钦定古今图书集成经济汇编乐律典

　第五十二卷目录

乐律典第五十二卷

律吕部汇考六

《宋·蔡沈·律吕新书》一《序》
古乐之亡，久矣。然秦汉之间，去周未远，其器与声，犹有存者。故其道虽不行于当世，而其为法犹未有异论也。迨于东汉之末，以接西晋之初，则已浸多说矣。历魏、周、齐、隋、唐五季，论者愈多，而法愈不定。爰及我朝，功成治定，理宜有作。建隆、皇祐、元丰之间，盖亦三致意焉。而和、胡、阮、李、范、马、刘、杨诸贤之议，终不能以相一也，而况于崇宣之季，奸谀之会，黥涅之馀，而能有以语夫天地之和哉。丁未南狩，今六十年，神人之愤，犹有未摅。是固不遑于稽古礼文之事。然学士大夫，因仍简陋，遂无复以钟律为意者，则已甚矣。吾友建阳蔡君元定季通，当此之时，乃独心好其说而力求之，旁搜远取，巨细不捐，积之累年，乃若冥契，著书两卷，凡若干言。予尝得而读之，爱其明白而渊深，缜密而通畅，不为牵合附会之谈，而横斜曲直，如珠之不出于盘。其言虽多出于近世之所未讲，而实无一字不本于古人已试之成法。盖若黄钟围径之数，则汉斛之积分可考。寸以九分为法，则淮南、太史、小司马之说可推。五声二变之数，变律半声之例，则杜氏之《通典》具焉。变宫变徵之不得为调，则孔氏之礼疏因亦可见。至于先求声气之元，而因律以生尺，则尤所谓卓然者，而亦班班杂见于两汉之制、蔡邕之说、与夫《国朝会要》、以及程子、张子之言。顾读者不深考其间，虽或有得于此，而又不能无失于彼。是以晦蚀纷拿，无复定论。大抵不拘挛于习熟见闻之近，即肆其胸臆，妄为穿穴，而无所据依。季通乃能奋其独见，超然远览，爬梳剔抉，参互考寻，用其半生之力，以至于一旦豁然而融会贯通焉。斯亦可谓勤矣。及其著论，则又能推原本根，比次条理，撮取机要，阐究精微，不为浮词滥说，以汨乱于其间，亦庶几乎得书之体者。予谓国家行且平定中原，以开中天之运，必将审音协律，以谐神人。当是之时，受诏典领之臣，能得此书而奏之，则东京郊庙之乐，将不待公孙述之瞽师，而后备，而参摹。四分之书，亦无待乎后世之子云，而后知，好之矣。抑季通之为此书，辞约理明，初非难读。而读之者，往往未及终篇，辄已欠伸思睡，固无由了其归趣。独以予之顽钝不敏，乃能熟复数过，而仅得其指意之彷佛。季通于是亦许予为能知己志者。故属予以序引，而予不得辞焉。季通更欲均调节族被之管弦，别为乐书，以究其业。而又以其馀力，发挥武侯六十四陈之图，绪正邵氏《皇极经世》之历，以大备乎一家之言。其用意，亦健矣。予虽老病，倘及见之，则亦岂非千古之一快也哉。朱熹序。
朱子曰：蔡神与名发，博学强记，高简廓落，不能与世俗相俯仰。因去游四方，闻见益广，遂于易象、天文、地理三代之说，无所不通，而皆能订其得失。杜门扫轨，专以读书、教子为事。季通生十年，即使读西铭。稍长，则示以程氏语录、邵氏《经世》、张氏《正蒙》，而语之曰：此孔孟正脉也。季通承厥志，学行之馀，尤邃律历，讨论定著，遂成一家之言，使千古之误，扩然一新，而愬其源流，皆有成法。是亦足以显其亲于无穷矣。　西山真氏曰：先生尝特召，坚辞不起，世谓之聘君。聘君以师事文公，而文公顾曰：季通，吾老友也。凡性与天道之妙，他弟子不得闻者，必以语季通焉。异篇奥传，微辞邃旨，先令讨究而后亲折衷之。先生于经无不通，尝语三子曰：渊汝宜绍吾易学。曰：沈汝宜演吾皇极数。而春秋，则以属知方焉。　律吕书，盖朱蔡师弟子相与成之者。朱子与西山书云：但用古书古语，或注疏，而以己意附其下方，甚简约而极周尽。学者一览，可得梗概。其他准说之泛滥，旁正之异同，不尽载也。
《律吕本原》《黄钟》第一〈以《汉志〉》
长九寸，空围九分，积八百一十分。
按天地之数始于一，终于十：其一、三、五、七、九为阳，九者，阳之成也；其二、四、六、八、十为阴，十者，阴之成也。黄钟者，阳声之始，阳气之动也，故其数九。分寸之数，具于声气之元，不可得而见。及断竹为管，吹之而声和，候之而气应，而后数始形焉。均其长，得九寸；审其围，得九分；积其实，得八百一十分。长九寸，围九分，积八百一十分，是为律本，度量权衡于是而受法，十一律由是而损益焉。
算法，置八百一十分，分作九重，每重得九分，圆田术三分益一，得一十二，以开方法除之，得三分四釐六毫强，为实径之数。不尽二毫八丝四忽，今求圆积之数，以径三分四釐六毫自相乘，得十一分九釐七毫一丝六忽。加以开方不尽之数二毫八丝四忽，得一十二分，以管长九十分乘之，得一千八十分，为方积之数。四分取三为圆积，得八百一十分。　朱子曰：本原第一章围径之数此是最大节目又曰：古者只说空围九分，不说径三分，盖不啻三分犹有奇也。　彭鲁斋曰：黄钟律管，有周有径，有面羃，有空围。内积有从长，如《史记》论从长，《律历志》论从长及积，东汉郑氏注月令论羃，东汉蔡氏《月令章句》论从长，皆不易之论。独周径之说，汉以前俱无明文。