钦定古今图书集成经济汇编乐律典

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乐律典第六十二卷

律吕部汇考十六

明·朱载堉《律吕精义二》不取围径皆同第五之上
旧律围径皆同，而新律各不同。《礼记注疏》曰：凡律，空围九分。《月令章句》曰：围数无增减。及《隋志》安丰王等说，皆不足取也。故著此论。论曰：琴瑟不独徽柱之有远近，而弦亦有巨细焉。笙竽不独管孔之有高低，而簧亦有厚薄焉。弦之巨细若一，但以徽柱远近别之，不可也。簧之厚薄若一，但以管孔高低别之，不可也。譬诸律管，虽有修短之不齐，亦有广狭之不等。先儒以为长短虽异，围径皆同，此未达之论也。今若不信，以竹或笔管制黄钟之律，一样二枚，截其一枚分作两段，全律、半律，各令一人吹之，声必不相合矣。此昭然可验也。又制大吕之律，一样二枚，周径与黄钟同，截其一枚分作两段，全律、半律，各令一人吹之，则亦不相合。而大吕半律乃与黄钟全律相合，略差不远。是知所谓半律者，皆下全律一律矣。大抵管长则气隘，隘则虽长而反清。管短则气宽，宽则虽短而反浊。此自然之理，先儒未达也。要之长短广狭，皆有一定之理，一定之数在焉。置黄钟倍律九而一，以为外周，用弦求句股术，得其内周，又置倍律四十而一以为内径，用句股求弦术得其外径，盖律管两端形如环田，有内外周径焉。外周内容之方，即内径也。内周外射之斜，即外径也。方圆相容，天地之象，理数之妙者也。黄钟通长八十一分者，内周九分，是为八十一中之九，即约分法九分中之一也。若约黄钟八十一分，作为九寸，则其内周当云一寸，旧以九十分为黄钟，而云空围九分者，误也。况又穿凿指为面，羃九方分，则误益甚矣。方圆相容，有图如左。
密率周径图密率周径图

第一层，倍
律外周也。
第二层，倍
律内周，即
正律外周
也。三层、四
层皆放此
推之。
密率源流图密率源流图

法曰：圆周
四十容方
九，句股求
弦数，可知，
遂以此为
求径率。求
周求积，亦
如之。
新法密率算术，周径羃积相求。
周求径者，置周全数九，因四十除之，所得自乘倍之为实。开平方法除之，得径，径求周者，置径全数，自乘半之为实。开平方法除之，所得四十，乘之九，归得周。周求积者，置周全数九，因四十除之，所得自乘倍之为实。径求积者，置径全数自乘为实。二项各又自乘，以一百乘之，一百六十二除之，所得为实。开平方法除之，得积，积求周径者，置积全数自乘，所得以一百六十二乘之，一百除之，为实。开平方法除之，所得副置之其一，折半为实。开平方法除之，所得四十，乘之九，归得周，其一不须折半，但以开平方法除之，得径。所谓积者，面羃平圆积也。以其通长乘之，各得其实积也。
旧法，平圆周径积，互相求，但系围三径一术者，皆疏舛不可用。惟周径相乘，四归得积，及半周、半径相乘，得积，二者可用。

先求三十六律通长真数。
黄钟倍律通长二尺，容黍二合，称重二两。律度量
衡无非倍者，此自然全数也。故算法皆从倍律起，若夫正律于度虽足，于量于衡，则皆不足，祇容半合，祇重半两，比诸倍律似非自然全数，故算法不从正律起，亦不从半律起。倍律、正律、半律，各有十二，共为三十六律。

置黄钟倍律通长二尺为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得一尺八寸八分七釐七毫四丝八忽六微二纤，为大吕。置大吕倍律通长一尺八寸八分七釐七毫四丝八忽六微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得一尺七寸八分一釐九毫九丝七忽四微三纤，为太蔟。置太蔟倍律通长一尺七寸八分一釐七毫九丝七忽四微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得一尺六寸八分一釐七毫九丝二忽八微三纤，为夹钟。置夹钟倍律通长一尺六寸八分一釐七毫九丝二忽八微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得一尺五寸八分七釐四毫○一忽○五纤，为姑洗。置姑洗倍律通长一尺五寸八分七釐四毫○一忽○五纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得一尺四寸九分八釐三毫○七忽○七纤，为仲吕。置仲吕倍律通长一尺四寸九分八釐三毫○七忽○七纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得一尺四寸一分四釐二毫一丝三忽五微六纤，为蕤宾。置蕤宾倍律通长一尺四寸一分四釐二毫一丝三忽五微六纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得一尺三寸三分四釐八毫三丝九忽八微五纤，为林钟。置林钟倍律通长一尺三寸三分四釐八毫三丝九忽八微五纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得一尺二寸五分九釐九毫二丝一忽○四纤，为夷则。置夷则倍律通长一尺二寸五分九釐九毫二丝一忽○四纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得一尺一寸八分九釐二毫○七忽一微一纤，为南吕。置南吕倍律通长一尺一寸八分九釐二毫○七忽一微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得一尺一寸二分二釐四毫六丝二忽○四纤，为无射。置无射倍律通长一尺一寸二分二釐四毫六丝二忽○四纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得一尺○五分九釐四毫六丝三忽○九纤，为应钟。置应钟倍律通长一尺○五分九釐四毫六丝三忽○九纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得一尺，为黄钟。
