对角之弧甲角又同乙角皆以乾已为馀弦故
也
　右系对边小于象限角旁弧异类故其法用加而为
　锐角
仍用前图取丁甲寅三角形　有三边求甲钝角　角

两旁弧同类　对角边大为寅丁其正弦酉戌馀弦戌
已　旁弧丁甲其正弦辛戊馀弦已戊　又旁弧寅甲
其正弦寅壬馀弦壬已　初得数戊庚(半径除两/正弦矩)　次
得数卯巳(半径除两/馀弦矩)
所用三率与前锐角形并同亦以卯已加已戌成申戊
为三率所得四率乾已亦为甲角之馀弦(末以馀弦检/表得度以减)
(半周馀为甲/钝角之度)
若先有甲钝角求对边丁寅则反用其率一半径亥已二

甲角馀弦乾已三初数戊庚四申庚末以次数戊丑去
减得数甲戊馀丑申为对弧馀弦
论曰对弧寅丁系过弧与锐角形对弧丁丙相与为半
周之正馀度同用酉戌为正弦戌已为馀弦角旁弧丁
甲即乙丁半周之馀度同用辛戊为正弦戊已为馀弦
甲寅弧又与乙丙弧等度其正弦壬寅同癸丙馀弦壬
巳同癸巳故加减数并同所异者对弧大而两旁弧又
同类故为钝角

若用寅乙丁形其算并同以同用丁寅对弧而两弧在
角旁者寅乙为寅甲半周之馀丁乙为丁甲半周之馀
所用之正弦馀弦并同故也甲角同乙角皆以乾已馀
弦度转减半周为其度
　右系对边大于象限而角旁两弧同类故其法用加
　而为钝角
　正馀交变例
若角旁两边以象限相加减而用其馀弧则正弦馀弦

之名互易而所得初数次数不变三率之用亦不变
解曰弧小以减象限得馀弧弧大以象限减之而用其
馀亦馀弧也其故何也凡过弧与其减半周之馀度同
用一正弦故过弧内减象限之馀即反为过弧之馀弧
亦曰剩弧而此剩弧之正弦即过弧之馀弦也
若两弧内一用馀度则其初数次数皆为正弦乘馀弦
半径除之之数然其数不变何也一弧既用馀度则本
弧之正弦变为馀弧之馀弦而其又一弧仍系本度则

正弦不变然则先所用两正弦相乘为初数者今不变
而为馀乘正乎次数仿此
试仍以前图明之丁乙丙形任以乙角旁之乙丁弧(即/辛)
(乙/)内减去亥乙象弧其剩弧亥辛之正弦戊已即乙辛
过弧之馀弦也又亥辛之馀弦辛戊即过弧乙辛之正
弦也然则先以辛戊正弦乘丙癸正弦者今不变为辛
戊馀弦乘丙癸正弦乎然但变其名为馀乘正而辛戊
之数不变则其所得之初数戊庚亦不变也次数仿论

(按此法即测星/时第二法所用)
若角旁两弧俱改用馀弧则初数变为两馀弦相乘次
数变为两正弦相乘盖以正变馀馀变正而所得之初
数次数不变
试仍以前图明之丁乙丙形乙角旁两弧乙丁改用辛
亥(义见/前)乙丙改用丙亥皆馀弧也则丙癸辛戊两正弦
皆变馀弦(丙癸为丙亥弧馀弦/辛戊为辛亥弧馀弦)癸已戊已两馀弦皆变
正弦(癸已为丙亥弧正弦/戊巳为辛亥弧正弦)然则先以两正相乘者今为

两馀然虽变两馀而其为丙癸与辛戊者不变故其所
得之初数戊庚亦不变也次数仿论
　总例
凡弧度与半周相减之馀则所用之正弦同馀弦亦
同
凡弧度与象限相减之馀则所用之正弦变馀馀弦变
正
馀弦内减次数例(钝角法锐/角法各一)

　　　　　　　　　　　丁乙丙弧三角形有三边
　　　　　　　　　　　求乙钝角　丙乙小弧其
　　　　　　　　　　　正弦丙辰馀弦辰巳　丁
　　　　　　　　　　　乙大弧其正弦癸甲馀弦
　　　　　　　　　　　甲已　是为角旁之两弧
　　　　　　　　　　　不同类　癸乾初得数(两/正)
(弦乘半径/除之数)　午已次得数(两馀弦乘半/径除之数)　丁丙对边大
其正弦壬卯馀弦卯已　对边大于象限而角旁弧不

同类宜相减　对弧馀弦大于次数法当于馀弦卯巳
内减去次得数午已馀午卯(即艮/丁)为二率
一　初得数　癸乾
二　(次得数/减馀弦)　艮丁
三　半径　　辛已
四　角馀弦　寅已
对边大角旁弧异类而次数小减对弧馀弦其角为钝
宜以四率寅已捡馀弦表得度以减半周度其馀即为

乙钝角之度(即寅酉大/矢之度)
若先有乙钝角求对弧则反用其率
一　半径　　辛巳
二　角馀弦　寅已
三　初得数　癸乾
四　(次得数/减馀弦)　艮丁
既得艮丁乃以次数加之成卯已馀弦检表得度以减
半周得丁丙对边之度

凡过弧与其减半周之馀度同用一馀弦故以馀弦检
表得度以减半周即得过弧
仍用前图取锐角
丁戊庚三角形(系锐角○此/形有三锐角)有三边求戊角　戊庚小
边其正弦庚丑馀弦丑巳　丁戊次小边其正弦癸甲
馀弦甲巳　是为角旁弧同类　初得数癸乾(半径除/两正弦)
(矩/)　次得数午已(半径除两/馀弦矩)　丁庚对边小其正弦壬
卯馀弦卯巳　对边小于象限而角旁弧同类宜相减

　次数午已小于对弧馀弦卯已以午已去减卯已馀
卯午(即艮/丁)
一　初得数　癸乾
二　(次得数/减馀弦)　艮丁
三　半径　　辛已
四　角馀弦　寅已
对边小角旁弧同类而次数小去减馀弦其角为锐宜
以四率寅已检馀弦表得戊锐角之度

若先有戊锐角度求对边丁度则反用其度
一　半径　　辛巳
二　角馀弦　寅已
三　初得数　癸乾
四　(次得数/减馀弦)　艮丁
以所得艮丁加次数午已检馀弦表得丁庚对边之度
因锐角角旁弧同类次数小于馀弦得数后宜加次数
为对边馀弦

