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历算全书 小引 第 1a 页 WYG0794-0193a.png
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环中黍尺者所以明平仪弧角正形乃天外观天之法
而浑天之画影也天圜而动无晷刻停而六合以内经
纬历然亘万古而不变此即常静之体也人惟囿于其
中不惟常动者不能得其端倪即常静之体所为经纬
历然者亦无能拟诸形容惟置身天外以平观大圜之
立体则周天三百六十经纬之度擘划分明皆能变浑
体为平面而写诸片楮按度考之若以玻璃水晶通明
历算全书 小引 第 1b 页 WYG0794-0193b.png
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仪取影于烛而惟肖也故可以算法證仪亦可以量法
代算可以独喻可以众晓平仪弧角之用斯其妙矣庚
辰中秋鼎偶沾寒疾诸务屏绝展转床褥间斗室虚明
心閒无寄秋光入户秋夜弥长平时测算之绪来我胸
臆积思所通引伸触类乃知历书中斜弧三角矢线加
减之图特以推明算理故为斜望之形其弧线与平面
相离聊足以彷佛意象启人疑悟而不可以实度比量
历算全书 小引 第 2a 页 WYG0794-0193c.png
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即可以量为的确而简易也病间录枕上之所得辄成
小帙然思之所引无方而笔之所追未能什一庶存大
致俟同志之讲求耳(此第一卷原序/也馀详目录)
康熙三十有九年重九前七日勿庵力疾书时年六十
有八
历算全书 小引 第 3a 页 WYG0794-0194a.png
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历算全书卷九
宣城梅文鼎撰
环中黍尺卷一之二
总论
有垂弧及次形而斜弧三角可算乃若三边求角则未
有以处也环中黍尺之法则可以三边求角(如有黄赤/两纬度可)
(求其/经)可以径求对角之边(如有黄道经纬可/径求赤道之纬)立术超妙
历算全书 小引 第 3b 页 WYG0794-0194b.png
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辰非一时之笔故与举要各自为首尾
凡测算必有图而图弧角者必以正形厥理斯显于是
以测浑圆则衡缩欹邪环应无穷殆不翅累黍定尺也
本书命名盖取诸此
用八线至弧度而奇然理本平实以八线量弧度至用
矢而简然义益多通要亦惟平仪正形与之相应一卷
之先数后数所为直探其根以发其藏也
历算全书 小引 第 4a 页 WYG0794-0194c.png
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度矣二卷之平仪论所以博其趣而三极通几其用法
也(黍尺名书/于兹益著)
矢度之用已详首卷而馀弦之用亦可参观故又有三
卷之初数次数也 初数次数本用乘除亦可以加减
代之故有加减法以疏厥义(自三卷以后非非一时所/撰今以类相附而仍各为)
(之/卷)
四卷之甲乙数即初数次数之变也而彼以乘除此以
历算全书 小引 第 4b 页 WYG0794-0194d.png
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五卷之法亦加减也而特为省径故称捷焉(用初数不/用次数用)
(矢度不用馀弦以视/甲乙数又省其半)然不可不知其变故又有补遗之
术也
恒星历指之法别成规式而以加减法相提而论固异
名而同实是以命之又法也
(以上环中黍尺之法约之有六用乘除者二其一先/数后数其一初数次数也用加减者四初数次数也)
(甲乙数也捷法也又法也本书中具此六/术然而加减捷法其尤为善之善者欤)
历算全书 小引 第 5a 页 WYG0794-0195a.png
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是为加减通法盖术之约者其理必精数之确者为用
斯博并附数则于五卷之末以发其例
弧三角用平仪正形之理
作图之法有二一为借象一为正形以平写浑不得已
而为侧睨遥望之形以曲状其变然多借象而非正形
兹一准平仪法度寘二极于上下而从旁平视之(如置/身大)
(员之表以/观大员)则浑球上凸面之经纬弧角一一可写于平
历算全书 小引 第 5b 页 WYG0794-0195b.png
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而解
历算全书 小引 第 6a 页 WYG0794-0195c.png
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历算全书 小引 第 6b 页 WYG0794-0195d.png
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斜视之图无实度可纪(弧角之形聊足相拟/其实度非算不知)兹者平仪
既归正形则度皆实度循图可得即量法与算法通为
一术(以横径查角度以距/纬查弧度并详二卷)
平仪用矢线之理
八线中有矢他用甚稀乃若三边求角则矢线之用为
多而又特为简易信古人以弧矢测浑员其法不易然
亦惟平仪正形能著其理(下文/详之)
历算全书 小引 第 7a 页 WYG0794-0196a.png
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一矢线为角度之限 钝角用大矢 锐角用小矢(小/矢)
(即正矢也从半径言之为/正矢从全径言之为小矢)法曰置角度于平仪之周则
平员全径为角线所分而一为小矢一为大矢(平仪横/径即浑)
(员之腰围故大矢即钝/角度小矢即锐角度)
如图浑球上甲戊甲丁甲丙三小弧与甲已同度故同
用甲已为正矢丁乙戊乙丙乙三过弧与已乙同度故
同用已乙为大矢
历算全书 小引 第 7b 页 WYG0794-0196b.png
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一矢较为弧度之差 大弧用大矢(弧度过象限为大/弧故大矢亦大于)
(半/径)小弧用小矢(弧度不及象限为小/弧故正矢小于半径)较弧与对弧并同
法曰置较弧对弧于员周(角旁两弧之较为较弧亦/曰存弧对角之弧为对弧)
历算全书 小引 第 8a 页 WYG0794-0196c.png
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较弧对弧并小则为两正矢之较(两弧俱象限以/下故俱用正矢)
较弧小对弧大为正矢大矢之较(较弧在象限以下用/正矢对弧过象限用)
(大/矢)
较弧对弧并大为两大矢之较(两弧俱过象限/故俱用大矢)
凡较弧必小于对弧则较弧矢亦小于对弧矢故无以
较弧大矢较对弧正矢之事法所以恒用加也(若较弧/用大矢)
(则对弧/必更大)
历算全书 小引 第 8b 页 WYG0794-0196d.png
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(二弧/同用)子乙弧之正矢壬乙(癸乙/卯乙)
(同/用)则辛壬为两矢之较即为(癸/乙)
(寅/乙)两弧度之较也(或丑乙与子/乙或庚乙与)
(癸乙或寅乙/与卯乙并同) 又如戊乙弧之
大矢已乙与丑乙弧之正矢辛乙相较得较已辛或子
乙弧之正矢壬乙与丙乙弧之大矢已乙相较得较巳
壬皆大矢与正矢较也 又如甲丑弧之大矢辛甲与
历算全书 小引 第 9a 页 WYG0794-0197a.png
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约法
凡求对角之弧并以角之矢为比例(钝角用大矢/锐角用正矢)求得
两矢较(半径方一率正弦矩一率/角之矢三率两矢较四率)以加较弧之矢(较弧/大用)
(大矢较弧/小用正矢)得对弧矢加满半径以上为大矢其对弧小
(遇象/限)加不满半径为小矢其对弧小(不过/象限)此不论角之
锐钝边之同异通为一法
凡三边求角并以两矢较为比例求角之矢(半径方一/率馀割矩)
