钦定古今图书集成历象汇编历法典

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历法典第七十卷

历法总部汇考七十

新法历书二十

五纬历指六五纬纬行

太阳乃万曜之君，其所行之道，为直道。凡天上诸星，悉繇以定其行。左右距太阳之道，谓之纬。而土木火金水五星，尝在太阳之左右，不能直行，故名曰五纬。太阴之行亦斜交太阳之道，并可名纬。古测未觉月亦有纬，南北二行直，谓之离。然其南北之离，比五星更纯，无多纬之杂，其差甚微，故仍其名也。
历家非以定日月之行为足，又须兼齐五纬，而七政始全，其五星经行业详著各历指然以明理适用，则某星随时所在躔次，及某时应会某星，并同某星出入与凌犯，近远见伏，诸类必明晰详尽始全其学。若不知纬行南北，多寡无从得其准。故第谷名士深心考究，制为多仪，密测密算，定其进退之两限。南北之距度立为成表，皆务得各星之真路。本道之行，限详解纬图，盖以止晰经行不能全定其处也。
新历按古今历家两测之论，以明五星纬行之理，各有数端。其一为本，天轮；其一为岁，圈轮。此二根五星皆同。若夫金水别有纬行之根，异于土木，共著论八条。
古测纬行第一

王宝翰〈距今百五十年〉曰：五星纬行，前古未有识者。迄多禄某始觉其理而明其法，测验功深乃得立成，而布算
前人，但以经度为本，未觉纬行之所以然。多禄某密测精求，因几何原本等书，以定星行之率，始得纬道，立成诸法。

一觉五星之纬各有天，半周恒纬黄道南，有半周恒纬黄道北。
二觉此南北之交处非一。时六宫在南六宫在北，或时七宫南五宫北。盖此南北之行非繇视行，以所测视行求实行，末得各星黄道某宫度，以实行到此，或南变北，或北变南。
三测各星极大纬，而得其距交度约三宫。曰星所行非黄道，乃各星有本道，而斜交于黄道，再测得土木二星，凡近寿星宫，火星近鹑火宫者，皆距黄道北极大纬度。若三星在其冲之处，〈土木为降娄宫火星为元枵宫〉则距黄道更南。
四用本图不同心圈及小轮，择各星在南北大纬或在极近合伏太阳之处。
凡星在岁轮极远者，其心会合太阳不能窥测，惟越前后多日，方得其准。

或在极近冲日之处，或在中距迟留之近处，各有异相，比测未得，星在极近加本纬之度数。
本纬乃从本道加，加纬度繇于岁轮，下半加纬，上半减纬。

在极远减本纬之度数，若在中距者，无大差。所云加纬度者，如在近处，星道向南，则加南纬；向北，则加北纬。详见下文：
细究纬形之故。古者借图形解之曰：日月五星之本行，更顺更平，各有全圈。各圈置一平面，盖圈者乃圆形之外周，而面者乃圆形外周内所容之积也。不曰积而曰面者，以积有厚之形，面乃无厚之形也。〈见几何界说〉凡曰黄道白道相，交宜想两圆形相容相割，如东西两堵墙相遇不止而过，此两面相割之处为一直线。如黄赤两道以春秋两分之一线上割之，两分谓之两道之交，即两面相割之限。五星本道及小轮相交，各圈之面相割，若以楮莺圈之像，可明其理。一系置多禄某所言，各星有本道之面及小轮之面，曰：凡年岁小轮之径线
从人目过，小轮之心则近远两处之线，

