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钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百十九卷目录

 算法部汇考十一
  算法统宗七〈少广章第四中〉

历法典第一百十九卷

算法部汇考十一

《算法统宗七》少广章第四中立圆法歌

立圆问径法何如,十六乘积九归除。除此数常为实积,立方开见更何如。立圆若问周围数,四十八乘积数躯,乘为实积用开立,即见周围数不虚。
法曰:外周者,置积若干,以四十八乘之得若干为实。以开立方法除之,得周若要还原,以周自乘再乘以四十八除之见积。问径置积若干以十六乘之,得若干又用九归之,得若干为实。以开立方法除之得径。若要还原以径自乘再乘以九因十六除之见积。周径下原有不尽者,或周径自乘再乘并入不尽数,周以四十八除之见积径,以九因十六除之见积。若问周问径,遇有馀积不尽者。依开立方下命法命之。
今有积六万二千二百零八尺,欲为立圆。问:径若干。答曰:径四十八尺。
法曰:置积尺数以十六乘之,又用九归之得一十一万零五百九十二尺为实,以开立方法除之,初商四十自乘得一千六百,再乘得六万四千,除实馀实四万六千五百九十二尺,另将初商四十以三因得一百二十为方法,列位次商八尺于初商之次,得四十八尺。就以八乘之得三百八十四尺为廉法,以方乘廉得四万六千零八十尺,除实馀实五百一十二。另以次商八尺自乘再乘得五百六十二尺为隅法,除实恰尽得立圆径。合问。
此问周径如圆毬

今有积六万二千二百零八尺,欲为立圆。问:周若干。答曰:周一百四十四尺。
法曰:置积尺以四十八乘之,得二百九十八万五千九百八十四尺为实,以开立方法除之,初商一百尺自乘得一万,再乘得一百万,除实馀实一百九十八万五千九百八十四尺,另以初商一百以三因得三百为方法,次商四十于初商之下,共一百四十。就以四十乘之得五千六百为廉法,以方乘廉得一百六十八万,除实馀实三十万零五千九百八十四,另以次商四十自乘再乘得六万四千为隅法,除实馀实二十四万一千九百八十四。再以初次商一百四十以三因得四百二十为方法,再商四尺于初次商之下共得一百四十四尺,就以四尺因之,得五百七十六为廉法。以方乘廉得二十四万一千九百二十。除实馀实六十四,又以再商四尺自乘再乘得六十四。除实讫。合问。
凡立圆问周径,遇数单者则有不尽。

今有立方积一万五千六百二十五步。问:立方一面若干。
答曰:二十五步。
归除开立方法曰:置积一万五千六百二十五尺为实,以万积商二十置于积前,就置二十于右下自乘得四百步与上商二十相呼,二四除实八千馀实七千六百二十五步,却以右下四百步以三十乘之得一千二百,为法。归除之,呼逢五进五又呼二五除一千,另置初商二十步以次商五步乘之得一百步。以三因之得三百步,以加入自乘次商五步得二十五步,共三百二十五步于右。与次商五步相呼除之,呼三五除一千五百步,又二五除一百步,又五五除二十五步,积尽以左上二十五步为立方一面之数。合问。
今有立方积一亿零二百五十万零三千二百三十二尺。问:立方一面若干。
答曰:四百六十八尺。
归除开立方法曰:置积为实以七千万,该商四百尺。于左上又置四百尺于右下,自乘得一十六万相呼一四除四千万尺又四六除二千四百万,馀实三千八百五十万零三千二百三十二尺。却以右下一十六万尺以三乘之得四十八万为法,归除之,呼四三七十二少除〈因下位数不足除〉,呼四归起一下还四呼六八除四十八。另置初商四百尺以次商六十尺乘之,得二万四千尺以三因之,得七万二千尺为廉法,加入次商六十尺。自乘得三千六百尺,共七万五千六百尺。却以次商六十尺相呼除之,六七除四十二,又五六除三十。又六六除三十六。馀实五百一十六万七千二百三十二尺,以方法四十八万并入两个廉法七万二千。再并入隅法三个,三千六百尺共得方法六十三万四千八百尺为法,归除之。呼六五八十二。呼三八除二十四,又呼四八除三十二,又八八除六十四。右下之法不用再置。所商共四百六十尺,以次商八尺乘之,得三千六百八十尺。以三因之得一万一千零四十尺并入,再商八尺自乘得六十四尺共一万一千一百零四尺。又以次商八尺相呼除之,一八除八万,又一八除八千,又一八除八百,又四八除三十二尺。除实恰尽。以左上所商四百六十八尺,为立方一面之数。合问。
开立方带纵法

