钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第八十卷目录

历法典第八十卷

历法总部艺文一

三统历说　　　　　　　　　汉刘歆

《汉书》云：初孝成世，刘向总六历，列是非，作《五纪论》。向子歆究其微眇，作三统历及谱以说《春秋》，推法密要，故述焉。

夫历《春秋》者，天时也，列人事而因以天时。《传》曰：民受天地之中以生，所谓命也。是故有礼谊动作威仪之则，以定命也，能者养之以福，不能者败以取祸。故列十二公二百四十二年之事，以阴阳之中制其礼。故春为阳中，万物以生；秋为阴中，万物以成。是以事举其中，礼取其和，历数以闰正天地之中，以作事厚生，皆所以定命也。《易》金、火相革之卦，曰汤武革命，顺乎天而应乎人，又曰治历明时，所以和人道也。周道既衰，幽王既丧，天子不能班朔，鲁历不正，以闰馀一之岁为蔀首。故《春秋》刺十一月乙亥朔，日有食之。于是辰在申，而司历以为在建戌，史书建亥。哀十二年，亦以建申流火之月为建亥，而怪蛰虫之不伏也。自文公闰月不告朔，至此百有馀年，莫能正历数。故子贡欲去其饩羊，孔子爱其礼，而著其法于《春秋》。《经》曰：冬十月朔，日有食之。《传》曰：不书，日官失之也。天子有日官，诸侯有日御，日官居卿以底日，礼也。日御不失日以授百官于朝。言告朔也。元典历始曰元。《传》曰：元，善之长也。共养三德为善。又曰：元，礼之长也。合三体而为之原，故曰元。于春三月，每月书王，元之三统也。三统合于一元，故因元一而九三之以为法，十一三之以为实。实如法得一。黄钟初九，律之首，阳之变也。因而六之，以九为法，得林钟初六，吕之首，阴之变也。皆参天两地之法也。上生六而倍之，下生六而损之，皆以九为法。九六，阴阳夫妇子母之道也。律娶妻而吕生子，天地之情也。六律六吕，而十二辰立矣。五声清浊，而十日行矣。《传》曰天六地五，数之常也。天有六气，降生五味。夫五六者，天地之中合，而民所受以生也。故日有六甲，辰有五子，十一而天地之道毕，言终而复始。太极中央元气，故为黄钟，其实一龠，以其长自乘，故八十一为日法，所以生权衡度量，礼乐之所繇出也。经元一以统始。《易》，太极之首也。《春秋》二以目岁，《易》两仪之中也。于春每月书王，《易》三极之统也。于四时虽亡事必书时月，《易》四象之节也。时月以建分至启闭之分，《易》八卦之位也。象事成败，《易》吉凶之效也。朝聘会盟，《易》大业之本也。故《易》与《春秋》，天人之道也。《传》曰：龟，象也。筮，数也。物生而后有象，象而后有滋，滋而后有数。是故元始有象一也，春秋二也，三统三也，四时四也，合而为十，成五体。以五乘十，大衍之数也，而道据其一，其馀四十九，所当用也，故蓍以为数。以象两两之，又以象三三之，又以象四四之，又归奇象闰十九及所据一加之，因以再扐两之，是为月法之实。如日法得一，则一月之日数也，而三辰之会交矣，是以能生吉凶。故《易》曰：天一地二，天三地四，天五地六，天七地八，天九地十。天数五，地数五，五位相得而各有合。天数二十有五，地数三十，凡天地之数五十有五，此所以成变化而行鬼神也。并终数为十九，《易》穷则变，故为闰法。参天九，两地十，是为会数。参天数二十五，两地数三十，是为朔望之会。以会数乘之，则周于朔旦冬至，是为会月。九会而复元，黄钟初九之数也。经于四时，虽亡事必书时月。时所以纪启闭也，月所以纪分至也。