置黄钟正律通长一尺为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得九寸四分三釐八毫七丝四忽三微一纤，为大吕。置大吕正律通长九寸四分三釐八毫七丝四忽三微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得八寸九分○八毫九丝八忽七微一纤，为太蔟。置太蔟正律通长八寸九分○八毫九丝八忽七微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得八寸四分○八毫九丝六忽四微一纤，为夹钟。置夹钟正律通长八寸四分○八毫九丝六忽四微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得七寸九分三釐七毫○○五微二纤，为姑洗。置姑洗正律通长七寸九分三釐七毫○○五微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得七寸四分九釐一毫五丝三忽五微三纤，为仲吕。置仲吕正律通长七寸四分九釐一毫五丝三忽五微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得七寸○七釐一毫○六忽七微八纤，为蕤宾。置蕤宾正律通长七寸○七釐一毫○六忽七微八纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得六寸六分七釐四毫一丝九忽九微二纤，为林钟。置林钟正律通长六寸六分七釐四毫一丝九忽九微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得六寸二分九釐九毫六丝○五微二纤，为夷则。置夷则正律通长六寸二分九釐九毫六丝○五微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得五寸九分四釐六毫○三忽五微五纤，为南吕。置南吕正律通长五寸九分四釐六毫○三忽五微五纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得五寸六分一釐二毫三丝一忽○二纤，为无射。置无射正律通长五寸六分一釐二毫三丝一忽○二纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得五寸二分九釐七毫三丝一忽五微四纤，为应钟。置应钟正律通长五寸二分九釐七毫三丝一忽五微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得五寸，为黄钟。
置黄钟半律通长五寸为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得四寸七分一釐九毫三丝七忽一微五纤，为大吕。置大吕半律通长四寸七分一釐九毫三丝七忽一微五纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得四寸四分五釐四毫四丝九忽三微五纤，为太蔟。置太蔟半律通长四寸四分五釐四毫四丝九忽三微五纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得四寸二分○四毫四丝八忽二微○，为夹钟。
置夹钟半律通长四寸二分○四毫四丝八忽二微○为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得三寸九分六釐八毫五丝○二微六纤，为姑洗。置姑洗半律通长三寸九分六釐八毫五丝○二微六纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得三寸七分四釐五毫七丝六忽七微六纤，为仲吕。置仲吕半律通长三寸七分四釐五毫七丝六忽七微六纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得三寸五分三釐五毫五丝三忽三微九纤，为蕤宾。置蕤宾半律通长三寸五分三釐五毫五丝三忽三微九纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得三寸三分三釐七毫○九忽九微六纤，为林钟。置林钟半律通长三寸三分三釐七毫○九忽九微六纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得三寸一分四釐九毫八丝○二微六纤，为夷则。置夷则半律通长三寸一分四釐九毫八丝○二微六纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得二寸九分七釐三毫○一忽七微七纤，为南吕。置南吕半律通长二寸九分七釐三毫○一忽七微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得二寸八分○六毫一丝五忽五微一纤，为无射。置无射半律通长二寸八分○六毫一丝五忽五微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得二寸六分四釐八毫六丝五忽七微七纤，为应钟。次求三十六律外周真数。
先置黄钟倍律通长二尺为实，九归得二寸二分二釐二毫二丝二忽二微二纤，为其外周。就置所得为实，依后项乘除之。

置黄钟倍律外周二寸二分二釐二毫二丝二忽二微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二寸一分五釐八毫九丝五忽九微八纤，为大吕。置大吕倍律外周二寸一分五釐八毫九丝五忽九微八纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二寸○九釐七毫四丝九忽八微四纤，为太蔟。置太蔟倍律外周二寸○九釐七毫四丝九忽八微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二寸○三釐七毫七丝八忽六微七纤，为夹钟。置夹钟倍律外周二寸○三釐七毫七丝八忽六微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸九分七釐九毫七丝七忽四微九纤，为姑洗。置姑洗倍律外周一寸九分七釐九毫七丝七忽四微九纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸九分二釐三毫四丝一忽四微五纤，为仲吕。