小引
环中黍尺者所以明平仪弧角正形乃天外观天之法
而浑天之画影也天圜而动无晷刻停而六合以内经
纬历然亘万古而不变此即常静之体也人惟囿于其
中不惟常动者不能得其端倪即常静之体所为经纬
历然者亦无能拟诸形容惟置身天外以平观大圜之
立体则周天三百六十经纬之度擘划分明皆能变浑
体为平面而写诸片楮按度考之若以玻璃水晶通明

之质琢成浑象而陈之几案也又若有镂空玲珑之浑
仪取影于烛而惟肖也故可以算法證仪亦可以量法
代算可以独喻可以众晓平仪弧角之用斯其妙矣庚
辰中秋鼎偶沾寒疾诸务屏绝展转床褥间斗室虚明
心閒无寄秋光入户秋夜弥长平时测算之绪来我胸
臆积思所通引伸触类乃知历书中斜弧三角矢线加
减之图特以推明算理故为斜望之形其弧线与平面
相离聊足以彷佛意象启人疑悟而不可以实度比量

固不如平仪之经纬皆为实度弧角悉归正形可以算
即可以量为的确而简易也病间录枕上之所得辄成
小帙然思之所引无方而笔之所追未能什一庶存大
致俟同志之讲求耳(此第一卷原序/也馀详目录)
康熙三十有九年重九前七日勿庵力疾书时年六十
有八

钦定四库全书
　历算全书卷九
　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰
　环中黍尺卷一之二
总论
有垂弧及次形而斜弧三角可算乃若三边求角则未
有以处也环中黍尺之法则可以三边求角(如有黄赤/两纬度可)
(求其/经)可以径求对角之边(如有黄道经纬可/径求赤道之纬)立术超妙

而取径遥深非专书备论难谙厥故矣书成于康熙庚
辰非一时之笔故与举要各自为首尾
凡测算必有图而图弧角者必以正形厥理斯显于是
以测浑圆则衡缩欹邪环应无穷殆不翅累黍定尺也
本书命名盖取诸此
用八线至弧度而奇然理本平实以八线量弧度至用
矢而简然义益多通要亦惟平仪正形与之相应一卷
之先数后数所为直探其根以发其藏也

平仪以视法变浑为平而可算者亦可量即视度皆实
度矣二卷之平仪论所以博其趣而三极通几其用法
也(黍尺名书/于兹益著)
矢度之用已详首卷而馀弦之用亦可参观故又有三
卷之初数次数也　初数次数本用乘除亦可以加减
代之故有加减法以疏厥义(自三卷以后非非一时所/撰今以类相附而仍各为)
(之/卷)
四卷之甲乙数即初数次数之变也而彼以乘除此以

加减则繁简殊矣
五卷之法亦加减也而特为省径故称捷焉(用初数不/用次数用)
(矢度不用馀弦以视/甲乙数又省其半)然不可不知其变故又有补遗之
术也
恒星历指之法别成规式而以加减法相提而论固异
名而同实是以命之又法也
　(以上环中黍尺之法约之有六用乘除者二其一先/数后数其一初数次数也用加减者四初数次数也)
　(甲乙数也捷法也又法也本书中具此六/术然而加减捷法其尤为善之善者欤)

外有不系三边求角之正用并可通之以加减之法者
是为加减通法盖术之约者其理必精数之确者为用
斯博并附数则于五卷之末以发其例
　弧三角用平仪正形之理
作图之法有二一为借象一为正形以平写浑不得已
而为侧睨遥望之形以曲状其变然多借象而非正形
兹一准平仪法度寘二极于上下而从旁平视之(如置/身大)
(员之表以/观大员)则浑球上凸面之经纬弧角一一可写于平

面而悉为正形于是测望之法步算之源皆不烦笺疏
而解

　
　
　
　
　
　
　
　

　平仪用实度之理
斜视之图无实度可纪(弧角之形聊足相拟/其实度非算不知)兹者平仪
既归正形则度皆实度循图可得即量法与算法通为
一术(以横径查角度以距/纬查弧度并详二卷)
　平仪用矢线之理
八线中有矢他用甚稀乃若三边求角则矢线之用为
多而又特为简易信古人以弧矢测浑员其法不易然
亦惟平仪正形能著其理(下文/详之)

　矢线之用有二
一矢线为角度之限　钝角用大矢　锐角用小矢(小/矢)
(即正矢也从半径言之为/正矢从全径言之为小矢)法曰置角度于平仪之周则
平员全径为角线所分而一为小矢一为大矢(平仪横/径即浑)
(员之腰围故大矢即钝/角度小矢即锐角度)
如图浑球上甲戊甲丁甲丙三小弧与甲已同度故同
用甲已为正矢丁乙戊乙丙乙三过弧与已乙同度故
同用已乙为大矢

　
　
　
　
　
一矢较为弧度之差　大弧用大矢(弧度过象限为大/弧故大矢亦大于)
(半/径)小弧用小矢(弧度不及象限为小/弧故正矢小于半径)较弧与对弧并同
法曰置较弧对弧于员周(角旁两弧之较为较弧亦/曰存弧对角之弧为对弧)

(亦曰/底弧)则各有矢线而同轴可得其差谓之两矢较也
较弧对弧并小则为两正矢之较(两弧俱象限以/下故俱用正矢)
较弧小对弧大为正矢大矢之较(较弧在象限以下用/正矢对弧过象限用)
(大/矢)
较弧对弧并大为两大矢之较(两弧俱过象限/故俱用大矢)
凡较弧必小于对弧则较弧矢亦小于对弧矢故无以
较弧大矢较对弧正矢之事法所以恒用加也(若较弧/用大矢)
(则对弧/必更大)

　　　　　　　　　如图丑乙弧之正矢辛乙(庚乙/寅乙)
　　　　　　　　　(二弧/同用)子乙弧之正矢壬乙(癸乙/卯乙)
　　　　　　　　　(同/用)则辛壬为两矢之较即为(癸/乙)
　　　　　　　　　(寅/乙)两弧度之较也(或丑乙与子/乙或庚乙与)
　　　　　　　　　(癸乙或寅乙/与卯乙并同)　又如戊乙弧之
大矢已乙与丑乙弧之正矢辛乙相较得较已辛或子
乙弧之正矢壬乙与丙乙弧之大矢已乙相较得较巳
壬皆大矢与正矢较也　又如甲丑弧之大矢辛甲与

甲卯弧之大矢壬甲相较得较辛壬则两大矢较也
约法
凡求对角之弧并以角之矢为比例(钝角用大矢/锐角用正矢)求得
两矢较(半径方一率正弦矩一率/角之矢三率两矢较四率)以加较弧之矢(较弧/大用)
(大矢较弧/小用正矢)得对弧矢加满半径以上为大矢其对弧小
(遇象/限)加不满半径为小矢其对弧小(不过/象限)此不论角之
锐钝边之同异通为一法
凡三边求角并以两矢较为比例求角之矢(半径方一/率馀割矩)

(二率两矢较三/率角之矢四率)得数大于半径为大矢其角则钝得数
小于半径为正矢其角则锐亦不论边之同异通为一
法
问用矢用馀弦异乎曰矢馀弦相待而成者也可以矢
算者亦可用馀弦立算但加减尚须详审若矢线则一
例用加尤为简妙
先数后数法
　(此以平仪弧角正形解浑球上斜弧/三角用矢度矢较为比例之根也)

　(先得数者正弦上距等圈矢也与角之矢/相比后得数者而矢较也与较弧矢相加)
设丙乙丁斜三角形　有乙锐角　有丙乙弧小于象
　　　　　　　　　　　限丁乙弧大于象限(是为/角旁)
　　　　　　　　　　　(之两弧/不同类)　求丁丙为对角
　　　　　　　　　　　之弧　用较弧(角旁两/弧相减)及
　　　　　　　　　　　对弧两正矢之较为加差
　　　　　　　　　　　法以大小两边各引长之
　　　　　　　　　　　满半周遇于戊作戊甲乙