启闭者，节也。分至者，中也。节不必在其月，故时中必在正数之月。故《传》曰：先王之正时也，履端于始，举正于中，归馀于终。履端于始，序则不愆；举正于中，民则不惑；归馀于终，事则不悖。此圣王之重闰也。以五位乘会数，而朔旦冬至，是为章月。四分月法，以其一乘章月，是为中法。参闰法为周至，以乘月法，以减中法而约之，则六扐之数，为一月之闰法，其馀七分。此中朔相求之术也。朔不得中，是为闰月，言阴阳虽交，不得中不生。故月法乘闰法，是为统岁。三统，是为元岁。元岁之闰，阴阳灾，三统闰法。《易》九厄曰：初入元，百六，阳九；次三百七十四，阴九；次四百八十，阳九；次七百二十，阴七；次七百二十，阳七；次六百，阴五；次六百，阳五；次四百八十，阴三；次四百八十，阳三。凡四千六百一十七岁，与一元终。经岁四千五百六十，灾岁五十七。是以《春秋》曰：举正于中。又曰：闰月不告朔，非礼也。闰以正时，时以作事，事以厚生，生民之道于是乎在矣。不告闰朔，弃时正也，何以为民。故鲁僖五年，春王正月辛亥朔，日南至，公既视朔，遂登观台以壬，而书礼也。凡分至启闭，必书云物，为备故也。至昭二十年二月己丑，日南至，失闰，至在非其月。梓慎望氛气而弗正，不履端于始也。故《传》不曰冬至，而曰日南至。极于牵牛之初，日中之时景最长，以此知其南至也。斗纲之端连贯营室，织女之纪指牵牛之初，以纪日月，故曰星纪。五星起其初，日月起其中，凡十二次。日至其初为节，至其中斗建下为十二辰。视其建而知其次。故曰制礼上物，不过十二，天之大数也。《经》曰春王正月，《传》曰周正月，火出，于夏为三月，商为四月，周为五月。夏数得天，得四时之正也。三代各据一统，明三统常合，而迭为首，登降三统之首，周还五行之道也。故三五相包而生。天统之正，始施于子半，日萌色赤。地统受之于丑初，日肇化而黄，至丑半，日牙化而白。人统受之于寅初，日孽成而黑，至寅半，日生成而青。天施复于子，地化自丑毕于辰，人生自寅成于申。故历数三统，天以甲子，地以甲辰，人以甲申。孟仲季迭用事为统首。三微之统既著，而五行自青始，其序亦如之。五行与三统相错。《传》曰：天有三辰，地有五行，然则三统五星可知也。《易》曰：参五以变，错综其数。通其变，遂成天地之文；极其数，遂定天下之象。太极运三辰五星于上，而元气转三统五行于下。其于人，皇极统三德五事。故三辰之合于三统也，日合于天统，月合于地统，斗合于人统。五星之合于五行，水合于辰星，火合于荧惑，金合于太白，木合于岁星，土合于填星。三辰五星而相经纬也。天以一生水，地以二生火，天以三生木，地以四生金，天以五生土。五胜相乘，以生小周，以乘乾坤之策，而成大周。阴阳比类，交错相成，故九六之变登降于六体。三微而成著，三著而成象，二象十有八变而成卦，四营而成易，为七十二，参三统两四时相乘之数也。参之则得乾之策，两之则得坤之策。以阳九九之，为六百四十八，以阴六六之，为四百三十二，凡一千八十，阴阳各一卦之微算策也。八之，为八千六百四十，而八卦小成。引而信之，又八之，为六万九千一百二十，天地再之，为十三万八千二百四十，然后大成。五星会终，触类而长之，以乘章岁，为二百六十二万六千五百六十，而与日月会。三会为七百八十七万九千六百八十，而与三统会。三统二千三百六十三万九千四十，而复于太极上元。九章岁而六之为法，太极上元为实，实如法得一，阴一阳各万一千五百二十，当万物气体之数，天下之能事毕矣。