置仲吕倍律外周一寸九分二釐三毫四丝一忽四微五纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸八分六釐八毫六丝五忽八微七纤，为蕤宾。置蕤宾倍律外周一寸八分六釐八毫六丝五忽八微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸八分一釐五毫四丝六忽一微六纤，为林钟。置林钟倍律外周一寸八分一釐五毫四丝六忽一微六纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸七分六釐三毫七丝七忽八微九纤，为夷则。置夷则倍律外周一寸七分六釐三毫七丝七忽八微九纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸七分一釐三毫五丝六忽七微五纤，为南吕。置南吕倍律外周一寸七分一釐三毫五丝六忽七微五纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸六分六釐四毫七丝八忽五微六纤，为无射。置无射倍律外周一寸六分六釐四毫七丝八忽五微六纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸六分一釐七毫三丝九忽二微四纤，为应钟。置应钟倍律外周一寸六分一釐七毫三丝九忽二微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸五分七釐一毫三丝四忽八微四纤，为黄钟。置黄钟正律外周一寸五分七釐一毫三丝四忽八微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸五分二釐六毫六丝一忽五微一纤，为大吕。置大吕正律外周一寸五分二釐六毫六丝一忽五微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸四分八釐三毫一丝五忽五微三纤，为太蔟。置太蔟正律外周一寸四分八釐三毫一丝五忽五微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸四分四釐○九丝三忽二微八纤，为夹钟。置夹钟正律外周一寸四分四釐○九丝三忽二微八纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸三分九釐九毫九丝一忽二微二纤，为姑洗。置姑洗正律外周一寸三分九釐九毫九丝一忽二微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸三分六釐○○五忽九微四纤，为仲吕。置仲吕正律外周一寸三分六釐○○五忽九微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸三分二釐一毫三丝四忽一微二纤，为蕤宾。置蕤宾正律外周一寸三分二釐一毫三丝四忽一微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸二分八釐三毫七丝二忽五微二纤，为林钟。置林钟正律外周一寸二分八釐三毫七丝二忽五微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸二分四釐七毫一丝八忽○○，为夷则。
置夷则正律外周一寸二分四釐七毫一丝八忽○○为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸二分一釐一毫六丝七忽五微二纤，为南吕。置南吕正律外周一寸二分一釐一毫六丝七忽五微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸一分七釐七毫一丝八忽一微二纤，为无射。置无射正律外周一寸一分七釐七毫一丝八忽一微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸一分四釐三毫六丝六忽九微一纤，为应钟。置应钟正律外周一寸一分四釐三毫六丝六忽九微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸一分一釐一毫一丝一忽一微一纤，为黄钟。置黄钟半律外周一寸一分一釐一毫一丝一忽一微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸○七釐九毫四丝七忽九微九纤，为大吕。置大吕半律外周一寸○七釐九毫四丝七忽九微九纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸○四釐八毫七丝四忽九微二纤，为太蔟。置太蔟半律外周一寸○四釐八毫七丝四忽九微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸○一釐八毫八丝九忽三微三纤，为夹钟。置夹钟半律外周一寸○一釐八毫八丝九忽三微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得九分八釐九毫八丝八忽七微四纤，为姑洗。置姑洗半律外周九分八釐九毫八丝八忽七微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得九分六釐一毫七丝○七微二纤，为仲吕。置仲吕半律外周九分六釐一毫七丝○七微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得九分三釐四毫三丝二忽九微三纤，为蕤宾。置蕤宾半律外周九分三釐四毫三丝二忽九微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得九分○七毫七丝三忽○八纤，为林钟。置林钟半律外周九分○七毫七丝三忽○八纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得八分八釐一毫八丝八忽九微四纤，为夷则。置夷则半律外周八分八釐一毫八丝八忽九微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得八分五釐六毫七丝八忽三微七纤，为南吕。置南吕半律外周八分五釐六毫七丝八忽三微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得八分三釐二毫三丝九忽二微八纤，为无射。置无射半律外周八分三釐二毫三丝九忽二微八纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得八分○八毫六丝九忽六微二纤，为应钟。次求三十六律外径真数。