全在黄道之外，而不相割相交。凡负小轮圈在黄道或南或北，则小轮全体亦在或南或北。
二系见星纬黄道或南或北，则知星之本道交于黄道。今见小轮或加或减本道之纬，必小轮交于本轮。两面相割不，则在一平面何能置其加减乎。
又五星之纬，古来未有名界，即借太阴用之。凡各星本道纬向北者，谓之阴历；向南者，谓之阳历。从南往北之交谓正交，从北往南谓中交。凡小轮在其近半周者，谓之外盖；恒向黄道本道之外而加，凡在其远半周者，谓之内盖。恒在黄道木道之中而减，又择小轮心，〈即算时所得实行〉在黄道本道两交之上，及星距日天周四之一〈如其时星在小轮近远之中〉测得星在黄道下，则无纬度分。又凡小轮心在黄道下，各星在小轮上，不拘度分，〈于太阳或近或远〉星恒不见纬度。
三系小轮心在交上无纬度者，其平面与黄道平面相合为一。
多禄某曰：土木火三星，本天〈即不同心圈〉之面斜割黄道面，可定其斜交之角。
如赤黄二道斜相割，其交角为二十三度半。

又曰：割小轮面而交本天，为不定之角，其小轮近远两限中有一直线，于近远线在两交之中为直角，与在交上，相合为一。乃于两交线恒为平行分小轮上下两平分，此线当小轮之枢，因之转动，其上半极远之点，若在黄道北，则在本道南；若在黄道南，则在本道北。盖小轮恒于黄道，为平行面故也。
黄道交各星道交角第二

黄道星道两平面相割一直线上，
面割交面生一线。如线交线生一点，名曰交点。点之两端生四角，相对相等而两面亦生。相交割一直线，亦生四角等。

曰：同交线，此线通黄道之心，即地心也。
系交线割星道面不平分，盖星道不过黄道之心，不同心圈故也。其大半〈六宫以上〉向北，其小半〈六宫以下〉向南，大半在北，则北纬比南纬更大。
图图

如右图，丁地心，作丙乙戊甲黄道圈，〈圈或面互用〉又任取已为某星，天之心，作庚甲壬乙圈，又作甲丁乙同交线，分黄道为平分，分星道则任分。
多禄某曰：此交线以异角，交各天两心之线也。今如法。
土星两心线〈即最高〉在析木宫二十七度六分。
甲子年所算为历元之木，见本表。

其正交在鹑首宫二十度三十九分，相距一百六十五度二十七分，中交在其冲。
木星最高在寿星宫八度五十四分，其正交在鹑首宫七度八分，相距为八十九度一十四分，中交在其冲。
火星最高在鹑火宫二十九度二十六分，其正交在大梁宫一十七度，相距一百○二度二十六分，中交在其冲。
金星正交在本天最高前十六度，此时在实沈宫十四度。
金水二星差数微免绘图

水星正交于最高为一，此时在析木宫一度。
系因图可见各星交线之异，任分本天。凡两心线及交线之交角近于直角者，其两任分之较更大；若交角甚锐者，两任分之较更小。如木星，本天交线上之弧比土星交线上之弧更大，观图可见。
二系各星本行〈即平行〉时，行周天向北之弧比行南弧更多，弧之多寡，与行时多寡，相应故也。
问南北两弧若干曰：用上各星之图，从己至正交中交两处，作线成己丁正，己丁中两形。夫形为加减均
图

数之形，以视行角己丁中。求平行角丁己中之馀，即高中弧之度，用加减表求之，相并得：土星北弧胜南弧为五度二十分，木星北弧胜南弧为五度五十四分，火星北弧胜南弧为二十一度五十六分。
依上，多禄某所定黄道本

道正交中交之角上。凡星在此恒无纬度又纬类从此变，或以南往北，或自北往南，取星在两交之中测其纬，得上三星。凡在小轮极远者，纬度少；在小轮近者，纬度多。以多寡之较，求小轮之心或本道距黄道若干得数如左。
土星本道交黄道角，
或一圆球上两大圈相交之角，或两道之平面相割各用之，

为二度一十六分。小轮平面割本天面交角，小轮在两交之中，为四度半。凡在正交或中交之上者，交角为二度一十六分，乃两道之角也。
本星本道交黄道角为一度二十四分，小轮交本道为二度三十分。
火星本天交黄道角为一度○分，小轮交本天为二度十一分。
依上论，小轮高庳则视纬有多寡，如加减表。凡引数在高者，均数少；在低者，均数多。如图。
依视法，凡对周看一平面或圆形者，所见之形为
图