《汉律历志》开端未竟，东汉蔡氏始创为径三分之说。晋孟氏以后诸儒，续为径三分，围九分之说。宋胡氏蔡氏，又为径三分四釐六毫，围十分三釐八毫之说。然考之古方、围、周、径、羃、积、率，皆未有合。尝依东汉蔡氏所言，径三分，以九章少广内，祖氏密率乘除，止得空围内面羃七分七釐奇，乃少一分九十二釐奇。空围内积，实止得六百三十六分奇，乃少一百七十三分奇。如此，则黄钟之管，无乃太狭，盖黄钟空积忽微，若径内差一忽，即面羃及积所差忽数至多。此东汉蔡氏之说，所以不合也。晋孟氏诸儒言，径三分，围九分，又用径一围三之法。虽是古率，然古人大约以此圆田，若以密率推之，径一则围三有奇。假如径七，则围当二十有二。今依孟氏所言径三分，则围长当九分四釐二毫一秒彊，不但止于九分也。若依九分围长之数，则径当止有二分八釐六毫二秒六忽彊，又不及三分也。此晋孟氏诸儒之说，所以不合也。宋胡氏不主径三围九之说，大意疑其管狭耳。然所言径长三分四釐六毫，围长十分三釐八毫，亦用径一围三之率。若依所言三分四釐六毫，径当得围长十分八釐七毫六秒二忽彊，不但止于十分三釐八毫也。若依十分三釐八毫围长之数，则径止得三分三釐奇，又不及三分四釐六毫也。此宋胡氏之说所以不合也。宋蔡氏说径围分数，与胡氏同。至于算法，用圆田术，三分益一，得一十二，开方除之求径，又以径相乘，以管长乘之，用三分益一，四分退一之法，求羃积。今姑依其说，以九方分平置，又三分益一，以三方分割，置于九方分之外。如此共积十二方，分其从横，可得三分四釐六毫彊，不尽二毫八丝四忽，的如蔡氏之说。但依此径以密率相乘，则空围内面羃，不但止得九方分，乃得九方分零四十釐六十毫五十七秒十四忽奇。空围内积实，不但止得八百二十分，乃得八百四十六分五百四十五釐一百四十二秒六百忽奇。如此，则黄钟之管，无乃太大。细考之方内之圆所占者，不止四分三。圆外之方所当退者，又不及四分一。以此知三分益一，四分退一，乃虚加实退，算家大约之法。此宋蔡氏之说，所以又不能以尽合也。今欲求黄钟律管，从长周径羃积的实定数者，须依蔡氏多截管候气之说，又依祖氏冲之密率乘除，方可。盖祖冲之乃古今算家之最，而蔡氏多截管候气之说，实得造律本原，其说有前人未发者。今宜依此说，先多截竹，以拟黄钟之管，或短或长，长短之内，每差纤微，各为一管，悉以此诸管埋地中，俟冬至时验之。若诸管之中有气应者，即取其管而计之，知此管合于造化自然，非人力可为。即以此管分作九寸，寸作九分，分作九釐，釐作九毫，毫作九秒，秒作九忽，以合八十一终天之数，及元气运行，自子至亥，得十七万七千一百四十七之数。凡用此管三分损益，上下相生，由此又取此管九寸，寸作十分，分作十釐，釐作十毫，毫作十秒，秒作十忽，以合天地五位终于十之数，而以十乘八十一，得八百一十分，以八百一十分配九十分管，知此管长九十分，空围中容八百一十分，即十分管长，空围中容九十分一分管长，空围中容九分，凡求度量权衡由此，乃以此管面空围中所容九分，以平方羃法推之，知一分有百釐，釐有百毫，毫有百秒，秒有百忽。积而计之，一平方分通有面羃一万万忽，九平方分通有面羃九万万忽，乃以此九万万忽，依算经少广章所载，宋祖冲之密率乘除，得圆周长的，计十分六釐三毫六秒八忽万分忽之六千三百一十二。又以圆周求径，计三分三釐八毫四秒四忽万分忽之五千六
百四十五。又以半径半周相乘，仍得九万万忽内一忽弱，通得面羃九平方分也。既以周径相乘，复得面羃如此，则黄钟之广与长，及空围内积实，皆可计矣。故面羃计九方分，深一分，管则空围内当有九立方分深九十分，管计九寸，则空围内当有八百一十立方分。此即黄钟一管之实，其数与天地造化，无不相合。此算法所以成也。算法既成之后，或以竹，或以铜，别为之，依其长，各作八十一分，以为十二律相生之法。又依其长作九十分，乃以九十分之分，计三分三釐八毫四秒四忽万分忽之五千六百四十五，以合孔径。如此，则圆长面羃，与夫空围内积，自然无不谐。会特径数自八毫以下，非可细分，而算法积忽与秒，不容不然。〈集览〉祖冲之，按《南宋书》：冲之，范阳道人，祖台之晋侍中，冲之博学，明历法，造指南车，欹器，有巧思，入神之妙。宋初，累官长水校尉，所著有《老庄、论语、孝经解》数十篇行世。〈补注〉长，九寸九十分长也。每长一分，空围内积实九分。长九十分，内积实八百一十分也。黄钟长九寸，空围九分积八百一十分。林钟长六寸，亦空围九分，积五百四十分。太簇长八寸，亦空围九分，积七百三十分。盖长短异而围径同也。馀仿此。黄钟之管长九寸，既可以三分损益，生十一律之度，则黄钟之空积八百二十分，亦可以三分损益，生十一律之量。其重十二铢，亦可以三分损益，生十一律之权衡也。按本注吹之而声和，候之而气应，是以声气并言。而或者以为黄钟一管，但以候气气应，而后数始形。数形，以之制器，而后声可得。非谓十二律就可以吹之有声也。

