序
历家所凭全恃测验昔者蔡邕上书愿匍匐浑仪之下
按度考数著于篇章以成一代盛典古人之用心盖可
想见然则儒者端居斗室足不履观台目不睹浑象安
所得测验之事而亲之而安从学之曰所恃者有测验
之法之理在则句股是也遭秦之厄天官书器散亡汉
落下闳鲜于妄人等追寻坠绪历代相承考订加详至
于今日厥理大著则句股之用于浑圆是也今夫测量

之法方易而圆难古用径一围三聊举成数非有所不
知也自刘徽祖冲之各为圆率逮元赵友钦定为径一
则围三一四一五九二与今西术略同皆割圆以得之
非句股奚藉焉(西法割圆比例以直角三边形为/主即句股也但异其名不异其实)然用
句股测平圆犹易用句股测浑圆更难历家所测皆浑
圆也非平圆也古有黄赤道相准之率大约于浑器比
量仅得梗槩未能彰诸笇术近代诸家以相减相乘推
变其差损益有序稍为近之而未亲也惟元郭太史守

敬始以弧矢命笇有平视侧视诸图推步立成诸数黄
赤相求斯有定率视古为密由今观之皆句股也但其
立法必先求矢又用三乘方取数不易故但能列其一
象限中度率不复能求其细分之数历书之法则先求
角既因弧以知角复因角以知弧而句股之形能预定
其比例又佐之八线互用以通其穷其法以三弧度相
交辄成三角则此三弧度者各有其相应之弦弧与弧
相割即弦与弦相遇而句股生焉苟熟其法则正反斜

侧八线犁然各相得而成句股(八线比例以半径全数/为弦正弦馀弦为句为)
(股又以割线为弦切线与半径全数为/其句股表中所列句股形凡五千四百)于是乎黄可变
赤赤可变黄可以经度知纬可以纬度知经罗络钩连
旁通曲畅分秒忽微胪陈笇位求诸中心可无纤芥之
疑告诸同学亦如指掌之晰即不必匍匐浑仪之下可
以不窥牖而见天道赖有此具也全部历书皆弧三角
之理即皆句股之理顾未尝正言其为句股使人望洋
无际(彼云直角三边形此云句股乃西国/方言译书时不知此理遂生分别)又译书者识

有偏全笔有工拙语有浅深详略所载图说不无渗漏
之端影似之谈与臆参之见学者病之兹稍为摘其肯
綮从而疏剔订补以直截发明其所以然窃为一言以
蔽之曰析浑圆寻句股而已盖于是而知古圣人立法
之精虽弧三角之巧岂能出句股范围然句股之用亦
必至是而庶无馀蕴尔历法之深微奥衍不啻五花八
门其章句之诘曲离奇不啻羊肠絙度而由是以启其
扃钥庶将掉臂游行若揭日月而骋康庄矣文虽不多

实为此道中开辟涂径盖积数十年之探索而后能会
通简易故亟欲与同志者共之余老矣禹服九州之大
历代圣人教泽所渐被必有好学深思其人所冀大为
阐发俾古人之意晦而复昭一线之传引而弗替则生
平之志愿毕矣岂必身擅其名然后为得哉余拭目俟
之康熙二十三年上元甲子长至之吉勿庵梅文鼎书
于柏枧山中

钦定四库全书
　历算全书卷七
　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰
　弧三角举要卷一
弧三角体势
弧三角与平异理故先体势知体势然后可以用算而
算莫先于正弧犹平三角之有句股形也故以为弧度
之宗正弧形之之角取法于黄赤交角则有定度而馀

角取法于过极圈交黄道之角则随度而移互用之其
理益显故有求馀角法弧三角以一角对一边而比例
等与平三角同而其理回别故有弧角比例法斜弧无
相对之弧角则比例之法穷故有垂弧法三角求边则
垂弧之法又穷故有次形法垂弧与次形合用则有捷
法弧与角各有八线而可以互视故有相当法(馀详环/中秦尺)
(及堑堵/测量)
　弧度与天相应

弧三角之法以测浑员浑员之大者莫如天员之至者
亦莫如天故弧三角之度皆天度也
以平测员其难百倍以员测员其简百倍而得数且真
是故测天者必以弧度而论弧度者必以天为法
　测弧度必以大圈
浑球上弧度有极大之圈乃腰围之一线也如赤道带
天之纮原止一线如黄道如子午规如地平规尽然
又如测得两星相距之远近亦为大圈之分(若以此两/星之距弧)

(引而长之必匝于浑员之体而成/大圈不论从衡斜侧皆同一法)
　球上大圈必相等
所以必用大圈者以其相等也　浑球上从衡斜侧皆
可为大圈而其大必相等者以俱在腰围之一线也如
黄道赤道及子午规地平规俱系大圈必皆相等不相
等即非大圈故惟大圈可相为比例(任测两星之距不/必当黄赤道而能)
(与二道相比例者/以其皆大圈也)
　球上两大圈无平行者