历算全书 小引 第 9b 页 WYG0794-0197b.png
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小于半径为正矢其角则锐亦不论边之同异通为一
法
问用矢用馀弦异乎曰矢馀弦相待而成者也可以矢
算者亦可用馀弦立算但加减尚须详审若矢线则一
例用加尤为简妙
先数后数法
(此以平仪弧角正形解浑球上斜弧/三角用矢度矢较为比例之根也)
历算全书 小引 第 10a 页 WYG0794-0197c.png
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设丙乙丁斜三角形 有乙锐角 有丙乙弧小于象
限丁乙弧大于象限(是为/角旁)
(之两弧/不同类) 求丁丙为对角
之弧 用较弧(角旁两/弧相减)及
对弧两正矢之较为加差
法以大小两边各引长之
满半周遇于戊作戊甲乙
历算全书 小引 第 10b 页 WYG0794-0197d.png
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作横半径(如巳/寅辛)则寅辛即乙角之弧亦即为乙角之矢
(平视之为矢度实即/角度之弧跻缩而成)而寅已即乙角之馀弧亦即为乙
角馀弦(因视法能令馀/弧跻缩成馀弦) 又自丁作横半径(巳/辛)之平行
线(如壬/丁甲)此平行线即乙丁大边之正弦(因平视故乙丁/小于乙壬其实)
(乙丁弧之度与乙壬同大今壬甲既为戊/壬及乙壬之正弦亦即为乙丁之正弦矣)而此正弦(壬/甲)
又即为距等圈之半径也(想戊巳乙为半浑圜之中剖/国面侧立形乃自壬丁甲横)
(切之则壬甲为/其横切之半径)则其丁壬分线亦为距等圈上丁壬弧
历算全书 小引 第 11a 页 WYG0794-0198a.png
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之比例皆等(己辛大圜之半径大故寅辛矢亦大甲壬/距等圈之半径小故壬丁矢亦小然其度)
(皆乙角故比例一也距等虽用戊角/而戊角即乙角有两弧线限之故也)法为已辛与甲壬
若寅辛与壬丁
一率 半径已辛
二率 (大弧/正弦)壬甲(卯距等圈/之半径)
三率 (乙角/矢)寅辛
四率 (先得/数)壬丁(即距等圈/之正矢)
历算全书 小引 第 11b 页 WYG0794-0198b.png
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(弧俱用为半/径而生矢度) 又从壬作壬卯为壬丙较弧之正弦(壬/乙)
(既同丁乙则丁乙弧之/大于丙乙其较为壬丙) 又从丁作癸丁午线为丁丙
对弧之正弦(因平视故丁丙弧小于癸丙其实丁丙弧/与癸丙同大癸午既为癸丙正弦亦即丁)
(丙之正/弦矣)因两正弦平行又同抵巳丙半径为十字正方
角故比例生焉此立算之根本 又从丁作丁子线与
午卯平行而等(以有对弧较弧两/正弦为之限也)成壬丁子句股形
又从丙作丙辰线为乙丙小边之正弦成已丙辰句股
历算全书 小引 第 12a 页 WYG0794-0198c.png
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(等角等/势故也)法为丙已与辰丙若壬丁与丁子
一率 半径丙已 弦
二率 (小弧/正弦)辰丙 股
三率 (先得/数)壬丁 小弦
四率 (两矢/较)丁子 小股
省算法用合理
(因上两宗内各冇先得数而一/为三率一为四率故对去不用)
历算全书 小引 第 12b 页 WYG0794-0198d.png
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乃以后得数为矢较加较弧矢(以午卯加/卯丙也)成对弧矢(午/丙)
末以对弧矢(午/丙)减半径(巳/丙)成对弧馀弦(午/已)检表得对弧
(丁/丙)之度
又法 以后得数减较弧馀弦(以午卯/减卯已)成对弧馀弦
历算全书 小引 第 13a 页 WYG0794-0199a.png
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(得馀/弦)
若先有三边而求乙钝角则反用其率(因前四率反之/以首率为次率)
(三率为/四率)
历算全书 小引 第 13b 页 WYG0794-0199b.png
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右锐角以二边求对边及三边求角并以两矢较
为加差(以差加较弧矢得对弧/大三边求角则为三率)亦为两馀弦较(依/又)
(法以差减较弧馀弦为对弧馀弦/三边求角则两馀弧相减为三率) 角旁弧异类
对边小
设亥乙丁斜弧三角形 有乙钝角 有亥乙小弧丁
乙大弧 求亥丁(对角/弧) 用较弧正矢与对弧大矢之
较为加差
历算全书 小引 第 14a 页 WYG0794-0199c.png
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根亢寅角度及房甲
与亥虚两正弦皆依
之以立
大矢即钝角之弧度
小矢即锐角之弧度
亥斗径为加减之根
房氐及危心两正弦
历算全书 小引 第 14b 页 WYG0794-0199d.png
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之用生焉
法以大小两边各引长之满半周遇于戊 又依小边
半周(乙亥/戊)补其馀半周(戊辛/乙)成全圆 又从戊至乙作
圆径 又作亢辛横径两径相交于已即圆心 则寅
辛为乙角之小矢而寅亢为乙角之大矢(寅已亢即乙/钝角之弧度)
(平视之/成大矢) 若自寅点作直线与戊乙平行取距戊乙之
度加象限即角度 又从丁作房丁壬横线与亢辛横
历算全书 小引 第 15a 页 WYG0794-0200a.png
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(丁乙也因平视故丁乙小于房乙耳而房甲既为房乙/之正弦亦即丁乙正弦也房甲既为正弦房壬则倍正)
(弦矣倍正/弦即通弦)而此(房/壬)倍正弦又即为距等圈之全径(想全/体浑)
(圆从壬丁房横切之成/距等圈而房壬其全径)则房丁分线亦即为距等圈上
丁甲房弧之大矢(有距等圈全径即有其/全圈而房甲丁其切弧)而此两大矢
线各与其全径之比例皆等(亢辛全径大故寅亢大矢/亦大房壬距等圈之全径)
(小故房丁大矢亦小然其度皆乙角之度在乙丁戊及/乙房戊两弧线之中故各与其全圆之比例等而其大)
(矢亦各与其全/径之比例等)即各与其半径之比例亦等(若以甲为/心壬为界)
历算全书 小引 第 15b 页 WYG0794-0200b.png
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寅亢(钝角/大矢)与房丁(先得数亦/距等大矢)而亢已(半/径)与房甲(乙丁正/弦亦距)
(等半/径)亦若寅亢与房丁
一率 亢巳(半/径)
二率 房甲(大边之正弦/亦距等半径)
三率 寅亢(钝角/大矢)
四率 房丁(先得数亦/距等大矢)
次从亥过巳心作亥已斗全径为加减主线(较弧对弧/之弦俱过)
历算全书 小引 第 16a 页 WYG0794-0200c.png
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(论房乙同丁乙则丁乙/之大于亥乙其较房亥) 又从丁作心丁娄线与房氐
正弦平行而交亥斗径于危如十字则此线为亥丁对
弧之倍正弦(因视法心亥弧大于亥丁其实即亥丁也/亥丁为平视跻缩之形心亥为正形而心)
(危者心亥弧之正弦也是即亥丁/弧之正弦而心丁娄其倍弦矣) 又从丁作丁女线
与斗亥径平行亦引房氐较弧之正弦为通弦而与丁
女线遇于女成丁女房句股形 又从亥作亥虚线与
亢辛横径及大边之正弦房甲俱平行成亥虚已句股
历算全书 小引 第 16b 页 WYG0794-0200d.png
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(形之丁角与小形之亥角等而女/与虚并正角则为等角而相似)法为已亥(半/径)与亥虚
