钦定四库全书
　历算全书卷八
　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰
　弧三角举要卷三
斜弧三角形作垂弧说
正弧形有正角如平三角之有句股形也斜弧形无正
角如平三角之有锐钝形也平三角锐钝二形并以虚
线成句股故斜弧形亦以垂弧成正角也正弧形以正

弦等线立算句股法也斜弧形仍以正角立算亦句股
法也
斜弧三角用垂弧法
垂弧之法有三其一作垂弧于形内则分本形为两正
角形其二作垂弧于形外则补成正角形其三作垂弧
于次形
总法曰三角俱锐垂弧在形内一钝二锐或在形内或
在形外(自钝角作垂弧则在形内/自锐角作垂弧则在形外)两钝一锐或三角俱

钝则用次形其所作垂弧在次形之内之外(次形无钝/角垂弧在)
(其内有钝角垂弧在其/外若破钝角亦可在内)
　
　
　
　
　
　

第一法垂弧在形内成两正角(内分五支/)
设甲乙丙形有丙锐角有角旁相连之乙丙甲丙二边
求对边及馀两角

法于乙角(在先有乙丙边之/端乃不知之角)作垂弧(如乙/丁)至甲丙边分
甲丙边为两即分本形为两而皆正角(凡垂弧之所到/必正角也角不)
(正即非垂弧故所分/两角皆正后仿此)　一乙丁丙形此形有丁正角丙
角乙丙边为两角一边可求丁丙边(乃丙甲/之分)乙丁边(即/垂)
(弧/)及丁乙丙角(即乙/分角)　次乙丁甲形有丁正角甲丁边
(甲丙内减丁/丙其馀丁甲)乙丁边为一角两边可求乙甲边甲角及
丁乙甲分角　末以两乙角并之成乙角
　

或如上图丁甲角端作垂弧至乙丙边分乙丙为两亦同
　
　
　
　
　
　　右一角二边而先有者皆角旁之边为形内垂弧
　　之第一支(此所得分形丁丙边必小于元设/边即垂弧在形内而甲为锐角)

设甲乙丙形有丙锐角有角旁相连之丙乙边及与角
相对之乙甲边求馀两角一边
　
　
　
　
　
　

法于不知之乙角(在先有二/边之中)作乙丁垂弧分两正角形
一乙丙丁形此形有丁正角有丙角有乙边边可求乙
丁分线及所分丁丙边及丁乙丙分角　次乙甲丁形
此形有丁正角有乙丁边有乙甲边可求甲角及丁乙
甲分角丁甲边　末以两分角(丁乙丙及/丁乙甲)并之成乙角
　以两分边(丁丙及/丁甲)并之成甲丙边
　　右一角二边而先有对角之边为形内垂弧之第
　　二支

设甲乙丙形有乙丙二角有乙丙边(在两角/之间)求甲角及
馀边
　
　
　
　
　
　

法于乙角作垂弧分两形并如前(但欲用乙丙边故/破乙角存丙角)
一乙丙丁形有丁正角丙角乙丙边可求乙丁边丁丙
边丁乙丙分角　次乙丁甲形有乙丁边丁正角丁乙
甲分角(原设乙角内减丁/乙丙得丁乙甲)可求乙甲边甲角及甲丁边
　末以甲丁并丁丙得甲丙边

或于丙角作垂弧亦同
　
　
　
　
　
　
　

若角一钝一锐即破钝角作垂线其法并同
　
　
　
　
　　右二角一边而边在两角之间不与角对为形内
　　垂弧之第三支(此必未知之角为锐/角则垂弧在形内)

设甲乙丙形有丙甲二角有乙甲边(与丙角相对/与甲角相连)求乙
角及馀二边
　
　
　
　
　
　

法于乙角(为未知/之角)作垂弧分为两形而皆正角　一乙
丁甲形有丁正角甲角乙甲边可求甲丁边乙丁边丁
乙甲分角　次丁乙丙形有丁正角乙丁边丙角可求
乙丙边丁丙边丁乙丙分角　末以甲丁丁丙并之成
甲丙边　以两分角(丁乙甲/丁乙丙)并之成乙角
　　右二角一边而先有对角之边为形内垂弧之第
　　四支(此先有二角必俱/锐则垂弧在内)

设乙甲丙形有三边而内有(乙甲/乙丙)二边相同求三角
　
　
　
　
　
　
　

法从乙角(在相同二/边之间)作垂弧至丙甲边(乃不同/之一边)分两正
角形(其形必相等而甲/丙线必两平分)　乙丙丁形有丁正角乙丙边
丁丙边(即甲丙/之半)可求丙角乙分角(乃乙角/之半)倍之成乙角
而甲角即同丙角(不须/再求)
　　右三边求角而内有相同之边故可平分是为形
　　内垂弧之第五支(此必乙丙乙甲二边并小在九/十度内若九十度外甲丙二角)
　　(必俱钝当用次/形详第三又法)

第二法垂弧在形外补成正角(内分七支/)
设甲乙丙形有丙锐角有夹角之两边(乙丙/甲丙)求乙甲边
及馀两角
　
　
　
　
　

法自乙角(在先有边/之一端)作垂弧(乙/丁)于形外引丙甲边至丁补成正
角形二(一丙乙丁半虚半实/形二甲乙丁虚形)　先算丙乙丁形此形有乙丙边
丙角有丁正角可求丙乙丁角(半虚/半实)乙丁边(形外/垂弧)丁丙边(丙甲/引长)
(边/)　次甲乙丁虚形有丁正角有乙丁边甲丁边(丁丙内减内/甲得甲丁)
可求乙甲边甲角及甲乙丁虚角末以甲角减半周得原设
甲角以甲乙丁虚角减丙乙丁角得原设丙乙甲角
　　右一角二边角在二边之中而为锐角是为形外垂弧之
　　第一支(此所得丁丙必大于原设边/即垂弧在形外而甲为钝角)

设乙甲丙形有甲钝角有角旁之(丙甲/乙甲)二边求乙丙边
及馀二角
　
　
　
　
　
　

法于乙角作垂弧(乙/丁)引丙甲至丁补成正角　先算乙
丁甲虚形此形有丁正角甲角(即原设甲角减半/周之馀亦曰外角)有乙
甲边可求甲丁边乙丁边丁乙甲虚角　次丁乙丙形
有乙丁边丁丙边(甲丙加丁/甲得之)丁正角可求乙丙边丙角
丙乙丁角　末于丙乙丁内减丁乙甲虚角得原设乙
角

或从丙作垂弧至戊引乙甲边至戊补成正角亦同
　
　
　
　　右一角二边角在二边之中而为钝角乃形外垂
　　弧之第二支
　
　

设乙甲丙形有丙锐角有角旁之乙丙边有对角之乙
甲边求丙甲边及馀二角

法从乙角作垂弧至丁成正角(亦引丙/甲至丁)　先算丙乙丁
形有丁正角丙角乙丙边可求诸数(乙丁边丁丙/边丙乙丁角)　次
丁乙甲虚形有丁正角乙丁乙甲二边可求诸数(乙甲/丁角)
(甲乙丁角/甲丁边)　末以所得虚形甲角减半周得原设甲钝
角于丙乙丁内减虚乙角得原设乙角于丁丙内减甲
丁得原设丙甲
　　右一角二边角有所对之边而为锐角乃形外垂
　　弧之第三支(此必甲为钝角/故垂弧在外)

设乙甲丙形有甲钝角有角旁之甲丙边及对角之乙
丙边求乙甲边及馀二角

法于丙角作垂弧至戊补成正角　先算虚形(甲丙/戊)有
戊正角甲角(甲钝角减/半周之馀)甲丙边可求诸数(丙戊边甲戊/边丙虚角)
　次虚实合形(乙丙/戊)有戊正角丙戊边乙丙边可求原
设乙角及诸数(乙丙戊角/乙戊边)　末以先得虚形数减之得
原设数(丙角内减丙虚角得原设丙角乙戊/内减甲戊虚引边得原设乙甲边)
　　右一角二边角有所对之边而为钝角乃形外垂
　　弧之第四支(此先得钝角/垂线必在外)
　