《黄钟之实》第二〈以《淮南子》、《汉前志》定其寸分釐毫丝之法，以《律书〉》

子一　　　　　　　　　　　　黄钟之律丑三　　　　　　　　　　　　为丝法
寅九　　　　　　　　　　　　为寸数
卯二十七　　　　　　　　　　为毫法
辰八十一　　　　　　　　　　为分数
巳二百四十三　　　　　　　　为釐法
午七百二十九　　　　　　　　为釐数
未二千一百八十七　　　　　　为分法
申六千五百六十一　　　　　　为毫数
酉一万九千六百八十三　　　　为寸法
戌五万九千囗囗四十九　　　　为丝数
亥一十七万七千一百四十七　　黄钟之实。按黄钟九寸，以三分为损益，故以三历十二辰，得一十七万七千一百四十七，为黄钟之实。其十二辰所得之数，在子、寅、辰、午、申、戌六阳辰，为黄钟寸分釐毫丝之数。
子为黄钟之律，寅为九寸，辰为八十一分，午为七百二十九釐，申为六千五百六十一毫，戌为五万九千四十九丝。

在亥、酉、未、巳、卯、丑六阴辰，为黄钟寸分釐毫丝之法。
亥为黄钟之实，酉之一万九千六百八十三为寸，未之二千一百八十七为分，巳之二百四十三为釐，卯之二十七为毫，丑之三为丝。

其寸分釐毫丝之法，皆用九数，故九丝为毫，九毫为釐，九釐为分，九分为寸，为黄钟。盖黄钟之实，一十七万七千一百四十七之数，以三约之，为丝者，五万九千四十九。以二十七约之，为毫者，六千五百六十一。以二百四十三约之，为釐者，七百二十九。以二千一百八十七约之，为分者，八十一。以一万九千六百八十三约之，为寸者九。由是三分损益，以生十一律焉。或曰：径围之分，以十为法，而相生之分釐毫丝，以九为法，何也。曰：以十为法者，天地之全数也。以九为法者，因三分损益而立也。全数者，即十而取九。相生者，约十而为九。即十而取九者，体之所以立。约十而为九者，用之所以行。体者所以定中声，用者所以生十一律也。
或问：算到十七万有馀之数，当何用。朱子曰：以定管之长短而出是声。大扺考究其法是如此。〈补注〉海虞桑氏悦曰：子一为黄钟之律，三其一则丑为三。三其三，则寅为九。三其九，则卯为二十七。三其二十七，则辰为八十一。三其八十一，则巳为二百四十三。三其二百四十三，则午为七百二十九。三其七百二十九，则未为二千一百八十七。三其二千一百八十七，则申为六千五百六十一。三其六千五百六十一，则酉为一万九千六百八十三。三其一万九千六百八十三，则戌为五万九千四十九。三其五万九千四十九，则亥为一十七万七千一百四十七。以是数为黄钟之实，而定管之短长。以三为丝，故有五万九千四十九丝。以二十七为毫，故有六千五百六十一毫。以二百四十三为釐，故有七百二十九釐。以二千八百八十七为分，故有八十一分。以一万九千六百八十三为寸，故有九
寸。合而观之，积丝毫釐分之长为寸，皆九。合丝毫釐分寸之数，皆一十七万七千一百四十七，不容一毫私意牵合者也。刘氏曰：常数用十，律吕之数用九。九丝为毫，九毫为釐，九釐为分，九分为寸。黄钟之数，历十二辰，至亥，得十七万七千一百四十七。以丑三约之，为丝者五万四千九十九，戌之数也。以卯二十七约之，为毫者六千五百六十一，申之数也。以巳二百四十三约之，为釐者七百二十九，午之数也。以未二千一百八十七约之，为分者八十一，辰之数也。以酉一万九千六百八十三约之，为寸者九，寅之数也。盖在阳辰，顺而左行，为寸分釐毫丝之数。在阴辰逆而右行，为起寸分釐毫丝之法。

