钦定四库全书
　律吕阐微卷三
　　　　　　　　　　　　婺源　江永　撰

律度

既得各律之率即可得各律之长律冇倍有正有半凡
三十六律用横黍尺百分者纪其尺寸分釐毫丝忽微
纤以为后算周径幂积张本纤以下略之
　　　　倍律通长
黄钟二尺

大吕一尺八寸八分七釐七毫四丝八忽六微二纤
太蔟一尺七寸八分一釐七毫九丝七忽四微三纤
夹钟一尺六寸八分一釐七毫九丝二忽八微三纤
姑洗一尺五寸八分七釐四毫○一忽○五纤
仲吕一尺四寸九分八釐三毫○七忽○七纤
蕤宾一尺四寸一分四釐二毫一丝三忽五微六纤
林钟一尺三寸三分四釐八毫三丝九忽八微五纤

夷则一尺二寸五分九釐九毫二丝一忽○四纤
南吕一尺一寸八分九釐二毫○七忽一微一纤
无射一尺一寸二分二釐四毫六丝二忽○四纤
应钟一尺○五分九釐四毫六丝三忽○九纤
　已上诸倍律如欲以次求之则以本律通长为实以
　十亿乘之以十亿○五千九百四十六万三千○九
　十四除之得次律

正律通长

黄钟一尺

大吕九寸四分三釐八毫七丝四忽三微一纤
太蔟八寸九分○八毫九丝八忽七微一纤
夹钟八寸四分○八毫九丝六忽四微一纤
姑洗七寸九分三釐七毫○○五微二纤
仲吕七寸四分九釐一毫五丝三忽五微三纤
蕤宾七寸○七釐一毫○六忽七微八纤
林钟六寸六分七釐四毫一丝九忽九微二纤

夷则六寸二分九釐九毫六丝　　 ○　五微二纤
南吕五寸九分四釐六毫○三忽五微五纤
无射五寸六分一釐二毫三丝一忽○二纤
应钟五寸二分九釐七毫三丝一忽五微四纤
　已上诸正律如欲以次求之则以本律通长为实以
　十亿乘之以十亿○五千九百四十六万三千○九
　十四除之得次律

半律通长

黄钟五寸

大吕四寸七分一釐九毫三丝七忽一微五纤
太蔟四寸四分五釐四毫四丝九忽三微五纤
夹钟四寸二分○四毫四丝八忽二微○
姑洗三寸九分六釐八毫五丝二微六纤
仲吕三寸七分四釐五毫七丝六忽七微六纤
蕤宾三寸五分三釐五毫五丝三忽三微九纤
林钟三寸三分三釐七毫○九忽九微六纤

夷则三寸一分四釐九毫八丝○二微六纤
南吕二寸九分七釐三毫○一忽七微七纤
无射二寸八分○六毫一丝五忽五微一纤
应钟二寸六分四釐八毫六丝五忽七微七纤
　已上诸半律如欲以次求之则以本律通长为实以
　十亿乘之以十亿○五千九百四十六万三千○九
　十四除之得次律(应钟半律以后再如法乘除得二寸五分为黄钟半律之半)
斜黍尺九寸每寸十分纪其尺寸分釐毫丝忽微纤
共二十四律(载堉书止载十二正律今详倍律蕤宾以后半律仲吕以前旋宫皆用之故共二十四律)

倍律长

蕤宾一尺二寸七分二釐七毫九丝二忽二微
林钟一尺二寸○一釐三毫五丝五忽八微六纤
夷则一尺一寸三分三釐九毫二丝八忽九微四纤
南吕一尺○七分○二毫八丝六忽四微
无射一尺○一分○二毫一丝五忽八微四纤
应钟九寸五分三釐五毫一丝六忽七微八纤

　已上诸倍律如欲以次求之则以本律为实以五亿
　乘之以五亿二千九百七十三万一千五百四十七
　除之得次律

正律长(附旧律备考)

黄钟九寸(旧同)
大吕八寸四分九釐四毫八丝六忽八微八纤(旧八寸四分二)
(釐八毫弱)
太蔟八寸○一釐八毫○八忽八微四纤(旧八寸)
夹钟七寸五分六釐八毫○六忽七微七纤(旧七寸四分九釐二)