论曰丁戊庚形与丁乙丙形为相易之形故丁戊为丁
乙减半周之馀戊庚等乙丙此两弧所用之正弦馀弦
并同则初数次数亦同矣而丁庚对弧亦丁丙对弧减
半周之馀则所用馀边又同加减安得不同
次数内转减馀弦例(锐角法钝/角法各一)
丁乙丙形三边求乙角(系锐/角)　丙乙小边正弦辰丙馀
弦辰已　丁乙大边正弦癸甲馀弦甲已　是为角旁
之两边不同类　初得数甲乾(半径除两/正弦矩)　次得数午

　　　　　　　　　　　已(半径除两/馀弦矩)　丁丙对边
　　　　　　　　　　　大正弦壬卯馀弦卯已
　　　　　　　　　　　对边大而角旁弧不同类
　　　　　　　　　　　宜相减　次数午已大于
　　　　　　　　　　　对弧馀弦卯已法当于午
　　　　　　　　　　　己内减卯巳馀午卯(即甲/艮)
为二率
一　初得数　　甲乾

二　(馀弦减次/数之馀)　甲艮
三　半径　　　辛巳
四　角馀弦　　寅已
对边大角旁弧异类而次数大受对弧馀弦之减其角
为锐宜以四率寅已检馀弦表得乙锐角之度(即寅辛/矢度)
若先有乙角而求对边丁丙则反用其率
一　半径　　　辛巳
二　角馀弦　　寅己

三　初得数　　甲乾
四　(馀弦减次/数之馀)　甲艮
末以所得甲艮转减次数午已得对弧馀弦卯巳检表
得度以减半周为对弧丁丙度
前图取钝角
丁戊庚形三边求戊角(系锐/角)　戊庚小边正弦丑庚馀
弦丑巳　丁戊次小边正弦癸甲馀弦甲巳　是为角
旁两弧同类　初数甲乾(半径除两/正弦矩)　次数午已(半径/除两)

(馀弦/矩)　丁庚对边小正弦壬卯馀弦卯巳　对边小而
角旁两弧同类宜相减　次数午巳大于对边馀弦
卯巳当于午巳内减卯已馀午卯(即甲/艮)
一　初得数　　甲乾
二　(馀弦减次/数之馀)　甲艮
三　半径　　　辛巳
四　角馀弦　　寅已
对边小角旁弧同类而次数大内减去馀弦其角为钝

宜以四率寅巳检馀弦表得度以减半周得戊钝角之
度
若先有戊钝角而求对边丁庚则反用其率
一　半径　　　辛已
二　角馀弦　　寅巳
三　初得数　　甲乾
四　(馀弦减次/数之馀)　甲艮
末以所得甲艮转减次数午巳得对弧馀弦卯已检表

得对弧丁庚之度
一系　半浑员面所成斜三角形左右皆相对如左锐
角者右必钝也对边左小者右必大也角旁之边左为
同类者右必异类也(角旁两弧一居员周一居圆面此/员面弧线左右所同用也而员周)
(之弧左右有大小故/同于左者不同于右)
加减法(以代/乘除)
初数次数并以乘除而得今以总弧存弧之馀弦相加
减而半之即与乘除之所得吻合法简而妙而甲数乙

数之用亦从此生矣
总法曰凡两弧相并为总弧相减为存弧(存弧一/曰较弧)
总弧存弧各取其馀弦以相加减成初数次数　法曰
视总弧过弧限则总存两馀弦相加总弧不过象限则
相减皆折半为初数(即原设两弧之正弦/相乘半径除之之数)以初数转减
存弧馀弦即为次数(即原设两弧之馀弦/相乘半径除之之数)又法(总弧过/象限两)
(馀弦相减不过象限则/相加并折半为次数)又法(初数以相加成者以总弧/馀弦减初数以相减成者)
(以总弧馀弦加并加/减初数为次数亦同)

又取总弧存弧之正弦相加减成甲数乙数　法曰以
总存两正弦相加折半为甲数(即原设大弧正弦乘小/弧馀弦半径除之之数)
总存两正弦相减折半为乙数(即原设小弧正弦乘大/弧馀弦半径除之之数)
又法(以存弧正弦减甲数/其馀为乙数亦同)又法(以甲数减总弧/正弦即得乙数)
总弧在象限内两馀弦相减
大弧丙寅　小弧辰丙(即丑/丙)　二弧相加为总弧辰寅
　相减得存弧丑寅　丑寅存弧之馀弦丑癸(亦即/丁乙)
辰寅总弧之馀弦卯辰(即癸子亦/即乙午)　两馀弦相减(丑癸/内减)

　　　　　　　　　　　(子癸存丑子或乙丁/内减乙午存午丁)其馀
　　　　　　　　　　　半之(丑子半之于壬/成壬丑即亥丁)为(丙/寅)
　　　　　　　　　　　(辰/丙)二弧两正弦相乘半径
　　　　　　　　　　　除之之数即初得数也
　　　　　　　　　　　以初得数转减存弧之馀
　　　　　　　　　　　弦(以壬丑减丑癸其/馀癸壬亦即亥乙)其馀
为大小二弧两馀弦相乘半径除之之数即次得数也
论曰丙辛大弧之正弦也丑戊小弦之正弦也以句股

形相似之故乙丙半径(弦/)与丙辛正弦(股/)若丑戊正弦
(小弦/)与丑壬初得数也(小股/)其半而得者何也曰辰戊
同丑戊则戊巳亦同丑壬而壬子即已戊则子丑者初
得数(壬/丑)之倍数故半之即得　辛乙大弧之馀弦也戊
乙小弧之馀弦也乙丙半径(弦/)与辛乙馀弦(句/)若戊乙
馀弦(小弦/)与亥乙次得数也(小句/)又以存弧馀弦内兼
有初得次得两数故减初得次也(丑癸馀弦内有丑壬/初数癸壬次数故减)
(丑壬即得癸壬也或于乙/丁内减亥丁得亥乙并同)

　以上用总存两馀弦加减
又丑寅存弧之正弦丑丁(即午子/或癸乙)辰寅总弧之正弦辰
午(即卯/乙)两正弦相加半之为大弧正弦乘小弧馀弦半
径除之之数即甲数也　以甲数转减总弧之正弦(以/午)
(已减辰午其馀/巳辰亦即卯未)是为大弧馀弦乘小弧正弦半径除之
之数即乙数也
论曰乙辛大弧之馀弦也辰戊小弧之正弦也以两句
股形同比例之故丙乙半径(弦/)与乙辛馀弦(句/)若辰戊