今有方仓贮米五百一十八石四斗,方比高多三尺。问:方高各若干。
答曰:方一丈二尺。高九尺。
法曰:置米五百一十八石四斗,以斛法二尺五寸乘之得积一千二百九十六尺为实,以开立方带纵除之,以方多三尺自乘得九尺为纵方,再置三尺倍之得六尺为纵廉,约积一千,商十尺。今有纵方只商九尺置于实前,另以九尺自乘得八十一尺,加入纵方九尺共九十尺为方法。另以纵廉六尺,以九尺乘之得五十四尺为廉法。二法并共一百四十四尺,于右下,以所商九尺相呼。一九除九,又呼四九除三十六。又四九除三十六。除实恰尽。以商九尺为高,加入方多三尺得方仓一十二尺。合问。
今有立方一所积一千七百八十七万五千尺,只云高阔相等,长多阔三十六尺。问:立方高阔及长若干。答曰:长二百八十六尺,阔二百五十尺,高二百五十尺。
法曰:置积一千七百八十七万五千尺为实,以开立方带纵法除之,初商约得二百尺,自乘得四万尺再乘得八百万尺,又约二百五十尺自乘得六万二千五百尺,再以二百五十尺乘之,得一千五百六十二万五千尺减去积馀积二百二十五万尺为实,另置长多三十六尺,以所商二百五十尺乘之,得九十尺。再以二百五十尺乘之得二百二十五万尺,除实恰尽。得阔二百五十尺,加入长多三十六尺共二百八十六尺,为长数。合问。
今有立方积二万九千八百零八尺,高比方不及一丈三尺。问:高方各若干。
答曰:高二丈三尺。方仓三丈六尺。
法曰:置积二万九千八百零八尺为实,以开立方带纵法除之,约实二万商三十尺,自乘得九百尺再以三十尺乘之,得二万七千尺,又约商三十六尺自乘得一千二百九十六尺,另置三十六尺减不及一十三尺,馀二十三尺,乘之得二万九千八百零八尺。除实尽得方仓三十六尺,高二丈三尺。合问。
今有三乘方积二千零一十五万一千一百二十一尺。问:一面若干。
答曰:六十七尺。
法曰:置积为实,下法常超三位,初商六十于左下法。亦置六十自乘得三千六百,再乘得二十一万六千为隅法,与上商六十相呼。除实一千二百九十六万馀实七百一十九万一千一百二十一尺,乃以四乘隅法二十一万六千,得八十六万四千为方法。另置上商六十自乘,得三千六百。又以六因之,得二万一千六百尺为上廉。又置上商六十以四乘得二百四十尺为下廉。次商七尺于左六十之次下法。亦置七尺自乘,得四十九尺,再以七因,得三百四十三尺为隅法。又以次商七尺乘上廉二万一千六百得一十五万一千二百,又以下廉二百四十用两次七因,初次因得一千六百八十尺,二次因得一万一千七百六十尺,以方法八十六万四千,上廉一十五万一千二百,下廉一万一千七百六十。隅法三百四十三并四法共一百零二万七千三百零三尺,皆与次商七尺相呼,除实恰尽。得一面六十七尺。合问〈此三乘方捷径〉。一法用二次开平方法除之,亦得初一次置积数为实,以开平方法除之商得四千四百八十九尺。第二次就以此初商数为实,亦以开平方法除之,即得一面六十七尺,合问〈此又捷径〉
若还原置一面六十七尺,自乘得四千四百八十九尺,再乘得三十万○○七百六十三尺,又乘之即见原积数也。
自乘再乘又乘故曰三乘。其四乘乃四次乘也。其五乘乃五次乘也。
今有田积三千三百七十五尺。问:立方面若干。答曰:面方一十五尺。
法曰:置积三千三百七十五尺为实,以开立方法除之。古法用三为廉率,约实定位,从实末位尺,十尺定尺百尺。千尺定十尺,初商一十于左下,法亦置初商一十自乘得一百,再乘得一千。除实讫馀实二千三百七十五尺,却以下法初商一十自乘得一百。用三因为方法,又以初商一十以三因,得三十为廉。次商五尺于左,初商之次下法亦置次商五尺。自乘得二十五尺为隅法,又以次商五尺乘廉三十得一百五十为廉法,并方法三百,廉法一百五十,隅法二十五共四百七十五尺。皆与次商五尺相呼,四五除二。五七除三十五,五五除二十五,得方面一十五尺。合问。
开立方开立方