(小边/正弦)若房丁(先得数而/距等大矢)与丁女(后得数亦即氐危为较/弧正矢氐亥及对弧大)
(矢危亥/之较)
一率 半径已亥 弦
二率 (小边/正弦)亥虚 句
三率 (先得/数)房丁 大弦
四率 (后得/数)丁女 大句
历算全书 小引 第 17a 页 WYG0794-0201a.png
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乃以后得数加较弧正矢(以氐危加氐/亥成危亥)为对弧大矢内
减半径得对弧馀弦检表得度以减半周为对弧之度
又法于后得数内减去较弧馀弦成对弧馀弦(于氐/危内)
历算全书 小引 第 17b 页 WYG0794-0201b.png
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之度 大矢与小矢之较即两馀弦并也内减去一
馀弦即得一馀弦矣观图自明 前用锐角是于较
弦馀弦内减得数为对弧馀弦此用钝角是于得数
内减较弧馀弦为对弧馀弦
若有三边而求角度者则反用其率
一半径上方 一两正弦矩 半径上方
二两正弦矩 二半径上方 两馀割相乘矩
历算全书 小引 第 18a 页 WYG0794-0201c.png
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四两馀弦并丁女(即氏/危)四钝角大矢寅亢
乃于所得大矢内减去半径成馀弦以馀弦检表得度
用减半周为钝角之度
右钝角求对边及三边求钝角并用两矢之较
为加差(以差加较弧正矢得对弧大/矢又为三边求角之三率)亦为两馀
弦并(依又法减较弧馀弦得对弧馀弦/三边求角即并两馀弦为三率) 其钝
角旁两弧异类对弧大
历算全书 小引 第 18b 页 WYG0794-0201d.png
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有辛丁边(五十度/一十分)丁乙对角
边(六十/度)辛乙边(八十/度)三边并
小求辛锐角
法先为戊亢辛全员 作戊
辛员径 又作亢巳横员径
(两径十字相交于巳/心此线上有角度)
次于戊辛径左右任取自辛数至丁如所设角旁小边
历算全书 小引 第 19a 页 WYG0794-0202a.png
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(上有加/减度)为较弧对角弧两正弦所依 仍自辛过丁数
至房如所设大边(八十/度)之数截房丁为大小两边之较
弧 又自丁过房数至心如所设对边(六十/度)之数截心
丁与乙丁等 仍自丁过辛截娄丁度如心丁乃作娄
心直线联之为心丁对弧之倍正弦 又从房作房甲
横线与亢巳横径平行此为乙辛大边之正弦(因视法/房辛即)
(乙辛/详后) 次视娄心倍弦与房甲正弦两线相遇于乙命
历算全书 小引 第 19b 页 WYG0794-0202b.png
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(辛同/大)是所设角旁之大边(理在平仪视法房辛是真度/乙辛是视凸为平跻缩之形)
(想平仪原系浑体从房乙甲横切之则自房至甲为距/等圈之九十度从此线上度度作弧至辛极并八十度)
(不惟乙辛与房辛同大即甲/辛亦与房心同大也他仿此) 又从乙向丁作乙丁弧
(此弧亦六十度/与心丁同大)是所设对角之边(切浑角以心娄距等/圈而以丁为极则危)
(丁亦六十度与心丁同大/矣乙丁同大不言可知) 遂成乙辛丁斜弧三角在
球上之形与所设等 又从乙引乙辛弧线至戊成心
乙戊半周侧立形此线截亢巳半径于寅则亢寅为辛
历算全书 小引 第 20a 页 WYG0794-0202c.png
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正弦平行是为辛丁小边之正弦 又从房作房卯线
与心危娄平行则此线为房丁较弧之正弦其心危则
乙丁对弧之正弦 又从乙作乙女线与卯危平行而
等(线在两正弦平行线之/中而赤平行不得不等)是为较弧与对弧两正矢之
较(房卯为较弧正弦则卯已为馀弦而卯丁其矢又心/危为对弧正弦则危巳为馀弦而危丁其矢此两正)
(矢之较为危卯而乙女与之/等则乙女亦两矢之较矣)
法曰巳丁虚句股形与房乙女句股形相似(房乙与丁/虚平行乙)
历算全书 小引 第 20b 页 WYG0794-0202d.png
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虚(小边/正弦)与丁巳(半/径)若乙女(即卯危较弧馀弦/与对弧馀弦之较)与乙房(先/得)
(数/)
又房甲正弦之分为乙房犹亢巳之分为寅亢其全与
分之比例皆相似(从房甲线切浑员成距等圈而房甲/为其半径犹浑员之有亢巳为半径)
(也两半径同为戊寅辛弧线所分则乙房为距等圈半/径之矢度犹寅亢为大员半径之矢度也其比例俱相)
(似/)故房甲(大边正弦即/距等圈半径)与亢巳(大员之/半径)若乙房(先得数/即距等)
(圈之/矢)与寅亢(后得数即/角之矢线)
历算全书 小引 第 21a 页 WYG0794-0203a.png
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较弧(二十九度/五十分)馀弦(八六七/四八)正矢(一三二/五二)其较三六七四八
历算全书 小引 第 21b 页 WYG0794-0203b.png
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一半径方一○○○○○○○○○○(首率除宜去十/尾乃先于二率)
二馀割矩一三二二三二三四○八九(去五位故得数/只去五位即如)
三两矢较 三六七四八(共去十/位也)
四锐角矢 四八五九二(用减半径得辛角/馀弦五一四○八)
检表得五十九度四分为辛角之度(此与历书所算五/十八度五十三分)
(只差十/一分)又法径求馀弦 法曰房甲之分为乙房而其
馀乙甲犹亢已之分为亢寅而其馀寅已也故其全与
历算全书 小引 第 22a 页 WYG0794-0203c.png
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(分线/之馀)与寅已(半径截矢之馀/即角之馀弦)
准前论小边之正弦虚丁(句/)与半径丁巳(弦/)若较弧对
弧两矢之较乙女(小/句)与大边正弦之分线乙房(小/弦)也先
求乙房为先得数以转减大边正弦房甲得分馀线乙
甲
一 小边(五十度一○/)正弦 丁虚 七六七九一
二 半径 丁巳一○○○○○
历算全书 小引 第 22b 页 WYG0794-0203d.png
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四 先得数(大边正弦/之分线) 乙房 四七八五四
以先得数减大边八十度正弦房甲 九八四八一
得大边正弦内乙房分线之馀乙甲 五○六二七
未以分馀线为三率
一 大边正弦 房甲 九八四四一
二 半径 亢已一○○○○○
三 分馀线 乙甲 五○六二七
历算全书 小引 第 23a 页 WYG0794-0204a.png
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附历书斜弧三角图(稍为/校正)
丙乙丁弧三角形
乙丙角旁小弧 壬乙同丁
乙角旁大弧 壬丙为较弧
癸丙同丁丙为对角之弧
甲壬为大弧正弦 辰丙
为小弧正弦 壬卯为较弧
历算全书 小引 第 23b 页 WYG0794-0204b.png
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为乙角之矢 卯丙为较弧之矢 午丙为对弧之矢
午卯为两矢较 酉壬为先得数 酉子同午卯亦
两矢之较
法为全数(己/辛)与大弧正弦(甲/壬)若角之矢(庚/辛)与先得数(酉/壬)
又全数(巳/丙)与小弧正弦(辰/丙)若先得数(酉/壬)与两矢较(酉/子)也
一率全之方 二率两正弦矩 三率角之矢 四率
得两矢较以两矢较加较弧之矢为对弧之矢
历算全书 小引 第 24a 页 WYG0794-0204c.png
