钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第五十五卷目录

历法典第五十五卷

历法总部汇考五十五

新法历书五

月离历指一

步七政次月离者，何也。曰：其故有六：月与日视体相若，虽偕恒星五纬，同借日光而独能继照古今，以之配日，称为二曜，则尊于诸星，一也。太阳以定春、夏、秋、冬而成岁，太阴以定晦、朔、弦、望而成月，岁与月错综损益，历法兴焉，以知天时以授民事，二也。日食于定朔，月食于定望，恒用日躔月离诸行，以求食分加时，日食之繁，倍于月食，甚三视差皆从月生，三也。太阳五纬恒星，渐次高远，差数渐微，大小高下难可遽得。惟月去人最近，差数为大，易见易测，故测候诸曜皆用月差较量，繇显入微，悉能推见，四也。日与星不并见，欲测太阳躔度距某星几何，无法可得。古法于昼时测日月之距，至夜测月星之距，并之，得日星之距，五也。大圜之中百昌庶物，生长之缘有二：日以暄之，月以润之，诸风、云、雨、露、霜、雪等皆系于月，其在物也，各有盈虚消息，亦系月之亏复进退。其与太阳经纬诸星，或会或冲，或三合、四合、六合，各有顺逆承制之理，测候推算之法，医家藉此以工治疗，农家藉此以爰稼穑，商旅藉此以行舟泛海，六也。
上五则有关历学者，书中略已论述，后一则各有本学，兹不备著。

有此诸端，故推步之法，宜求密合。而欲求密合，政复未易如日躔之行止。有三种月离，则有七种参错之中，欲求齐一，非明理无以立法，非立法无以致用。其曲折繁细，十倍日躔矣。乃胜国至今，此学湮废，星官家徒传旧法，若求其立法之原与乖违之故，即无片言只字可资考證。好学者偶一测验，偶一致思，便欲轻言改作，不复究本来之条贯，求目前之徵实，计后世之变迁，譬如勺水于河，曷尝愬源于星海，穷委于归墟者哉。今据西法，译该历指四卷，阐理著数，似觉井然。历表四卷，条画分明，以步月离经纬度，比于旧法可省工力三分之二，以步交食可省四分之三，其为密近似复胜之，且令数百年后，据兹义指得以改宪求合焉。谨列如左。
月离各种行度第一

月离行度与日躔异，日躔恒依黄道，其行度三而已。随宗动天西行，一也。自行，二也。最高行，三也。若月离则有七种行度，如左：
一曰随行。随行者，自东而西，依宗动天一日一周。七政恒星共繇之，其起算之界为子正初点，或午正初点，与太阳同。
二曰平行。〈一名本行〉平行者，月之本天自西而东，日平行一十三度有奇，二十七日有奇而行天一周，其界有二：一以太阳为界，从合朔起算，每日去离太阳若干度分，以命太阴之本行度分累积之。一以宫次节气为界，〈宫次如降娄大梁等。节气如春分秋分等。〉从各初点起算，每日去离若干，以命太阴之本行度分累积之。此行谓之交周，满一周为交终。其初交曰正交，其次交曰中交。其行各及半，曰正半交，曰中半交。其两界命两种行度分异名同，理详下方。
三曰自行。〈一名本轮，旧名小轮也。因小轮非一，故改命之。〉自行者，太阴之行，不平不顺，有时疾，有时迟，既尔纷纭，无凭布度。古历因想近月四周有一本轮，太阴既随本天循交道〈即白道〉东行，〈右旋〉又依此轮自东而西，〈左旋〉一日行十三度有奇，二十七日有奇而行轮一周，此亦平行也。而与交道平行参错不一，所以下土视之，时疾时迟矣。因其疾迟以别于交道之行，故彼名平行，此名自行也。既曰周行本轮，则疾时与交行相合，迟时与交行相背亦宜。如五纬之法，有逆行度分，此独言迟，不言逆者，月行甚疾，但见其迟，不见其逆也。此周谓之转周，满一周为转，终分四象限，首限曰正转，二限曰正半转，亦曰本轮之最高，三限曰中转，四限曰中半转，亦曰本轮之最庳，曰最高冲〈或省曰高冲〉行，最高极迟行，最庳极疾也。
最高最庳之一周，又名不同心圈，其与本轮异名同理，详见下方。

四曰次轮。次轮者，太阴之最高，既依白道行则月离最高时其距地心之远近宜等，迨测之，则时时不等。古历又想本轮之周，复有一次轮，循本轮左旋。月在次轮之上，循周右旋也。此法古历所未有，以意命之。其行次轮一周名为次转终也，四分之则为小四象，第一名正初象，第二名正半象，第三名中初象，第四名中半象也。
五曰交行。交行者，从测候见太阴行白道，
古法月有九行殊谬，元授时历废不用，独言白道交周是也，一名月道，

出入黄道约五度有奇，不行黄道中线。
何名黄道中线。七政恒星皆循黄道行而六曜皆有出入，如太白最远出入约六度，故黄道左右广十二度，名为黄道带，而太阳独行其最中，故名中线也。黄道一名躔道。

而两交于中线，两交之点一名正交，〈亦曰罗㬋〉一名中交。〈亦曰计都〉两交之行，自东而西，与他行异，亦名罗计行度也。
六曰又次轮。古来无有也。万历间西史第谷测候极密，得太阴行两小轮，〈其一本轮其一次轮〉其各两半时〈两小轮各有正半中半〉之两均数，与实测之度分往往未合，故知次轮而外当有又次一轮，此之为数，微眇难分，其于历法未关损益，故无暇及也。
七曰面轮。而轮者，太阴既依本轮，又依次轮，各周行即月面宜恒向次轮心，下土所见，时时旋转，须当不一，若之何终古恒如是。故当复有本行，使面恒下向也，此亦未关疏密，不能备著。
测月平行度第二

测月之法，于七政为最难。其故有六：
其一，月天最小，距地甚近，即地球与其本天有小大之比例，乃测器之心不居地心而居地面，所得月轨高乃地面之视高，非地心之实高也。〈此在日躔历指谓之地半径差〉其二，有地球与月天之比例，乃可推地半径差，既得地半径差，乃以加所测之高，定其实高，不先得此，无缘得彼。
其三，凡得各曜之高，必减清蒙之高，以定实高。各曜之蒙差高下不等，测月者，未知距地若干，即无差数可减，所测高则非实高。
其四，月体恒亏缺不全，若用太阳法，令其光过窥表，即虚淡难见。光体不圆，亦无从得其中心之光。若目察窥表，见月体不全，无从测其心。
其五，若测以地平经纬仪或黄赤道经纬仪，纵得其经纬度，分又以三视差，故测得之数无一合者。〈三视差见交食历指〉
其六，依测日星法，以恒星测验推算而得其经纬度，似可用，亦因三视差故，无一合者。
然则何如。按西历古今法测月离度分，必于月食时简知之。晋史姜岌亦以月食冲简知太阳所在，不知考太阳之躔度易，考太阴之离度难，而姜倒用之，两率皆疏矣。今法于月食时推太阳之经度，其对冲即太阴之经度。〈考太阳经度法见日躔表一卷〉若日食则不可用，何故。日食时因于视差，是生中食、实食、视食。
中食者，两平行所得平朔也。实食者，加减平朔而得地、月、日三心参直定朔也。视食者，加减定朔而得其加时先、后此地、此时，人目所见也，

