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钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第七十八卷目录

 历法总部总论六
皇清一
  新法历引〈历学维新 地球 天道 历元 历算 句股 割圆 恒星 星中出没 日轨 年月 昼夜晨昏 太阴 交食 三馀 五纬异行 五纬纬行 五星伏见〉

历法典第七十八卷

历法总部总论六

皇清一

《新法历引》

历学维新

历学有法,有用法者,测各重天之运行体势以审诸曜出入、隐现,以求本行轨道,以定准则也。用者,取本法测定之分数,随方随时以推步日月五星,次舍冲照、交食、凌犯、顺逆等情也。二者阙一不可,然而立法难矣。《语》云:毫釐之差,千里之谬,在历学为尤甚。中国自汉迄元,造历者七十馀辈,立法者仅十有三家,且皆不免乖违,后人难凭致用。有谓得一冬至之正时即为密近者,非也。测冬至之于历术,未及百分之一。闻一知百,世无其人。有谓得一岁实、一朔实,及转终交终等策为已定者,非也。此皆诸曜平行之率,何由遽定视行。有谓测率四应,可以无忒者,非也。此不过推算平行之界而已。有谓多测交食,稽其某法,先天某法,后天而后汇计、筹策折中取之者,亦非也。历家法数繁琐,用以算步交食不下四十馀条,究竟何项何款可以折中取半者,因知古来修改,门户虽岐,实则互相依傍。间有出一二新意,亦未必洞晓本元。迹其大端,犹不过截前至后,通计所差,加、减、乘、除,分泒各岁之下,便为修改已耳。即使仅合一时,岂能施诸久远。后惟授时历庶称精密,顾其法,亦未尽善。在当日已有推食不食,食而失推之弊,何况沿袭至于今日哉。他若回回历者,其历元为西域所定,使非中历,先推太阳躔度至春分之日,彼亦茫然无据以得支干、以合中国所用岁月也,况其历元已历千年,不可复用乎。兹惟新法,悉本之西洋治历名家,曰多禄某、曰亚而封所、曰歌白泥、曰第谷四人者,盖西国之于历学,师传曹习,人自为家,而是四家者首,为后学之所推重。著述既繁,测验益密,立法致用,俱臻至极。旅辈采其精,详究其奥,赜而又参,以独得发所未发焉。更审今测,以广古测,必求合天。年世互考中西各例半,皆仍旧合异归同,成书已进阙庭,新法已行,天下用彰。昭代历典度,越前古暨质诸来祀,虽亿万年永永不爽云。

地球

地在天之中心,常静不动,与天相较,不啻稊米之于乔岳也。其形浑圆,古谓方者,盖指其德耳。凡居处地球者,其视日景之不同,分有五带其中,则自赤道南北各以二十三度半为限,〈此即二极出地之高〉名为煖带。居其下者,午正立表揆日测景,必自射南射北,顾每岁必有二日其表无景,即春、秋二分,太阳正过其天顶之日也。〈此指正居赤道下者,春、秋二分,日中无景,过春分,则景在南,过秋分,则景在北。〉此带惟一又于其南、其北各自二十三度半,外各截至六十六度半为限,名为温带。其下居南者,表景恒射南;居北者,表景恒射北。岁有一日,其景极短。然太阳则不经其天顶矣。此带有二以上三带,皆太阳每日有出有入者也。又于南北二方,自六十六度半,外各底其极名为冷带。其下或表景,周围旋转,有日太阳绕其地恒见,有日太阳绕其地恒隐,隐见之候,或久至半岁,或数月不等。此带亦二是,为大地共分五带之概也。因此推知距赤道之南北二方,其气候必相反,如太阳躔星纪宫,向北之方为冬至,向南之方为夏至,春秋二分以及诸节莫不皆然。又因此推知地球为人所止,以天顶而分四方,亦可界为三百六十度以合天行。东西为经,测以赤道,南北为纬,测以子午。〈规名解见下篇〉但测南北者,有二极以为之端;欲测东西,则须先定一所以为起界。〈新历悉以京师为起界,他方虽未亲测,亦据舆图以定其经纬。〉而后地之经纬皆可得而明焉。苟不谙此则,无以知幅员相距之数,而诸方太阳节气、五星经度、凌犯、交食时刻、日食分秒悉无从推步矣。〈日食南北东西各不同,月食分数皆同,但东西不同时耳。〉且不惟是,即古测今测岁实之异,日出、日入昼夜永短之差,咸取准于地之纬度,所系大矣。其可忽诸。