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斜望之形其实丁点原在酉寅点原在庚丁壬弧即酉
壬线寅辛弧即庚辛线乙寅丁戊弧原即为乙庚酉戊
弧也故以平仪图之则皆归正位矣所以者何平仪上
惟经度有弧线之形其距等圈纬度皆成直线而寅庚
为角度之正弦直立下垂从其顶视之成一点矣丁酉
者大弧正弦甲壬上所作距等圈之正弦也从顶视之
而成一点与寅庚一也其寅已半径势成斜倚从上视
历算全书 小引 第 24b 页 WYG0794-0204d.png
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正形可以算亦可以量非同斜望比也愚故谓惟平仪
为正形也
若乙角为钝角成亥乙丁三角形则当用房亥较弧之
正矢(牛/亥)与同丁亥对弧之心亥弧大矢危亥相减成两
矢之较(牛危即/女酉)以较加较弧正矢为对弧大矢(法详前/例但前)
(例钝角旁小弧不同乙丙故此图/以相同者论之更见其理之不易)
乙为钝角用大矢之图
历算全书 小引 第 25a 页 WYG0794-0205a.png
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设角之一边适足九十度一边大 用锐角(馀角一/钝一锐)
历算全书 小引 第 25b 页 WYG0794-0205b.png
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角之馀弦与对弧之馀弦
乙丁丙斜三角形 丙丁边适
足九十度乙丁边大于九十度
丁锐角求对边丙乙 法先作
平员分十字从丁数丁壬及丁丑
并如乙丁度作距等线联之(壬/丑)
又于壬丑线上取乙点(法以壬巳为度/巳为心作半员)
历算全书 小引 第 26a 页 WYG0794-0205c.png
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壬丙为较弧作壬卯正弦较弧之矢卯丙对弧之矢癸
丙其较卯癸与壬乙等壬已正弦又即距等圈半径而
为丁乙戊弧所分则壬乙如矢乙已如馀弦与角之丙
子矢子甲馀弦同比例
一 半径丙甲 一 半径丙甲
二 (大边/正弦)壬已 二 (大边/正弦)壬已
三 (角之/矢)子丙 三 (角之/馀弦)子甲
历算全书 小引 第 26b 页 WYG0794-0205d.png
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若丁为钝角 用大矢
法为半径与大边之正弦若角之大矢与两矢较也亦
若钝角之馀弦与对弧之馀弦
借前图作乙辛为对角之弧成乙丁辛三角形(三角/俱钝)作
丑午为较弧丑辛正弦(以丑丁同/乙丁故)其庚癸为对弧乙辛
之正弦(以庚辛即/乙辛故)较弧之正矢午辛对弧之大矢癸辛
其较癸午与丑乙等 依前论壬乙为距等圈小矢则
历算全书 小引 第 27a 页 WYG0794-0206a.png
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例若丙辛全径与钝角之大矢子辛则已丑为距等半
径与其大矢丑乙亦若甲辛半径与钝角之大矢子辛
也而丑已原为乙丁大边之正弦(丑乙原与/癸午等)故法为半
径(甲/辛)与钝角之大矢(子/辛)若大边之正弦(已/丑)与两矢较(丑/乙)
(或癸/午)也
一 半径甲辛 一 半径甲辛
二 (大边/正弦)丑巳 二 (大边/正弦)丑已
历算全书 小引 第 27b 页 WYG0794-0206b.png
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四 (两矢/较)癸午 四 (对边/馀弦)乙已(用馀弦入表得度以/减半周得对边之度)
一系 距等圈上弧度所分之矢与馀弦与大矢与其
半径或全径并与大圈上诸数比例俱等
又按前法亦可以算一边小于象限之三角
于前图取乙戊丙斜弧三角形用戊锐角(馀角一/钝一锐)有丙
戊大边足九十度有乙戊边小于九十度 求对戊角
之乙丙边
历算全书 小引 第 28a 页 WYG0794-0206c.png
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又从乙点作庚癸为对弧乙丙之正弦(以庚丙即/乙丙故) 于
是较弧之矢为卯丙 对弧之矢为癸丙而得两矢之
较为癸卯 则又引戊乙小边之弧过半径于子而合
大圈于丁分子丙为戊角之矢子甲为角之馀弦
法曰丙甲(半/径)与壬已(小边/弦)若子丙(戊角/之矢)与乙壬(两矢/较)也
得乙壬即得癸卯
捷法不用较弧但作壬已为小弧乙戊之正弦作庚癸
历算全书 小引 第 28b 页 WYG0794-0206d.png
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半径于子得子甲为戊角之馀弦
法曰丙甲(半/径)与壬已(小边/正弦)若子甲(戊角/馀弦)与乙巳(对边/馀弦)得
乙己得癸甲矣
又于前图取辛戊乙三角形用戊钝角(馀角/并锐)有戊辛大
边九十度有戊乙边小于九十度 求对戊钝角之辛
乙边
用捷法 于乙点作壬丑为乙戊小边之通弦 作庚
历算全书 小引 第 29a 页 WYG0794-0207a.png
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边割丙辛全径于子分子辛为钝角大矢子甲为钝角
馀弦
法为甲辛与丑已若子甲与乙巳得乙巳即得癸甲
一 半径甲辛(即丙辛全/径之半)
二 (小边/王弦)丑已(即壬丑通/弦之半)
三 (钝角/馀弦)子甲
四 (对边/馀弦)癸甲(即乙/巳)
历算全书 小引 第 29b 页 WYG0794-0207b.png
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一 半径
二 小边馀割
三 对边馀弦
四 角之馀弦
一系凡斜弧三角形有一边足九十度其馀一边不拘
小大通为一法皆以半径与正弦若角之矢与两矢较
也亦若角之馀弦与对边之馀弦
历算全书 小引 第 30a 页 WYG0794-0207c.png
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乙丁丙斜弧三角形 乙丁
边适足九十度 丁丙边小
于九十度 有丁锐角 求
对边丙乙 法于平员边取
丙丁度作丙已为小边之正
弦 又自丙作丙甲过心线
又作壬卯线为丙壬较弧
历算全书 小引 第 30b 页 WYG0794-0207d.png
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(丙/故) 乙壬为丁角之矢 乙甲为丁角之馀弦 癸丙
为对弧之矢 癸甲为馀弦 卯丙为较弧之矢 卯
甲为馀弦 对弧较弧两矢之较卯癸(亦即/乙辰)
法曰甲丙已壬乙辰乙甲癸三句股相似故甲丙(半/径)
与丙已(小边/正弦)若壬乙(角之/矢)与乙辰(两矢/较)亦若乙甲(角/之)
(馀/弦)与甲癸(对弧/馀弦)
三边未角法
历算全书 小引 第 31a 页 WYG0794-0208a.png
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三 (对弧/馀弦)癸甲 四 (角之/馀弦)乙壬
又于前图取乙戊丙三角形 用戊锐角(馀角一/钝一锐) 有
乙戊边九十度 有戊丙大边 求对戊角之丙乙边
用捷法 自丙作丙已为丙戊大边之正弦 即从丙
作丙甲半径 乃于乙点作庚癸为丙乙对弧之正弦
其馀弦癸甲而戊乙弧原分乙甲为戊角之馀弦
法曰甲丙巳句股与乙甲癸相似故甲丙(半/径)与丙巳
历算全书 小引 第 31b 页 WYG0794-0208b.png
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若丁为钝角(馀角/并锐) 用大矢
借前图作丑乙为对角之弧
成丑丁乙三角(丁为/钝角) 作
丑甲寅径 又作辛丑较之
正弦辛午 (以辛丁同/丁乙故) 作
丑乙对弧之正弦子酉引过
乙至亥成通弦 又作辛未
历算全书 小引 第 32a 页 WYG0794-0208c.png
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酉丑相较得酉午(亦即/未辛) 乙辛与丁钝角大矢 乙甲