正弦(小弦/)与辰已乙数也(小句/)
又丙辛大弧之正弦也戊乙小弧之馀弦也而丙乙半
径(弦/)与丙辛正弦(股/)若戊乙馀弦(小/弦)与戊亥甲数(小/句)也
又以总弧正弦内兼有甲乙两数故减乙得甲减甲亦
得乙矣(辰午正弦内有辰巳乙数巳午甲数故/减辰巳得巳午若减巳午亦必得辰巳)
　以上用总存两正弦加减
若以酉丙为大弧丙丑为小弧则其总弧酉丑(正弦丑/丁馀弦)
(丑/癸)其存弧辰酉(正弦辰午/馀弦卯辰)但互易存总之名其他并同

论曰凡过象限之弧与其减半周之馀弧同用一正弦如丙
酉过弧以减半周得丙寅所用正弦(丙/辛)馀弦(辛/乙)皆丙酉弧与
丙寅弧之所同也故但易总存之名而正馀加减之用不变
又法　凡过象限之弧即截去象限用其馀度如法加减但以
总弧为存弧存弧为总弧而总存之馀弦为正弦正弦为馀弦
如酉丙过弧截去酉甲象限只用丙甲为大弧与丙丑小
弧相加减则丑甲为总弧其正弦丑癸馀弦丑丁而辰甲
为存弧其正弦卯辰馀弦辰午是总存正馀名皆互易也

法以总存两正弦相减而其馀折半为甲数(丑癸内减/卯辰馀丑)
(子半之得丑/壬为甲数)仍以甲数转减总弧正弦(甲数丑壬转减/丑癸其馀癸壬)
(即乙/数)是其名虽易而其实不易也但横易为直
论曰去过弧之象限而用之则过弧之正弦为馀馀弦
为正矣故加减而得之数皆两弧之正弦乘馀馀弦乘正
之数而非复正乘正馀乘馀之数也何也过弧之正馀
互易而小弧之正馀如故也
如丙酉过弧去象限为丙甲则其正弦丙庚即过弧之

馀弦也(丙庚即/辛乙故)其馀弦庚乙即过弧之正弦也(庚乙即/丙辛故)
而小弧丙丑之正弦丑戊馀弦戊乙皆如旧故先得之
丑壬为大弧馀弦丙辛乘小弧正弦丑戊而丙乙半径
除之也非两正弦相乘也乙数转减正弦而得之亥乙
(即癸壬亦/即戊未)为大弧正弦辛乙乘小弧馀弦戊乙而半径
除之也非两馀弦相乘也
又论曰又法即测夜时篇中测星距午之第二法也加
减代乘除只此一例而绝不与七卷八卷之乘除求初

数次数者相蒙虽有学者何从悟入乎愚故为之详说
以发其覆
又论曰元法依图直看直者正弦横者馀弦又法正馀
互易则图当横看变立体为眠体本以总存两馀弦加
减者变为两正弦加减然其数并同
又论曰又法是用大弦之馀度而小弧则用元度何以
言之测星条用星之赤纬即去极之馀度也其用赤道
高则极去天顶之元度也然而赤纬在南者则是于星

去极度截去象限之数也何以亦为馀度曰过弧既与
其减半周之馀度同一正弦则此减半周之馀度亦即
正弧也然则此截去象限而馀者非即正弧之馀度乎
大弧过象限若干度与不及象限若干度其正弦并同
故加减可通为一法(此又测星条/用法之意)
　约法
两弧俱用本度或俱用馀度相加减以取总存二弧是
两正或两馀也则用总存两馀弦加减法取初得数惟

视总存二弧俱在一象限则相减或分跨两象限则相
加皆以初数减存弧之馀弦为次得数
若两弧内有一过弧则总弧之正弦小于存弧而馀弦
反大当以初数减总弧之馀弦为次数
若一弧用本度一弧用馀度相加减以取总存之弧是
一正一馀也则用总存两正弦加减法其加减皆视两
正弦原法或加或减取甲数即以甲数减总弧正弦馀
为乙数

若过弧节去象限而用其剩度与馀度同法(凡馀度是/以本度减)
(象限而得名今反以象/限减过弧故别之曰剩)
若两俱剩弧与两馀弧同法
若只一剩弧与一正一馀同法
论曰过弧用剩度为馀弧其法甚简快凡过弧皆当用
之可不用本度矣(算普天星经/纬岁差宜此)
又按凡存弧之馀弦内兼有两正弦相乘两馀弦相乘
两数即初次两得数也凡总弧之正弦内兼有此正弦

乘彼馀弦彼正弦乘此馀弦之数即甲乙两数也故易
其名以别之也
　　　　　　　　　　　大弧寅丙正弦丙辛馀弦
　　　　　　　　　　　辛乙　小弧辰丙(即丑/丙)正
　　　　　　　　　　　弦辰戊(即丑/戊)馀弦戊乙
　　　　　　　　　　　二弧相加为总弧辰寅正
　　　　　　　　　　　弦辰午馀弦午乙　相减
　　　　　　　　　　　为存弧丑寅正弦丑丁馀

弦丁乙　存总两馀弦(午乙/丁乙)相并成午丁半之于亥成
亥丁即初得数大小二弧两正弦(丙辛/辰戊)相乘半径除之
之数也　以初得数亥丁转减存弧之馀弦丁乙馀亥
乙即次得数大小二弧两馀弦(辛乙/戊乙)相乘半径除之之
数也
论曰以句股形相似之故丙乙半径与丙辛正弦若戊
丑正弦与初数丑壬(即亥/丁)也皆弦比股也
又丙乙半径与辛乙馀弦若戊乙馀弦与次数亥乙也

皆弦比句也
　以上用总存两馀弦加减因总弧跨过象限故相加
又存弧正弦丑丁与总弧正弦辰午相加成辰乾(以午/乾等)
(丁艮亦即/丑丁也)折半得巳午(即戊亥为辰子折半为巳子子/乾折半 午子合之成巳午)
为甲数大弧正弦丙辛乘小弧馀弦戊乙半径丙乙除
之也
以甲数已午转减总弧正弦辰午馀辰巳为乙数大弧
馀弦辛乙乘小弧正弦辰戊半径丙乙除之也

　以上用总存两正弦加减
若用酉丙过弧为大弧丙丑为小弧则其总弧酉丑存
弧酉辰但互易存总之名其它并同以过弧酉丙所用
之正弦丙辛馀弦辛乙即丙寅弧所同用故也
　又法
于酉丙过弧内截去象限酉甲只用其剩弧甲丙则甲
丙反为小弧丙丑反为大弧(说见/前条)
图式三

　　　　　　　　　　　总弧在象限内两馀弦相
　　　　　　　　　　　减　乙丙小弧其正弦丙
　　　　　　　　　　　辰馀弦辰已　丁乙稍大
　　　　　　　　　　　弧其正弦丁甲馀弦甲巳
　　　　　　　　　　　　戊壬初得数(两正弦相/乘半径除)
　　　　　　　　　　　(也即庚甲/或戊卯)　午戊次得数
(两馀弦相乘半/径除也即巳癸)　今改用加减以省乘除　以二弧相
加成总弧丁丙其正弦子丁馀弦子巳　又二弧相较