设乙甲丙形有丙甲二角(一锐/一钝)有丙甲边在两角之中

法于丙锐角作垂弧至丁(在甲钝/角外)补成正角　丁丙甲
虚形有丁正角甲外角丙甲边可求诸数(丙丁边甲丁/边丙虚角)
　次乙丙丁形(半虚/实)有丁正角丙丁边丙角(以丙虚角/补原设丙)
(角得丁/丙乙角)可求原设乙丙边乙角及乙甲边(求得乙丁边/内减虚形之)
(甲丁边得原/设甲乙边)
　　右二角一边边在两角间为形外垂弧之第五支
　　(此亦可于甲钝角作垂弧则在/形内法在第一法之第三支)
　

设乙甲丙形有乙甲二角(乙锐/甲钝)有丙甲边与乙锐角相
对(钝角/相连)

法于丙锐角作垂弧至戊(在丙甲/边外)补成正角　甲戊丙
虚形有戊正角有丙甲边甲角(原设形/之外角)可求诸数(丙戊/甲戊)
(二边丙/虚角)　次乙丙戊形有戊正角乙角丙戊边可求丙
角(求得乙丙戊角内减/丙虚角得元设丙角)乙丙边乙甲边(求到乙戊边内/减甲戊得乙甲)
　　右二角一边而边对锐角为形外垂弧之第六支
　
　
　

设乙甲丙形有乙锐角甲钝角有丙乙边与甲钝角相
对(锐角/相连)

法于丙锐角作垂弧至戊(在甲钝/角外)补成正角　乙丙戊
形有戊正角乙角乙丙边可求诸数(丙戊乙戊二/边乙丙戊角)　次
甲丙戊虚形有戊正角甲外角丙戊边可求原设丙甲
边甲乙边(求到戊甲虚边以减/乙戊得原设乙甲)丙角(求到丙虚角以减/乙丙戊角得原设)
(丙/角)
　　右两角一边而边对钝角为形外垂弧之第七支
　
　

第三垂弧又法　用次形(内分九支/)
设乙甲丙形有乙丙二角有乙丙边在两角间而两角
并钝求馀二边及甲角

法引丙甲至己引乙甲至戊各满半周作戊己边与乙
丙等而己与戊并乙丙之外角成甲戊己次形依法作
垂弧于次形之内(如己/丁)分为两形(一己丁戊/一己丁甲)可求乙甲
边(以己丁戊分形求到丁戊以己丁甲形求/到甲丁合之成甲戊以减半周即得乙甲)丙甲边(以/己)
(丁甲分形求到己甲/以减半周即得丙甲)甲角(以己丁甲分形/求到甲交角)
　　右二角一边边在角间而用次形为垂弧又法之
　　第一支
论曰旧说弧三角形以大边为底底旁两角同类垂弧

在形内异类垂弧在形外由今考之殆不尽然盖形内
垂弧分底弧为两成两正角形所用者锐角也(底旁原/有两锐)
(角分两正角形/则各有两锐角)形外垂弧补成正角形所用者亦锐角
也(底旁原有一锐角补成正角/形则虚实两形各有两锐角)故惟三锐角形作垂弧
于形内一钝两锐则垂弧或在形内或在形外若两钝
一锐则形内形外俱不可以作垂弧(垂弧虽有内外而/其用算时并为一)
(正角两锐角之比例若形有两钝角则虽作垂弧只能/成一正一钝一锐之形无比例可求则垂弧为徒设矣)
故必以次形通之而所作垂弧即在次形不得谓之形

内然则同类之说止可施于两锐(若两钝虽亦同类而/不可于形内作垂弧)
异类之说止可施于一钝两锐(若两钝一锐而底弧之/旁一钝一锐虽亦异类)
(然不可于形/外作垂弧)非通法矣(两钝角不用次形垂弧/之法己穷况三钝角乎)
又论曰以垂弧之法徵之则大边为底之说理亦未尽
盖钝角所对边必大既有形外立垂线垂弧之法则钝
角有时在下而所对之边在上矣不知何术能常令大
边为㡳乎此尤易见
　

设乙甲丙形有丙甲二角有乙甲边与丙角相对而两
角俱钝求乙角及馀边

如法引甲乙丙乙俱满半周会于己成丙甲己次形作
己丁垂弧于次形内分次形为两可求乙角(依法求到/分形两己)
(角合之为次形己/角与乙对角等)甲丙边(求到分形甲丁及/丁丙并之即甲丙)乙丙边(求/到)
(次形己丙以/减半周得之)
　　右二角一边边与角对而用次形为垂弧又法之
　　第二支此三角俱钝也或乙为锐角亦同
　
　

设乙甲丙形有乙丙乙甲两边有乙角在两边之中

法用甲乙戊次形(有乙甲边有乙戊边为乙/丙减半周之馀有乙外角)作甲丁垂
弧分为两形可求丙甲边及馀两角(以乙甲丁分形求/到丁乙及甲分角)
(人以甲戊丁形求到甲戊以减半周为丙甲又得甲分/角并先所得成甲角即甲外角又得戊角即丙对角)
　　右二边一角角在二边之中而用次形为垂弧又
　　法之第三支
　　或丙为钝角则于次形戊角作垂弧法同上条
　
　

设乙甲丙形有丙角有甲丙边与角连有乙甲边与角
对

法用甲己戊次形(甲己为甲乙减半周之馀甲戊为甲/丙减半周之馀戊角为丙之外角)
作垂弧(甲/丁)于内分为两形可求丙乙边及馀两角(以甲/丁戊)
(分形求丁戊及甲分角又以甲丁己形求得丁己以并/丁戊成己戊即丙乙也又得分角以并先得分角即甲)
(交角也又得己/角即乙外角也)
　　右二边一角角与边对而用次形为垂弧又法之
　　第四支若甲为钝角亦同
论曰先得丙钝角宜作垂弧于外而乙亦钝角不可作
垂弧故用次形

设乙甲丙形有三边内有(乙甲/丙甲)二边相同而皆为过弧
求三角

法引相同之二边各满半周作弧线联之成戊甲己次
形如法作甲丁垂弧分次形为两(其形/相等)可求相同之二
角(任以甲丁戊分形求到戊角/以减半周得乙角亦即丙角)及甲角(求到甲半角/倍之成甲角)
　　右三边求角内有相同两大边为垂弧又法之第
　　五支　若甲为锐角亦同
　　以上垂弧并作于次形之内
　
　

设乙甲丙形有丙甲二钝角有甲丙边在两角间

法引乙丙乙甲满半周会于戊成甲戊丙次形自甲作
垂弧与丙戊引长弧会于丁补成正角可求乙甲边乙
丙边乙角(先求丙甲丁形诸数次求甲戊丁得甲戊以/减半周为甲乙又以丁戊减先得丁丙得丙)
(戊以减半周为乙丙又求得戊/虚角减半周为戊角即乙对角)
　　右两钝角一边边在角间而于次形外作垂弧为
　　又法之第六支
　
　

或自丙角作垂弧亦同

设乙甲丙形有乙甲二钝角有甲丙边与角对
　
　
　
　
　
　
　

法引设边成丙戊甲次形(有甲外角有戊钝角/为乙对角有丙甲边)如上法
作丙丁垂弧引次形边会于丁可求乙丙边(先求甲丁/丙形诸数)
(次丙丁戊虚形求到丙/戊以减半周为乙丙)乙甲边(先求到丁甲以虚线丁/戊减之得戊甲即得乙)
(甲/)丙角(先求到甲丙丁角内减丙虚/角得丙外角即得元设丙角)
　　右二角一边边与角对垂弧在次形外为又法之
　　第七支

设乙甲丙形有丙钝角有角旁之两边(丙乙/丙甲)
　
　
　
　
　
　
　

法用甲戊丙次形作甲丁垂弧引丙戊会于丁可求乙
甲边及甲乙二角(先以甲丁丙形求到诸数再以甲丁/戊虚形求甲戊即得乙甲又甲虚角)
(减先得甲角成甲外角/又戊虚角即乙外角)
　　右二边一角角在二边之中垂弧在次形外为又
　　法之第八支

设乙甲丙形有甲钝角有一边与角对(乙/丙)一边与角连
(丙/甲)
　
　
　
　
　
　