周求径术，置黄钟倍律外周二寸二分二釐二毫二丝二忽二微二纤，九因，得二尺，以四十除之，得五分，自乘得二十五分，加倍得五十分，为实。开平方法除之，得七分○七毫一丝○六微七纤，是为外径。就置所得为实，依后项乘除之。
径求周术，置黄钟倍律外径七分○七毫一丝○六微七纤，自乘，得五十分。折半，得二十五分，为实。开平方法除之，得五分。以四十乘之，得二尺。九归，得二寸二分二釐二毫二丝二忽二微二纤，是为外周，周径互相求，即还原法也。

置黄钟倍律外径七分○七毫一丝○六微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得六分八釐六毫九丝七忽六微八纤，为大吕。
置大吕倍律外径六分八釐六毫九丝七忽六微八纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得六分六釐七毫四丝一忽九微九纤，为太蔟。置太蔟倍律外径六分六釐七毫四丝一忽九微九纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得六分四釐八毫四丝一忽九微七纤，为夹钟。置夹钟倍律外径六分四釐八毫四丝一忽九微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得六分二釐九毫九丝六忽○五纤，为姑洗。置姑洗倍律外径六分二釐九毫九丝六忽○五纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得六分一釐二毫○二忽六微七纤，为仲吕。置仲吕倍律外径六分一釐二毫○二忽六微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得五分九釐四毫六丝○三微五纤，为蕤宾。置蕤宾倍律外径五分九釐四毫六丝○三微五纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得五分七釐七毫六丝七忽六微三纤，为林钟。置林钟倍律外径五分七釐七毫六丝七忽六微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得五分六釐一毫二丝三忽一微○，为夷则。
置夷则倍律外径五分六釐一毫二丝三忽一微○为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得五分四釐五毫二丝五忽三微八纤，为南吕。置南吕倍律外径五分四釐五毫二丝五忽三微八纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得五分二釐九毫七丝三忽一微五纤，为无射。置无射倍律外径五分二釐九毫七丝三忽一微五纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得五分一釐四毫六丝五忽一微一纤，为应钟。置应钟倍律外径五分一釐四毫六丝五忽一微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得五分，为黄钟。
置黄钟正律外径五分为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分八釐五毫七丝六忽五微九纤，为大吕。置大吕正律外径四分八釐五毫七丝六忽五微九纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分七釐一毫九丝三忽七微一纤，为太蔟。置太蔟正律外径四分七釐一毫九丝三忽七微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分五釐八毫五丝○二微○，为夹钟。
置夹钟正律外径四分五釐八毫五丝○二微○为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分四釐五毫四丝四忽九微三纤，为姑洗。置姑洗正律外径四分四釐五毫四丝四忽九微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分三釐二毫七丝六忽八微二纤，为仲吕。置仲吕正律外径四分三釐二毫七丝六忽八微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分二釐○四丝四忽八微二纤，为蕤宾。置蕤宾正律外径四分二釐○四丝四忽八微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分○八毫四丝七忽八微八纤，为林钟。置林钟正律外径四分○八毫四丝七忽八微八纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分九釐六毫八丝五忽○二纤，为夷则。置夷则正律外径三分九釐六毫八丝五忽○二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分八釐五毫五丝五忽二微七纤，为南吕。置南吕正律外径三分八釐五毫五丝五忽二微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分七釐四毫五丝七忽六微七纤，为无射。置无射正律外径三分七釐四毫五丝七忽六微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分六釐三毫九丝一忽三微二纤，为应钟。