一直线，如简平仪诸线为直线，即当圆形曲线。今两道及小轮各对周看成直线，两线交角当两面之交角。
丁地心戊丁亥线当黄道，己为某星天之心。作庚己壬线当某星本道，置庚丁戊角为两道交角，〈数见上〉又

从己心取己庚、己壬等线。壬庚为小轮心，作午庚未乙壬甲两线于黄道平行亦两线相等未庚己为小轮及本天之交角，上下无二。从丁〈人目所在〉作丁甲、丁未视线定高庳两处，未丁戊、甲丁亥两纬角，题言在最高，未丁戊角为小；在高冲，甲丁亥角为大。甲壬丁庚、丁未两形各有等底，甲壬庚未又有壬庚两角等。庚丁边比壬丁边更大，则其对角未比甲角亦大。又其馀各反之，则庚丁未角小，甲丁壬角大。大角恒于大腰，相照几何之言也。
若作丁午、丁乙两线定星在极远午乙两处，必壬丁乙为大，午丁庚为小。今述多禄某定各星所在大纬于左。
土星小轮心在两交之北，星若在小轮上，如庚线者，纬度为二度三分；若在下，如未线者，纬度为三度二分。小轮在两交之南，若星在上，如乙处，纬度为二度二分；在下，如甲，纬度为三度五分。
木星小轮若在北，星在上者，纬度为一度六分；在下者，为二度四分。小轮若在南，星在上者，纬度为一度五分；在下者，得二度七分。
火星小轮若在北，星在上者，纬度为○度五分；在下者，为四度三十分。小轮若在南，星在上者，为○度四分；在下者，为六度五十分。
金水二星下有本解
上三星诸轮图说第三

星之所行为全圆圈，人目或在其心，或近其心，时见如直线，又时见扁圈线，以视学论之，设上诸图。如人目在天外，对黄道之周而看，则圈形如直线；若人目在南北二极而看，则见如全圆形。然某平面于某平面或平、或相切、或相距者，不能分别，故视学因置人目在黄道及其极之中，若可见各圈相距近远。如左二图，一目在极正视，一目在黄道及本极之中而斜视也。
图上外圈为黄道，第一第四同心，函中不同心。圈此一四两圈于黄道平面，二三两圈为不同心，又于黄道非平面也。
第二图


如第二图，其中有均圈，指小轮，图画如一平面。然非一平面者，亦如右图上三星本道切割黄道图。外大圈为两至两极圈，指黄道。黄道圈上列有宫次，其内有同面同色之圈，于前图为一四，其轴为甲乙，其斜切密作点。虚面为星圈，即不同心圈中有均圈为白圈，轴为丙丁，此间有小轮亦斜切异心圈。然平行于黄道，如前上图，可见本轮或行、或留之，迹皆为圆形。其黄道本道两轴相切，及小轮轴于黄道轴为平行。其本轮为直线者，视法也，真圆面也。
图图

三图指各星各点所行留之迹。各圈有本名，但真一直线，有名曰本轮。面因对周天，而看法以圆平面变为一直线，乃视法。若解此诸圈之理，须用浑天仪。此仪有赤黄二道，有冬夏二至，及二极、乃为明畅。四图说甲乙丁线为黄道太道相交之线。〈因相近相远必有相交之一线〉甲丙乙戊为本圈，〈今用不同心圈及小轮解说更易〉丙戊二处极距两交为九十度，乃两道大。相距之两处也，甲为正交，〈本天向黄道北阴历初〉乙为中交。〈本天向黄道南阳历初〉置小轮甲在乙等处，从人目丁，作丁庚、丁戊等线，名近远线。又
图

作子午诸线，皆过小轮心，而于甲乙交线为平行。此子午、己庚二线相交之角非一，小轮在两交上，二线合而为一；小轮在大距处，丙戊两线相交成直角。午子线当小轮之枢，上半、下半，繇枢而运。盖以本天从南往北、从北往南，尝尝