大圈在浑球既为腰围之一线则必无两圈平行之法
若平行即非大圈(如黄赤道并止一线而无广即无地/可容平行线也子午规地平规亦然)
　球上圈能与大圈平行者皆小圈谓之距等圈
离大圈左右作平行圈皆曰距等圈谓其四围与大圈
相距皆等(如于黄道内外作纬圈其与黄道相距或近/则四面皆近或远则四面亦皆远无毫忽之)
(不同平行故也赤道/纬圈地平高度并同)而其自相距亦等故曰距等也(如/黄)
(道内外或近或远处处可作距等圈而皆与/黄道平行即其圈亦自相平行故并为等距)距等圈皆
小于大圈(如黄道内外纬圈但离数分其围即小于黄/道其距益远其圈益小小之极至一点而止)

(诸纬圈/并然)不能与大圈为比例(大圈惟一距等圈无数无/一同者无法可为比例)
故为比例者必大圈也

如图甲乙为大圈大圈只一丙丁及戊庚等皆小圈小
圈无数渐近圆顶己即其圈愈小而成一点大小悬殊
故不可以相为比例
　大圈之比例以度不拘丈尺
凡圈皆可分三百六十度(每圈平分之成半周四平分/之成象限象限又各平分之)
(为九十度成/三百六十度)而球大者其大圈大球小者其大圈小皆
以本球之围径自为比例不拘丈尺(尽本球之围分为/全周之度其球上)
(之度即皆以此为准但在本球上为最/大故谓之大圈非以丈尺言其大小)古人以八尺浑

仪准周天盖以此也又如古浑仪原有三重其在内之
环周必小于外而其度皆能相应者在内环周虽小而
在内之浑员以此为大圈即在内之各度并以此为准
故也
　大圈之度为公度
凡球上距等圈亦可平公三百六十度而其圈皆小于
本球之大圈又大小不伦则其所分之细度亦皆小于
大圈而大小不伦矣惟本球腰围大圈上所分之度得

为公度故凡言度者必大圈也

如图甲乙为大圈一象限丙丁及戊庚各为距等小圈
一象限象限虽同而大小迥异又如甲辛为大圈三十
度丙壬及戊癸亦各为小圈之三十度其为三十度虽
同而大小亦异再细考之至一度或至一分亦大小异
也故惟大圈之度为公度
　大圈即本球外周其度即外周之度而横直皆相等
平员有径有周浑员亦有径有周立浑员于前则外周
可见即腰围之大圈也旋而视之皆可为外周故大圈

之横直皆等(皆以外周度/为其度故等)

　
　
　
　
　
　
　
　

如图子午规为浑仪外周其度三百六十乃横度也地
平为腰围度亦三百六十乃横度也横度直度皆得为
外周故其度相等若依北极论之则赤道又为腰围而
亦即外周也推是言之浑球上大圈从衡斜侧皆相等
何则旋而视之皆得为腰围即皆得为外周故也
　大圈上相遇有相割无相切大圈相割各成两半分
球上从衡斜侧既皆成大圈则能相割矣而皆为浑员
之外周则必无相切之理(若相切者必在外周/之内为距等小圈)

　
　
　
　
　
　
　
　

如图甲丙乙为大圈半周能割大圈于甲于乙而不能
相切丙丁成小圈则能切大圈于丙于丁

　
　
　
　
　
　
　
　

如图甲庚辛乙为大圈半周割外圈于甲于乙则甲己
乙乙子甲亦各成半周若壬癸距等圈割大圈于庚于
辛而庚辛非半周
球上两大圈相割必有二处此二处必相距一百八十
度而各成两平分如黄赤二道相交于春分必复相交
于秋分即二分之距必皆半周一百八十度而黄道成
两半分赤道亦两平分也若距等圈与大圈相割必不
能成两平方

　两大圈相遇则成角
球上大圈既不平行则其相遇必相交相割而成角弧
三角之法所由以立也角有正有斜斜角又有锐钝共
三种而角两旁皆弧线与直线角异

如图己午戊子为子午规辛午乙子为地平规两大圈
正相交于南地平之午北地平之子则皆正角而四角
皆等并九十度角也(正角一名直角一名/十字角一名正方角)

如图午辛子为地平规丁辛癸为赤道规两大圈斜相
交于辛则丁辛子钝角大于九十度丁辛午锐角小于
九十度两角相并一百八十度减锐角其外角必钝若
减钝角亦得锐角也故有内角即知外角　又两锐角
相对两钝角相对其度分必等故有此角即知对角
凡此数端并与平三角同然而实有不同者以角两旁
之为弧线也
　弧线之作角必两

直线剖平员作角形如分饼角旁两线皆半径至周而
止弧线剖浑幂作角形如剖瓜角旁两弧线皆半周必
复相交作角而等(如黄赤道交于/二分其角相等)
　角有大小量之以对角之弧其角旁两弧必皆九十度
弧线角既如瓜瓣则其相距必两端狭而中阔其最阔
处必离角九十度此处离两角各均即球上腰围大圈
也故其度即为角度(如黄赤道之二分交角二十三度/半即二至时距度此时黄赤道离)
(二分各九十度乃/腰围最阔处也)

　大圈有极
大圈能分浑员之面幂为两则各有最中之处而相对
是为两极两极距大圈四面各九十度

如图甲辛乙为赤道大圈己为北极己为南极甲己丁
己等弧线距北极各九十度距南极亦然　若己为天
顶甲辛乙为地平大圈亦同如甲正北辛正东乙正南
丁东北丙东南所在不同而甲乙等高弧距天顶各九
十度皆等
　大圈上作十字弧线引长之必过两极两极出弧线
　至大圈必皆十字正交
如赤道上经圈皆与赤道正交为十字角则其圈必上