圜径　又于圜径折半处(巳/)命为浑圜心　又自己心
作横半径(如巳/寅辛)则寅辛即乙角之弧亦即为乙角之矢
(平视之为矢度实即/角度之弧跻缩而成)而寅已即乙角之馀弧亦即为乙
角馀弦(因视法能令馀/弧跻缩成馀弦)　又自丁作横半径(巳/辛)之平行
线(如壬/丁甲)此平行线即乙丁大边之正弦(因平视故乙丁/小于乙壬其实)
(乙丁弧之度与乙壬同大今壬甲既为戊/壬及乙壬之正弦亦即为乙丁之正弦矣)而此正弦(壬/甲)
又即为距等圈之半径也(想戊巳乙为半浑圜之中剖/国面侧立形乃自壬丁甲横)
(切之则壬甲为/其横切之半径)则其丁壬分线亦为距等圈上丁壬弧

之矢线矣(有距等圈半/径即有其弧)而此大小两矢线各与其半径
之比例皆等(己辛大圜之半径大故寅辛矢亦大甲壬/距等圈之半径小故壬丁矢亦小然其度)
(皆乙角故比例一也距等虽用戊角/而戊角即乙角有两弧线限之故也)法为已辛与甲壬
若寅辛与壬丁
一率　半径已辛
二率　(大弧/正弦)壬甲(卯距等圈/之半径)
三率　(乙角/矢)寅辛
四率　(先得/数)壬丁(即距等圈/之正矢)

次从丙向已心作丙巳半径此线为加减之主线(以较/弧对)
(弧俱用为半/径而生矢度)　又从壬作壬卯为壬丙较弧之正弦(壬/乙)
(既同丁乙则丁乙弧之/大于丙乙其较为壬丙)　又从丁作癸丁午线为丁丙
对弧之正弦(因平视故丁丙弧小于癸丙其实丁丙弧/与癸丙同大癸午既为癸丙正弦亦即丁)
(丙之正/弦矣)因两正弦平行又同抵巳丙半径为十字正方
角故比例生焉此立算之根本　又从丁作丁子线与
午卯平行而等(以有对弧较弧两/正弦为之限也)成壬丁子句股形
又从丙作丙辰线为乙丙小边之正弦成已丙辰句股

形　此大小两句股形相似(巳丙辰与卯已奎小形相/似则亦与壬丁子形相似)
(等角等/势故也)法为丙已与辰丙若壬丁与丁子
一率　半径丙已　弦
二率　(小弧/正弦)辰丙　股
三率　(先得/数)壬丁　小弦
四率　(两矢/较)丁子　小股
省算法用合理
　(因上两宗内各冇先得数而一/为三率一为四率故对去不用)

　
　
　
　
乃以后得数为矢较加较弧矢(以午卯加/卯丙也)成对弧矢(午/丙)
末以对弧矢(午/丙)减半径(巳/丙)成对弧馀弦(午/已)检表得对弧
(丁/丙)之度
　又法　以后得数减较弧馀弦(以午卯/减卯已)成对弧馀弦

　(午/己)检表得对弧(丁/丙)度亦同(两正矢之较即两馀弦较/也故加之得矢者减之即)
　(得馀/弦)
若先有三边而求乙钝角则反用其率(因前四率反之/以首率为次率)
(三率为/四率)
　
　
　
　

以乙角矢(寅/辛)减半径(辛/巳)得馀弦(寅/巳)检表得乙角之度
　　右锐角以二边求对边及三边求角并以两矢较
　　为加差(以差加较弧矢得对弧/大三边求角则为三率)亦为两馀弦较(依/又)
　　(法以差减较弧馀弦为对弧馀弦/三边求角则两馀弧相减为三率)　角旁弧异类
　　对边小
设亥乙丁斜弧三角形　有乙钝角　有亥乙小弧丁
乙大弧　求亥丁(对角/弧)　用较弧正矢与对弧大矢之
较为加差

　　　　　　　　　　　　　戊乙径为取角度之
　　　　　　　　　　　　　根亢寅角度及房甲
　　　　　　　　　　　　　与亥虚两正弦皆依
　　　　　　　　　　　　　之以立
　　　　　　　　　　　　　大矢即钝角之弧度
　　　　　　　　　　　　　小矢即锐角之弧度
　　　　　　　　　　　　　亥斗径为加减之根
　　　　　　　　　　　　　房氐及危心两正弦

依之以立　有两正弦即有两馀弦及大小矢而加减
之用生焉
法以大小两边各引长之满半周遇于戊　又依小边
半周(乙亥/戊)补其馀半周(戊辛/乙)成全圆　又从戊至乙作
圆径　又作亢辛横径两径相交于已即圆心　则寅
辛为乙角之小矢而寅亢为乙角之大矢(寅已亢即乙/钝角之弧度)
(平视之/成大矢)　若自寅点作直线与戊乙平行取距戊乙之
度加象限即角度　又从丁作房丁壬横线与亢辛横

径平行此线即丁乙大边正弦之倍数(房丁壬与亢辛/平行则房乙即)
(丁乙也因平视故丁乙小于房乙耳而房甲既为房乙/之正弦亦即丁乙正弦也房甲既为正弦房壬则倍正)
(弦矣倍正/弦即通弦)而此(房/壬)倍正弦又即为距等圈之全径(想全/体浑)
(圆从壬丁房横切之成/距等圈而房壬其全径)则房丁分线亦即为距等圈上
丁甲房弧之大矢(有距等圈全径即有其/全圈而房甲丁其切弧)而此两大矢
线各与其全径之比例皆等(亢辛全径大故寅亢大矢/亦大房壬距等圈之全径)
(小故房丁大矢亦小然其度皆乙角之度在乙丁戊及/乙房戊两弧线之中故各与其全圆之比例等而其大)
(矢亦各与其全/径之比例等)即各与其半径之比例亦等(若以甲为/心壬为界)

(作半圆于房壬线上/则距等之弧度见矣)法为亢辛(全/径)与房壬(距等全径/即倍正弦)若
寅亢(钝角/大矢)与房丁(先得数亦/距等大矢)而亢已(半/径)与房甲(乙丁正/弦亦距)
(等半/径)亦若寅亢与房丁
一率　亢巳(半/径)
二率　房甲(大边之正弦/亦距等半径)
三率　寅亢(钝角/大矢)
四率　房丁(先得数亦/距等大矢)
次从亥过巳心作亥已斗全径为加减主线(较弧对弧/之弦俱过)

(此全径而/生大小矢)　又从房作房氐线为房亥较弧之正弦(准/前)
(论房乙同丁乙则丁乙/之大于亥乙其较房亥)　又从丁作心丁娄线与房氐
正弦平行而交亥斗径于危如十字则此线为亥丁对
弧之倍正弦(因视法心亥弧大于亥丁其实即亥丁也/亥丁为平视跻缩之形心亥为正形而心)
(危者心亥弧之正弦也是即亥丁/弧之正弦而心丁娄其倍弦矣)　又从丁作丁女线
与斗亥径平行亦引房氐较弧之正弦为通弦而与丁
女线遇于女成丁女房句股形　又从亥作亥虚线与
亢辛横径及大边之正弦房甲俱平行成亥虚已句股

形　此大小两句股形相似(亥巳即径线与丁女平行/亥虚与房甲丁平行则大)
(形之丁角与小形之亥角等而女/与虚并正角则为等角而相似)法为已亥(半/径)与亥虚
(小边/正弦)若房丁(先得数而/距等大矢)与丁女(后得数亦即氐危为较/弧正矢氐亥及对弧大)
(矢危亥/之较)
一率　半径已亥　弦
二率　(小边/正弦)亥虚　句
三率　(先得/数)房丁　大弦
四率　(后得/数)丁女　大句