法用丙戊甲次形自丙作垂弧与甲戊引长边会于丁
可求乙甲边及馀两角(依法求到甲戊即得乙甲求戊/角即乙角以丙虚角减先得丙)
(角即丙/外角)
　　右二边一角角有对边垂弧在次形外为又法之
　　第九支
　　以上垂弧并作于次形之外
论曰三角俱钝则任以一边为底其两端之角皆同类
矣今以次形之法求之而垂弧尚有在次形之外者益

可与前论相发也

　弧三角举要卷四
弧三角用次形法
　次形之用有二
正弧三角斜弧三角并有次形法而其用各有二其一
易大形为小形则大边成小边钝角成锐角其一易角
为弧易弧为角则三角可以求边亦二边可求一边
　
　

第一正弧三角形易大为小　用次形

如图戊己甲乙半浑圜以(戊丙甲/己丙乙)两半周线分为弧三角
形四(一戊丙乙二己丙戊三己丙/甲并大四乙丙甲为最小)今可尽易为小形
一戊丙乙形易为乙甲丙形(戊丙减半周馀丙甲又戊/乙减半周馀乙甲而乙丙)
(为同用之弧则三边之正弦同也乙丙甲角为戊丙乙/外角甲乙丙为戊乙丙外角戊角又同甲角则三角之)
(正弦同也故算甲/丙乙即得戊丙乙)

二己丙戊形易为乙甲丙形(乙甲己及甲己戊并半周/内各减己甲则乙甲同己)
(戊而乙丙于己丙及甲丙于戊丙皆半周之馀又甲戊/并正角丙为交角而乙角又为己角之外角故算乙丙)
(甲得己/丙戊)
三己丙甲形易为乙丙甲形(乙甲为己甲减半周之馀/乙丙为丙己减半周之馀)
(而同用甲丙又次形丙角为元形之外角乙角/同己角甲同为正角故算乙丙甲得己丙甲)
　用法
凡正弧三角内有大边及钝角者皆以次形立算但于
得数后以次形之边与角减半周即得元形之大边及

钝角(其元形内原有小边及锐角与次形/同者径用得数命之不必复减半周)斜弧同
　　以上易大形为小形而大边成小边钝角成锐角
　　为正弧三角次形之第一用(大边易小钝角易锐/则用算画一算理易)
　　(明其算例并/详第二用)

第二正弧三角形弧角相易　用次形(内分/四支)
一乙甲丙形易为丁丙庚次形
　
　
　
　
　
　

解曰丁如北极　戊己壬甲如赤道圈　己庚乙如黄
道半周　辛丁壬如极至交圈(壬如夏至/辛如冬至)　戊丁甲如
所设过极经圈　乙如春分己如秋分并以庚壬大距
为其度　丙如所设某星黄道度　丙乙如黄道距春
分度其馀丙庚即黄道距夏至为次形之一边　丙甲
如黄赤距度其馀丙丁即丙在黄道距北极度为次形
又一边　庚丁如夏至黄道距北极而为乙角馀度是
角易为边也(壬庚为乙角/度其馀庚丁)是为次形之三边

　
　
　
　
　
　
　
　

又丙交角如黄道上交角　庚正角如黄道夏至　甲
乙如赤道同升度其馀壬甲如赤道距夏至即丁角之
弧是边易为角也则次形又有三角
　用法
假如有丙交角乙春分角而求诸数是三角求边也(乙/丙)
(两角并甲/正角而三)法为丙角之正弦与乙角之馀弦若半径与
丙甲之馀弦得丙甲边可求馀边
一　丙角正弦　　　　　　　丙角正弦

二　乙角馀弦　　　　　　　丙角正弦
三　半径(甲角/)　　　(在次形/)　半径(庚角/)
四　甲丙馀弦　　　　　　　丁丙正弦
　　右以三角求边也若三边求角反此用之
若先有乙丙边乙甲边而求甲丙边则为乙甲馀弦(即/次)
(形丁角/正弦)与乙丙馀弦(即庚丙/正弦)若半径(甲角即次/形庚角)与甲丙
馀弦(即丁丙/正弦)
或先有乙丙边甲丙边而求乙甲边则为甲丙馀弦(即/丁)

(丙正/弦)与乙丙馀弦(即庚丙/正弦)若半径(甲角即/庚角)与乙甲馀弦
(即丁角/正弦)
或先有乙甲边甲丙边而求乙丙边则为半径(甲角即/庚角)
与甲丙馀弦(即丁丙/正弦)若乙甲馀弦(即丁角/正弦)与乙丙馀弦
(即庚丙/正弦)
　　右皆以两弧求一弧而不用角也
　　以上为乙甲丙形用次形之法本形三边皆小一
　　正角偕两锐角次形亦然所以必用次形者为三

　　角求边之用也是为正弧三角次形第二用之第
　　一支
　
　
　
　
　
　

二己丙甲形(甲正角馀二角丙钝己锐/丙甲边小馀二边并大)易为丁丙庚次
形

法曰截己甲于壬截己丙于庚使己壬己庚皆满九十
度作壬庚丁象限弧又引丙甲边至丁亦满象限而成
丁丙庚次形此形有丁丙边为丙甲之馀有庚丙边为
己丙之馀(凡过弧内去象限其馀度正弦即过弧之/馀弦故己丙内减己庚而庚丙为其馀弧)有
庚丁边为己角之馀乃角易为边也(庚与壬皆象限即/庚壬为己角之度)
(而丁庚/为其馀)又有丙锐角为元形丙钝角之外角有庚正角
与元形甲角等(壬庚既为己角之弧/则壬与庚必皆正角)有丁角为己甲边
之馀(己甲过弧以壬甲/为馀度说见上文)乃边易为角也

　用法
假如有甲正角己锐角丙钝角而求丙甲边法为丙钝
角之正弦(即次形丙锐角正弦盖/外角内角正弦同用也)与己角之馀弦(即次/形丁)
(庚边之/正弦)若半径(即次形庚正/角之正弦)与丙甲边之馀弦(即次形/丁丙边)

既得丙甲可求己丙边　法为半径与丙角馀弦若甲
丙馀切(次形为丁/丙正切)与己丙馀切(次形为庚/丙正切)得数以减半
周为己丙下同(凡以八线取弧角度者若系大边钝角/皆以得数与半周相减命度后仿此)
求己甲边　法为己角之馀弦(即庚丁/正弦)与丙角之正弦
若己丙之馀弦(即庚丙/正弦)与己甲之馀弦(即丁角正弦/其弧壬甲)
　　右三角求边
又如有己甲己丙两大边求丙甲边　法为己甲馀弦
(即丁角/正弦)与己丙馀弦(即庚丙/正弦)若半径与丙甲馀弦(即丁/丙正)

(弦/)
或有己甲丙甲两边求己丙大边　法为半径与丙甲
馀弦(即丁丙/正弦)若己甲馀弦(即丁角/正弦)与己丙馀弦(即庚丙/正弦)
(得数减半周/为己丙下同)
或有丙甲己二边求己甲大边　法为丙甲馀弦与半
径若己丙馀弦与己甲馀弦(即上法/之反理)
　　右二边求一边
　　以上己丙甲形用次形之法本形有两大边一钝

　　角次形则边小角锐而且以本形之边易为次形
　　之角本形之角易为次形之边(后二形/并同)是为正弧
　　三角次形第二用之第二支
　
　
　
　
　

三己丙戊形(戊正角己钝角丙锐角/己丙与戊丙并大边)易为丁丙庚次形

法曰以象限截己丙于庚其馀庚丙截戊丙于丁其馀
丁丙为次形之二边作丁庚弧其度为己角之馀(己钝/角与)
(外锐角同以壬庚之度取正弦其馀丁/庚为己外角之馀亦即为己钝角之馀)角易边也次形
又为元形之截形同用丙角又庚正角与戊角等而丁
角即己戊边之馀度(试引己戊至辛成象限则戊辛等/壬甲皆丁角之度而又为己戊之)
(馀/)边易角也
　用法
假如有丙锐角己钝角偕戊正角求戊丙边　法为丙