活动。须得黄道之平距为本。故斜交本天之角于本天斜交黄道之角尝为等。如小轮在甲或乙两交上，即一体合于黄道。若在丙，阴历本天距黄道北大距处，则小轮下半子巳午向本道北，在两道外；上半向本道南，在两道内。若在戊，阳历本天距黄道南大距处，则小轮下半午巳子向本道北，在两道内；上半向本道南，在两道外。
从丙到乙有九十度，在丙在戊两线为直角。在己近处为本道大距，即大纬度。徐行往乙，则己丙子甲更小，己距黄道之度，亦更小，至乙而尽。
系小轮在丙、在戊；或合伏太阳，如庚；或冲太阳，如己。时星有大纬度，盖星距太阳九十度，则庚子弧在枢线及本道上。但有本道之纬，若小轮到辛距交四十五度，两线交角亦为四十五度，或合伏，如庚；或冲，如己，非大纬度。盖庚己比壬癸二处为小。
距子午枢线为象限，故大距度在此不在己。

上图金水二星亦可用其详，见下。
新测上三星纬第四

本历总论曰：以齐五星诸行，或用两心法，及小轮以地为诸行之心，或以太阳为星行之心，理可通用。新法乃以太阳为心，为近，于正因上译古。多禄某纬行之论以地为心，今依本法举各星之纬，再详解之。第谷依本法测得各星黄道纬大数：〈古法曰星在小轮下〉土星北纬二度四十八分，南纬二度四十九分；木星北纬一度三十八分，南纬一度四十九分；火星北纬四度三十三分，纬南六度四十二分。
土木二星其不同心，差为少又更高远，小轮见小，故南北差亦少。火星近小轮大，故其差亦多，金水益多，下详之。
各星两交中，有南北两点及距最高度分。用三角形法司推小轮心及星体，距各天之心亦可得，各星年岁、圈半径依法。
见各星历指南北两点距最高乃引数求距心若干法，用三角形算

得：土星南点为降娄宫二十度三十八分，距心为〈全数十万〉九七五九三年岁，圈半径为一○四二六；木星南
图图

点在降娄宫七度八分，距心为九五二三○年岁，圈半径为一九三四九；火星南点在元枵宫十八度七分，距星为八九○九○年岁，圈半径为六五○九五。置前推得数求各星天距交黄道若干，如右图。甲地心丁甲卯为黄道，庚甲丑为本道，辛己为小轮，前测有己甲戊大南纬角，求庚甲乙本天距黄道。〈省文绘图与前一致〉用庚己甲形，夫形有庚甲边，〈星距心各数见上〉有庚己边，〈小轮半径〉及庚己甲角。
辛己线引长到壬，作甲己壬直角，辛己小轮面与
黄道平行则己，甲戊角大纬度与甲乙壬等，庚己甲为其馀。

用法则边与边若角正弦与角正弦，以庚己乘己角正弦，以庚甲除之，得己甲庚角，以减于己甲戊数，得庚甲乙角，乃两道之交角也。
又辛庚甲形，夫形有庚甲、庚辛两边及辛庚甲角，
即庚甲乙之馀或庚己甲、己庚甲两角之总，

求庚甲辛角乃星在上之纬角，下图仿此。
若用太阳为五星之心，置甲为地心，丁戊为太阳之
图图

天。日在丁，星在辛；日在戊，星在己；若日在丁者，则日在人目甲及星辛之中，谓之星会日；若日在戊，则人目甲在日戊星己之中，谓之星冲日。两法以乙甲己角为黄道纬之大角，推算各角之法与前法同。
丁戊圈乃太阳之圈，但用丁戊线，如辛戊小轮亦，但用一直线视法也。
算各星纬度用三角形法第五

如总积六千三百六年为万历二十一年癸巳西历八月初十日丑初三刻时，第谷推算太阳及火星诸数于左：
太阳实引数〈距最高实行〉为五十二度，视行在鹑火宫二十七度三十八分；火星实引数为二百度二十分。视行在娵訾宫二度四十二分，距心为八八九○○，年岁圈半径为六四九二八，距太阳为一百七十四度〈逆算其馀为顺天算〉五十六分，火星体距本天正交〈正交在实沈宫十八度○分〉为七十五度十八分。
图说乙地心，甲太阳天，乙甲为太阳天之半径，即火星年岁圈半径也。丁己为黄道一弧，戊丁为火星本
图