(毫弱)
姑洗七寸一分四釐三毫三丝○四微七纤(旧七寸一分一釐一)
(毫强)
仲吕六寸七分四釐二毫三丝八忽一微八纤(旧六寸六分五)
(釐九毫强)
蕤宾六寸三分六釐三毫九丝六忽一微○(旧六寸三分二釐○)
(毫有奇)

林钟六寸○○六毫七丝七忽九微三纤(旧六寸)
夷则五寸六分六釐九毫六丝四忽四微七纤(旧五寸六分一)
(釐八毫强)
南吕五寸三分五釐一毫四丝三忽二微○(旧五寸三分三釐三)
(毫强)
无射五寸○五釐一毫○七忽九微二纤(旧四寸九分九釐四毫强)
应钟四寸七分六釐七毫五丝八忽三微九纤(旧四寸七分四)
(釐○毫强)
　已上诸正律如欲以次求之则以本律为实以五亿

　乘之以五亿二千九百七十三万一千五百四十七
　除之得次律

半律长(附旧律备考)

黄钟四寸五分(旧同)
大吕四寸二分四釐七毫四丝三忽四微四纤(旧四寸二分一)
(釐四毫强)
太蔟四寸○○九毫○四忽四微二纤(旧四寸)

夹钟三寸七分八釐四毫○三忽三微八纤(旧三寸七分四釐六)
(毫弱)
姑洗三寸五分七釐一毫六丝五忽二微三纤(旧三寸五分五)
(釐五毫强)
仲吕三寸三分七釐一毫一丝九忽○九纤(旧三寸三分二釐九)
(毫强)
　已上诸半律如欲以次求之则以本律为实以五亿
　乘之以五亿二千九百七十三万一千五百四十七
　除之得次律(诸倍律约十为九正律折半半律又折半得之甚易本不须乘除仍载乘除法)

　(者欲见句股乘除开方求出应钟之率实为真率诸律相求皆以此为根用全用半无往不通也)
纵黍八十一分律依新法算(惟算正律)
黄钟八寸一分
大吕七寸六分四釐五毫三丝八忽一微九纤
太蔟七寸二分一釐六毫二丝七忽九微六纤
夹钟六寸八分一釐一毫二丝六忽○九纤
姑洗六寸四分二釐八毫九丝七忽四微二纤

仲吕六寸○六釐八毫一丝四忽三微六纤
蕤宾五寸七分二釐七毫五丝六忽四微九纤
林钟五寸四分○六毫一丝○一微四纤
夷则五寸一分○二毫六丝八忽○二纤
南吕四寸八分一釐六毫二丝八忽八微八纤
无射四寸五分四釐五毫九丝七忽一微二纤
应钟四寸二分九釐○八丝二忽五微五纤
　诸律如欲以次求之置本律之率以八十一亿乘之
　折半退位为实以五亿二千九百七十三万一千五

　百四十七除之得次律
纵黍八十一分作九寸律依新法算
　例曰此法每寸九分每分九釐每釐九毫每毫九丝
　每丝九忽每忽九微每微九纤皆以九为法故与十
　不同
黄钟九寸
大吕八寸四分四釐○六丝七忽四微五纤

太蔟八寸○一釐四毫一丝六忽○八纤
夹钟七寸五分一釐○一丝○七微四纤
姑洗七寸一分二釐五毫四丝二忽
仲吕六寸六分六釐一毫一丝六忽八微一纤
蕤宾六寸三分二釐四毫二丝八忽四微七纤
林钟六寸○○四毫八丝四忽二微七纤
夷则五寸六分○二毫一丝四忽七微五纤
南吕五寸三分一釐四毫一丝六忽六微三纤
无射五寸○四釐一毫二丝一忽一微五纤

应钟四寸六分八釐一毫五丝一忽○五纤
黄钟半律四寸四分四釐四毫四丝四忽四微四纤
　朱载堉曰约十为九主意盖为三分损益而设使归
　除无不尽数耳夫律吕之理循环无端而杪忽之数
　归除不尽此自然之理也因其天生自然不须人力
　穿凿以此算律何善如之历代算律祇欲杪忽除之
　有尽遂致律吕往而不返此乃颠倒之见非自然之