过北极下过南极也然则从两极出弧线过赤道必十
字正交矣
　大圈之极为众角所辏
如赤道上逐度经圈皆过两极则极心一点为众角之
宗(经圈之弧在赤道上成十字者本皆平/行渐远渐狭至两极则成角形之锐尖)角无论大小
皆辏于极而合成一点离此一点外即成锐钝之形而
皆与赤道度相应所谓量角以对弧度而角两旁皆九
十度以此

　
　
　
　
　
　
　
　

如图己为北极即众角之顶锐其所当赤道之度如乙
丙等则己角为锐角如丙庚等则己角为钝角　若己
为天顶外圈为地平亦然
　角度与角旁两弧之度并用本球之大圈度故量角
　度者以角为极
有弧线角不知其度亦不知角旁弧之度法当先求本
球之九十度(其法以角旁二弧各引长之使复作角乃中/分其弧即成本弧之九十度而角旁弧之度)
(可/知)以角为心九十度为界作大圈(与角旁两弧并本球/大圈而其分度等)

乃视角所当之弧(即角旁两九/十度弧所界)于大圈上得若干度分
即角度也故曰以角为极
　三大圈相遇则成三角三边
此所谓弧三角形也如黄道赤道既相交于二分又有
赤道经圈截两道而过之则成乙丙甲弧三角形

知图己为北极戊辛为赤道丁庚为黄道二道相交于
春分成乙角又己壬为过极经圈自北极己出弧线截
黄道于丙得丙乙边为黄道之一弧亦截赤道于甲成
甲乙边为赤道之一弧而过极经圈为二道所截成丙
甲边为经圈之一弧是为三边即又成丙角甲角合乙
角为三角
　弧三角不同于平三角之理
弧三角形有三角三边共六件以先有之三件求馀三

件与平三角同所不同者平三角形之三角并之皆一
百八十度弧三角不然其三角最小者比一百八十度
必盈(三边在一度以下可借平三角立算因/其差甚微然其角度视半周必有微盈)但不得满
五百四十度(角之极大者合之以/比三半周必不能及)
平三角之边小仅咫尺大则千百万里弧三角边必在
半周以下(不得满一/百八十度)合三边不得满三百六十度(如满/全周)
(即成全员而/不得成三角)
平三角有两角即知馀角弧三角非算不知

平三角有一正角馀二角必锐弧三角则否(有三正角/两正角者)
(其馀角有钝有锐或两锐/两钝或一锐一钝不等)
平三角有一钝角馀二角必锐弧三角则否(其馀角或/锐或正或)
(钝甚有三/钝角者)
平三角以不同边而同角为相似形同边又同角为相
等形弧三角则但有相等之形而无相似之形以同角
者必同边也
平三角但可以三边求角不可以三角求边弧三角则

可以三角求边(弧三角之边皆员度也初无丈尺可言故/三角可以求边若干三角边各有丈尺则)
(必有先得之边以为之例所以不同相前条言有相等/之形无相似之形亦谓其所得之度 等非谓其丈尺)
(等/也)
　弧三角用八线之理
平三角用八线惟用于角弧三角用八线并用于边平
三角以角之八线与边相比弧三角是以角之八线与
边之八线相比平三角有正角即为句股若正弧三角
形实非句股而以其八线辏成句股

平三角以角求边是用弧线求直线也(有角即/有弧)以边求
角是用直线求弧线也然角以八线为用仍是以直线
求直线也句股法也弧三角以边求角以角求边并是
以弧线求弧线也而角与边并用八线仍是以直线求
直线也亦句股法也(盖惟直线/可成句股)所不同者平三角所成
句股形即在平面而弧三角所成句股不在弧面而在
其内外
　弧三角之点线面体

测量家有点线面体弧三角备有之其所测之角即点
也但其点俱在弧面(如于浑球任指一星为所测之点/即角度从兹起如太阳太阴角度)
(并从其中心/一点论之)
弧三角之边即线也但其线皆弧线(如浑球上任指两/星即有距线或于)
(一星出两弧线与他星相距即/成角而角旁两线皆弧线也)
弧三角之形即面也但其面皆浑球上面幂之分形
弧三角之所丽即浑体也剖浑员至心即成锥体而并
以弧三角之形为底(详堑堵/测量)

　浑员内点线面体与弧三角相应
前条点线面体俱在球面可以目视器测但皆弧线难
相比例(比例必用句股句/股必直线故也)赖有相应之点线面惟在浑
体内历员可指虽不可以目视而可以算得弧三角之
法所以的确不易也　如浑球中剖则成平员即面也
于是以球面之各点(即弧三角/之各角)依视法移于平员面即
浑员内相应之点也又以弧与角之八线移至平面成
句股以相比例是浑员内相应之线也　又如弧三角

之三边各引长之成大圈各依大圈以剖浑员即各成
平员面是亦浑员内相应之面也二平员面相割成瓜
瓣之体三平员面相割成三楞锥体若又依八线横割
之即成堑堵诸体是浑员体内相应之分体也此皆与
弧面相离在浑员之内非剖浑员即不可见而可以算
得即不啻目视而器测矣
　大圈与浑员同心
球上大圈之心即浑员之心(若依各大圈剖浑员成平/员面其平员心即浑员之)