历议　　　　　　　　　　后汉张衡

延光二年，谒者亶诵言当用甲寅元，河南梁丰言当复用太初。尚书郎张衡、周兴皆能历，数难诵、丰，或不对，或言失误。衡、兴参案仪注，考往校今，以为九道法最密。诏下公卿详议。太尉恺等上侍中施延等议：太初过天，日一度，弦望失正，月以晦见西方，食不与天相应；元和改从四方，四方虽密于太初，皆不可用。甲寅元与天相应，合图谶，可施行。博士黄广、大行令任佥议，如九道。河南尹祉等议：即用甲寅元，当除《元命苞》天地开辟，获麟中百一十四岁，推闰月六直其日，或朔、晦、弦、望，二十四气宿度不相应者非一。用九道为朔，月有比三大二小，皆疏远。元和变历，以应《保乾图》三百岁斗历改宪之文。四分历本起图谶，最得其正，不宜易。恺等议，宜从太初。尚书令忠上奏：诸从太初者，徒以世宗攘外廓境，享国久长为辞。或云孝章改四分，灾异率甚，未有善应。臣伏惟汉祖受命，因秦之纪，违于帝典。太宗遵修，三阶以平，哀、平之际，同承太初，妖孽累仍，痾祸非一。议者不以成数相参，汎采妄说，归福太初，致咎四分。漏见曲论，未可为是。臣辄复重难衡兴议云云。上然其言，遂改历事。

五纪论推步行度，当时比诸术为近，然犹未稽于古。及向子歆，欲以合春秋横断年数，损夏益周考之表纪，差谬数百。两历相课六千一百五十六岁，而太初多一日，冬至日直斗而云，在牵牛，迂阔不可复用。昭然如此。史官所共见，非独衡兴前以为九道密。近今议者，以为有阙及甲寅元复多违失，皆未可取正。昔仲尼顺假马之名，以崇君之义。况天之历数，不可任疑，从虚以非易是。

历数议　　　　　　　　　　　蔡邕

熹平四年，五官郎中冯。光、沛相上计掾陈晃言：历元不正，故妖民叛寇益州，盗贼相续为历用甲寅为元而用庚申，图纬无以庚为元者。近秦所用代周之元。太史治历郎中郭香、刘固意造妄说，乞与本庚申元经纬有明，受虚欺重诛。乙卯，诏书下三府，与儒林明道者详议，务得道真。以群臣会司徒府议。太尉耽等，以邕议劾光、晃不敬，正鬼薪法，诏勿治罪。

历数精微，去圣久远，得失更迭，术术无常是。以承秦，历用颛顼，元用乙卯。百有二岁，孝武皇帝始改正朔，历用太初，元用丁丑，行之百八十九岁。孝章皇帝改从四分，元用庚申。今光、晃各以庚申为非，甲寅为是。按历法，黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁，凡六家，各自有元。光、晃所据，则殷历元也。他元虽不明于图谶，各家术，皆当有效于其当时。黄帝始用太初丁丑之元有，六家纷错，争讼是非。太史令张寿王挟甲寅元以非汉历，杂候清台，课在下第，卒以疏阔，连见劾奏，太初效验，无所漏失。是则虽非图谶之元，而有效于前者也。及用四分以来，考之行度，密于太初，是又新元效于今者也。延光元年，中谒者亶诵亦非四分庚申，上言当用命历序甲寅元。公卿百僚参议正处，竟不施行。且三光之行，迟速进退，不必若一。术家以算，追而求之，取合于当时而已。故有古今之术。今之不能上通于古，亦犹古术之不能下通于今也。《元命苞》、《乾凿度》皆以为开辟至获麟二百七十六万岁；及命历序积获麟至汉，起庚子蔀之二十三岁，竟己酉、戊子及丁卯蔀六十九岁，合为二百七十五岁。汉元年岁在乙未，上至获麟则岁在庚申。推此以上，上极开辟，则不在庚申。谶虽无文，其数见存。而光、晃以为开辟至获麟二百七十五万九千八百八十六岁，获麟至汉，百六十二岁，转差少一百一十四岁。云当满足，则上违乾凿度、元命苞，中使获麟不得在哀公十四年，下不及命历序获麟汉相去四蔀年数，与秦记谱注不相应。当今历正月癸亥朔，光、晃以为乙丑朔。乙丑之与癸亥，无题勒款识可与众共别者，须以弦望晦朔、光魄亏满可得而见者，考其符验。而光、晃历以《考灵曜》二十八宿度数及冬至日所在，与今史官甘、石旧文错异，不可考校；以今浑天图仪检天文，亦不合于《考灵曜》。光、晃诚能自依其术，更造望仪，以追天度，远有验于图书，近有效于三光，可以易夺甘石，穷服诸术者，实宜用之。难问光、晃，但言图谶，所言不服。元和二年二月甲寅，制书曰：朕闻古先圣王，先天而天不违，后天而奉天时。史官用太初邓平术，冬至之日，日在斗二十二度，而历以为牵牛中星，先立春一日，则四分数之立春也，而以折狱断大刑，于气已迕，用望平和，盖亦远矣。今改行四分，以遵于尧，以顺孔圣奉天之文。是始用四分历庚申元之诏也。深引河洛图谶以为符验，非史官私意独所兴搆。而光、晃以为固意造妄说，违反经文，谬之甚者。昔尧命羲和历象日月星辰，舜叶时月正日，汤、武革命，治历明时，可谓正矣。且犹遇水遭旱，戒以蛮夷猾夏，寇贼奸宄。而光、晃以为阴阳不和，奸臣盗贼，皆元之咎，诚非其理。元和二年，乃用庚申，至今九十二岁，而光、晃言秦所用代周之元，不知从秦来，汉三易元，不常庚申。光、晃区区，信用所学，亦妄虚无造欺语之愆。至于改朔易元，往者寿王之术已课不效，亶诵之议不用，元和诏书文备义著，非群臣议者所能变易。
刘昭曰：不有君子其能国乎。观蔡邕之议，可以言天机矣。贤明在朝，弘益远哉。公卿结正，足惩浅妄之徒，诏书勿治，亦深盍各之致。