　理也是以新法不用三分损益不拘隔八相生然而
　相生有序循环无端十二律吕一以贯之此盖二千
　馀年之所未有自我圣朝始也非学者所宜尽心焉
　者乎

按古人算律亦非因杪忽欲除尽遂致律吕往而


不返也其根源自宫声八十一徵声五十四商声


七十二羽声四十八角声六十四俱是三分损益


之数意其数为天生自然遂以此定律吕之长短

不知其数仍有毫釐之差也天地之真数潜隐既


久有时而泄故载堉能思得之耳


律体(上)

　蔡氏律吕新书曰十二律围径自先汉以前传记并
　无明文惟班志云黄钟八百一十分繇此之义起十
　二律之周径然其说乃是以律之长自乘而因之以
　十盖配合为说耳未可以为据也惟审度章云一黍
　之广度之九十分黄钟之长一为一分嘉量章则以

　千二百黍实其龠谨衡权章则以千二百黍为十二
　铢则是累九十黍以为长积千二百黍以为广可见
　也夫长九十黍容千二百黍则空围当有九方分乃
　是围十分三釐八毫径三分四釐六毫也每一分容
　十三黍又三分黍之一以九十因之则一千二百也
　盖十其广之分以为长十一其长之分以为广自然
　之数也又曰夫律以空围之同故其长短之异可以
　定声之高下孟康不察乃谓凡律围径不同各以围
　乘长而得此数者盖未之考也(孟康曰林钟长六寸围六分以围乘长得)

　(积三百六十分太蔟长八寸围八分为积六百四十分)
朱载堉曰旧律围径皆同而新律各不同礼记注疏曰
凡律空围九分月令章句曰围数无增减及隋志安丰
王等说皆不足取也故著此论论曰琴瑟不独徽柱之
有远近而弦亦有巨细焉笙竽不独管孔之有高低而
簧亦有厚薄焉弦之巨细若一但以徽柱远近别之不
可也簧之厚薄若一但以管孔高低别之不可也譬诸

律管虽有修短之不齐亦有广狭之不等先儒以
为长短虽异围径皆同此未达之论也今若不信
以竹或笔管制黄钟之律一样二枚截其一枚分
作两段全律半律各令一人吹之声必不同合矣
此昭然可验也又制大吕之律一样二枚周径与
黄钟同截其一枚分作两段全律半律各令一人
吹之则亦不相合而大吕半律乃与黄钟全律相
合略差不远是知所谓半律者皆下全律一律矣大
抵管长则气隘隘则虽长而反清管短则气宽宽则虽

短而反浊此自然之理先儒未达也要之长短广狭皆
有一定之理一定之数在焉置黄钟倍律九而一以为
外周用弦求句股术得其内周又置倍律四十而一以
为内径用句股求弦术得其外径盖律管两端形如环
田有内外周径焉外周内容之方即内径也内周外射
之斜即外径也方圆相容天地之象理数之妙者也黄
钟通长八十一分者内周九分是为八十一中之九即

约分法九分中之一也若约黄钟八十一分作为九寸
则其内周当云一寸旧以九十分为黄钟而云空围九
分者误也况又穿凿指为面羃九方分则误益甚矣
　按载堉此论亦二千年来所未有者也汉志之说孟
　康之释推其误有数端黄钟约十为九内周当云一
　寸而云围九分其误一围九分则径不及三分径三
　分则围不啻九分而云径三分围九分乃径一围三
　之谬法其误二诸律以长乘者乃是乘黄钟之面
　幂退位以为本律之面幂非乘其围分也而云以围

　乘长其误三既乘得本律之面幂再以本律之长乘
　之乃得本律之积而云以围乘长即得积其误四牵
　于九六八之数附会天地人其误五刘歆班固孟康
　虽有此数误然犹曰繇此之义起十二律之周径则
　十二律各有周径其说犹近是也迨汉末诸儒郑氏
　蔡氏之说出乃断以为凡律围九分无增减此说遂
　牢不可破矣夫使围径皆同但以长短别高下则弹