天道

天体浑沦,穹然莫辨,必也相形,酌理判立界限以为依据,而后推测之功可施则。夫设立诸规以著象数为用甚大且急,较为历家首务也。新法总有四大规;一曰地平,一曰赤道,一曰黄道,一曰子午。四规阙一不可。盖地平规者,从人足所附,极目四望之界而设也。人附地面所可望见者,天之半耳。其半恒绕于地下,人不可得而见也。即此可见、不可见之界而诸曜,由是而出,入明暗昼夜由是而分,因设此规,剖为四象以应四方,象各限以九十度,是为地平经度,而各曜出入之方位以辨矣。又自地平上至天顶设距等圈,以为地平纬度,而各曜渐升之度,以明各曜出地离赤道之纬度,并北极出地之数皆可得而稽之矣。赤道规者,从南北二极相距正中之界而设也。古曰:天行健。又曰:天左旋。左旋而行健则知南北必有其极矣极也者,天体永久不动之两点。周天倚为环动之枢者也。〈极非星也。云极星者,盖指其最近极之星以命耳。〉如一极出地,必一极入地。其出入之度惟均,历家乃于二极相距最中之界,设有赤道一规,平分天体为南北。南者,为外为阳,而北者为内为阴。其亘于天中也。终古不易,推步者毕赖之为准,则无容置议也。本规列度三百有六十辰十有二刻九十有六天体,一日一周之运于是焉。纪昼夜刻分之永短于是焉;定黄道出入之广狭于是焉;齐春秋二分之晷景于是焉;限南北纬算于是焉;起天地全圆于是焉。度凡此皆其用也。黄道规者,从太阳旋周一岁之界而设也。盖太阳行天一岁,所周轨迹旋以成规,是名黄道。本规斜络于赤道,其半在南,最南界为冬至;其半在北,最北界为夏至。二道相交之两点为春、秋分。以故四平分之为象限,限各九十度者,是即二分二至,四正之限也。总计为三百六十度,十二剖之为宫,二十四剖之为节气,七十二剖之为候。盖用以节七曜列宿之行,用以审日月交食之限,至较著也。子午规者,从诸曜升降度适中之界而设也。太阳一日旋天一周,见于东方渐升至高为正午,此地平以上东半昼分过午,向西渐底地平是为西半昼分,乃谓之降。他曜皆然于此,升降度之中界立有一规,名为子午。诸曜际此谓为在子、在午,是规透过赤道及地平各二极,其偕赤道地平而交为直角也。恒然不动,但人在地面南北迁此规惟一,东西迁则随在各异也。〈与地平同〉已上四规,各有本用,所系非小历家测候,欲求七政行度会望等诸法,舍此无从措手,以此未言象数,先以详明诸规为首务也。
一系赤道有恒动、恒不动二用。恒不动者,以定各方时刻;恒动者,以相交相割于黄道也。俗谓赤道。有二者,盖即指此二用,非实有二道也。二系赤道正居天顶,则两极适与地平相当,至若赤道斜交地平之所,则极出地度数即赤道距天顶度数矣。其经度即过极圈,纬度即距等圈也。
三系黄道与赤道斜交,故其极自有本极,谓之黄极。黄极者,恒星与太阳本行之枢也。论二道最远之距,〈即南至北至之距〉今古不同,今测定为天度二十三度三十一分三十秒,上古较多数十分,后此则渐减矣。
四系周天诸道用立多规,以便测验,但其为规也,非止旋周一线而已,盖一满平圆面也。面为各曜之所经行,故谓之道某曜在某面上,即谓之在某道云。

