臣博访前坟，远稽昔典，五帝躔次，三王交分，《春秋》朔气，《纪年》薄蚀，谈，迁载述，彪、固列志，魏世注历，晋代《起居》，探异今古，观要华戎。书契以降，二千馀稔，日月离会之征，星度疏密之验。专功耽思，咸可得而言也。加以亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策，考课推移，又曲备其详矣。

然而（《宋志》无，《南齐书》有。）古历疏舛，类不精密，群氏纠纷，莫审其会。寻何承天所上，意存改革，而置法简略，今已乖远。以臣校之，三睹厥谬，日月所在，差觉三度，二至晷影，几失一日，五星见伏，至差四旬，留逆进退。或移两宿。分至失实，则节闰非正，宿度违天，则伺察无准，臣生属圣辰，询逮在运，敢率愚瞽，更创新历。

谨立改易之意有二，设法之情有三。改易者一：以旧法一章，十九岁有七闰，闰数为多，经二百年辄差一日。节闰既移，则应改法，历纪屡迁，实由此条。今改章法三百九十一年有一百四十四闰，令却合周、汉，则将来永用，无复差动。其二：以《尧典》云，「日短星昴，以正仲冬」。以此推之，唐世冬至日，在今宿之左五十许度。汉代之初用秦历，冬至日在牵牛六度。汉武改立《太初历》，冬至日在牛初。后汉四分法，冬至日在斗二十二。晋世姜岌以月蚀检日，知冬至在斗十七。今参以中星，课以蚀望，冬至之日，在斗十一。通而计之，未盈百载，所差二度。旧法并令冬至日有定处，天数既差，则七曜宿度，渐与舛讹。乖谬既著，辄应改易。仅合一时，莫能通远。迁革不已，又由此条。今令冬至所在岁岁微差，却检汉注，并皆审密，将来久用，无烦屡改。又设法者，其一：以子为辰首，位在正北，爻应初九斗气之端，虚为北方列宿之中，元气肇初，宜在此次。前儒虞喜，备论其义。今历上元日度，发自虚一。其二：以日辰之号，甲子为先，历法设元，应在此岁。而黄帝以来，世代所用。凡十一历，上元之岁，莫值此名。今历上元岁在甲子。其三：以上元之岁，历中众条，并应以此为始。而《景初历》交会迟疾，元首有差。又承天法，日月五星，各自有元，交会迟疾，亦并置差，裁得朔气合而已，条序纷错，不及古意。今设法日月五纬，交会迟疾，悉以上元岁首为始，群流共源，庶无乖误（《宋志》作「实精古法」。）。若夫测以定形，据以实效。悬象著明，尺表之验可推；动气幽微，寸管之候不忒。今臣所立，易以取信。但综核始终，大存缓密（《宋志》作「整密」。）。革新变旧，有约有繁。用约之条，理不自惧，用繁之意，顾非谬然。何者？夫纪闰参差，数各有分，分之为体，非细不密。臣是用深惜毫厘，以全求妙之准，不辞积累，以成永定之制，非为思而莫悟，知而弗改也。窃恐赞有然否，每崇远而随近；论有是非。或贵耳而贱目。所以竭其管穴，俯洗同异之嫌；披心日月，仰希葵藿之照（已下二句，《宋志》有，《齐书》无。）。庶陈锱铢，少增盛典（《宋书·历志下》，大明六年，《南齐书·祖冲之传》。）。