琴者惟按徽取声而七弦之粗细同散声同可乎不


可乎凡圆中容积与方中容积同理试使有方田百


亩其方折半则中容必是二十五亩断非五十亩故


黄钟半律必杀小其围径截为两段则与蕤宾同其


容积非半黄钟矣此理若不抉破后之造律制乐者


虽使制得黄钟真律大吕以下皆非其律况未必真


得黄钟乎人知黄钟中声之难求不知大吕以下诸


律正未易制黄钟大吕惟人所命若旧说不破何

以得真黄钟真大吕哉惟我

圣祖仁皇帝诲谕臣工之学律者特发线与线体与体之比

例不同一条正所以破前人围径皆同之谬说也其


言加减八倍而后应者借立方体积相去八倍言之


若律管容积加减四倍即应也载堉云长短广狭皆


有一定之理一定之数此语诚然先儒算学不精格


物未至是以前志之犹近是者不能发明后人之立


谬说者遂为蔽惑耳

　载堉言置黄钟倍律九而一以为外周用弦求句股
　术得其内周此算术仍未精密后详考订正之算律
　须求真数不可有毫釐之差也
　新书言空围当有九方分非也昔人明言周言围不
　得以周围为方幂如言方幂则黄钟不得有九方分
　新法算黄钟面幂九分八釐一毫七丝有奇者横黍
　尺之分釐毫丝也以斜黍九十分者约之只得八分
　八釐三毫五丝有奇耳其云围十分三釐八毫径三
　分四釐六毫者围三径一之谬法也如围十分三釐

　八毫则径只有三分三釐二毫如径三分四釐六毫
　则围有十一分零七毫有奇矣又以径自乘为方积
　四分取三为圆积以求合于九方分此又圆田求积
　之粗率不可用之以算律管也夫径三分四釐六毫
　者安定胡瑗之律也因律太短不能容千二百黍故
　扩其围径以就之当时用上党羊头山黍以三等筛
　筛之而取其中则黍亦可迁就矣要之黍非真黍律

　非真律而算亦非真算蔡氏犹仍其误岂古人有密
　率载在史志者竟未尝深究耶
周径幂积密率
　按平圆周径幂积可互相求旧云周三径一又以方
　积四分之三为圆积皆疏舛之率不可承用者也欲
　算各律之外周内周外径内径及空围内之面幂实
　积须求最密之率方准古之算家祖冲之为最其割
　圆之法用缀术渐次求之得其周径之率考之隋书
　律志祖氏原有三率一云径七周二十二者约率也

　一云径一百一十三周三百五十五者密率也然约
　率则强密率犹稍弱仍有最密之率则径一周三一
　四一五九二六五是也盖三一四一五九二七为赢
　限三一四一五九二六为朒限正数在赢朒二限之
　间末位约之为五三一四一五九二六五共得九位
　亦可以为算周径之用矣周径相乘得七八五三九
　八一六二五为平幂或以半径乘半周亦得平幂

　此最密之率也试借西人八线表验之
　西人分周天为三百六十度一度又析为六十分是
　分大圆为二万一千六百边也八线各有相当正弦
　与馀割相乘与半径全数自乘等积查表一分之馀
　割线三四三七七四六八二因此求得一分之正弦
　二九○八八八二○四五○一以二万一千六百折
　半为一万○八百乘之得三一四一五九二六○八
　六一八正弦是直线圆周是曲线几与之等而曲
　者必稍赢是以比圆周稍朒焉故径一则周三一四

　一五九二六五为最密之率宜用之
　朱载堉密率法云圆周四十容方九句股求弦数可
　知遂以此为求径率求周求积亦如之谓圆周四十
　寸者内容方九寸九寸各自乘并得一百六十二寸
　开方得斜弦为圆径也今按此法犹未密正法圆周
　三一四一五九二六五内容方七○七一○六七八一
　盖圆周四十则容方不啻九若容方九则圆周不及

　四十载堉以此率求诸律周径幂积惟径无差若周
　幂积四位以后稍有嬴馀不得为真数矣数不真确
　不可载之于书故今依祖氏法推算
先求三十六律通长真数
　载堉云黄钟倍律通长二尺容黍二合称重二两律
　度量衡无非倍者此自然全数也故算法皆从倍律
　起若夫正律于度虽足于量于衡则皆不足祇容半
　合祇重半两比诸倍律似非自然全数故算法不从
　正律起亦不从半律起倍律正律半律各有十二

　共为三十六律
　按诸律通长已见前篇其以次迭求之法已见第二
　卷兹不再述
次求三十六律外径内径
　按载堉之法先求周今易之先求径六阳律之外内
　径有与他律通长相应退一位即得者不必求退一
　位者十分之一也开列如左