置应钟正律外径三分六釐三毫九丝一忽三微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分五釐三毫五丝五忽三微三纤，为黄钟。置黄钟半律外径三分五釐三毫五丝五忽三微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分四釐三毫四丝八忽八微四纤，为大吕。置大吕半律外径三分四釐三毫四丝八忽八微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分三釐三毫七丝○九微九纤，为太蔟。置太蔟半律外径三分三釐三毫七丝○九微九纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分二釐四毫二丝○九微八纤，为夹钟。置夹钟半律外径三分二釐四毫二丝○九微八纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分一釐四毫九丝八忽○二纤，为姑洗。置姑洗半律外径三分一釐四毫九丝八忽○二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分○六毫○一忽三微三纤，为仲吕。置仲吕半律外径三分○六毫○一忽三微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分九釐七毫三丝○一微七纤，为蕤宾。置蕤宾半律外径二分九釐七毫三丝○一微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分八釐八毫八丝三忽八微一纤，为林钟。
置林钟半律外径二分八釐八毫八丝三忽八微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分八釐○六丝一忽五微五纤，为夷则。
置夷则半律外径二分八釐○六丝一忽五微五纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分七釐二毫六丝二忽六微九纤，为南吕。
置南吕半律外径二分七釐二毫六丝二忽六微九纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分六釐四毫八丝六忽五微七纤，为无射。
置无射半律外径二分六釐四毫八丝六忽五微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分五釐七毫三丝二忽五微五纤，为应钟。次求三十六律内径真数。
先置黄钟倍律通长二尺为实，四十除之，得五分，是为内径。就置所得为实，依后项乘除之。

置黄钟倍律内径五分为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分八釐五毫七丝六忽五微九纤，为大吕。置大吕倍律内径四分八釐五毫七丝六忽五微九纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分七釐一毫九丝三忽七微一纤，为太蔟。置太蔟倍律内径四分七釐一毫九丝三忽七微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分五釐八毫五丝○二微○，为夹钟。
置夹钟倍律内径四分五釐八毫五丝○二微○为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分四釐五毫四丝四忽九微三纤，为姑洗。置姑洗倍律内径四分四釐五毫四丝四忽九微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分三釐二毫七丝六忽八微二纤，为仲吕。置仲吕倍律内径四分三釐二毫七丝六忽八微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分二釐○四丝四忽八微二纤，为蕤宾。置蕤宾倍律内径四分二釐○四丝四忽八微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分○八毫四丝七忽八微八纤，为林钟。置林钟倍律内径四分○八毫四丝七忽八微八纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分九釐六毫八丝五忽○二纤，为夷则。置夷则倍律内径三分九釐六毫八丝五忽○二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分八釐五毫五丝五忽二微七纤，为南吕。置南吕倍律内径三分八釐五毫五丝五忽二微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分七釐四毫五丝七忽六微七纤，为无射。置无射倍律内径三分七釐四毫五丝七忽六微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分六釐三毫九丝一忽三微二纤，为应钟。置应钟倍律内径三分六釐三毫九丝一忽三微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分五釐三毫五丝五忽三微三纤，为黄钟。置黄钟正律内径三分五釐三毫五丝五忽三微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分四釐三毫四丝八忽八微四纤，为大吕。
置大吕正律内径三分四釐三毫四丝八忽八微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分三釐三毫七丝○九微九纤，为太簇。
置太簇正律内径三分三釐三毫七丝○九微九纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分二釐四毫二丝○九微八纤，为夹钟。
置夹钟正律内径三分二釐四毫二丝○九微八纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分一釐四毫九丝八忽○二纤，为姑洗。