大段解曰:立方积形如骰子,有上下左右,前后六面。方如一段大方,积是初商方高十尺自乘再乘得一千尺。三段平廉,每段方十尺高五尺即初商十尺,自乘又以次商五尺乘,积五百尺。用三因,即三段积一千五百尺,三段长廉每段长十尺阔五尺高五尺即初商十尺,以次商五尺乘,又以次商五尺乘得每段积二百五十尺,用三因即三段积七百五十尺。一段小方隅即次商五尺,自乘再乘积一百二十五尺也。
求米仓窖盛贮歌〈每石斛法二尺五寸〉

米求仓窖要知源,斛法先除米数全。若见圆仓乘十二,方窖三因米数然。三十六乘圆窖米,各为实积定无偏。却用立方开见约方,求长阔约为先圆数。求周为约数各将,约数自乘焉乘来。为法除实积,便见深高法更元。
今有米二千四百一十九石二斗,欲为方仓盛之。问:长阔高各若干。
答曰:长二十八尺,阔一十八尺,高一十二尺。
法曰:置米数以斛法二尺五寸乘之,得六千零四十八尺为实,以开立方法约之,得阔一十八尺,便约长二十八尺,却以长阔相乘得五百零四尺为法,除实得高。合问。
今有米七百零五石六斗,欲作圆仓盛之。问:周围及高各若干。
答曰:周四十二尺。高一十二尺。
法曰:置米数以斛法二尺五寸乘之,得一千七百六十四尺,再以圆法十二乘之,得二万一千一百六十八尺为实,以开立方法约之,得周四十二尺,自乘得一千七百六十四尺为法,除实得高一十二尺。合问。今有米五百七十七石二斗,欲作方窖盛之。问:上下方及深各若干。
答曰:上方九尺。下方一十二尺。深一十三尺。
法曰:置米数以斛法二尺五寸乘之,得一千四百四十三尺,又以三因之得四千三百二十九尺为实,以开立方法约之,得上方九尺,便约下方一十二尺。却以上方自乘得八十一尺,另以下方自乘得一百四十四尺,又以上方九尺乘下方一十二尺得一百零八尺。并三位共三百三十三尺为法。除实得深一十三尺。合问。
今有米七十七石二斗,欲作圆窖盛之。问:上下周及深各若干。
答曰:上周一十四尺。下周一十八尺。深九尺。
法曰:置米数以斛法二尺五寸乘之得一百九十三尺,再以圆率三十六乘之,得六千九百四十八尺为实。以开立方法约之,得上周一十四尺,便约下周一十八尺。另以上周一十四尺自乘得一百九十六尺。又以下周一十八尺自乘,得三百二十四尺,又以上周一十四乘下周一十八,得二百五十二尺,并三位共七百七十二尺为法,除实得深九尺。合问。
今有米二千四百一十九石二斗,欲造长仓盛之,只云阔一十八尺,高一十二尺。问:长若干。
答曰:长二十八尺。
法曰:置米数以斛法二尺五寸乘得六千零四十八尺为实,另以高乘阔得二百一十六尺为法,除实得长。合问。