为钝角馀弦
法曰甲丑已乙辛未乙甲酉三句股相似故甲丑(半/径)
与丑已(小边/正弦)若乙辛(角大/矢)与未辛(两矢/较)亦若乙甲(角/之)
(馀/弦)与甲酉(对弧/馀弦)
又于前图取乙戊丑形 用戊钝角(三角/俱钝) 有乙戊边
九十度有丑戊大边 求对钝角之丑乙边
历算全书 小引 第 32b 页 WYG0794-0208d.png
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作丑甲寅全径 又自乙作亥酉为对边丑乙之正弦
(以亥丑即/乙丑故) 其馀弦酉甲而乙甲原为戊钝角之馀弦
法曰甲丑己句股形与乙甲酉相似故甲丑(半/径)与丑
已(大边/正弦)若乙甲(钝角/馀弦)与甲酉(对边/馀弦)
又设丙乙丁三角形 乙为钝角(馀一钝/一锐) 乙丙边小
丁乙边大 对边丁丙大于象限 较弧壬丙亦大
于象限
历算全书 小引 第 33a 页 WYG0794-0209a.png
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所得为两大矢之较
其正弦比例仍用小矢以角
为锐角也
历算全书 小引 第 33b 页 WYG0794-0209b.png
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壬丙较弧之大矢卯丙加后得数午卯为对弧丁丙之
大矢(丁丙即/癸丙故) 大矢午丙内减半径已丙得午已为馀
弦以检表得庚癸之度以减半周得癸丙之度即对弧
丁丙之度
又法以得数午卯加较弧之馀弦卯巳得午已为对
弧馀弦(以两大矢较即两/馀弦较也馀同上)
历算全书 小引 第 34a 页 WYG0794-0209c.png
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而对边小于象限较弧亦小于象限乙为钝角(三角/俱钝)
有庚乙与丁乙两大边而较弧丑庚小故所得为两小
矢之较其正弦比例则用大矢以乙为钝角故也 丑
庚为较弧其正弦丑亥馀弦亥已 对弧庚丁即庚酉
其正弦酉午馀弦午已(两矢较亥午/即馀弦较)
又设丙乙丁三角形
乙为锐角(馀一钝/一锐)
历算全书 小引 第 34b 页 WYG0794-0209d.png
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弧丁丙大于象限 较弧壬
丙小于象限 所得为对弧
大矢与较弧小矢之较
其正弦比例仍用小矢以乙
锐角故
历算全书 小引 第 35a 页 WYG0794-0210a.png
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两馀弦并即大矢与小矢之较也
法以得数午卯加较弧之正矢卯丙成午丙为对弧之
大矢午丙内减去半径已丙得午巳馀弦乃以馀弦检
表得度以减半周得对弧丁丙之度
历算全书 小引 第 35b 页 WYG0794-0210b.png
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如上
又于前图取丁乙庚三角形 乙为钝角(三角/俱饶) 角旁
两边俱大于象限惟对边小故用两正矢较其正弦比
例仍用大矢以钝角故 乙丁弧之通弦丑壬为乙丁
弧所割成丑丁亦割其戌辛全径于寅成寅戌为钝角
大矢而比例等 又丑庚为较弧其正弦丑亥其矢亥
庚 对弧庚丁之通弦酉癸其矢午庚两矢之较为亥
历算全书 小引 第 36a 页 WYG0794-0210c.png
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以两矢较亥午加丑庚较弧之矢庚亥成午庚为对弧
丁庚之矢(以矢减半径庚已得对弧之/馀弦午巳检表得丁庚度)
论曰先得数何以能为句股比例也曰先得数即距等
历算全书 小引 第 36b 页 WYG0794-0210d.png
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分其分之一端必与对弧相会(盖对弧亦/从此分也)其又一端必
与较弧相会是此分线恒在较弧对弧两正弦平行线
之中斜交两线作角而为弦则两正弦距线必为此线
之句矣而两矢之较即从两正弦之距而生故不论大
矢小矢其义一也
然则正弦上所作句股何以能与先得数之句股相似
邪曰两全径相交于员心则成角各正弦又皆为各全
历算全书 小引 第 37a 页 WYG0794-0211a.png
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其径线辏心之角等角等则比例等矣大边小边之正弦
皆全径之十字横线也较弧对弧之正弦皆又一全径之十
字横线也此两十字之各线相交而成种种句股其角皆等
历算全书 小引 第 37b 页 WYG0794-0211b.png
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小于象限 戊丁弧之通弦丑壬正弦甲壬 又引戊
丁弧过全径于寅会于乙则寅戌为戊钝角之大矢亦
割丑壬通弦于丁则丑丁与通弦若寅戌大矢与全径
也 又戊庚弧之正弦庚申为句则已庚半径为其弦
其比例若丑未为句而丑丁为弦也 又丑庚为较弧
其正弦丑亥其馀弦亥已其矢亥庚 对弧庚丁之通
弦酉癸正弦癸午馀弦午已其矢午庚两矢之较为亥
历算全书 小引 第 38a 页 WYG0794-0211c.png
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两法并用钝角其度同所求之庚丁弧又同故其法并
同即此可明三角之理
仍于前图取丁丙戊三角形 有丁丙及戊丙二大边有
历算全书 小引 第 38b 页 WYG0794-0211d.png
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于庚作庚丙径作已亢及已戊两半径作癸午为丁丙边
正弦而丁丙弧割癸午正弦于丁亦割亢已半径丁心则
亢已之分为心亢犹癸午之分癸丁也又作戊井为戊丙
弧之正弦成戊已井勾股形又从丁作壬甲为对弧戊丁之
正弦其矢甲戊又取癸戊为较弧(以癸丙同/丁丙故)作癸氐为较弧
正弦其矢氐戊两矢之较为氐甲又从丁作斗丁与氐甲平
行而等成丁斗癸小句股形与戊已井形相似则已戊弦与
历算全书 小引 第 39a 页 WYG0794-0212a.png
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(故只用角之正矢为比例丁又此因用丙角求戊丁边矣/故另为比例若用戊角求 丙弧则与第一条之法同)
以甲氐加较弧之矢氐戊成甲戊为对弧之矢如法取
其度得丁戊
历算全书 小引 第 39b 页 WYG0794-0212b.png
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综有条不紊可见理之真者如取影于灯宛折惟肖也
(又丁丙戊三角形亦可以戊角立算馀三角并然角丁/乙丙形可用丙角庚戊丁形庚乙丁形俱可用庚)
计开
一图中三角形凡四
一丁乙丙形 一丁戊丙形 一丁乙庚形 一丁
戊庚形
全径凡二
历算全书 小引 第 40a 页 WYG0794-0212c.png
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算例凡八
历算全书 小引 第 40b 页 WYG0794-0212d.png
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右前四例皆以乙戊径为主线丙庚径为加减线后四
例皆以丙庚径为主线乙戊径为加减线
一系 凡三角形以一边就全员则此一边之两端皆
可作线过心为全员之径而一为主线一为加减线
皆视其所用之角
凡所用角在径线之端则此径为主线馀一径为加
历算全书 小引 第 41a 页 WYG0794-0213a.png
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几用锐角则主线在形外用钝角则主线在形内