导一弧，与黄道相交于丁。则丁为正交，戊丁为星距正交若干，〈上有数〉作甲己，火星距心之线作甲戊，戊己又作乙己，火星距地线作乙戊线，成戊乙己角，乃视纬角也，所求之度分也。一戊丁己三角曲线形，有丁角，
先定本天交黄道为一度五十分。

有丁戊己直角，
己戊弧因测纬度必为直角于戊，

求戊己弧。
置全数甲己本天半径为百万，

得三○四九五。
若用度为一度四十六分，馀今用分数可比于别直线，故戊己为如直线，非如弧，弧小圈大，于直线其差甚微。

二先推星在己，距甲心为八八九○○○，用法通戊己。
则二线为一，全数之分法曰：百万得八八九○○○，今三○四九五应得若干，用乘除算之

得二七五一○。〈甲己己戊两数之比例也〉
三戊己甲直线三角形，有己甲、己戊两边，又有戊甲己角。
戊己弧一度四十六分四十三秒，

求戊甲边，得八八五七三。
四戊乙甲形，有戊甲〈先得数〉及甲乙，〈岁圈半径〉戊甲乙角。
火星黄道上未冲日之数，即距太阳以满半周之馀。

五度四分求乙戊，得二四八五一七。
五戊乙己直角形，有戊乙、戊己，求戊乙己角，得六度十九分。乃人目在乙，见己火星距戊黄道纬之度分也。
系凡有某星距交及距太阳两数，可推其纬度，若用图亦可算。
图

图说乙人目也。乙戊为黄道面之线，乙庚为星本天
面之线，戊庚上图为戊己弧，乃小轮心庚距黄道丁丙小轮面线，丁己丙为小轮圈。
夫图有丁己弧为星距太阳之度数，作己辛垂线于丁丙小轮径线，〈辛径上当己周上曲线球上之理也〉又作辛乙、丙乙、庚乙等线。
一以前图戊丁己形，求戊己弧，本图为庚乙戊角。二以本法求庚乙星距地。〈各星本历有均角形可求距地之分数〉三庚丙乙形，有庚乙、庚丙两边又有丙庚乙角，〈小轮交本天〉求庚丙乙角又求丙乙边，以此庚乙丙角亦有其数。〈丙庚两角所并馀数〉
四辛丙乙形有丙辛
丁己乃辛距日巳丙其馀，庚辛为己丙弧之馀弦，说见八线表。

有丙乙边及辛丙乙角，求丙乙辛角。
五先有戊乙庚，又有庚乙丙，两角并之，减辛乙丙角。其馀为辛乙戊，乃星在己，视距黄道之角也。
丁己丙圈立春以庚丙戊面为直角，其轴线为丁，丙星在己，或在辛，无二。
定五星本天交行第六

月离有白道交行，乃逆行也，〈右行〉先降娄，次娵訾，次元枵。星之交行不然，首降娄，次大梁，次实沈，顺天而左行。故五星纬行引数比本行数少，太阴纬离行之引数比自行数多。
古多禄某所测定五星正交之宫度比今所测非一，有行有冲。〈测各星正交处见上文〉如多禄某于汉顺帝永建时，测得火星大距处及其最高同度，正交在降娄宫二十五度五十一分。
用本数以日躔细行及恒星真行所差不远。