进景初历疏　　　　　　　　魏杨伟

臣览载籍，断考历数，时以纪农，月以纪事，其所由来。遐而尚矣。乃自少昊，则元鸟，司分颛顼帝喾，则重黎司天。唐帝、虞舜则羲和掌日。三代因之，则世有日官。日官司历，则颁之诸侯，诸侯受之，则颁于境内。夏后之代羲和，湎淫废时，乱日，则书载引征。由此观之，审农时而重人事者，历代然也。逮至周室既衰，战国横骛，告朔之羊，废而不绍登台之礼。灭而不遵闰分，乖次而不识，孟陬失纪，而莫寤。大火犹西流，而怪蛰虫之不藏也。是时也，天子不协时，司历不书日，诸侯不受职，日御不分朔，人事不恤，废弃农时。仲尼之拨乱于《春秋》，托褒贬、纠正司历失闰，则讥而书之，登台颁朔，则谓之有礼。自此以降，暨于秦汉，乃复以孟冬为岁首，闰为后。九月中节，乖错时月，纰谬加时，后天蚀不在朔，累载相袭，久而不革。至武帝元封七年，始乃寤其缪焉。于是改正朔，更历数，使大才通人造太初历，校中朔所差，以正闰分课中星，得度以考疏密，以建寅之月为正朔，以黄钟之月为历初。其历斗分太多，后遂疏阔，至元和二年，复用四分历施，而行之至于今日，考察日蚀，率常在晦，是则斗分太多，故先密后疏，而不可用也。是以臣前以制典，馀日推考，天路稽之前，典验之以蚀朔，详而精之，更建密历则不先不后，古今中天，以昔在唐帝协日，正时允釐。百工咸熙，庶绩也。欲使当今国之典礼，凡百制度皆韬，合往古郁，然备足乃改正朔，更历数，以大吕之月为岁首，以建子之月为历初。臣以为昔在帝代则法曰：颛顼曩目，轩辕则历曰：黄帝暨至。汉之孝武革、正朔，更历数改元，曰太初因名太初历。今改元为景初，宜曰景初历。臣之所建景初历，法数则约要，施用则近密，治之则省功，学之则易知。虽复使研桑心算，隶首运筹，重黎司晷，羲和察景，以考天路，步验日月，究极精微尽术数之极者，皆未能并臣如此之妙也。是以累代历数皆疏而不密，自黄帝以来，改革不已。