历元

所谓历元者,乃以诸曜之平行,同时而求各所历数,历家因之用为起算之根也。新法则以天聪戊辰前,太阳过天正冬至,后第一子正为历元,其日干则己卯也。斯时太阳躔星纪宫初度五十三分,太阴在六宫初度五十分,他曜皆以此时行度为准,不用冬至时刻与旧历异,缘冬至有正、有平,最难得其真率也。夫历元为诸算,先资稍有舛忒,即诸行皆谬矣。况诸曜终岁细行,莫不以子正起算,又安用冬至时刻为哉。

历算

旧以周天判为三百六十五度又四分度之一,所谓日度也。盖以太阳之行黄道日一度,度析百分,分析百秒,且又均之分,为宫次气候法。用奇零,势难齐一,且天度者,岁实之日分也。中历所用岁实,诸家多寡不等,是其分天非一定之术,而为游移之法。欲以是决定诸曜之行,岂不难乎。若夫新法之分,周天历度也。即于天度以三百六十平剖之度,析六十分,分析六十秒。盖六十者半之,则为三十三之一,则二十四之一,则十五馀,任剖析皆为自然而然之分。往古历纪未始繁载,但于测得之数,曰:某度几何分之一而已。错综离合,其于历算甚便也。请言历算,夫历之为数,祇就天行无假淹,贯九章而其所须用者,加、减、乘、除、开方、五法。古用觚棱近便珠算,西法第资毫颖,今复有算筹之创,简捷尤甚矣。所谓加法者,以类相比并多分以成全。如度并度,分并分,秒并秒,时刻并时刻是也。此须知定位及进位之法,如积六十秒为一分,积六十分为一度,秒进于分之位,分进于度之位,而与他度分秒并之,若加时刻,则以十五分进一刻,四刻进一时,二十四时进一日,二十四,西法谓之小时也。此加法也。减与加反用,稽所馀其法,先须较数多寡,多中减寡理数易明。若于少内减多,必立借法以通其变。如借度化分,借分化秒,为本类以用之。乘法者,九九互积之义,有实数、有法数,凡单数乘度分秒不变位,若度乘度,复生多度,分乘分以生秒,秒乘秒以生微,则皆变位。〈分秒相生皆指奇零而言〉此不可不知也。除法者,以少剖多,分分除减意也。为法有二:或以单数商除亦不变位,苟分度不尽,即以馀度化分除之,分秒亦然;开方者,以化法求其微数,用筹乘除,然后再受为度,或用三率法亦可。是五法者,尽历算矣。然而新历之算诸星经纬及交食等项也,盖有二术:其一取所图各宿曜本行规之半径,并其所设某日平行,〈即本圈上之弧〉用诸三角形法推演,乃可得经纬细行、或交食之分数时刻。此术最为缜密,果能精心于此。即诸天周行轨迹隐微罔不洞然。其二以先所推定诸表握算,设如某日某刻欲求太阳经度,则第用加减二法检表二三次,以求即可得其宫度,较之中历节气,求经朔之法,简便,数倍馀。如五星太阴等曜以及交食皆各有表,可稽火星兼用乘除他则,但资加减立法,虽难致用,则易然,而一趋超径,万一操觚小,失恐并迷昧元初之理,所以二术不可偏废,皆为推步家之所朝夕从事者也。

句股

句股之术,从来尚矣。古九章周髀载之,究不过一三边直角形而已。垂线为股,横线为句,斜线为弦,测量家立表代股,平圭代句,而景为其弦,善斯术者,高深广远无不可求。而测天之为用尤大然,而旧法虽有三元、五和、五较等用,不过设二求三,且泥于直角一形,若遇斜角、弧角无以措用矣。新法变而通之,既名其公曰:三角形。又审其平面、球面、曲线、杂线、锐角、钝角之别,即知天为圜体,宜测以弧宿曜近远诸道互交,宜测以多类之弧,遂生多类之三弧形,于是各形咸备有三弧、三角,互设三以求馀三,是谓以圆齐圆,于法为善。故虽天道隐微,象数零杂,未有能遁焉者也。