随地随时，都无定率，故
右法任用一月食皆足简知行度。若求月平行率，则用前后两会食，取中积平分之。其法与日平行相似，而难易迥别，何者。月或全食或不全食，或食于南或食于北，或于迟限食，或于疾限食，各各不等，顾须求其相等，一不等，即所得非真率也。然两食犹为未足，宜精择所宜用之四会食，参互稽求，以定月历，今详论其法如左。
夫月不平行，古今治历者之公言也。欲求平行之率，必用择食之法。欲明择食之理，先解不平行之理。其徵有二：
其一，初日测太阴过子午圈注定时刻，〈定时法测星第一水漏自鸣钟等器次之〉次日测过子午定时刻，如之。第三第四日复测，皆如之。次取各日所注时刻较之，必一一不等，知其非平行，若平行者，宜一一等也。如一周三百六十平度，初日行一百刻，次日亦行一周，而得一百刻有奇，或九十九刻有奇，多寡不等，其历时多者必行迟也，历时寡者必行疾也。
其二，取月食三事，各以其中积时相减，必有多寡，知其非平行。如西测食略所记，天启三年癸亥九月，望月食，食甚，在戌初初刻○五分，〈日九十六刻刻十五分下仿此〉日躔寿星宫一十四度四十一分，月离降娄宫度分同。
又记天启四年甲子二月望月食，食甚在丑初三

刻○三分，日躔降娄宫一十四度二十九分，月离寿星同。又记本年八月望月食，食甚在寅初二刻○四分三十九秒，日躔寿星宫三度五十五分五十三秒，月离降娄同。推得先两食中积时为一百七十八日二十六刻十三分，太阳行一百八十度一十二分一十一秒，太阴行满六交，会置中积。{{Annotation|一百七十八日二十七刻○分}}六为法而一，得二十九日六十八刻○七分四十三秒五十○微，为一会望策，后两食中积时为一百七十六日○七刻○十二分三十九秒，太阳行一百六十九度二十七分○四秒，太阴行满六交，会置中积，六而一，得二十九日三十一刻○二分一十三秒三十○微，为一会望策。右前后两会望策不等，差三十七刻馀，前六会积分多，必行迟，后六会积分少，必行疾。又前两食间太阳行经度与后两食间不等，其较一十度四十六分○七秒，而积分之较仅二百二十○刻八十七分八十○秒，经度积时多寡不等，足徵非平行也。
右二则皆不平行之徵也。所以然者，其缘又有三，三缘者，其二在月，其一不在月。不在月者，日躔经度是也。前论以月食，简知月离经度，谓食甚时二曜经度正相对也。然日躔自有赢缩，自非恒平，何能定月离之平，何者。日：躔有最高最庳，其去地也时近时远，是生地景〈一名闇虚〉时大时小，时长时短。若日躔最高，其景则长则大，月之过景加时则多，日躔最庳，其景则短则小，月之过景加时则少，此第一差之缘也。二在月者，一为月转迟疾也。月行迟限则过景时多，月行疾限则过景时少，此第二差之缘也。一为月转最高最庳也，在最高月体小，又入于小景，则过时少，在最庳月体大，又入于大景，则过时多，此第三差之缘也。是故历家设择食之法，择者，导择也。去其不齐之缘，以求其齐也。不齐之缘，第一在日躔经度，或在赢或在缩，则择食之第一法，宜择两食之日躔经度所在等，既免此缘，则馀二缘在月之本行、本轮，日无与也。【图甲】
如图，甲为地球，乙日体在最底，从乙发光，地景则短。丙日体在最高，从丙发光，地景则长。月循戊丁本轮行，如在丁近地，过丁小景；又在戊远地，过戊小景，而此二小景等，则何从知月在其最高戊乎。或者其最庳丁乎。惟先知日躔所在，在其最庳，景宜短，或不至戊，或至戊，宜更小。所见小景者，丁也，而月离在其最庳也。日在其最高，景宜长，过月之最庳，宜作己庚大景，而所见小景者，戊也，则月离在其最高也。故两食之太阳高庳等，则景大小等。可免第一差之缘也。夫景之末，地之心，太阳之心，三者恒相对也，地景之行度分即太阳之行度分，太阳之高庳两食不等，即行度之迟疾不等，而景之行度迟疾亦不等，若高庳等，则两行之迟疾皆等。
是故前后两会望皆全食，又两食之黄道同度，〈差自分秒以上至一二度无害〉即两景之大小等，两过景之加时等，又得其月离之距地心等，即其本轮之转分所至亦等。
转分之所至等者，距地之远近等也。然月在本轮之最高、最庳，则其远、其近一而已。若在正转中转，则距地之远近虽等，而在左在右未定也。法见下文。本论或用不同心圈，其理则一。

其择食之第二法，即两食之月距地心等也。若同在本轮之最高或最庳，不论左右，若欲定其左右，则以恒星经度测之，若两食之经度等，加时等，即其或在左或在右亦等。既得月转分之所在等，即可测食前月体之径，若径等，即其距地必等。〈测月体有本法本论见后篇〉可免第二、三差之缘也。
如上言，欲求月平行率，必用各率均齐之前后两食，欲得此前后食，必考于古之传记。今考二十一史各天文志，大都有年月日而无时刻分秒，经纬度数将于何取之。不得巳借西历会通用之。又考古至五千年以上，若用朝代年号，纷纶不齐；若用甲子，细碎无纪，故近古有虚立积年，略如章蔀纪元法，以十九年为一章，二十八章为一帙，十五帙为一总。一总者，四百二十○章，七千九百八十○年也。每年为三百六十五日四分日之一，每四年加一日，为三百六十六日。〈说见历指第一卷〉今用此推算，通以历代纪年，则为法超简，仍不妨符合矣。崇祯元年为总期六千三百四十一年。
总期之四千二百八十六年为周考王十四年癸丑，西史默冬推定十九年而太阴满自行本轮之周，复与太阳同度。
每年三百六十五日四分日之一为月二百三十五。

是为章岁，汉史所谓月行之终复会于端也，西历谓之全数，用以求月之日。
求月之日者，于太阳月之某日求太阳之日数。法以十九数及通闰数推之，别有本论。

崇祯元年为章岁之第十四，通闰得二十四日也。〈西数〉虽然，尚未能确见分齐，如汉人以章月平分推太阴各日平行，为十三度十九分度之七。后世讥其疏漏，因而代代改率，然不于千数百年间详考天行，得其决定均齐之数，未免揣摩影响。西史依巴谷用实法考验，定为三百四十五平年又八十二日四刻，〈平年者古法三百六十五日无馀分〉或一十二万六千○○七日四刻，实两交食各率齐同之距也。于时交会、转终，皆复其始。
交会者，太阴距太阳之行，或太阴距节气之行，满一周为定望也。转终者，太阴之本轮自行度，亦满周而复其故处也。