(心/)若距等小圈则但以浑员之轴为心而不能以浑员
心为心同心者亦同径(大圈以浑员径为径若距/等圈则但以通弦为径)浑体
内诸线能与弧三角相应者以此(浑员体内诸线皆宗/其径弧三角既以大)
(圈相割而成必宗大圈/之径径同故内外相应)弧三角之边不用小圈亦以此
也(距等圈既与大圈异径则其度不齐不能成/边而所作之角必非真角无从考其度分也)
　弧三角视法
弧三角非图不明然图弧线于平面必用视法变浑为
平

平置浑仪从北极下视则惟赤道为外周不变而黄道
斜立即成撱形　其分至各经圈本穹然半员今以正
视皆成员径是变弧线为直线也

立置浑仪使北极居上而从二分平视之则惟极至交
圈为外周不变其赤道黄道俱变直线为员径而成辏
心之角(即大距度/平面角)是变弧线角为直线角也(又距等圈/亦变横线)
(而成各度正弦/与员径平行)其赤道上逐度经圈之过黄赤道者虽
变撱形而其正弦不变且历算可见如在平面而与平
面上之大距度正弦同角成大小句股比例是弧面各
线皆可移于平面也故视法不但作图之用即步算之
法已在其中

　　以上谓之正视(以黄赤道为式若于六合仪取/天顶地平诸线亦同他可类推)

　　以上谓之旁视(浑员上有垛叠诸线从旁侧视之/庶几可见虽不能按度肖形而大)
　　(意不失以显弧三/角之理为用亦多)
　角之矢
如图甲丙乙丁半浑员以甲戊乙弧界之则其弧面分
两角为一锐一钝以视法移此弧度于相应之平面亦
一锐一钝即分员径为大小二矢而戊丙正矢为戊甲
丙锐角之度(戊乙丙/亦同)戊丁大矢为戊甲丁钝角之度(戊/乙)
(丁亦/同)故得矢即得角

　角之八线
如前图丙戊弧为甲锐角之度与丙庚等则丙戊之在
平面者变为直线即为甲锐角之矢而戊巳为角之馀
弦戊庚为角之正弦丙辛为角之切线己辛为角之割
线皆与平面丙庚弧之八线等
丁巳戊过弧为甲钝角之度与丁乙庚过弧等则丁戊
在平面者变为钝角之大矢而戊巳馀弦戊庚正弦丙
辛切线己辛割线并与锐角同(平面钝角之八线与外/角同用弧三角亦然)

　正弧斜弧之角与边分为各类
凡三角内有一正角谓之正弧三角形三角内并无正
角谓之斜弧三角形
正弧三角形之角有三正角者有二正角一锐角者有
二正角一钝角者(以上种种/不须用算)又有一正角两锐角者(内/分)
(二种一种两锐角同度/一种两锐角不同度)有一正角两钝角者(内分二种/一种两钝)
(角同度一种两/钝角不同度)有一正角一锐角一钝角者(内分二种/一种锐钝)
(角角合之成半周一种合/锐钝两角不能成半周)计正弧之角九种而用算者

六也
正弧三角形之边有三边并足者(足谓足/九十度)有二边足一
边小者(在象限以/下为小)有二边足一边大者(过象限以上为/大○以上三种)
(可不/用算)有三边并小者(内分二种一种二边/等一种二边不等)有二边大而
一小者(内分三种一种二大边等一种二大边/不等一种小边为一大边减半周之馀)计正弧
之边八种而用算者五也
　二边俱小则馀边必不能大故无二小一大之形
　二边俱大则馀边亦不能大故无三边并大之形

　一边若足则馀边亦有一足故无一边足之形

正弧三角形图一(计三种/)

　
　
　
　
　
　
　
　

正弧三角形图二(讣三种/)

　
　
　
　
　
　
　以上正弧形三种有同度之边与角谓之二等边形
　内有己形虽无同等之边角而有共为半周之边角

　度虽不同而所用之正弦则同即同度也
　凡边等者角亦等后仿此

正弧三角形图三(计三种/)
　
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　以上正弧形三种边角与丁戊巳三种无异但无同
　度之边凡正弧三角形共九种

斜弧三角形之角有三角并锐者(内分三种一种有二/角相等一种三角不)
(相等一种/三角俱等)有二角锐而一钝者(内分四种一种二锐角/相等一种二锐角不相)
(等一种钝角为一锐角减半周之馀一种/二锐角相等而又并为钝角减半周之馀)有二角钝而
一锐者(内分四种一种二钝角相等一种二钝角不相/等一种锐角为一钝角减半周之馀一种二钝)
(角相等而又并为/锐角减半周之馀)有三角并钝者(内分三种一种有二/角相等一种三角不)
(相等一种/三角相等)计斜弧之角十有四种
斜弧三角形之边有一边足二边小者(内分二种一种/二小边相等一)
(种二小/边不等)有一边足二边大者(内分二种一种二大边/等一种二大边不等)有