割圆

割圜古法亦即以圜求圜之意。但古法设弧以求弦,矢款目四十馀项,颇为艰繁。新法易之以表,开卷即得,盖因圜形之弧与角总代以直线,数种稽其数,名为八线表。云夫圜形半径为本规六平分之通弦,若二半径各自乘之,并而开方,可得本规四平分之通弦,用几何诸法,又可得各度分之通弦。其各弧及其通弦折半,乃得正弦、正弧,有弦弧即有其矢矣。故矢不另立表也。通弦之外有切线、割线,通弦全在规内,切线全在规外,线从规心出于规周之外则为割线,然而弧有正、有馀,弦、矢、切、割四者因亦各有正馀,如一象限为本表之限,或于限内取几何度谓为正弧,其或逾九十度者,即谓之馀矣。正馀各有弦、矢、割、切四线,都为八线也。

恒星

恒星亦名列星,亦名经星。云恒者谓其象,终古不易也。云经者以别于五纬,南北行之义,其数甚夥。莫能穷尽就中,有光体渺微,非目可及,非仪可测者,略而不录,其在等第之内已经新法测定者,南北二极共一千七百二十有五星稽,其大小分为六等,第一等大星,如五帝座、织女类者。一十有七;二等如帝星开阳类者,五十有七;三等如太子少卫类者,八十有五;四等如上将柱史类者,三百八十有九;五等如上相虎贲类者,三百二十有三;六等如天皇大帝后宫类者,二百九十有五。此皆有名之星,计共一千一百六十有六馀,皆无名者矣。至于天汉斜络天体,古昔多谬解。迩来窥以远镜,知是无算,小星接攒一带,即如积尸气等,亦小星攒聚以成第,非人目所能辨,遂作如是观耳小者,不足论。论其大者,古历以周天诸星分为三垣二十八宿,各定有名位、座次,每座每宿星数多寡不齐,顾其所谓宿者,盖取七曜经行止宿之义,且用以便测算经度,又为其各能主施德也。西古历亦列二十八舍,所定二十八距星,皆与中古吻合,第觜距西,用天关为小异耳。此二十八宿者,各以一字命名,分注每日之下内以房虚星昴四宿为属太阳之日,心危毕张为属太阴之日,此外五纬各属四宿,每以七日为期,每日各属一宿,西历亦然。西经传,上古有一大师名诺厄者,广宣历理,以遍万国,则亦有所本也。
一系星之命名,多系借义,非可过泥虚名,便谓实有其验。比如贯索一星,中以其象囹圄,名以贯索,西以其象冠冕,名以冠冕。一吉一凶,全由人意。岂天星实然乎。至谓诸星情性不同,敷施互异,是又理所必然不得,概置弗论也。故总图于某星属某纬者,咸附注之。
二系图星之法有二;一浑球有南、北二极,有地平、子午诸规界,判黄赤二道,运之能肖天体,旋转以审各星,经纬度分以辨星中,出没以测夜时甚便也。一平面图虽乏以上诸用,然诸星位置、宫度、瞭若视掌,为用亦大。因有多种之分,曰:见界图以北极为心,其最南隐于地中星极,非此方人目可见者,则截出之;一曰赤道图、黄道图。二者各以其极为心,其道为界,盖皆以天之南北平剖为二图者也。曰:分星图依黄道,分天为二十图,均赋经纬,署以维辰,按图指陈天象,莫晰于此。外有浑,盖所用天盘以极为心,截冬至规为界,亦图星于仪上肖天,运动以觇诸星出没升降,又有平仪从二极剖天,为南六宫、北六宫,二面亦绘辰宿,可代浑仪旋转。至若古传星经图步天歌等,虽亦分有宿座,便于观览而经纬度分悉皆茫然。挂漏于测候无用也。

星中出没

太阳右旋一日一度,终岁行天一周,必复与某恒星合。又必有某星与之冲。历家无从测其合者,测得其冲者,谓为岁差。所从来矣。然由本方极出地度,恒星有出没者,亦有不出、不没者,如京师北极出地四十度,则星距极四十度以外,皆为恒见;而距南极四十度以内者,在京皆不能见矣。至论恒星见伏亦由太阳右旋至某宿度,附近之星光为日夺,故不能见迨太阳,去离渐远则此星光渐升,东方见而不伏矣。缘是而升至午点,即曰中星,此其星中出没在立象学为用甚钜。而历家但于中夜,资之以定时刻而已。