凡角旁两弧线引长之各成半周必复相会而作角
其角必与原角等
凡主线皆连于所用角之锐端或在形内或在形外
并同其引长之对角亦必连于主线之又一端也若
主线在形内破钝角端者其引长之钝角亦然
一系 凡两径线必与两弧相应如角旁弧引长成半
历算全书 小引 第 41b 页 WYG0794-0213b.png
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如对角弧引长成半周首尾皆至加减线之端是加
减线即为对弧之径也主线既为引长角旁一弧之
径又原为全员之径而角旁又一弧之引长线即全
员也故角旁两弧皆以主线为之径 加减线既为
对弧之径而较弧在员周其端亦与加减线相连又
加减线原为全员径故较弧对弧皆以加减线为径
一系 凡全径必有其十字过心之横径而正弦皆与
历算全书 小引 第 42a 页 WYG0794-0213c.png
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主线既为角旁两弧之径故角旁两弧之正弦通弦
皆以十字交于主线之上而其馀弦其矢皆在主线
加减线既为对弧较弧之径故对弧较弧之正弦皆
以十字交于加减线而其馀弦其矢皆在加减线
一系 凡角旁之弧引长之必过横径分为角之矢角
之馀弦若钝角则分大矢
角旁引长之弧过横径者亦过正弦通弦故其全与
历算全书 小引 第 42b 页 WYG0794-0213d.png
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平仪论 论以量代算之理
以横线截弧度以直线
取角度并与外周相应
如艮已弧距极三十度
为申未横线所截故其
度与外周未已相应坎
乙应戌乙亦同又乾乙
历算全书 小引 第 43a 页 WYG0794-0214a.png
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相应巽已应午已亦同
又如戊已辛角有未戊辰直线为之限知其为六十度
角以与外周未午辛之度相应也癸乙子三十度角应
子丑度亦然又庚已子钝角有午卯庚直线为之限知
其为百五十度角以与外周午未已申寅子弧度相应
也壬乙辛百二十度角应戌乙辰卯辛弧亦然
论曰平仪有实度有视度有直线有弧线直线在平面
历算全书 小引 第 43b 页 WYG0794-0214b.png
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也实度有正形故可以量视度无正形故不可以量然
而亦可量者以有外周之实度与之相应也何以言之
曰平仪者浑体之昼影也置浑球于案自其顶视之则
惟外周三百六十度无改观也其近内之弧度渐以侧
立而其线渐缩而短离边愈远其侧立之势益高其跻
缩愈甚至于正中且变为直线而与员径齐观矣此跻
缩之状随度之高下而迁其数无纪故曰不可以量也
历算全书 小引 第 44a 页 WYG0794-0214c.png
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之限也试横置浑球于案任依一纬度直切之则成侧立之
距等圈矣此距等圈与中腰之大圈平行其相距之纬度等
故曰距等也其距既等则其圈踓小于大圈而其为三百六
十度者不殊也从此距等圈上逐度作经度之弧其距极
亦皆等特以侧立之故各度之视度跻缩不同而皆小于
边之真度其实与边度并同无小大也特外周则眠体
而内线立体耳故曰不可量而可量者以有外周之度
历算全书 小引 第 44b 页 WYG0794-0214d.png
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然则其量角度也奈何曰角度者乃经度也经度之数
皆在腰围之夫圈此大圈者在平仪则变为直线不可
以量然而亦可以量者亦以外周之度与之相应也试
于平仪内任作一弧角
如乙已丙平员内作已丙戊角欲知其
度则引此弧线过横径于戊而会于乙
则已戊弧即丙锐角之度戊壬弧即而
历算全书 小引 第 45a 页 WYG0794-0215a.png
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以量其度法于戊点作庚辛直线与乙丙直径平行则
已庚弧之度即戊巳弧之度亦即丙锐角之度矣其馀
庚乙壬之度即戊丁壬弧之度亦即丙钝角之度矣故
曰不可量而实可量者以有外周之度与之相应也
然此法惟角旁弧度适足九十度如戊丙则其数明晢
若角旁之弧或不足九十度又何以量之曰凡言弧角
者必有三边如上所疏既以一边就外周真度其馀二
历算全书 小引 第 45b 页 WYG0794-0215b.png
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两点即馀两弧起处法即从此起数借外周以求其度
而各循其度作距等横线乃视两距等线交处而得馀
一角之所在遂补作馀两弧而弧三角之形宛在平面
再以法量之则所求之角可得其度矣此量角度之法
也
今设乙丁丙弧三角形丁丙边五十○度乙丙边五十
五度乙丁边六十○度而未知其角
历算全书 小引 第 46a 页 WYG0794-0215c.png
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又作巳丙及戊庚纵横
两径任以丁丙边之度
自直线之左从丙量至
丁得五十○度为丁丙
边又自丙左右各数五
十五度如辛丙及子丙皆如乙丙之度乃作辛子线联
之为五十五度之距等圈 又自丁作卯丁径线自丁
历算全书 小引 第 46b 页 WYG0794-0215d.png
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作丑癸线联之为六十○度之距等圈 此两距等线
相交于乙则乙点即为乙丙及乙丁两边相遇之处而
又为一角也 乃自乙角作乙丙及乙丁两弧则乙丙
丁三角弧形宛然平面矣再以法量之则丁丙两角亦
俱可知 欲知丙角即用辛子距等线以半线午子为
度以午为心作子酉辛半员句分一百八十度此辛子
径上距等圈之真形也乃自乙点作直线与午丙径平
历算全书 小引 第 47a 页 WYG0794-0216a.png
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丙丁锐角之度以减半周得酉辛若于度亦即乙丙辛
钝角之度也 欲知丁角亦即用丑癸距等线以半线
辰癸为度辰为心作丑亥癸半员分一百八十度此亦
丑癸径上距等圈之正形也乃自乙点作直线与辰卯
径平行截半员于亥即从亥数至癸得亥癸若干度此
即乙丁丙钝角之 度以减半周得亥丑若干度又即
乙丁丑钝角之度也
历算全书 小引 第 47b 页 WYG0794-0216b.png
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丙角七十八度稍弱(以算考之得七十/七度五十五分)丁角六十七度
三分度之二(以算考之得六十/七度三十九分)
右量角度以图代算(欲得零分须再以算/法考之即知无误)
又设乙丙丁弧三角形有六十○度丙角有乙丙边一
百○○度有丁丙边一百二十○度求丁乙边(对角/之边)
法先为巳戊丙庚大圈作巳丙及庚戊十字径乃自丙
数至辛如所设丁丙边一百二十○度自丙至子亦知
历算全书 小引 第 48a 页 WYG0794-0216c.png
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二十○度之距等圈
又以距等之半线辛午
为度午为心作辛酉子
半圈匀分一百八十度
乃自辛数至酉如所设
丙角六十度而自酉作酉丁直线与已甲径平行至丁
遂如法作丁丙边 又自丙数至乙如所设乙丙边一
历算全书 小引 第 48b 页 WYG0794-0216d.png
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径乃补作丁乙边(乙丙丁三角弧/形宛然在目) 又自丁作丑丁癸
距等线与寅壬平行未自乙数至癸得若干度即乙丁
之度
计开
丁乙线五十九度强(以算考之得五/十九度○七分)
右量弧度以图代算(若用规尺可免逐圈匀/分之度有例在后条)
又若先有乙丁对角边丁丙角旁边有丙角而求乙丙