自古论天者多矣，而群氏纷纭，互相非毁。窃览同异，稽之典经，仰观辰极，傍瞩四维，睹日月之升降，察五星之见伏，校之以仪象，核之以晷漏，则浑天之理，信而有徵。辄遗众说，附浑仪云。《考灵曜》先儒求得天地相去十七万八千五百里，以晷景验之，失于过多。既不显求之术，而虚设其数，盖夸诞之辞，宜非圣人之旨也。学者多因其说，而未之革，岂不知寻其理欤，抑未能求其数故也。王蕃所考，较之前说，不啻减半。虽非揆格所知，而求之以理，诚未能遥趣其实，盖近密乎？辄因王蕃天高数，以求冬至、春分日高，及南戴日下去地中数。法，令表高八尺，与冬至景长一丈三尺，各自乘，并而开方除之为法。天高乘表高为实，实如法而一，得四万二千六百五十八里有奇，即冬至日高也，以天高乘冬至景长为实，实如法，得六万九千三百二十里有奇，即冬至南戴日下去地中数也，求春秋分数法，令表高及春秋分景长五尺三寸九分，各自乘并，而开方除之，为法，因冬至日高实，而以法除之，得六万七千五百二里有奇，即春秋分日高也。以天高乘春秋分景长为实，实如法而一，得四万五千四百七十九里有奇，即春秋分南戴日下去地中数也。南戴日下，所谓丹穴也。推北极里数法，夜于地中表南，傅地遥望北辰纽星之末，令与表端参合。以人目去表数及表高，各自乘，并而开方除之为法。天高乘表高数为实，实如法而一，即北极纽星高数也。天高乘人目去表为实，实如法，即去北戴极下之数也。北戴斗极为空桐。日去赤道表里二十四度，远寒近暑而中和。二分之日，去天顶三十六度。日去地中，冬夏春秋，辰昏昼夜，皆同度也，而有寒暑者，地气上腾，天气下降，故远日下而寒，近日下而暑，非有远近也。犹火居上，虽远而炎，在傍虽近而微。视日在傍而大，居上而小者，仰瞩为难，平观为易也。由视有夷险，非远近之效也。今悬珠于百仞之上，或置之于百仞之前，从而观之，则大小殊形。先儒弗斯取验，虚繁翰墨，夷途顿辔，雄辞析辨，不亦迂哉。今大寒在冬至后二气者，寒积而不消也。大暑在夏至后二气者，暑积而未歇也。寒暑均和，乃在春秋分后二气者，寒暑积而不平也。譬之火始入室，而未甚温，弗事加薪，久而愈炽。既移迁之，犹有馀热也。

月行有中道，有阴道，有阳道，如姜岌说《周髀》云：日径千二百五十里，盖天乖谬，已详前识，无足采焉。以浑象言之，失于过大矣。张衡日月共径，当天周七百三十六分之一。地广二百三十二分之一，案此而论，天周分母，圆周率也。地广分母，圆径率也。以八约之，得周率九十二，径率二十九，其率伤于周多径少，衡之疏也。衡以日月之径居一度之半，又言八极之维，既非改定日月之径，又不明其理，饰辞华说，不足穷核者也。望日月法，立于地中，以人目属径寸之管，而望日月，令日月大满管孔，及定管长，以管径乘天高，管长除之，即日月径也。月阴精也，其形圆，其质禀日之光，而见其体，日光不照，则谓之魄，故月望之月，日月相望，人居其间，尽观其质故形圆也。二弦之月，日照其侧，人观其旁，故半魄半明也。晦朔之月，日照其表，人在其里，故形不见。旧说曰，月行九道，斯盖未究月行之变，而假为其说。谨案著作郎张东对三道九行曰：案《汉天文志》：日有三道，月有九行者，谓日月行黄道，为得其正。或行黄道外，或行黄道内，内外及正行，因名三道，故曰房有四表三道，日月经房星南门，即为旱。经房星北门，为水，日有三道者。但内外差及正行之道也。月有九行，谓青道二，出于黄道东，赤道二，出于黄道南，白道二，出于黄道西，黑道二，出于黄道北。故郑玄注《月令》，立春春分，日行青道，月为之佐。立夏夏至，日行赤道，月为之佐，立秋秋分，日行白道，月为之佐，立冬冬至，日行黑道，月为之佐，故月之九行，非为黄道外别有九道，交横释络，贯于缠舍。但为日月既为动物，不能不小有盈缩，或行黄道内外。又案日月以立春合宿在营室，即北方之星，色当言黑，春分宿日在奎，奎为西方之宿，色当言白。而郑玄言立春春分，日行青道，盖以岁起于春，春在于东。东方色青，故起青号，南西及北，三方准此，故知日月共有三道，实无九行。但以因八节之差，顺四时之色，曲为立名，故月行言九，直举其实，故日道称三，三道九行，其义一也。则云日之三道，躔于二十八宿，月之九行，经于八节宿（《隋书·天文志》上，《开元占经》一。）。

姜岌此言非也，星犹月，禀日之光，然后乃见。若星在日里，则应盈魄。今既不然，故知星在日表，而常明也。按星体自有光曜，非由禀日始明。今星宿有时食，月在魄中，分明质见，则是星行亦在月里，不专在表。又姜岌承二烛为喻，理亦迂回，非实验也（《开元占经》一）。