日轨

太阳之行,黄道也。论其积岁平分之数,新法以天度计为五十九分八秒有奇。所谓平行度分是也。然平行齐,而实行则固非齐矣。冬盈而夏缩矣。所以然者,盖缘黄道圈与日轮天不同心,而黄道之心即地球心,是日轮天与地球不同心也。心既不同,则日行距地近远不等。距近即行疾,疾则所行之度过于平行而为盈,每冬月一日计行一度一分有奇,以较平行盈二分矣;距远即行迟,迟则所行之度不及平行而为缩,每夏月一日计行五十七分有奇,以较平行则缩二分矣。盈缩相差若此,岂可谓之齐乎。终岁之间但,逢最高限、最庳限二日,平、实二行度数惟一。此外两行之较,日日不等,新法因其或过、或不及也。故有加分、减分,谓之加减差。盖以有恒率之平行为根,而以加减差定之,然后差而不差非齐而齐矣。至论太阳之入某宫,次以分节气也。亦有平、实二算,盖算平行十五日二十一刻有奇为一节气,乃一岁二十四平分之一耳。若用躔度之日以算,则冬夏不齐。冬一节气为十四日八十四刻有奇,夏一节气为十五日七十二刻有奇,总由夏迟冬疾,故其差如此皆,非旧历之所解也。
系太阳天距地极远之点谓之最高极,近之点谓之最高冲。〈亦名最卑〉此二点者,乃盈缩二行之界。古法于冬、夏二至,谓其恒在一点,其实非也。按古今诸测皆各不齐。古测最高在夏至前数度,今则在后六度矣。以此推知,一年之内太阳自行四十五秒也。

年月

纪年者何。太阳随列宿东行旋天一周之期也。太阳之行界二:其一从某宫次度分行天一周而复于元度,其数为三百六十五日二十四刻二十一分有奇;其一为太阳会于列宿天之某星行天一周,而复与元星会,但其星每岁有本行,故须加本行以定岁,而其所须加者,新法定为五十一秒,所谓岁差也。然而日历纪年,惟以全日推算,不用小馀。如以太阳十二次会合太阴为岁也,为三百五十四日。每二年、三年而闰一月,中历是已。如以太阳周十二宫次为岁也,为三百六十五日,每四年而闰一日,西历是巳。此纪年之概也。纪月有二:或因太阴会朔一次,以定谓太阴之月;或因太阳行一宫次,以定谓太阳之月。顾其十二分年之一分则一也。一月之终分有大尽小尽者。比如初朔子正苟二朔者,过二十九日外而不及第三十日之子正,则谓之小,过子正则谓之大。大则二朔同一天干,小则不同矣。故有三十日弱时刻不及者,历家不得名大,或二十九日强而时刻已逾者,历家仍不得名小也。且宇内地度不同,而月之大小因以互异。比如京师第二朔在子初二刻未到子正,其月为小,而西安此朔则巳在子正初刻,又当为大尽矣。地度愈远,时刻愈差,非可强而同之也。月有闰者,太阳躔一宫之时与月会合二次以成者也。其月因无中气,故谓之闰。但古法置闰用平节气,而新法用太阳所躔天度节气,故闰有合、有否,或先后一月不等也。

昼夜晨昏

太阳随宗动天西行一周而复于元界,谓之一日。东升西降,循环无端,其在历家起算,判定一界以为依据,则恒以太阳在子、在午为准也。论从子午起算之日,每岁实行度分日日不等差,较一刻有馀。盖缘黄道夏迟冬疾差馀四分,而黄赤二道又广狭异距,则率度必不同分,此其所当审者也。今论昼夜,太阳在地平上,人目可得而睹谓之昼,太阳渐隐地平之下,人目无见则谓之夜,是昼夜者,全由人居以分。随方、〈极出地若干〉随时,〈太阳躔某宫〉其昼夜刻分皆可依法推算焉。然而法算与目见恒异,盖太阳体大算法皆以体心出地为昼,始而人目以一见日轮即为昼。始又日出没升降度有斜正不同,又地平各曜出没之界,受清蒙气有变,凡此皆非人目能辨。故历家立有视差法也。一昼一夜平分为十二时,时各八刻,一日十二时,共刻九十有六。此恒率也。其昼夜永短递迁之故,则不但日行南陆、北陆不同而己,亦由北极出地高庳互异,而永短因焉。比如赤道正过天顶之地,两极合于地平,其昼夜均停,绝无永短,又极在天顶,赤道与地平平行,其下昼夜亦无长短之较,但太阳百八十日恒见,百八十日恒隐耳。此外诸方各有永短,顾其一岁之中,昼夜均停者,四日握算者,引而伸之,据四日之一日,逐渐加减,因得九十日之昼夜长短,随可以推终岁之数也。再论晨昏是分昼、分夜之二界也。太阳将出,未出数刻之前,其光东发,星光斩为所夺,是名为晨;太阳已入,回光返照,亦经数刻始逌,然灭尽是名为昏,其久暂分数亦因冬夏而分短长;新法以日在地平下十八度内为晨昏之限,但太阳行此十八度,又各方各宫不等,因有五刻、七刻、十刻之别,若论极高七十二度以上之度,则夏月晨昏相切,虽至丙,夜无甚黯黑也。