角正弦与己角馀弦(即庚丁/正弦)若半径与戊丙馀弦(即丁/丙正)
(弦/)得数减半周为戊丙(下同/)
既得戊丙可求己丙　法为半径与丙角馀弦若戊丙
馀切(即丁丙/正切)与己丙馀切(即庚丙/正切)
求己戊边　法为戊丙馀弦(即丁丙/正弦)与半径若己丙馀
弦(即庚丙/正弦)与己戊馀弦(即丁角/正弦)
　　以上己丙戊形三角求边为正弧三角次形第二
　　用之第三支

四乙丙戊形(戊正角乙丙并钝角戊乙/戊丙并大边乙丙小边)易为丁丙庚次
形
　
　
　
　
　
　

法曰引乙丙边至庚满象限得次形丙庚边(即乙丙/之馀)于
丙戊截戊丁象限得次形丁丙边(为戊丙/之馀)而丁即为戊
乙弧之极(戊正角至丁九/十度故知之)从丁作弧至庚成次形庚丁
边为乙角之馀是角易为边也(试引庚丁至辛则辛丁/亦象限而辛为正角庚)
(亦正角乙庚乙辛皆象限弧是庚丁辛即乙钝角之/弧度内截丁辛象限而丁庚为乙钝角之馀度矣)又
庚正角与戊等丙为外角丁角为乙戊边之馀是边易
为角也(乙戊丙截乙辛象限其/馀戊辛即丁交角之弧)
　用法

假如三角求边以丙角正弦为一率乙角馀弦为二率
半径为三率求得戊丙馀弦为四率以得数减半周为
戊丙馀并同前
　　以上乙丙戊形三角求边为正弧三角次形第二
　　用之第四支
论曰历书用次形止有乙甲丙形一例若正角形有钝
角及大边者未之及也故特详其法
又论曰依第一用法大边可易为小钝角可易为锐则

第二三四支皆可用第一支之法而次形如又次形矣
(己丙甲形己丙戊形乙丙戊形皆易为乙甲/丙形而乙甲丙又易为丁丙庚是又次形也)

正弧形弧角相易又法　用又次形
甲乙丙正弧三角形易为丁丙庚次形再易为丁戊壬
形
　
　
　
　
　

法曰依前法引乙丙边甲乙边各满象限至庚至己作
庚己弧引长之至丁亦引甲丙会于丁亦各满象限成
丁丙庚次形
又引丙庚至辛引丙丁至戊亦满象限作辛戊弧引之
至壬亦引庚丁会于壬则辛壬庚壬亦皆象限成丁戊
壬又次形此形与甲乙丙形相当
论曰乙丙边易为壬角(乙庚及丙辛皆象限内减同用/之丙庚则辛庚即乙丙而辛庚)
(即壬角/之弧)乙甲边易为丁角(乙甲之馀度己甲/即丁交角之弧)是次形之

两角即元形之两边也乙角易为丁壬边(丁己及庚壬/俱象限内减)
(同用之庚丁则丁壬即己/庚而为元形乙角之弧)丙角易为戊壬边(丙交之弧/弧辛戊其)
(馀为次/形戊壬)是次形之两边即元形之两角而次形戊丁边
即元形丙甲次形戊角即元形甲角
　用法
若原形有三角则次形有戊直角有戊壬丁壬二边可
求乙甲边　法为乙角之正弦(即丁壬/正弦)与半径若丙角
之馀弦(即戊壬/正弦)与乙甲之馀弦(即丁角/正弦)

求乙丙边　法为乙角之切线(即丁壬/切线)与丙角之馀切
(即戊壬/正切)若半径与丙乙之馀弦(即壬角/馀弦)既得两边可求
馀边
　　以上又次形三角求边为正弧三角第二用之又
　　法
论曰用次形止一弧一角相易今用又次形则两弧并
易为角两角并易为弧故于前四支并峙而为又一法
也

第三斜弧三角易大为小　用次形(内分/二支)
一甲乙丙二等边形　三角皆钝
　
　
　
　
　
　

如法先引乙丙边成全图又引甲丙甲乙两边出圜周
外会于丁又引两边各至圜周(如戊/如己)成乙丁丙及戊甲
己两小形皆相似而等即各与元形相当而大形易为
小形
论曰次形(甲戊/甲己)二边为元形边减半周之馀则同一正
弦次形(己/戊)二角为元形之外角亦同一正弦(甲乙戊为/甲乙丙外)
(角而与次形己角等甲丙己为/甲丙乙外角亦与次形戊角等)而次形甲角原与元形
为交角戊己边又等乙丙边(戊乙丙及己戊乙并半周/各减乙戊则戊己等乙丙)

故算小形与大形同法惟于得数后以减半周即得大
边及钝角之度(置半周减戊甲得甲丙减己甲亦得甲/乙又置半周减己锐角得元形乙钝角)
(减戊锐角亦得元形丙钝角其交角甲及/相等之戊己边只得数便是并不用减)

论曰凡两大圈相交皆半周故丁丙与丁乙亦元形减
半周之馀又同用乙丙而乙与丙皆外角丁为对角故
乙丙丁形与戊甲己次形等边等角而并与元形甲乙
丙相当
　　右二边等形易大为小为斜弧次形第一用之第
　　一支
　
　

二甲乙丙三边不等形　角一钝二锐

如法引乙丙作圜又引馀二边(甲乙/甲丙)至圜周(己/戊)得相当
次形己甲戊(算戊甲得甲丙算己甲/得甲乙算己戊得乙丙)其角亦一钝二锐
(算戊钝角得丙锐角算己锐角/得乙钝角而甲交角一算得之)
又戊甲乙形　角一钝二锐　如法引戊乙作圜又引
乙甲至圜周(己/)成次形己甲戊与元形相当(算己甲得/甲乙算己)
(戊得戊乙又同用戊甲边故相当算甲锐角得/甲钝角算戊钝角得戊锐角算己角即乙角)
又甲己丙形　三角俱钝　如上法引丙己作圜又引
丙甲至戊成次形己甲戊与元形相当(元形甲丙与戊/甲元形己丙与)

(己戊并减半周之馀又同用己甲又丙钝/角即戊钝角甲己两锐角并元形之外角)
　　右三边不等形易大为小为斜弧次形第一用之
　　第二支

第四斜弧三角形弧角互易　用次形(内分/三支)
一乙甲丙形(三角/俱钝)易为丑癸寅形(一钝/二锐)
　
　
　
　
　
　

法曰引乙甲作圜次引乙丙至酉引甲丙至未并半周
次以甲为心作丁辛癸寅弧乙为心作戊丑癸壬弧丙
为心作丑子午寅弧三弧交处别成一丑癸寅形与元
形相当而元形之角尽易为边边尽易为角
论曰甲角之弧丁辛与次形癸寅等则甲角易为癸寅
边(丁癸及辛寅皆象限减同/用之辛癸则癸寅同丁辛)乙角之弧己壬与次形丑
癸等则乙角易为丑癸边(癸己及丑壬皆象限减同/用之癸壬即丑癸同壬己)丙
外角之弧午申(引丑午寅至申取亥/申与庚子等成午申)与次形寅丑等则

丙外角易为寅丑弧(丑午及寅申皆象限各加同/用之午寅即午申等丑寅)是元
形有三角即次形有三边也　又甲乙边之度易为癸
外角(乙己及甲辰皆象限内减同用之/甲己则乙甲同己辰为癸外角弧)甲丙边易为寅
角(甲辛及丙子皆象限内减同用之丙/辛则甲丙等辛子而同为寅角之弧)乙丙边易为丑
角(乙壬及午丙皆象限内减同用之丙/壬则乙丙等午壬而同为丑角之弧)是元形有三边
即次形有三角也
又论曰有此法则三角可以求边(既以三角易为次形/之三边再用三边求)
(角法求得次形三角即反为元形/之三边 三边求角法详别卷)

又论曰引丙甲出圜外至申亦引庚亥弧出圜外会于
申则庚亥与子申并半周内各减子亥即子庚同亥申
而子寅既象弧则寅申亦象弧矣以寅申象弧加午寅
与以丑午象限(午壬为丑角之弧/故丑午亦象限)加午寅必等而申午
者丙外角之度丑寅者次形之边也故丙角能为次形
之边也
又论曰凡引弧线出圜外者其弧线不离浑圜面幂因
平视故为周线所掩稍转其浑形即见之矣但所引出