计其中积，凡为交会者四千二百六十七，为转终者四千五百七十三。
以中积分，〈一十二万六千○○七日四刻〉为实交会数，〈四千二百六十七〉为法而一，得会望策二十九日三十一分五十○秒○八微二十○纤，〈古西法以六十分为一日〉或二十九日五十○刻一十四分○三秒，〈今西法〉通率为二十九日六时〈日十二时〉三刻〈每时八刻〉○五分九十○秒二十七微。
求日平行分，以天周〈三百六十度〉为实会望策，为法而一，得一十二度一十一分二十六秒四十一微二十○纤一十八芒，为太阴一日平行距太阳之度也。〈日有平日有用日见日躔历指〉倍之得二日，三倍之得三日，可列表，
如别卷。距太阳平行分以合太阳日平行分当加，以合罗计日行分当减。

求通闰以平年日为实日行平分，为法而一，得四千四百四十九度三十七分二十一秒二十八微二十九纤，除满十二交会，〈一年十二月〉外馀一百二十九度三十七分有奇，为一平年〈三百六十五日〉之通闰，约得为十日有奇也。
中通闰是岁实，与十二朔之较西通闰是平年，与十二朔之较，〈年无小馀〉以平年通闰加小馀，得中通闰。求刻平行分以日平行为实九十六刻，为法而一，得一刻平行分秒。〈见本表〉
求交分，〈即太阴黄道上之日行度满一周〉置太阴日平行分，加太阳日平行五十九分○八秒一十七微一十三纤一十三芒三十一末，〈古测之数〉得一十三度一十○分三十四秒五十八微三十三纤三十○芒三十一末，用乘法得十日、百日、乃至一年，得四千八百○九度二十三分○三秒一十九微，用除法得一刻一分秒之平行率，以满天周得二十七日三十○刻一十二分○五秒，是为交中分。
求转分，〈即太阴本圈之最高行满一周〉置前中积，〈一十二万六千○○七日四刻〉为实，以转数〈四千五百七十三〉为法而一，得二十七日五十二刻一十一分五十○秒，为转终分。又以天周〈三百六十度〉为实，转终分为法而一，得一日之转分一十三度○三分五十三秒五十六微一十七纤五十一芒五十九末，用乘法得十日、百日、乃至一年，得四千七百六十八度，或约十三转，外馀八十八度四十三分○七秒四十五微，用除法得一刻一分秒之转率，可立表。
测月平行次论第三

法用太阴四会食，其择法欲前两会之中积平行度中积日，其比例与后两会之比例等，又第一与第二
图

月行本轮同势。
势者，迟、疾、最高庳等同者，俱在小轮一象限内。
第三与第四亦然，又第一与第二之中积实行度等。第三与第四亦然。若是则前两会。后两会，两中积间，月在本轮必各满自行之周。
图

如是均齐，乃得实平行度分。
解曰：如图，己为地心，丙丁乙戊为小轮，乙为最高，丙为最高冲，〈即最庳〉己丁己戊为两切线。
凡月在戊在丁，其变行之势亦借名为留段。盖月行甚速，留时绝少，仅
一瞬耳。然迟疾之间，度分难测，故借名为留段也。

从乙丙分小轮为四象限，各象有变形之势。
如在最高乙，为极迟；最庳丙，为极疾；丁戊为留详，见下方。

假令简得第一会时，月在辛，第二会在同象限，
同在乙丁象限内，为同类之行。

如庚第三会在他象限，如壬第四在同象限，
同在乙戊象限内，为同类之行。

如癸即不可用，何者。上法言所求同行、同类、同时者，必庚，所至亦在辛癸，所至亦在壬。若如图，庚与辛癸与壬各去离若干，虽以同时故同行，辛庚弧〈前两会之差〉与壬癸弧〈后两会之差〉必等，然一弧之均数用加，一弧之均数用减，其时〈平行〉与行〈视行〉不得相等。
两弧等者，其自行虽等，而视行不等。

故法言庚会必仍在辛，癸会必仍在壬，而后为月满自行之全周。
系凡简会食不当在戊与丁两切线之上，盖目在巳己丁己戊两视线切圈，其所切之处难辨其高下之准分也。
视法曰：凡斜望圆圈，圈作一直线。又曰：视线切圆圈之两旁，人目谬见曲线为直线，其谬直线中间，有上行下行者，虽动而目视之若不动。

此古法，依巴谷等所共用，其书不全，所用四会食之行度、时日等各率，皆无传，故略举其正法如右方。
测止中交行度第四

正中交者，黄白二道之两交也。正交亦曰：罗睺，亦曰：天首，亦曰：阴历初。阳历末，西历谓之龙头。中交，亦曰：计都，亦曰：天尾，亦曰：阳历初。阴历末，西历谓之龙尾。月行及于黄道曰交月，本圈之自行度曰转，而转终分多于交终分，故转满一周交终未及，恒居其后，交不及转之度，即两交退行之度，故谓两交为逆行也。〈自东而西〉测法亦用交食而考古无传，不能得其真率。西史依巴谷如前法，用两月食择其前后各率均齐，如太阴或同在阴历，同在阳历。太阳之自行同度，去两交之两点或前或后同限，食分等，加时等，即太阴之转分所至等，因以定两交行天若干周而复于故处。其原测之中积为交会五千四百五十八，两交行天周为五千九百二十三。
置中积会数〈五千四百五十八，〉以会望策，
二十九日五十○刻一十四分○三秒，

乘之得一十六万一千一百七十七日五十八分、〈西古六十分为一日〉五十八秒○三微二十五纤，为中积日。次以中积会数乘天周，〈三百六十度〉得二百一十三万二千二百八十○度，为实以中积日，为法而一，得一十三度一十三分四十五秒三十九微四十八纤五十六芒三十七末，是太阴距交一日行度。
次于两交日行度去减太阴黄道上行度，
即平行分日十三度一十分三十四秒五十九微，

得两交逆行日三分一十一秒，每年行一十九度○一十九秒四十三微，用乘法得积年度，用除法得时刻度，列表。〈如别卷〉
以上诸率皆依巴谷古测所定，后多禄某、歌白泥及第谷各加密测，仍用试法数端推得合会之数，每年不足为一十四分一十八秒一十○微一十九纤，应加。转终分，每年盈为五十四微一十二纤，应减。交行每年盈为一秒二微四十二纤，应减。
今新历表所用率

朔实二十九日五十○刻一十四分○三秒○九微。通得二十九日五十三刻○六分九十二秒。
转终二十七日五十三刻○五分二十五秒一十四。微通得二十七日五十五刻五十八分四十七秒四十九微。
交终二十七日二十○刻○五分三十三秒四十八微，通得二十七日二十一刻二十一分九十六秒七十四微。
依上三数之本法，可得大统所用别率，及其异同之较。
通论七政本轮异名同理第五

日躔历指论太阳赢缩疾迟之理，设太阳所行之道与地为不同心圈，今论月行亦用不同心圈，亦用小轮。此二者，名虽异而理实同。盖藉以分布度数，指记运行，随人所立，期于不爽，而止若大象森罗，其孰然
图

孰不然，或皆不然，则非智计所能测也。今略解如左，不同心者一圈之内别函一圈，两圈各异心也。若圈周之上任用一点为心，别作小圈，则为小轮，如图。甲乙圈内别有丙丁圈，戊己不同心，又庚辛壬圈周以辛为心，作癸子圈，是谓小
图