　乃以省算法平之
　
　
　
　
乃以后得数加较弧正矢(以氐危加氐/亥成危亥)为对弧大矢内
减半径得对弧馀弦检表得度以减半周为对弧之度
　又法于后得数内减去较弧馀弦成对弧馀弦(于氐/危内)

　(减氐巳其馀危/巳即对弧馀弦)乃以馀弦检表得度以减半周为对弧
　之度　大矢与小矢之较即两馀弦并也内减去一
　馀弦即得一馀弦矣观图自明　前用锐角是于较
　弦馀弦内减得数为对弧馀弦此用钝角是于得数
　内减较弧馀弦为对弧馀弦
若有三边而求角度者则反用其率
一半径上方　　　　一两正弦矩　　半径上方
二两正弦矩　　　　二半径上方　　两馀割相乘矩

三钝角大矢寅亢　　三两馀弦并氐危(即较弧正矢与/对弧大矢之较)
四两馀弦并丁女(即氏/危)四钝角大矢寅亢
乃于所得大矢内减去半径成馀弦以馀弦检表得度
用减半周为钝角之度
　　　右钝角求对边及三边求钝角并用两矢之较
　　　为加差(以差加较弧正矢得对弧大/矢又为三边求角之三率)亦为两馀
　　　弦并(依又法减较弧馀弦得对弧馀弦/三边求角即并两馀弦为三率)　其钝
　　　角旁两弧异类对弧大

　　　　　　　　　　设丁辛乙斜弧三角形
　　　　　　　　　　有辛丁边(五十度/一十分)丁乙对角
　　　　　　　　　　边(六十/度)辛乙边(八十/度)三边并
　　　　　　　　　　小求辛锐角
　　　　　　　　　　法先为戊亢辛全员　作戊
　　　　　　　　　　辛员径　又作亢巳横员径
　　　　　　　　　　(两径十字相交于巳/心此线上有角度)
次于戊辛径左右任取自辛数至丁如所设角旁小边

(五十度/一十分)之数截丁辛为小边　又从丁过巳作径线(此/线)
(上有加/减度)为较弧对角弧两正弦所依　仍自辛过丁数
至房如所设大边(八十/度)之数截房丁为大小两边之较
弧　又自丁过房数至心如所设对边(六十/度)之数截心
丁与乙丁等　仍自丁过辛截娄丁度如心丁乃作娄
心直线联之为心丁对弧之倍正弦　又从房作房甲
横线与亢巳横径平行此为乙辛大边之正弦(因视法/房辛即)
(乙辛/详后)　次视娄心倍弦与房甲正弦两线相遇于乙命

为斜弧形之角　乃从乙角向辛作乙辛弧(此弧亦八/十度与房)
(辛同/大)是所设角旁之大边(理在平仪视法房辛是真度/乙辛是视凸为平跻缩之形)
(想平仪原系浑体从房乙甲横切之则自房至甲为距/等圈之九十度从此线上度度作弧至辛极并八十度)
(不惟乙辛与房辛同大即甲/辛亦与房心同大也他仿此)　又从乙向丁作乙丁弧
(此弧亦六十度/与心丁同大)是所设对角之边(切浑角以心娄距等/圈而以丁为极则危)
(丁亦六十度与心丁同大/矣乙丁同大不言可知)　遂成乙辛丁斜弧三角在
球上之形与所设等　又从乙引乙辛弧线至戊成心
乙戊半周侧立形此线截亢巳半径于寅则亢寅为辛

角矢度而寅己其馀弦　次从丁作丁虚横线与房甲
正弦平行是为辛丁小边之正弦　又从房作房卯线
与心危娄平行则此线为房丁较弧之正弦其心危则
乙丁对弧之正弦　又从乙作乙女线与卯危平行而
等(线在两正弦平行线之/中而赤平行不得不等)是为较弧与对弧两正矢之
较(房卯为较弧正弦则卯已为馀弦而卯丁其矢又心/危为对弧正弦则危巳为馀弦而危丁其矢此两正)
(矢之较为危卯而乙女与之/等则乙女亦两矢之较矣)
法曰巳丁虚句股形与房乙女句股形相似(房乙与丁/虚平行乙)

(女与巳丁平行则所作之大形丁角小形乙角必/等而大形之虚小形之女并正角则两形相似)故丁
虚(小边/正弦)与丁巳(半/径)若乙女(即卯危较弧馀弦/与对弧馀弦之较)与乙房(先/得)
(数/)
又房甲正弦之分为乙房犹亢巳之分为寅亢其全与
分之比例皆相似(从房甲线切浑员成距等圈而房甲/为其半径犹浑员之有亢巳为半径)
(也两半径同为戊寅辛弧线所分则乙房为距等圈半/径之矢度犹寅亢为大员半径之矢度也其比例俱相)
(似/)故房甲(大边正弦即/距等圈半径)与亢巳(大员之/半径)若乙房(先得数/即距等)
(圈之/矢)与寅亢(后得数即/角之矢线)

以省算法平之即异乘同乘异除同除
　
　
　
　
　
　
较弧(二十九度/五十分)馀弦(八六七/四八)正矢(一三二/五二)其较三六七四八

对弧(六十度/)　　　　(五○○/○○)　　(五○○/○○)
一半径方一○○○○○○○○○○(首率除宜去十/尾乃先于二率)
二馀割矩一三二二三二三四○八九(去五位故得数/只去五位即如)
三两矢较　　　　　　　三六七四八(共去十/位也)
四锐角矢　　　　　　　四八五九二(用减半径得辛角/馀弦五一四○八)
检表得五十九度四分为辛角之度(此与历书所算五/十八度五十三分)
(只差十/一分)又法径求馀弦　法曰房甲之分为乙房而其
馀乙甲犹亢已之分为亢寅而其馀寅已也故其全与

分馀之比例亦相似法为房甲(正/弦)与亢己(半/径)若乙甲(正/弦)
(分线/之馀)与寅已(半径截矢之馀/即角之馀弦)
准前论小边之正弦虚丁(句/)与半径丁巳(弦/)若较弧对
弧两矢之较乙女(小/句)与大边正弦之分线乙房(小/弦)也先
求乙房为先得数以转减大边正弦房甲得分馀线乙
甲
一　小边(五十度一○/)正弦　　丁虚　七六七九一
二　半径　　　　　　　　　丁巳一○○○○○

三　(较弧二十九度五○/对弧六 十度○○)两正矢较乙女　三六七四八
四　先得数(大边正弦/之分线)　　　　乙房　四七八五四
　以先得数减大边八十度正弦房甲　九八四八一
　得大边正弦内乙房分线之馀乙甲　五○六二七
　未以分馀线为三率
一　大边正弦　　房甲　九八四四一
二　半径　　　　亢已一○○○○○
三　分馀线　　　乙甲　五○六二七

四　角之馀弦　　寅已　五一四○七(检表得五十九度/○四分与先算合)
附历书斜弧三角图(稍为/校正)
　　　　　　　　　　丙乙丁弧三角形
　　　　　　　　　　乙丙角旁小弧　壬乙同丁
　　　　　　　　　　乙角旁大弧　壬丙为较弧
　　　　　　　　　　　癸丙同丁丙为对角之弧
　　　　　　　　　　　甲壬为大弧正弦　辰丙
　　　　　　　　　　为小弧正弦　壬卯为较弧

正弦　癸午为对弧正弦　寅辛为乙角之弧　庚辛
为乙角之矢　卯丙为较弧之矢　午丙为对弧之矢
　午卯为两矢较　酉壬为先得数　酉子同午卯亦
两矢之较
法为全数(己/辛)与大弧正弦(甲/壬)若角之矢(庚/辛)与先得数(酉/壬)
又全数(巳/丙)与小弧正弦(辰/丙)若先得数(酉/壬)与两矢较(酉/子)也
一率全之方　二率两正弦矩　三率角之矢　四率
得两矢较以两矢较加较弧之矢为对弧之矢