魏明帝时，有尚书郎杨伟，修《景初历》，乃上表立义，驳难前非，云：「加时后天，食不在朔」。然睹杨伟之意，故以食朔为真，未能详之而制其法。至宋元嘉中，何承天著历，其上表云：「月行不定，或有迟疾，合朔月食，不在朔望，亦非历之意也」。然承天本意，欲立合朔之术，遭皮延宗饰非致难，故事不得行。至后魏献帝时，有龙宜弟，复修延兴之历，又上表云：「日食不在朔，而习之不废，据《春秋》书食，乃天之验朔也」。此三人者，前代善历，皆有其意，未正其书。但历数所重，唯在朔气。朔为朝会之首，气为生长之端，朔有告饩之文，气有郊迎之典，故孔子命历而定朔旦冬至，以为将来之范。今孝孙历法，并案明文，以月行迟疾定其合朔，欲令食必在朔，不在晦、二之日也。纵使频月一小、三大，得天之统。大抵其法有三，今列之云：

第一，勘日食证恒在朔。引《诗》云：「十月之交，朔日辛卯，日有食之」。今以甲子元历术推算，符合不差。《春秋经》书日合三十五。二十七日食，经书有朔，推与甲子元历不差。八食，经书并无朔字。《左氏传》云：「不书朔，官失之也」。《公羊传》云：「不言朔者，食二日也」。《谷梁传》云：「不言朔者，食晦也」。今以甲子元历推算，俱是朔日。丘明受经夫子，于理尤详，《公羊》《谷梁》，皆臆说也。《春秋左氏》，隐公三年二月己巳，日有食之（推合己巳朔。）。庄公十八年春三月，日有食之（推合壬子朔）。僖公十二年三月庚午，日有食之（推合庚午朔）。十五年夏五月，日有食之（推合癸未朔）。襄公十五年秋八月丁未日有食之（推合丁巳朔）。前、后汉及魏、晋四代所记日食，朔、晦及先晦，都合一百八十一，今以甲子元历术推之，并合朔日而食。前汉合有四十五食（三食并先晦一日，三十二食并皆晦日，十食并是朔日）。后汉合有七十四食（三十七食并皆晦日，三十七食并皆朔日）。魏合有十四食（四食并皆晦日，十食并皆朔日）。晋合有四十八食（二十五食并皆晦日，二十三食并皆朔日）。

第二，勘度差变验。《尚书》云：「日短星昴，以正仲冬」。即是唐尧之时，冬至之日，日在危宿，合昏之（日）时，昴正午。案《竹书纪年》，尧元年丙子。今以甲子元历术推算得合尧时冬至之日，合昏之时，昴星正午。《汉书》武帝太初元年丁丑岁，落下闳等考定太初历冬至之日，日在牵牛初。今以甲子元历术算，即得斗末牛初矣。晋时有姜岌，又以月食验于日度，知冬至之日日在斗十七度。宋文帝元嘉十年癸酉岁，何承天考验乾度，亦知冬至之日。日在斗十七度。虽言冬至后上三日，前后通融，只合在斗十七度。但尧年汉日，所在既殊，唯晋及宋，所在未改，故知其度，理有变差。至今大隋甲辰之岁，改定历数象，以稽天道，知冬至之日日在斗十三度。

第三，勘气影长验。《春秋纬命历序》云：「鲁僖公五年正月壬子朔旦冬至」。今以甲子元历术推算，得合不差。《宋书》元嘉十年，何承天以土圭测影，知冬至已差三日。诏使付外考验，起元嘉十三年为始，毕元嘉二十年，八年之中，冬至之日恒与影长之日差校三日。今以甲子元历术推算，但是冬至之日恒与影长之日符合不差。详之如左：十三年丙子，天正十八日历注冬至，十五日影长，即是今历冬至日。十四年丁丑，天正二十九日历注冬至，二十六日影长，即是今历冬至日。十五年戊寅，天正十一日历注冬至，阴无影可验，今历八日冬至。十六年己卯，天正二十一日历注冬至，十八日影长，即是今历冬至日。十七年庚辰，天正二日历注冬至，十月二十九日影长，即是今历冬至日。十八年辛巳，天正十三日历注冬至，十一日影长，即是今历冬至日。十九年壬午，天正二十九日历注冬至，阴无影可验，今历二十二日冬至。二十年癸未，天正六日历注冬至，三日影长，即是今历冬至日（同上）。