历算全书 小引 第 49a 页 WYG0794-0217a.png
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法先作己戊丙员及十字径线又以丁丙边之度取丙
辛及丙子作辛子距等线又作子酉辛半员取辛酉角
度作酉丁直线遂从丁作丁丙边皆如前 次以所设
丁乙边五十九度倍之作一百十八度少于夲员周取
其通弦(即距等线/癸丑之度)乃以通弦线就丁点迁就游移使合
于外周而不离丁点成丑丁癸线即有所乘丑乙癸弧
乃以弧度折半于乙则乙丙外周之度即所求乙丙边
历算全书 小引 第 49b 页 WYG0794-0217b.png
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又法以丁乙倍度之通弦(丑/癸)半之于辰乃从辰作卯甲
辰过心径线即割大员周于乙而乙癸及乙丑之弧度
以平分而等皆如乙丁度亦遂得乙丙度馀如上
又若先有乙丙两角及乙丙边在两角之中(亦仍借/前图)
法先作己戊丙员及十字径线皆如前乃自丙数至乙
截乙丙为所设之边 次作丙角法于戊庚横径如前
法求庚亥如所设丙角之度遂从亥点作弧(如丙/亥己)则丙
历算全书 小引 第 50a 页 WYG0794-0218a.png
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横径乃自寅至未如前法求寅未如所设乙角之度遂
从未点作弧(如卯/未乙)则乙钝角亦成矣 两弧线交于丁
角乃补作丑癸及辛子两距等线则弧度皆得(案此两/弧线必)
(以鸡子形作之方准若丁点离/两横径不远则所差亦不多也)
再论平仪
凡平仪上弧线皆经度而直线皆纬度
惟外周经度亦可当纬度又最中长径纬度亦为经度
历算全书 小引 第 50b 页 WYG0794-0218b.png
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试以浑球从两极中半阔处直切之(如用极至交圈/为度以剖浑仪)则
成平面矣以此平面覆置于案而从中腰横切之(如赤/道半)
(圈/)则成横径于平面矣(如赤道/之径)又以此横径为主离其
上下作平行线而横切之则皆成距等圈之径线于平
面矣大横径各距极九十度逐度皆可作距等圈即皆
有距等径线在平面故曰皆纬度也此线既为距等圈
之径则其径上所乘之距等圈距极皆等即任指一点
历算全书 小引 第 51a 页 WYG0794-0218c.png
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若又别指一处为极(如赤道极外又有黄道/极又如天顶亦为极)则其对度
亦一极也亦可如前横切作横径(如黄道/之径)于平面其横
径上下亦皆有九十度之距等圈与其径线矣(如黄道/亦有纬)
(度/)故直线有相交之用也
准此观之浑球之外圈随处可指为极即有对度之极
两极相对则皆有直线为之轴轴上作横径横径上下
即皆有九十度之距等径线而相交相错其象千变而
历算全书 小引 第 51b 页 WYG0794-0218d.png
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(地心之极而天顶地心/随北极之高下而变)又此所用外周特浑球上经圈
之一耳若准上法于球上各经圈皆平切之皆为大圈
则亦可随处为极以生诸距等纬线而相交相错之用
乃不可以亿计矣(如天顶地心既随极出地度而异其/南北亦可因各地经度而异其东西)
由是推之浑球上无一处不可为极故所求之点即极
也何以言之凡于球上任指一点即能于此点之上作
十字直线以会于所对之点而十字所分之角皆九十
历算全书 小引 第 52a 页 WYG0794-0219a.png

皆能与之会故曰所求之点即极也
又论平仪
凡平仪上弧线皆经度也而弧有长短者则纬度也是
故弧线为经度而即能载纬度盖载纬度者必以经度
也若无经度则亦无纬度矣
平仪上直线皆纬度也而线有大小者则经度也是故
直线为纬度而即能载经度盖载经度者必以纬度也
历算全书 小引 第 52b 页 WYG0794-0219b.png
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弧线能载纬度即又能分纬度之大小直线能载经度
即又能分经度之长短
假如平面作一弧引长之其两端皆至外周则分此外
周为两半员而各得百八十度即所作之弧亦百八十
度矣此百八十者皆纬度故曰能载纬度也而此平面
上所乘之半浑员其经度亦百八十而皆纪于腰围之
纬圈若于腰围纬圈上任指一经度作弧线必会于两
历算全书 小引 第 53a 页 WYG0794-0219c.png
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不但此也若从此弧线之百八十度上任取一度作平
行距等纬圈其距等圈上所分之纬必小于腰围之纬
圈而其所载距等圈之经度皆与角度等即近极最小
之纬圈亦然何以能然曰纬圈小则其度从之而小而
为两弧线所限角度不变也故纬圈之大小弧度分之
也
然弧线之长短又皆以纬圈截之而成而纬圈必有径
历算全书 小引 第 53b 页 WYG0794-0219d.png
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度之长短也
复论平仪
平仪上直线弧线皆正形也问前论直线有正形弧线
跻缩无正形兹何以云皆正形曰跻缩者球上度也然
其在平面则亦正形矣有中剖之半浑球于此覆而观
之任于其纬度直切至平面则皆直线也而其切处则
皆距等圈之半员即皆载有经度一百八十也从此半
历算全书 小引 第 54a 页 WYG0794-0220a.png
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距等圈度之正弦也若引此经度作弧以会于两极则
此弧度上所载之纬度一百八十每度皆可作距等圈
即每度皆可作距等圈之正弦矣由是观之此弧上一
百八十纬度既各带有距等圈之正弦即皆能正立于
平面而平面上亦有弧形矣夫以弧之在球面言之别
以侧立之故而视为跻缩而平面上弧形非跻缩也故
曰皆正形也惟其为正形故可以量法御之也
历算全书 小引 第 54b 页 WYG0794-0220b.png
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问平仪经纬之度近心阔而近边狭何也曰浑员之形
从其外而观之则成中凸之形其中心隆起处近目而
见大四周远目而见小此视法一理也又中心之经纬
度平铺而其度舒故见大四周之经纬侧立而其度垛
垒故见小此又视法一理也若以量法言之则近内之
经纬无均平之数数皆纪之于外周外周之度皆以距
等线为限而近中线之距等线以两旁所用之弧度皆
历算全书 小引 第 55a 页 WYG0794-0220c.png
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其两旁之弧度皆斜过与横直线县殊故其间窄此
量法之理也固不能强而齐一之矣夫惟不能强而
齐故正弦之数以生八线由斯以出尺算比例之法
由斯可以量代算而测算之用遂可以坐天之内观天
之外巳
取角度
又法
历算全书 小引 第 55b 页 WYG0794-0220d.png
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辛距等纬线有所分丁
辛小纬线求其所载经
度以命所求之角(丙/角)
本法取距等半径(辛/午)作
子酉辛半员从丁作酉
丁线乃纪酉辛之度为丁辛之度
今用捷法径于丁点作女丁壬线与巳甲径平行再用
历算全书 小引 第 56a 页 WYG0794-0221a.png
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从此引甲亢线至癸则数大圈庚癸之度为丁辛角度
(即丙/角也)
解曰试作氐亢房半员其亢甲牛径既与午辛等则氐
亢房半员与辛酉子等而氐亢房半员又与大员同甲
心则庚癸之度与氐亢等即亦与酉辛等矣
又如先有丙角之度及辛子距等线而求丁点所在以
作丙丁弧
历算全书 小引 第 56b 页 WYG0794-0221b.png