成存弧壬丙其正弦壬辛(即午/巳)馀弦辛巳(即壬/午)
于存弧之馀弦辛巳内减去总弦之馀弦巳子存子
辛半之于癸得子癸及辛癸皆初得数也亦即戊
壬也(或于壬午丙减午卯半之于戊得/卯戊及戊壬亦同亦即庚甲也)　又于存弧馀
弦辛已内仍减去初得数辛癸存癸已即次得数也(壬/午)
(内减戊壬存/午戊亦同)
此因总弧在象限内故以总弧馀弦减存弧馀弦求初
数是初数小于次数

解曰以句股形相似之故己丙半径(弦/)与丙辰正弦(句/)
若丁甲正弦(弦/)与甲庚初数也又壬甲等甲丁故庚甲
亦等戊壬而戊卯即庚甲故可以半而得之也
又已丙半径(弦/)与辰已馀弦(股/)若甲已馀弦(弦/)与巳癸
次数(股/)也
　　右系总存两馀弦用法
又丁庚为甲数(丁甲大弧正弦乘辰巳小弧馀弦/半径除之也亦即庚卯即甲戊)　子
庚为乙数(辰丙小弧正弦乘甲巳大弧/馀弦半径除之也即癸甲)

今改用加减法以存弧正弦子卯(即辛/壬)加总弧正弦子
丁成卯丁而半之于庚得丁庚为甲数(亦即庚卯/即戊甲)　仍
于总弧正弦丁子内减去甲数丁庚存子庚(即癸/甲)为乙
数
此亦总弧在象限内亦总存两正弦相加求甲数是甲
数大于乙数
解曰以句股形相似之故已丙半径与辰巳小弧馀弦
若丁甲大弧正弦与甲数丁庚皆弦与股之比例也又

丁甲等壬甲故戊甲亦等丁庚而戊甲即庚卯故可以
半而得之也
又巳丙半径与丙辰小弧正弦若甲已大弧馀弦与乙
数甲癸(即子/庚)皆弦与句之比例也
　　右系总存两正弦用法
一系　凡两弧内无过弧则存弧之馀弦大故其中有
初次两数而总弧则正弦大故其中有甲乙两数虽两
数相加能令总弧跨过象限此理不变馀弦仍系存弧

大正弦仍系总弧大
　　　　　　　　　　　总弧过象限两馀弦相加
　　　　　　　　　　　　乙丙小弧正弦辰丙馀
　　　　　　　　　　　弦辰已　乙丁过弧正弦
　　　　　　　　　　　丁甲馀弦甲已　初得数
　　　　　　　　　　　戊丁(半径除两正弦矩即/子癸亦即癸辛亦即)
　　　　　　　　　　　(庚/甲)　次得数癸巳(半径除两/馀弦矩)
今用加减代乘除以二弧相加成总弧丁丙正弦丁子馀弦子

已　又二弧相较成存弧壬丙正弦壬辛馀弦辛巳　乃以
总存两馀弦相加成子辛(子巳加/辛巳)而半之于癸得子癸
及癸辛(亦即丁戊/即庚甲)初得数也　又以初数子癸转减总
弧之馀弦子已馀癸巳次得数也(此因总弧跨过象限/故两馀弦相加求初)
(数是初数/大于次数)
解曰以句股形相似故半径已丙与正弦丙辰若正弦
丁甲与初数丁戊皆弦与股之比例也　又半径丙已
与馀弦辰已若馀弦甲巳与次数癸已皆弦与句之比

例也　又壬甲等丁甲则庚甲亦等戊丁而辛癸亦等
子癸故半而得
　　右用总存两馀弦加减
又甲数丑甲小弧馀弦辰已乘过弧正弦丁甲半径除
之也　乙数癸甲小弧正弦辰丙乘过弧馀弦甲巳半
径除之也
今用加减总存两正弦相加成丑戊(癸戊与正弦丁子/等丑癸与正弦辛)
(壬等故以相/加即成丑戊)半之于甲得丑甲(亦即/甲戊)为甲数　仍以甲

数丑甲转减存弧正弦丑癸馀癸甲为乙数(或以总弧/正弦癸戊)
(减甲数甲戊亦/即得乙数癸甲)
此亦总弧跨象限外仍系总存两正弦相加求甲数(甲/数)
(仍大于/乙数)
解曰半径丙已与小弧馀弦辰已若大弧正弦丁甲与
甲数丑甲皆以弦比句也　又半径丙已与小弧正弦
辰丙若大弧馀弦甲巳与乙数癸甲皆以弦比股也
又壬甲等丁甲则甲戊亦等壬庚而壬庚即丑甲故半

之而得
　　右用总存两正弦加减
一系　凡两弧内有过弧者总弧之馀弦反大故初次
两数皆在总弧馀弦内而总弧之正弦反小故甲乙两
数皆在存弧正弦内也(此必原有一过弧始用此例/非谓总弧过象限也观图自)
(明/)
甲数乙数用法(黄赤道经/纬相求)
黄赤二道经纬相求用斜弧三角形以星距黄极为一

边星距北极为一边并两极之距为三边此本法也今
不用距极度而用其馀度(距极度本为纬度之馀今用/三角形以距极度为边故纬)
(度皆为/馀度)径取黄纬为一边(此先有黄纬而求赤纬也若/先有赤道而求黄道即用赤)
(纬为/边)二至之黄赤大距为一边(黄赤大距原与/两极之距等)而取二
边之总存两正弦为用以加减省乘除故在本法为初
数次数者别之为甲乙数焉甲数乙数不止为求黄赤
而举此为式其理特著故命之曰甲数乙数用法实黄
赤相求简法矣

第一图　黄纬小于黄赤大距甲数大乙数小
　　　　　　　　　　　　　甲丙亢危大圈为过
　　　　　　　　　　　　　两极之经圈(即二至/经圈)
　　　　　　　　　　　　　　心乙亢轴即黄道
　　　　　　　　　　　　　二分经线　丙乙室
　　　　　　　　　　　　　为黄道　心为黄极
　　　　　　　　　　　　　　寅乙危为赤道
　　　　　　　　　　　　　甲为北极　辰胃娄