《黄钟生十一律》第三

子一分，
一为九寸。

丑三分二，
一为三寸。

寅九分八，
一为一寸。

卯二十七分十六，
三为一寸，　一为三分。

辰八十一分六十四，
九为一寸，　一为一分。

巳二百四十三分一百二十八，
二十七为一寸，　三为一分，　一为三釐。

午七百二十九分五百一十二，
八十一为一寸，　九为一寸，　一为一釐。

未二千一百八十七分一千二十四，
二百四十三为一寸，　二十七为一分，　三为一釐，　一为三毫。

申六千五百六十一分四千九十六，
七百二十九为一寸，　八十一为一分，　九为一釐，　一为一毫。

酉一万九千六百八十三分八千一百九十二，
二千一百八十七为一寸，　二百四十三为一分，二十七为一釐，　三为一毫，　一为三丝。

戌五万九千四十九分三万二千七百六十八，
六千五百六十一为一寸，　七百二十九为一分，八十一为一釐，　九为一毫，　一为一丝。

亥一十七万七千一百四十七分六万五千五百三
十六，
一万九千六百八十三为一寸，　二千一百八十七为一分，　二百四十三为一釐，　二十七为一毫，　三为一丝，　一为二忽。

按《黄钟生十一律》：子、寅、辰、午、申、戌六阳辰皆下生，丑、卯、巳、未、酉、亥六阴辰皆上生。其上以三历十二辰者皆黄钟之全数其下阴数以倍者，〈即算法倍其实〉三分本律而损其一也；阳数以四者，〈即算法四其实〉三分本律而增其一也。六阳辰当位，自得六阴辰则居其冲。其林钟、南吕、应钟三吕在阴，无所增损；其大吕、夹钟、仲吕三吕在阳，则用倍数，方与十二月之气相应，盖阴之从阳自然之理也。
习轩吴氏曰：子一分者，数起子得一也。丑三分二者，三其法为三分，两其实为二也。寅九分八者，三其法为九分，四其实为八也。以下生者，倍其实。以上生者，四其实也。其法以子，析为三分，每分五万九千四十九。丑于三分之中，得其二，为十一万八千九十八。积六寸为林钟，比黄钟之实，三分损一，下生林钟也。以子一析为九分，每分得万九千六百八十三。寅于九分之中得其八，为十五万七千四百六十四。积八寸为太簇，此林钟之实，三分益一，上生太簇也。自卯而下仿此。　黄瑞节曰：其上云者，十二辰分字以上，如子一分丑三分是也。其下云者，十二辰分字以下，如二八十六是也。其上为黄钟全数，其下为损益相生之数。　此损益数，即下章十二律实数。吴氏算法，全载图类，今举二律起例附于此。　子为阳辰，黄钟当位，自得也。丑为未冲，林钟以未而居丑，居其冲也。他仿此。冲一作衡，馀载后辩證。〈补注〉子一分，一为九寸，为黄钟之律也。三其一，则丑为三分，倍其一为二分，一为三寸，二为六寸，为林钟之律也。三其二，则寅为九分。四其二，为八分。一为一寸，八为八寸，为太簇之律也。三其九，则卯为二十七分。倍其八，为十六分。三为一寸，以十五为五寸，馀一为三分，共五寸三分，为南吕之律也。三其二十七，则辰为八十一分。四其十六，为六十四分。九为一寸，以六十三为七寸，馀一为一分，共七寸一分，为姑洗之律也。三其八十一，则已为二百四十三分。倍其六十四，为二百一十八分。二十七为一寸，以一百八为四寸，馀二十分，三为一分，以十八为六分，又馀二分，一为三
釐，二为六毫，共四寸六分六釐，为应钟之律也。三其二百四十三，则午为七百二十九分。四其一百二十八，为五百一十二分。八十一为一寸，以四百八十六为六寸，馀二十六分。九为一分，以十八为二分，又馀八分。一为一釐，八为八釐，共六寸二分八毫，为蕤宾之律也。下未一千二十四，止得大吕半律之数。酉八千一百九十二，止得夹钟半律之数。亥六万五千五百三十六，止得仲吕半律之数。不然，则阴反以四，而阳反以倍矣。其上以三历十二辰者，皆黄钟之全数。假令子一分，则一为九寸，是黄钟之全数。丑三分二，则一为三寸，三三如九，亦是黄钟之九寸。三分取其二，故林钟得六寸。寅九分八，则一为一寸，亦是黄钟之九寸。九分取其八，故太簇得八寸。卯二十七分，十六则三为一寸，亦是黄钟之九寸。二十七分取其十六，故南吕五寸三分。辰八十二分六十四，则九为一寸，亦是黄钟之九寸。八十二分取其六十四，故姑洗七寸一分。其下阴数以倍，阳数以四者，假令黄钟九寸下生，则倍其实，为一尺八寸。以三分之，每分六寸，而得其一，为林钟，即三分黄钟九寸，而损其一者也。林钟六寸上生，则四其实，为二尺四寸。以三分之，每分八寸，而得其一，为太簇，即三分林钟六寸，而增其一者也。馀仿此。其候气之法，六阳辰当位，自得子居子，而寅居寅也。六阴辰则居其冲，丑则居未，而卯则居酉也。其林钟在未，南吕在酉，应钟在亥，为阴，原无半数，故无所增损。其大吕在丑，夹钟在卯，仲吕在巳，为阳吹之，则用半数。方其声和候之，则用一数。方其气应此，特其本注之意耳。究其实，十二律自午以下，则重上生，而大吕、夹钟、仲吕仍用全数，而候气之时，则十二律皆用全数，而旋相为宫。则十二律皆有半数，非此三律为然也。