轮。
解曰：日躔历指既言不同心。
赢缩今古共知，言不同心近而易明。
月离历指又言小轮。
回回历已著小轮之目，因仍用之。
且诸历中或复错出，故宜
图

诠释同异以绝疑端。此法七政所同，今借太阳为解，他可类推也。按日行夏迟冬疾，春分过夏至迄秋分历时日多，秋分过冬至迄春分历时日少，何故。若以不同心圈解之，作甲乙丙丁外圈，戊为心，分黄道十二宫为天元宫，次又以己

为心，作庚壬辛癸圈，次从降娄寿星各初度相对作直线，必过地心戊，而任分庚辛壬癸圈为二，必上为大半，下为小半，己心在戊心之上故也。日平行一岁，尽庚壬辛癸圈即夏半周。
夏至左右，春分迄秋分，

庚壬辛为大分冬半周。
冬至左右，秋分迄春分，

辛癸庚为小分。大分历时多，小分历时少，日自恒平行，人从地心戊视之则为赢缩迟疾矣。若用小轮，则
图

如上图。戊为地心，甲乙丙丁大圈名负小轮圈。〈或曰带小轮〉其周上乙点为心，作小轮如丁为心，己庚为周也。小轮从丁向甲乙丙行一年而复，日体亦行小轮周一年而复，〈复者复于故处〉置日体在最庳己，小轮心丁循大圈行四十五度至壬，日从

己行小轮四十五度至庚，次丁心行大圈九十度至甲，日行小周亦九十度至寅，丁心至癸。日至子，心至乙，日至丑，心至午，日至卯，心至丙，日至辰，心至申，日至未，心回丁，日回己。日在小轮周上行成己庚寅子丑卯辰未圈，即是不同心之圈，其心为酉，而酉戊两心相距之度即小圈之半径。
又如左一图，用不同心圈。午为日，从地心戊，本圈心酉，各作线至午，成戊酉午三角形。如二图，用小轮。子为日，子癸为小轮半径，从地心戊作戊子线，成戊子
图

癸三角形，其戊酉午形与戊癸子等，戊酉与子癸等，子丑弧与午乙等。〈圈大小不等而度分等〉即子癸丑角与乙酉午角等，其馀角午酉戊与子癸戊亦等，戊午戊子两边等，〈日距地心之度等故〉则戊酉午与子癸戊两形等，形等则所求之日距地心若干，太

阳平行、自行之差，日体大小之类，或用不同心圈或用小轮其得数同也。
测定本轮之大小远近及其加减差第六
借西古史多禄某及近世歌白泥之论。

法用三会食测算。〈此多禄某所用〉
第一食总期之四千八百四十六年，为汉顺帝阳嘉二年癸酉五月〈西历之月今三月〉初六日子正后〈顺天府时刻〉一十八刻○十分，月全食，日躔大梁宫一十三度一十四分，其平行一十二度二十一分。
第二食四千八百四十七年，为阳嘉三年甲戌十月建戌之月}}二十四日子正后〈顺天府〉一十七刻○十分，月食十二分之十，在黄道南，日躔寿星宫二十五度○十分，其平行二十六度四十三分。
第三食四千八百四十九年，为永和元年丙子三月〈建寅之月或建卯〉初六日子正后三十七刻○五分，〈顺天府为在书不见〉月食十二分之六，在黄道南，日躔娵訾宫一十四度一十二分，其平行为一十一度一十四分。
前二会中积。
太阳太阴两视行皆为一百六十一度五十五分，〈各减全周〉是为黄道上两会相距之度。
积日为五百三十一日九十三刻，若平日为九十三刻○七分。
于时月平行距日为一百六十九度三十七分，月自行为一百一十○度二十一分，〈本轮行度〉视平两行之较得七度四十二分，以为加减率。
平行大，视行小，用减法为月自行过小轮，或不同心圈之最高在最高逆行故。

后二会中积。
太阳太阴两视行皆为一百三十八度五十五分，是为黄道上两会相距之度。
积日为五百○二日二十○刻，若平日为二十二刻，于时月平行距日为一百三十七度三十三分，月自行为八十一度三十六分，
视平两行之较得一度二十一分，以为加减率。
平行小，视行大，用加法为月未至最高。
大图说
外大圈白道也，小圈为太阴之本轮，第一会月之视
行在子，平行〈小轮心在丁庚丑线〉在丑。〈视行大必在前〉第二会月之视行在午，平行在丑。〈平行大必在前〉第三会月视行在未。〈以下原本
图
〉三会月行离总图

小图说

此即前大图中之小轮分图，借古史成法用二小轮〈一为本轮一为次轮〉以齐月行，似为足矣。别有诸家异同之说，更仆难罄，未能悉举。
如左图，以地心丁为心，作午未丑子黄道弧。
大图言白道者，度分相若互言之。

庚为小轮心，依黄道自西而东，〈右旋〉二十七日有奇而一周天，此为交周。日行十三度一十分有奇，太阴日平行度也。月体在小轮〈即本轮〉之上，从甲向乙，〈左旋〉二十
图

七日有奇而一周本轮，此转周也。日行十三度三分有奇，太阴日转自行度也。
小轮亦分三百六十度，与周天等说见本篇第五。
所谓月体在小轮之上者，乃朔望之时也。其外非在此，见下文。

依上法，列平行立成表，取小轮心行度推某日太阴在某宫某度分，即丁庚丑线所指黄道度分也。又用测法或会食时推算，求太阴所躔宫度，得丁乙午丁戊甲子等线，定丑丁午丑丁子等角，即两行之差也，以为加减之率。如大图三会食，第一食月在甲，去甲一百一十度〈两会自行相距之度〉而至乙。乙者，第二会食之月离度也。
甲乙之间平行多，视行少，则乙在小轮之右，又乙行迟段，故月在小轮之上弧。
图

推得两会中积，视行、平行之差，为七度四十二分，即黄道上子午也。又去乙八十一度二十一分而至丙，
乙丙之间视行与平行差少，故丙亦在小轮之右，又丙行疾段则在小轮之下，
推得两会两行之差为一

度二十一分，即黄道上午未也。次得丙甲弧一百六十八度○三分。
丙甲之间，自行大，平行小，丙行疾段在小轮下，

月行丙甲弧，两行之差为六度二十一分。
以前午子、午未二差相减，得未子较，为此两行之较。

又如前图，乙丙、丙甲两弧并即平行少，视行多。必在最庳之两旁，〈行疾段故〉甲乙反之，即平行多视行少，必在最高之两旁。〈行迟段故〉次定己为最高，从甲，从乙，从丙作甲丁乙丁丙丁各线，甲丁割小轮圈于戊。次作乙丙、丙戌、戊乙三线，成乙戊丙形，乙戊丁等形。
乙戊丁形有乙戊丁角，
甲戊乙角之馀。甲戊乙者，甲乙弧之在界乘圈角也，半甲乙弧，得五十五度一十分，半为甲戊乙角。后凡言乘圈角，即所乘弧折半推算，全圈分一百八十度。

一百二十四度四十九分半，又有戊丁乙角。
其对弧为黄道弧之子午七度四十二分，
图

即戊乙丁角〈以满一百八十度〉必四十七度二十八分半，依三角形用法，以角求边之比例。
三角形外作切圈，即乙角对戊丁弧，其弦为戊丁线，丁角对乙戊弧，其弦为乙戊线，戊角对乙丁弧，其弦为乙丁线。
图