太阴

太阴之行,参错不一,推步筹算,为力倍艰。苟或分秒乖违,交食岂能密合。故必细审其行度所以然,而后可立法致用也。盖月较诸曜本旋之外行复多种第;一曰平行,一日十三度有奇,但此行之界凡四:一界是从某宫次度分起算,此界定而不动;二界为本天之最高,此非定界,每日自顺天右行七分有奇,是月距本天最高,一日为十三度三分有奇也,故其平行二十七日三十刻有奇为一周,已复于宫次元度,又必再行二十三刻有奇,为二十七日五十三刻始能及于本天之最高。此行新法谓之月自行,中历于此周谓之转周,满一周谓之转终。其最高则行八年有奇,而周天谓之月孛,三界为黄白二道相交之所,所谓正交、中交。此界亦自有行,乃逆行也。〈自东而西〉每日三分有奇,则月平行距正交一日为十三度十三分有奇,至二十七日二十七刻,减交行之一度二十三分,得二十七日十五刻有奇。月乃回于元界,历谓之交终。四界是与太阳去,离太阳一日约行一度,则太阴距太阳为十二度十分有奇,至二十九日五十三刻有奇,逐及太阳,复与之会,历谓朔策是也。凡上四行总归第一平行。其第二行曰小轮,每一朔内行满轮周二次,每日为二十四度有奇。〈若以不同心圈论,此即太阴中距圈也。〉因有此行,复生第二,损、益、加、减分云第二者,盖于朔望所用加减分外,再加再减故也。此行中历所无。以上太阴诸行,新法定其轨辙不外三者,均圈一,不同心圈一,小轮一,然不同心圈与小轮,名异而理实同。历家资以推算,两用互推所得之数正等也。
一系月道惟一,古谓月行。九道者乃白道正交行,及四正阴阳二历各异。命之因有八名,加以公名,共有九耳。非真有九道也。白道两交黄道论,最远之距谓为五度。此系二历,未甚大差之数,新法测得,凡朔望外相距皆过五度,上下二弦则为五度一十七分三十秒,推知二道相交之角,非定而不动者,要其广狭之行,恒以十五日为限也。
二系各朔后月夕西见,迟疾不一,甚有差至三日者,其故有三:一因月视行度,视行为,疾段则疾见,迟段则迟见;一因黄道升降,或斜、或正,正必疾见,斜必迟见;一因白道在纬南、纬北,凡在阴历疾见,阳历迟见也。此外又有极出地之不同,朦胧分与气差诸异,所以迟疾难齐也。