一边足一边小一边大者(内分二种一种大小二边合/之成半周一种合二边不能)
(成半/周)有三边并小者(内分三种一种三边不等一/种二边等一种三边俱等)有二
边大而一小者(内分四种一种二大边等一种二大边/不等一种小边为一大边减半周之馀)
(一种二大边等而又并/为小边减半周之馀)有二边小而一大者(内分四种/一种二小)
(边等一种二小边不等一种大边为一小边减半周/之馀一种二小边等而又并为大边减半周之馀)有
三边并大者(内分三种一种三边不等一/种二边等一种三边俱等)计斜弧之边
二十种

斜弧三角形图一(计四种/)
　
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　以上斜弧形四种并三角三边同度谓之三等边形内有二
　等边者其一边为等边减半周之馀与三等边同法(以同用/正弦故)

斜弧三角形图二(计十二种/)

　
　
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　以上斜弧三角形十二种并二等边形内有四种以大小二边
　度成半周与二等边同法(小边为大边减半周/之馀则同用一正弦)

斜弧三角形图三(计十种锐历书只九/种遗一 二钝形)

　
　
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　以上斜弧三角形十种并三边不等(用算只/四种)
　凡斜弧三角形共二十六种
通共弧三角形三十五种(内除正弧三种不须/用算实三十二种)

　
　
　
　
　
　
　
　

乙丁寅为赤道乙丙癸为黄道乙与寅为春秋分癸为
夏至午癸丁辰为极至交圈午与辰为南北极午丙甲
为过极经圈
丙乙为黄道距二分之度甲乙为赤道距二分之度(卯/同)
(升/度)丙甲为黄赤距纬成丙乙甲三角弧形甲为正角乙
春秋分角与浑员心卯角相应
癸丁弧为黄赤大距(即乙角之弧亦/为卯角之弧)癸巳为乙角正弦
卯巳其馀弦戊丁为乙角切线戊卯其割线卯癸及卯

丁皆半径成癸巳卯及戊丁卯两句股形
又午卯半径庚午为乙角馀切庚卯为乙角馀割成午
卯庚倒句股形
丙辛为丙甲距度正弦丙壬为丙乙黄道正弦作辛壬
线与丁卯平行成丙辛壬句股形
子甲为丙甲距度切线甲丑为甲乙赤道正弦作子丑
线与丙壬平行成子甲丑句股形
酉乙为丙乙黄道切线未乙为甲乙赤道切线作酉未

线与子甲平行成酉未乙句股形
　前二句股形在癸丁大距弧内外(癸巳卯用正馀弦/在弧内戊丁卯用)
　(割切线/出弧外)后三句股形在丙乙甲三角内外(丙辛壬在/丙角用两)
　(正弦在浑员内子甲丑在甲角兼用正弦切线/半在内半在外酉未乙用两切线在浑员外)
论曰此五句股形皆相似故其比例等何也赤道平安
从乙视之则丁乙象限与丁卯半径视之成一线而辛
壬联线甲丑正弦未乙切线皆在此线之上矣以其线
皆平安皆在赤道平面与赤道半径平行故也(是为/句线)

赤道平安则黄道之斜倚亦平其癸乙象限与癸卯半
径从乙视之亦成一线而丙壬正弦子丑联线酉乙切
线皆在此线之上矣以其线皆斜倚皆在黄道平面与
黄道半径平行故也(是为/弦线)
黄赤道相交成乙角而赤道既平安则从乙窥卯卯乙
半径竟成一点而乙丑壬卯角合成一角矣
诸句股形既同角而其句线皆同赤道之平安其弦线
皆同黄道之斜倚则其股线皆与赤道半径为十字正

角而平行矣是故形相似而比例皆等也(其卯午庚倒/句股形为相)
(当之用与诸句股形/亦相似而比例等)
又论曰丙辛壬形两正弦(丙辛/丙壬)俱在浑体之内其理易
明子甲丑形甲丑正弦在浑体内子甲切线在浑体之
外已足诧矣酉未乙形两切线(酉乙/未乙)俱在浑体之外虽
习其术者未免自疑历书置而不言盖以此耶今为补
说详明欲令学者了然心目庶以用之不疑
　用法

假如有丙乙黄道距春分之度求其距纬丙甲法为半
径癸卯与乙角之正弦癸巳若丙乙黄道之正弦丙壬
与丙甲距纬之正弦丙辛也
一　半径全数　癸卯　弦
二　乙角正弦　癸巳　股
三　黄道正弦　丙壬　弦
四　距纬正弦　丙辛　股
若先有丙甲距度而求丙乙黄道距二分之度则反用

之为乙角之正弦癸巳与半径癸卯(若欲用半径为一/率以省除则为半)
(径午卯与乙角之馀/割庚卯其比例亦同)若丙甲距纬之正弦丙辛与丙乙
黄道之正弦丙壬也
一　乙角正弦　癸巳　　半径全数　午卯　股
二　半径全数　癸卯　　乙角馀割　庚卯　弦
三　距纬正弦　丙辛　　　　　　　　　　股
四　黄道正弦　丙壬　　　　　　　　　　弦
　　右丙辛壬形用法

假如有甲乙赤道同升度求距纬丙甲法为半径卯丁
与乙角之切线丁戊若甲乙赤道之正弦甲丑与丙甲
距纬之切线子甲也
一　半径全数　卯丁　句
二　乙角正切　丁戊　股
三　赤道正弦　甲丑　句
四　距纬正切　子甲　股
若先有丙甲距纬而求甲乙赤道则反用之为乙角之