春秋长历论　　　　　　　　晋杜预

《书》称：期三百六旬有六日，以闰月定四时，成岁。允釐百工，庶绩咸熙。是以天子必置日官，诸侯必置日御，世修其业，以考其术，举全数而言，故曰六日，其实五日四分之一日。日行一度而月日行十三度十九分度之有畸，日官当会集此之迟疾，以考成晦朔、错综以设闰月，闰月无中气，而北斗邪指两辰之间，所以异于他月也。积此以相通，四时八节无违。乃得成岁。其微密至矣。得其精微，以合天道，事叙而不悖，故《传》曰：闰以正时，时以作事，事以厚生，生民之道于是乎在。然阴阳之运，随动而差，差而不已，遂与历错。故仲尼、丘明每于朔闰发文，盖矫正得失，因以宣明历数也。桓十七年，日食得朔，而史阙其日。单书朔。僖十五年，日食。而史阙朔与日。故《传》因其得失并起，时史之谬，兼以明其馀日食，或历失其正也。庄二十五年，经书六月辛未朔，日有食之。鼓用牲于社。周之六月，夏之四月，所谓正阳之月也。而时历误。实是七月之朔，非六月，故《传》云非常也。唯正月之朔慝未作，日有食之，于是乎有用币于社，伐鼓于朝，此非用币伐鼓，常月因变而起历误也。文十五年经文，皆同，而更复发《传》曰非礼，明前传欲以审正阳之月，后传发例欲以明诸侯之礼也。此乃圣贤之微旨，先儒所未喻也。昭十七年，夏六月，日有食之，而平子言：非正阳之月，以诬一朝，近于指鹿为马。故《传》曰不君矣。且因以明此月为得天正也。刘子骏造三统历，以修《春秋》。《春秋》日食有甲乙者，三十四而三统历唯一食，历术比诸家既最疏，又六千馀岁，辄益一日。凡岁当累日为次，而无故益之，此不可行之。甚者。班固前代名儒，而谓之最密，非徒班固也。自古以来，诸论《春秋》者，多述谬误，或造家术，或用黄帝。以来诸历以推经传朔日，皆不得谐合。日食于朔，此乃天验，经、传又书其朔食，可谓得天，而刘贾诸儒之说，皆以为月二日、或三日，公违圣人，明文其蔽，在于守一元不与天消息也。余感《春秋》之事，尝著历论，极言历之通理。其大指曰：天行不息，日月星辰各运其舍，皆动物也。物动则不一，虽行度，大量可得，而限累日为月以新。故相序不得，不有毫毛之差。此自然之理也。故春秋日有频月而食者，旷年不食者，理不得一而算守恒数，故历无不有差失也。始失于毫毛，而尚未可觉，积而成多，以失弦望朔晦则不得不改。宪以从之。《书》所谓钦若昊天。历象日月星辰，《易》所谓治历明时，言当顺天以求合，非为合以验天者也。推此论之，春秋二百馀年，其治历变通多矣。虽数术绝灭，还寻经传微旨，大量可知。时之违谬，则经传有验，学者固当曲循经传，月日日之食以考朔晦也。以推时验而皆不然，各据其学，以推春秋，此无异度己之迹，而欲削他人之足也。余为历论之后，至咸宁中，善算李修夏显，依论体为术，名乾度历表，上朝廷。其术合日行四分之数，而微增月，行用三百岁，改宪之意。二元相推，七十馀岁。承以强弱，强弱之差，盖少而适足，以远通盈，缩时尚书及史官以乾度与太始历参校古今记注，乾度历殊胜。今其术具存，时又并考古今十历，以验《春秋》。知三统历之最疏也。今具列其时得失之数。又据经、传微旨，證据及失闰，旨考日辰朔、晦以相发明，为经传长历，诸经传證据，及失闰时，文字谬误，皆甄发之。虽未必其得天，盖《春秋》当时文历也，学者览焉。