为黄道北纬(即丙辰/之度)　丑尾奎为黄道南纬(即丙丑/之度)
星在箕　箕心为星距黄极纬度　箕女为星距黄道
纬(即丙辰/之度)　甲心箕锐角为黄道经度其馀弦女乙
甲心为两极相距(二十三度三/十一分半)　寅丙为夏至距纬(同/甲)
(心之/度)
今求甲箕为星距北极纬度　其馀弧箕翌为星距赤
道纬(即氐危/之度)
用甲心箕三角形有心角(黄道/经)有心箕弧(星距黄/极纬)有甲

心弧(为两极/之距)而求对角弧甲箕(星赤道/北极纬)
依加减代乘除改用寅丙夏至距(即心/甲)辰丙黄道纬(即/心)
(箕之馀箕女/又即丙丑度)　寅丙辰丙相加为总弧辰寅其正弦辰
午　又相减为较弧丑寅其正弦丑丁(亦即丁井亦即/午昴亦即子午)
　以丑丁正弦(即午/昴)加辰午正弦成辰昴折半得巳午
甲数(巳子为辰子之半子午为/子昴之半合之成巳午)甲数(巳/午)转减正弦(辰/午)馀
(巳/辰)为乙数
或以丑丁正弦(即子/午)减辰午正弦馀辰子折半得辰巳

为乙数以乙数转减总弧正弦辰午得已午为甲数亦
同
法为黄道半径(丙/乙)与心角之馀弦(女/乙)若甲数(巳/午)与四率
(斗/未)也
一　黄道半径　丙乙
二　心角馀弦　女乙
三　甲数　　　巳午(即戊酉/)
四　(减过乙数之/赤纬正弦)斗未(即虚柳/)

论曰丙乙半径与女乙馀弦原若辰胃与箕胃(辰胃者/箕心黄)
(纬之正弦即距等圈半径因箕心角线过箕至女分辰/胃正弦于箕亦分丙乙半径于女故丙乙与女乙若辰)
(胃与箕胃皆/全与分比例)而辰胃同戊乙箕胃同斗乙皆弦也(戊酉/乙大)
(句股以戊乙为弦戊酉为句斗未/乙小句股以斗乙为弦斗未为句)戊酉(同巳/午)斗未皆句
也则其比例等故丙乙与女乙能若戊乙与斗乙亦即
若已午与斗未
以乙数(辰巳即/箕虚)加四率(斗未即/虚柳)成箕柳即所求赤道纬
度正弦检表得赤纬在北(即箕翌亦/即氐危)

若先有赤纬黄纬而求黄经则互用其率以三四为一二
法为甲数(戊/酉)与赤纬正弦内减乙数之斗未若黄道半
径(丙/乙)与心角黄经度之馀弦(女/乙)也
一　甲数　　　戊酉(即午巳/)
二　(乙数箕虚减/赤纬正弦)半未(即虚柳/)
三　黄道半径　丙乙
四　心角馀弦　女乙　　　检馀弦表得心角之度
假如前图星在尾为黄道南纬则所用之甲数乙数并

同所得之四率亦无不同而赤纬迥异
　　　　　　　何以言之曰心不在箕而在尾则心
　　　　　　　甲弧(两极/距度)心角(黄道/经度)皆不变唯尾心
　　　　　　　弧大于箕心故甲心箕三角形变为
　　　　　　　甲心尾三角而所求对角之甲尾弧
亦大于甲箕故赤纬异也
然则所用之甲数乙数又同何也曰尾心为过弧则用
在女尾(尾心内减去/女心象限)女尾为黄道南纬与箕女北纬同

度亦即同正弦则相加为总弧相减为较弧亦同而甲
乙数不得不同矣而三率算法亦必同矣但所得四率
在北纬则用加在南纬则用减纬度迥异理势自然也
一　黄道半径　丙乙
二　心角馀弦　女乙　以乙数(辰/巳)减四率斗未减尽
三　甲数　　　已午　无馀为星在赤道无纬度
四　(加过乙数之/赤纬正弦)斗未
论曰此因乙数与四率同大故减尽也减尽则甲尾正

九十度而星在赤道无纬也
亦有四率小于乙数者则当以四率转减乙数用其馀
为纬度正弦在赤道南
又论曰星在箕为黄道北在尾为黄道南然所得赤纬
皆在北者以箕尾经度皆在夏至前后两象限中也故
所得四率在赤道北而加乙数则北纬大减乙数则北
纬小皆北纬也惟四率转减乙数则变为南纬(此亦惟/黄南纬)
(星又近二分则虽在夏至/前后象限中而有南纬)

亦有无四率者心角必九十度其星必在黄道二分经
度无角度馀弦为次率故亦无第四率可求但以乙数
为用视星在南北即以乙数命为南北纬度之正弦
假如前图中有星在胃是在北也即以乙数胃张(即辰/巳)
命为赤道北纬之正弦若星在房是在南也即以乙数
乙癸(亦即/辰巳)命为赤道南纬之正弦
又有所得四率北反用减南反用加者心角必为钝角
其星必在冬至前后两象限其角度馀弦必为大矢内

减仪象限之馀则所得第四率在赤道之外(外即/南也)而加减后
所得皆赤道之南纬也故加减皆反(求北纬以加而南纬必/减者星在北也求北纬)
(以减而南纬必加者星在南也盖所得第四率原系在北/在南两星纬度之中数 星在北在南皆主黄道言)
假如前图中有星在兑为黄道北而甲心兑三角形心
　　　　　　　为钝角其馀弦艮乙为艮丙大矢内
　　　　　　　减象限之馀故所得第四率未斗在
　　　　　　　赤道之外为赤道南纬(此南纬是黄/道轴距赤道)
　　　　　　　(轴/)而兑星在黄道之北则其南纬正

弦小于未斗故必以乙数牛斗(即辰己亦/即奎巳)减之其馀牛
未(同兑/庚)即兑星赤道南纬之正弦
若星在巽亦同用心钝角为甲心巽三角形艮乙馀弦
四率未斗在赤道外并同但巽星又在黄道之南则其
南纬大于未斗四率故必以乙数虚巽(即辰巳亦/即牛斗)加之
成巽柳即巽星南纬之正弦
亦有四率小于乙数者则以四率转减乙数用其馀为
纬度在赤道北

又论曰星在兑为黄道北在巽为黄道南然所得赤纬
皆在南者以兑巽经度皆在冬至前后两象限中也故
所得四率在赤道南而以乙数减则南纬小以乙数加
则南纬大皆南纬也惟四率转减乙数者则变为北纬
(此亦必黄北纬星又近二分故虽在冬至前后象限中/而仍有北纬 凡以乙数及四率相加减成纬度者并)
(主纬度之正弦/而言后仿此)
总论曰凡乙数皆南北两赤纬度相减折半之数甲数
则两纬度之中数也(如箕女与女尾两黄纬同度而不能/以女庚为两赤纬弦之中数者弧)