切线戊丁与半径丁卯(或用半径为一率则为半径/卯午与乙角之馀切午庚)若
丙甲距纬之切线子甲与甲乙赤道之正弦甲丑也
一　乙角正切　戊丁　半径全数　卯午　股
二　半径全数　丁卯　乙角馀切　午庚　句
三　距纬正切　子甲　　　　　　　　股
四　赤道正弦　甲丑　　　　　　　　句
　　右子甲丑形用法
论曰以上四法历书所有但于图增一卯午庚句股形

则互视之理更明
假如有丙乙黄道距二分之度径求甲乙赤道同升度
法为半径卯癸与乙角之馀弦卯巳若丙乙黄道之切
线酉乙与甲乙赤道之切线未乙也
一　半径全数　卯癸　弦
二　乙角馀弦　卯巳　句
三　黄道正切　酉乙　弦
四　赤道正切　未乙　句

若先有甲乙赤道而求其所当黄道丙乙法为半径丁
卯与乙角之割线戊卯若甲乙赤道之切线未乙与丙
乙黄道之切线酉乙也
一　半径全数　丁卯　句
二　乙角正割　戊卯　弦
三　赤道正切　未乙　句
四　黄道正切　酉乙　弦
论曰以上两条酉未乙形用法予所补也有此二法黄

赤道可以自相求而正角弧形之用始备矣外此仍有
三弧割线馀弦之用具如别纸
　十馀年前曾作弧三角所成句股书一册稿存儿辈
　行笈中觅之不可得也庚辰年乃复作此至辛己夏
　复得旧稿为之惘然然其理固先后一揆而说有详
　略可以互明不妨并存以徵予学之进退因思古人
　毕生平之力而成一事良自不易世有子云或不以
　覆瓿置之乎康熙辛己七夕前两日勿庵梅文鼎识

　是日也为立秋之辰好雨生凉炎歊顿失稍简残帙
　殊散人怀

　
　
　
　
　
　
　
　

甲乙丙正弧三角形即测量全义第七卷原图稍为酌
定又增一酉未乙形

　
　
　
　
　
　
　
　

测员之用甚博非止黄赤也然黄道赤道南北极二分
二至诸名皆人所习闻故仍借用其号以便识别
案图中句股形凡五皆形相似
其一癸巳卯形
以癸卯半径为弦(即黄道/半径)癸巳正弦为股(即黄赤大/距弧之正)
(弦/)巳卯馀弦为句(即黄赤大距/弧之馀弦)
其二戊丁卯形
以戊卯割线为弦(即黄赤大距/弧之正割线)戊丁切线为股(即黄赤/大距弧)

(之正/切线)丁卯半径为句(即赤道/半径)
　以上二句股形生于黄赤道之大距度乃总法也两
　句股形一在浑体之内一出其外同用卯角(即黄道/心亦即)
　(春分/角)
其三丙辛壬形
以丙壬正弦为弦(即黄经乙丙弧之正弦以丙卯黄/道半径为其全数而卯壬其馀弦)丙
辛正弦为股(即黄赤距纬丙甲弧之正弦亦以丙卯/黄道半径为其全数而辛卯其馀弦)辛
壬横线为句

　法于赤道平面上作横线联两馀弦成卯壬辛平句
　股形此形以距纬馀弦(卯/辛)为弦黄经馀弦(卯/壬)为股而
　辛壬其句也此辛壬线既为两馀弦平句股形之句
　亦即能为两正弦立句股形之句矣历书以辛壬为
　丙辛之馀弦误也然则当命为何线曰此非八线中
　所有乃立三角体之楞线也
其四子甲丑形
以子丑斜线为弦(此亦立三角体之楞/线也非八线中之线)子甲切线为股

(即黄赤距纬弧之正切线以赤道半/径甲卯为其全数而子卯其割线也)甲丑正弦为句(即/赤)
(经乙甲弧之正弦亦以赤道半径/甲卯为其全数而丑卯其馀弦也)
其五酉未乙形
以酉乙切线为弦(即黄经丙乙弧之正切线以黄赤半/径卯乙为其全数而酉卯其割线也)
酉未立线为股(此亦立三角之楞/线非八线中之线)未乙切线为句(即赤/经乙)
(甲弧之正切线亦以黄赤半径卯/乙为其全数而未卯其割线也)
　以上三句股形生于设弧之度第三形在浑体之内
　第四形半在浑体之内而出其外第五形全在浑体

　之外
　问既在体外其状何如曰设浑圆在立方之内而以
　两极居立方底盖之心以乙春分居立方立面之心
　则黄赤两经之切线酉乙未乙皆在方体之立面而
　未乙必为句酉乙必为弦于是作立线联之即成
　酉未乙句股形矣此一形历书遗之予所补也(详/堑)
　(堵测/量)
论曰此五句股形皆同角故其比例等然与弧三角真

同者乙角也
第一(癸巳/卯形)第二(戊丁/卯形)两形皆乙角原有之八线即春秋
分角也其度则两至之大距也
　或先有角以求边则以此两形中线例他形中线得
　线则得边矣
　或先有边以求角则以他形中线例此两形中线得
　线则亦得角矣(盖卯角即乙角也○若欲求丙/角则以丙角当乙角如法求之)
第三形(丙辛/壬形)以黄经之正弦(丙/壬)黄赤距度之正弦(丙/辛)为