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心作癸甲线(半/径) 次以距等之半径辛午为度从甲心
作半员截癸甲(半/径)于亢乃自亢作亢丁壬线截辛午于
丁即得丁点
用规尺法
设如乙丁辛弧三角形有乙丁边六十度有丁辛边五
十度一十分有乙辛边八十度求辛锐角
如法依三边各作图法以十字剖平员自主线端辛数
历算全书 小引 第 57a 页 WYG0794-0221c.png
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丁作径线过已心又依所设丁
乙六十度自丁左数至娄右数
至丙皆六十度作丙娄线为距
等圈之径又自辛依所设辛乙
八十度至房亦左至壬作房壬
距等径线此两距等线交于乙乃作乙丁及辛乙丙线
则三角形宛然在目今以量法求辛角
历算全书 小引 第 57b 页 WYG0794-0221d.png
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之馀弦寅已
法以比例尺正弦线用规器取图中房甲之度于半径
九十度定尺再取乙甲度于本线求正弦等度得角之
馀度乃以所得馀度转减象限命为辛角之度
依法得馀弦三十一度弱即得辛角为五十九度强
又法以房甲为度甲为心作房癸壬距等半圈又作乙
癸正弦与已辛平行如前以房甲度于正弦九十度定
历算全书 小引 第 58a 页 WYG0794-0222a.png
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又法作房癸线用分员线取房甲度于六十度定尺再
取房癸线于分员线求等度得数命为辛角之度更捷
论曰既以房甲为半径则乙癸即正弦乙甲即馀弦房
癸即分员皆距等圈上比例也其取角度与分半周度
而数房癸之度并同然量法较捷
又求丁钝角
法以丙危为度危为心作娄丑丙半员又作丑乙线当
历算全书 小引 第 58b 页 WYG0794-0222b.png
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乃取距等半径丙危度于正弦线九十度定尺再取乙
危度求得正弦线等度命为钝角之馀弦以所得加九
十度为丁钝角度
依法得馀弦十二度太即得丁钝角一百○二度太
或取丑乙线求正弦线上度命为钝角之正弦以所得
减半周度馀为丁钝角度(两法互用/相考更确)
又法作娄丑分员线取丙危半径于分员线六十度定
历算全书 小引 第 59a 页 WYG0794-0222c.png
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论曰兼用弦两法分员线一法以相考理明数确然比
半周度之工尚为省力是故量捷于算而尺更捷矣
若兼作丙丑分员以所得度减半周亦同如此则分员
线亦有两法合之正弦成四法矣
又论曰此条三边求角前条有二边一角求弧可互明
也故用图亦可以求角用尺亦可以求弧智者通之可
也
历算全书 小引 第 59b 页 WYG0794-0222d.png
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平员则有心浑员则有极如赤道以北辰为极而黄道
亦有黄极人所居又以天顶为极故曰三极也极云者
经纬度之所宗如赤道经纬悉宗北极而黄道经纬自
宗黄极地平上经纬又宗天顶亦如屋之有极为楹桷
宇梠楶棁之所宗也既有三极即有三种之经纬于是
有相交相割而成角度角之锐端即两线相交之点任
指一点而皆有三种经纬之度与之相应焉故可以黄
历算全书 小引 第 60a 页 WYG0794-0223a.png
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上之经纬以地平求赤道以赤道求黄道亦然举例如后
以黄道经纬求赤道经纬 已辰庚斜弧三角形
巳丁乙丙为极至交圈
巳为北极 丙甲丁为赤
道 庚为黄极 壬甲寅
为黄道 星在辰 辰庚
为黄极距星之纬 辰庚
历算全书 小引 第 60b 页 WYG0794-0223b.png
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距等纬圈(酉/辛)又自辰作赤道距等纬圈(戊/午)即知此星(辰/)
在赤道之北其距纬戊丙(或午/丁) 次以赤道距等半径
戊卯为度卯为心作午未戊半员又作未辰直线与已
甲平行则未戊弧即为赤道经度(即戊巳/辰角)
若先有赤道经纬而求黄道经纬亦同
以赤道经纬求地平经纬
巳子戊三角形(三角/皆锐)
历算全书 小引 第 61a 页 WYG0794-0223c.png
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辛为地平 戊为天顶
巳为北极 丁丙为赤道
星在子 子巳为星距
北极 巳角为星距午规
经度(即纬圈上/丑子之距) 求地平
上经纬 法自子作寅亥线与辛壬地平平行即知地
平上星之高度亥辛(或壬/寅) 次作寅酉亥半员(以亥寅/半线亥)
历算全书 小引 第 61b 页 WYG0794-0223d.png
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子寅为星距午方之度为子戊寅角数酉至寅之弧即
得星在午左或午右之方位是为地平上之经度(按此/图为)
(星在卯酉线之北数酉辰若干度/即知其星距卯酉线若干度也) 若先得地平上经
纬(高度为纬/方位为经)而求赤道经纬(星距赤道为纬距/午线时刻为经)其理亦
同
以两纬度求经度
巳子戊斜弧三角形
历算全书 小引 第 62a 页 WYG0794-0224a.png
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戊寅壬为午规 太阳
在子距赤道北十度(其距/丑丁)
(或卯丙/纬度) 子丑为太阳距
午线加时经度(即子巳/丑角)
寅壬为太阳高度(即亥/辛)
求大阳所在之方 法以太阳高度(亥辛或/寅壬)作亥寅地
平高度纬线又以太阳距赤道纬(丑丁/卯丙)作丑卯赤道北
历算全书 小引 第 62b 页 WYG0794-0224b.png
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半员(分百八/十度)又自子作酉子直线与戊甲平行截半员
于酉则酉至寅之度即太阳所到方位离午正之度(即/子)
(戊寅/外角) 若求加时以北极赤纬线准此求之用子巳戊
角
求北极出地简法(可以出洋知其国土所当经纬西北/广野亦然与地度弧角可以参用)
不拘何日何时刻但有地平真高度及真方位即可
得之
历算全书 小引 第 63a 页 WYG0794-0224c.png
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位如法作图取作平仪上
太阳所在之点(即地平经/纬交处)
次查本日太阳在之道南
北纬度用作半径于仪心
作一小员末自太阳所在
点作横线切小员而过引长之至边此即赤纬通弦也
乃平分通弦作十字全径过仪心即两极之轴数其度
历算全书 小引 第 63b 页 WYG0794-0224d.png
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假如测得太阳在辰高三十四度方位在正卯南三度
强而不知本地极高但知本日太阳赤纬十九度今求
北极度
如法作图安太阳于辰(详下/文) 先作丙丁线为地平高
度次用法自正东卯数正弦度至辰得近南三度为地
平经度(或以丙卯为半径作半/规取直应度分亦同)次依本日太阳赤纬十
九度(以员半径取庚/甲十九度正弦)为小员半径作子庚小员末自太
历算全书 小引 第 64a 页 WYG0794-0225a.png
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径线已午则已即北极(数己丑之度/为极出地度)依法求得本地极
高四十度
论曰此法最简最真然必得正方案之法以测地平经
度始无错误
历算全书 小引 第 64b 页 WYG0794-0225b.png
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历算全书卷九