《十二律之实》第四

子黄钟十七万七千一百四十七，
全九寸，　半无。

丑林钟十一万八千囗囗九十八，
全六寸，　半三寸不用。

寅太簇十五万七千四百六十四，
全八寸，　半四寸。

卯南吕十囗万四千九百七十六，
全五寸三分，　半二寸六分不用。

辰姑洗十三万九千九百六十八，
全七寸一分，　半三寸五分。

巳应钟九万三千三百一十二，
全四寸六分六釐，　半二寸三分三釐不用。

午蕤宾十二万四千四百一十六，
全六寸二分八釐，　半三寸一分四釐。

未大吕十六万五千八百八十八，
全八寸三分七釐六毫，　半四寸一分八釐三毫。

申夷则十一万囗囗五百九十二，
全五寸五分五釐一毫，　半二寸七分二釐五毫。

酉夹钟十四万七千四百五十六，
全七寸四分三釐七毫三丝，　半三寸六分六釐三毫六丝。

戌无射九万八千三百囗囗四，
全四寸八分八釐四毫八丝，　半二寸四分四釐三毫四丝。

亥仲吕十三万一千囗囗七十二，
全六寸五分八釐三毫四丝六忽〈馀二算〉。
半三寸二分八釐六毫二丝二忽。

按十二律之实，约以寸法，则黄钟、林钟、太簇得全寸；约以分法，则南吕、姑洗得全分；约以釐法，则应钟、蕤宾得全釐；约以毫法，则大吕、夷则得全毫；约以丝法，则夹钟、无射得全丝。至仲吕之实十三万一千七十二，以三分之，不尽二算，其数不行，此律之所以止于十二也。
〈补注〉海虞桑氏悦曰：或问：黄钟之数一十七万七千一百四十七，林钟得其二，则损五万九千四十九。故林钟之实，十一万八千九十八。太簇又倍其一，则益三万九千三百六十。故太簇之实，十五万七千四百六十四。南吕又得其二，则损五万九千四百八十八。故南吕之实，十万四千九百七十六。姑洗又倍其一，则益三万四千九百九十二。故姑洗之实，十三万九千九百六十八。应钟又得其二，则损四万六千六百五十六。故应钟之实，九万三千三百一十二。蕤宾又倍其一，则益三万一千一百十四。故蕤宾之实，十二万四千四百一十六。由是而上生大吕，当损四万一千四百七十二，而为大吕八万二千九百四十四，可也。何反益蕤宾之一，而得十六万五千八百八十八之数乎。先儒云：黄钟生十一律，子、寅、辰、午、申、戌六阳辰皆下生，丑、卯、巳、未、酉、亥六阴辰皆上生。阴数倍其实，阳数四其
实。大吕当未，未，阴辰也。而四其实，可乎。损之而益，益之而损，此律之所由成也。蕤宾既益应钟之一，大吕又益蕤宾之一，可乎。曰：朱子云：十二管，隔八相生。自黄钟之管，阳皆下生，阴皆上生。自蕤宾之管，阴反下生，阳反上生。以象天地之气也。若拘占法，而以阳必下生，阴必上生，则以之候气，而气不应。以之作乐，而乐不和。皆郑氏重上生法，所以为不易之论也。学者以是求之，则有得矣。惜乎西山当时失载其说，不能不使初学之疑也。范氏曰：从子至巳，阳生阴退，故律生吕言下生，吕生律言上生。从午至亥，阴升阳退，故律生吕言上生，吕生律言下生。　长乐陈氏曰：黄钟、太簇、姑洗，损阳以生阴。林钟、南吕、应钟，益阴以生阳。何则，黄钟至姑洗，阳之阳也。林钟至应钟，阴之阴也。阳之阳，阴之阴，则阳息阴消之时，故阳常下生而有馀，阴常上生而不足。蕤宾至无射，则阴之阳也。大吕至仲吕，则阳之阴也。阴之阳，阳之阴，则阳消阴息之时，故阳常上生而不足，阴常下生而有馀。临江梁氏寅曰：《班志》隔八相生，一下一上，则终于仲吕，其长止三寸三分有奇。京房之法，则至蕤宾重上生下，五下六上，终于仲吕，其长六寸六分有奇。若仲吕止三寸三分有奇，则虽三分益一，不能复生黄钟之律。故用六寸六分，则三分益一，而可以复生黄钟也。

《变律》第五

黄钟十七万四千七百六十二〈小分四百八十六〉，
全八寸七分八釐一毫六丝二忽不用。
半四寸三分八釐五毫三丝一忽。

林钟十一万六千五百囗囗八〈小分三百二十四〉，
全五寸八分二釐四毫一丝一忽三初。
半二寸八分五釐六毫五丝六初。

太簇十五万五千三百四十四〈小分四百三十二〉，
全七寸八分二毫四丝四忽七初不用。
半三寸八分四釐五毫六丝六忽八初。

南吕十囗万三千五百六十三〈小分四十五〉，
全五寸二分三釐一毫六丝一初六秒。
半二寸五分六釐七丝四忽五初三秒。

姑洗十三万八千囗囗八十四〈小分六十〉，
全七寸一釐二毫二丝一初二秒不用。
半三寸四分五釐一毫一丝一初一秒。

应钟九万二千囗囗五十六〈小分四十〉，
全四寸六分七毫四丝三忽一初四秒〈馀算〉。半二寸三分三毫六丝六忽六秒彊不用。

按十二律各自为宫，以生五声二变。其黄钟、林钟、太簇、南吕、姑洗、应钟六律，则能具足。至蕤宾、大吕、夷则、夹钟、无射、仲吕六律，则取黄钟、林钟、太簇、南吕、姑洗、应钟六律之声，少下，不和，故有变律。变律者，其声近正而少高于正律也，然仲吕之实，一十三万一千囗。囗七十二，以三分之，不尽二，算既不可行，当有以通之律。当变者有六，故置一而六三之，得七百二十九。以七百二十九，因仲吕之实十三万一千囗，囗七十二为九千五百五十五万一千四百八十八，三分益一，再生黄钟、林钟、太簇、南吕、姑洗、应钟六律，又以七百二十九归之，以从十二律之数。纪其馀分以为忽秒，然后洪纤、高下不相夺伦。至应钟之实，六千七百一十囗，万八千八百六十四，以三分之，又不尽一算数，又不可行。此变律之所以止于六也。变律非正律，故不为宫也。
朱子曰：自黄钟至仲吕。相生之道，至是穷矣，遂复变而上生黄钟之宫。再生之黄钟不及九寸，只是八寸有馀。然黄钟君象也，非诸宫之所能役，故虚其正而不复用，所用即再生之变者。就再生之变又缺其半，所谓缺其半者，盖若大吕为宫，黄钟为变宫时，黄钟管最长，所以只得用其半。其馀宫亦仿此。〈补注〉按本注谓：黄钟、林钟、太簇、南吕、姑洗、应钟六律，则能具足。如黄钟为宫，则林钟为徵，太簇为商，南吕为羽，姑洗为角，应钟为变宫，蕤宾为变徵。林钟为宫，则太簇为徵，南吕为商，姑洗为羽，应钟为角，蕤宾为变宫，大吕为变徵。十二律中，自能具足五声二变，至蕤宾为宫，未免反取黄钟为变徵。大吕为宫，未免反取黄钟、林钟为变宫。变徵少下不和，故有变律也。然仲吕之实，一十三万一千七十二。以三分之，不尽二算，盖律法得全寸全分全釐全毫全丝者，为正律。有忽秒者，为不尽算。不尽二算者，以三分之除二分也。不尽一算者，馀一分也。非惟律管长短有忽秒不尽算，而空围内积亦有忽微不尽算者，所谓空积忽微是也。律当变者有六，故至子之一而六至午，以三历之，得七百二十九。以七百二十九曰，仲吕之实，得九千五百五十五万一千四百八十八。又以七百二十九归之为六变律之数，纪其六，小分为忽，少忽秒以下，又不尽算，此变律之所以止于六也。愚谓变律不候
气者，变律非正律也。所以补正律声音之不足者也。犹闰月非正月也，所以补正月日数之不足者也。盖阳者，天之气也。阴者，地之气也。日者，阳之精也。月者，阴之精也。日月会于上，则阴阳合于下。故律管所以候阴阳，会合中和之气也。必于中气候之者，盖天气先至，故十二节气常先半月。地气后至，故十二中气常后半月。律管所以候地下之气，至中气始应也。闰月下候者，无中气也。变律不以之候，气非中声，故不为宫也。