交食

凡日月之行,二十九日有奇。而东西同度,谓之会朔。至若日行在黄道,近交人视为与日同经同纬,是人目与月日相参直,而月魄正隔日光,于人目则为日食。日食者,非日失其光,光为月掩耳。凡太阴距太阳百八十度,而正与之冲,谓之望。若当冲时月行近于两交,必入地景而为闇虚,此乃月日同在一线,而地居其中间,日光为地所阻,不能射照月体,则月失其光而为月食。此日月二食者,躔度有恒,持筹推步分秒确然,而历家各法之疏密于此,更难掩也。试言其略黄白二道,相交之二所名,正交中交。凡日月行及二交为同度,同度则有食矣。然而论交又须论限,及交而在限内则食,限外则不食,此不可不审也。顾限度诸方不一,盖太阳于诸方之地平高度不同,而阴阳二历之各限亦异。论煖带下之地,二历互相受变。如白道向南极半周,有时在天顶及黄道之中,势必反谓为阴历;白道向北半周,是时在黄道外势,必反谓为阳历。故其下日食之限,莫得而定之也。他域更近于北,必阴历限多,阳历限少;更近于南必阳历限多,阴历限少。比如京师近北约算阳历八度,阴历二十一度,则知日月相会,凡在阳历近二交八度,在阴历近二交二十一度。其下必见日食而过此限,以往则否,即北可以推南,莫不以远近分多寡矣。然而二历食限之度有异者,其故盖在月轮。月轮比日最近于地,而月又小于地,人目见月之所,又在地面,不在地心。故以月天论地平,虽天与地球皆为平分,直过其心,而人在地面高,所以视天地之两界,则似地球与月天非平分也。少半在上,多半在下,而差约一度。故以本法推算,月已出正地,平其于人目所视之地平尚少一度。此其较谓之视差。盖惟月在天顶,正地平与视地平之极皆以一直线,合于天顶,无有视差。过此左右不免有差,愈远天顶愈近地平,差必愈甚。夫视差无他,恒降下月体数十分耳。设令日月同度。同在近交之南,又因同度,并在正地平上高二十度,则太阳于视地平为十九度五十八分,祇降二分。太阴于视地平为十九度,直降一度矣。而日月二差之较为五十八分,故以算论,虽二曜同高、同度,而人目视之,太阴恒下于太阳一度弱,不掩日光则不食,若二曜在地平上高七十度,则太阳无视差,太阴视差止二十分,其降于太阳亦止二十分。势必相切,或至掩数分而成食。若二曜在交北,又当以太阴算在太阳之上,庶因视差所降而掩阳光,以为食也。顾此二地平之差,又分二类,一加减交食分数谓之气差,一加减时刻谓之时差。历算之艰且剧,莫过于此,所最当究心者也。
系日食之全与不全,其故有二:一由天上之行,一由食时地平上高弧之度。故均一食也。有见全食者,有见食多寡不等者,有全不见食者,就南北论见食地界,设如北京见全食,其南北各距四十五度之地为万一千有馀里,皆见有食然。而多寡不等;就东西论,各距六十度,为万五千有馀里,各见食而分数多寡亦不等焉。即月食时刻,南北亦有不同,而东西为甚也。

三馀

三馀旧加紫气,名为四馀,亦谓之四隐曜。然详求天行,实无紫气,且绝无当于推步之术,故西法弃而不录,第取三馀。一罗㬋,一计都,一月孛。罗㬋即白道之正交,计都即中交也,月道自南愬北以交于黄道之一点,此点有本行,每日左旋三分有奇。而罗㬋正对之点即为计都,盖两规斜络其两交之二点必正相对也。月孛是月所行圈极高、极远之点,谓月离,于是其行极迟,其体见极小。盖孛云者,指其交转两行相悖之义,故其平行右旋,每日七分有奇。是三点者,土、木、火诸星本圈亦有之,名义皆同,第其各行不同耳。古历悉所未谙,悉置不推不录。新法用算五星之纬,故于本历各详其名数,云独惜日者之流,以罗计、月孛等名皆指为星,谓其所躔宿度各有吉凶,用以推人禄命,不知周天诸道、诸点,皆人所设以便揆算其行度耳,并非实物,何与吉凶。至紫气一曜,或谓生于闰馀,或谓土、木相会,或谓古人以是纪直年宿,故二十八年而一周天,都无义理可考,故月离历指详论其必无是曜也。