论曰此因欲显酉壬为甲壬距等半圈之矢度故特为
斜望之形其实丁点原在酉寅点原在庚丁壬弧即酉
壬线寅辛弧即庚辛线乙寅丁戊弧原即为乙庚酉戊
弧也故以平仪图之则皆归正位矣所以者何平仪上
惟经度有弧线之形其距等圈纬度皆成直线而寅庚
为角度之正弦直立下垂从其顶视之成一点矣丁酉
者大弧正弦甲壬上所作距等圈之正弦也从顶视之
而成一点与寅庚一也其寅已半径势成斜倚从上视

之与已庚馀弦同为一线甲丁与甲酉亦然此皆平面
正形可以算亦可以量非同斜望比也愚故谓惟平仪
为正形也
若乙角为钝角成亥乙丁三角形则当用房亥较弧之
正矢(牛/亥)与同丁亥对弧之心亥弧大矢危亥相减成两
矢之较(牛危即/女酉)以较加较弧正矢为对弧大矢(法详前/例但前)
(例钝角旁小弧不同乙丙故此图/以相同者论之更见其理之不易)
乙为钝角用大矢之图

　(此用平仪正形故/丁与酉同为一点)
　
　
　
　
　
　
设角之一边适足九十度一边大　用锐角(馀角一/钝一锐)

法为半径与大边之正弦若角之矢与两矢较也亦若
角之馀弦与对弧之馀弦
　　　　　　　　　　乙丁丙斜三角形　丙丁边适
　　　　　　　　　　足九十度乙丁边大于九十度
　　　　　　　　　　丁锐角求对边丙乙　法先作
　　　　　　　　　　平员分十字从丁数丁壬及丁丑
　　　　　　　　　　并如乙丁度作距等线联之(壬/丑)
　　　　　　　　　　又于壬丑线上取乙点(法以壬巳为度/巳为心作半员)

(分匀度而自壬/取角度得乙点)作庚乙癸直线为对弧之正弦　又取
壬丙为较弧作壬卯正弦较弧之矢卯丙对弧之矢癸
丙其较卯癸与壬乙等壬已正弦又即距等圈半径而
为丁乙戊弧所分则壬乙如矢乙已如馀弦与角之丙
子矢子甲馀弦同比例
一　半径丙甲　　　一　半径丙甲
二　(大边/正弦)壬已　　　二　(大边/正弦)壬已
三　(角之/矢)子丙　　　三　(角之/馀弦)子甲

四　(两矢/较)壬乙(即卯/癸)　四　(对弧/馀弦)乙已(即癸/甲)
若丁为钝角　用大矢
法为半径与大边之正弦若角之大矢与两矢较也亦
若钝角之馀弦与对弧之馀弦
借前图作乙辛为对角之弧成乙丁辛三角形(三角/俱钝)作
丑午为较弧丑辛正弦(以丑丁同/乙丁故)其庚癸为对弧乙辛
之正弦(以庚辛即/乙辛故)较弧之正矢午辛对弧之大矢癸辛
其较癸午与丑乙等　依前论壬乙为距等圈小矢则

乙丑为大矢壬丑为距等圈全径与其大矢乙丑之比
例若丙辛全径与钝角之大矢子辛则已丑为距等半
径与其大矢丑乙亦若甲辛半径与钝角之大矢子辛
也而丑已原为乙丁大边之正弦(丑乙原与/癸午等)故法为半
径(甲/辛)与钝角之大矢(子/辛)若大边之正弦(已/丑)与两矢较(丑/乙)
(或癸/午)也
一　半径甲辛　　一　半径甲辛
二　(大边/正弦)丑巳　　二　(大边/正弦)丑已

三　(钝角/大矢)子辛　　三　(钝角/馀弦)子甲
四　(两矢/较)癸午　　四　(对边/馀弦)乙已(用馀弦入表得度以/减半周得对边之度)
一系　距等圈上弧度所分之矢与馀弦与大矢与其
半径或全径并与大圈上诸数比例俱等
又按前法亦可以算一边小于象限之三角
于前图取乙戊丙斜弧三角形用戊锐角(馀角一/钝一锐)有丙
戊大边足九十度有乙戊边小于九十度　求对戊角
之乙丙边

法从乙点作壬已线为小边乙戊之正弦(以壬戊即/乙戊故)
又从乙点作庚癸为对弧乙丙之正弦(以庚丙即/乙丙故)　于
是较弧之矢为卯丙　对弧之矢为癸丙而得两矢之
较为癸卯　则又引戊乙小边之弧过半径于子而合
大圈于丁分子丙为戊角之矢子甲为角之馀弦
法曰丙甲(半/径)与壬已(小边/弦)若子丙(戊角/之矢)与乙壬(两矢/较)也
得乙壬即得癸卯
捷法不用较弧但作壬已为小弧乙戊之正弦作庚癸

为乙丙对弧之正弦其馀弦癸中　又引小边戊乙分
半径于子得子甲为戊角之馀弦
法曰丙甲(半/径)与壬已(小边/正弦)若子甲(戊角/馀弦)与乙巳(对边/馀弦)得
乙己得癸甲矣
又于前图取辛戊乙三角形用戊钝角(馀角/并锐)有戊辛大
边九十度有戊乙边小于九十度　求对戊钝角之辛
乙边
用捷法　于乙点作壬丑为乙戊小边之通弦　作庚

癸为乙辛对弧之正弦　其馀弦甲癸　又引戊乙小
边割丙辛全径于子分子辛为钝角大矢子甲为钝角
馀弦
法为甲辛与丑已若子甲与乙巳得乙巳即得癸甲
一　半径甲辛(即丙辛全/径之半)
二　(小边/王弦)丑已(即壬丑通/弦之半)
三　(钝角/馀弦)子甲
四　(对边/馀弦)癸甲(即乙/巳)

若先有三边而求角则反用其率
一　半径
二　小边馀割
三　对边馀弦
四　角之馀弦
一系凡斜弧三角形有一边足九十度其馀一边不拘
小大通为一法皆以半径与正弦若角之矢与两矢较
也亦若角之馀弦与对边之馀弦

若置大小边于员周其算亦同
　　　　　　　　　　乙丁丙斜弧三角形　乙丁
　　　　　　　　　　边适足九十度　丁丙边小
　　　　　　　　　　于九十度　有丁锐角　求
　　　　　　　　　　对边丙乙　法于平员边取
　　　　　　　　　　丙丁度作丙已为小边之正
　　　　　　　　　　弦　又自丙作丙甲过心线
　　　　　　　　　　　又作壬卯线为丙壬较弧

之正弦　又作庚乙癸线为对弧乙丙之正弦(庚丙/即乙)
(丙/故)　乙壬为丁角之矢　乙甲为丁角之馀弦　癸丙
为对弧之矢　癸甲为馀弦　卯丙为较弧之矢　卯
甲为馀弦　对弧较弧两矢之较卯癸(亦即/乙辰)
　法曰甲丙已壬乙辰乙甲癸三句股相似故甲丙(半/径)
　与丙已(小边/正弦)若壬乙(角之/矢)与乙辰(两矢/较)亦若乙甲(角/之)
　(馀/弦)与甲癸(对弧/馀弦)
三边未角法

　一　半径壬甲(即甲丙/)　二　(小边/馀割)甲甲
　三　(对弧/馀弦)癸甲　　　　四　(角之/馀弦)乙壬
又于前图取乙戊丙三角形　用戊锐角(馀角一/钝一锐)　有
乙戊边九十度　有戊丙大边　求对戊角之丙乙边
用捷法　自丙作丙已为丙戊大边之正弦　即从丙
作丙甲半径　乃于乙点作庚癸为丙乙对弧之正弦
其馀弦癸甲而戊乙弧原分乙甲为戊角之馀弦
　法曰甲丙巳句股与乙甲癸相似故甲丙(半/径)与丙巳