《律生五声图》第六

宫声八十一　　商声七十二　　角声六十四徵声五十四　　羽声四十八。
按：黄钟之数，九九八十一，是为五声之本，三分损一以下生徵，徵三分益一以上生商，商三分损一以下生羽，羽三分益一以上生角。至角声之数六十四，以三分之，不尽一算，数不可行，此声之数所以止于五也。或曰：此黄钟一均五声之数，他律不然，曰置本律之实，以九九因之，二分损益，以为五声。再以本律之实约之，则宫固八十一，商亦七十二，角亦六十四，徵亦五十四，羽亦四十八矣。
假令应钟九万三千三百一十二，以八十一乘之，得七百五十五万八千二百七十二，为宫。以九万三千三百一十二约之，得八十一三分，宫损一，得五百囗囗三万八千八百四十八，为徵。以九万三千三百一十二约之，得五十四三分，徵益一，得六百七十一万八千四百六十四，为商。以九万三千三百一十二约之，得七十二三分，商损一，得四百四十七万八千九百七十六，为羽。以九万三千三百一十二约之，得四十八三分，羽益一，得五百九十七万一千九百六十八，为角。以九万三千三百一十二约之，得六十四。〈补注〉愚谓十二律虽生于黄钟，九寸长短不齐，及其旋相为宫，以生五声二变，皆约以八十一分，起数则八十四声，各有所归。

《变声》第七

变宫声四十二〈小分六〉　变徵声五十六〈小分八〉按五声宫与商、商与角、徵与羽相去各一律，至角与徵、羽与宫相去乃二律。相去一律则音节和，相去二律则音节远。故角、徵之间，近徵收一声，比徵少下，故谓之变徵；羽、宫之间，近宫收一声，少高于宫，故谓之变宫也。角声之实六十有四，以三分之，不尽一算，既不可行，当有以通之。声之变者二，故置一而两，三之得九，以九因角声之实六十有四，得五百七十六。三分损益，再生变徵、变宫二声，以九归之，以从五声之数，存其馀数，以为强弱。至变徵之数五百一十二，以三分之，又不尽二算，其数又不行，此变声所以止于二也。变宫、变徵，宫不成宫，徵不成徵，古人谓之和缪，又曰所以济五声之不及也。变声非正，故不为调也。朱子曰：五声之序，宫最大而沈浊，羽最细而轻清。
商之大，次宫徵之细，次羽，而角居四者之中焉。然世之论中声者，不以角而以宫，何也。曰：凡声阳也，自下而上，未及其半，则属于阴而未畅，故不可用。上而及半，然后属于阳，而始和。故即其始而用之以为宫。因其每变而益上，则为商，为角，为变徵，为徵，为羽，为变宫，而皆以为宫之用焉。是以宫之一声，在五行为土，在五常为信，在五事为思，盖以其正当众声，和与未和，用与未用，阴阳际会之中，所以为盛。若角，则虽当五声之中，而非众声之会。且以七均论之，又有变徵以居焉，亦非五声之所取正也。然自其声之始和者，推而上之，亦至于变宫而止耳。自是以上，则又过乎轻清，而不可以为宫。于是就其两间而细分之，则其别又十有二，以其最大而沈浊者为黄钟，以其极细而轻清者为应钟。及其旋相为宫，而上下相生，以尽五声二变之用，则宫声常不越乎十二之中，而四声者或时出于其外，以取诸律半声之管，然后七均备而一调成也。黄钟之与馀律，其所以为贵贱者，亦然。若诸半声以上，则又过乎轻清之甚，而不可以为乐矣。盖黄钟之宫，始之始，中之中也。十律之宫，始之次，而中少过也。应钟之宫，始之终，而中已尽也。诸律半声过乎轻清，始之外而中之上也。半声之外过乎轻清之甚，则又外之外，上之上，而不可为乐者也。正如子时，初四刻属前日，正四刻属后日，其两日之间，即所谓始之始，中之中也。然则声自属阴，以下亦当默有十二正变、半律之地，以为中声之前。假如子之初四刻为者，无声气之可纪。〈疑有错字〉由是论之，则审音之难，不在于声，而在于律。不在于宫，而在于黄钟。盖不以十二律节之则，无以著夫五声之实。不得黄钟之正，则十一律者又无所受，以为本律之宫也。〈补注〉黄钟之宫，太簇、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾、林钟、夷则、南吕、无射、应钟，此十二律，隔八相生之序也。假令黄钟为宫，则相去一律，而太簇
为商。又相去一律，而姑洗为角。又相去二律，而林钟为徵。又相去一宫，而南吕为羽。羽距黄钟之宫，又相去二律焉。声之变者，二律置子之一，而两至寅，以二历之得九，以九因角声之实六十有四，得五百七十六，以九归之为变宫、变徵之间，存其小分以为强弱之下，又不尽算。此变声所以止于二也。
八十四声图第八（正律墨书变律朱书　　半声朱书半声墨书）八十四声图第八（正律墨书变律朱书　　半声朱书半声墨书）

按律吕之数，往而不返，故黄钟不复为他律役，所用七声皆正律，无空、积、忽、微。自林钟而下，则有半声：
大吕、太簇一半声，夹钟、姑洗二半声，蕤、林钟四半声，夷则、南吕五半声，无射、应钟六半声。仲吕为十二律之穷，三半声。