(度有斜/正故也)而所得四率即所求星南北两纬正弦中数故
与甲数为比例
凡所得四率星在夏至前后两象限四率在赤道北星
在冬至前后两象限四率在赤道南
凡总弧正弦内兼有甲数乙数(不论黄南黄/北并同一法)但视黄纬
之大小若黄纬小于黄赤大距则以总存两正弦相并
而半之为甲数若黄纬大于黄赤大距则以总存两正
弦相减而半之为甲数并以甲数转减总弧正弦为乙数

　又法
黄纬小于黄赤大距以总存两正弦相减而半之则先
得乙数黄纬大于黄赤大距以总存两正弦相并而半
之亦先得乙数并以乙数转减总弧正弦为甲数
　求赤纬约法
凡星有黄纬之南北有黄经之南北(黄经南北即南六/宫北六宫 星在)
(夏至前后先得之黄经为锐角是经在北也也星/在冬至前后先得之黄经为钝角是经在南)
若星之黄纬南北与黄经同者其赤纬南北亦与黄纬

同法用四率乙数相加为纬度正弦加惟一法
星在黄道北又系夏至前后两象限先得黄经锐角是
经纬同在北则赤纬亦在北　星在黄道南又系冬至
前后两象限先得黄经钝角是经纬同在南则赤纬亦
在南
若星之黄纬南北与黄经异者赤纬有同有异皆四率
乙数相减为赤纬正弦减有二法
但视乙数大受四率转减者赤纬之南北与黄纬同

如星在黄道北而在冬至前后两象限黄经角钝是纬
北而经南也而乙数大受四率转减则赤纬仍在北
星在黄道南而在夏至前后两象限黄经角锐是纬南
而经北也而乙数大受四率转减则赤纬仍在南
若乙数小去减四率者赤纬之南北与黄纬异　如星
在黄道北而在冬至前后黄经角钝为纬北经南而乙
数又小去减四率则赤纬变而南　星在黄道南而在
夏至前后黄经角锐为纬南经北而乙数又小去减四

率则赤纬变而北
若星在黄道轴线是正当二分经度也其角必九十度
无馀弦亦无四率但以乙数为用　星在北即以乙数
命为赤道北纬之正弦　星在南即以乙数命为南纬
之正弦
若遇乙数四率相减至尽者其星正当赤道无纬度
第二图　黄纬大于黄赤大距甲数小乙数反大
(有黄道经/纬求赤纬)

　　　　　　　　　　　　甲北极　心黄极
　　　　　　　　　　　　甲心为两极之距
　　　　　　　　　　　　丙室黄道　寅危赤
　　　　　　　　　　　　道　寅丙为夏至大
　　　　　　　　　　　　距(同甲/心)　乙为二分
　　　　　　　　　　　　　以上并与前图无
　　　　　　　　　　　　二　所异者黄纬丙
　　　　　　　　　　　　丑(即丙/辰)大于寅丙故

乙数亦大于甲数　寅丙之正弦丙辛馀弦辛乙　丙
丑之正弦辰戊(或戊/丑)馀弦戊乙
甲数戊酉乃寅丙正弦乘丙丑馀弦半径除之也法为
丙乙半径与正弦丙辛若戊乙馀弦与甲数戊酉
乙数辰巳(或巳子/或戊壬)乃辛乙馀弦乘辰戊正弦半径除之
也法为丙乙半径与馀弦辛乙若辰戊正弦与乙数辰
巳
假如星在箕为在黄道北箕心为距黄极之度其馀箕

女黄道北纬也有箕心甲心(两极/距)二边有心锐角(黄/经)用
甲心箕三锐角弧形求赤纬甲箕为对角之弧
依加减代乘除改用寅丙辰丙二弧相加为总弧辰寅
其正弦辰午　又相减成较弧寅丑其正弦丑丁(即午/子)
以丑丁正弦加辰午正弦成辰子折半于巳为乙数(辰/巳)
(及巳/子)　乙数辰已转减总弧正弦辰午得已午为甲数
(即戊/酉)
本法以丑丁减辰午折半得已午为甲数　甲数巳午

转减辰午得辰巳为乙数
法为黄道半径丙乙与馀弦女乙若甲数戊酉与四率
斗未也(理见前/式论见)
一　黄道半径　丙乙　　　　既得斗未以乙数箕
二　心角馀弦　女乙　　　　虚加之成箕柳为赤
三　甲数　　　戊酉　　　　纬正弦查表得箕翌
四　(以乙数减/赤纬正弦)　斗未(即虚柳/)　赤纬度在赤道北
　　右系黄纬在北而心为锐角黄经亦在北故法用

　　加而赤纬仍在北
若先有黄赤纬度而求黄经则互用其率亦同前式
一　甲数　　　戊酉
二　(乙数减赤/纬正弦)　斗未
三　黄道半径　丙乙
四　心角馀弦　女乙　　查馀弦表得心角之度
假如前图星在尾为在黄道南则所用之甲数乙数及
所得之四率并同惟赤纬异

　　　　　　　论曰星不在箕而在尾则甲心箕三
　　　　　　　锐角形变为甲心尾三角形而心尾
　　　　　　　弧大于心箕故所求对角之甲尾弧
　　　　　　　亦大于甲箕而赤纬大异
心尾大于心箕而甲数乙数悉同者因用馀弧则女尾
南纬与女箕北纬同度故也
一　黄道半径　丙乙　　既得斗未以转减乙数斗
二　心角馀弦　女乙　　牛得馀未牛(即尾/申)为赤纬

三　甲数　　　戊酉　　正弦查表得尾卯纬度在
四　(乙数内减/赤纬正弦)　斗未　　赤道南
论曰此系乙数跨赤道故乙数内兼有赤纬及四率之
数而减赤纬得四率以四率转减亦得赤纬
　　右系黄纬在南而心为锐角是纬南而经北法当
　　用减而乙数大受四率反减故赤纬仍在南
假如前图星在巽则所用之甲数乙数亦同惟四率异
(因巽艮黄纬即室奎之度与丙丑同故甲数酉/戊与戊酉同大而乙数斗牛兑乾并同辰巳)

　　　　　　　又巽星在黄道南而心为钝角星在
　　　　　　　秋分后春分前黄经亦在南则赤纬
　　　　　　　亦在南法当用加
　
一　黄道半径　　　丙乙(即室/乙)
二　(钝角馀弦即大/矢减半径之馀)　艮乙(艮丙为心钝角大矢/内减丙乙得艮乙)
三　甲数　　　　　酉戊
四　(赤纬正弦/内减乙数)　　　未斗