或只云长二十八尺,高一十二尺。问:阔若干。
答曰:阔一十八尺。
法曰:仍以前实却以长高相乘,得三百三十六尺为法,除实得阔一十八尺。合问。
今有米七百零五石六斗,欲作圆仓盛之,只云高一十二尺。问:周若干。
答曰:周四十二尺。
法曰:置米数以斛法二尺五寸乘之,得一千七百六十四尺,又以圆率十二乘之,再以高一十二尺除之,如故为实以开平方法除之,得周四十二尺。合问。今有米五百七十七石二斗,欲作方窖盛之,只云上方九尺,深一十三尺。问:下方若干。
答曰:下方一十二尺。
法曰:置米数以斛法二尺五寸乘之,得一千四百四十三尺,以三因之,得四千三百二十九尺。以深一十三尺除之,得三百三十三尺。内减上方自乘得八十一尺,馀二百五十二尺为实,以上方九尺为纵方。开平方法除之,得下方一十二尺。合问。
或云下方一十二尺,深一十三尺。问:上方若干。答曰:上方九尺。
法曰:仍以前实四千三百二十九尺,以深除之,得三百三十三尺,内减下方自乘一百四十四尺,馀一百八十九尺为实,以下方一十二为纵方,以开平方法除之,得上方九尺。合问。
今有米七十七石二斗,欲造圆窖盛之,只云上周一十四尺,深九尺。问:下周若干。
答曰:下周一十八尺。
法曰:置米数以斛法二尺五寸乘之,得一百九十三尺,又以圆率三十六尺乘之,得六千九百四十八尺。以深九尺除之,得七百七十二尺,内减上周自乘一百九十六尺,馀五百七十六为实,以上周一十四为纵方,以开平方法除之,得下周一十八尺。合问。或云下周一十八尺,深九尺。问:上周若干。
答曰:上周一十四步。
法曰:仍以前实六千九百四十八尺,以深九尺除之。得七百七十二尺,内减下周自乘得三百二十四尺,馀四百四十八尺为实,以下周一十八尺为纵方,以开平方法除之,得上周一十四尺。合问。
今有米五百一十八石四斗,欲造方仓盛之。问:方高各若干。
答曰:方一十二尺,高九尺。
法曰:置米数以斛法二尺五寸乘之,得一千二百九十六尺为实,以开立方法约之,得方一十二尺,却以方一十二尺自乘得一百四十四尺为法,除实得高九尺。合问。
或云:高九尺。问:方若干。
答曰:方一十二尺。
法曰:仍以前实,以高九尺除之,得一百四十四尺,以开平方法除之,得方一十二尺。合问。
分田截积法上
直田截积歌

直田截积法尤奇,截长积步阔除之。截阔用长除且易,得其步数不须疑。
法曰:若依原长,截积则以原阔除之,若依原阔截积。则以原长除之。
直田截积,原载方田章因与圭梯等截积间隔不便观览,今移此以统于一。