弦与股是以黄经与距纬相求
　或先有乙角有黄经以求距纬(用乙角实用/壬角下同)
　或先有乙角有距纬以求黄经
　或先有黄经距纬可求乙角亦可求丙角
第四形(子甲/丑形)以黄赤距纬之切线(子/甲)赤经之正弦(甲/丑)为
股与句是以距纬与赤经相求
　或先有乙角有赤经以求距纬(用乙角实用/丑角下同)
　或先有乙角有距纬以求赤经

　或先有赤经距纬可求乙角亦可丙角
第五形(酉未/乙形)以赤经之正切(未/乙)黄经之正切(酉/乙)为句与
弦是黄赤经度相求
　或先有乙角有黄经以求赤道同升度
　或先有乙角有赤道同升以求黄经
　或先有黄赤二经度可求乙角亦可求丙角
又论曰诸句股形所用之卯壬丑乙四角实皆乙角何
也侧望则弧度皆变正弦而体心卯作直线至乙为卯

壬丑乙线即半径也今以侧望之故此半径直线化为
一点则乙角即卯角亦即壬角亦即丑角矣

　
　
　
　
　
　
　
　

癸丁为乙角之度(即黄赤大距/二至纬度)癸乙为黄道半径丁乙
为赤道半径戊丁为乙角切线癸巳为乙角正弦戊乙
为乙角割线已乙为乙角馀弦癸巳乙戊丁乙皆句股
形其乙角即卯角
丙甲为设弧距度其正弦丙辛其切线子甲
丙乙为所设黄道度其正弦丙壬(因侧望弧度/正弦成一线)偕距度
正弦丙辛成句股形其乙角即壬角
甲乙为所设赤道同升度其正弦甲丑(因侧望弧度/正弦成一线)偕

距度切线子甲成句股形其乙角即丑角
酉乙为所设黄经切线未乙为赤道同升度切线此两
线成一酉未乙句股形在体外真用乙角
正弧三角形求馀角法
凡弧三角有三边三角先得三件可知馀件与平三角
同理前论正弧形以黄赤道为例而但详乙角者因春
分角有一定之度人所易知故先详之或疑求乙角之
法不可施于丙角兹复为之条析如左(仍以黄道上过/极经圈之交角)

假如有乙丙黄道度有乙甲赤道同升度而求丙交角
则为乙丙之正弦与乙甲之正弦若半径与丙角之正
弦也
　
　
　
　
　

假如有丙甲距度及乙甲同升度而求丙交角则为丙
甲之正弦与乙甲之切线若半径与丙角之切线

假如有丙甲距度及乙丙黄道度而求丙交角则为乙
丙之切线与丙甲之切线若半径与丙角之馀弦
　
　
　
　
　
　

又如有丙交角有乙丙交道度而求乙甲同升度则为
半径与丙角之正弦若乙丙之正弦与乙甲之正弦

或先有乙甲同升度而求乙丙黄道度则以前率更之
为丙角之正弦与半径若乙甲之正弦与乙丙之正弦
　
　
　
　
　
　

又如有丙交角有乙甲同升度而求丙甲距度则为丙
角之切线与半径若乙甲之切线与丙甲之正弦

或先有丙甲距度而求乙甲同升度则以前率更之为
半径与丙角切线若丙甲正弦与乙甲切线
　
　
　
　
　
　

又如有丙交角有乙丙黄道度求丙甲距度则为半径与
丙角馀弦若乙丙切线与丙甲切线

或先有丙甲距度而求乙丙黄道则以前率更之为丙
角馀弦与半径若丙甲切线与乙丙切线
　
　
　
　
　
　

论曰求丙角之法一一皆同乙角更之而用丙角求馀边
亦如其用乙角也所异者乙角定为春分角则其度不变
丙角为过极经圈交黄道之角随度而移(交角近大距则/甚大类十字角)
(近春分只六十六度半弱中间交角/度度不同他形亦然皆逐度变丙角)有时大于乙角有时
小于乙角(乙角不及半象限则丙角大乙/角过半象限则丙角有时小)故必求而得之
又论曰丙交角既随度移而甲角常为正角何也凡球
上大圈相交成十字者必过其极今过极经圈乃赤道
之经线惟二至时则此圈能过黄赤两极其馀则但过

赤道极而不能过黄道极故其交黄道也常为斜角(即/丙)
(角/)交赤道则常为正角(即甲/角)
又论曰丙角与乙角共此三边(一乙丙黄道一乙甲/赤道一丙甲距度)其
所用比例者亦共此三边之八线(三边各有正弦/亦各有切线)而所
成句股形遂分两种可互观也
乙角所成诸句股皆以戊丁卯为例
内角所成诸句股皆以亥辰卯为例
并如后图

　
　
　
　
　
　
　
　

如图丙角第一层句股兑乙心形即乙角之壬丙辛也
在乙角两正弦交于丙在丙角两正弦交于乙皆弦与
股之比例而同弦不同股(乙角丙角并以乙丙黄道正/弦为弦而乙角所用之股为)
(丙甲正弦丙角所用则乙甲/正弦皆正弦也而弦同股别)
丙角第二层句股女甲亢形即乙角之子甲丑也乙角
丙角并以一正弦一切线交于甲为句与股之比例而
所用相反(乙角于乙甲用正弦于丙甲用切线丙角则/于乙甲用切线于丙甲用正弦皆乙甲丙甲)
(两弧之正弦切/线而所用迥别)