古今之历，必有术过于前人，而可以为万世之法者乃为胜也。若一行为《大衍历》议及略例，校正历世，以求历法强弱，为历家体要，得中平之数。刘焯悟日行有盈缩之差，李淳风悟定朔之法，并气朔、闰馀，皆同一术。张子信悟月行有交道表里，五星有入气加减。宋何承天始悟测景以定气序。晋姜岌始悟以月食所冲之宿，为日所在之度。后汉刘洪作《乾象历》，始悟月行有迟疾数。宋祖冲之始悟岁差。唐徐升作《宣明历》，悟日食有气、刻差数。《明天历》悟日月会合为朔，所立日法，积年有自然之数，及立法推求晷景，知气节加时所在。后之造历者，莫不遵用焉。其疏谬之甚者，即苗守信之《乾元历》、马重绩之《调元历》、郭绍之《五纪历》也。大概无出于此矣。然造历者，皆须会日月之行，以为晦朔之数，验《春秋》日食，以明强弱。其于气序，则取验于传之南至；其日行盈缩、月行迟疾、五星加减、二曜食差、日宿月离、中星晷景、立数立法，悉本之于前语，然后较验。上自夏仲康五年九月「辰弗集于房」，以至于今，其星辰气朔、日月交食等，使三千年间若应准绳。而有前有后、有亲有疏者，即为中平之数，乃可施于后世。其较验则依一行、孙思恭，取数多而不以少，得为亲密。较日月交食，若一分二刻以下为亲，二分四刻以下为近，三分五刻以上为远。以历注有食而天验无食，或天验有食而历注无食者为失。其较星度，则以差天二度以下为亲，三度以下为近，四度以上为远。其较晷景尺寸，以二分以下为亲，三分以下为近，四分以上为远。若较古而得数多，又近于今，兼立法、立数，得其理而通于本者为最也。

问：由汉而降，历法之行于天下，盖世异而代不同。虽其乘除因革之际，冰炭楚越，莫能相一，及推原其流，孰不自于古先圣人所以历象授时之意哉？夫尧命羲和，舜在玑衡，载之二《典》者，示其可以为万世之常行也。三代历法，于他书无所经见，必亦因尧之旧耳。而汉之古历乃有黄帝、颛帝、夏、商、周、鲁之六者各自为家，何耶？三代之改正朔，见于经者亦惟其统有天地人之别耳。后世历家乃谓其统既殊，则立元亦异。天正之元甲寅，人正之元乙卯，相为经纬。或又谓颛帝用乙卯，虞则戊午，夏则丙寅，商则甲寅，周则丁巳，鲁则庚子，言历者因是而有异同，又何耶？推步之法，在古止于正日景以求中星，而归其闰馀。至唐都、洛下闳作《泰初历》，始以甲子朔旦夜半冬至，而日月五星皆会于子，有合璧连珠之验，其比于古之推步，是耶？非耶？《泰初》因律生历，以八十一首为统母。刘歆更以《春秋》、《易》象配合其数。而扬子云作《太玄》以准《易》，亦谓与《泰初》合。及唐一行《开元历》推本大衍之数，则以谓其法始出于《易》。然则其与《泰初》之起于律者，同耶？异耶？贾逵推金火革之意，谓数不可贯，必有更改。蔡邕言不必以一家术取合，明历当随时而变也。而姜岌复谓历法可以永载用之，无斗历改宪之理，岂其然耶？祖冲之始立岁差限，张胄玄、傅仁均辈因之，盖言天之躔度岁久必差也。而王孝通复谓茍尧时星昴昏中差至东壁，由此积之，将至寒暑易位，岂其然耶？斗分之或远或近将安所定？章蔀统元之或多或寡将安所从？奚若而准日法？奚若而准二至？先大先小之孰优？气盈朔虚之孰辨？何以验其陵历而尽得《春秋》之日食？何以推其逆数，而举合六经之甲子？此皆载在史志，可得而备考者，试各求其至当之说。仍之夫汉自《泰初》至《乾象》凡三家，自魏黄初至隋张胄玄凡十四家，自唐《戊寅元》至五代《钦天》凡十一家，本朝自《应天》至《统天》凡九家。以至《皇极》、《稽极》、《经纬》、《光宅》、《景龙》、《符天》、《明元》之有其书而不行，《正蒙》、《齐政》、《万分》之用而非正。其间固有疏者密者、醇者驳者，合乎古者、不合乎古者，悉条而数之，将以究观诸君博通天人之学。