十万为全数，〈全周之半径〉查表
〈八线表中有法〉得乙戊为二六七九八戊丁为一四七三九六。
半弧度查表求正弦，倍正弦得通弦。
戊丙丁形有戊角，
甲戊丙角之馀也。甲乙乙丙二弧并为一百九
图

十一度五十七分，因乘圈，半之为甲戊丙角度，其馀为丙戊丁角度，
八十四度一分半有戊丁内角。
戊丁丙角之弧为两行之差未子，
六度二十一分，自得戊丙丁角，依三角求边之比例，

得戊丁一九九九九六，戊丙二二一二○。
先得乙戊戊丁之比例，次得戊丁戊丙之比例，用变率法通之。
变率者，变两戊丁为同数，他率从之也。用三率法，次戊丁为第一率，次戊丙为二率，先戊丁为三率。求四率，得先戊丙，即两比例之数，俱同类，

得○戊丁俱一四七三九六，戊丙一六三○二，戊乙二六七九八。
又乙戊丙形有乙戊、戊丙两边，有乙戊丙角，〈乙丙弧之半〉
图

求乙丙，得一七九六○。乙丙线者，乙丙弧之弦也。乙丙弧为八十一度三十六分，若设小轮全径为二十万分，即乙丙弦为一二○六八四，用变率法，〈见前〉乙丙之先数，得丙戊丙丁为某数。
云某数者，先乙丙为一
率，先戊丙为二率，相偕为比例也。

乙丙之次数得某数，算得戊丙一一八六三七，戊丁一○七二六八四，既得戊丙弦，求其弧得七十二度四十六分一十○秒，为戊壬丙，有戊壬丙弧并入丙乙、乙甲以减全周，馀九十五度一十六分五十○秒，为甲戊弧，其弦一四七七八六，为甲戊线。甲戊弧于全周为小分，则圈之心必在甲戊外，置庚心作己庚、壬丁线，定己为最高，壬为最庳。
次依几何原本。〈三卷三十六题〉甲丁、戊丁两线内矩形与己丁壬丁两线内矩形等，又己丁壬丁矩形及庚壬上方形并与庚丁上方形等，则甲丁丁戊相乘，加全数庚壬上方积，以开方，得庚丁为一一四八五五六。次设庚丁全数为十万，用变率法得庚己八七○六，是为月天半径与小轮半径之比例。
次从庚心作甲戊垂线，平分甲戊线于辛，截甲戊弧于癸，成庚辛丁直角形，此形有辛丁。
先得丁戊、戊甲，今庚辛线平分甲戊，以辛戊加戊丁，所得
图

一一四六五七七，又有庚丁一四八五五六，求辛庚丁角，得八十六度三十八分半，是在心之庚角所乘癸戊壬弧也。以减半周，馀九十三度二十一分半，为癸己弧。先得甲戊弧为九十五度一十六分五十○秒，甲癸，半之，为四十七度

三十八分三十○秒，以减癸己，馀四十五度四十三分，为甲己，是第一会食，太阴未至最高之度也。以减甲乙馀六十四度三十八分，为己乙，是第二会食，太阴过最高之度。以己乙并乙丙得一百四十六度一十四分，是第三会食，太阴距最高之度。
依上算得辛丁庚角三度二十六分，黄道子丑弧也。为第一食两行之差。
小轮心指黄道上之丑点，本行从丑向子，则月在子居前，平行在丑居后。
图

应于平行加丑子度分，为视行。又甲丁乙角七度四十二分，去减甲丁丑角，馀己丁乙角，四度二十一分，于黄道弧为午丑，是第二食两行之差。
乙在最高之后，月视行未至丑。
应于平行减午丑度分，为
图

视行，又丙丁乙角先为一度二十一分，以减午丁丑角，馀丙丁丑角二度四十九分，于黄道弧为未丑，是第三食两行之差。〈丙未至最高冲〉应于平行减未丑度分为视行。
末第一食月视行离大火宫一十三度一十五分，于

黄道弧为子，〈太阳躔其冲大梁宫度分同〉今得两行之差丑子三度二十二分，减视行率得平行小轮心度丑，为在大火宫九度五十三分。第二食视行离降娄宫二十五度○六分，于黄道为午，两行差四度二十一分，以加视行率，得丑，为在降娄宫二十九度三十○分。第三食视行离鹑尾宫一十四度一十二分，于黄道为未，两行差三度二十二分，以加视行率，得丑，为在鹑尾宫一十七度○四分。
一系因上论可得小轮半径〈庚壬〉与月天半径〈庚丁〉之比
图

例。
二系可得两行之极大差，法从地心丁作丁卯线切小轮于卯，因几何〈三卷三十六题〉丁卯切线上方形与己丁壬丁两线矩内形等，今先有己丁、壬丁两数以相乘，开方得卯丁，既卯丁庚形有三边，以求卯丁庚角，是

为两行之极大差。
此差古今测法同，得数小异。别有图表见后卷。

五度一分，上法用不同心圈，得数无异。
测本轮大小远近及加减差后法第七

法同上，用三会食。〈此近世歌白泥法今时通用〉第一食总期之六千二百二十四年，为正德六年辛未十月〈西历之月今九月〉初七日子正后二十八刻，〈顺天府时刻下同〉月全食，太阳躔寿星宫二十二度二十五分，平行为二十四度一十三分。
第二食六千二百三十五年，为嘉靖元年壬午九月初六日子正后三十一刻，月全食，太阳躔鹑尾宫二十二度一十二分，平行为二十三度四十九分。〈今作八月〉第三食六千二百三十六年，为嘉靖二年癸未八月二十六日子正后四十二刻一十分，月食，太阳躔鹑尾宫一十一度二十一分，平行一十三度○二分。〈今作八月〉
前两会食黄道上相距之中积视行度〈减全周〉为三百二十九度四十七分，中积日为三千九百八十七日平时三刻一十分，于时交周上中积平行度〈减全周〉为三百三十四度四十七分，本轮自行〈减全周〉为二百五十○度三十六分，因自行度是生平行视行之差，五度以为加减率。
中积之视行大，平行小，故月在小轮之右。

后两会食黄道上相距之中积视行度为三百四十九度○九分，中积日为三百五十四日，平时十二刻○九分，于时交周上中积平行度为三百四十六度一十○分，本轮自行为三百一十六度四十三分，因自行度是生两行之差二度五十九分，以为加减率。
中积之平行大，视行小，因差少，月仍在小轮之右。

第一食月在甲，从甲数前二会之自行中积二百五十度三十六分，至乙，即乙为小轮周上第二食月离所在，而乙甲馀弧，必一百○九度二十四分，甲丁乙角之弧为午子五度，是人目所见黄道上两行之差。又从乙〈第二会月离所在〉过戊甲数三百一十六度四十三分，至丙，即第三会月离所在，而丙乙弧必五十三度三十七分，丙丁乙角之弧为午未二度五十九分，是黄道上两行之差。
又乙丁甲角去减丙丁乙角，馀甲丁丙角，为子未二度○一分，为黄道上两行之差。
次并甲乙乙丙弧得一百六十二度四十一分，以减全周，馀一百九十七度一十九分，为丙己甲弧，是周之大半，即周之心在其弦内，次作丁庚丑线，定己为最高，从甲、从乙、从丙，作甲丁、乙丁、丙丁各线，丙丁线割小轮圈于戊，次作乙甲、甲戊、戊乙、三线，成甲乙戊形。
图