之线原为半周之馀见此馀线时即当别用一圈为外
周而先见者反有所掩如见亥申即不能见子庚故其
度分恒必相当亦自然之理也
又论曰依第三用法之第二支丙未酉形及丙未乙形
丙酉甲形并可易为甲乙丙则又皆以癸丑寅为又次
形矣
　　右三角俱锐形弧角相易为斜弧次形第二用之
　　第一支

二未丙酉形(三角/俱钝)易为丑癸寅形(一钝/二锐)

法曰引酉未弧作圜又引两边至圜周(如乙/如甲)乃以未为
心作丁辛癸寅辰弧以酉为心作戊丑癸壬己弧以丙
为心作庚子丑寅午申弧亦引丙甲出圜外会于申三
弧相交成丑癸寅形此形与元形相当而角尽易为弧
弧尽易为角
论曰未外角之弧丁辛成次形癸寅弧(癸丁及寅辛皆/象限内减同用)
(之癸辛则癸/寅即丁辛)酉外角之弧壬己成次形丑癸弧(壬丑及/癸己皆)
(象限各减癸壬/则丑癸即壬己)丙外角之弧申午成次形寅丑弧(准前/论庚)

(亥及子申并半周则申亥等子庚而申寅为/象限与午丑象限各减午寅即寅丑同申午)　是三角尽
易为边也酉未边成癸外角(酉戊及未丁皆象限各减/未戊则丁戊即酉未而为)
(癸外角之弧若以丁戊减戊乙己半周/其馀丁乙己过弧亦即为癸交角之弧)未丙边减半周
其馀甲丙成寅角(甲辛及子丙皆象限各减辛丙/则辛子即甲丙而为寅角之弧)酉丙
边减半周其馀乙丙成丑角(午丙及壬乙皆象限各减/丙壬则壬午即乙丙而为)
(丑角/之弧)是三边尽易为角也(寅角丑角并原边减半周则/原边即两外角弧与酉未成)
(癸外/角等)故三角减半周得次形三边算得次形三角减半
周得原设三边

　　右三角俱钝形弧角相易为斜弧次形第二用之
　　第二支
论曰若所设为乙未丙形则未角易为次形癸寅边(径/用)
(丁辛子形内以当/癸寅不须言外角)乙外角为丑癸边(亦以己壬当丑癸/与用酉外角同理)
丙角为丑寅边(径以丙交角之弧甲/午当丑寅不言外角)　若所设为甲酉
丙形则酉角易为丑癸边(己壬径当丑/癸不言外角)甲外角为寅癸
边(用丁辛当癸/寅即甲外角)丙角为丑寅边(亦申午当丑/寅不言外角)
又论曰此皆大边径易次形不必复言又次

三甲乙丙形(一钝角/两锐角)易为丑癸寅形

如法引甲乙边作全圜引馀二边各满半周又以甲为
心作丁壬癸丑辰半周以乙为心作戊庚辛癸寅亥弧
以丙为心作己午子丑寅卯弧三弧线相交成丑癸寅
次形与元形相当而角为弧弧为角
论曰易甲角为次形丑癸边(于癸丁象限减壬癸成丁/壬为甲角之弧于丑壬象)
(限亦减壬癸即成/癸丑边其数相等)乙外角为次形癸寅边(于癸戊象限/减癸辛成辛)
(戊为乙外角之弧于寅辛象限亦/减癸辛即成癸寅边其数相等)丙角为次形丑寅边
(于丑午象限减丑子成午子为丙角之弧于/寅子象限亦减丑子即成丑寅边其数相等)则角尽为

边又甲乙边为癸角(于甲丁象限乙戊象限各减乙丁/则戊丁等甲乙而癸角角之弧)
乙丙边成寅角(于乙辛及子丙两象限各减丙辛/则辛子等乙丙而为寅角之弧)甲丙
边为丑外角(于甲壬及午丙两象限各减丙壬/则午壬等甲丙而为丑外角之弧)则边尽
为角
　　右一钝角两锐角形弧角相易为斜弧次形第二
　　用之第三支
论曰若所设为甲丙酉形(三角俱钝而/有两大边)则以甲外角为
次形丑癸边酉外角为癸寅边丙外角为丑寅边又以

三边为次形三外角(并与第二支未丙/酉形三钝角同理)　若所设为丙
未酉形乙未丙形(并一钝二锐/而有两大边)皆依上法可径易为丑
癸寅次形观图自明
　
　
　
　
　

甲乙丙形(三边并大/三角并钝)易为次形

法以本形三外角之度为次形三边(午己为乙外角之/度而与癸壬等丑)
(辛为甲外角之度而与癸寅等申/亥为丙外角之度而与寅壬等)以本形三边减半周
之馀为次形三角(甲乙减半周其馀戊乙或子甲而并/与辰丁等即癸角之度甲丙减半周)
(其馀戊丙而与丑庚等即寅角之度乙丙减/半周其馀子丙而与午亥等即壬角之度)并同前术
论曰此即历学会通所谓别算一三角其边为此角一
百八十度之馀者也然惟三钝角或两钝角则然其馀
则兼用本角之度不皆外角
　　右三角俱钝形弧角相易同第二支(惟三边/俱大)

子戊丙形(一大边二小边/一钝角二锐角)

其法亦以次形(癸壬/癸寅)二边为本形(子/戊)二角之度寅壬边
为丙外角之度次形(寅/壬)二角为本形二小边之度癸角
为大边减半周之度
论曰此所用次形与前同而用外角度者惟丙角其子
角戊角只用本度为次形之边非一百八十度之减馀
也　若设戊丙乙形子丙甲形并同(戊丙乙形惟次形/癸寅边为戊外角)
(其馀癸壬边之度为乙角寅壬边之度为丙角则皆本/度子丙甲形惟次形癸壬边为子外角其馀寅壬边之)
(度为丙角癸寅边之/度为甲角则皆本度)

　　右一钝角二锐角与第三支同(惟为边一/大一小)

第五斜弧正弧以弧角互易(内分/二支)
一甲乙丙形(甲乙边适足九十度馀二/边一大一小角一钝二锐)易为丑癸寅正
弧形(癸正角馀锐/三边并小)
　
　
　
　
　

法曰引乙丙小边成半周(于乙引至卯补成丙乙卯象/限又于丙引至午成丙辛午)
(象限即/成半周)作卯亥庚丑寅午以丙为心之半周(截丙甲大/边于庚使)
(丙庚与丙乙卯等乃作庚卯弧为丙角之度即庚与卯/皆正角依此引至午亦得正角而成半周以丙为心)
作甲丑癸辛戊以乙为心之半周(引甲乙象限至戊成/半周于甲于戊各作)
(正角联之即又成半周而截乙辛成象限与乙/戊等即辛戊为乙外角度而此半周以乙为心)作乙壬
癸寅弧以甲为心(甲戊半周折半于癸成两象限从癸/作十字正角弧一端至寅一端至乙)
(成癸乙象限其所截甲壬亦象限/即乙壬为甲角之弧而甲为其心)三弧线相交成一丑
癸寅次形与本形弧角相易而有正角

　
　
　
　
　
　
　
　

论曰次形丑寅边即本形丙角之度(丑卯及寅庚皆象/限各减丑庚则丑)
(寅即庚卯而/为丙角之弧)癸寅边即甲角之度(寅壬及癸乙皆象限/各减癸壬则癸寅即)
(壬乙而为/甲角之弧)癸丑边即乙外角之度(丑辛及癸戊皆象限/各减癸辛则丑癸即)
(辛戊而为乙/外角之弧)是角尽易边也又寅角为甲丙边所成(庚/丙)
(及壬戊皆象限各减丙壬则寅角之/弧庚壬与甲丙减半周之丙戊等)丑角为乙丙边所
成(午丙及辛乙皆象限各减辛丙/则丑角之弧午辛与乙丙边等)癸正角为甲乙边所
成(癸正角内外并九十度而甲乙象限为癸外/角弧若减半周则乙戊象限为癸交角弧)是边尽
为角而有正角也

又辰戊丙形(辰戊边象限/馀并同前)易为正弧形(并同前法/观图自明)
　
　
　
　
　
　
　