　既得未斗以乙数斗牛(即辰/巳)加之成未牛为赤纬正
　弦(即柳/巽)查表得震巽纬度在赤道南
　　　　　　　假如前图星在兑为黄道北所用之
　　　　　　　甲数乙数四率并同惟赤纬异(兑艮/北纬)
　　　　　　　(与巽艮南纬并同丙丑之度故甲数/乙数同甲心巽与甲心兑两钝角形)
　　　　　　　(同用心钝角故四率亦同惟心兑弧/小于心巽故所求对角弧甲兑亦小)
(于甲巽而/赤纬异)
一　黄道半径　丙乙　　　既得未斗以转减乙数

二　钝角馀弦　艮乙　　　兑乾得馀兑离为赤纬
三　甲数　　　酉戊　　　正弦查表得兑坎纬度
四　(乙数内减/赤纬正弦)　未斗(即离/乾)　在赤道北
　　右系黄纬在北而心为钝角是秋分后春分前为
　　纬北而经南法当用减而乙数大受四率转减故
　　赤纬仍在北
第三图　赤纬大于二极距甲数小乙数大
心甲箕三锐角形　星在箕　有黄极纬心箕有北极

　　　　　　　　　　　　赤纬甲箕有黄赤极
　　　　　　　　　　　　距心甲(即室/危)求甲角
　　　　　　　　　　　　为赤经　辰危赤纬
　　　　　　　　　　　　大于危室大距(即心/甲)
　　　　　　　　　　　　与前图略同故乙数
　　　　　　　　　　　　亦大于甲数　所异
　　　　　　　　　　　　者此求赤经故诸数
　　　　　　　　　　　　皆生于赤纬谓总弧

较弧皆用赤纬也而加减正弦反在黄道矣
室危两极距之正弦室辛馀弦辛乙
辰危赤纬(即箕女为甲箕/距比极之馀)之正弦辰酉馀弦酉乙
甲数戊酉法为半径室乙与辛室正弦若酉乙馀弦与
甲数戊酉也
乙数辰已法为半径室乙与辛乙馀弦若辰酉正弦与
乙数辰已(或娄酉正弦/与乙数酉壬)也
依加减代乘除改用辰危室危相加为总弧辰室其正

弦辰午又相减为较弧娄室其正弦娄丁(即午/昴)
又以较弧正弦午昴减总弧正弦辰午馀数半之得已
午为甲数(即戊酉也法于辰午内截减辰坤如/午昴其馀坤午半之于已即得已午)
甲数已午转减辰午正弦馀辰巳为乙数(或以甲数已/午加较弦午)
(昴成巳昴/乙数亦同)箕虚及未牛并同(皆乙/数也)
又以箕翼黄纬之正弦箕柳与乙数箕虚相减得虚柳
(即未/斗)以为次率(因箕柳黄纬大乙数箕虚小故/于黄纬正弦内减乙数得未斗)
法为甲数戊酉与未斗若酉乙与未乙亦即若危乙半

径与甲角之馀弦女乙也
一　甲数　　　　戊酉
二　(黄纬正弦内/减去乙数)　未斗
三　赤道半径　　危乙
四　甲角馀弦　　女乙
论曰赤道经度春分至秋分(北六/宫)为钝角秋分至春分
(南六/宫)为锐角其角与黄经正相反此条星在箕是赤纬
在北也而黄纬亦北两纬同向宜相减成次率而乙数

小于黄纬必以乙数减黄纬而得未斗乙数减黄纬而
纬在北赤经必南六宫为锐角查表得度为甲角度即
赤经也在秋分后以所得减三象限在冬至后以所得
加三象限皆命为其星距春分赤道经度
　　　　　　　若星在尾用甲心尾三角形则以黄
　　　　　　　纬正弦反减乙数为次率(未牛乙数/大于黄纬)
　　　　　　　(斗牛故以斗牛反/减未牛得未斗)馀率并同
　

论曰此条星在尾是赤纬在南也而黄纬亦并在南两
纬同向宜相减而成次率而乙数大于黄纬宜于乙数
内转减去黄纬成未斗也乙数大受黄纬转减而纬在
南赤经必亦在南六宫为锐角
一　甲数　　　　戊酉
二　(乙数内/减黄纬)　　　未斗
三　赤道半径　　危乙
四　甲角馀弦　　女乙

　　　　　　　假如前图星在兑用心甲兑三角形
　　　　　　　有心兑边(星距/黄极)有甲兑边(星距/北极)有心
　　　　　　　甲边(两极/距)求甲钝角为赤道经度
　　　　　　　因赤纬同故甲数乙数同
星在兑赤纬在北黄纬亦在北纬同向北宜相减而成
次率而乙数大以黄纬减之得斗未(乙数兑乾内减去/黄纬兑离馀离乾)
(即斗/未)
乙数大受黄纬转减而赤纬在北必赤经亦在北六宫

为钝角
一　甲数　　　酉戊
二　(乙数内减/去黄纬)　斗未
三　赤道半径　寅乙
四　甲角馀弦　艮乙
以艮乙查馀弦表得度用减半周为甲钝角即赤经也
在春分后以象限减钝角度在夏至后以钝角度与三
象限相减皆命为星距春分赤道经度

假如星在巽用心甲巽三角形有心巽边(距黄/极)有甲巽
边(距北/极)有甲心边(两极/距)求甲钝角为赤经
甲数乙数并同
惟心在巽是赤纬南也黄纬亦南也两纬并南宜相减
　　　　　　　成次率　乙数小黄纬大故以乙数
　　　　　　　减黄纬得斗未(斗牛黄纬即柳巽也/内减乙数未牛馀即)
　　　　　　　(斗未/矣)　乙数小去减黄纬而赤纬在
　　　　　　　南赤经必在北六宫为钝角

一　甲数　　　酉戊
二　(黄纬内/减乙数)　　斗未
三　赤道半径　寅乙
四　甲角馀弦　艮乙
以艮乙馀弦查度春分后用馀弦度减象限夏至后加
象限皆命为距春分赤经

第四图　赤纬小于二极距甲数大乙数小
　　　　　　　　　　　　　假如星在箕用心甲
　　　　　　　　　　　　　箕钝角形有心箕过
　　　　　　　　　　　　　(距黄极对角边也/其馀箕翼即黄纬)有
　　　　　　　　　　　　　甲箕边(距北极即/辰危之馀)有
　　　　　　　　　　　　　心甲边(两极距寅丙/及危室并同)
　　　　　　　　　　　　　求甲钝角赤道经
　　　　　　　　　　　　　两极距危室之正弦