　　若乙甲(角之/馀弦)与甲癸(对边/馀弦)
若丁为钝角(馀角/并锐)　用大矢
　　　　　　　　　　借前图作丑乙为对角之弧
　　　　　　　　　　　成丑丁乙三角(丁为/钝角)　作
　　　　　　　　　　丑甲寅径　又作辛丑较之
　　　　　　　　　　正弦辛午　(以辛丁同/丁乙故)　作
　　　　　　　　　　丑乙对弧之正弦子酉引过
　　　　　　　　　　乙至亥成通弦　又作辛未

线与酉午平行而等　较弧之正矢午丑对弧之大矢
酉丑相较得酉午(亦即/未辛)　乙辛与丁钝角大矢　乙甲
为钝角馀弦
　法曰甲丑已乙辛未乙甲酉三句股相似故甲丑(半/径)
　与丑已(小边/正弦)若乙辛(角大/矢)与未辛(两矢/较)亦若乙甲(角/之)
　(馀/弦)与甲酉(对弧/馀弦)
又于前图取乙戊丑形　用戊钝角(三角/俱钝)　有乙戊边
九十度有丑戊大边　求对钝角之丑乙边

用捷法　自丑作丑已为丑戊大边之正弦　又自丑
作丑甲寅全径　又自乙作亥酉为对边丑乙之正弦
(以亥丑即/乙丑故)　其馀弦酉甲而乙甲原为戊钝角之馀弦
　法曰甲丑己句股形与乙甲酉相似故甲丑(半/径)与丑
　已(大边/正弦)若乙甲(钝角/馀弦)与甲酉(对边/馀弦)
又设丙乙丁三角形　乙为钝角(馀一钝/一锐)　乙丙边小
　丁乙边大　对边丁丙大于象限　较弧壬丙亦大
于象限

　　　　　　　　　　惟对边较弧俱大于象限故
　　　　　　　　　　所得为两大矢之较
　　　　　　　　　　其正弦比例仍用小矢以角
　　　　　　　　　　为锐角也
　
　
　
　

　
　
壬丙较弧之大矢卯丙加后得数午卯为对弧丁丙之
大矢(丁丙即/癸丙故)　大矢午丙内减半径已丙得午已为馀
弦以检表得庚癸之度以减半周得癸丙之度即对弧
丁丙之度
　又法以得数午卯加较弧之馀弦卯巳得午已为对
　弧馀弦(以两大矢较即两/馀弦较也馀同上)

若于前图取丁乙庚三角形则角旁两边俱大于象限
而对边小于象限较弧亦小于象限乙为钝角(三角/俱钝)
有庚乙与丁乙两大边而较弧丑庚小故所得为两小
矢之较其正弦比例则用大矢以乙为钝角故也　丑
庚为较弧其正弦丑亥馀弦亥已　对弧庚丁即庚酉
其正弦酉午馀弦午已(两矢较亥午/即馀弦较)
又设丙乙丁三角形
　乙为锐角(馀一钝/一锐)

　　　　　　　　　　乙丙边小　丁乙边大　对
　　　　　　　　　　弧丁丙大于象限　较弧壬
　　　　　　　　　　丙小于象限　所得为对弧
　　　　　　　　　　大矢与较弧小矢之较
　　　　　　　　　　其正弦比例仍用小矢以乙
　　　　　　　　　　锐角故

　
　
　
　
两馀弦并即大矢与小矢之较也
法以得数午卯加较弧之正矢卯丙成午丙为对弧之
大矢午丙内减去半径已丙得午巳馀弦乃以馀弦检
表得度以减半周得对弧丁丙之度

　若于得数内减较弧馀弧卯己亦即得午己馀弦馀
　如上
又于前图取丁乙庚三角形　乙为钝角(三角/俱饶)　角旁
两边俱大于象限惟对边小故用两正矢较其正弦比
例仍用大矢以钝角故　乙丁弧之通弦丑壬为乙丁
弧所割成丑丁亦割其戌辛全径于寅成寅戌为钝角
大矢而比例等　又丑庚为较弧其正弦丑亥其矢亥
庚　对弧庚丁之通弦酉癸其矢午庚两矢之较为亥

午
　
　
　
　
以两矢较亥午加丑庚较弧之矢庚亥成午庚为对弧
丁庚之矢(以矢减半径庚已得对弧之/馀弦午巳检表得丁庚度)
论曰先得数何以能为句股比例也曰先得数即距等

圈径之分线也其势既与全径平行又其线为弧线所
分其分之一端必与对弧相会(盖对弧亦/从此分也)其又一端必
与较弧相会是此分线恒在较弧对弧两正弦平行线
之中斜交两线作角而为弦则两正弦距线必为此线
之句矣而两矢之较即从两正弦之距而生故不论大
矢小矢其义一也
然则正弦上所作句股何以能与先得数之句股相似
邪曰两全径相交于员心则成角各正弦又皆为各全

径之十字横线则其相交亦必成角而横线所作之角必与
其径线辏心之角等角等则比例等矣大边小边之正弦
皆全径之十字横线也较弧对弧之正弦皆又一全径之十
字横线也此两十字之各线相交而成种种句股其角皆等
　
　
　
　

仍于前图取丁戊庚三角形　戊钝角(馀并/锐)　三边俱
小于象限　戊丁弧之通弦丑壬正弦甲壬　又引戊
丁弧过全径于寅会于乙则寅戌为戊钝角之大矢亦
割丑壬通弦于丁则丑丁与通弦若寅戌大矢与全径
也　又戊庚弧之正弦庚申为句则已庚半径为其弦
其比例若丑未为句而丑丁为弦也　又丑庚为较弧
其正弦丑亥其馀弦亥已其矢亥庚　对弧庚丁之通
弦酉癸正弦癸午馀弦午已其矢午庚两矢之较为亥

午(对弧小故用两小矢之较戊钝角/故以角之大矢为比例并同上条)
　
　
　
　
两法并用钝角其度同所求之庚丁弧又同故其法并
同即此可明三角之理
仍于前图取丁丙戊三角形　有丁丙及戊丙二大边有

丙锐角(馀一钝/一锐)求丁戊对边　法引丁丙及戊丙二弧会
于庚作庚丙径作已亢及已戊两半径作癸午为丁丙边
正弦而丁丙弧割癸午正弦于丁亦割亢已半径丁心则
亢已之分为心亢犹癸午之分癸丁也又作戊井为戊丙
弧之正弦成戊已井勾股形又从丁作壬甲为对弧戊丁之
正弦其矢甲戊又取癸戊为较弧(以癸丙同/丁丙故)作癸氐为较弧
正弦其矢氐戊两矢之较为氐甲又从丁作斗丁与氐甲平
行而等成丁斗癸小句股形与戊已井形相似则已戊弦与

井戊句若癸丁弦与斗丁句也(此因对弧小故所得为/小矢之较而用丙锐角)
(故只用角之正矢为比例丁又此因用丙角求戊丁边矣/故另为比例若用戊角求 丙弧则与第一条之法同)
　
　
　
　
以甲氐加较弧之矢氐戊成甲戊为对弧之矢如法取
其度得丁戊

右例以一图而成四种三角形皆可以入算而诸线错
综有条不紊可见理之真者如取影于灯宛折惟肖也
(又丁丙戊三角形亦可以戊角立算馀三角并然角丁/乙丙形可用丙角庚戊丁形庚乙丁形俱可用庚)
　计开
一图中三角形凡四
　一丁乙丙形　一丁戊丙形　一丁乙庚形　一丁
　戊庚形
全径凡二