今第谷于万历年间，测得火星正交在大梁宫一十六度五十三分，两测中积为一千四百六十四年，其差为二十一度○二分，则以差数为实，以中积为法除之，得一年之行为五十二秒五十七微，比恒星多一秒五十七微，〈名岁差〉古者有作同行。
木星五交行，古测得鹑首宫一度二十一分，今测在本宫六度五十三分，两数之较为五度三十二分，为实，如前中积数为法，得一年之行为十三秒三十六微，〈其行甚微〉古有曰不行。
土星交行，古测得鹑首宫三度二十一分，今测在本宫二十度二十三分，两数之较为十七度二分，为实以前中积为法得一年之行为四十一秒五十三微，于太阳最高约为同行，而少三秒。
金星交行于最高约为同行，但恒在最高前逆行为十六度。
水星交行于最高为同行，同处无异。
古今测乃万历二十八年所定也，以法求之，得新法历元之数，以定其应及年交行率，作立成表。〈见各星二百恒年表〉
土星历元正交为六宫二十度三十九分四十秒。〈从冬至起算〉
木星正交为六宫七度八分一十三秒。
火星正交为四宫十七度二十分二十九秒。
金星正交为五宫十四度十六分○六秒。
水星正交为十一宫○一度二十五分四十二秒。一年行成前后之表。〈平年闰年不论〉
金水二星前纬说第七

上三星之纬，其故有二：本天斜交黄道一也，小轮亦斜交本道二也。金水二星不然，其本道于黄道，皆在一平面。
如大小多环在平面上旋转，各有本行不相撞遇，

无纬南纬北，其纬全从小轮而生。〈曰小轮伏见轮，异名同理，详见下文〉二星本天有相冲，二处小轮心到此星纬恒变，或以南往北，或以北往南而交黄道。古者此二点亦名为正交、中交，金星正交在本道最高前十六度，即实沈宫十四度，中交在其冲析木宫。水星二交，即与最高最庳为一，最高在实沈宫初度，最庳在其冲。
金星过正交在最高，后五宫馀行。缩历时，纬即向北以满半周，其半周行盈历时，纬恒在南，水星反是。其在缩历时，纬向南；盈历时，纬向北。
右论乃古今从天密测所得。
上三星小轮交本道有一线，名曰枢线。恒于两道交线为平行，小轮上半如向南，则下半向北。金水二星小轮亦有枢线，亦于两交线为平行，分小轮上下二半，又有近远线。若金星小轮心在两交之中，星在近远线之上，其黄道距纬为一度二分；若星在近远线之下，其纬更多，至九度二分。若小轮心在交线上，星在枢线上，则无前纬之数。若小星小轮心在两交之中，星在小轮之上，其黄道纬为一度三十四分；如星在小轮之下，其纬为三度三十三分。若心在两交上及近远二处，则无前纬数也。
金水二星后纬说第八
图

上言此二星有二，纬皆从小轮生。前纬业已解之，今借第三章四图以明后纬之理。图上小轮子午线恒于交线平行，为上三星小轮纬行之枢，此线上三星从本天与黄道，为近为远。又凡星在两交之中，子午枢线之极，皆在本道。甲小

轮心距大距处，子午枢线两极不能在本道上，盖先所定小轮面恒于黄道平行，则本轮于黄道两交中处之外，二点不能为平行，故子午线因以得小轮面，恒为黄道平行，必不能在本天之上，如甲心在本天上，子向如南，午向如北。
上三星本道离黄道不多，则子午枢线两极离本道亦不多，故其差可不算。乃金水二星，本道与黄道为一面，而子午两枢离黄道有大纬数。若星在两交中之处，子午两极不离黄道。金星若在交上，或南，或北，则离黄道为二度三分。若星距最远即为一百三十七度，则大离数为二度三十三分。水星在交上而小轮在枢线上九十度，距极远处得为一度三十分，其大离数在一百一十二度，从极远起，则为一度四十八分。
系五星小轮或岁轮，伏见轮之心钉于本天面上，小轮上下二半繇枢线活动。如下半向南，则上半向北，为纬之原。又以枢线之直角线〈庚己线也三星图上为壬癸线〉为轴，若子往本天左而北，则午往本天右而南，彼此相反。二系如甲心在两交外，及在交中处之外，或星在庚子之中，如酉。则星有二纬之类，置庚在本道南，置子在本道北，星在酉，因子庚午上半向南，星亦有南纬；因庚子己下半向北，星亦有北纬。法曰：以两纬异类数相减，所馀存为实数。
上所定数皆从实测，乃第谷及其门人所说，以便算，则于表上用中分及纬限。其法与经度加减表中有中分，较分同类不再译。〈以上原本历指卷二十二五纬之七〉