乙戊丁形有戊丁乙角，〈二度五十九分〉又有乙戊丁角，
丙戊乙角乘丙乙弧二
十六度三十八分，半其馀，以满一百八十度，为乙戊丁角一百五十三度二十一分半，
即戊乙丁角第三为二十三度三十九分三十○秒，
以求各腰。倍角之数求其弦即对边之数。

得乙戊边为一○四二，戊丁为八○二四。
次甲戊丁形有甲丁戊角，〈未子二度一分〉有甲戊丁角，
甲戊丙角乘甲己丙弧一百九十七度一十九分，半之，得八十八度三十九分半，甲戊丙角也。其馀为甲戊丁角九十一度二十○分半。

即有戊甲丁角，有三角，求其边。若戊丁为八○二四，则甲戊为七○二。
次甲戊乙形，有戊乙，〈一○四二〉戊甲〈七○二〉两边，有乙戊甲角。
乘甲己乙弧二百五十○度三十六分，半之为一百二十五度一十八分。

求甲乙，得一二二七。
若小轮之半径庚壬为全数，即因甲己乙弧之度推得甲乙弦，又用变率法推乙戊、戊甲、戊丁各线，与庚壬全数为同比例之数，算得甲乙为一六三二三，戊丁为一○六七五一，戊乙为一三八五三，有戊乙弦，
图

即得戊乙弧为八十七度四十一分，以并乙丙弧得一百四十○度五十八分，求其弦，得一八八五○，为丙戊，以并戊丁得一二五六○二。
次依几何原本。〈三卷三十六题〉丙丁、丁戊两线内矩形与己丁、丁壬两线内矩形等，又

己丁丁壬矩形及庚壬方并与庚丁方等，则以丙丁丁戊矩形一三四○八一三九一○二，庚壬方〈庚壬全数为一万〉一万万，并为积开方，得庚丁方之边为一一六二二六，次设庚丁全数为十万，变庚壬为八六○四，是为月天半径与小轮半径之比例，与前古法所得小异。
次从庚心作丙戊之垂线，平分丙戊线于辛，截丙戊弧于癸，成庚辛丁直角形，此形有庚丁，〈一一六二二六〉有辛丁，
图

先得戊丁一○六七五一，又有丙戊一八八五二，半之为辛戊九四二六，以并戊丁为一一六一七七。
求庚丁辛角，得一度三十九分，为未丑，又求辛庚丁角得八十八度二十一分，为癸壬弧，并丙癸。
图

先得戊乙丙弧一百四十度五十八分，其半为丙癸七十度二十九分，
得一百五十八度五十○分，其馀〈以满半周〉为丙己二十一度一十○分，是第三食月距小轮最高之自行度。第二食月在乙乙己弧七十四度二十七分，为其距

最高之自行。第一食月在甲，甲乙己一百八十三度五十一分，为其距最高之自行。
又己丁丙角为未丑一度三十九分，月在平行之后，则第三食平行内应减未丑丙丁乙角，为午未二度五十九分。月在平行之后，则第二食平行内应减午未两角，并得午丑四度三十八分，为第一食应减之数。而甲丁乙角先得五度，因月在小轮下，弧则为应减之数，一加一减，相准馀壬丁甲角，为丑子弧○度二十二分，则第一食平行内应加丑子。
末第一食月视行经度离降娄宫二十二度二十五分，减丑子弧二十五分，〈视行内应减平行内应加〉得平行为在降娄宫二十二度○三分。第二食月视行离娵訾宫二十二度一十二分，加午丑弧四度三十八分，得平行为在娵訾宫二十六度五十○分，第三食月视行离娵訾宫一十一度二十一分，加己丁丙角一度三十九分，得平行为在娵訾宫一十三度，皆食时之经度也。
因上二论以推加减，立成表如后卷。
三会月行经度总图

试旧推平行率各术疏密第八

依前法，用太阴加减差表，定前后两会食之中积时，可得太阴之平行率，又用上论求两食之本轮自行度，若此两率之距本轮最高或最庳等，则所定平行率为确合。
如前本篇第六所用，第二会食为总积之四千八百四十七年，系汉顺帝阳嘉二年，〈多禄某所用〉其各率见本章。又第七所用第二会食为总积之六千二百三十五年，系正德六年，〈歌白泥所用〉其各率见本章。其中积率为平年〈三百六十五日〉一千三百八十八年三百○二日一十四刻○四分，其间交会满一万七千一百六十六周，其自行本轮亦满全周，则为确合。今依上古法推，〈依巴谷在周显王时〉减全周外，馀三百五十九度四十八分○七秒。
转周不及交会一十一分五十三秒。

依中古法推〈多禄某在阳嘉年〉减周外，馀三百五十九度三十七分四十九秒。
转不及会二十二分一十一秒。

依近世法推〈歌白泥在正德年〉减周外，馀四分。则知近世之法视古为密，盖测验推步一二千年，积功力，积智巧，所定诸法渐次加精故也。
定太阴平行自行之历元第九

历元者，于某地之某年月日时刻定某曜躔本天之某度分，为推步之根本。上愬既往，下迄将来。靡不准此，或加或减，以得随时所躔各度分也。
今拟定崇祯元年戊辰天正冬至后子正初刻为历元，其地则京师顺天府定为历元之本所历元，则上下推步，略同古法。论地则自唐至元有测验北极出地之法，是为地之纬度。若其东西经度，从古未有也。今立法以本府为根，其南北北极出地三十九度五十五分有奇，九服皆随地测验东西，则以本府为初度初分，九服依此为准，或加或减，推算各地本时本曜之各所求度分，别有本法本论。〈如后卷〉
古北极出地度通为四十○度四十九分有奇，中西二率悉与古法不合，盖前人未悟地半径差，蒙气差，于两至所测之高应加应减故也。说见日躔历指。用历元前一月食之岁月日时，及历元之岁月日时，取其中积日，求太阴之平行若干度分，减朔策〈一交会之全周〉馀度分，为历元之平行度分，则朔应也。又考月食时得自行若干度分，亦算中积时之自行若干度分，两数并得为历元之自行度分，则转应也。〈以上原本历指卷五月离之一〉
解第二均数第十

如上论，因月有本轮自行度，以致不平不顺。定朔定望，多寡不一。今用其自行度分加减其平行视行以定均数，则于定朔定望及交食之法，始无遗漏。乃历家详测密推，以为未足尽月行之理，故又立次轮一法以定均数，与本轮第一均数并用之，今解其义如左。
古今测月行，审有自行度与平行不合，立为本轮法，或不同心}}与自行加减，以定朔望，以正交食。然其朔望之极大差不过五度，此本轮之半径也。是知定朔定望时，太阴恒在本轮之周矣。其在上下弦之差则不然，古历于上下弦日推太阴自行本轮之二限、四限
左右两傍之尽处，所谓留际也。如此则为去最高之极大差。

又在黄道之九十度限。
一名黄平象限，如此则无东西视差。

以定本日之经度，若如本轮法则此差止应得为五度，及用圆浑仪测候，或以距太阳求月之视行经度，或以恒星求其黄道上之视经度，得数乃与先推殊不合。论推算宜得五度，论测候则得七度四十分。从古至今累测皆如之，又测弦前后若干日亦与推算不合，每日远近所差不等，知月行止定朔定望日在小轮周，馀日去离远近多寡，各有本行度分。因从其差数以立差法，仍定本轮周上复有次小一轮，循本轮右旋，〈与七政行同与自行异〉半月一周，因其行度作加减差，以定第二均数，列表。〈如后卷〉
求次轮之比例第十一