上历新法表　　　　　　　宋何承天

臣授性顽惰，少所关解。自昔幼年，颇好历数，耽情注意，迄于白首。臣亡舅故秘书监徐广，素善其事，有既往七曜历，每记其得失。自太和至泰元之末，四十许年。因臣比岁考校，至今又四十载。故其疏密差会，皆可知也。夫圆极常动，七曜运行，离合去来，虽有定势，以新故相涉，自然有毫末之差，连日累岁，积微成著。是以《虞书》著钦若之典，《周易》明治历之训，言当顺天以求合，非为合以验天也。汉代杂候清台，以昏明中星，课日所在，虽不可见，月盈则蚀，必当其冲，以月推日，则躔次可知焉。舍易而不为，役心于难事，此臣所不解也。《尧典》云：日永星火，以正仲夏。今季夏则火中。又宵中星虚，以殷仲秋。今季秋则虚中。尔来二千七百馀年，以中星检之，所差二十七八度。则尧冬令至，日在须女十度左右也。汉之太初历，冬至在牵牛初，后汉四分及魏景初法，同在斗三十一。臣以月蚀检之，则景初今之冬至，应在斗十七。又史官受诏，以土圭测景，考校二至，差三日有馀。从来积岁及交州所上，检其增减，亦相符验。然则今之二至，非天之二至也。天之南，日在斗十三四矣。此则十九年七闰，数微多差。复改法易章，则用算滋繁，宜当随时迁革，以取其合。案《后汉志》，春分日长，秋分日短，差过半刻。寻二分在二至之间，而有长短，因识春分近夏至，故长；秋分近冬至，故短也。杨伟不悟，即用之，上历表云：自古及今，凡诸历数，皆未能并己之妙。何此不晓，亦何以云。是故臣更建元嘉历，以六百八为一纪，半之为度法，七十五为室分，以建寅之月为岁首，雨水为气初，以诸法闰馀一之岁为章首。冬至从上三日五时。日之所在，移旧四度。又月有迟疾，合朔月蚀，不在朔望，亦非历意也。故元嘉皆以盈缩定其小馀，以正朔望之日。伏惟陛下允迪圣哲，先天不违，劬劳庶政，寅亮鸿业，究渊思于往籍，探妙旨于未闻，穷神知化，罔不该览。是以愚臣欣遇盛明，效其管穴。伏愿以臣所上元嘉法下史官考其疏密，若谬有可采，庶或补正阙谬，以备万分。

历议　　　　　　　　　　　　前人

夫历数之术，若心所不达，虽复通人前识，无救其为敝也。是以多历年岁，未能有定。四分于天，出三百年而盈一日。积代不悟，徒云建历之本，必先立元，假言谶纬，遂关治乱，此之为蔽，亦已甚矣。刘歆三统法尤复疏阔，方于四分，六千馀年又益一日。扬雄心惑其说，采为太元，班固谓最密，著于《汉志》；司马彪因曰自太初元年始用三统历，施行百有馀年。曾不忆刘歆之生，不逮太初，二三君子言历，几乎不知而妄言欤。

覆奏元嘉历法疏　　　　　　钱乐之

太子率更令领国子博士何承天，表更改元嘉历法，以月蚀检今冬至日在斗十七，以土圭测影，知冬至巳差三日。诏使付外检署。以元嘉十一年被敕，使考月蚀，土圭测影，检署由来用伟〈杨伟〉景初法，冬至之日，日在斗二十一度少。检十一年七月十六日望月蚀，加时在卯，到十五日四更二唱丑初始蚀，到四唱蚀既，在营室十五度末。景初其日日在轸三度。以月蚀所冲考之，其日日应在翼十五度半。又到十三年十二月十六日望月蚀，加时在酉，到亥初始食，到一更三唱蚀既，在鬼四度。景初其日日在女三。以冲考之，其日日应在牛六度半。又到十四年十二月十六日望月蚀，加时在戌之半，到二更四唱亥末始蚀，到三更一唱食既，在井三十八度。景初其日日在斗二十五。以冲考之，其日日应在斗二十二度半。到十五年五月十五日望月蚀，加时在戌，其日月始生而已，蚀光己生四分之一格，在斗十六度许。景初其日日在井二十四。考取其冲，其日日应在井二十。又到十七年九月十六日望月蚀，加时在子之少，到十五日未二更一唱始蚀，到三唱蚀十五分之十二格，在昴一度半。景初其日在房二。以冲考之，则其日日在氐十三度半。凡此五蚀。以月冲一百八十二度半考之，冬至之日，日并不在斗二十一度少，并在斗十七度半间，悉如承天所上。又去十一年起，以土圭测景。其年景初法十一月七日冬至，前后阴不见影。到十二年十一月十八日冬至，其十五日影极长。到十三年十一月二十九日冬至，其二十六日影极长。到十四年十一月十一日冬至，其前后并阴不见。到十五年十一月二十一日冬至，十八日影极长。到十六年十一月二日冬至，其十月二十九日影极长。到十七年十一月十三日冬至，其十日影极长。到十八年十一月二十五日冬至，二十一日影极长。到十九年十一月六日冬至，其三日影极长。到二十年十一月十六日冬至，其前后阴不见影。寻校前后，以影极长为冬至，并差三日。以月蚀检日所在，已差四度。土圭测影，冬至又差三日。今之冬至，乃在斗十四间，又如承天所上。又承天法，每月朔望及弦，皆定大小馀，于推交会时刻虽审，皆用盈缩，则月有频三大、频二小，比旧法殊为异。旧日蚀不唯在朔，亦有在晦及二日。《公羊传》所谓或失之前，或失之后。愚谓此一条自宜仍旧。员外散骑郎皮延宗又难承天：若晦朔定大小馀，纪首值盈，则退一日，便应以故岁之晦，为新纪之首。承天乃改新法依旧术，不复每月定大小馀，如延宗所难，太史所上。有司奏：治历改宪，经国盛典，爰及汉、魏，屡有变革。良由术无常是，取协当时。方今皇猷载晖，旧域光被，诚应综覈晷度，以播维新。承天历术，合可施用。宋二十二年，普用元嘉历。诏可。