　蕤宾正律通长退一位即黄钟倍律外径
　林钟正律通长退一位即太蔟倍律外径
　夷则正律通长退一位即姑洗倍律外径
　南吕正律通长退一位即蕤宾倍律外径
　无射正律通长退一位即夷则倍律外径
　应钟正律通长退一位即无射倍律外径
　黄钟半律通长退一位即黄钟倍律内径正律外径
　大吕半律通长退一位即太蔟倍律内径正律外径
　太蔟半律通长退一位即姑洗倍律内径正律外径

　夹钟半律通长退一位即蕤宾倍律内径正律外径
　姑洗半律通长退一位即夷则倍律内径正律外径
　仲吕半律通长退一位即无射倍律内径正律外径
　蕤宾半律通长退一位即黄钟正律内径半律外径
　林钟半律通长退一位即太蔟正律内径半律外径
　夷则半律通长退一位即姑洗正律内径半律外径
　南吕半律通长退一位即蕤宾正律内径半律外径

　无射半律通长退一位即夷则正律内径半律外径
　应钟半律通长退一位即无射正律内径半律外径
　凡倍律内径折半即半律内径
　凡六阴吕以阳律之径分为实以十亿乘之以十亿
　○二千九百三十万○二千二百三十六除之即得
　本吕之径阴吕求阳律亦仿此十亿○二千九百三
　十万有奇之数者应钟倍律外径五一四六五一一
　一八三二一七四六○进位倍数也
次求三十六律外周内周

　以本律之径乘三一四一五九二六五以十除之得
　周
　如迭求之以本律之周为实以十亿乘之以十亿○
　二千九百三十万○二千二百三十六除之得次律
　之周
　倍律外周折半即正律内周半律外周
　倍律内周正律外周折半即半律内周

次求三十六律面幂
　以本律之周径相乘为实以四归之或以半周半径
　相乘皆得面幂
　如迭求之以本律之面幂为实以十亿乘之以十亿
　○五千九百四十六万三千○九十四除之得次律
　之面幂
　倍律面幂折半即正律之面幂正律面幂折半即半
　律之面幂
　置七八五三九八一六二五以四除之得倍律黄钟

　面幂各以正律通长乘之得各倍律之面幂
　置七八五三九八一六二五以八除之得正律黄钟
　面幂各以倍律面幂折半得各正律之面幂
　置七八五三九八一六二五以一十六除之得半律
　黄钟面幂各以正律面幂折半得各半律之面幂
次求三十六律实积
　各律以通长乘本律面幂再以通长乘所得即本律

　实积
　如欲以次求之置本律实积为实以十兆乘之以十一
　兆二千二百四十六万二千○四十八亿三千○九十
　三万七千二百九十八除之得次律实积
　倍律实积四归之得正律实积正律实积四归之得
　半律实积
　黄钟倍律面幂进一位即蕤宾倍律之实积倍之即
　黄钟倍律之实积
　太蔟倍律面幂进一位即林钟倍律之实积倍之即

　大吕倍律之实积
　姑洗倍律面幂进一位即夷则倍律之实积倍之即
　太蔟倍律之实积
　蕤宾倍律面幂进一位即南吕倍律之实积倍之即
　夹钟倍律之实积
　夷则倍律面幂进一位即无射倍律之实积倍之即
　姑洗倍律之实积

　无射倍律面幂进一位即应钟倍律之实积倍之即
　仲吕倍律之实积
　黄钟正律面幂进一位即黄钟正律之实积半之即
　蕤宾正律之实积
　太蔟正律面幂进一位即大吕正律之实积半之即
　林钟正律之实积
　姑洗正律面幂进一位即太蔟正律之实积半之即
　夷则正律之实积
　蕤宾正律面幂进一位即夹钟正律之实积半之即

　南吕正律之实积
　夷则正律面幂进一位即姑洗正律之实积半之即
　无射正律之实积
　无射正律面幂进一位即仲吕正律之实积半之即
　应钟正律之实积
　已上诸律有相应处可见一气贯通之妙载堉未言
　今推之如此学者宜深玩之

　律管长短广狭自然之理数河图已显其象象数篇
　详之

律吕阐微卷三