既论有次小轮，今论其大小以定加减率。
如图，丁为地心，庚为本轮心，甲乙丙为本轮周，作庚丁过心线，作本轮之丁甲切线，即庚丁甲为五度角
图

也。
视行平行之极大差。
朔望时次作庚甲戊线，又作丁戊线，则成庚丁戊角，为七度四十○分，视平两行上弦下弦之大差。次庚为心，戊为界，作戊己圈，太阴在定朔定望时必循甲乙丙本轮周左行，在两弦
图

时必循戊己周左行，而弦前后半月间则自甲向戊，戊向甲右旋，为次轮之自行也。
若庚丁线为一万全数，即庚甲为八百七十二，〈五度之正弦〉庚戊为一千三百三十四，〈七度四十分之正弦〉相减得甲戊四百六十三，甲戊线平分

于辛。庚为心，辛为界，作辛戊为负次轮圈。〈一名带次轮〉即甲辛为二百三十一，以并庚甲得庚辛一千一百○三，为负次轮辛癸圈之半径。则本轮次轮两半径为一一○三与二三一也。
系有二小轮之比例，可解前一推一测异同之极大差，又可推朔望前后之视行，疑于无法而不知实有法也。
朔望前后三十八度，其视行绝异。故云疑于无法，详后论。
图

如图，两圈为本次二轮，丁为地心，甲为本轮之最高，丙为其心，乙为次轮心，作丙乙线为一一○三，从乙心作次轮圈，其半径二三，一〈如上两轮之比例〉次从丙作丙戊、丙子、线，切次轮于戊于子，成戊子两直角，设月体在戊，今论之：
图

凡月行本轮周左旋，〈依宗动天自东而西〉如图，庚为本轮心，甲乙为白道，丁为最高，己为最庳。其平行则自甲向丙，庚至乙。其自行则自丁而丙，而己，而戊，而复于丁，从丁〈即正半转即最高〉入转行极迟，向丙〈即中转亦留际〉其迟日损，至丙而及平行度，谓之迟初

限。从丙向己〈即中半转即最庳〉迟损疾益，至己而极疾，谓之迟末限。从己向戊，〈即正转亦留际〉其疾日损，至戊而及平行度，谓之疾初限。从戊而复向丁疾损迟益，至丁而极迟，谓之疾末限。最高左右二限谓之迟历，逆经度行，
逆七政经度也，后省曰逆行。

最庳左右二限谓之疾历，顺经度行，〈后省曰顺行〉二十七日有奇而周。〈即转周〉若次轮则如左图，乙为其心，甲己为本轮周，壬戊癸子为次轮周，壬为最近，癸为其最远。
图

本轮可言高庳，次轮不得言高庳，故言远近，谓远近于本轮心。
其顺本轮左旋则自甲向己，其自行右旋〈如七政自西而东〉则自壬而戊，而癸，而子，而复于壬。从壬入转至戊，为迟初限。从戊至癸为迟末限。从癸至子为疾初限。从
图

子至壬为疾末限。最近左右二限为迟历，逆行最远左右二限为疾历。顺行十五日弱而周，谓次转周。夫甲己弧者，约太阴距太阳之半周也。
朔与望相距之一百八十度。
次轮心行甲己半周，则月
图

循次轮行满一周，是月体循本轮周行一度，即循次轮周行二度。次轮心从甲至乙，月从壬至戊，比本轮上之，两行皆在迟历，皆逆行。一至戊切点，则为逆行之末，顺行之始。顺行则始疾，故戊切点为月行次轮顺逆两行之大差，今以数
图

明之。
作乙戊线为切线之垂线，成乙戊丙形，戊为直角，此形有乙戊二三一，有乙丙一一○二，求丙角得一十二度二十八分，为次轮上月行之最大差，是本轮心行度〈甲乙〉外应加应减之数。乙丙戊角既一十二度二
十八分，戊乙丙角必七十七度三十二分，壬戊弧也。
半之得三十八度四十六分，为甲乙弧。〈甲乙为壬戊之半〉系凡次轮心距本轮最高三十八度，为大差之限，朔、望前后各等。
论太阴次轮异名同理第十二

前卷推月不平行之缘，为有本轮次轮。因立两均数以定其实行。〈此歌白泥术〉而首卷又有异名同理一章，〈第五〉言用不同心圈立法，得数不异，是则止论本轮未及次轮也。今并论两小轮与两不同心圈，亦复异名同
图

理，得数无二。〈此马日诺术〉如左，如图，是月本天之大圈平面也。本天中函有诸球，体有厚薄，行有顺逆迟速。此图平面亦函有诸圈，譬犹剖球为面，其中所有，一一具见矣。内外凡六圈，甲为地心，亦为月本天之心。外第一圈为黄道，平分十二
图

宫。次圈为交道，〈黄白经度略等〉巳见前解第二第六，总名为负太阴中距之天。其第二之外规面，第六之内规面，则与地同心。〈甲也〉其第二之内规面，第六之外规面，则与地不同心，而以中距之心为心。两天各有厚薄不等，其厚薄处恒相反相对

也。〈此二天同一色绘之〉
此天平面之外圈，斜交于黄道内，函月行诸圈为一体，顺经度行。〈右旋〉每日六分四十○秒五十五微○六纤八平，年三百一十二日有奇，而行天一周，周行无首尾，其起算之界用外规之最薄，即本天之最高。第三第五总名为太阴中距天，又名为正不同心天。
上有二面同心，此四面不同心。

其心为乙，距地心甲以最外规〈丁也〉之半径〈丁甲也〉为度，十分之约得一有半，为乙甲，求其厚得丁甲十五分
图

之四，为丁戊。此天内函月行之轨道为一体，顺经度行，〈右旋〉其外虽为负距天所挈一体顺行，又自有其行度，每日二十四度二十二分五十三秒有奇，凡一十四日七十三刻○七分有奇，而行天一周。
在歌白泥、法为次轮上。
月行之周。

其起算之界为最近地心之处，〈巳也如上次轮法〉本表目其本行度为日月相距之倍度，是为次引数。凡月朔望间，必行一周。故朔望时月恒在于最近，即无此圈行度，亦不用次均数，皆与前法所论次轮同理。此圈又名为引数之圈，以其函负月轨圈，为定均数之恨。第四名为月轨圈，盖太阴自行之轨道也。与第三第五正不同心之天又不同心，其心丙，故又名次不同心之天。乙丙两心相距，以中距天〈即第三第五〉之全径〈外规过心相距〉为度，六十平分之，得其一分半弱。
次不同心之心丙，旋绕正不同心之心乙，作一小圈，月体循第四天行，虽最外为负距天所挈一体顺行，又为中距天所挈一体顺行，其自行则又逆经度左旋，譬之负距天如流水，中距天如舟，月体如人。水自顺地势东行，有水之行度。舟亦顺水势东行，又自有舟之行度。人却从船首向船尾西行，又自有人之行度也。其起算以自天之最高为界，日逆行一十一度一十八分五十九秒有奇，三十一日七十八刻有奇而行天一周，其在前解则自行本轮也。
前解定次轮上。〈或正不同心圈理同〉太阴一日顺行二十四度有奇，今减本轮上〈或次不同心圈理同〉逆行一十一度一十八分有奇，馀一十三度○三分有奇，因两行相背，故相减，所得较数为前引数。
两不同心圈各有最高最庳。
前解在次轮者为最远最近，此解亦名最高最庳。