今有直田长四十八步,阔四十步,今依原长截积七
直田截阔图

百二十步。问:截阔若干。
答曰:阔一十五步。
法曰:置截积七百二十步为实,以原长数为法,除之即得截阔数。合问。

今有直田长四十八步,阔四十步。今依原阔截积七百二十步。问:截长若干。
直田截长图

答曰:长一十八尺。
法曰:置截积七百二十步为实,以原阔四十步为法除之,得截长一十八步。合问。

今有方田一丘,要从东南角截一直形积三十二步,南边阔四步。问:截东边长若干。
答曰:截东长八步。
法曰:置截积三十二步为实,以南阔四步为法,除之
方田截直图

得截积东长八步。合问。若东长定数,问截南阔,就以长数为法,而除截积。

今有直田长一十五步六分阔一十二步,今从东边
直田截斜图

截积五十四步六分,北头要阔四步。问:截南头阔若干。
答曰:截南头阔三步。
法曰:置截积五十四步六分为实,以

原长一十五步六分为法,除之得截阔三步五分。此是二广均匀之数,加倍得七步,减去北广四步馀得截南广三步,是也。
又法倍截积得一百零九步二分为实,以原长一十五步六分为法除之,得共截阔七步,减北广四步,馀得截南广三步亦得。
今有直田长一十五步,阔一十二步。今从西北角截
直截句股图

句股形一段,积三十一步五分,原坐落西边股长九步。问:截北边句阔若干。
答曰:截北句阔七步。
法曰:置截积三十一步五分,倍之得六十三步,以西股长九步为法除之得截北句阔七步。合问。
今有直田积一千九百二十步,只云长六十步。问:阔若干。
答曰:阔三十二步。
法曰:置积一千九百二十步为实,以长六十步为法,除之得阔。若是只云阔三十二步,问长若干,就以阔为法,除之即得长。
今有圭田积二百二十五步,只云长三十步。问:阔若干。
答曰:阔一十五步。
法曰:置积倍之得四百五十步为实,以长为法除之,得阔。若云中长步数,倍积为实,以阔为法除之,即得。
以上二款名曰:忘长失短,与直田截积意同。

今有句股田长三十步,阔一十五步,今从尖截长一十二步。问:中广若干。
勾股截积图

答曰:截中广六步。
法曰:置截长一十二步,以句阔乘之得一百八十步为实,以股长为法,除之。

又法:置句为实,以股为法,除之。每股长一步,得阔五分,以乘截长亦得。
今有斜田南广四步,北广十二步,长三十二步,今从中截,腰广六步。问:截南长若干。
答曰:截南头长八步。
斜田截积图

法曰:置截中广六步,减上广四步馀二步,以乘长三十二步,得六十四步为实,却将南北二广相减馀八步为法除之,即得。若截下长,

置下广减中广,馀六步以乘,原长得一百九十二步为实,以上下二广相减,馀八步为法除之,得截下长二十四步。合问。
今以前图截下长二十四步。问:截中广若干。
答曰:六步。
法曰:将下广减去上广四步,馀八步为实,以原长三十二步为法除之,每长一步得阔差二分五釐,就以此为法,以乘下长二十四步。得阔差六步,以减下阔一十二步,馀六步即是中广。合问。
今有梯田积一千五百步,北广四十步,中长五十步。问:南广若干。
答曰:南广二十步。
法曰:置积一千五百步,倍之得三千步为实,以长五十步为法除之,得六十步于内,减北广四十步馀得南广二十步。合问。
原有斜田南广四步,北广十步,长一十二步。今欲增作句股样式。问:股长出若干。
斜增为勾股图

答曰:股长出八步。
法曰:以南广四步乘长一十二步,为实,另以二广相减馀六步为法,除之得尖出股长八步。合问。
圭求广纵歌〈除圭尖即是梯形〉

梯求上广出尖长,上阔乘纵法最良,却将上下广相减,馀法除之免思量。
今有上圭下梯田,上广一尺六寸,下广一十二尺八
圭求广纵图

寸,圭下正纵一十尺零五寸。问:圭尖长若干。
答曰:尖高长一尺五寸。
法曰:置正纵一十尺零五寸,以上

广一尺六寸乘之,得一十六尺八寸为实,另以下广一十二尺八寸减上广一尺六寸,馀一十一尺二寸为法,除之,得圭尖长一尺五寸。合问。
圭求下广歌

圭田若问梯下广,圭梯并长不必想。上广乘长为实则,尖长法除即下广。
法曰:置圭长并梯长共一十二尺,以上广一尺六寸乘之,得一十九尺二寸为实,以尖长一尺五寸为法,除之得下广一十二尺八寸。合问。
圭求外梯长歌