请改元嘉历疏　　　　　　　祖冲之

古历疏舛，颇不精密，群氏纠纷，莫审其要。何承天所奏，意存改革，而置法简略，今已乖远。以臣校之，三睹厥谬：日月所在，差觉三度；二至晷影，几失一日；五星见伏，至差四旬，留逆进退，或移两宿。分至乖失，则节闰非正；宿度违天，则伺察无准。臣生属圣辰，逮在昌运，敢率愚瞽，更创新历。谨立改易之意有二，设法之情有三。改者，其一，以旧法一章十九岁有七闰，之数为多，经二百年，辄差一日。节闰既移，则应改法，历纪屡迁，实由此条。今改章法，三百九十一年有一百四十四闰。令却合周、汉，则将来永用，无复差动。其二，以《尧典》云：日短星昴，以正仲冬。以此推之，唐代冬至，日在今宿之左五十许度。汉代之初，即用秦历，冬至日在牵牛六度。汉武改立太初历，冬至日在牛初。后汉四分法，冬至日在斗二十二。晋时姜岌以月蚀检日，知冬至在斗十七。今参以中星，课以蚀望，冬至之日，在斗十一。通而计之，未盈百载，所差二度。旧法并令冬至日有定处，天数既差，则七曜宿度渐与历舛。乖谬既著，辄应改制，仅合一时，莫能通远，迁革不已，又由此条。今令冬至所在，岁岁微差，却检汉注，并皆审密，将来久用，无烦屡改。又设法者，其一，以子为辰首，位在正北，爻应初九，斗气之瑞，虚为北方，列宿之中，元气肇初，宜在此次。前儒虞喜，备论其义。今历上元日度，发自虚一。其二，以日辰之号，甲子为先，历法设元，应在此岁。而黄帝以来，世代所用，凡十一历，上元之岁，莫值此名。今历上元，岁在甲子。其三，以上元之岁，历中众条，并应以此为始，而景初历交会迟疾，亦置纪差，裁合朔气而已。条序纷互，不及古意。今设法，日月五纬，交会迟疾，悉以上元岁首为始。则合璧之曜，信而有徵，连珠之晖，于是乎在，群流共源，实精古法。若夫测以定形，据以实效，县象著明，尺表之验可推，动气幽微，寸管之候不忒。今臣所立，易以取信。但深练始终，大存整密，革新变旧，有约有繁。用约之条，理不自惧，用繁之意，顾非谬然。何者。夫纪闰参差，数各有分，分之为体，非细不密。臣是用深惜毫釐，以全求妙之准，不辞积累，以成永定之制。非为思而莫悟，知而不改也，窃恐赞有然否，每崇远而随近；论有是非，或贵耳而遗目。所以竭其管穴，俯洗同异之嫌，披心日月，仰希葵藿之照。若臣所上，万一可采，伏愿颁宣群司，赐垂详究，庶陈锱铢，少增盛典。