自蕤而下则有变律：
蕤一变律，大吕二变律，夷则三变律，夹钟四变律，无射五变律，仲吕六变律。

皆有空、积、忽、微，不得其正，故黄钟独为声气之元。虽十二律八十四声皆黄钟所生，然黄钟一均，所谓纯粹中之纯粹者也。八十四声：正律六十三，变律二十一。六十三者，九七之数也；二十一者，三七之数也。
或问声气之元。朱子曰：律历家最重元声，元声一定，向下都定；元声差，下都差。〈补注〉此言十二律还相为宫，生八十四声。其十一律受法于黄钟，虽其管长短不齐，及当月而为宫待者，约以八十一分起数。如应钟全四寸六分六釐，则约以八十一分，又三分损益，以生四声二变。馀律皆然。如十一月，黄钟为宫，斜数去则林钟为徵，太蔟为商，南吕为羽，姑洗为角，应钟为变宫，蕤宾为变徵，皆正律，无空积忽微。如林钟为宫，则以大吕为变徵。太蔟为宫，则以大吕为变宫。一半声也。南吕为宫，则以大吕为角，夹钟为变徵。姑洗为宫，则以大吕为羽，夹钟为变宫。二半声也，皆不得其正。如蕤宾为宫，则以黄钟变为变徵，一变律也。大吕为宫，则以黄钟变为变宫，林钟变为变徵，二变律也。皆有空积忽微，此黄钟一均，所以为纯粹中之纯粹者也。所谓空积忽微者，非律管长短之数，乃空积多寡之数，其实则一而已矣。一说大吕变宫是黄钟变半声，太簇变宫是大吕半声。故曰：大吕，太簇一半声。夹钟羽是黄钟变半声，变宫是太簇变半声，姑洗羽一大吕半声，宫是夹钟半声。故曰：夹钟、姑洗，二半声。见六十调图。
六十调图第九（以周礼淮南子礼记郑氏注孔氏正义定）

按十二律旋相为宫，各有七声，合八十四声。宫声十
二，商声十二，角声十二，徵声十二，羽声十二，凡六十声，为六十调，其变宫十二，在羽声之后、宫声之前；变徵十二，在角声之后、徵声之前：宫不成宫徵不成徵，凡二十四声，不可为调。黄钟宫至夹钟羽，并用黄钟起调、黄钟毕曲；大吕宫至姑洗羽，并用大吕起调、大吕毕曲；太蔟宫至仲吕羽，并用太蔟起调、太蔟毕曲；夹钟宫至蕤宾羽，并用夹钟起调、夹钟毕曲；姑洗宫至林钟羽，并用姑洗起调、姑洗毕曲；仲吕宫至夷则羽，并用仲吕起调、仲吕毕曲；蕤宾宫至南吕羽，并用蕤宾起调、蕤宾毕曲；林钟宫至无射羽，并用林钟起调、林钟毕曲；夷则宫至应钟羽，并用夷则起调、夷则毕曲；南吕宫至黄钟羽，并用南吕起调、南吕毕曲；无射宫至大吕羽，并用无射起调、无射毕曲；应钟宫至太蔟羽，并用应钟起调、应钟毕曲，是为六十调。六十调即十二律也，十二律即一黄钟也。黄钟生十二律，十二律生五声二变。五声各为纲纪，以成六十调，六十调皆黄钟损益之变也。宫、商、角三十六调，老阳也；其徵、羽二十四调，老阴也。调成而阴阳备也。或曰：日辰之数由天五、地六错综而生，律吕之数由黄钟九寸损益而生，二者不同。至数之成，则日有六甲、辰有五子为六十日；律吕有六律、五声为六十调，若合符节，何也。曰：即上文之所谓调成而阴阳备也。夫理必有对待，数之自然也。以天五、地六合阴与阳言之，则六甲、五子究于六十，其三十六为阳，二十四为阴。以黄钟九寸纪阳不纪阴言之，则六律、五声究于六十，亦三十六为阳，二十四为阴。盖一阳之中，又自有阴阳也。非知天地之化育者，不能与于此。
朱子曰：律吕有十二个，用时只使七个。若更插一声，便拗了。　旋宫且如大吕为宫，则大吕用黄钟八十一之数，而三分损一，下生夷则。又用林钟五十四之数，而三分益一，上生夹钟。其馀皆然。　旋相为宫，若到应钟为宫，则下四声都当低去，所以有半声，亦谓之子声。近时，所谓清声是也。　乐家大率最忌臣民陵君，故商声不得过宫声。　如应钟为宫，其声最短而清。或蕤宾为之商，则是商声高似宫声，为臣陵君，不可用。遂乃用蕤宾律减半，为清声以应之。虽然减半，只是此律，故亦能相应也。　若以黄钟为宫，则馀律皆顺。若以其他律为宫，便有相陵处。今且以黄钟言之，自第九宫后四宫，则或为角，或为羽，或为商，或为徵。若以为角，则
是民陵其君。若以为商，则是臣陵其君。徵为事，羽为物，皆可类推。故制黄钟四清声，用之清声，短其律之半，是黄钟清长四寸半也。若后四宫，用黄钟为角、徵、商、羽，则以四清声代之，不可用黄钟本律，以避陵慢。沈存中曰：唯君臣民不可相陵，事物则不必避。〈补注〉按五声二变，以相生之序言之，则曰宫，曰徵，曰商，曰羽，曰角，曰变宫，曰变徵。以高下清浊言之，则曰宫，曰商，曰角，曰变徵，曰徵，曰羽，曰变宫。以七声而为一调，以五调而当一曲。一曲既毕，而别起调。至于太簇羽，凡十二曲，六十调，四百二十声也。其正者，以正律，全声应也。其半者，以正律，半声应也。变半者，以变律，半声应也。其变者，以变律，全声应也。　阳律为宫，而商、角皆阳。至变徵，则变而为羽阴。徵、羽为阴，至变宫又变而为阳也。阴律为宫，而商、角皆阴。至变徵，则变而为阳。徵、羽为阳，至变宫，又变而为阴也。　朱子曰：大凡压入音律，只以首尾二字，章首一字是某调，章尾即以某调终之，如关睢关字合作无射调，结尾亦著作无射声应之；葛覃葛字合作黄钟调，结尾亦著作黄钟声应之；如七月流火三章皆七字起，七字则是清声调，末亦以清声调结之；如五月斯螽动股，二之日凿冰冲冲，五字二字皆是浊声，黄钟调，末以浊声结之。如今俗乐亦只有商、宫、羽三调而已。沈氏《笔谈》曰：十二律并清宫，当有十六声。今之燕乐止有十五声。盖本乐高于古乐二律以下，故无正黄钟声，只以合字当大吕，犹差高，当在大吕、太簇之间，下四字近太簇之，高四字近夹钟，下一字近姑洗，高一字近仲吕，上字近蕤宾；勾字近林钟，大字近夷则，二字近南吕，高二字近无射，六字近应钟，下凡字为黄钟清。高凡字为大吕清，下五字为太簇清，高五字为夹钟清。法虽如此，然此调杀声，不尽归本律，故有偏杀、侧杀、寄杀、元杀之类。虽与古法不同，推之亦皆有理。知声者皆能言之，此岂不备哉。