五纬异行

土、木、火、金、水五曜,名为纬星者,谓其日有近南、近北之行,与恒星异也。夫五纬之行,各有二种。其一为本行,如填星约三十年行天一周日二分,岁星约十二年一周天日五分,荧惑将满二年一周天日三十五分,太白辰星皆随太阳每年旋天一周。各有盈缩,各有加减,分各有本天之最高与最冲,即其最高又各有本行。论其行界,亦分四种,非若回回历总一最高也。其二在于本行之外,西法称为岁行,盖各星会太阳一次成一周也。因此岁行之规〈亦名小轮〉推知各星顺逆留疾诸情,故依新法图,五纬各有一不同心圈、一均圈、一小轮,凡星在小轮极远之所,必合太阳。其行顺而疾,其体见小;凡在小轮极近之所,其行逆而疾,其体见大。土、木、火行逆则冲太阳,金、水行逆夕伏而合,行顺晨伏而合。其各顺行转逆,逆行转顺之两中界为留,留非不行,乃际于极迟行之所也。留段前后或顺或逆,皆有迟行,其土、木、火行逆即冲太阳,而金、水则否者,缘土、木、火之本天,大皆以太阳为心而包地,得与太阳冲,而金、水之本天虽亦以太阳为心,而不包地,不能冲太阳也。金、水不能冲太阳而能与之离,金离太阳四十八度,水离二十四度。

五纬纬行

太阳之行,因黄道斜交于赤道,故其距赤道之纬南、纬北也,各二十三度有半,以成二至是黄道者,太阳之轨迹也。太阴本道又斜交于黄道,最远之距为五度,以生阴阳二历。五星之道虽相距纬度各异,而其斜络黄道则与月道同理,故皆借月道诸名名之。其两交之所亦谓正交、中交,其在南在北两半周亦谓阴阳二历。审是而五星纬行庶可详求矣。盖各本道外之岁行小轮恒与黄道为平行,而又斜交于本道,其上半恒在黄本二道中。凡星躔于此,则减本道之纬,其下半恒在本道外,星躔于此,则加其纬,然此小轮之纬向则恒不变。如土星三十年行天一周,其在正中,二交之下必无纬度分,十五年恒北,十五年恒南耳。凡冲太阳,因在小轮下半,即加本道纬度;凡会太阳,因在小轮上半,即减纬度。他星亦犹是也。其或行近于地,小轮加纬益多。太白至夕伏合之际,因其近地,其纬几及八度矣。中历不谙纬行之原,一见金星在纬南北七、八、九度,即詑谓本星失行,岂非诬乎。又中历亦有五星,南北纬行图亦界以黄道、本道似矣,但其逆行之迹,恒作一斜方形,此甚非也。五纬不行直线,安得方形。以此新法图分二种,一设人在地,仰观天上进退诸行,故于上三星冲太阳,下二星夕伏时,第作一仅似之圆形。凡冲太阳,如在本道交上,则不作圆形,即彷佛一之字形而已。一各星近远于地之图要,皆旧历所未谙也。

五星伏见

五星之光与日相较,譬犹萤火之于庭燎光,本非灭,第为大光所夺,人莫能睹耳。旧历亦晓此理,故用黄道距度以定诸星伏见。如谓太阳在降娄初度,岁星在十五度,即以为见限似矣。然而诸星各有纬南、纬北之分,黄道有正斜、升降之势,各宫不同,何得泥距度以定限乎。新法定限,惟以地平为主缘。地平障蔽日光,能使星或伏或见耳。夫日之下于地平,其光渐杀,所谓晨昏。此晨昏光之久暂,四时不等,即冥漠等矣。而星见时刻又自不等。所以然者,太阳由黄道而下地平,或十度,或十五度,或至三十度有奇,原自不等。而星在黄道,南相距必多数度,在北相距必少数度。其限岂可泥乎。大略土、木、火三星,较太阳行迟、行后,太阳夕伏晨见。金、水二星顺天东旋,较太阳行疾、行先,太阳晨伏夕见,逆行反是。其与太阳遇也,亦夕伏晨见。太阴行较太阳更疾,晨伏夕见。至于金星之纬不及八度,则凡逆行合太阳于寿星大火二宫,而其纬又在北七度以上,虽与日合,其光不伏,一日晨夕皆可见之。水星之纬惟四度馀,若其纬向南合太阳于寿星,此后去离夕必不见合太阳于降娄,此后去离晨必不见金合,而不伏水离而不见,此二故者,浑仪解之。他如恒星亦有夕伏晨见者,一因黄道之经纬度,一因其小大等第,即为见伏之限,故亦可推也。