置姑洗正律内径三分一釐四毫九丝八忽○二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分○六毫○一忽三微三纤，为仲吕。
置仲吕正律内径三分○六毫○一忽三微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分九釐七毫三丝○一微七纤，为蕤宾。置蕤宾正律内径二分九釐七毫三丝○一微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分八釐八毫八丝三忽八微一纤，为林钟。置林钟正律内径二分八釐八毫八丝三忽八微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分八釐○六丝一忽五微五纤，为夷则。置夷则正律内径二分八釐○六丝一忽五微五纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分七釐二毫六丝二忽六微九纤，为南吕。置南吕正律内径二分七釐二毫六丝二忽六微九纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分六釐四毫八丝六忽五微七纤，为无射。置无射正律内径二分六釐四毫八丝六忽五微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分五釐七毫三丝二忽五微五纤，为应钟。
置应钟正律内径二分五釐七毫三丝二忽五微五纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分五釐，为黄钟。
置黄钟半律内径二分五釐为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分四釐二毫八丝八忽二微九纤，为大吕。置大吕半律内径二分四釐二毫八丝八忽二微九纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分三釐五毫九丝六忽八微五纤，为太蔟。置太蔟半律内径二分三釐五毫九丝六忽八微五纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分二釐九毫二丝五忽一微○，为夹钟。
置夹钟半律内径二分二釐九毫二丝五忽一微○为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分二釐二毫七丝二忽四微六纤，为姑洗。置姑洗半律内径二分二釐二毫七丝二忽四微六纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分一釐六毫三丝八忽四微一纤，为仲吕。置仲吕半律内径二分一釐六毫三丝八忽四微纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分一釐○二丝二忽四微一纤，为蕤宾。置蕤宾半律内径二分一釐二丝二忽四微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分○四毫二丝三忽九微四纤，为林钟。置林钟半律内径二分○四毫二丝三忽九微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一分九釐八毫四丝二忽五微一纤，为夷则。置夷则半律内径一分九釐八毫四丝二忽五微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一分九釐二毫七丝七忽六微三纤，为南吕。置南吕半律内径一分九釐二毫七丝七忽六微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一分八釐七毫二丝八忽八微三纤，为无射。置无射半律内径一分八釐七毫二丝八忽八微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一分八釐一毫九丝五忽六微六纤，为应钟。次求三十六律内周真数。
径求周术，置黄钟倍律内径五分，自乘，得二十五分。折半，得一十二分半，为实。开平方法除之，得三分五釐三毫五丝五忽三微三纤九尘。以四十乘之，得一尺四寸一分四釐二毫一丝三忽五微六纤。九归，得一寸五分七釐一毫三丝四忽八微四纤，是为内周。就置所得为实，依后项乘除之。周求径术，置黄钟倍律内周一寸五分七釐一毫三丝四忽八微四纤，九因，得一尺四寸一分四釐二毫一丝三忽五微六纤。以四十除之，得三分五釐三毫五丝五忽三微三纤九尘，自乘，得一十二分半。加倍，得二十五分，为实。开平方法除之，得五分，是为内径。周径互相求，即还原法也。

置黄钟倍律内周一寸五分七釐一毫三丝四忽八微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸五分二釐六毫六丝一忽五微一纤，为大吕。置大吕倍律内周一寸五分二釐六毫六丝一忽五微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸四分八釐三毫一丝五忽五微三纤，为太蔟。置太蔟倍律内周一寸四分八釐三毫一丝五忽五微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸四分四釐○九丝三忽二微八纤，为夹钟。
置夹钟倍律内周一寸四分四釐○九丝三忽二微八纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸三分九釐九毫九丝一忽二微二纤，为姑洗。置姑洗倍律内周一寸三分九釐九毫九丝一忽二微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸三分六釐○○五忽九微四纤，为仲吕。置仲吕倍律内周一寸三分六釐○○五忽九微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸三分二釐一毫三丝四忽一微二纤，为蕤宾。置蕤宾倍律内周一寸三分二釐一毫三丝四忽一微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸二分八釐三毫七丝二忽五微二纤，为林钟。置林钟倍律内周一寸二分八釐三毫七丝二忽五微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸二分四釐七毫一丝八忽○○，为夷则。