危辛馀弦辛乙　赤纬危辰之正弦辰戊馀弦戊乙
甲数戊酉(为半径危乙与二极距之正弦危辛/若赤纬馀弦戊乙与甲数戊酉也)
乙数辰巳(或戊壬赤为半径危乙与二极距之馀弦/辛乙若 纬正弦辰戊与乙数辰巳也)
依加减代乘除以辰危危室两弧相加为总弧辰室其
正弦辰午
又相减为较弧娄室其正弦娄丁(或丁井/即午昴)
以总弧正弦辰午加较弧正弦午昴成辰昴而半之为
甲数巳午(巳坤为辰坤之半坤午为/坤昴之半合之为巳午)即戊酉

又以甲数己午转减正弦辰午得辰巳为乙数(亦即/戊壬)
星在箕为赤纬北而黄纬亦在北两纬同向宜相减而
成次率而乙数大当以黄纬转减之成斗未(牛未乙数/内减牛斗)
(黄纬馀/斗未)
乙数大受黄纬反减而纬在北赤经在北六宫为钝角
一　甲数　　　酉戊　　以艮乙馀弦查度春分后
二　(乙数内减/黄纬正弦)　斗未　　用减象限夏至后加象限
三　赤道半径　寅乙　　命为距春分经度

四　甲角馀弦　艮乙
若星在尾用心甲尾三角形则为南纬而黄纬亦南两
　　　　　　　纬同向宜相减成次率而乙数小于
　　　　　　　黄纬故以乙数减黄纬成斗未(虚尾/黄纬)
　　　　　　　(内减乙数氐尾/馀虚氐即斗未)　其甲数乙数等算
　　　　　　　并同　乙数小去减黄纬而纬在南
赤经必在北六宫为钝角
一　甲数　　　酉戊

二　(黄纬正弦/内减乙数)　斗未
三　赤道半径　寅乙
四　甲角馀弦　艮乙
若星在兑用心甲兑三角形兑为北纬而黄纬亦北两
　　　　　　　纬同向宜相减成次率而乙数小于
　　　　　　　黄纬故以乙数减黄纬成未斗(兑乾/黄纬)
　　　　　　　(内减乙数兑离馀/馀离乾即未斗)甲数乙数并同
　　　　　　　乙数小去减黄纬而纬在北赤经反

在南六宫为锐角
一　甲数　　　戊酉　　以女乙馀弦度秋分后减
二　(黄纬正弦/内减乙数)　未斗　　三象限冬至后加三象限
三　赤道半径　危乙　　命为距春分赤经(下/同)
四　甲角馀弦　女乙
若星在巽用心甲巽三角形赤纬南黄纬亦南两纬同
向宜相减成次率而乙数大以黄纬转减之成未斗(未/牛)
(乙数内减黄纬斗牛/即柳巽其馀即未斗)

　　　　　　　乙数大受黄纬转减而纬在南赤经
　　　　　　　即在南六宫为锐角
　
　
一　甲数　　　戊酉
二　(乙数内减/黄纬正弦)　未斗
三　赤道半径　危乙
四　甲角馀弦　女乙

第五图　赤纬小于二极距甲数大乙数小
　　　　　　　　　　　　　黄纬乙数相加成次
　　　　　　　　　　　　　率(黄纬在南角锐钝/黄纬在北角)
　　　　　　　　　　　　　星在巽用心甲巽三
　　　　　　　　　　　　　角形有心甲边(二极/距)
　　　　　　　　　　　　　有巽甲边(距北极度/为过弧其)
　　　　　　　　　　　　　(赤纬女/巽在南)有巽心边(距/黄)
　　　　　　　　　　　　　(极度其馀巽/为黄纬在北)　求对

巽心弧之甲角　心甲两极距即危室(或寅/丙)其正弦危
辛馀弦辛乙　女巽赤纬即危娄(或辰危/即丑寅)其正弦辰戊
馀弦戊乙
甲数戊酉(两极距正弦危辛乘赤纬馀弦戊乙半径危乙/除之之数也法为危乙与危辛若戊乙与戊酉)
乙数辰巳(两极距馀弦辛乙乘赤纬正弦辰戊半径危乙/除之之数也法为危乙与辛乙若辰戊与辰巳)
依加减代乘除改用辰危危室相加为总弧辰室其正
弦辰午又相减为较弧娄室其正弦娄丁(即午昴/及丁井)
以总较两正弦相加成辰昴折半得巳午为甲数即戊

酉(巳坤为辰坤之半坤午为/坤昴之半合之成己午)
甲数巳午转减总弧正弦辰午得辰巳为乙数即戊壬
黄纬巽氐在北赤纬女巽在南两纬异向宜以乙数与
黄纬正弦相加成次率(以同黄纬正弦巽柳之牛斗加/同乙数戊壬之未牛成未斗)
乙数黄纬正弦相加而黄纬在北其赤经必在南六宫
为锐角法为甲数戊酉与未斗若戊乙与未乙亦即若
危乙与女乙
一　甲数　　　　戊酉　　以女乙查馀弦表得度

二　(乙数加黄/纬正弦)　未斗　　秋分后减冬至后加皆与
三　赤道半径　危乙　　三象限相加减命为其星
四　甲角馀弦　女乙　　距春分赤道经度
又如星在箕用心甲箕三角形有心甲边(二极/距)有箕甲
边(距北极度其馀/箕艮赤纬在北)有箕心边(距黄极度为过弧/其黄纬翼箕在南)求对箕
心弧之甲角
甲数乙数同上
惟黄纬翼箕在南赤纬箕艮在北两纬异向宜以乙数

　　　　　　　与黄纬正弦相加成次率(以黄纬正/弦箕张相)
　　　　　　　(同之牛斗加乙数辰巳/相同之牛未成斗未)
　　　　　　　乙数与黄纬弦相加而黄纬在南其
　　　　　　　赤经必在北六宫为钝角法为甲数
酉戊与斗未若戊乙与未乙亦即若寅乙与艮乙
一　甲数　　　戊酉　　以艮乙查馀弦表得度春
二　(乙数加黄/纬正弦)　斗未　　分后减夏至后加皆加减
三　赤道半径　寅乙　　象限命为其星距春分赤

四　甲角馀弦　艮乙　　赤道经度
　求赤道经度约法
用三边求角(两极距为一边距北极为一边此二边为/角两旁之弧距黄极为一边此为对角之)
(弧/)以求到钝角赤道经度在北六宫锐角赤道经度在
南六宫
法为甲数与次率若赤道半径与所求角之馀弦其枢
纽在次率也
凡黄纬南北与赤纬同向者并以乙数与黄纬相减而

成次率减有二法
　
　
　
　
凡黄纬南北与赤纬异向者并以乙数与黄纬相加而
成次率
加惟一法

　
　
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　历算全书卷十