丙角第三层句股艮丙氐形即乙角之酉乙未也在乙
角以两切线联于乙在丙角以两切线交于丙皆弦与
句之比例而同弦不同句(乙丙两角并以乙丙切线为/弦而乙角以乙甲切线为句)
(丙角以丙甲切线为句/皆切线也而弦同句别)

球面弧三角形弧角同比例解
　第一题
正弧三角形以一角对一边则各角正弦与对边之正
弦皆为同理之比例
　
　
　
　

如图乙甲丙弧三角形(甲为/正角)　法为半径与乙角之正
弦若乙丙之正弦与丙甲之正弦更之则乙角之正角
与对边丙甲之正弦若半径与乙丙之正弦也又丙角
之正弦与其对边乙甲之正弦亦若半径与乙丙之正
弦也合之则乙角之正弦与其对边丙甲之正弦亦若
丙角之正弦与其对边乙甲之正弦
论曰乙丙两角与其对边之正弦既并以半径与乙丙
为比例则其比例亦自相等而两角与两对边其正弦

皆为同比例
又论曰甲为正角其度九十而乙丙者甲正角所对之
边也半径者即九十度之正弦也以半径比乙丙之正
弦即是以甲角之正弦比对边之正弦故以三角对三
边皆为同比例
　第二题
凡四率比例二宗内有二率三率之数相同则两理之
首末二率为互视之同比例(即斜弧比例之所/以然故先论之)

假如有甲乙丙丁四率甲(四/)与乙(八/)若丙(六/)与丁(十/二)皆
加倍之比例也
又有戊乙丙辛四率戊(二/)与乙(八/)若丙(六/)与辛(二十/四)皆
四倍之比例也
此两比例原不同理特以两理之第二第三同为乙
(八/)丙(六/)故两理之第一第四能互用为同理之比
例(先理之第一甲四与次理之第四辛二十四若/次理之第一戊二与先理之四丁十二皆六倍)
(之比/例也)

　
　
　
　
　
　
　
　

论曰凡二率三率相乘为实首率为法得四率今两理
所用之实皆乙(八/)丙(六/)相乘(四十/八)之实惟甲(四/)为法则
得十二若戊(二/)为法则得二十四矣法大者得数小法
小者得数大而所用之实本同故互用之即为同理之
比例也
试以先理之四率更为首率其理亦同(丁与辛若戊与/甲皆加倍比例)
若反之令两四率并为首率亦同(甲与戊若辛与/丁皆折半比例)并如
后图

　
　
　
　
　
　
　
　

　第三题
斜弧三角形以各角对各边其正弦皆为同比例

乙丙丁斜弧三角形任从乙角作乙甲垂弧至对边分
元形为两正角形甲为正角
依前正角形论各对边之正弦与所对角之正弦比例
皆等
乙甲丁形丁角正弦与乙角正弦若半径(即甲角/正弦)与丁
乙正弦是一理也
乙甲丙形丙角正弦与乙甲正弦若半径与乙丙正弦
是又一理也

两理之第二同为乙甲第三同为半径则两理之首末
二率为互视之同比例故丁角之正弦与乙丙之正弦
若丙角之正弦与丁乙之正弦也
又如法从丁角作丁戊垂弧至对边分两形而戊为正
角则乙角正弦与丁丙正弦亦若丙角正弦与乙丁正
弦　又从丙作垂弧分两形而壬为正角则乙角与丁
丙亦若丁角与乙丙
　一　丁角正弦　　　丙角正弦

　
　
　
　
　
　
　
　

乙丙丁斜弧三角形丁为钝角　法从乙角作乙甲垂
弧于形外亦引丙丁弧会于甲成乙甲丁虚形亦凑成
乙甲丙虚实合形甲为正角

乙甲丁形丁角之正弦与乙甲边若半径与乙丁边正
弦一理也　乙甲丙形丙角之正弦与乙甲边若半径
与乙丙正弦又一理也　准前论两理之第二第三既
同则丁角正弦与乙丙正弦若丙角正弦与乙丁正弦
也
论曰丁角在虚形是本形之外角也何以用为内角曰
凡钝角之正弦与外角之正弦同数故用外角如本形
角也

若用乙角与丁丙边则作丙庚弧于形外取庚正角其
理同上或作丁戊垂弧于形内取戊正角分两形则如
前法并同

　用法
凡弧三角形(不论正/角斜角)但有一角及其对角之一弧则其
馀有一角者可以知对角之弧而有一弧者亦可以知
对弧之角皆以其正弦用三率比例求之
　
　
　
　

假如乙丁丙三角形先有丁角及相对之乙丙弧则其
馀但有丙角可以知乙丁弧有乙角可以知丁丙弧此
为角求弧也若有乙丁弧亦可求丙角有丁丙弧亦可
求乙角此为弧求角也
一　丁角正弦　　　　　一　乙丙正弦
二　乙丙正弦　　　　　二　丁角正弦
三　丙角正弦　乙角正弦　三　乙丁正弦　丁丙正弦
四　乙丁正弦　丁丙正弦　四　丙角正弦　乙角正弦

　
　
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　历算全书卷七