置夷则倍律内周一寸二分四釐七毫一丝八忽○○为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸二分一釐一毫六丝七忽五微二纤，为南吕。置南吕倍律内周一寸二分一釐一毫六丝七忽五微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸一分七釐七毫一丝八忽一微二纤，为无射。置无射倍律内周一寸一分七釐七毫一丝八忽一微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸一分四釐三毫六丝六忽九微一纤，为应钟。置应钟倍律内周一寸一分四釐三毫六丝六忽九微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸一分一釐一毫一丝一忽一微一纤，为黄钟。置黄钟正律内周一寸一分一釐一毫一丝一忽一微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸○七釐九毫四丝七忽九微九纤，为大吕。置大吕正律内周一寸○七釐九毫四丝七忽九微九纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸○四釐八毫七丝四忽九微二纤，为太蔟。置太蔟正律内周一寸○四釐八毫七丝四忽九微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸○一釐八毫八丝九忽三微三纤，为夹钟。置夹钟正律内周一寸○一釐八毫八丝九忽三微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得九分八釐九毫八丝八忽七微四纤，为姑洗。置姑洗正律内周九分八釐九毫八丝八忽七微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得九分六釐一毫七丝○七微二纤，为仲吕。置仲吕正律内周九分六釐一毫七丝○七微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得九分三釐四毫三丝二忽九微三纤，为蕤宾。置蕤宾正律内周九分三釐四毫三丝二忽九微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得九分○七毫七丝三忽○八纤，为林钟。置林钟正律内周九分○七毫七丝三忽○八纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得八分八釐一毫八丝八忽九微四纤，为夷则。置夷则正律内周八分八釐一毫八丝八忽九微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得八分五釐六毫七丝八忽三微七纤，为南吕。置南吕正律内周八分五釐六毫七丝八忽三微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得八分三釐二毫三丝九忽二微八纤，为无射。置无射正律内周八分三釐二毫三丝九忽二微八纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得八分○八毫六丝九忽六微二纤，为应钟。置应钟正律内周八分○八毫六丝九忽六微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得七分八釐五毫六丝七忽四微二纤，为黄钟。置黄钟半律内周七分八釐五毫六丝七忽四微二纤为实，以十亿乘之，以十亿　二千九百三十万○二千二百三十六除之，得七分六釐一毫三丝○七微五纤，为大吕。置大吕半律内周七分六釐三毫三丝○七微五纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得七分四釐一毫五丝七忽七微六纤，为太蔟。置太蔟半律内周七分四釐一毫五丝七忽七微六纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得七分二釐○四丝六忽六微四纤，为夹钟。置夹钟半律内周七分二釐○四丝六忽六微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得六分九釐九毫九丝五忽六微一纤，为姑洗。置姑洗半律内周六分九釐九毫九丝五忽六微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得六分八釐○○二忽九微七纤，为仲吕。置仲吕半律内周六分八釐○○二忽九微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得六分六釐○六丝七忽○六纤，为蕤宾。
置蕤宾半律内周六分六釐○六丝七忽○六纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得六分四釐一毫八丝六忽二微六纤，为林钟。置林钟半律内周六分四釐一毫八丝六忽二微六纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得六分二釐三毫五丝九忽○○，为夷则。
置夷则半律内周六分二釐三毫五丝九忽○○为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得六分○五毫八丝三忽七微六纤，为南吕。置南吕半律内周六分○五毫八丝三忽七微六纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得五分八釐八毫五丝九忽○六纤，为无射。置无射半律内周五分八釐八毫五丝九忽○六纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得五分七釐一毫八丝三忽四微五纤，为应钟。