　一戊乙径　一庚丙径
算例凡八
　
　
　
　
　
　

　
　
右前四例皆以乙戊径为主线丙庚径为加减线后四
　例皆以丙庚径为主线乙戊径为加减线
一系　凡三角形以一边就全员则此一边之两端皆
　可作线过心为全员之径而一为主线一为加减线
　皆视其所用之角
　凡所用角在径线之端则此径为主线馀一径为加

　减线
　几用锐角则主线在形外用钝角则主线在形内
　凡角旁两弧线引长之各成半周必复相会而作角
　其角必与原角等
　凡主线皆连于所用角之锐端或在形内或在形外
　并同其引长之对角亦必连于主线之又一端也若
　主线在形内破钝角端者其引长之钝角亦然
一系　凡两径线必与两弧相应如角旁弧引长成半

　周其首尾皆至主线之端是主线即为此弧之径也
　如对角弧引长成半周首尾皆至加减线之端是加
　减线即为对弧之径也主线既为引长角旁一弧之
　径又原为全员之径而角旁又一弧之引长线即全
　员也故角旁两弧皆以主线为之径　加减线既为
　对弧之径而较弧在员周其端亦与加减线相连又
　加减线原为全员径故较弧对弧皆以加减线为径
一系　凡全径必有其十字过心之横径而正弦皆与

　之平行皆以十字交于全径引之即成通弦
　主线既为角旁两弧之径故角旁两弧之正弦通弦
　皆以十字交于主线之上而其馀弦其矢皆在主线
　加减线既为对弧较弧之径故对弧较弧之正弦皆
　以十字交于加减线而其馀弦其矢皆在加减线
一系　凡角旁之弧引长之必过横径分为角之矢角
　之馀弦若钝角则分大矢
　角旁引长之弧过横径者亦过正弦通弦故其全与

　分之比例皆与角之大小矢及馀弦之比例等
　平仪论　论以量代算之理
　　　　　　　　　　　　以横线截弧度以直线
　　　　　　　　　　　　取角度并与外周相应
　　　　　　　　　　　　如艮已弧距极三十度
　　　　　　　　　　　　为申未横线所截故其
　　　　　　　　　　　　度与外周未已相应坎
　　　　　　　　　　　　乙应戌乙亦同又乾乙

弧距极六十度为丑卯横线所截故其度与外周丑乙
相应巽已应午已亦同
又如戊已辛角有未戊辰直线为之限知其为六十度
角以与外周未午辛之度相应也癸乙子三十度角应
子丑度亦然又庚已子钝角有午卯庚直线为之限知
其为百五十度角以与外周午未已申寅子弧度相应
也壬乙辛百二十度角应戌乙辰卯辛弧亦然
论曰平仪有实度有视度有直线有弧线直线在平面

皆实度也弧线在平面则惟外周为实度其馀皆视度
也实度有正形故可以量视度无正形故不可以量然
而亦可量者以有外周之实度与之相应也何以言之
曰平仪者浑体之昼影也置浑球于案自其顶视之则
惟外周三百六十度无改观也其近内之弧度渐以侧
立而其线渐缩而短离边愈远其侧立之势益高其跻
缩愈甚至于正中且变为直线而与员径齐观矣此跻
缩之状随度之高下而迁其数无纪故曰不可以量也

然而以法量之则有不得而遁者以有距等圈之纬度为
之限也试横置浑球于案任依一纬度直切之则成侧立之
距等圈矣此距等圈与中腰之大圈平行其相距之纬度等
故曰距等也其距既等则其圈踓小于大圈而其为三百六
十度者不殊也从此距等圈上逐度作经度之弧其距极
亦皆等特以侧立之故各度之视度跻缩不同而皆小于
边之真度其实与边度并同无小大也特外周则眠体
而内线立体耳故曰不可量而可量者以有外周之度

与之相应也此量弧度之法也弧度者纬度也(量法/详后)
然则其量角度也奈何曰角度者乃经度也经度之数
皆在腰围之夫圈此大圈者在平仪则变为直线不可
以量然而亦可以量者亦以外周之度与之相应也试
于平仪内任作一弧角
　　　　　　如乙已丙平员内作已丙戊角欲知其
　　　　　　度则引此弧线过横径于戊而会于乙
　　　　　　则已戊弧即丙锐角之度戊壬弧即而

钝角之度也然已戊壬两弧皆以视法变为平线又何
以量其度法于戊点作庚辛直线与乙丙直径平行则
已庚弧之度即戊巳弧之度亦即丙锐角之度矣其馀
庚乙壬之度即戊丁壬弧之度亦即丙钝角之度矣故
曰不可量而实可量者以有外周之度与之相应也
然此法惟角旁弧度适足九十度如戊丙则其数明晢
若角旁之弧或不足九十度又何以量之曰凡言弧角
者必有三边如上所疏既以一边就外周真度其馀二

边必与此一边之两端相遇于外周而成角此相遇之
两点即馀两弧起处法即从此起数借外周以求其度
而各循其度作距等横线乃视两距等线交处而得馀
一角之所在遂补作馀两弧而弧三角之形宛在平面
再以法量之则所求之角可得其度矣此量角度之法
也
今设乙丁丙弧三角形丁丙边五十○度乙丙边五十
五度乙丁边六十○度而未知其角

　　　　　　　　　　　　法先作戊巳庚丙平员
　　　　　　　　　　　　又作巳丙及戊庚纵横
　　　　　　　　　　　　两径任以丁丙边之度
　　　　　　　　　　　　自直线之左从丙量至
　　　　　　　　　　　　丁得五十○度为丁丙
　　　　　　　　　　　　边又自丙左右各数五
十五度如辛丙及子丙皆如乙丙之度乃作辛子线联
之为五十五度之距等圈　又自丁作卯丁径线自丁

左右各数六十○度为癸丁及丑丁皆如乙丁之数亦
作丑癸线联之为六十○度之距等圈　此两距等线
相交于乙则乙点即为乙丙及乙丁两边相遇之处而
又为一角也　乃自乙角作乙丙及乙丁两弧则乙丙
丁三角弧形宛然平面矣再以法量之则丁丙两角亦
俱可知　欲知丙角即用辛子距等线以半线午子为
度以午为心作子酉辛半员句分一百八十度此辛子
径上距等圈之真形也乃自乙点作直线与午丙径平

行截半员于酉乃从酉数至子得酉子若干度此即乙
丙丁锐角之度以减半周得酉辛若于度亦即乙丙辛
钝角之度也　欲知丁角亦即用丑癸距等线以半线
辰癸为度辰为心作丑亥癸半员分一百八十度此亦
丑癸径上距等圈之正形也乃自乙点作直线与辰卯
径平行截半员于亥即从亥数至癸得亥癸若干度此
即乙丁丙钝角之　度以减半周得亥丑若干度又即
乙丁丑钝角之度也

　计开
丙角七十八度稍弱(以算考之得七十/七度五十五分)丁角六十七度
三分度之二(以算考之得六十/七度三十九分)
　右量角度以图代算(欲得零分须再以算/法考之即知无误)
又设乙丙丁弧三角形有六十○度丙角有乙丙边一
百○○度有丁丙边一百二十○度求丁乙边(对角/之边)
法先为巳戊丙庚大圈作巳丙及庚戊十字径乃自丙
数至辛如所设丁丙边一百二十○度自丙至子亦知

　　　　　　　　　　　　之作辛十子线为一百
　　　　　　　　　　　　二十○度之距等圈
　　　　　　　　　　　　又以距等之半线辛午
　　　　　　　　　　　　为度午为心作辛酉子
　　　　　　　　　　　　半圈匀分一百八十度
　　　　　　　　　　　　乃自辛数至酉如所设
丙角六十度而自酉作酉丁直线与已甲径平行至丁
遂如法作丁丙边　又自丙数至乙如所设乙丙边一