《候气》第十

候气之法，为室三重，户闭涂衅，必周密布缇缦，室中以木为案，每律各一案，内卑外高，从其方位，加律其上，以葭灰实其端，覆以缇素，按历而候之。气至，则吹灰动素。小动为气和。大动为君弱臣强，专政之应。不动为君严猛之应。其升降之数，在冬至，则黄钟九寸〈升五分二釐三毫〉。大寒，则大吕八寸三分七釐六毫〈升三分七釐六毫〉。雨水，则太簇八寸〈升四分五釐一毫六丝〉。春分，则夹钟七寸四分三釐七毫三丝〈升三分三釐七毫三丝〉。谷雨，则姑洗七寸一分〈升四分囗囗五毫四丝三忽〉。小满，则仲吕六寸五分八釐三毫四丝六忽〈升三分囗囗三毫四丝六忽〉。夏至，则蕤宾六寸二分八釐〈升二分八釐〉。大暑，则林钟六寸〈升三分二釐四毫〉。处暑，则夷则五寸五分五釐五毫〈升二分二釐五毫〉。秋分，则南吕五寸三分〈升三分囗囗四毫一丝〉。霜降，则无射四寸八分八釐四毫八丝〈升二分二釐四毫八丝〉。小雪，则应钟四寸六分六釐。按阳生于《复》，阴生于《姤》，如环无端。今律吕之数，三分损益，终不复始，何也。曰：阳之升始于子，午虽阴生，而阳之升于上者未巳，至亥而后穷上反下；阴之升始于午，子虽阳生，而阴之升于上者亦未巳，至巳而后穷上反下。律于阴则不书，故终不复始也。是以升，阳之数，自子至巳差强，在律为尤强，在吕为少弱；自午至亥渐弱，在律为尤弱，在吕为差弱。分数多寡，虽若不齐，然其丝分毫别，各有条理，此气之所以飞灰，声之所以中律也。或曰：《易》以道阴阳，而律不书阴，何也。曰：《易》者尽天下之变，善与恶无不备也，律者致中和之用，止于至善者也，以声言之，大而至于雷霆，细而至于蠛蠓，无非声也。《易》则无不备也，律则写其所谓黄钟一声而已矣。虽有十二律六十调，然实一黄钟也。是理也，在声为中声，在气为中气，在人则喜怒哀乐未发阴阳而中节也，此圣人所以一天人、赞化育之道也。
鲁斋彭氏曰：西山蔡氏所述，《礼记》、《月令章句》蔡邕说也。如邕所云，则是为十二月，律布室内十二辰，若其月气至，则辰之管灰飞而管空也。然则十二月各当其辰，斜埋地下，入地处卑，出地处高，故云内卑外高。黄钟之管，埋于子位，上头向南，以外诸管推之，可悉知。又《律书》云：以河内葭莩为灰，宜阳金门山竹为管。熊氏云：灰实律管，以罗縠覆之。气至，则吹灰动縠矣。又长乐陈氏曰：候气之法，造室三重，各启门为门之位，外之以子，中之以午，内复以子。扬子所谓九闭之中也。盖布缇缦，室中上圆下方，依辰位埋律管，使其端与地齐，而以薄纱覆之。中秋，白露降，采葭莩为灰，加管端以候气至灰去。为气所动者灰散，为物所动者，其灰聚。今采诸说證辩。〈补注〉刘氏曰：日者，太阳之精。凡天之气，以日为主焉。月者，太阴之精。凡地之气，以月为主焉。故日月会于上，则阴阳合于下。自阴生至于冬至，凡
六管之长短者，皆阳气入地之深浅，而始与阴合也。阴合于阳，上进而葭灰飞动者，皆其月之中气也。阳生至于夏至，凡六管之长短者，皆阴气入地之深浅，而始与阳合也。阳合于阴，上进而葭灰飞动者，皆其月之中气也。故日月交会于上，以成度。则阴阳交合于下，以成时。取其管以为声，天地之中声也。取其律以候气，阴阳之和气也。非圣人，其能与于此乎。愚按本注谓：律于阴，则不书。则是律管飞灰，皆阳气吹，而阴不吹也。刘氏之意，谓子月以后，阴在上，阳在下。黄钟六管埋之地中，则阴从管入，地下合阴阳气升，而黄钟六管，所以飞灰。犹大海，每子时后，亦阴与阳合而潮生也。午月以后，阳在上，阴在下，蕤宾六管埋之地中，则阳从管入地下，合阴阴气上升，而蕤宾六管所以飞灰。犹大海每午时后，亦阳与阴合，而汐至也。必以子月为始也，十二月之首也，必以黄钟为重者，十二律之所由终也。刘说近是。