乙丙戊形(乙戊边足一/象限馀并小)易为正角形则丑寅度即丙外
角丑癸度即乙角寅癸度即戊角是角为边也又寅角
生于丙戊丑角生于乙丙癸正角生于乙戊是边为角

辰甲丙形(辰甲象弧馀二/边大三角并钝)易为正角形则丑寅边为丙
外角丑癸边为辰外角寅癸边为甲外角角为边也又
寅角生于甲丙丑角生于辰丙而癸正角生于辰甲(并/准)
(前条诸/论推变)是边为角而且有正角也
　
　
　
　

　　右本形有象限弧即次形有正角而斜弧变正弧
　　为弧角互易之第一支

丙乙甲形(丙正角馀两锐角相/等边三小相等者二)易为己癸壬次形(角一/钝二)
(锐锐/相等)
　
　
　
　
　
　

法以甲为心作寅己丑半周则甲角之度(子寅/弧)成次形
一边(己/壬)以乙为心作卯己午半周则乙角之度(卯辰/弧)成
次形又一边(己/癸)此所成二边相等以丙为心作亥癸壬
未半周则丙角之度(癸壬/象限)即为次形第三边　依法平
分次形以己壬酉形求壬角得原设甲丙边(壬角之度/癸子与甲)
(丙/等)乙丙边(壬癸两锐角原同度而癸角之度/辰壬与乙丙等故一得兼得也)求半己角
倍之成己角以减半周得原设乙甲边(己外角之度午/寅或丑卯并与)
(乙甲/等)

论曰本形有正角次形无正角而有象限弧得次形之
象限弧得本形之正角矣
若设丙戊丁形(丙正角两钝角同度/二大边同度一边小)易为己癸壬次形
与上同法惟丁戊用外角
若设甲丙戊形(丙正角馀一锐一钝而锐角钝角合成/半周边二大一小而小边与一大边合)
(成一/半周)易为己癸壬次形亦同上法惟甲用外角戊用本
角而同度所得次形之边亦同度(甲外角之度子寅成/次形巳壬边戊本角)
(乏度辰卯成次形己/癸边而四者皆同度)其转求本形也用次形之壬角得

甲丙以减半周即得丙戊(或乙丙丁/形亦同)
　　右本形有正角而次形无正角为弧角互易之第
　　二支
或三角形无相同之边角而有正角(其次形必/有象限边)或无正
角而有相同之边角(其次形亦有/等边等角)准此论之

次形法补遗(角一锐一钝/边二大一小)
　附算例　三角求边　三边求角
甲乙丙形(甲角一百二十度乙角一百一十/度丙角八十五度为一锐二钝)三角求边
　
　
　
　
　

如法易为丑寅癸次形(癸寅边六十度当甲角丑癸边/七十度当乙角寅丑边当丙角)
(并以角度减/半周得之)
求甲乙边(即次形/癸外角)法以(甲/乙)两角正弦相乘半径除之得
数(八一三/八○)为一率半径(一○○/○○○)为二率(甲/乙)两角相较(十/度)
之矢与丙角减半周(九十/五度)大矢相较得数(一○七/一九七)为三
率求得四率(一三一/七二四)为次形癸角大矢内减半径成馀
弦(三一七/二四)捡表得癸外角(七十一度/三十分)为甲乙边(本宜求/癸角以)
(减半周得甲乙/今用省法亦同)

论曰三角求边而用次形实即三边求角也故其求甲
乙边实求次形癸角得癸角得甲乙边矣然则两角正
弦仍用本度者何也凡减半周之馀度与其本度同一
正弦也(甲角一百二十度之正弦八六六○三即次形/癸寅边六十度之正弦乙角一百一十度之正)
(弦九三九六九即次形/丑癸边七十度正弦)独丙角用馀度大矢何也正弦
可同用而矢不可以同用也(丙以外角易为次形丑寅/边九十五度其大矢一○)
(八七一六而丙角本八十五度是/锐角当用正矢故不可以通用)然则两角较矢又何
以仍用本度曰两馀度之较与本度同故也(甲角乙角/之较十度)

(所易次形之癸寅边/丑癸边其较亦十度)所得四率为大矢而甲乙边小何
也曰馀度故也(甲乙边易为癸外角而四率所得者/癸内角也故为甲乙减半周之馀度)用
馀度宜减半周命度矣今何以不减曰省算也虽不减
犹之减矣(四率系大矢必先得癸外角七十一度半以/减半周得癸内角一百○八度半再以癸内)
(角减半周仍得七十一度半为甲乙边今径/以先得癸外角之度为甲乙边其理无二)
求甲丙边　如上法以边左右两角正弦(甲八六六○/三丙九九六)
(一/九)相乘半径除之得数(八六二/七三)为一率半径(一○○/○○○)为
二率(甲/丙)两角相较(三十/五度)矢(一八○/八五)与乙外角(七十/度)矢(六/五)

(七九/八)相较得数(四七七/一三)为三率求得甲丙边半周馀度
之矢(五五三/○四)为四率(捡表得六十三/度二十七分)以减半周得甲丙
边(一百一十六/度三十三分)
论曰此亦用次形三边求寅角也(以甲角所易癸寅边/丙角所易寅丑边为)
(角旁二边以乙角所易丑癸边为对角之边求得/寅角之度辛子与酉丙等即甲丙减半周馀度)
求乙丙边　如法以边左右两角正弦(丙九九六一九/乙九三九六九)
相乘半径除之得数(九三六/一二)为一率半径(一○○/○○○)为二
率(丙/乙)两角较(二十/五度)矢(○九三/六九)与甲外角(六十/度)矢相较(四/○)

(六三/一)为三率求得馀度矢(四三四/○三)为四率(捡表得五十分/五度三十二)
以减半周得乙丙边(一百廿四/度廿八分)
论曰此用次形三边求丑角也(丙角易寅丑边乙角易丑癸边/为角旁二边甲角易癸寅为对)
(边求得丑角度午壬与未丙/等即乙丙边减半周馀度)又论曰此所用次形之三边三角
皆本形减半周之馀度(甲乙同己辰即癸外角度则次形癸角/为甲乙边之半周馀度也寅角之度子)
(辛与酉丙等甲丙边之馀度也丑角之度午壬与未丙/等乙丙边之馀度也是次形三角皆本形三边减半周)
(之馀度矣其次形三边为本形/三角减半周之馀己详前注)故所得四率为角之大
小矢者皆必减半周然后可以命度若他形则不尽然

必须详审
　
　
　
　
　
　
　

如甲未丙形(甲角六十度丙角九/十五未角一百一十)易丑寅癸次形则其
角易为边用本度者二(甲角弧丁辛六十度易次形癸/寅边丙角弧申午九十五度易)
(次形寅/丑边)用馀度者一(未角弧壬戊一百一十度其半周/馀度己壬七十度易次形丑癸边)
而其边易为角用本度者二(未丙边五十五度三十二/分与午壬等成次形丑角)
(甲未边馀度未酉七十一度三十分与丁戊等成癸外/角则次形癸角一百○八度三十分为甲未边本度)
用馀者者一(甲丙边一百十六度三十三分其馀度酉/丙六十三度二十七分与辛子等成次形)
(寅/角)若一槩用馀度算次岂不大谬
又如乙丙酉形(乙角七○丙角九/五酉角一二○)用(癸寅/丑)次形(前/图)求丙

酉边
如法以边左右两角正弦(丙九九六一九/酉八六六○三)相乘去末五
位得数(八六二/七三)为一率半径(一○○/○○○)为二率以(酉外角/丙角)
相差(三十/五度)矢(一八○/八五)与乙角矢(六五七/九八)相较(四七七/一三)为
三率求得正矢(五五三/○四)为四率(次形寅/角之矢)捡表得六十三
度二十七分为丙酉边
论曰此所用四率与前条求甲丙边之数同而边之大
小迥异一为馀度一为本度也(前条为馀度之矢故甲/丙边大此条为本度之)