百○○度又从乙过甲心至卯作大圈径亦作寅壬横
径乃补作丁乙边(乙丙丁三角弧/形宛然在目)　又自丁作丑丁癸
距等线与寅壬平行未自乙数至癸得若干度即乙丁
之度
　计开
丁乙线五十九度强(以算考之得五/十九度○七分)
　　右量弧度以图代算(若用规尺可免逐圈匀/分之度有例在后条)
又若先有乙丁对角边丁丙角旁边有丙角而求乙丙

角旁之边(仍借/前圈)
法先作己戊丙员及十字径线又以丁丙边之度取丙
辛及丙子作辛子距等线又作子酉辛半员取辛酉角
度作酉丁直线遂从丁作丁丙边皆如前　次以所设
丁乙边五十九度倍之作一百十八度少于夲员周取
其通弦(即距等线/癸丑之度)乃以通弦线就丁点迁就游移使合
于外周而不离丁点成丑丁癸线即有所乘丑乙癸弧
乃以弧度折半于乙则乙丙外周之度即所求乙丙边

于是补作乙丁线成三角之象
又法以丁乙倍度之通弦(丑/癸)半之于辰乃从辰作卯甲
辰过心径线即割大员周于乙而乙癸及乙丑之弧度
以平分而等皆如乙丁度亦遂得乙丙度馀如上
又若先有乙丙两角及乙丙边在两角之中(亦仍借/前图)
法先作己戊丙员及十字径线皆如前乃自丙数至乙
截乙丙为所设之边　次作丙角法于戊庚横径如前
法求庚亥如所设丙角之度遂从亥点作弧(如丙/亥己)则丙

角成矣　次作乙角法于乙点作乙甲卯径亦作壬寅
横径乃自寅至未如前法求寅未如所设乙角之度遂
从未点作弧(如卯/未乙)则乙钝角亦成矣　两弧线交于丁
角乃补作丑癸及辛子两距等线则弧度皆得(案此两/弧线必)
(以鸡子形作之方准若丁点离/两横径不远则所差亦不多也)
　再论平仪
凡平仪上弧线皆经度而直线皆纬度
惟外周经度亦可当纬度又最中长径纬度亦为经度

平仪上弧线皆在浑面而直线皆在平面
试以浑球从两极中半阔处直切之(如用极至交圈/为度以剖浑仪)则
成平面矣以此平面覆置于案而从中腰横切之(如赤/道半)
(圈/)则成横径于平面矣(如赤道/之径)又以此横径为主离其
上下作平行线而横切之则皆成距等圈之径线于平
面矣大横径各距极九十度逐度皆可作距等圈即皆
有距等径线在平面故曰皆纬度也此线既为距等圈
之径则其径上所乘之距等圈距极皆等即任指一点

作弧度其去极度皆等故以为纬度之限也
若又别指一处为极(如赤道极外又有黄道/极又如天顶亦为极)则其对度
亦一极也亦可如前横切作横径(如黄道/之径)于平面其横
径上下亦皆有九十度之距等圈与其径线矣(如黄道/亦有纬)
(度/)故直线有相交之用也
准此观之浑球之外圈随处可指为极即有对度之极
两极相对则皆有直线为之轴轴上作横径横径上下
即皆有九十度之距等径线而相交相错其象千变而

句股之形成比例之用生加减之法出矣(如黄赤两极/外又有天顶)
(地心之极而天顶地心/随北极之高下而变)又此所用外周特浑球上经圈
之一耳若准上法于球上各经圈皆平切之皆为大圈
则亦可随处为极以生诸距等纬线而相交相错之用
乃不可以亿计矣(如天顶地心既随极出地度而异其/南北亦可因各地经度而异其东西)
由是推之浑球上无一处不可为极故所求之点即极
也何以言之凡于球上任指一点即能于此点之上作
十字直线以会于所对之点而十字所分之角皆九十

度即逐度可作线以会于对点而他线之极此点上线
皆能与之会故曰所求之点即极也
　又论平仪
凡平仪上弧线皆经度也而弧有长短者则纬度也是
故弧线为经度而即能载纬度盖载纬度者必以经度
也若无经度则亦无纬度矣
平仪上直线皆纬度也而线有大小者则经度也是故
直线为纬度而即能载经度盖载经度者必以纬度也

若无纬度则亦无经度矣(所云直线指横径及其/上下之距等径而言)
弧线能载纬度即又能分纬度之大小直线能载经度
即又能分经度之长短
假如平面作一弧引长之其两端皆至外周则分此外
周为两半员而各得百八十度即所作之弧亦百八十
度矣此百八十者皆纬度故曰能载纬度也而此平面
上所乘之半浑员其经度亦百八十而皆纪于腰围之
纬圈若于腰围纬圈上任指一经度作弧线必会于两

极而因此弧线割纬圈以成角度故又曰能分纬度也
不但此也若从此弧线之百八十度上任取一度作平
行距等纬圈其距等圈上所分之纬必小于腰围之纬
圈而其所载距等圈之经度皆与角度等即近极最小
之纬圈亦然何以能然曰纬圈小则其度从之而小而
为两弧线所限角度不变也故纬圈之大小弧度分之
也
然弧线之长短又皆以纬圈截之而成而纬圈必有径

在平面上与圈相应故曰直线能载经度即又能分经
度之长短也
　复论平仪
平仪上直线弧线皆正形也问前论直线有正形弧线
跻缩无正形兹何以云皆正形曰跻缩者球上度也然
其在平面则亦正形矣有中剖之半浑球于此覆而观
之任于其纬度直切至平面则皆直线也而其切处则
皆距等圈之半员即皆载有经度一百八十也从此半

员上任指一经度作直线下垂至平面直立如县针则
距等圈度之正弦也若引此经度作弧以会于两极则
此弧度上所载之纬度一百八十每度皆可作距等圈
即每度皆可作距等圈之正弦矣由是观之此弧上一
百八十纬度既各带有距等圈之正弦即皆能正立于
平面而平面上亦有弧形矣夫以弧之在球面言之别
以侧立之故而视为跻缩而平面上弧形非跻缩也故
曰皆正形也惟其为正形故可以量法御之也

　又
问平仪经纬之度近心阔而近边狭何也曰浑员之形
从其外而观之则成中凸之形其中心隆起处近目而
见大四周远目而见小此视法一理也又中心之经纬
度平铺而其度舒故见大四周之经纬侧立而其度垛
垒故见小此又视法一理也若以量法言之则近内之
经纬无均平之数数皆纪之于外周外周之度皆以距
等线为限而近中线之距等线以两旁所用之弧度皆

直过与横直线所荖少故其间阔近两极之距等线则
其两旁之弧度皆斜过与横直线县殊故其间窄此
量法之理也固不能强而齐一之矣夫惟不能强而
齐故正弦之数以生八线由斯以出尺算比例之法
由斯可以量代算而测算之用遂可以坐天之内观天
之外巳
　取角度
又法

　　　　　　　　　　　　设如巳戊丙庚员有子
　　　　　　　　　　　　辛距等纬线有所分丁
　　　　　　　　　　　　辛小纬线求其所载经
　　　　　　　　　　　　度以命所求之角(丙/角)
　　　　　　　　　　　　本法取距等半径(辛/午)作
　　　　　　　　　　　　子酉辛半员从丁作酉
丁线乃纪酉辛之度为丁辛之度
今用捷法径于丁点作女丁壬线与巳甲径平行再用

距等半径(午/辛)为度从甲心作虚半员截女壬线于亢即
从此引甲亢线至癸则数大圈庚癸之度为丁辛角度
(即丙/角也)
解曰试作氐亢房半员其亢甲牛径既与午辛等则氐
亢房半员与辛酉子等而氐亢房半员又与大员同甲
心则庚癸之度与氐亢等即亦与酉辛等矣
又如先有丙角之度及辛子距等线而求丁点所在以
作丙丁弧