则太阴所至有远近四限，与前解同。其数以中距天之半径丁乙为度，半径六十，则极远距地心为六十
图

八。次远为六十五分○九秒，次近为五十四分五十一秒，极近为五十二分。〈皆歌白泥所测也〉
第二图次不同心之心在丙，其最高在丁，正不同心之最高在戊。
中名月孛，西名平。最高
甲，乙戊线定黄道上，月孛
之经度甲丙己线定己为正最高之经度。甲丙己线过甲丙两心，则己为月轨距地之极远。

乙丙丁线定月轨道最高之经度，从己至月前解名为月自行，古史各有本表，今用前两轮解已作表，不复备著。
右二法外第谷及其门人又有别解，更细更密，特为奇妙，以步月离，倍胜前法，特微眇难见，以步交食，精粗判然，今并论如左。
第谷密测月离，觉月自行在朔望时，遇初宫或六宫及左右平距。
最高庳之左右其距地等。

即自行四限。〈高庳左右〉但依古法，用一均数一本轮自行，足以齐太阴之不平行矣。自非然者，即用古法多见参差，因依古步五星法，于月离法中，亦加一均轮。均轮者，古推步五星自行，用两不同心圈，一为负本轮心之圈，一为均行之圈。
均行圈者，与本轮心圈又不同心，而出入其内外。古推五星但依本轮心圈，未能悉合。别依此圈推步，然后度分不谬，故名均行之圈。或用均轮也，歌白泥谓月离法中可省此，第谷觉有未合，复用之，乃合。

其解详于五星历中，今月离亦用之，是为新法，依此作五轮月行全图，如左方。如图，甲为地心，取甲乙线为半径。
前法为次轮之半径。

乙为心，甲为界，作甲丁丙圈。〈前法为次轮〉从圈周任取丁为心，作戊己癸圈，其半径丁戊是为月与地之平距
图

也。
平距者，最高庳之间，
即五十六地半径也。
前法为月本天半径，或负本轮圈之半径。
若丁戊为全数十万，即甲乙为二千一百七十分，右为二三一，又于戊己癸周任取癸点为心，取癸辛线

五千八百分为半径，作午辛辰本轮，又取辛庚线二千九百分为半径，作庚壬子均轮，得癸庚线。〈两小轮之两半径并〉八千七百此八千七百者于前法为本轮之半径但前用一本轮以齐太阴朔望之行，此析为二。析为二者，以前法之本轮半径三平分之二，为新本轮之半径，一为均轮之半径。新本轮之半径者，月朔望时近远之实半较也。
凡月之定朔定望时，丁心与地心甲合为一点，丁心右旋〈顺经度行〉循甲丙丁圈，
从甲向丙而丁而复于甲，

半月而周。
此圈以当前法之次轮，故如前月体循次轮周，半月而复。

则甲丙丁周上之弧，为月距太阳之倍数，本轮之癸心循戊癸未圈，
从戊向癸而未而复于戊，

右旋〈顺经度行〉二十七日有奇而周，均轮庚子之心辛循本轮周左旋。
违经度行，从辰向辛而壬而午而复于辰，

亦二十七日有奇而周，即辰辛戊癸两弧之行恒为等度分，而此两圈皆当前法之一本轮，其行周皆转终分也。月体则循均轮周右旋。
顺经度行，从子向壬向庚而复于子。

十三日有奇而周。〈是转终之倍数〉
凡朔望时丁心必在甲，若自行为初宫初度，则如一图。癸心在戊，辛心在辰，月体在子，无均数自行，为六宫则如后图。癸心在未，辛心在午，月体亦在子，亦无
图

均数。
朔望图见交食历，朔望之外，依图用三角形法推算，则得月离之宫度分，可无用表。
依新法则戊为月孛，盖最高也。甲丁乙所指为平最高。今以二法较论同异，则月与地之中距〈五十六地半径〉两

家微异。
前法为本轮心距地，新法亦然皆丁戊也。

若自行初宫初度，则月距地比于中距前法盈十万之八千五百分，新法盈二千九百分，是损三分之二也。
此第谷所定也，以视差及密测月高庳法得之。

若自行三宫，则两家所定最大差为小异，其以次小轮〈前为次轮今为均轮〉为自行之倍数，新旧一也。今用合图明之。
合图说
实线为前论歌白泥法，半虚线为第谷新法。

不论次轮，前法次轮在上，新法次轮在下，其理不二故也。〈五纬历中见其论〉
前法丁地心，亦为戊寅庚卯圈心。戊丁其半径，戊本轮心，以平行右旋，历丑寅庚卯等点，月从丙自行左旋向乙，设戊平行三十度至丑，月左旋从丙至乙，自行二十九度一十三分。
每平行一度，自行五十九分四十六秒故。
月行二法合图月行二法合图

平行六十度至寅，即自行五十八度二十六分，亦从丙至乙，〈丙乙恒为自行弧〉又至庚至卯等皆同此推。若依丁戊线，从丁向戊取丁申线，与戊丙等，申为心，丙为界，作圈必遇各乙点，是名过乙圈，亦为高庳圈。〈不同心圈〉新法丁戊半径，戊寅庚卯圈，同前。别取戊午线为戊丙三分之二，戊为心，午为界，作本轮，
较旧本轮之径减三分之一。

次平分戊午于己，午为心，己为界，作均轮。〈得旧本轮径三分之一〉月体在己，设戊心平行至丑，即戊乙、戊丙、两线开展。
午心循子午本轮左旋，为各子午弧，

如张箑之势。
丁戊丙直线、戊午乙过两小轮心线，若自行初宫初度，即两线合为一线。后渐展开，至三宫九十度成直角。至六宫复合为一。

己月从最近酉〈最近本轮心也〉右旋，〈顺经度行〉至己为自行之倍数。如戊行至丑，两心线为丑酉午乙，月在己，则酉己弧倍于丙乙弧或午子弧。
丙乙午子与戊丑等，而乙丑乙寅等线恒与戊丁平行。

馀悉同此。〈酉己弧行倍于丙乙〉次依丁戊线，从丁取十万分之二千九百为未，未为心，己为界，作圈过各己点，是为均行之圈，两法至庚点即相近。
依前法推加减表则用丁丑乙一三角形，求丁角。新法用午己丑及丑己丁两形，求丑丁己角。两得数之差，自行十五度为四分三十三秒，自行三十度为八分○九秒，自行四十五度为九分五十六秒，自行六十度为九分三十二秒，自行七十五度为七分○三秒，自行九十度为三分○六秒。前法以自行九十五度为大差之限，则四度五十六分一十九秒。新法以自行九十一度为大差之限，则四度五十八分二十七秒。两得数之差随在，皆成乙、丁己角，而最高左右均数新法比前法为大，最高冲左右新法比旧法为小。
凡月离诸表，今皆依新法推算。