(矢故丙/酉边小)又所用矢较亦以不同而成其同(前条以两角/相差此则以)
(酉外角与丙角相差不同也而相差三十五度则同前条/用乙外角之矢此条用乙本角又不同也而矢数六五)
(七九八/则同)其理皆出次形也
求酉乙边　如法以两角正弦(乙九三九六九/酉八六六○三)相乘去
末五位(得八一/三八○)为一率半径为二率(酉外角/乙角)相差(十/度)之
矢与丙角(九十/五度)之矢相较(得一○六/一九七)为三率求得大矢
(次形癸/角之矢)为四率(一三一/七二四)捡表(得一百○八/度三十分)为酉乙边(此/与)
(前条求甲乙边参看即见次/形用法不同之理如前所论)

求乙丙边　与前条同法(因丙乙两内角之正弦及差/度并与两外角同而酉角又)
(同甲角/故也)
论曰三角求边必用次形而次形之用数得数并有用
求度馀度之异即此数条可知其槩
又论曰在本形为三角求边者在次形为三边求角故
此数条即三边求角之例也(馀详环/中黍尺)
　
　

垂弧捷法(作垂弧而不用/其数故称捷法)　亦为次形双法(用两次形/故称双法)
设亥甲丁形有甲亥边亥丁边亥角(在二边/之中)求甲丁边
(对角/之边)

本法作垂弧分两形先求甲已边次求亥已边分丁巳
边再用甲巳丁巳二边求甲丁边
今捷法不求甲已边但求亥已边分丁已边即用两分
形之两次形以径得甲丁
一　亥已馀弦　即次形亥戊正弦
二　亥甲馀弦　即次形亥丙正弦
三　已丁馀弦　即次形辛丁正弦
四　甲丁馀弦　即次形庚丁正弦

法引甲亥边至丙引甲丁边至庚引甲已垂弧至乙皆
满象限又引分形边亥已至戊引丁已至辛亦满象限
末作辛庚乙丙戊半周与亥已遇于戊与丁已遇于辛
成亥丙戊次形与甲已亥分形相当丁亥辛次形与甲
已丁分形相当而此两次形又自相当(戊角辛角同以/己乙为其度则)
(两角等丙与庚又同为正/角则其正弦之比例皆等)
论曰半径与戊角之正弦若戊亥之正弦与亥丙之正
弦又半径与辛角(即戊/角)之正弦若辛丁之正弦与丁庚

之正弦合之则戊亥正弦与亥丙正弦亦若辛丁正弦
与丁庚正弦
又论曰辛丁已亥戊如黄道半周辛庚乙丙戊如赤道
半周甲如北极辛如春分戊如秋分已乙如黄赤大距
即夏至之纬乃二分同用之角度(即戊角辛/角之度)亥丙及丁
庚皆赤纬甲亥及甲丁皆距北极之度(即赤纬/之度)
一　戊亥正弦　黄经　　戊亥为未到秋分之度辛
二　亥丙正弦　赤纬　　丁为已过春分之度似有

三　辛丁正弦　黄经　　不同而二分之角度既同
四　丁庚正弦　赤纬　　故其比例等

一　亥已馀弦　　即亥戊正弦
二　亥甲馀弦　　即亥丙正弦
三　已丁馀弦　　即戊丁正弦
四　甲丁馀弦　　即庚丁正弦
论曰此理在前论中盖以同用戊角故比例同也
又论曰乙庚丙戊如赤道已丁亥戊如黄道皆象弧戊
角如秋分其弧己乙如夏至距纬(此两黄经并在夏至/后秋分前其理易见)
或先有者是丁钝角甲丁丁亥二边则先求丁巳线(亦用/前图)

一　丁已馀弦　　即戊丁正弦
二　甲丁馀弦　　即丁庚正弦
三　亥已馀弦　　即亥戊正弦
四　亥甲馀弦　　即亥丙正弦
又论曰假如星在甲求其黄赤经纬则亥丁如两极之
距亥角若为黄经则丁角为赤经而亥甲黄纬丁甲赤
纬也若丁角为黄经则亥角为赤经而丁甲黄纬亥甲
赤纬也(弧三角之理随处可/施故举此以发其例)

　弧三角举要卷五
八线相当法引
弧三角有以相当立法者何也以四率皆八线也弧三
角四率何以皆八线而不用他线(八线但论度他/线则有丈尺)浑体
故也(弧三角皆在/浑员之面)浑体异平而御浑者必以平是故八
线之数生于平员而八线之用专于浑员也曷言乎专
为浑员曰平三角之角之边皆直线也同在一平面而
可以相为比例故虽用八线而四率中必兼他线焉(以/八)

(线例他线则用角可以求边以他线例/八线则用边可以求角皆兼用两种线)弧三角之角之
边皆弧度曲线也不同在平面故非八线不能为比例
而四率中无他线焉既皆以八线相比例则同宗半径
(有角之八线有边之八线各角各边俱/非平面而可以相求者同一半径也)相当互视之法
所由以立也错举似纷实则有条不紊故为论列使有
伦次云

八线相当法详衍
总曰相当分之则有二曰相当曰互视互视又分为二
曰本弧曰两弧
但曰相当者皆本弧也又分为二曰三率连比例者以
全数为中率也其目有三曰四率断比例者中有全数
也其目有六凡相当之目九
互视者亦相当也皆为断比例而不用全数若以四率
之一与四相乘二与三相乘则皆与全数之自乘等也

　本弧之互视其目有三两弧之互视其目有九凡互
视之目十二
总名之皆曰相当其目共二十一内三率连比例三更
之则六四率断比例十有八更之反之错而综之则百
四十有四共百有五十
　相当共九
一曰正弦与全数若全数与馀割
二曰馀弦与全数若全数与正割

三曰正切与全数若全数与馀切
　　以上三法皆本弧皆三率连比例而以全数为中
　　率
四曰正弦与馀弦若全数与馀切
五曰馀弦与正弦若全数与正切
六曰正割与正切若全数与正弦
七曰馀割与馀切若全数与馀弦
八曰正割与馀割若全数与馀切

九曰馀割与正割若全数与正切
　　以上六法亦皆本法而皆四率断比例四率之内
　　有一率为全数
　互视共十二
一曰正弦与正切若馀切与馀割
二曰馀弦与馀切若正切与正割
三曰正弦与馀弦若正割与馀割
　　以上三法亦皆本弧皆四率断比例而不用全数

　　然以四率之一与四二与三相乘则其两矩内形
　　皆各与全数自乘之方形等
四曰此弧之正弦与他弧正弦若他弧之馀割与此弧馀割
五曰此弧之正弦与他弧馀弦若他弧之正割与此弧馀割
六曰此弧之正弦与他弧正切若他弧之馀切与此弧馀割
七曰此弧之馀弦与他弧馀弦若他弧之正割与此弧正割
八曰此弧之馀弦与他弧正弦若他弧之馀割与此弧正割
九曰此弧之馀弦与他弧馀切若他弧之正切与此弧正割

十曰此弧之正切与他弧正切若他弧之馀切与此弧馀切
十一曰此弧之正切与他弧正弦若他弧之馀割与此弧馀切
十二曰此弧之正切与他弧馀弦若他弧之正割与此弧馀切
　　以上九法皆两弧相当率也其为四率断比例而
　　不用全数则同若以四率之一与四二与三相乘
　　其矩内形亦各与全数自乘之方形等

　相当法错综之理
　
　
　
　
此三率连比例也首率与中率之比例若中率与末率
故以首率末率相乘即与中率自乘之积等
假如三十度之正弦(○五○/○○○)与全数(一○○/○○○)之比例若

全数(一○○/○○○)与三十度之馀割(二○○/○○○)其比例皆为加
例也更之则馀割(二○○/○○○)与全数(一○○/○○○)若全数(一○/○○)
(○/○)与正弦(○五○/○○○)其比例为折半也
又如三十度之馀弦(○八六/六○三)与全数(一○○/○○○)若全数(一/○)
(○○/○○)与三十度之正割(一一五/四七○)更之则正割(一一五/四七○)与
全数(一○○/○○○)若全数(一○○/○○○)与馀弦(○八六/六○三)也
又如三十度之正切(○五七/七三五)与全数(一○○/○○○)若全数(一/○)
(○○/○○)与三十度之馀切(一七三/二○五)更之则馀切(一七三/二○五)与