圭田欲问外梯长,下广减去上广良。除以圭长乘为实,上广法除是梯长。
法曰:以下广一十二尺八寸减去上广一尺六寸馀一十一尺二寸,以圭长一尺五寸乘之,得一十六尺八寸。为实以上广一尺六寸,除之得梯正纵长一十尺零五寸。合问。
圭求中广歌

圭求中广要思量,却用下广乘尖长。正纵加入尖长数,为法除之中广良。
法曰:置下广一十二尺八寸,以尖长一尺五寸乘之。得一十九尺二寸为实,另以正纵一十尺零五寸。加入尖长一尺五寸,共一十二尺为法,除之得中广一尺六寸。合问。
假如三角田一丘,三面各一十四步,今作三段,俱要四角。问:长阔各若干。
三角截四角圆

答曰:共积八十四步。三角各得二十八步。每角计长八步,阔七步。法曰:置每面一十四步,六因七归得中径一十二步,另以每面一十四步,与径一十二步,相乘得一百六十八

步,折半得积八十四步为实,以三段归之,各得二十八步,却以每面折半得阔七步,以归二十八步得四步,倍之得中长八步。合问。
今有直田长一十五步,阔一十二步,今依阔截圭积
直田截圭图

四十五步。问:截圭长若干。答曰:圭长七步五分。
法曰:置截积倍之,得九十步为实。以阔一十二步为法除之,即得。其馀

圭梯等截法俱用,开方列法于左。
圭田截积歌〈若作三段分者先截尖段下二段以作梯形截法〉

圭田截积小头知,倍积原长以乘之,原阔归除为实积,开方便见截长宜。仍以截长乘原阔,原长为法以除之。除来便见截阔数,法明简易不须疑。
今有圭田长七十五步,北阔三十步,今自尖头截积
圭截小头圆

四百零五步。问:截长阔各若干。答曰:长四十五步,阔一十八步。法曰:置截积四百零五步,倍之得八百一十步,以原长七十五步乘

之得六万零七百五十步,以阔三十步除之,得二千零二十五步为实,以开平方法除之,得截长四十五步就以原阔三十步乘之,得一千三百五十步为实。以原长七十五步为法除之,得截阔一十八步,合问。今有句股田股长四十步,句阔二十步,今从大头截
勾股截积图

积一百七十五步。问:所截长阔各若干。
答曰:截下长一十步,截上广一十五步。

法曰:先将句股相乘,得八百折半得积四百步,减截积一百七十五步,馀积二百二十五步以作圭田,截积小头知而算之,置小头积二百二十五步倍作四百五十步,以原长四十步乘之,得一万八千步以原阔二十步。除之得九百步为实,以开平方法除之,得上尖长三十步,就以此为法以除倍积四百五十步,得截阔一十五步,另将原长减去截长三十步,馀得下长一十步。合问。
今又有圭田长七十五步,北阔三十步,今自北阔截
圭截大头图

积七百二十步。问:截长阔各若干。答曰:截下长三十步,阔一十八步。
法曰:置截积七百二十步倍之,得

一千四百四十步以原阔三十步乘之,得四万三千二百步为实,以原长七十五步为法除之,得五百七十六步再以北阔三十步自乘,得九百步以减五百七十六步,馀三百二十四步为实,以开平方法除之,得截阔一十八步,并北广三十步,共四十八步折半,得二十四步为法,除截积七百二十步得截长三十步。合问。