法从大圈庚数至癸令庚癸如丙角之度即从癸向甲
心作癸甲线(半/径)　次以距等之半径辛午为度从甲心
作半员截癸甲(半/径)于亢乃自亢作亢丁壬线截辛午于
丁即得丁点
　用规尺法
设如乙丁辛弧三角形有乙丁边六十度有丁辛边五
十度一十分有乙辛边八十度求辛锐角
如法依三边各作图法以十字剖平员自主线端辛数

　　　　　　　　　　所设丁辛五十度奇至丁乃自
　　　　　　　　　　丁作径线过已心又依所设丁
　　　　　　　　　　乙六十度自丁左数至娄右数
　　　　　　　　　　至丙皆六十度作丙娄线为距
　　　　　　　　　　等圈之径又自辛依所设辛乙
　　　　　　　　　　八十度至房亦左至壬作房壬
距等径线此两距等线交于乙乃作乙丁及辛乙丙线
则三角形宛然在目今以量法求辛角

法曰房甲距等半径与乙甲分线若亢已半径与辛角
之馀弦寅已
法以比例尺正弦线用规器取图中房甲之度于半径
九十度定尺再取乙甲度于本线求正弦等度得角之
馀度乃以所得馀度转减象限命为辛角之度
依法得馀弦三十一度弱即得辛角为五十九度强
又法以房甲为度甲为心作房癸壬距等半圈又作乙
癸正弦与已辛平行如前以房甲度于正弦九十度定

尺再以乙癸度取正弦度命为辛角度
又法作房癸线用分员线取房甲度于六十度定尺再
取房癸线于分员线求等度得数命为辛角之度更捷
论曰既以房甲为半径则乙癸即正弦乙甲即馀弦房
癸即分员皆距等圈上比例也其取角度与分半周度
而数房癸之度并同然量法较捷
又求丁钝角
法以丙危为度危为心作娄丑丙半员又作丑乙线当

角之正弦则乙危当馀弦
乃取距等半径丙危度于正弦线九十度定尺再取乙
危度求得正弦线等度命为钝角之馀弦以所得加九
十度为丁钝角度
依法得馀弦十二度太即得丁钝角一百○二度太
或取丑乙线求正弦线上度命为钝角之正弦以所得
减半周度馀为丁钝角度(两法互用/相考更确)
又法作娄丑分员线取丙危半径于分员线六十度定

尺而求娄丑分员之度分为丁钝角(亦可与正/弦法参考)
论曰兼用弦两法分员线一法以相考理明数确然比
半周度之工尚为省力是故量捷于算而尺更捷矣
若兼作丙丑分员以所得度减半周亦同如此则分员
线亦有两法合之正弦成四法矣
又论曰此条三边求角前条有二边一角求弧可互明
也故用图亦可以求角用尺亦可以求弧智者通之可
也

　三极通几
平员则有心浑员则有极如赤道以北辰为极而黄道
亦有黄极人所居又以天顶为极故曰三极也极云者
经纬度之所宗如赤道经纬悉宗北极而黄道经纬自
宗黄极地平上经纬又宗天顶亦如屋之有极为楹桷
宇梠楶棁之所宗也既有三极即有三种之经纬于是
有相交相割而成角度角之锐端即两线相交之点任
指一点而皆有三种经纬之度与之相应焉故可以黄

道之经纬求赤道之经纬亦可以赤道之经纬求地平
上之经纬以地平求赤道以赤道求黄道亦然举例如后
以黄道经纬求赤道经纬　已辰庚斜弧三角形
　　　　　　　　　　　巳丁乙丙为极至交圈
　　　　　　　　　　　巳为北极　丙甲丁为赤
　　　　　　　　　　　道　庚为黄极　壬甲寅
　　　　　　　　　　　为黄道　星在辰　辰庚
　　　　　　　　　　　为黄极距星之纬　辰庚

酉角为黄道经度　今求赤道经纬　法自辰作黄道
距等纬圈(酉/辛)又自辰作赤道距等纬圈(戊/午)即知此星(辰/)
在赤道之北其距纬戊丙(或午/丁)　次以赤道距等半径
戊卯为度卯为心作午未戊半员又作未辰直线与已
甲平行则未戊弧即为赤道经度(即戊巳/辰角)
　若先有赤道经纬而求黄道经纬亦同
以赤道经纬求地平经纬
　巳子戊三角形(三角/皆锐)

　　　　　　　　　　　戊壬庚辛为子午规　壬
　　　　　　　　　　　辛为地平　戊为天顶
　　　　　　　　　　　巳为北极　丁丙为赤道
　　　　　　　　　　　　星在子　子巳为星距
　　　　　　　　　　　北极　巳角为星距午规
　　　　　　　　　　　经度(即纬圈上/丑子之距)　求地平
上经纬　法自子作寅亥线与辛壬地平平行即知地
平上星之高度亥辛(或壬/寅)　次作寅酉亥半员(以亥寅/半线亥)

(午为度/午为心)又从子作酉子直线与戊甲天顶垂线平行即
子寅为星距午方之度为子戊寅角数酉至寅之弧即
得星在午左或午右之方位是为地平上之经度(按此/图为)
(星在卯酉线之北数酉辰若干度/即知其星距卯酉线若干度也)　若先得地平上经
纬(高度为纬/方位为经)而求赤道经纬(星距赤道为纬距/午线时刻为经)其理亦
同
以两纬度求经度
　巳子戊斜弧三角形

　　　　　　　　　　　假如北极高三十度(巳辛/高)
　　　　　　　　　　　　戊寅壬为午规　太阳
　　　　　　　　　　　在子距赤道北十度(其距/丑丁)
　　　　　　　　　　　(或卯丙/纬度)　子丑为太阳距
　　　　　　　　　　　午线加时经度(即子巳/丑角)
　　　　　　　　　　　寅壬为太阳高度(即亥/辛)
求大阳所在之方　法以太阳高度(亥辛或/寅壬)作亥寅地
平高度纬线又以太阳距赤道纬(丑丁/卯丙)作丑卯赤道北

纬线两线相交于子乃以亥午为度午为心作亥酉寅
半员(分百八/十度)又自子作酉子直线与戊甲平行截半员
于酉则酉至寅之度即太阳所到方位离午正之度(即/子)
(戊寅/外角)　若求加时以北极赤纬线准此求之用子巳戊
角
求北极出地简法(可以出洋知其国土所当经纬西北/广野亦然与地度弧角可以参用)
　不拘何日何时刻但有地平真高度及真方位即可
　得之

　　　　　　　　　　　法曰先以所测高度及方
　　　　　　　　　　　位如法作图取作平仪上
　　　　　　　　　　　太阳所在之点(即地平经/纬交处)
　　　　　　　　　　　次查本日太阳在之道南
　　　　　　　　　　　北纬度用作半径于仪心
　　　　　　　　　　　作一小员末自太阳所在
点作横线切小员而过引长之至边此即赤纬通弦也
乃平分通弦作十字全径过仪心即两极之轴数其度

得出地度
假如测得太阳在辰高三十四度方位在正卯南三度
强而不知本地极高但知本日太阳赤纬十九度今求
北极度
如法作图安太阳于辰(详下/文)　先作丙丁线为地平高
度次用法自正东卯数正弦度至辰得近南三度为地
平经度(或以丙卯为半径作半/规取直应度分亦同)次依本日太阳赤纬十
九度(以员半径取庚/甲十九度正弦)为小员半径作子庚小员末自太

阳辰作横线戊壬切小员于庚乃自庚向甲心作大员
径线已午则已即北极(数己丑之度/为极出地度)依法求得本地极
高四十度
论曰此法最简最真然必得正方案之法以测地平经
度始无错误
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　历算全书卷九