全数(一○○/○○○)若全数(一○○/○○○)与正切(○五七/七三五)也
　用法
凡三率连比例有当用首率与中率者改为中率与末
率假如有四率其一三十度正弦其二全数改用全数
为一率三十度馀割为二率其比例同
　
　
　

　
　
凡四率之前后两率矩内形与中两率矩形等故一与
四二与三可互居也

　
　
　
　
　
右四率断比例也一率与二率之比例若三率与四率
假如三十度之正弦(○五○/○○○)与其馀弦(○八六/六○三)若全数
(一○○/○○○)与其馀切(一七三/二○五)更之则馀切(一七三/二○五)与全数

(一○○/○○○)若馀弦(○八六/六○三)与正弦(○五○/○○○)也(第四法/)
又如三十度之正割(一一五/四七○)与其正切(○五七/七三○)若全数
(一○○/○○○)与其正弦(○五○/○○○)更之则全数(一○○/○○○)与正割
(一一五/四七○)若正弦(○五○/○○○)与正切(○五七/七三五)也(第六法/)
又如三十度之馀割(二○○/○○○)与其正割(一一五/四七○)若全数
(一○○/○○○)与其正切(○五七/七三五)更之则正切(○五七/七三五)与正割
(一一五/四七○)若全数(一○○/○○○)与馀割(二○○/○○○)也(第九法/馀仿此)
　用法

凡四率断比例当用前两率者可以后两率代之假如有四率
其一正弦其二馀弦改用全数为一率馀切为二率其比例同
　互视

　
　
此本弧中互相视之率也其第一与第四相乘矩第二
与第三相乘矩皆与全数自乘方等故其边为互相视
之边而相与为比例皆等
假如三十度之正弦(○五○/○○○)与其馀割(二○○/○○○)相乘(一/○)
(○○○○○/○○○○)其馀弦(○八六/六○三)与其正割(一一五/四七○)相乘(一○/○○)
(○○○/○○弱)皆与全数自乘之方等故以正弦为一率馀弦

为二率正割为三率馀割为四率则正弦(○五○/○○○)与馀
弦(○八六/六○三)若正割(一一五/四七○)与馀割(二○○/○○○)也(第三法/)
又如三十度之正切(○五七/七三五)与其馀切(一七三/二○五)相乘(一/○)
(○○○○/○○○弱)亦与全数之方等故以正弦为一率馀切为
二率正切为三率馀割为四率则正弦(○五○/○○○)与正切
(○五七/七三五)若馀切(一七三/二○五)与馀割(二○○/○○○)也(第一法/)
或以馀弦为一率馀切为二率正切为三率正割为四
率则馀弦(○八六/六○三)与馀切(一七三/二○五)若正切(○五七/七三五)与正

割(一一五/四七○)也(第二法/)
　用法
此亦四法断比例故当用前两率者可以后两率代之
假如有四率当以正弦与正切为一率二率者改用馀
切为一率馀割为二率以乘除之其比例亦同馀仿此
　本弧诸线相当约法
　其一为弦与股之比例　　反之则如股与弦
　全　正割　馀切　馀割　全　　馀弦　正切　正弦

　正弦　正切　馀弦　全　馀割　馀切　正割　全
　其二为弦与句之比例　　　反之则如句与弦
　全　　馀割　正切　正割　全　　正弦　馀切　馀弦
　馀弦　馀切　正弦　全　正割　正切　馀割　全
　其三为句与股之比例　　　反之则如股与句
　全　　馀弦　馀割　馀切　全　　正割　正弦　正切
　正切　正弦　正割　全　　馀切　馀割　馀弦　全
　　右括本弧七十八法

　
　
　
　
　
　
　
　

如图甲丙甲乙甲丁皆半径全数乙丙为正弧乙丁为
馀弧乙戊为正弦庚丙为正切线庚甲为正割线乙己
为馀弦辛丁为馀切线辛甲为馀割线

　
　
　
　
　
　
　
　

　　此皆一定比例观图自明
　外有馀切馀弦非弦与股之比例则借第二比例更
　之
　　一　甲乙全数(即甲/丁)　　辛丁馀切
　
　
　　四　辛丁馀切　　　　甲丁全数
　　全数与馀弦若馀割与馀切更之而馀切与馀弦

　　若馀割与全数也馀割与全数既为弦与股则馀
　　切与馀弦亦如弦与股矣
　正切正弦非弦与句之比例则借第一比例更之
　　一　甲乙全数(即甲/丙)　　庚丙正切
　
　
　　四　庚丙正切　　　　甲丙全数
　　全数与正弦若正割与正切更之而正切与正弦

　　若正割与全数也正割与全数既为弦与句则正
　　切与正弦亦如弦与句矣
　馀割正割非句与股之比例则仍借第一比例更之
　　一　馀割辛甲　　　　馀割辛甲
　　二　全数甲丁(即甲/丙)　　正割庚甲
　　三　正割庚甲　　　　全数甲丙
　　四　正切庚丙　　　　正切庚丙
　　馀割与全数若正割与正切更之而馀割与正割

　　若全数与正切也全数与正切既为句与股则馀
　　割与正割亦如句与股矣
　　(互视自此而分以前为本弧所用共大法三更之/则二十有四合相当法则七十有八而总以三率)
　　(连比例三/大法为根)
　　(以后为两弧所用共大法九更之七十/有二而仍以本弧之三率连比例为根)

　
　
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
九法

　
　
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
十二法

　
　
　
　
　　(以上大法三更之二十有四是以/本弧之正切馀切与他弧互视)
此皆两弧中互相视之率也本弧有两率相乘矩与全
数之方等他弧亦有两率相乘矩与前数之方等则此
四率为互相视之边互相视者此有一率赢于彼之一

率若干倍则此之又一率必朒于彼之又一率亦若干
倍而其比例皆相等故以此弧之两率为一与四则以
他弧之两率为二与三
假如有角三十度边四十度此两弧也角之正弦(○五/○○)
(○/○)与其馀割(二○○/○○○)相乘(一○○○○/○○○○○)与全数自乘等
边之正弦(○六四/二七九)与其馀割(一五五/五七二)相乘(一○○○○/○○○○弱)
亦与全数自乘等则此四率为互相视之边互相视者
言角之正弦(○五○/○○○)与边之正弦(○六四/二七九)若边之馀割

(一五五/五七二)与角之馀割(二○○/○○○)也(第四法/)
又如有二边大边五十度小边三十度大边之正弦(○/七)
(六六/○四)馀割(一三○/五四一)相乘与全数自乘等小边之正切(○/五)
(七七/三五)馀切(一七三/二○五)相乘亦与全数自乘等则此四者互
相视互相视者言大边之正弦(○七六/六○四)与小边之正切
(○五七/七三五)若小边之馀切(一七三/二○五)与大边之馀割(一三○/五四一)
也(第六法/)
又如有两角甲角三十度乙角五十度此亦两弧也甲

角之正切(○五七/七三五)馀切(一七三/二○五)相乘与全数自乘等乙
角之正切(一一九/一七五)馀切(○八三/九一○)相乘亦与全数自乘等
则此　率为互相视之边互相视者言甲角之正切(○/五)
(七七/三五)与乙角之正切(一一九/一七五)若乙角之馀切(○八三/九一○)与
甲角之馀切(一七三/二○五)也(第十法/)
　用法
假如别有四率以五十度正弦为第一三十度正切为第
二今改用三十度馀切第一五十度馀割第二其比例同

如图壬丙为本弧乙丙为他弧他弧小于本弧而并在
半象限以内
本弧(正弦壬癸/馀割未甲)　(馀弦壬丑/正割庚甲)　(正切庚丙/馀切未丁)
他弧(正弦乙戊/馀割酉申)　(馀弦乙巳/正割辛甲)　(正切辛丙/馀切酉丁)
论曰甲丙甲丁皆半径乃本弧他弧所共也半径自乘
之方幂为甲丙卯丁而本弧中以正弦乘馀割以馀弦
乘正割以正切乘馀切所作矩形既各与半径方幂等
则他弧亦然故可以互相视而成相当之率

如上图壬丙本弧在半象限内巳丙他弧在半象限外
亦同

如上图壬丙本弧小于乙丙他弧而并在半象限外并
同
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　历算全书卷八